数学解题中的通性通法
数学解题中的通性通法[资料]
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数学解题中的通性通法中学数学的学习离不开数学解题，在数学解题中，经常会遇到一些常规的解题模式和常用的数学方法，我们称之为通性通法。
通性通法对数学学习与数学解题非常重要，在数学解题中，我们要整体把握好通性通法，理解通性通法的本质。
下面让我们通过几个问题，共同探讨一下数学解题中的通性通法。
1. 二次函数闭区间上求最值求函数x x x f 22-=)(在区间],[32-上的最大值和最小值.解题思路：作出函数x x x f 22-=)(的图象，在区间],[32-上截段，数形结合，寻求函数的最大值和最小值解题过程：由022=-=x x x f )(解得零点：1=x 图象（如图）由图象可以看出：当2-=x 时，函数)(x f 取最大值8442=+=-)(f ;当1=x 时, 函数)(x f 取最小值1211-=-=)(f . 规律总结：二次函数闭区间上求最值时，基本的通法是：作图象，截段，求最值等。
2. 直线与圆锥曲线位置关系已知双曲线C ：2222=-y x 与点P (1，2)，求过P (1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点.解：(1)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1,与曲线C 有一个交点.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k (x －1),代入曲线C 的方程，并整理得：(2－k 2)x 2+2(k 2－2k )x －k 2+4k －6=0 (*)(ⅰ)当2－k 2=0,即k =±2时，方程(*)有一个根，直线l 与曲线C 有一个交点(ⅱ)当2－k 2≠0,即k ≠±2时Δ=［2(k 2－2k )］2－4(2－k 2)(－k 2+4k －6)=16(3－2k ) ①当Δ=0,即k =23时，方程(*)有一个实根，直线l 与曲线C 有一个交点.x x 22-=)②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜23时，方程(*)有两不等实根，直线l 与曲线C 有两个交点.③当Δ＜0，即k ＞23时，方程(*)无解，直线l 与曲线C 没有交点.综上可知：当k =±2,或k =23，或k 不存在时，直线l 与曲线C 只有一个交点；当2＜k ＜23,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，直线l 与曲线C 有两个交点；当k ＞23时，直线l 与曲线C 没有交点.规律总结：判定直线与圆锥曲线位置关系时,首先讨论直线有无斜率。
例谈数学解题过程中的通性通法
例谈数学解题过程中的通性通法作者：杨宝平来源：《中学数学杂志(初中版)》2015年第05期通性通法，是指具有某些规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的数学思想方法.《义务教育数学课程标准2011版》指出，数学问题的解决要使学生经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法.下面以2015年济南市学业水平考试数学试题第28题为例探讨一下数学解题过程中的通性通法问题.（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接CB，以CB为边作平行四边形CBPQ，若P点在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且平行四边形CBPQ的面积为30，求点P的坐标；（3）如图2，⊙O1过A、B、C三点，AE为直径，点M为弧ACE上的一个动点，C不与点A、E重合，∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值.问题（1）：求解抛物线的解析式.从通性通法的角度来看该问题实际是对待定系数法的考查.