山东省聊城市高二上学期数学期中考试试卷
山东省聊城市高二上学期数学期中考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、填空题 (共14题；共14分)
1. （1分） (2016高二上·河北期中) 若抛物线C：y=ax2﹣1（a≠0）上有不同两点关于直线l：y+x=0对称，则实数a的取值范围是________
2. （1分） (2016高一下·望都期中) 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的高为________．
3. （1分） (2017高二下·溧水期末) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为5尺，问堆放的米有多少斛？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有________斛．
4. （1分） (2016高二上·沭阳期中) 圆Q1：x2+y2=9与圆Q2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的公切线条数为________．
5. （1分） (2019高一下·淮安期末) 一个长方体的三个面的面积分别是，，，则这个长方体的体积为________.
6. （1分） (2020高二上·吉林期末) 双曲线的渐近线方程是________.（一般式）
7. （1分）如图在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中正确的有________ ．（填上所有正确命题的序号）
①AC⊥BD
②AC=BD
③AC∥截面PQMN
④异面直线PM与BD所成的角为45°．
8. （1分） (2018高二上·铜梁月考) 平面截球的球面所得圆的半径为1，球心到平面的距离为，则此球的体积为________.
9. （1分）设定点A（0，1），若动点P在函数y=（x＞0）图象上，则|PA|的最小值为________
10. （1分）(2017·平谷模拟) 在平面直角坐标系xOy中，若方程﹣ =1表示双曲线，则实数m 的范围________；若此双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为________．
11. （1分） (2016高二下·浦东期末) 若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点，则椭圆C的方程是________．
12. （1分） (2016高二上·西湖期中) 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．
13. （1分） (2017高二上·苏州月考) 设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是________．
①若m⊥n，m⊥α，n α，则n∥α
②若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m α
③若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β
④若∥α，α⊥β，则⊥β
14. （1分）如图，焦点在x轴上的椭圆 + =1（a＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线F2P与y轴的正半轴交于A点，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|F1Q|=4，则a=________．
二、解答题 (共6题；共70分)
15. （10分） (2017高二下·辽宁期末) 已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，
E、F分别是AC、AD上的动点，且
（1）求证：不论为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD ?
16. （15分） (2016高二上·扬州开学考) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，且BC=2AD，AD⊥CD，PB⊥CD，点E在棱PD上，且PE=2ED．
（1）求证：平面PCD⊥平面PBC；
（2）求证：PB∥平面AEC．
17. （10分） (2017高二上·阳高月考) 如图，已知矩形四点坐标为A（0，-2），C（4，2），B（4，-2），D（0，2）．
（1）求对角线所在直线的方程；
（2）求矩形外接圆的方程；
（3）若动点为外接圆上一点，点为定点，问线段PN中点的轨迹是什么，并求出该轨迹方程。
18. （10分）如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长AD=5m，宽AB=3m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问如何在BC上找到一点M，使得两条小路AC与DM相互垂直？
19. （15分） (2019高二下·蕉岭月考) 已知椭圆M：（a＞b＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），离心率，左右顶点分别为A、B，经过点F的直线l与椭圆M交于C、D两点（与A、B不重合）．（1）求椭圆M的方程；
（2）记△ABC与△ABD的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值，并求此时l的方程．
20. （10分） (2019高三上·玉林月考) 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为长为半径的圆与直线相切，过点的直线与椭圆相交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若原点在以线段为直径的圆内，求直线的斜率的取值范围.
参考答案一、填空题 (共14题；共14分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
二、解答题 (共6题；共70分)
15-1、15-2、16-1、
16-2、17-1、17-2、17-3、
18-1、19-1、
19-2、20-1、
20-2、。
2023-2024学年山东省聊城市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省聊城市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 1．设a ∈R ，则“直线ax +y ﹣1＝0与直线x +ay +1＝0平行”是“a ＝1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．经过两条直线l 1：x +y ＝2，l 2：2x ﹣y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v →=(−6，4) 的直线方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣3＝0C ．3x ﹣2y ﹣5＝0D ．2x +3y ﹣5＝03．已知SA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，SA ＝AB ＝1，BC =√5，则空间的一个单位正交基底可以为（ ） A ．{AB →，12AC →，AS →} B ．{AB →，AC →，AS →} C ．{AB →，12AC →，12AS →} D ．{AS →，AB →，√55BC →}4．椭圆x 216+y 24=1和x 236+y 224=1（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．顶点相同5．已知圆M ：x 2+y 2﹣2ay ＝0（a ＞0）截直线x +y ＝0所得线段的长度是2√2，则圆M 与圆N ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离6．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．如图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面QGC 的距离是（ ）A ．14B ．12C ．√22D ．√327．已知圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝64，F （﹣2，0）为圆内一点，将圆折起使得圆周过点F （如图），然后将纸片展开，得到一条折痕l ，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（ ）A ．x 216+y 212=1B ．x 24+y 2=1C ．x 24+y 23=1D ．x 216+y 24=18．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 中点，点P 在线段A 1C 1上，若直线OP 与平面A 1BC 1所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）A ．[√23，√33] B ．[13，12]C ．[√34，√33] D ．[14，13]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得О分.9．若直线过点A （1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为（ ） A ．x ﹣y +1＝0B ．x +y ﹣3＝0C ．2x ﹣y ＝0D ．x ﹣y ﹣1＝010．已知点P 在圆C ：x 2+y 2﹣4x ＝0上，直线AB ：y ＝x +2，则（ ） A ．直线AB 与圆C 相交 B ．直线AB 与圆C 相离C ．点P 到直线AB 距离最大值为2√2+2D ．点P 到直线AB 距离最小值为2√2−111．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，已知平面α⊥AC 1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）A ．截面形状可能为正三角形B ．截面形状可能为正方形C ．截面形状可能为正六边形D ．截面面积最大值为√312．已知椭圆C ：x 225+y 29=1，F 1，F 2分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A ．存在P 使得∠F 1PF 2=π2 B ．cos ∠F 1PF 2的最小值为−18C ．直线P A 与直线PB 斜率乘积为定值925D ．PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．与圆x 2+y 2﹣2x +4y +3＝0同圆心，且过点（1，1）的圆的方程是 ．14．如图，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，E ，F 分别为PD ，PB 的中点，点G 在线段AP 上，AC 与BD 交于点O ，P A ＝AB ＝2，若OG ∥平面EFC ，则AG ＝ ．15．点P （﹣2，﹣1）到直线l ：（2+λ）x +λy ﹣2﹣λ＝0（λ为任意实数）的距离的最大值是 ． 16．2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度|AB |＝100米，拱高|OP |＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是 米．（注意：√10≈3.162)四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其它每题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或 17．（10分）已知直线l ：mx ﹣y +1﹣m ＝0和圆C ：x 2+（y ﹣1）＝5． （1）求证：对任意实数m ，直线l 和圆C 总有两个不同的交点； （2）设直线l 和圆C 交于A ，B 两点．若|AB|=√17，求l 的倾斜角．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝2，P A ＝BC ＝1．（1）求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值；（2）求平面P AB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值．19．（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y +9＝0． （1）过点P （3，5）作圆C 的切线l ，求l 的方程；（2）若圆C 2：x 2+y 2+2x ﹣4y ﹣4＝0与圆C 相交于A 、B 两点，求|AB |． 20．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，上顶点为A （0，1）． （1）求E 的方程；（2）过点P(0，√3)斜率为k 的直线l 与椭圆E 交于不同的两M 、N ，且MN =8√27，求k 的值． 21．（12分）如图，四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，AB ＝2A 1B 1＝4，E 、F 分别为DC 、BC 的中点，上下底面中心的连线O 1O 垂直于上下底面，且O 1O 与侧棱所在直线所成的角为45°． （1）求证：BD 1∥平面C 1EF ；（2）线段BF 上是否存在点M ，使得直线A 1M 与平面C 1EF 所成的角的正弦值为3√2222，若存在，求出线段BM 的长；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(−√2，0)和F 2(√2，0)，Γ的下顶点为A ，直线l ：x +y −4√2=0，点M 在l 上． （1）若a ＝2，线段AM 的中点在x 轴上，求M 的坐标；（2）椭圆Γ上存在一个点P （a cos θ，b sin θ）（θ∈[0，2π]），P 到l 的距离为d ，使|PF 1|+|PF 2|+d ＝6，当a 变化时，求d 的最小值．2023-2024学年山东省聊城市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 1．设a ∈R ，则“直线ax +y ﹣1＝0与直线x +ay +1＝0平行”是“a ＝1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：若直线ax +y ﹣1＝0与直线x +ay +1＝0平行，则{a 2−1=0a +1≠0⇒a =1； 若a ＝1，则直线x +y ﹣1＝0与直线x +y +1＝0平行，∴直线ax +y ﹣1＝0与直线x +ay +1＝0平行是a ＝1的充分必要条件． 故选：B ．2．经过两条直线l 1：x +y ＝2，l 2：2x ﹣y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v →=(−6，4) 的直线方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣3＝0C ．3x ﹣2y ﹣5＝0D ．2x +3y ﹣5＝0解：根据题意，{x +y =22x −y =1，解可得{x =1y =1，即两直线的交点为（1，1），设A （1，1），设直线上任意一点为M ，其坐标为（x ，y ）， 直线的一个方向向量v →=(−6，4)，则MA →∥v →，则有4（x ﹣1）＝﹣6（y ﹣1），即4x +6y ﹣10＝0，变形可得2x +3y ﹣5＝0， 故要求直线的方程为2x +3y ﹣5＝0． 故选：D ．3．已知SA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，SA ＝AB ＝1，BC =√5，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）A ．{AB →，12AC →，AS →}B ．{AB →，AC →，AS →} C ．{AB →，12AC →，12AS →}D ．{AS →，AB →，√55BC →}解：由于SA ⊥平面ABC ， 所以：SA ⊥AB ，SA ⊥AC ， 由于AB ⊥AC ，AB ＝1，BC =√5， 所以AC ＝2．所以空间的一个单位正交基底可以为{AB →，12AC →，AS →}．故选：A ．4．椭圆x 216+y 24=1和x 236+y 224=1（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．顶点相同解：椭圆x 216+y 24=1中a 2＝16，b 2＝4，故c 2＝16﹣4＝12，x 236+y 224=1中a 2＝36，b 2＝24，故c 2＝36﹣24＝12，故两个椭圆的a ，b 都不相等，而c 相等，故焦距相等． 故选：C ．5．已知圆M ：x 2+y 2﹣2ay ＝0（a ＞0）截直线x +y ＝0所得线段的长度是2√2，则圆M 与圆N ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解：圆的标准方程为M ：x 2+（y ﹣a ）2＝a 2（a ＞0）， 则圆心为（0，a ），半径R ＝a ， 圆心到直线x +y ＝0的距离d =a2， ∵圆M ：x 2+y 2﹣2ay ＝0（a ＞0）截直线x +y ＝0所得线段的长度是2√2， ∴2√R 2−d 2=2√a 2−a 22=2√a22=2√2，即√a 22=√2，即a 2＝4，a ＝2，则圆心为M （0，2），半径R ＝2，圆N ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1的圆心为N （1，1），半径r ＝1，则MN =√12+12=√2， ∵R +r ＝3，R ﹣r ＝1，∴R ﹣r ＜MN ＜R +r ，即两个圆相交． 