初中阶段任何一种函数关系式的确定都是使用该法，即先根据题目要求设相应函数的一般关系式，然后在图象上找到相应的坐标点代入形成方程组，求出方程组的解便可以解决问题，当然如果其中提供的点有特殊性也可以作为问题突破口.解法1：如图1所示，由题意将A（1，-1），B（5，-1）代入抛物线y=ax2+bx+4得方程组，求出a=1、b=-6，即可求出解析式y=x2-6x+4.解法2：由题意A（1，-1），B（5，-1）是二次函数图象上一对对称点，所以其抛物线的对称轴为直线x=3，由抛物线的对称轴公式可得b=-6a，再结合A、B中的任意一点就可以求a=1、b=-6，进而求出抛物线的解析式y=x2-6x+4.问题（2）：求点P的坐标.从通性通法角度看，关于点的坐标问题无非两条路线，一是在已知函数关系式的情况下通过联立方程组求解出点的坐标；二是在平面直角坐标系中利用图形的性质通过相关计算和证明，求出相关线段的长度，进而转化出点的坐标.在解题的过程中要紧紧围绕这两种思路，这便是该问题的通解通法.解法1 利用平移.如图3所示，平行四边形CBPQ，PQ∥BC，由平行四边形CBPQ的面积为30，我们可以BC为底可求出其高，将其高沿BC方向进行平移，在此过程中高的一端在BC上移动，而另一端的运动轨迹为直线.求出该直线解析式为y=-x+10，然后与抛物线解析式y=x2-6x+4联立即可求出点P的坐标（-1，11）和（6，4）.解法2 利用等底同高.如图3所示，过B作y轴的垂线，垂足为D，△BCD为等腰直角三角形，由等底同高可以求出H坐标（3，7），过H作BC的平行线PQ，求出PQ的解析式，结合解法1即可求出点P的坐标（-1，11）和（6，4）.解法3 利用点到直线的距离.如图4所示，利用铅垂距离.过P作x垂线交直线BC于H，P为抛物线上的一点，所以可以设P为（m，m2-6m+4），H（m，-m+4）.利用坐标差表示出PH的长，通过面积为30和点到直线的距离求出P（-1，11）和（6，4）.解法4 利用面积和差.我们知道求解面积问题一般分为两种：一是直接方法；一是间接方法.在这里我们从间接的角度处理如下：如图5所示，P为抛物线上的一点，所以P为（m，m2-6m+4），CP为平行四边形的对角线，所以△BCP面积为15，由题意S△BCP=S梯形CDGP-S△BPG-S△BCD，代入相关量即可求出P（-1，11）和（6，4）.综合上述四种解法，我们不难发现前两种解法基本沿用函数路线，通过联立方程组求点的坐标，后两种解法沿用图形路线利用图形的性质通过相关计算和证明，求出相关线段的长度，进而转化出点的坐标.这要求我们在日常的课堂教学中加强学生这方面的培养，使多数学生都能炼就一双找点、求点的“火眼金睛”.问题（3）：求线段BN长度的最大值.从通性通法的角度考虑几何最值问题：一是分析定点、动点，寻求不变的特征或数量关系；一是看是否属于常见模型，若是常规模型（奶站模型、天桥模型、折叠模型），则调用模型解决问题，若不属常规模型，则要结合要求的问题，根据不变的特征转化基本定理或函数表达式解决问题.该问题属于第二种几何最值，所以选择如下解答方法：解法1 如图6所示在点M运动的过程中，∠NMB=∠EAB，tan∠NMB=tan∠EAB，因此当BM取最大值时BN取得最大值.解法2 根据题意∠NMB=∠EAB，∠NBM=∠EBA，可得出△EAB∽△NMB，即可求出BN是BM的正比例函数关系式，同样当自变量BM最大时因变量BN取得最大值.通过以上三个问题探讨，我们可以看出通性通法在数学解题中起到非常重要的作用，而正是这种具有普遍意义的解题方法，却是在问题解决过程中最实际、最适用的，也是各地学业水平考试的重要考查点，这也势必会成为数学问题解决方法发展的主流.我们知道学生对学业水平考试的处理过程是一个学生创造的过程，一个批判、选择的过程，一个充满想象、探索和体验的过程，而通性通法的灵活把握会对问题的解决起到事半功倍的效果，因此，我们在日常教学中要把通性通法放在一个重要的位置，将其渗透于每一堂课之中，引导学生及时总结归纳问题解决的通性通法，加强对通性通法的训练与提高，只有这样才能真正实现高效课堂和提高学生的数学素养的双重目标.。
夯实主干知识--重视通性通法--强化解题训练优秀获奖科研论文
夯实主干知识重视通性通法强化解题训练优秀获奖科研论文高考数学复习是对高中阶段所学知识和技能的一次系统的回顾、总结和提升，也是一次知识和技能的演练.高考数学在第一轮的严格复习和强化训练后，考生对于高中数学的基础知识、各类题型、解题方法、解题技巧都有了基本的理解和掌握.然而从高中数学复习备考的整体要求来看，考生对这些知识的掌握还缺少系统性、条理性和完整性，对于解题方法和技巧的运用还未达到善变通、巧灵活的程度.因此，二轮复习时，教师应引导考生对在一轮复习中已掌握的知识、方法、技能进行系统的整理、归纳、提炼，对整个高中阶段的所有教学内容和《考试大纲》《考试说明》中要求内容的知识结构进行全面的梳理，使之更条理化，系统化，从而更好地理解、掌握和巩固知识，提高应考能力.高考数学第二轮复习的关键任务应该是：夯实主干知识，重视通性通法，强化解题训练.一、切实夯实双基，强化理解掌握，全面提升能力在二轮复习过程中，对于一轮复习过的相关内容和知识以及技能，教师应恰当地、有目的地融入其中，使考生所学的知识得到进一步的巩固和提高，从而全面掌握基本知识和基本技能.与此同时，对于各个知识点、重点、难点，教师应进行有效的突破，条分缕析地进行提炼、概括和总结，使考生解题的分析更加深刻，解题的思路更加清晰，解题的方法更加科学.在复习中，不断地积累知识和加强深化知识是提高考生数学知识和能力的一个重要环节，因此考生只有夯实主干知识基础，才能在考场上左右逢源，获取高分.纵观近几年高考数学江苏卷，有一个明显的变化是基础性题目几乎占了三分之二，这就充分说明了考生掌握好基础知识是非常重要和必要的.在二轮复习中，教师要重视基础知识的复习，既要对考生讲解深刻，又要将知识讲解得全面到位，使考生能够掌握好全部的知识点，而且能够贯穿链接好每个知识点，使之丝丝入扣，成为知识的联合体，这样考生在考场上就能得心应手.二、围绕教材内容，发掘教材价值，充分利用教材高考数学复习中有个突出现象应引起教师的注意，有的教师在高考数学复习中喜欢“超越”教材，热衷于行走和攀登在难题、怪题、偏题的“曲径”与“险境”之中.这种看似提高能力的探究式复习，往往会将考生引入“歧途”.考生在难题、怪题、偏题中“博弈”，除了浪费大量的时间和精力外，还会因屡做屡错而见题生畏，从而严重挫伤考生复习的积极性.高考试卷命题有其严格的原则性，其中一点就是突出主体，高考命题的最主要最直接的依据是高中阶段的教材，就高考数学试卷而言，所谓主体就是高考命题要围绕和突出高中数学教材，然后在教材的有关内容的基础上，再进行延伸、迁移、发展、加工、提炼，最后组合而成高考题目.分析研究近几年的高考数学试卷，对教材原型题目加工改造或直接是教材原型的高考题目似曾相识，屡见不鲜.因此，二轮复习时教师必须重点围绕教材来进行，将数学教材中蕴含的价值充分地发掘和利用起来，科学地把教材中的知识和方法运用到答题解题中，总结出解题的方法、技巧和规律，全面提高考生的数学能力和应试能力.科学有效地运用好教材，应重点抓好这样几点：（1）教师应重视梳理整理教材的主要知识和知识点，搞清楚，弄透彻公式和定理的推理过程以及例题的解答过程，并选择或精编相对应的题目对考生进行强化训练，让学生在解题过程中从教材的知识中得到引领和启发.（2）考生对在解题训练中不能避免地会出现这样那样的情况或问题，教师应将这些考生难以解决的“疑难杂症”或者是“重症”，再置于教材中进行分析、研究、比对，找出和分析出错的原因，并采取针对性措施，从根本上解决问题，使考生在考场中如果再遇到类似的情况或问题时，而不至于束手无策.（3）围绕教材复习并非囿于教材复习，教师应善于对教材活用，活用教材才能有效地提高考生的应变能力.教材中的一些具有典型性和代表性的例题或习题，教师在对其变式后让考生进行练习.此外，近几年高考试卷中有很多的题目就是从教材例题或习题中“衍生“而来的，是这些例题或习题的“变异”和“另类”，教师要指导考生加强对这种题目的解题训练，这样考生的适应能力和应变能力就会增强.（4）教材中的解题方法集中体现了解题的精华，教师应要求考生从教材中学习研究解题的方法，加强对考生解题的规范性训练，考场中解题的步骤以及语言、符号的应用应与教材中的一致，整个解题要做到简捷明了，层次清晰，过程完整.