故选：B ．6．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．如图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面QGC 的距离是（ ）A ．14B ．12C ．√22D ．√32解：建立空间直角坐标系如图，则A （1，1，0），C （0，2，0），G （0，0，2），Q （1，0，2）， GQ →=(1，0，0)，GC →=(0，2，−2)，CA →=(1，−1，0)， 设平面QGC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅GQ →=x =0n →⋅GC →=2y −2z =0，取z ＝1，得n →=(0，1，1)， ∴点A 到平面QGC 的距离是|n →⋅CA →||n →|=√2=√22． 故选：C ．7．已知圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝64，F （﹣2，0）为圆内一点，将圆折起使得圆周过点F （如图），然后将纸片展开，得到一条折痕l ，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（ ）A ．x 216+y 212=1B ．x 24+y 2=1C ．x 24+y 23=1D ．x 216+y 24=1解：F （﹣2，0），C （2，0），点F 关于折痕l 的对称点A 在圆周上，折痕l 为线段AF 的垂直平分线，折痕l 与AC 相交于点P ，如图所示：则有|P A |＝|PF |，可知|PF |+|PC |＝|P A |+|PC |＝|AC |＝8＞|FC |＝4，所以点P 的轨迹是以F ，C 为左、右焦点的椭圆，其中长轴2a ＝8，焦距2c ＝4， 所以点P 的轨迹方程为x 216+y 212=1，即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为x 216+y 212=1．故选：A ．8．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 中点，点P 在线段A 1C 1上，若直线OP 与平面A 1BC 1所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）A ．[√23，√33] B ．[13，12]C ．[√34，√33] D ．[14，13]解：设正方体棱长为1，A 1P A 1C 1=λ（0≤λ≤1）．以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为坐标轴建立空间直角坐标系， 则O （12，12，0），P （1﹣λ，λ，1），∴OP →=（12−λ，λ−12，1），∵易证DB 1⊥平面A 1BC 1，∴DB 1→=（1，1，1）是平面A 1BC 1的一个法向量． ∴sin θ＝|cos ＜OP →，DB 1→＞|=1√3√2(λ−12)2+1，当λ=12时sin θ取得最大值√33，当λ＝0或1时，sin θ取得最小值√23． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得О分.9．若直线过点A（1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为（）A．x﹣y+1＝0B．x+y﹣3＝0C．2x﹣y＝0D．x﹣y﹣1＝0解：当直线经过原点时，斜率为k=2−01−0=2，所求的直线方程为y＝2x，即2x﹣y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A（1，2）代入可得1﹣2＝k，或1+2＝k，求得k＝﹣1，或k＝3，故所求的直线方程为x﹣y+1＝0，或x+y﹣3＝0；综上知，所求的直线方程为2x﹣y＝0、x﹣y+1＝0，或x+y﹣3＝0．故选：ABC．10．已知点P在圆C：x2+y2﹣4x＝0上，直线AB：y＝x+2，则（）A．直线AB与圆C相交B．直线AB与圆C相离C．点P到直线AB距离最大值为2√2+2D．点P到直线AB距离最小值为2√2−1解：圆C：x2+y2﹣4x＝0，即（x﹣2）2+y2＝4，圆心为C（2，0），半径r＝2，则圆心C到直线AB的距离d=|2+2−0|√1+(−1)2=2√2＞r，所以直线AB与圆C相离，又点P在圆C上，所以点P到直线AB距离最大值为2√2+2，点P到直线AB距离最小值为2√2−2，故正确的有B、C．故选：BC．11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，已知平面α⊥AC1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是（）A．截面形状可能为正三角形B．截面形状可能为正方形C．截面形状可能为正六边形D．截面面积最大值为√3解：如图所示，当截面为B 1CD 1时，截面为正三角形，选项A 正确；当截面过棱A 1B 1，B 1B ，BC ，CD ，DD 1，D 1A 1的中点时，截面为正六边形，选项C 正确； 当截面为正六边形时，面积最大，因为MN =√2，GH =√22，OE =√(12)2+(√24)2=√64， 所以S ＝2×12×（√22+√2）×√64=3√34，选项D 错误； 与AC 1垂直的截面不可能是正方形，选项B 错误． 故选：AC ．12．已知椭圆C ：x 225+y 29=1，F 1，F 2分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A ．存在P 使得∠F 1PF 2=π2B ．cos ∠F 1PF 2的最小值为−18C ．直线P A 与直线PB 斜率乘积为定值925D ．PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为9解：由椭圆的方程可得a ＝5，b ＝3，所以c ＝4，由题意可得A （﹣5，0），B （5，0），F 1（﹣4，0），F 2（4，0），设上顶点为D （0，3），A 中，DF 1→•DF 2→=（﹣4，﹣3）•（4，﹣3）＝﹣16+9＝﹣7＜0，所以∠F 1PF 2的最大角为钝角， 所以存在P 使得∠F 1PF 2为直角，所以A 正确；B 中，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由椭圆的定义可得m +n ＝2a ＝10，cos ∠F 1PF 2=m 2+n 2−(2c)22mn =(m+n)2−2mn−642mn =36−2mn 2mn =18mn−1， 因为mn ≤（m+n 2）2＝25，当且仅当m ＝n 时取等号，所以cos ∠F 1PF 2≥1825−1=−725，即cos ∠F 1PF 2的最小值为−725，所以B 不正确； C 中，设P （x 0，y 0），则x 0225+y 029=1，所以y 02=9（1−x 0225），可得k P A •k PB =y 0x 0+5•y 0x 0−5=y 02x 02−25=9(1−x 0225)x 02−25=−925，所以C 不正确；D 中，PF 1⊥PF 2，由B 选项及由勾股定理可得：m 2+n 2＝（2c ）2＝64，即（m +n ）2﹣2mn ＝64， 即2mn ＝100﹣64＝36，所以mn ＝18，所以S △F 1PF 2=12mn ＝9，所以D 正确． 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．与圆x 2+y 2﹣2x +4y +3＝0同圆心，且过点（1，1）的圆的方程是： （x ﹣1）2+（y +2）2＝9 ． 解：圆x 2+y 2﹣2x +4y +3＝0的标准方程为（x ﹣1）2+（y +2）2＝2， 则圆心C （1，﹣2）， ∵圆过点A （1，1）， ∴半径R ＝|AC |＝3，则圆的标准方程为（x ﹣1）2+（y +2）2＝9． 故答案为：（x ﹣1）2+（y +2）2＝9．14．如图，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，E ，F 分别为PD ，PB 的中点，点G 在线段AP 上，AC 与BD 交于点O ，P A ＝AB ＝2，若OG ∥平面EFC ，则AG ＝23．解：由题意建立如图所示的空间直角坐标系， A （0，0，0），因为P A ＝AB ＝2，C （2，2，0），B （2，0，0），D （0，2，0），P （0，0，2），O （1，1，0），因为E ，F 分别是PD ，PB 中点，设G （0，0，b ），设平面EFC 的法向量为n →=（x ，y ，z ）， 因为OG ∥平面EFC ，所以OG →•n →=0，OG →=（﹣1，﹣1，b ）， 所以E （0，1，1），F （1，0，1），则EF →=（1，﹣1，0）， CE →=（﹣2，﹣1，1），则{n →⋅EF →=0n →⋅CE →=0，即{x −y =0−2x −y +z =0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝3，所以n →=（1，1，3）， 所以OG →•n →=−1﹣1+3b ＝0，解得b =23， 所以AG ＝b =23． 故答案为：23．15．点P （﹣2，﹣1）到直线l ：（2+λ）x +λy ﹣2﹣λ＝0（λ为任意实数）的距离的最大值是 √10 ． 解：直线l ：（2+λ）x +λy ﹣2﹣λ＝0（λ为任意实数）， 整理得：λ（x +y ﹣1）+（2x ﹣2）＝0， 故{x +y −1=02x −2=0，解得{x =1y =0，故直线l 恒过点Q （1，0），故点P （﹣2，﹣1）到直线l 的最大距离d =√(−2−1)2+(−1−0)2=√10． 故答案为：√10．16．2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度|AB |＝100米，拱高|OP |＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是 6.48 米．（注意：√10≈3.162)解：以O 为原点，以AB 所在直线为x 轴，以OP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系， 设圆心坐标（0，a ），P （0，10），A （﹣50，0）， 则圆拱所在圆的方程为x 2+（y ﹣a ）2＝r 2，所以{(10−a)2=r 2(−50)2+a 2=r 2，解得a ＝﹣120，r 2＝16900， 所以圆的方程为x 2+（y +120）2＝16900．将x ＝﹣30代入圆方程，得：900+（y +120）2＝16900， 因为y ＞0，所以y ＝40√10−120≈40×3.162﹣120＝6.48， 所以MN 的高度是6.48米． 故答案为：6.48．四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其它每题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或 17．（10分）已知直线l ：mx ﹣y +1﹣m ＝0和圆C ：x 2+（y ﹣1）＝5． （1）求证：对任意实数m ，直线l 和圆C 总有两个不同的交点； （2）设直线l 和圆C 交于A ，B 两点．若|AB|=√17，求l 的倾斜角．（1）证明：由直线l ：mx ﹣y +1﹣m ＝0，得m （x ﹣1）﹣y +1＝0，由{x −1=0−y +1=0，得{x =1y =1，∴直线l ：mx ﹣y +1﹣m ＝0过定点p （1，1），代入圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝5，得12+（1﹣1）2＝1＜5，∴点p （1，1）在圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝5内部， ∴对任意的m ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点．（2）解：直线l 的斜率存在，由|AB|=√17，圆的半径为√5，得圆心到直线l ：mx ﹣y +1﹣m ＝0的距离为√5−174=√32． 则√m 2+1=√32，解得：m =±√3．∴直线l 为y =√3x +1−√3或y =−√3x +1−√3．直线l 的倾斜角为60°或120°．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝2，P A ＝BC ＝1． （1）求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值；（2）求平面P AB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值．解：（1）∵P A ⊥面ABCD ，∴P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，又∠BAD ＝90°， ∴AB ⊥AD ，∵为PB 与底面所成的角为45°， ∴∠PBA ＝45°，故AB ＝P A ＝1，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O ﹣xyz ， 则B （1，0，0），D （0，2，0），P （0，0，1），C （1，1，0）， 则PC →=（1，1，﹣1），PB →=（1，0，﹣1），PD →=（0，2，﹣1）， 设平面PBD 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅PB →=0m →⋅PD →=0，即{x −z =02y −z =0，取z ＝2，则x ＝2，y ＝1，此时m →=（2，1，2）， 设直线PC 与平面PBD 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos ＜m →，PC →＞|＝|m →⋅PC→|PC →||m →|||√3×3|√39． 所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为√39． （2）平面P AB 的一个法向量j →=（0，1，0） 设平面PCD 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ）， 则{n →⋅PC →=0n →⋅PD →=0，即{x +y −z =02y −z =0， 取y ＝l ，则z ＝2，x ＝l ，此时n →=（1，1，2）， cos ＜n →，j →＞=n →⋅j→|n →||j →|=6×1=√66， 所以平面P AB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为√66．19．（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y +9＝0． （1）过点P （3，5）作圆C 的切线l ，求l 的方程；（2）若圆C 2：x 2+y 2+2x ﹣4y ﹣4＝0与圆C 相交于A 、B 两点，求|AB |．解：（1）圆C 1方程可化为（x ﹣2）2+（y ﹣3）＝4，则圆心C 1（2，3），半径为2， 由 （3﹣2）2+（5﹣3）2＞4，可知点P 在圆外， 设l 的方程为y ﹣5＝k （x ﹣3），即kx ﹣y +5﹣3k ＝0， 则圆心C 1到直线l 的距离为√1+k 2=2，解得k ＝0或k =−43，∴l 的方程为4x +3y ﹣27＝0或y ＝5．（2）把两圆的方程相减可得直线AB 的方程为6x +2y ﹣13＝0， 则圆心C 到直线AB 的距离d =|6×2+2×3−13|√36+4=√104＜2，直线与圆相交，所以|AB |＝2√4−1016=3√62． 20．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，上顶点为A （0，1）．（1）求E 的方程；（2）过点P(0，√3)斜率为k 的直线l 与椭圆E 交于不同的两M 、N ，且MN =8√27，求k 的值． 解：（1）由离心率e =c a =√22，则a =√2c ， 又上顶点A （0，1），知b ＝1，又b 2＝a 2﹣c 2＝1，可知c ＝1，a =√2， ∴椭圆E 的方程为x 22+y 2=1；（2）设直线l ：y =kx +√3，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则{y =kx +√3x 22+y 2=1，整理得：(1+2k 2)x 2+4√3kx +4=0，Δ=(4√3k)2−4×4×(1+2k 2)＞0，即k 2＞1， ∴x 1+x 2=−4√3k 1+2k2，x 1x 2=41+2k2，∴|MN|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√(1+k 2)(k 2−1)1+2k2=8√27， 即17k 4﹣32k 2﹣57＝0，解得：k 2＝3或−1917（舍去）， ∴k =±√3．21．（12分）如图，四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，AB ＝2A 1B 1＝4，E 、F 分别为DC 、BC 的中点，上下底面中心的连线O 1O 垂直于上下底面，且O 1O 与侧棱所在直线所成的角为45°． （1）求证：BD 1∥平面C 1EF ；（2）线段BF 上是否存在点M ，使得直线A 1M 与平面C 1EF 所成的角的正弦值为3√2222，若存在，求出线段BM 的长；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：因为OO 1⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，DA ，OF →，OO 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．因为侧棱所在直线与上下底面中心的连线OO 1所成的角为45°，则B （2，2，0），D 1(−1，−1，√2)，C 1(−1，1，√2)，F （0，2，0），E （﹣2，0，0），A 1(1，−1，√2)，所以BD 1→=(−3，−3，√2)，CE 1→=(−1，−1，√2)，EF →=(2，2，0)， 设平面C 1EF 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅EF →=x +y =0n →⋅C 1E →=x +y +√2z =0，令x ＝1，则n →=（1，﹣1，0）， 因为BD 1→=（﹣3，﹣3，√2），所以n →•BD 1→=0，所以n →⊥BD 1→， 又因为BD 1⊂平面C 1EF ，所以BD 1∥平面 C 1EF ；（2）假设边BC 上存在点M （x ，2，0）满足条件，x ∈[﹣2，2]， 则A 1M →=（x ﹣1，3，−√2），设直线A 1M 与平面C 1EFF 所成角为θ，由题意可得sin θ＝|cos ＜A 1M →，n →＞|=|A 1M →⋅n →||A 1M →|⋅|n →|=|x−4|√2⋅√x 2−2x+12=3√2222， 化简得x 2﹣35x +34＝0，则x ＝1或x ＝34（舍去），即存在点M 符合题意，此时BM ＝1． 22．（12分）已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(−√2，0)和F 2(√2，0)，Γ的下顶点为A ，直线l ：x +y −4√2=0，点M 在l 上． （1）若a ＝2，线段AM 的中点在x 轴上，求M 的坐标；（2）椭圆Γ上存在一个点P （a cos θ，b sin θ）（θ∈[0，2π]），P 到l 的距离为d ，使|PF 1|+|PF 2|+d ＝6，当a 变化时，求d 的最小值．解：（1）由题意可得a =2，b =c =√2，所以Γ：x 24+y 22=1，A(0，−√2)，因为AM 的中点在x 轴上， 所以点M 的纵坐标为√2， 将y =√2代入x +y −4√2=0中， 解得x ＝3√2， 则M(3√2，√2)； （2）易知d =|acosθ+bsinθ−42|2=6−2a ，因为椭圆在直线的左下方， 所以acosθ+bsinθ−422=6−2a ，即4√2−√a 2+b 2sin(θ+φ)=6√2−2√2a ， 又a 2＝b 2+2，可得√2a 2−2sin(θ+φ)=2√2a −2√2， 此时√a 2−1sin(θ+φ)=2a −2，|sin(θ+φ)|=√a 2−1≤1，整理得（a ﹣1）（3a ﹣5）≤0， 即1≤a ≤53，所以d =6−2a ≥6−2×53=83． 故d 的最小值为83．。