三、精心遴选题目，突出典型意义，激活考生思维二轮复习的一项重要任务是要求考生做的题目应具有代表性和典型性，这种题目要发挥以“点”带“面”的效果，具有广泛、极强的指导性，能给考生起到“榜样”“示范”的作用.教师要精心遴选好代表性强，典型性显著的题目，在讲授这些题目的过程中，向考生传授并使他们弄懂其中所蕴含的数学思想和数学方法，把考生的数学思维最大程度地激活，将他们的数学潜能最大程度地激发出来，使他们在数学活动中深刻思维，深入探究，不断地锻炼和提高自己的能力，使考生在考场中面对试题能够心领神会，从容应答.教师对考生组织并进行具有代表性和典型性题目的练习，应该促进考生在娴熟掌握和运用常用的数学方法、数学技巧上有质的飞跃，使考生独立思考问题、分析问题和解决问题的能力有新的突破.需要特别指出的是，教师在遴选具有代表性和典型性题目的时候，应避免太多太杂太长，这样就不致于考生应接不暇和被动应付.适当数量的典型题目有利于考生消化、吸收，也有利于考生在解题后及时反思和总结.教师也可以从考生的解题情况中得到信息反馈，以便“对症下药”，采取相应的复习策略，提高复习的效率和质量.四、重视通性通法，适当淡化技巧，提高解题能力近年高考数学试题有一个显著的现象，即试题在难易的程度上比较适中，而且与考生的实际生活比较贴近，充分体现了面向大多数考生的命题原则，考生能运用所掌握的数学知识和数学方法比较容易地解答试卷中的大多数题目.因此，在二轮复习中，教师应指导考生运用既具有规律性，又带有普遍意义的常规解题模式，运用好常用的数学思想方法，这就是所谓的“通性通法”.在复习中教师要适当地舍弃一些技巧依赖性太强的题目，对于这些技巧既不能强求考生硬背死记，也不能在解题中不切实际地滥用和瞎用技巧，防止弄巧成拙，造成失分.教师要切实重视通性通法，让考生对其必要性和重要性有充分的认识，促进考生掌握和娴熟地运用常规的解题模式和数学思想方法，加大针对性强化训练的力度和密度，在训练中提高解题能力，在训练中做到驾轻就熟，这样在考场中就能成竹在胸，游刃有余.五、正视客观差异，实施因材施教，促进整体提高二轮复习中需要教师引起注意的一个问题是，给考生做的题目应根据他们的实际水平与能力来编制，特别是在题目难易的程度上要恰当和适中，这里就涉及一个“因材施教”的问题.考生之间的水平与能力差异是客观存在的，对于水平与能力处于中等或中等以下的考生，教师应给他们做一些难度中等或者相对比较容易的题目，这样他们在经过思考和钻研后就能够解答正确，完成任务.这种结果不但可以使这部分考生体验到成功的愉悦，也会激发他们学好数学的积极性，从而形成良性循环，不断地提升与进步.对于数学水平与能力较高的考生，教师可以将一些有一定难度或者难度较大的题目让考生探究解答，这样可以使这部分考生的数学视野得到有效的拓展，有利于他们想更高的层次攀升，在高考实战中多拿分.因此二轮复习中教师要切实处理好“因材施教”的问题，使“学优生”、“中等生”、“后进生”三个层面的考生都能有所收获、有所提高.综上所述，第二轮复习是承上启下的重要一轮复习，教师要在深刻认识其重要性的同时，精心制定复习计划，抓好复习的每个环节，重点使考生在薄弱环节和易错点上有根本性的转变和突破.既要关注重点题目和热点题目，又不能将非重点题目和冷点题目“束之高阁”，既要抓大放小，又要全面兼顾，各个突破，融教法、学法、考法于复习中，这样才能实现复习效率和应试能力的双提高.。
初中数学教学如何体现通性通法
2023年第30期教育教学SCIENCE FANS 初中数学教学如何体现通性通法陈燕春（江门市第一中学景贤学校，广东 江门 529000）【摘 要】初中数学教学重视通性通法，要求在教学过程中淡化特殊技巧，注重本原性方法，突出对数学基本概念、基本原理的教学，引导学生梳理知识之间的内在联系，帮助学生构建完整的数学知识体系。
【关键词】初中数学；通性通法；数学本质【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2023）30-0107-03《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）针对中考命题原则提出：“以核心素养为导向的考试命题，要关注数学的本质，关注通性通法。
”可见，新一轮中考命题改革对通性通法十分重视。
在初中数学新课程教学设计过程中，为适应新中考的变化，应强调在课前预习设计、课堂教学设计、课后作业设计、考试命题设计等方面充分关注通性通法，使学生有更多的机会触及数学问题的本质，提升学生的思维能力和学科素养[1]。
对此，笔者结合自身教学实践，认为可以从以下五个方面来进一步体现通性通法。
1 在大单元整体知识架构下体现通性通法新课标在“课程理念”板块提出“对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径”，大单元教学正是在这种背景下产生的。
一个单元必定有一个核心主题（关键的知识、技能或思想），这个核心主题将单元内各部分知识串联成一个相关联且富有逻辑性的整体。
教学时，教师应立足单元视角，牢牢把握单元的核心主题，以此体现数学的通性通法。
【教学案例1】对于“平方差公式”部分内容的教学，人教版初中数学教材直截了当地引入公式，使得学生感到非常突兀。
实际上，两数和与两数差的积就是两个多项式的乘积的一种特例，往大处看，就是两个整式的乘法。
而本节课所在的单元主题正是整式的乘法，本单元的通法是整式的乘法法则。
教学过程中，教师可以站在大单元整体知识架构的基础上引入平方差公式。
高中数学解题能力的组成及培养策略
高中数学解题能力的组成及培养策略摘要：数学解题能力是指能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合运用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述。
它是逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等基本数学能力的综合体现。
由于高考数学科的命题原则是在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重数学能力的考查，强调了综合性。
这就对考生分析和解决问题的能力提出了更高的要求，也使试卷的题型更新，更具有开放性。
关键词：高中数学；解题能力；组成；培养策略一、解题能力的组成1.读题能力读题是对条件和问题进行全面认识，对与条件和问题有关的全部情况进行分析研究，它是如何分析和解决问题的前提。
读题能力主要是指充分理解题意，把握住题目本质的能力；分析、发现隐含条件以及化简、转化已知和所求的能力。
要快捷、准确地解决问题，掌握题目的数形特点、能对条件或所求进行转化和发现隐含条件是至关重要的。
在该题的解答中，学生若没有一定的数学建模能力，正确解决此题实属不易．因此，建模能力是分析和解决问题能力不可或缺的一个组成部分。
二、解题能力的培养策略1．重视通性通法教学,引导学生概括、领悟常见的数学思想与方法数学思想较之数学基础知识，有更高的层次和地位．它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，它是一种数学意识，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决。
数学方法是数学思想的具体体现，具有模式化与可操作性的特征，可以作为解题的具体手段。
只有对数学思想与方法概括了，才能在分析和解决问题时得心应手；只有领悟了数学思想与方法，书本的、别人的知识技巧才会变成自已的能力。
每一种数学思想与方法都有它们适用的特定环境和依据的基本理论，如分类讨论思想可以分成：(1)由于概念本身需要分类的，像等比数列的求和公式中对公比的分类和直线方程中对斜率的分类等；(2)同解变形中需要分类的，如含参问题中对参数的讨论、解不等式组中解集的讨论等．又如数学方法的选择，二次函数问题常用配方法，含参问题常用待定系数法等。
谈谈含参函数单调性的通性通法问题——以导函数是二次函数或类二次函数型为例