山东省聊城市高二上学期)期中数学试卷
山东省聊城市高二上学期）期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·大连模拟) 在空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是（1，0，2），（1，2，0），（1，2，1），（0，2，2），若正视图以yOz平面为投射面，则该四面体左（侧）视图面积为（）A .B . 1C . 2D . 42. （2分）下列说法中正确的个数为（）①如果两个正整数互质,那么它们的最大公约数是1,最小公倍数是这两个数的乘积;②如果两个正整数中,较大数是较小数的倍数,那么较小数就是这两个数的最大公约数,较大数就是这两个数的最小公倍数;③两个正整数分别除以它们的最大公约数,所得的商互质;④两个正整数的最大公约数与它们的最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积.A . 1B . 2C . 3D . 43. （2分）某学校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，已知女学生一共抽取了80人，则n的值是（）A . 193B . 192C . 191D . 1904. （2分）(2017·汕头模拟) 某厂家为了解销售轿车台数与广告宣传费之间的关系，得到如表统计数据表：根据数据表可得回归直线方程，其中，，据此模型预测广告费用为9万元时，销售轿车台数为（）广告费用x（万元）23456销售轿车y（台数）3461012A . 17B . 18C . 19D . 205. （2分） (2016高二上·惠城期中) 如某校高中三年级的300名学生已经编号为0，1，…，299，为了了解学生的学习情况，要抽取一个样本数为60的样本，用系统抽样的方法进行抽取，若第59段所抽到的编号为293，则第1段抽到的编号为（）A . 2B . 3C . 4D . 56. （2分） (2016高一下·江门期中) 已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（）A . 求数列的前10项和B . 求数列的前10项和C . 求数列的前11项和D . 求数列的前11项和7. （2分）方程组的解集是（）A . (5,4)B . (5,-4)C . {(-5,4)}D . {(5,-4)}8. （2分）若动点A，B分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（）A . 3B . 2C . 3D . 49. （2分）已知三棱锥P﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，PC为球O的直径，且PC⊥OA，PC⊥OB，△AOB 为等边三角形，三棱锥P﹣ABC的体积为，则球O的表面积为（）A . 4πB . 8πC . 12πD . 16π10. （2分）(2017·天心模拟) 若圆x2+y2﹣2x﹣4y+1=0关于直线l对称，则l被圆心在原点半径为3的圆截得的最短的弦长为（）A . 2B . 3C . 4D . 511. （2分）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（）A .B . -C .D . -12. （2分）已知圆心在x轴上，半径是5且以A(5，4)为中点的弦长是，则这个圆的方程是（）A .B . 或C .D . 或二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·重庆期中) 若直线ax+2y+1=0与直线x+y﹣2=0互相垂直，则a=________．14. （1分） (2017高一下·扬州期末) 设变量x，y满足约束条件则目标函数z=﹣2x+y的最小值为________．15. （1分）正方体的8个顶点两两连线所在的直线中，共构成异面直线对为________对．（用数字作答）16. （1分）若点A（ab，a+b）在第一象限内，则直线bx+ay﹣ab=0不经过第________象限．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）已知三角形的三个顶点A（﹣5，0），B（3，﹣3），C（0，2），（1）、求BC边上中线所在直线的方程；（2）、已知B、C到直线ax+y+1=0的距离相等，求a的值．18. （5分）分别抽取甲、乙两名同学本学期同科目各类考试的6张试卷，并将两人考试中失分情况记录如下：甲：18、19、21、22、5、11乙：9、7、23、25、19、13（1）用茎叶图表示甲乙两人考试失分数据；（2）从失分数据可认否判断甲乙两人谁的考试表现更好？请说明理由．19. （5分） (2016高二上·台州期中) 已知圆M的圆心在直线x﹣2y+4=0上，且与x轴交于两点A（﹣5，0），B（1，0）．（Ⅰ）求圆M的方程；（Ⅱ）求过点C（1，2）的圆M的切线方程；（Ⅲ）已知D（﹣3，4），点P在圆M上运动，求以AD，AP为一组邻边的平行四边形的另一个顶点Q轨迹方程．20. （15分）已知四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，其三视图如下，若M是PD的中点．（1）求证：PB∥平面MAC；（2）求证：CD⊥平面PAD；（3）求直线CM与平面PAD所成角的正弦值．21. （15分） (2016高一下·龙岩期中) 为了培养学生的安全意识，某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动，共有800 名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100 分）进行统计，得到如下的频率分布表，请你根据频率分布表解答下列问题：序号（i）分组（分数）组中值（Gi）频数（人数）频率（Fi）1[60，70）65①0.10 2[70，80）7520②3[80，90）85③0.204[90，100）95④⑤合计501（1）求出频率分布表中①、②、③、④、⑤的值；（2）为鼓励更多的学生了解“安全自救”知识，成绩不低于85分的学生能获奖，请估计在参加的800名学生中大约有多少名学生获奖？（3）在上述统计数据的分析中，有一项指标计算的程序框图如图所示，则该程序的功能是什么？求输出的S 的值．22. （10分） (2016高一下·揭西开学考) 已知动圆P：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）被y轴所截的弦长为2，被x轴分成两段弧，且弧长之比等于（其中P（a，b）为圆心，O为坐标原点）．（1）求a，b所满足的关系式；（2）点P在直线x﹣2y=0上的投影为A，求事件“在圆P内随机地投入一点，使这一点恰好在△POA内”的概率的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、。
2021-2022学年山东省聊城市聊城高二年级上册学期期中数学试题【含答案】
2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知点(,2),(3,1)A a B b +，且直线AB 的倾斜角为90︒，则（ ） A ．3,1a b == B ．2,2a b == C ．2,3a b == D ．3,R a b =∈且1b ≠【答案】D【分析】根据直线AB 的倾斜角求得正确答案.【详解】由于直线AB 的倾斜角为90︒，所以直线AB 的方程为3x =， 故3a =，由于,A B 是两个不同的点，所以12,1b b +≠≠， 综上所述，3,R a b =∈且1b ≠. 故选：D2．已知平面α内有一点()1,1,2M -，平面α的一个法向量为()6,3,6n =-，则下列点P 中，在平面α内的是（ ） A ．()2,3,3P B ．()2,0,1P - C ．()4,4,0P - D ．()3,3,4P -【答案】A【解析】可设出平面内α内一点坐标(),,P x y z ，求出与平面α平行的向量()1,1,2MP x y z =-+-，利用数量积为0可得到x ，y ，z 的关系式，代入各选项的数据可得结果． 【详解】解：设平面α内一点(),,P x y z ，则：()1,1,2MP x y z =-+-，()6,3,6n =-是平面α的法向量，∴n MP ⊥，6(1)3(1)6(2)63621n MP x y z x y z ⋅=--++-=-+-， ∴由0n MP ⋅=得636210x y z -+-=227x y z ∴-+=把各选项的坐标数据代入上式验证可知A 适合． 故选：A ．【点睛】本题考查空间向量点的坐标的概念，法向量的概念，向量数量积的概念．3．点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是 A ．22(2)(1)1x y -++= B ．22(2)(1)4x y -++= C ．22(4)(2)4x y ++-= D ．22(2)(1)1x y ++-= 【答案】A【详解】试题分析：设圆上任一点为()00,Q x y ，PQ 中点为(),M x y ，根据中点坐标公式得，0024{22x x y y =-=+，因为()00,Q x y 在圆224x y +=上，所以22004x y +=，即()()2224224x y -++=，化为22(2)(1)1x y -++=，故选A.【解析】1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()00x g x y h x =⎧⎪⎨=⎪⎩代入()00,0=f x y .本题就是利用方法④求M 的轨迹方程的.4．设直线l 经过点(2,1)A ，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 的方程不可能是（ ） A ．20x y -= B ．30x y +-= C ．10x y --= D ．20x y +=【答案】D【分析】根据直线l 是否经过原点进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】直线l 过点()2,1A ， 若直线l 过原点，则直线l 的方程为12y x =，即20x y -=. 若直线l 不过原点，则直线l 的方程可设为1x ya b+=，其中a b =，即a b =或a b =-，将()2,1A 代入1x ya b +=得211a b+=①，当a b =时，①可化为31,3b b ==，则直线l 的方程为1,3033x yx y +=+-=.当a b =-时，①可化2111,1,1b a b b b+=-==-=-， 则直线l 的方程为111x y+=-，即10x y --=. 所以直线l 的方程是20x y -=或30x y +-=或10x y --=， 不可能是20x y +=. 故选：D5．已知圆O 1的方程为x 2＋y 2＝1，圆O 2的方程为（x ＋a ）2＋y 2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a 的所有取值构成的集合是（ ） A ．{1，－1，3，－3} B ．{5，－5，3，－3} C ．{1，－1} D ．{3，－3}【答案】A【解析】两个圆有且只有一个公共点，两个圆内切或外切，分别求出a ，即可得出结论. 【详解】由题意得两圆的圆心距d ＝|a |＝2＋1＝3或d ＝|a |＝2－1＝1， 解得a ＝3或a ＝－3或a ＝1或a ＝－1，所以a 的所有取值构成的集合是{1，－1，3，－3}. 故选：A.【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，是基础题. 6．已知双曲线C 的方程为221169x y -=-，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线C 的实轴长为8B ．双曲线C 的渐近线方程为34yx C ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3 D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为94【答案】B【分析】根据双曲线的性质直接求解即可.【详解】由题得双曲线方程为221916y x -=，所以3,4,5a b c ===，所以实轴长为6，故A 错误； 双曲线的渐近线方程为34a y x xb =±=±，故B 正确；双曲线的焦点(0,)c到一条渐近线ay xb=即0ax by-=的距离为4bcd bc====，由于对称性，双曲线的上下焦点到两条渐近线的距离都相等，故C错误；双曲线上的点到焦点的距离的最小值为2c a-=，故D错误.故选:B.7．已知向量(1,22)(2,11)a b==-,,,，则向量b在向量a上的投影向量为（）A．244,,999⎛⎫---⎪⎝⎭B．244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C．211,,333⎛⎫-⎪⎝⎭D．211,,333⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】B【分析】首先求出向量b在向量a上的投影，从而求出投影向量，【详解】解：因为(1,22)(2,11)a b==-,,,，所以2121212a b=-⨯+⨯+⨯=，所以向量b在向量a上的投影为22232a ba==+设向量b在向量a上的投影向量为m，则()0m aλλ=>且23m=，所以(),2,2mλλλ=，所以22222443λλλ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得29λ=所以244,,999m⎛⎫= ⎪⎝⎭故选：B【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.8．已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线:340l x y-=交椭圆E于A，B两点.若||||4AF BF+=，点M到直线l的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．⎤⎥⎣⎦B．30,4⎛⎤⎥⎝⎦C．⎛⎝⎦D．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】根据椭圆的定义结合几何关系求出2a=，并利用点到直线的距离关系求得1b≥，进而可求离心率的取值范围.【详解】如图，设F '为椭圆的左焦点，连接,AF BF '', 由对称性可得O 为AB 中点，且O 为F F '中点， 则四边形AFBF '为平行四边形，所以4||||||||2AF BF AF AF a '=+=+=，所以2a =， 取(0,)M b ，因为点M 到直线l 的距离不小于45，2244534b ≥+，解得1b ≥， 所以222222213114c c a b b e a a a a -==--= 又因为0=>ce a， 所以椭圆E 的离心率的取值范围是3⎛ ⎝⎦. 故选：C.二、多选题9．关于空间向量，以下说法正确的是( )A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．设{a ，b ，}c 是空间中的一组基底，则{a b +，b c +，}c a +也是空间的一组基底D ．若0a b ⋅<，则a <，b >是钝角 【答案】ABC【分析】根据共线向量的概念，可判定A 是正确的；根据空间向量的基本定理，可判定B 是正确的；根据空间基底的概念，可判定C 正确；根据向量的夹角和数量积的意义，可判定D 不正确. 