通法研究Җ㊀广东㊀张㊀科㊀㊀含参函数因引入了参数使得确定的函数变得不确定,其单调性讨论问题常常涉及分类讨论思想的综合运用,能体现数学思维的深度,体现逻辑推理㊁数学运算㊁直观想象等数学核心素养,是近年来高考的高频考点之一．在实际应用中,能否深入理解问题的本质,能否明确分类的逻辑和依据是求解这类问题的难点．下面就以导函数是二次函数(或类二次函数)为例,探讨求解含参函数单调性问题的通性通法．１㊀以导函数零点的大小为分类依据例１㊀已知函数f (x )＝１３x ３－(１＋a )x ２＋４a x ＋２４a (a ɪR ),讨论函数f (x )的单调性．依题意得f ᶄ(x )＝x ２－２(１＋a )x ＋４a ＝(x －２)(x －２a ),令f ᶄ(x )＝０,得x ＝２或x ＝２a ．当２a ＜２,即a ＜１时,令f ᶄ(x )＞０,得x ＜２a 或x ＞２;令f ᶄ(x )＜０,得２a ＜x ＜２．此时,f (x )的单调递增区间是(－ɕ,２a )和(２,＋ɕ),单调递减区间是(２a ,２)．当２a ＝２,即a ＝１时,fᶄ(x )ȡ０恒成立,此时,f (x )的单调递增区间是(－ɕ,＋ɕ)．当２a ＞２,即a ＞１时,令f ᶄ(x )＞０,得x ＜２或x ＞２a ;令f ᶄ(x )＜０,得２＜x ＜２a ．因此,f (x )的单调递增区间是(－ɕ,２)和(２a ,＋ɕ),单调递减区间是(２,２a )．综上所述,当a ＞１时,f (x )的单调递增区间是(－ɕ,２),(２a ,＋ɕ),单调递减区间是(２,２a );当a ＝１时,f (x )单调递增区间是(－ɕ,＋ɕ);当a ＜１时,f (x )的单调递增区间是(－ɕ,２a )和(２,＋ɕ),单调递减区间是(２a ,２)．由此题可以知道,当导函数的零点大小不确定时,讨论函数单调性的基本步骤如图１所示．求函数f (x )的定义域ң求导函数fᶄ(x )ң求导函数的零点ң以比较零点的大小为依据进行分类ң确定函数的单调区间图１２㊀以导函数零点是否在定义域内为分类依据例２㊀已知函数f (x )＝１２x ２－２(１＋a )x ＋４a l n x ,讨论函数f (x )的单调性．依题意可得,f (x )的定义域为(０,＋ɕ),fᶄ(x )＝x －２(１＋a )＋㊀㊀㊀㊀４a x ＝(x －２)(x －２a )x(x ＞０)．当２a ɤ０,即a ɤ０时,由fᶄ(x )＞０,x ＞０,{得x ＞２;由fᶄ(x )＜０,x ＞０,{得０＜x ＜２．因此f (x )在(２,＋ɕ)上单调递增,在(０,２)上单调递减．当０＜２a ＜２,即０＜a ＜１时,由fᶄ(x )＞０,x ＞０,{得０＜x ＜２a 或x ＞２;由f (x )＜０,x ＞０,{得２a ＜x ＜２．因此,f (x )在(０,２a )和(２,＋ɕ)上单调递增,在(２a ,２)上单调递减．当２a ＝２,即a ＝１时,f ᶄ(x )ȡ０,所以f (x )在(０,＋ɕ)上单调递增．当２a ＞２,即a ＞１时,由fᶄ(x )＞０,x ＞０,{得０＜x ＜２或x ＞２a ;由fᶄ(x )＜０,x ＞０,{可得２＜x ＜２a ．因此,f (x )在(０,２)和(２a ,＋ɕ)上单调递增,在(２,２a )上单调递减．综上所述,当a ɤ０时,f (x )的单调递增区间是(２,＋ɕ),单调递减区间是(０,２);当０＜a ＜１时,f (x )的单调递增区间是(０,２a )和(２,＋ɕ),单调递０１通法研究减区间是(２a ,２);当a ＝１时,f (x )的单调递增区间是(０,＋ɕ);当a ＞１时,f (x )的单调递增区间是(０,２)和(２a ,＋ɕ),单调递减区间是(２,２a )．由此题可知当导函数的零点是否在定义域内不能确定时,讨论函数单调性的基本步骤如图２所示．求函数f (x )的定义域ң求导函数f ᶄ(x )ң求导函数的零点ң优先以导函数的零点是否在定义域内为依据进行分类ң以零点的大小为依据进行分类ң确定函数的单调区间图２３㊀以导函数是否存在零点为分类依据例３㊀(２０１８年全国卷Ⅰ理２１(１))已知函数f (x )＝１x－x ＋a l n x ,讨论f (x )的单调性．f (x )的定义域为(０,＋ɕ),且知fᶄ(x )＝－x ２－a x ＋１x ２．令f ᶄ(x )＝－x ２－a x ＋１x ２＝０,即x ２－a x ＋１＝０．当－２ɤa ɤ２时,Δɤ０,f ᶄ(x )ɤ０,此时,f (x )在(０,＋ɕ)上单调递减．当a ＜－２或a ＞２时,Δ＞０,此时方程x ２－a x ＋１＝０两根为x １＝a －a ２－４２,x ２＝a ＋a ２－４２．当a ＜－２时,两根均为负数,所以x ＞０时,f ᶄ(x )＜０,此时,f (x )在(０,＋ɕ)上单调递减．当a ＞２时,两根均为正数,此时,f (x )的单调递减区间是(０,a －a ２－４２)和(a ＋a ２－４２,＋ɕ),f (x )的单调递增区间是(a －a ２－４２,a ＋a ２－４２)．综上所述,当a ɤ２时,f (x )的单调递减区间是(０,＋ɕ);当a ＞２时,f (x )的单调递增区间是(a －a ２－４２,a ＋a ２－４２),单调递减区间是(０,a －a ２－４２)和(a ＋a ２－４２,＋ɕ)．由此题可知当不确定导函数是否存在零点(或零点的个数)时,讨论函数单调性的基本步骤如图３所示．求函数f (x )的定义域ң求导函数f ᶄ(x )ң优先以导函数是否存在零点以及零点的个数为依据进行分类ң以零点是否在定义域内为依据进行分类ң确定函数的单调区间图３４㊀以导函数的类型为分类依据例４㊀已知函数f (x )＝l n x ＋a x ２－(２a ＋１)x(a ȡ０),讨论函数f (x )的单调性．f (x )的定义域为(０,＋ɕ),且知㊀㊀f ᶄ(x )＝１x＋２a x －２a －１＝２a x ２－(２a ＋１)x ＋１x．当a ＝０时,f ᶄ(x )＝－(x －１)x(x ＞０),令f ᶄ(x )＜０,得x ＞１,f (x )的单调递减区间是(１,＋ɕ);令f ᶄ(x )＞０,得０＜x ＜１,f (x )的单调递增区间是(０,１)．当０＜a ＜１２,即１２a＞１时,fᶄ(x )＝２a (x －１２a)(x －１)x(x ＞０),令f ᶄ(x )＜０,得１＜x ＜１２a,f (x )的单调递减区间是(１,１２a );令f ᶄ(x )＞０,得０＜x ＜１或x ＞１２a ,f (x )的单调递增区间是(０,１)和(１２a,＋ɕ)．当a ＝１２,即１２a＝１时,fᶄ(x )＝(x －１)２xȡ０(x ＞０),f (x )的单调递增区间是(０,＋ɕ)．当a ＞１２,即１２a＜１时,fᶄ(x )＝２a (x －１２a)(x －１)x(x ＞０),令f ᶄ(x )＜０,得１２a＜x ＜１,f (x )的单调递减区间是(１２a ,１);令f ᶄ(x )＞０,得０＜x ＜１２a 或x ＞１,f (x )的单调递增区间是(０,１２a)和(１,＋ɕ)．１１非常道综上所述,当a ＝０时,f (x )的单调递增区间是(０,１),单调递减区间是(１,＋ɕ);当０＜a ＜１２时,f (x )的单调递增区间是(０,１)和(１２a ,＋ɕ),单调递减区间是(１,１２a );当a ＝１２时,f (x )的单调递增区间是(０,＋ɕ);当a ＞１２时,f (x )的单调递增区间是(０,１２a )和(１,＋ɕ),单调递减区间是(１２a,１)．由此题可知当导函数为类二次函数时,若其类型不确定,讨论函数单调性的基本步骤如图４所示．求函数f (x )的定义域ң求导函数f ᶄ(x )ң优先以导函数的类型为依据进行分类ң以零点的大小为依据进行分类ң确定函数的单调区间图４对含参函数单调性问题,求解的关键在于思考,相对于具体函数而言含参函数的不确定性在哪里?分类的逻辑是什么?分类的不同层次及各层次分类的依据又是什么?通过对上述例题的分析㊁求解,可以得出求解含参函数单调性问题的通性通法,即首先要明确题意,确定参数的范围和函数的定义域,其次按照导函数的类型㊁导函数是否存在零点㊁零点是否在定义域内㊁零点的大小进行分类讨论,最后进行整理和总结就能得到正确的结论．含参函数单调性问题的解决是层层递进的,在递进的过程中,因参数在不同位置,使得问题的解决出现了不确定性,为了将不确定的问题转化为确定性的问题,需进行分类讨论．对于导函数为二次型含参函数单调性的讨论,通法如下．第一步,先看二次项系数是否含有参数,若含有参数,则将系数分大于０㊁小于０和等于０三种情况进行讨论;若二次项系数为０,则将问题转化为一次函数问题去解决;若二次项系数不为０,则进入第二步．第二步,对一元二次方程的判别式分Δɤ０或Δ＞０两种情况进行讨论,若Δɤ０,则函数在定义域上单调递增或单调递减;若Δ＞０,则进入第三步．第三步,求出对应一元二次方程的两个不等实根,判断两根是否在定义域内,若两根都不在定义域内或只有一个实根在定义域内,可以借助二次函数图象来解决;若两根都在定义域内,则进入第四步．