【详解】对于A 中，根据共线、共面向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，根据空间向量的共面定理的推论，可得P ，A ，B ，C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{},,a b c 是空间中的一组基底，则向量,,a b c 不共面，可得向量,,a b b c c a +++也不共面，所以{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底，所以是正确的；对于D 中，若0a b ⋅<，又由[],0,a b π〈〉∈，所以,(,]2a b ππ〈〉∈，所以不正确，故选∶ ABC.10．已知直线12:10,:10,ax y l x a a l y -+=++=∈R ，以下结论正确的是（ ） A ．不论a 为何值，1l 与2l 都不可能互相垂直B ．当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点(0,1)A 和(1,0)B -C ．不论a 为何值，1l 与2l 都关于直线0x y +=对称D ．如果1l 与2l 交于点M ，则||MO 【答案】BD【分析】根据两直线的位置关系、直线的定点、对称、直线的交点、基本不等式等知识确定正确答案.【详解】A 选项，当0a =时，直线1:1l y =，直线2:1l x =-，12l l ⊥，所以A 选项错误. B 选项，11:l y ax =+，所以直线1l 过定点()0,1A ；2l ，当0y =时，=1x -，所以直线l 过定点()1,0B -，所以B 选项正确. C 选项，当1a =时，12:1,:1l y x l y x =+=--，画出图象如下图所示，由图可知12,l l 不关于直线0x y +=对称，所以C 选项错误.D 选项，由于12:10,:10,ax y l x a a l y -+=++=∈R 满足()110a a ⨯+-⨯=， 所以12l l ⊥，若1l 与2l 交于点M ，则M 点的轨迹是以AB 为直径的圆， AB 的中点坐标为11,22D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2AB =，所以以AB 为直径的圆的标准方程为22111222x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于2211100222⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以O 在圆上，则MO 的最大值是直径，即最大值是2，所以D 选项正确. 故选：BD11．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F 且22EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．AC BE ⊥B ．//EF 平面ABCDC ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值 【答案】ABC【分析】通过线面的垂直关系可判A 项真假；根据线面平行可判B 项真假；根据三棱锥的体积计算的公式可判C 项真假；根据列举特殊情况可判D 项真假. 【详解】因为AC BD ⊥，1AC DD ⊥，1DD BD D =，BD ⊂平面11BDD B ，1DD ⊂平面11BDD B ，所以AC ⊥平面11BDD B ，又因为BE ⊂平面11BDD B ，所以AC BE ⊥，故A 项正确；易知11//D B DB ，所以//EF DB ，且EF ⊂/平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ， 所以//EF 平面ABCD ，故B 项正确； 如图1，连结BD 交AC 于G 点.图1因为1BB ⊥平面1111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，所以111BB B D ⊥， 所以11224BEFSEF BB =⨯⨯=. 因为，AC BD ⊥，1AC BB ⊥，BD ⊂平面11BDD B ，1BB ⊂平面11BDD B ，1BD BB B ⋂=，所以AC ⊥平面11BDD B .所以A 到平面11BDD B 的距离为1222h AC ==， 所以11312A BEF BEF V Sh -=⋅⋅=为定值，故C 项正确； D ．当1111AC B D E =，AC BD G ⋂=，取F 为1B ，如下图2所示：图2因为//BF EG ，所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，EG AG ⊥，且222tan 12AG AEG GE ∠===； 当1111AC B D F =，AC BD G ⋂=，取E 为1D ，如下图3所示：图3易知1//D F GB ，1D F GB =，所以四边形1D GBF 是平行四边形，所以1//BF D G . 因为11D C D A =，G 是AC 的中点，所以1D G AC ⊥. 又12D A =2AG =22111622EG D G D A AG ==-=-所以异面直线,AE BF 所成角为AEG ∠，且232tan 6AG AEG GE ∠=== 由此可知：异面直线,AE BF 所成角不是定值，故错误. 故选：ABC.12．设椭圆C ：22143x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆C 上一动点，则下列说法中正确的是（ ）A ．当点P 不在x 轴上时，12PF F △的周长是6B ．当点P 不在x 轴上时，12PF F △3C ．存在点P ，使12PF PF ⊥D ．1PF 的取值范围是[]1,3 【答案】ABD【解析】根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A ；当点P 位于上下顶点时，12PF F △面积的最大即可判断选项B ；当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时，12F PF ∠为最大与90比较即可判断选项C ；当点P 为椭圆C 的左右顶点时取得最值，即可判断选项D.【详解】由椭圆方程可知2a =，b =1c =．对于选项A:根据椭圆定义，1224PF PF a +==，又1222F F c ==，所以12PF F △的周长是226a c += ，故选项A 正确；对于选项B ：设点()()1000,P x y y ≠，因为122F F =，则12020112PF F S F F y y ⋅==△．因为00y b <≤12PF F △B 正确；对于选项C ：由椭圆性质可知，当点P 为椭圆C 短轴的一个端点时，12F PF ∠为最大． 此时，122PF PF a ===，又122F F =，则12PF F △为正三角形，1260F PF =︒△， 所以不存在点P ，使12PF PF ⊥，故选项C 错误；由图可知，当点P 为椭圆C 的右顶点时，1PF 取最大值，此时13PF a c =+=；对于选项D ：当点P 为椭圆C 的左顶点时，1PF 取最小值，此时11PF a c =-=，所以[]11,3PF ∈，故选项D 正确． 故选：ABD【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论以椭圆22221x y a b+=()0a b >>上一点()00,P x y ()00y ≠和焦点()()12,0,,0F c F c -为顶点的12PF F △中，若12F PF θ∠=，则（1）焦点三角形的周长为22a c +；（2）当点P 为椭圆短轴的一个端点时，12F PF θ∠=为最大； （3）12121sin 2PF F S PF PF θ=⨯⨯，当0y b =时，即点P 为椭圆短轴的一个端点时12PF F S 取最大值，为bc ；（4）122tan2PF F Sb θ=.三、填空题13．若直线1:630l x my ++=与直线2:31l y x =-平行，则直线1l 与2l 之间的距离为______.【分析】先求得m 的值，然后根据两条平行直线间的距离公式求得正确答案.【详解】由于12//l l ，所以063m m≠⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得2m =-， 所以直线1l 的方程为6230x y -+=，直线2l 的方程为310x y --=，即6220x y --=，所以 直线1l 与2l==. 14．已知,,i j k 是不共面向量，,42,72a i j k b i j k c i j k λ=-+=-+-=++，若,,a b c 三个向量共面，则实数λ=______.【答案】4【分析】根据向量共面列方程，化简求得λ的值. 【详解】以{},,i j k 为空间一组基底，由于,,a b c 三个向量共面，所以存在,R x y ∈，使得a xb yc =+，即()()4272i j k x i j k y i j k λ-+=-+-+++，整理得()()()7422i j k x y i x y j x y k λ-+=-++++-+， 所以7142121x y x y x y λ-+=⎧⎪+=-⎨⎪-+=⎩，解得31,,41010x y λ=-==. 故答案为：415．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(5,0)F，两条渐近线互相垂直，则=a ______. 【答案】2【分析】根据双曲线的渐近线相互垂直求得,a b 的关系式，结合5c =求得a . 【详解】依题意5c =，由于双曲线两条渐近线互相垂直，所以22221,,b b b a b a b a a a⎛⎫⨯-=-=-== ⎪⎝⎭， 由于222+=a b c ，所以2225,2a a ==故答案为：52216．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，若E 为AB 的中点，则点E 到面1ACD 的距离是______.【答案】13【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点E 到面1ACD 的距离.【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：()1,1,0E ，()1,0,0A ，()0,2,0C ，()10,0,1D ，()1,2,0AC =-，()11,0,1AD =-，()0,1,0AE =， 设平面1ACD 的法向量(),,n x y z =，则1200n AC x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =，得()2,1,2n =， ∴点E 到面1ACD 的距离为13AE n d n ⋅==. 故答案为：13. 【点睛】本题考查点到平面距离的向量求法，属于基础题.四、解答题17．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60︒.(1)求证：1AC DB ⊥；(2)求异面直线1BD 与AC 所成角的余弦值.【答案】(1)证明见解析 6【分析】（1）根据平面向量转化基底，以及加减运算和数量积的运算性质，得到10AC DB ⋅=，即可证得1AC DB ⊥；（2）根据平面向量转化基底，求出1BD 、AC 、1AC BD ⋅，再利用夹角公式即可求解.【详解】（1）证明：∵以顶点A 为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60︒， ∴11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=， ∴()()1111111()()AC DB AA A B B C AB AD AA AB AD AB AD ⋅=++⋅-=++⋅-22110AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅-=， ∴1AC DB ⊥.（2）∵111BD AD DD AB AD AA AB ==+-+-，AC AB BC AB AD =+=+， ∴()211BD AD AA AB =+- 222111222AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+++-⋅⋅⋅-1111112=+++--= 222|)2|(1113AC AB AD AB AD AB AD =+==+⋅+++= ()11()BD AC AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+12211111122AD AB AA AB AA AD =+⋅-++⋅=-+=，∴111cos ,2BD ACBD AC BD AC⋅===⋅ ∴异面直线1BD 与AC 18．已知ABC 的顶点()2,8C -，直线AB 的方程为211y x =-+，AC 边上的高BH 所在直线的方程为320x y ++=.(1)求顶点A 和B 的坐标；(2)求ABC 外接圆的一般方程.【答案】(1)()5,1A ，()7,3B -(2)2246120x y x y +-+-=【分析】（1）联立直线BH ，AB 的方程求出点B 的坐标，由AC BH ⊥求出直线AC 的斜率及方程，AC 的方程与直线AB 方程联立求出A 的坐标；（2）设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，将A ，B ，C 三点坐标代入求出圆的一般方程求出,,D E F 的值即可求解.【详解】（1）由211320y x x y =-+⎧⎨++=⎩可得73x y =⎧⎨=-⎩，所以点B 的坐标为()7,3-， 由320x y ++=可得1233y x =--，所以13BH k =- 由AC BH ⊥，可得3AC k =，因为()2,8C -，所以直线AC 的方程为：()832y x +=-，即3140x y --=，由2113140y x x y =-+⎧⎨--=⎩可得51x y =⎧⎨=⎩，所以点A 的坐标为()5,1. （2）设ABC 的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=，将()5,1A ，()7,3B -和()2,8C -三点的坐标分别代入圆的方程可得：52607358028680D E F D E F D E F +++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩，解得：4612D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以ABC 的外接圆的一般方程为2246120x y x y +-+-=.19．已知空间中的三点()2,0,2P -，()1,1,2M -，()3,0,4N -，设M a P =，b PN =.（1）若ka b +与2ka b -互相垂直，求k 的值；（2）求点N 到直线PM 的距离.【答案】(1) 2k =或52k =- （2【解析】(1）写出两个向量的坐标，利用向量的数量积为0，求解k 即可．(2）求出直线PM 的单位方向向量为u →，然后利用空间点到直线的距离公式求解即可.【详解】因为()2,0,2P -，()1,1,2M -，()3,0,4N -，所以(1,1,0),(1,0,2),a PM b PN →→====-（1）(1,,2)ka b k k +=-，2(2,,4)ka b k k -=+-，因为()(2)kb b kb b +⊥-，所以2(1)(2)80k k k -++-=，整理得22100k k +-=，解得2k =或52k =-， 所以k 的值为2k =或52k =-. (2) 设直线PM 的单位方向向量为u →，则2(1,1,0)||2a u a === 由于(1,0,2)PN b →==-， 所以25b →=，2,2b u ⋅=-所以点N 到直线PM 的距离22()5d b b u =-⋅=- 【点睛】关键点点睛：根据空间向量的坐标表示，利用向量垂直的数量积为0，向量表示的点到直线的距离公式是解决本题的关键,考查了运算能力，属于中档题.20．已知(2,0)A ，直线4310x y ++=被圆22:(3)()13C x y m ++-=所截得的弦长为P 为圆C 上任意一点.(1)求m 的值；(2)当3m <时，求||PA 的最大值与最小值，以及过坐标原点(0,0)O 与圆C 相切的直线的方程.【答案】(1)2m =或163m = (2)||PA 的最大值与最小值分别为2913,2913+-，切线方程为320x y -=【分析】（1）根据圆C 的圆心到直线4310x y ++=的距离列方程，由此求得m 的值.（2）根据点和圆的位置关系求得||PA 的最大值与最小值；先判断出O 在圆C 上，利用斜率求得所求的切线方程.【详解】（1）∵直线4310x y ++=被圆22:(3)()13C x y m ++-=所截得的弦长为43，∴圆心()3,C m -到直线的距离22|1231|(13)(23)15m d -++==-=. 解得2m =或163m =. （2）当3m <时，2m =，圆C 的方程为22(3)(2)13x y ++-=，圆心为()3,2C -，半径为13，22||(32)(20)29AC =--+-=，||PA 的最大值与最小值分别为2913,2913+-.∵22(03)(02)13++-=∴坐标原点(0,0)O 在圆C 上，由于23OC k =-，所以切线的斜率为32. ∴所求切线的方程为32y x =，即320x y -=. 21．如图所示，在多面体111A B D DCBA -中，四边形1111,,AA B B ADD A ABCD 均是边长为1的正方形，E 为11B D 的中点，过1A ，D ，E 的平面交1CD 于F .(1)求二面角11E A D B --的余弦值；(2)试确定点F 的位置，并求直线1A F 与平面11A B CD 所成的角的正弦值.【答案】(1)63 (2)F 是1D C 的中点，36【分析】(1)利用空间向量的坐标运算求平面与平面夹角的余弦值；(2)利用线面平行的判定定理和性质定理确定点F 是1D C 的中点，并利用空间向量的坐标运算求线面角即可.【详解】（1）∵四边形1111,,AA B B ADD A ABCD 均为正方形， ∴11,,AA AB AA AD AB AD ⊥⊥⊥.以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 可得点的坐标(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)D ，(1,1,0)C ，1(0,0,1)A ，1(1,0,1)B ，1(0,1,1)D ，11,,122E ⎛⎫ ⎪⎝⎭.向量1111,,0,(0,1,1)22A E A D ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 设平面1A DE 的法向量()1111,,n r s t =，由1111,n A E n A D ⊥⊥得1111110,220,r s s t ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩ 取(1,1,1)-为其一组解，则1(1,1,1)n =-.设平面11A B CD 的法向量()2222,,n r s t =，而向量()111,0,0A B =，()10,1,1A D =-，由21121,n A n A B D ⊥⊥得22200r s t =⎧⎨-=⎩,取(0,1,1)为其一组解，则2(0,1,1)n =.所以二面角11E A D B --的余弦值为121223n n n n ⋅==⨯⋅（2）由正方形的性质可知11A B AB DC ∥∥，且11A B AB DC ==， ∴四边形11A B CD 为平行四边形，11//B C A D ，又∵1A D ⊂面1A DE ，1B C ⊄面1A DE ，∴1B C ∥面1A DE .∵1B C ⊂面11B CD ，面1A DE 面11B CD EF =，∴1EF B C ∥，∵E 点为11B D 的中点，∴F 为线段1CD 的中点.∴F 点的坐标为11,1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，111,1,22A F ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 由（1）知平面11A B CD 的法向量2(0,1,1)n =.设直线1A F 与平面11A BCD 所成的角为θ，则121sin cos ,A F n θ=== ∴直线1A F 与平面11A B CD 22．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>和圆222123:,,4C x y F F +=分别为椭圆1C 的左、右焦点，点B 在椭圆1C 上，直线1BF 与圆2C 相切.(1)求椭圆1C 的方程；(2)已知(4,0)T -，过T 的直线与椭圆交于M ，N 两点，求1△MNF 面积的最大值.【答案】(1)22143x y +=； 【分析】（1）根据椭圆的顶点坐标和相切的几何关系以及222a b c =+即可得解；（2）假设直线方程后与椭圆方程联立后结合面积差法求三角形面积即可得解.【详解】（1）由题意可知b =①设1(,0)F c -，则由1BF 与圆2C相切，得bc a =2a c =.② 将①②代入222a b c =+解得2a =.∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. （2）由题意知直线MN 的斜率存在且不为0. 设直线MN 的方程为()()11224,,,,x my M x y N x y =-，代入椭圆方程，整理得()223424360m y my +-+=，由()22(24)436340m m ∆=--⨯⨯+>，可得24m >. 由韦达定理，得1212222436,3434m y y y y m m +==++， ∴1△MNF 的面积1111212NTF MTF S S S TF y y =-=⋅-=△△=2116616164m =⨯=⨯≤=-+.16=2283m =时（此时适合24m >的条件）取得等号. 故1△MNF。
山东省聊城市高二上学期数学期中考试试卷
山东省聊城市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知直线l,m，平面，且，给出四个命题：①若∥，则；②若，则∥；③若，则l∥m；④若l∥m，则．其中真命题的个数是（）A . 4B . 3C . 2D . 12. （2分）已知直线，则直线l的倾斜角为（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高一下·黑龙江期末) 正方体中，直线与所成的角为（）A . 30oB . 45oC . 60oD . 90o4. （2分） (2017高一上·石嘴山期末) 若某多面体的三视图（单位：cm）如图所示，则此多面体的体积是（）A . cm3B . cm3C . cm3D . cm35. （2分）设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l， m（）A . 若l，则B . 若，则l mC . 若l//，则//D . 若//，则l//m6. （2分）若P(2,-1)为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A . 2x-y-5=0B . 2x+y-3=0C . x+y-1=0D . x-y-3=07. （2分）点A（2，5）到直线l：x﹣2y+3=0的距离为（）A . 2B .C .D .8. （2分）不等式x+y﹣1＞0表示的区域在直线x+y﹣1=0的（）A . 左上方B . 左下方C . 右上方D . 右下方9. （2分）如图，设F2是双曲线的左、右焦点，过F2作与渐近线平行的直线分别交y轴和双曲线右支于点P,Q，过F1作直线PQ的垂线，垂足为M，若|PM|=|MQ|=|QF2|，则双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D . 310. （2分）函数f(x)=ex+x-2的零点所在的区间为（）A . (-2，-l)B . (-1，0)C . (0，1)D . (1，2)11. （2分）在△ABC中，A=60°，B=75°，a=10，则c等于（）A . 5B . 10C .D . 512. （2分） (2017高一下·株洲期中) △ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（）A .B .C . 1D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高三上·镇江期中) 函数的定义域为________．14. （1分） (2017高一下·赣榆期中) 函数y=sin（2x﹣）的最小正周期是________．15. （1分） (2017高二上·汕头月考) 已知圆的圆心位于直线上，且圆过两点,则圆的标准方程为________．16. （1分）过点作圆的两条切线，切点分别为，则·= ________ .三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2018高二上·浙江月考) 已知等差数列的前n项和为，且，数列满足，且．Ⅰ 求数列的通项公式；Ⅱ 求数列的通项公式．18. （10分） (2019高一下·南通月考) 已知圆：与直线：，动直线过定点 .（1）若直线与圆相切，求直线的方程；（2）若直线与圆相交于、两点，点M是PQ的中点，直线与直线相交于点N．探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．19. （10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠DAB=∠ABC=90°，AB=4，BC=3，AD=5，E是CD 的中点．（1）证明：CD⊥平面PAE；（2）若∠PBA=60°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．20. （5分） (2016高一下·鹤壁期末) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．（1）求证：AC1∥平面CDB1（2）求证：AC⊥BC1（3）求直线AB1与平面BB1C1C所成的角的正切值．21. （10分） (2016高一下·滑县期末) 如图，已知AB是半圆O的直径，O是半圆圆心，AB=8，M、N、P是将半圆圆周四等分的三个分点．（1）从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，求这3个点组成等腰三角形的概率；（2）在半圆内任取一点S，求△SOB的面积大于4 的概率．22. （10分）直线l1经过点A(m，1)，B(-3，4)，直线l2经过点C(1，m)，D(-1，m+1)，当l1∥l2或l1⊥l2时，分别求实数m的值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、。
山东省聊城市高二上学期数学期中考试试卷
山东省聊城市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高二上·慈溪期中) 已知点M(-2，1，3)关于坐标平面xOz的对称点为A，点A关于y轴的对称点为B，则|AB|=（）A . 2B .C .D . 52. （2分）(2017·天津) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A .B . 1C .D . 33. （2分）已知直线，平面，且，，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中真命题的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分） (2015高三上·天津期末) 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最小值为（）A . ﹣3B . ﹣2C .D . 15. （2分）直线与直线平行,则（）A .B .C . 或D . 或6. （2分） (2016高二上·绥化期中) 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1 C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·甘肃模拟) 已知a，b是实数，若圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1与直线（a+1）x+（b+1）y﹣2=0相切，则a+b的取值范围是（）A . [2﹣2 ，2+ ]B . （﹣∞，2﹣2 ]∪[2+2 ，+∞）C . （﹣∞，﹣2 ]∪[2 ，+∞）D . （﹣∞，﹣2]∪[2+2 ，+∞）8. （2分）若直线=1与图x2+y2=1有公共点，则（）A . +≤1B . +≥1C .D .9. （2分）关于直线及平面，下列命题中正确的是（）A . 若，则B . 若则C . 若则D . 若则10. （2分）已知圆的方程为，过点的直线被圆所截，则截得的最短弦的长度为（）.A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2018高一下·伊通期末) 若三点共线，则实数的值为________．12. （1分）过圆x2+y2+2x﹣4y=0的圆心，且与直线2x+3y=0垂直的直线方程为________13. （1分）三棱锥P﹣ABC的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，PA=2AB=2a，则该球的体积是________14. （1分） (2016高一下·姜堰期中) 若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=________．15. （1分） (2019高三上·葫芦岛月考) 若，满足约束条件，则的最小值为________.16. （1分） (2017高二上·玉溪期末) 已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为________．17. （1分） (2016高一上·舟山期末) 正三棱锥V﹣ABC的底面边长为2，E，F，G，H分别是VA，VB，BC，AC的中点，则四边形EFGH的面积的取值范围是________三、解答题 (共5题；共50分)18. （10分） (2019高二下·上海月考) 已知两直线，，当为何值时，和（1）平行；（2）垂直？19. （10分）(2017·杨浦模拟) 如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=AB=1．AA1=CD=2．E 为棱DD1的中点．（1）证明：B1C1⊥平面BDE；（2）求二面角D﹣BE﹣C1的大小．20. （10分）(2020·内江模拟) 在平面直角坐标系中，圆的参数方程（为参数），在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴的非负半轴为极轴）中，直线的方程为 .（Ⅰ）求圆的普通方程及直线的直角坐标方程；（Ⅱ）若圆心到直线的距离等于2，求的值.21. （15分）(2018·临川模拟) 如图所示，在四棱锥中，平面是的中点,.（1）证明：平面；（2）若是上的点，且，求二面角的正弦值.22. （5分） (2018高一下·三明期末) 已知圆过点，且与圆关于直线对称.（1）求两圆的方程；（2）若直线与直线平行，且截距为7，在上取一横坐标为的点，过点作圆的切线，切点为，设中点为 .（ⅰ）若，求的值；（ⅱ）是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共50分)18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、第11 页共11 页。
山东省聊城市高二(上)期中数学试卷含答案
∴
푆12
=
122(푎1
+
푎)
12
=
6(푎
4
+
푎)
9
=
6
×
20
=
120．
，
49
故选：A．
由等差数列前 n 项和公式和通项公式得푆12 = 122(푎 + 푎 ) = 6(푎 + 푎 )
，由此能求出结
1 12
49
果．
本题考查等差数列的前 12 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求
解能力，是基础题．
第 2 页，共 13 页
14.
퐹1，퐹2分别是椭圆퐶：6푥42
+
푦2 9
=
1 的左、右焦点，点
P
在椭圆
C
|푃퐹1| 上，
=
10
퐹 ，过
作∠퐹1푃퐹2的角平分线的垂线，垂足为 M，则|푂푀|的长为______．
1
三、解答题（本大题共 4 小题，共 50.0 分）
15. 设 m 是实数，已知命题 p：∃푥 ∈ 푅，使函数푓(푥) = 푥2−2푥 + 푚2 +3푚−3满 0 足푓(푥0 ) < 0；已知命题 q：方程5푚푥−2 1−푚푦−22 = 1表示焦点在 x 轴上的椭圆． (1)若命题 p 为真命题，求 m 的取值范围； (2)若命题 p，q 均为假命题，求实数 m 的取值范围．
B. (0,4] ∪ [32, + ∞) D. (0,4] ∪ [16, + ∞)
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 11. 已知0 < 푥 < 14，则函数푓(푥) = 푥(1−4푥)的最大值为______．
山东省聊城市高二上学期数学期中考试试卷
山东省聊城市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 填空题 (共 12 题；共 13 分)1. （2 分） (2020 高一下·宁波期中) 在等差数列 中，，________.，则________，2.（1 分）(2019 高二上·湘潭月考) 等比数列 中，，，则________．3. （1 分） (2017·扬州模拟) x＞1 是的________条件．4. （1 分） (2019 高一下·广州期中) 已知在中，角 ， ，则下列四个论断中正确的是________．（把你认为是正确论断的序号都写上）的对边分别为 ， ， ，①若，则；②若，，，则满足条件的三角形共有两个；③若 ， ， 成等差数列，，，成等比数列，则为正三角形；④若，，的面积，则.5. （1 分） (2018·河北模拟) 已知向量 ， 的夹角为 ，且6. （1 分） (2019 高二上·滕州月考) 设数列 的通项 ＝________.满足，则________．，，则数列7. （1 分） (2018 高三上·河南期中) 已知向量 ， 间的夹角为 ________．，若，，则8. （1 分） (2016 高二下·新洲期末) 用数学归纳法证明命题“当 n 为正奇数时，xn+yn 能被 x+y 整除”，第 二步假设 n=2k﹣1（k∈N+）命题为真时，进而需证 n=________时，命题亦真．第 1 页 共 14 页9. （1 分） (2018 高二上·大连期末) 如图，在直三棱柱中，，端点）．若，已知 G 与 E 分别是棱和的中点， D 与 F 分别是线段 AC 与 AB 上的动点（不包括，则线段 DF 的长度的取值范围是________．10. （1 分） 已知数列{an}和{bn}的通项公式分别是，若,， 且 a，b，c 成等差数列，则 c 的值是________11. （1 分） (2019 高三上·丽水月考) 已知数列 满足：， 其中 a、b 是实常数， ，用[x]表示不超过 x 的最大整数，则的值等于________12.（1 分）(2015 高二下·登封期中) 在圆中有“圆心与弦（非直径）的中点的连线垂直于弦所在的直线”．比 上述性质，相应地：在球中有________．二、 选择题 (共 4 题；共 8 分)13.（2 分）已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2n+1-2，等差数列{bn}中，b2=a2 ，且 bn+3+bn-1=2bn+4,(n 2,n N+), 则 bn=（ ）A . 2n+2B.2C . n-2D . 2n-214. （2 分） (2016 高二下·洛阳期末) 已知数列{an}为等差数列，a1=1，公差 d≠0，a1、a2、a5 成等比数 列，则 a2015 的值为（ ）第 2 页 共 14 页A . 4029 B . 4031 C . 4033 D . 4035 15. （2 分） 如图所示，点 D 是△ABC 的边 AB 上的中点，则向量 =（ ）A.B.C.D.16. （2 分） 设 是公差为正数的等差数列，则A . 40B . 50C . 60D . 70三、 解答题 (共 5 题；共 45 分)17. （5 分） 在等差数列{an}中，a4+a5+a6+a7=56，a4•a7=187，求 a1 和 d．（）18. （10 分） (2017 高一上·保定期末) 已知，且 与 为不共线的平面向量．（1） 若，求 k 的值；第 3 页 共 14 页（2） 若∥，求 k 的值．19. （10 分） (2016·湖南模拟) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn ， 常数 λ＞0，且 λa1an=S1+Sn 对一切正 整数 n 都成立．（1） 求数列{an}的通项公式；（2） 设 a1＞0，λ=100，当 n 为何值时，数列的前 n 项和最大？20. （10 分） (2018 高一下·瓦房店期末) 已知数列 为等差数列，其前 项和为 ， 若，.（1） 求数列 的通项公式；（2） 求数列 前 项和 .21. （10 分） 祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在 11 个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农 民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商在第一 年初到大陆创办一座 120 万元的蔬菜加工厂 M，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年初 M 的 价值比上年初减少 10 万元；从第七年开始，每年初 M 的价值为年初的 75%．（1） 求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式；（2） 设 An= 第九年初对 M 更新．，若 An 大于 80 万元，则 M 继续使用，否则须在第 n 年初对 M 更新，证明：必须在第 4 页 共 14 页一、 填空题 (共 12 题；共 13 分)参考答案答案：1-1、 考点：解析： 答案：2-1、 考点： 解析：答案：3-1、 考点：第 5 页 共 14 页解析： 答案：4-1、 考点： 解析：答案：5-1、 考点：解析：第 6 页 共 14 页答案：6-1、 考点： 解析：答案：7-1、 考点： 解析：答案：8-1、 考点：第 7 页 共 14 页解析：答案：9-1、 考点： 解析：答案：10-1、 考点： 解析：第 8 页 共 14 页答案：11-1、 考点：解析： 答案：12-1、 考点：第 9 页 共 14 页解析：二、 选择题 (共 4 题；共 8 分)答案：13-1、 考点： 解析：答案：14-1、 考点：解析： 答案：15-1、 考点： 解析：第 10 页 共 14 页答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共45分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。
2019-2020学年山东省聊城市高二上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年山东省聊城市高二上学期期中数学试题一、单选题1．椭圆2212425x y +=的一个焦点坐标为（ ）A ．()7,0B ．()0,7C ．()1,0D ．()0,1【答案】D【解析】根据椭圆方程可得2225,24a b ==以及焦点位置,根据222c a b =-计算出1c =,从而可得答案.【详解】由椭圆2212425x y +=可知2225,24a b ==,所以22225241c a b =-=-=,所以1c =,又椭圆的焦点在y 轴上,所以椭圆的一个焦点坐标为(0,1). 故选:D 【点睛】本题考查了求椭圆的焦点坐标,属于基础题.2．数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若4920a a +=则12S =（ ） A ．120 B ．60C ．80D ．240【答案】A【解析】根据等差数列的性质以及前n 项和的公式计算可得. 【详解】因为{}n a 为等差数列, 所以1121212()2a a S +=496()620120a a =+=⨯=.故选:A 【点睛】本题考查了等差数列的性质以及求前n 项和,属于基础题.3．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，52a =，则37a a +（ ） A ．有最小值3 B ．有最小值4C ．有最大值3D ．有最大值4【解析】根据等比数列的性质以及基本不等式计算可得答案. 【详解】在各项均为正数的等比数列{}n a 中,由基本不等式得374a a +≥===,当且仅当352a a ==时,等号成立. 故选:B 【点睛】本题考查了等比数列的性质以及基本不等式,属于基础题.4．从椭圆的长轴的一个端点看短轴的两个端点的视角为60︒，那么此椭圆的离心率（ ）A ．12B C D ．2【答案】B【解析】根据椭圆的几何性质可得tan 30b a=,再根据222c a b =-以及ce a =计算可得答案. 【详解】设椭圆的长半轴长为a .短半轴长为b ,半焦距为c ,则依题意可得tan 30b a =,即b a =,所以椭圆的离心率c e a ====3==.故选:B 【点睛】本题考查了求椭圆的离心率以及椭圆中222a b c =+,属于基础题.5．已知命题p ：存在x ∈R ，240x ax a ++≤.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．160a -<< B ．40a -<< C ．04a << D ．016a <<【答案】D【详解】因为命题p ：存在x ∈R ，240x ax a ++≤是假命题, 所以:p ⌝对x R ∀∈,都有240x ax a ++>恒成立是真命题 所以△2160a a =-<,解得016a <<. 故选:D 【点睛】本题考查了由命题的真假求参数的范围,一元二次不等式恒成立,属于基础题.6．{}n a 是等比数列，若“(),,,m n p q m n p q ++=+∈N ”是“m n p q a a a a =”成立的充分必要条件，则数列{}n a 可以是（ ）①递增数列；②递减数列；③常值数列；④摆动数列 A ．①② B ．①③④ C ．①②④ D ．①②③④【答案】C【解析】设公比为(0)t t ≠,将m n p q a a a a =等价转化为[()()]1m n p q t +-+=,然后讨论t 可得答案. 【详解】因为{}n a 是等比数列,设其公比为(0)t t ≠,所以m n p q a a a a =等价于11111111m n p q a t a t a t a t ----=等价于22m n p q t t +-+-=等价于[()()]1m n p q t +-+=,当1t =时,推不出()m n p q +-+0=,当1t =-时,()m n p q +-+为偶数,不一定为0, 当1,0t t ≠±≠时,()0m n p q +-+=,即m n p q +=+,因为“(),,,m n p q m n p q ++=+∈N ”是“m n p q a a a a =”成立的充分必要条件, 所以1,0t t ≠±≠,当{}n a 是常值等比数列时,1t =不符合题意,当{}n a 是摆动等比数列且1t =-时,不符合题意, 当{}n a 是摆动等比数列且1t ≠-时,符合题意,当{}n a 是递增等比数列或递减等比数列时,符合题意. 故选:C 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,递增数列,递减数列,常值数列,摆动数列的概念,充分必要条件的概念,属于中档题.7．设函数()21f x x x =--，若关于x 的不等式()554f x -≤≤在区间[]2,m -上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(]2,3- B ．[]2,3-C ．(]0,3D ．(]2,3【答案】A【解析】先解不等式()554f x -≤≤得23x -≤≤,再根据题意可得[]2,m -[2,3]-,列式可得答案. 【详解】 由不等式()554f x -≤≤得25154x x -≤--≤, 所以2104x x -+≥且260x x --≤,解得x ∈R 且23x -≤≤, 所以[2,3]x ∈-, 因为关于x 的不等式()554f x -≤≤在区间[]2,m -上恒成立, 所以[]2,m -[2,3]-,所以23m -<≤. 故选:A 【点睛】本题考查了一元二次不等式在指定区间上恒成立问题,属于基础题.8．椭圆22198x y +=的左右焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上第一象限内任意一点，1F 关于P的对称点为M ，关于2F 的对称点为N ，则1MF N ∆的周长为（ ） A ．8 B ．10C ．16D ．22【答案】C【解析】根据对称关系可知2PF 为△1F MN 的中位线,再利用椭圆定义可得【详解】因为1F 关于P 的对称点为M ，关于2F 的对称点为N , 所以2PF 为△1F MN 的中位线,所以11212222()2212MF MN PF PF PF PF a +=+=+=⨯=,11224F N F F c ===4=,所以1MF N ∆的周长为12+4=16. 故选:C. 【点睛】本题考查了点与点的对称性,椭圆的定义,属于基础题.9．已知数列{}n a 的通项公式21235n a n n =-+-，其前n 项和为n S ，若m n >，则m n S S -的最大值是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】A【解析】根据数列{}n a 的通项公式21235n a n n =-+-,可得数列各项的符号及大小关系,然后可得当5n ≤时,45S S =取得最小值;当57n <≤时,67S S =为最大值, 所以当m n >时,m S n S -的最大值是m S 的最大值减去n S 的最小值,据此可得答案.【详解】因为21235(5)(7)n a n n n n =-+-=---,所以123456789010a a a a a a a a a <<<<=<=>=>>>,所以当5n ≤时,45S S =取得最小值;当57n <≤时,67S S =为最大值, 所以当m n >时,m S n S -的最大值是m S 的最大值减去n S 的最小值,m n S S -的最大值为7567S S a a -=+(367235)(498435)1=-+-+-+-=.故选:A. 【点睛】本题考查了利用数列的单调性求数列前n 项和的最大最小值,属于中档题.10．设F ，F 是椭圆22x y 的两个焦点，若上存在点满足90F PF ∠=︒，则m 的取值范围是（ ） A ．(][)0,832,+∞ B ．(][)0,432,+∞ C ．(][)0,48,+∞D ．(][)0,416,+∞【答案】A【解析】先证明当点P 为短轴端点时,12F PF ∠取得最大值,再按照焦点位置分两种情况讨论,把C 上存在点P 满足1290F PF ∠=︒转化为P 为短轴端点时,1290F PF ∠≥,由此列式可求得答案. 【详解】设椭圆的长半轴长,短半轴长,半焦距分别为,,a b c ,1122||,||PF r PF r ==,12F PF θ∠=,则122r r a +=,因为222222212121212121212(2)()24442cos 222r r c r r rr c a c rr rr rr rr θ+-+----===212412b rr =- 2212412()2b r r≥-+2221b a=-,当且仅当12r r =,即点P 为短轴端点时,等号成立, 因为余弦函数在[0,180]上为递减函数,所以当点P 为短轴端点时, 12F PF θ∠=取得最大值,①当椭圆的焦点在x 轴上时,160m >>时,216a =,2b m =,216c m =-,所以焦点12(F F , 若C 上存在点P 满足1290F PF ∠=︒，则P 为短轴端点时,1290F PF ∠≥,则145PFO ∠≤, 所以b c ≤,≤所以08m <≤,②当椭圆的焦点在y 轴上时,16m <时,2a m =,216b =,216c m =-,所以焦点12(0,F F , 同理可得b c ≤,即4≤解得32m ≥综上所述: m 的取值范围是(][)0,832,+∞.【点睛】本题考查了椭圆的方程,分类讨论思想,椭圆的几何性质,余弦定理,基本不等式,余弦函数的单调性,属于中档题.二、填空题 11．已知104x <<，则函数()()14f x x x =-的最大值为__________． 【答案】116【解析】变形为和为定值后,利用基本不等式可求积的最大值. 【详解】因为104x <<,所以140x ->, 所以()()14f x x x =-21141414(14)()44216x x x x +-=⨯-≤⨯=,当且仅当414x x =-,即18x =时取得等号.故答案为:116.【点睛】本题考查了基本不等式求积的最大值,属于基础题. 12．已知等比数列{}n a 中41a =，若135711116a a a a +++=，则1357a a a a +++=__________．【答案】6【解析】根据等比数列的性质可得2173541a a a a a ===,再对已知等式的左边分组通分可得答案. 【详解】因为等比数列{}n a ,所以2173541a a a a a ===,则13571111a a a a +++=17351111a a a a +++17351735a a a a a a a a ++=+ 17352244a a a a a a ++=+=13576a a a a +++=. 故答案为:6本题考查了等比数列的性质,属于基础题. 13．下列命题中正确的序号是__________． ①“a b >”是“22a b >”的充要条件；②命题“对任意x ∈R ，使得20x ≥”的否定是“存在0x ∈R ，使得200x <”； ③若:5p x <，:15q x -<<，则p 是q 成立的必要不充分条件. 【答案】②③【解析】对于①,取特值1,2a b ==-可以说明①不正确,对于②,直接写出命题的否定可知②正确,对于③,利用集合之间的包含关系可得答案. 【详解】对于①,当1,2a b ==-时,可以说明“a b >”不是“22a b >”的充要条件,故①不正确; 对于②, “对任意x ∈R ，使得20x ≥”的否定是“存在0x ∈R ，使得200x <”,故②正确, 对于③,令(,5)A =-∞,(1,5)B =-,因为B A ,所以p 是q 成立的必要不充分条件,故③正确. 故答案为:②③ 【点睛】本题考查了判断命题的真假,充分必要条件,命题的否定,属于基础题.14．1F ,2F 分别是椭圆22:1649x y C +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，110PF =，过1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为__________． 【答案】2【解析】延长1F M 和2PF 交于点N ,根据椭圆定义以及110PF =可得2||6PF =,根据△1PF M ≅△PNM 可得2||4NF =,根据中位线可得OM 的长度. 【详解】延长1F M 和2PF 交于点N ,如图所示:由椭圆22:1649x y C +=可得8a =,由椭圆的定义可得12||||216PF PF a +==, 由1||10PF =,可得2||6PF =,依题意可得△1PF M ≅△PNM ,所以1||||10PN PF ==, 所以22||||||NF PN PF =-1064=-=, 由OM 为△12F F N 的中位线,可得21||||22OM F N ==. 故答案为:2 【点睛】本题考查了椭圆的定义,三角形全等,三角形的中位线,属于基础题.三、解答题15．设m 是实数，已知命题0:p x ∃∈R ，使函数22()233f x x x m m =-++-满足()00f x <；已知命题q ：方程221512x y m m -=--表示焦点在x 轴上的椭圆．（1）若命题p 为真命题，求m 的取值范围；（2）若命题p ，q 均为假命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）41m -<<；（2）{4m m ≤-或2}m ≥.【解析】(1)根据二次函数的图象,转化为判别式大于0,解不等式可得到答案,,(2)根据方程221512x y m m -=--表示焦点在x 轴上的椭圆,可得 ()5120m m ->-->,再根据命题p 为假命题且q 为假命题,分别得到m 的范围再相交可得答案. 【详解】（1）当命题p 为真时，由()00f x <可知函数22()233f x x x m m =-++-的图象与即>0∆，即()244330m m -+-> 即2340m m +-<，即41m -<<.（2）当命题q 为真时，即方程221512x ym m -=--表示焦点在x 轴上的椭圆，即()5120m m ->-->，即122m <<. 当p 为假命题时，4m ≤-或m 1≥ , 当命题q 为假命题时，12m ≤或2m ≥. 因此当命题p 为假命题且q 为假命题时,41122m m m m ≤-≥⎧⎪⎨≤≥⎪⎩或或，解得4m ≤-或2m ≥. 故实数m 的取值范围为{}42m m m ≤-≥或 【点睛】本题考查了由命题的真假求参数的范围,二次函数的图象和性质,椭圆的方程,属于基础题.16．已知函数2()2f x x ax b =+-.（1）若28b a =，求不等式()0f x ≤的解集；（2）若0a >，0b >，且2()f b b b a =++，求+a b 的最小值.【答案】（1）当0a =时解集为{}0x x =，当0a >时解集为{}42x a x a -≤≤，当0a <时，解集为{}24x a x a ≤≤-（2）32+. 【解析】(1)将不等式化为()()420x a x a +-≤后,对a 分三种情况讨论,可得答案, (2)由2()f b b b a =++可得1112a b +=,然后由11()1()2a b a b a b a b ⎛⎫+=+⨯=++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式可求得答案. 【详解】（1）因为28b a =，所以()2228f x x ax a =+-.由()0f x ≤，得22280x ax a +-≤，即()()420x a x a +-≤ 当0a =时，不等式()0f x ≤的解集为{}0x x =；当0a >时，不等式()0f x ≤的解集为{}42x a x a -≤≤；当0a <时，不等式()0f x ≤的解集为{}24x a x a ≤≤-；综上所述，不等式()0f x ≤的解集为：当0a =时解集为{}0x x =，当0a >时解集为{}42x a x a -≤≤，当0a <时，解集为{}24x a x a ≤≤-；（2）因为2()2f b b ab b =+-，由已知2()f b b b a =++， 可得22ab a b =+.即1112a b+=. 由11()1()2a b a b a b a b ⎛⎫+=+⨯=++= ⎪⎝⎭13312222b a a b +++≥+=+.（当且仅当a =，即12a =+12b +=时取等号）.所以+a b 的最小值为32【点睛】 本题考查了分类讨论思想,含参的一元二次不等式的解法,基本不等式求最值,属于中档题.17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴两端点为1A ，2A 1F ，2F 分别是椭圆C 的左，右焦点，且11211A F A F ⋅=.（1）求椭圆的标准方程；（2）设A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，若直线AB 在y 轴上的截距为4，且OA ，OB 的斜率之和等于4，求直线AB 的方程.【答案】（1）2214x y +=；（2）304y x =-+. 【解析】(1)由11211A F A F ⋅=可得()()21a c a c b +-==,再根据离心率可得24a =,从而可得椭圆方程,(2)联立直线与椭圆方程,根据韦达定理以及斜率公式变形,可求直线AB 的斜率和方程.【详解】（1）由题意可知()1,0A a -，()2,0A a ，()1,0F c -，以及11211A F A F ⋅=可知()()21a c a c b +-==，22222222134c a b a e a a a --====，解得24a =. ∴椭圆的标准方程为2214x y +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为4y kx =+.联立22414y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()224132600k x kx +++=. 则1223241k x x k +=-+，1226041x x k =+. 由()()122112121212124424OA OB kx x kx x y y x x k k k x x x x x x +++++=+==+⋅ 2232324124244606041kk k k k k --+=+⋅=+⋅=+，解得30k =-. ∴直线AB 的方程为304y x =-+.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系,斜率公式,直线方程,属于中档题. 18．若各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且243n n n S S T +=，*n ∈N .（1）证明数列{}n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2）设()21log n n b n a =+，是否存在正整数k ，使得12111n k b b b +++<对于*n ∀∈N 恒成立.若存在，求出正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明详见解析，2n n a =；（2）存在，最小值为1.【解析】(1) 243n n n S S T +=，①，得121143n n n S S T ++++=，②,然后②-①得()1143n n n S S a ++++=,③当2n ≥时，()143n n n S S a -++=，④, ③-④得12(2)n na n a +=≥,验证1n =时也成立,从而可证数列{}n a 是等比数列,由定义可求得通项公式,(2)求出n b 后,利用裂项求和可求得12111nb b b +++,再根据恒成立可求得k 的最小值. 【详解】 243n n n S S T +=，①，111243n n n S S T +++∴+=，②由数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为nT 及②-①得 ()()2111243n n n n n n S S S S T T +++-+-=-,()1111243n n n n n S S a a a ++++∴++=,10n a +≠，()1143n n n S S a ++∴++=，③从而当2n ≥时，()143n n n S S a -++=，④③-④得11133n n n n S S a a +-+-=-，即1133n n n n a a a a +++=-，所以12n n a a +=， 0n a ≠，12(2)n na n a +∴=≥. 243n n n S S T +=，∴令1n =，得2211143a a a +=，10a ≠，12a ∴=.当2n =时，由()()()2222224234a a a +++=+得222280a a -+=， 由20a ≠知24a =，此时212a a =. ∴数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，且1222n n n a -=⨯=. （2）22(1)log (1)log 2(1)n n n b n a n n n =+=+=+,1111(1)1n b n n n n ∴==-++, 12311111111112231n b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++⋯+=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111n =-<+. 假设存在正整数k ，使得12111nk b b b +++<对于*n ∀∈N 恒成立， 则1k ³,所以k 的最小值为1.【点睛】本题考查了等比数列的证明,由递推关系求通项公式,裂项求和,不等式恒成立,属于中档题.。
山东省聊城市2020-2021学年高二上学期期中数学试题
山东省聊城市2020-2021学年高二上学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．椭圆2212425x y +=的一个焦点坐标为（ ） A ．()7,0 B ．()0,7 C ．()1,0 D ．()0,1 2．数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若4920a a +=则12S =（ ） A ．120 B ．60 C ．80 D ．240 3．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，52a =，则37a a +（ ）A ．有最小值3B ．有最小值4C ．有最大值3D ．有最大值4 4．从椭圆的长轴的一个端点看短轴的两个端点的视角为60︒，那么此椭圆的离心率（ ）A ．12BCD ．2 5．已知命题p ：存在x ∈R ，240x ax a ++≤.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．160a -<<B ．40aC ．04a <<D ．016a <<6．{}n a 是等比数列，若“(),,,m n p q m n p q ++=+∈N ”是“m n p q a a a a =”成立的充分必要条件，则数列{}n a 可以是（ ）①递增数列；②递减数列；③常值数列；④摆动数列A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．①②③④ 7．设函数()21f x x x =--，若关于x 的不等式()554f x -≤≤在区间[]2,m -上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(]2,3-B ．[]2,3-C ．(]0,3D ．(]2,3 8．椭圆22198x y 的左右焦点为1F ，2F ，P 为椭圆上第一象限内任意一点，1F 关于P 的对称点为M ，关于2F 的对称点为N ，则1MF N ∆的周长为（ ）A ．8B ．10C ．16D ．229．已知数列{}n a 的通项公式21235n a n n =-+-，其前n 项和为n S ，若m n >，则m n S S -的最大值是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．710．设1F ，2F 是椭圆22:116x y C m+=的两个焦点，若C 上存在点P 满足1290F PF ∠=︒，则m 的取值范围是（ ）A ．(][)0,832,+∞ B ．(][)0,432,+∞ C ．(][)0,48,+∞ D ．(][)0,416,+∞二、填空题11．已知104x <<，则函数()()14f x x x =-的最大值为__________． 12．已知等比数列{}n a 中41a =，若135711116a a a a +++=，则1357a a a a +++=__________．13．下列命题中正确的序号是__________．①“a b >”是“22a b >”的充要条件；②命题“对任意x ∈R ，使得20x ≥”的否定是“存在0x ∈R ，使得200x <”； ③若:5p x <，:15q x -<<，则p 是q 成立的必要不充分条件.14．1F ,2F 分别是椭圆22:1649x y C +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，110PF =，过1F 作12F PF ∠的角平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为__________．三、解答题15．设m 是实数，已知命题0:p x ∃∈R ，使函数22()233f x x x m m =-++-满足()00f x <；已知命题q ：方程221512x y m m -=--表示焦点在x 轴上的椭圆． （1）若命题p 为真命题，求m 的取值范围；（2）若命题p ，q 均为假命题，求实数m 的取值范围.16．已知函数2()2f x x ax b =+-.（1）若28b a =，求不等式()0f x ≤的解集；（2）若0a >，0b >，且2()f b b b a =++，求+a b 的最小值.17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴两端点为1A ，2A ，离心率为2，1F ，2F 分别是椭圆C 的左，右焦点，且11211A F A F ⋅=.（1）求椭圆的标准方程；（2）设A ，B 是椭圆C 上两个不同的点，若直线AB 在y 轴上的截距为4，且OA ，OB 的斜率之和等于4，求直线AB 的方程.18．若各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且243n n n S S T +=，*n ∈N .（1）证明数列{}n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设()21log n n b n a =+，是否存在正整数k ，使得12111nk b b b +++<对于*n ∀∈N 恒成立.若存在，求出正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由.参考答案1．D【解析】【分析】根据椭圆方程可得2225,24a b ==以及焦点位置,根据222c a b =-计算出1c =,从而可得答案.【详解】 由椭圆2212425x y +=可知2225,24a b ==,所以22225241c a b =-=-=,所以1c =, 又椭圆的焦点在y 轴上,所以椭圆的一个焦点坐标为(0,1).故选:D【点睛】本题考查了求椭圆的焦点坐标,属于基础题.2．A【分析】根据等差数列的性质以及前n 项和的公式计算可得.【详解】因为{}n a 为等差数列, 所以1121212()2a a S +=496()620120a a =+=⨯=. 故选:A【点睛】本题考查了等差数列的性质以及求前n 项和,属于基础题.3．B【分析】根据等比数列的性质以及基本不等式计算可得答案.【详解】在各项均为正数的等比数列{}n a 中,由基本不等式得374a a +≥===,当且仅当352a a ==时,等号成立.故选:B【点睛】本题考查了等比数列的性质以及基本不等式,属于基础题.4．B【分析】 根据椭圆的几何性质可得tan 30b a =,再根据222c a b =-以及c e a =计算可得答案. 【详解】设椭圆的长半轴长为a .短半轴长为b ,半焦距为c ,则依题意可得tan 30b a =,即b a =,所以椭圆的离心率c e a ====3==. 故选:B【点睛】本题考查了求椭圆的离心率以及椭圆中222a b c =+,属于基础题.5．D【分析】根据命题p 为假命题,得到p ⌝为真命题,再利用判别式小于0,可得到答案.【详解】因为命题p ：存在x ∈R ，240x ax a ++≤是假命题,所以:p ⌝对x R ∀∈,都有240x ax a ++>恒成立是真命题所以△2160a a =-<,解得016a <<.故选:D【点睛】本题考查了由命题的真假求参数的范围,一元二次不等式恒成立,属于基础题.6．C【分析】设公比为(0)t t ≠,将m n p q a a a a =等价转化为[()()]1m n p q t +-+=,然后讨论t 可得答案.【详解】因为{}n a 是等比数列,设其公比为(0)t t ≠,所以m n p q a a a a =等价于11111111m n p q a t a t a t a t ----=等价于22m n p q t t +-+-=等价于[()()]1m n p q t +-+=,当1t =时,推不出()m n p q +-+0=,当1t =-时,()m n p q +-+为偶数,不一定为0,当1,0t t ≠±≠时,()0m n p q +-+=,即m n p q +=+,因为“(),,,m n p q m n p q ++=+∈N ”是“m n p q a a a a =”成立的充分必要条件, 所以1,0t t ≠±≠,当{}n a 是常值等比数列时,1t =不符合题意,当{}n a 是摆动等比数列且1t =-时,不符合题意, 当{}n a 是摆动等比数列且1t ≠-时,符合题意,当{}n a 是递增等比数列或递减等比数列时,符合题意.故选:C【点睛】本题考查了等比数列的通项公式,递增数列,递减数列,常值数列,摆动数列的概念,充分必要条件的概念,属于中档题.7．A【分析】 先解不等式()554f x -≤≤得23x -≤≤,再根据题意可得[]2,m - [2,3]-,列式可得答案. 【详解】由不等式()554f x -≤≤得25154x x -≤--≤, 所以2104x x -+≥且260x x --≤, 解得x ∈R 且23x -≤≤,所以[2,3]x ∈-,因为关于x 的不等式()554f x -≤≤在区间[]2,m -上恒成立, 所以[]2,m - [2,3]-,所以23m -<≤.故选:A【点睛】本题考查了一元二次不等式在指定区间上恒成立问题,属于基础题.8．C【分析】根据对称关系可知2PF 为△1F MN 的中位线,再利用椭圆定义可得26,22a c ==,从而可得1MF N ∆的周长.【详解】因为1F 关于P 的对称点为M ，关于2F 的对称点为N ,所以2PF 为△1F MN 的中位线,所以11212222()2212MF MN PF PF PF PF a +=+=+=⨯=,11224F N F F c ===4=,所以1MF N ∆的周长为12+4=16.故选:C.【点睛】本题考查了点与点的对称性,椭圆的定义,属于基础题.9．A【分析】根据数列{}n a 的通项公式21235n a n n =-+-,可得数列各项的符号及大小关系,然后可得当5n ≤时,45S S =取得最小值;当57n <≤时,67S S =为最大值, 所以当m n >时,m S n S -的最大值是m S 的最大值减去n S 的最小值,据此可得答案.【详解】因为21235(5)(7)n a n n n n =-+-=---,所以123456789010a a a a a a a a a <<<<=<=>=>>>, 所以当5n ≤时,45S S =取得最小值;当57n <≤时,67S S =为最大值,所以当m n >时,m S n S -的最大值是m S 的最大值减去n S 的最小值,m n S S -的最大值为7567S S a a -=+(367235)(498435)1=-+-+-+-=.故选:A.【点睛】本题考查了利用数列的单调性求数列前n 项和的最大最小值,属于中档题.10．A【分析】先证明当点P 为短轴端点时,12F PF ∠取得最大值,再按照焦点位置分两种情况讨论,把C 上存在点P 满足1290F PF ∠=︒转化为P 为短轴端点时,1290F PF ∠≥,由此列式可求得答案.【详解】设椭圆的长半轴长,短半轴长,半焦距分别为,,a b c ,1122||,||PF r PF r ==,12F PF θ∠=,则122r r a +=, 因为222222212121212121212(2)()24442cos 222r r c r r rr c a c rr rr rr rr θ+-+----===212412b rr =- 2212412()2b r r ≥-+2221b a =-,当且仅当12r r =,即点P 为短轴端点时,等号成立, 因为余弦函数在[0,180]上为递减函数,所以当点P 为短轴端点时, 12F PF θ∠=取得最大值,①当椭圆的焦点在x 轴上时,160m >>时,216a =,2b m =,216c m =-,所以焦点12(F F , 若C 上存在点P 满足1290F PF ∠=︒，则P 为短轴端点时,1290F PF ∠≥,则145PFO ∠≤,所以b c ≤,≤所以08m <≤,②当椭圆的焦点在y 轴上时,16m <时,2a m =,216b =,216c m =-,所以焦点12(0,F F ,同理可得b c ≤,即4≤解得32m ≥综上所述: m 的取值范围是(][)0,832,+∞.故选:A【点睛】 本题考查了椭圆的方程,分类讨论思想,椭圆的几何性质,余弦定理,基本不等式,余弦函数的单调性,属于中档题.11．116【分析】变形为和为定值后,利用基本不等式可求积的最大值.【详解】 因为104x <<,所以140x ->, 所以()()14f x x x =-21141414(14)()44216x x x x +-=⨯-≤⨯=,当且仅当414x x =-,即18x时取得等号. 故答案为:116. 【点睛】本题考查了基本不等式求积的最大值,属于基础题.12．6【分析】根据等比数列的性质可得2173541a a a a a ===,再对已知等式的左边分组通分可得答案.【详解】因为等比数列{}n a ,所以2173541a a a a a ===, 则13571111a a a a +++=17351111a a a a +++17351735a a a a a a a a ++=+ 17352244a a a a a a ++=+=13576a a a a +++=. 故答案为:6【点睛】本题考查了等比数列的性质,属于基础题.13．②③【分析】对于①,取特值1,2a b ==-可以说明①不正确,对于②,直接写出命题的否定可知②正确,对于③,利用集合之间的包含关系可得答案.【详解】对于①,当1,2a b ==-时,可以说明“a b >”不是“22a b >”的充要条件,故①不正确; 对于②, “对任意x ∈R ，使得20x ≥”的否定是“存在0x ∈R ，使得200x <”,故②正确, 对于③,令(,5)A =-∞,(1,5)B =-,因为B A ,所以p 是q 成立的必要不充分条件,故③正确.故答案为:②③【点睛】本题考查了判断命题的真假,充分必要条件,命题的否定,属于基础题.14．2【分析】 延长1F M 和2PF 交于点N ,根据椭圆定义以及110PF =可得2||6PF =,根据△1PF M ≅△PNM 可得2||4NF =,根据中位线可得OM 的长度.【详解】延长1F M 和2PF 交于点N ,如图所示:由椭圆22:1649x y C +=可得8a =, 由椭圆的定义可得12||||216PF PF a +==,由1||10PF =,可得2||6PF =,依题意可得△1PF M ≅△PNM ,所以1||||10PN PF ==,所以22||||||NF PN PF =-1064=-=,由OM 为△12F F N 的中位线,可得21||||22OM F N ==. 故答案为:2【点睛】本题考查了椭圆的定义,三角形全等,三角形的中位线,属于基础题.15．（1）41m -<<；（2）{4m m ≤-或2}m ≥.【分析】(1)根据二次函数的图象,转化为判别式大于0,解不等式可得到答案,, (2)根据方程221512x y m m -=--表示焦点在x 轴上的椭圆,可得 ()5120m m ->-->,再根据命题p 为假命题且q 为假命题,分别得到m 的范围再相交可得答案.【详解】（1）当命题p 为真时，由()00f x <可知函数22()233f x x x m m =-++-的图象与x 轴有交点.即>0∆，即()244330m m -+->即2340m m +-<，即41m -<<.（2）当命题q 为真时，即方程221512x y m m -=--表示焦点在x 轴上的椭圆， 即()5120m m ->-->，即122m <<. 当p 为假命题时，4m ≤-或m 1≥ ,当命题q 为假命题时，12m ≤或2m ≥. 因此当命题p 为假命题且q 为假命题时,41122m m m m ≤-≥⎧⎪⎨≤≥⎪⎩或或，解得4m ≤-或2m ≥. 故实数m 的取值范围为{}42m m m ≤-≥或【点睛】本题考查了由命题的真假求参数的范围,二次函数的图象和性质,椭圆的方程,属于基础题. 16．（1）当0a =时解集为{}0x x =，当0a >时解集为{}42x a x a -≤≤，当0a <时，解集为{}24x a x a ≤≤-（2）32+. 【分析】(1)将不等式化为()()420x a x a +-≤后,对a 分三种情况讨论,可得答案, (2)由2()f b b b a =++可得1112a b +=,然后由11()1()2a b a b a b a b ⎛⎫+=+⨯=++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式可求得答案.【详解】（1）因为28b a =，所以()2228f x x ax a =+-. 由()0f x ≤，得22280x ax a +-≤，即()()420x a x a +-≤当0a =时，不等式()0f x ≤的解集为{}0x x =；当0a >时，不等式()0f x ≤的解集为{}42x a x a -≤≤；当0a <时，不等式()0f x ≤的解集为{}24x a x a ≤≤-；综上所述，不等式()0f x ≤的解集为：当0a =时解集为{}0x x =，当0a >时解集为{}42x a x a -≤≤，当0a <时，解集为{}24x a x a ≤≤-；（2）因为2()2f b b ab b =+-，由已知2()f b b b a =++， 可得22ab a b =+.即1112a b+=. 由11()1()2a b a b a b a b ⎛⎫+=+⨯=++=⎪⎝⎭13312222b a a b +++≥+=+.（当且仅当a =，即12a =+12b +=时取等号）. 所以+a b的最小值为32【点睛】 本题考查了分类讨论思想,含参的一元二次不等式的解法,基本不等式求最值,属于中档题.17．（1）2214x y +=；（2）304y x =-+. 【分析】(1)由11211A F A F ⋅=可得()()21a c a c b +-==,再根据离心率可得24a =,从而可得椭圆方程,(2)联立直线与椭圆方程,根据韦达定理以及斜率公式变形,可求直线AB 的斜率和方程.【详解】（1）由题意可知()1,0A a -，()2,0A a ，()1,0F c -，以及11211A F A F ⋅=可知()()21a c a c b +-==，22222222134c a b a e a a a --====，解得24a =. ∴椭圆的标准方程为2214x y +=. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为4y kx =+.联立22414y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()224132600k x kx +++=.则1223241k x x k +=-+，1226041x x k =+. 由()()122112121212124424OA OB kx x kx x y y x x k k k x x x x x x +++++=+==+⋅ 2232324124244606041kk k k k k --+=+⋅=+⋅=+，解得30k =-. ∴直线AB 的方程为304y x =-+.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,直线与椭圆的位置关系,斜率公式,直线方程,属于中档题.18．（1）证明详见解析，2n n a =；（2）存在，最小值为1.【分析】(1) 243n n n S S T +=，①，得121143n n n S S T ++++=，②,然后②-①得()1143n n n S S a ++++=,③当2n ≥时，()143n n n S S a -++=，④, ③-④得12(2)n na n a +=≥,验证1n =时也成立,从而可证数列{}n a 是等比数列,由定义可求得通项公式,(2)求出n b 后,利用裂项求和可求得12111nb b b +++,再根据恒成立可求得k 的最小值. 【详解】 243n n n S S T +=，①，111243n n n S S T +++∴+=，②由数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为nT 及②-①得 ()()2111243n n n n n n S S S S T T +++-+-=-,()1111243n n n n n S S a a a ++++∴++=,10n a +≠，()1143n n n S S a ++∴++=，③从而当2n ≥时，()143n n n S S a -++=，④③-④得11133n n n n S S a a +-+-=-，即1133n n n n a a a a +++=-，所以12n n a a +=，0n a ≠，12(2)n na n a +∴=≥. 243n n n S S T +=，∴令1n =，得2211143a a a +=，10a ≠，12a ∴=. 当2n =时，由()()()2222224234a a a +++=+得222280a a -+=， 由20a ≠知24a =，此时212a a =. ∴数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，且1222n n n a -=⨯=. （2）22(1)log (1)log 2(1)n n n b n a n n n =+=+=+, 1111(1)1n b n n n n ∴==-++, 12311111111112231n b b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++⋯+=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111n =-<+. 假设存在正整数k ，使得12111n k b b b +++<对于*n ∀∈N 恒成立， 则1k ,所以k 的最小值为1.【点睛】本题考查了等比数列的证明,由递推关系求通项公式,裂项求和,不等式恒成立,属于中档题.。
山东省聊城市高二上学期期中数学试卷
山东省聊城市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列说法中正确的有：已知求得线性回归方程y=bx+a，相关系数r，①若r＞0，则x增大时，y 也相应增大；②若r＜0，则x增大时，y也相应增大；③若r=1，或r=﹣1，则x与y的关系完全对应（有函数关系），在散点图上各个散点均在一条直线上．（）A . ①②B . ②③C . ①③D . ①②③2. （2分）若样本+2，+2，，+2的平均数为10，方差为3，则样本2+3，2+3，… ，2+3，的平均数、方差、标准差是（）A . 19，12，B . 23，12，C . 23，18，D . 19，18，3. （2分） 2015年11月11日，天猫交易额以912.17亿元的成绩刷新了世界纪录．随之快递的订单量也激增．某机构就双十一期间快递公司A的物流速度进行了随机调查，如图是200名受调查者对快递公司A的评分（百分制）的频率分布直方图，则其得分的众数大致为（）A . 65B . 70C . 75D . 804. （2分） (2016高一下·湖南期中) 如图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机撒100颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为80颗，以此实验数据为依据可以估算椭圆的面积约为（）A . 11B . 9C . 12D . 105. （2分）(2017·郴州模拟) 某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布N（100，σ2），已知p（80＜ξ≤100）=0.35，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取（）A . 5份B . 10份C . 15份D . 20份6. （2分） (2016高二上·昌吉期中) 一次实验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子，经查数，落在正方形中的豆子的总数为N粒，其中m（m＜N）粒豆子落在该正方形的内切圆内，以此估计圆周率π为（）A .B .C .D .7. （2分）学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图，其中支出在[50，60）的同学有30人，若想在这n人中抽取50人，则在[50，60）之间应抽取的人数为（）A . 10人B . 15人C . 25人D . 30人8. （2分）某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1﹣50号，并分组，第一组1﹣5号，第二组6﹣10号，…，第十组46﹣50号，若在第三组中抽得号码为12，则在第八组中抽得号码为（）A . 37B . 38C . 39D . 409. （2分） (2015高二上·安徽期末) 一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是（）A .B .C .D .10. （2分）把三进制数1021（3）化为十进制数等于（）A . 102B . 34C . 12D . 4611. （2分）在区间内随机取个实数a，则直线，直线与x轴围成的面积大于的概率是（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高一下·葫芦岛期末) 葫芦岛市某工厂党委为了研究手机对年轻职工工作和生活的影响情况做了一项调查：在厂内用简单随机抽样方法抽取了30名25岁至35岁的职工，对其“每十天累计看手机时间”（单位：小时）进行调查，得到茎叶图如下．所抽取的男职工“每十天累计看手机时间”的平均值和所抽取的女生“每十天累计看手机时间”的中位数分别是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高二下·南通期中) 随机变量X的概率分布规律为P（X=k）= ，k=1，2，3，4，其中c是常数，则P（ . ＜X＜）的值为________．14. （1分）已知随机变量ξ服从正态分布N（1，4），若p（ξ＞4）=0.1，则p（﹣2≤ξ≤4）=________．15. （1分）(2017·郴州模拟) 两所学校分别有2名，3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则存在同校学生排在一起的概率为________.16. （1分） (2016高二上·徐水期中) 样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分）(2017·蚌埠模拟) 当今信息时代，众多中小学生也配上了手机．某机构为研究经常使用手机是否对学习成绩有影响，在某校高三年级50名理科生第人的10次数学考成绩中随机抽取一次成绩，用茎叶图表示如图：（1）根据茎叶图中的数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响？及格（60及60以上）不及格合计很少使用手机经常使用手机合计（2）从50人中，选取一名很少使用手机的同学（记为甲）和一名经常使用手机的同学（记为乙）解一道函数题，甲、乙独立解决此题的概率分别为P1，P2，P2=0.4，若P1﹣P2≥0.3，则此二人适合为学习上互帮互助的“对子”，记X为两人中解决此题的人数，若E（X）=1.12，问两人是否适合结为“对子”？参考公式及数据：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.100.050.025k0 2.706 3.841 5.02418. （15分） (2017高二下·深圳月考) 某中学为了解高一年级学生身高发育情况，对全校名高一年级学生按性别进行分层抽样检查，测得身高（单位：）频数分布表如表、表 .表：男生身高频数分布表身高/频数表：女生身高频数分布表身高/频数（1）求该校高一女生的人数；（2）估计该校学生身高在的概率；（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出人，设表示身高在学生的人数，求的分布列及数学期望.19. （5分） (2016高一上·黑龙江期中) 若点（，2）在幂函数f（x）的图象上，点（2，）在幂函数g（x）的图象上，定义h（x）= 求函数h（x）的最大值及单调区间．20. （10分）(2017·烟台模拟) 在某大学自主招生的面试中，考生要从规定的6道科学题，4道人文题共10道题中，随机抽取3道作答，每道题答对得10分，答错或不答扣5分，已知甲、乙两名考生参加面试，甲只能答对其中的6道科学题，乙答对每道题的概率都是，每个人答题正确与否互不影响．（1）求考生甲得分X的分布列和数学期望EX；（2）求甲，乙两人中至少有一人得分不少于15分的概率．21. （5分）一个盒子里装有标号为1，2，3，…，5的5张标签，现随机地从盒子里无放回地抽取两张标签．记X为两张标签上的数字之和．（1）求X的分布列．（2）求X的期望E（X）和方差D（X）．22. （10分） (2016高二上·临川期中) 设函数（1）若b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求对任意x∈R，f（x）＞0恒成立的概率．（2）若b是从区间[0，8]（3）任取得一个数，c是从[0，6]任取的一个数，求函数f（x）的图象与x轴有交点的概率．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。