第四步,判断两个根的大小,从而使问题得解．(作者单位:广东省广州市第八十六中学)Җ㊀江西㊀吕文彬㊀㊀e xȡx ＋１和l n (x ＋１)ɤx 是两个常见的不等式,当且仅当x ＝０时,等号成立．要证明这两个不等式可以通过移项构造新函数f (x )＝e x －x －１或g (x )＝l n (x ＋１)－x ,再利用导数分别求其最小值或最大值的方法．由于证明过程比较简单,这里不再赘述,下面的解题中也将证明省略,将其直接当作结论来用．这两个不等式可直接使用,也可通过代数变形或者换元变形构造新的不等式,不管哪一种方法,在解题中都有着事半功倍的效果,可以轻松解决很多难题,简化解题步骤．下面通过举例说明,以期抛砖引玉．１㊀直接应用例１㊀(２０１７年全国卷Ⅲ理２１)已知函数f (x )＝x －１－a l n x ．(１)若f (x )ȡ０,求a 的值;(２)设m 为整数,且对于任意正整数n ,(１＋１２) (１＋１２２) (１＋１２n )＜m ,求m 的最小值．(１)a ＝１(求解过程略)．(２)因为l n (１＋x )ɤx ,故取x ＝１２k ＞０(k ＝１,２, ,n ),则l n (１＋１２k )＜１２k (k ＝１,２, ,n )．l n (１＋１２)＋l n (１＋１２２)＋ ＋l n (１＋１２n )＜１２＋１２２＋ ＋１２n ＝１－１２n ＜１,即(１＋１２)(１＋１２２) (１＋１２n )＜e ．取n ＝３,可得m ＞１３５６４＞２,而(１＋１２)(１＋１２２)(１＋１２３)＞２,又因为m 为整数,所以m 的最小值为３．此题的第(１)问其实是第(２)问的铺垫,此题将导数与数列结合起来考查．m 为整数就提示我们,只需将结果控制在两个整数之间,观察其形式,很容易联想到这两个常见的不等式．这两个不等式在此题中起放缩作用,可以将含有复杂的指数式或对２１。
通性通法与初中数学
概率计算
理解概率的基本概念和计算方法，能够计算简单事件的概率 。
统计图表
掌握制作各种统计图表的方法，如条形图、折线图、扇形图 等，能够根据图表进行数据分析和解释。
函数与方பைடு நூலகம்通性通法
函数的性质与图像
理解一次函数、二次函数、反比例函 数等函数的性质和图像特点，能够根 据函数图像进行函数值的计算和比较 。
THANK YOU
VS
二次函数
二次函数是初中数学中较为复杂的一类函 数，通过配方法、公式法等通性通法，可 以求解二次函数的顶点和对称轴等问题。
04
通性通法在初中数学中的教学 策略
通性通法在初中数学中的教学策略
• 通性通法在初中数学中占据着重要的地位，它是一种普遍适用 的解题思路和方法，对于提高学生的数学思维能力和解题能力 具有重要意义。
特点
通性通法具有普遍适用性、基础 性和规范性，是解决数学问题最 常用的方法之一。
通性通法的重要性
基础性
通性通法是数学学习的基础，掌 握通性通法有助于学生更好地理
解和掌握数学知识。
实用性
通性通法是解决实际问题的重要工 具，掌握通性通法有助于培养学生 的数学应用意识和实践能力。
拓展性
通性通法是拓展数学知识的重要桥 梁，掌握通性通法有助于学生进一 步探索和研究更高级的数学领域。
在初中数学中，代数运算也是通性通法的重要应用之一。例如，乘法分配律、乘法公式、因式分解等通性通法， 可以简化复杂的代数运算，提高计算效率。
几何应用
三角形
在三角形中，通性通法如角平分线定理、中线定理等，可以用于证明和计算相关问题。
圆
在圆的相关问题中，通性通法如垂径定理、切线长定理等，可以用于解决圆的性质和计 算问题。
王总结数学：高考,行百里者半于九十,135+离你有多远？王总结数学,只差这一套课程!
高考，行百里者半于九十，135+离你有多远？王总结数学，只差这一套课程！每年高考血淋林的事实告诉我们，高考没有侥幸.没有万全的准备，不要期待在高考中有奇迹.你要想得到135+，就要有145+的水平.对于每一个高三的同学而言，如果错过了一轮复习，很有可能错过整个高考。
高三的学生和家长都已经开始为选择一个高效率高质量的补习辅导班而发愁了。
如何才能让孩子的最后一年不白白的浪费,分数大大提升呢？有没有一个课程不用孩子基础太差，不用担心孩子在补习班路上疲于奔波？既要会通法、又要抓技巧常考、必考的内容不能失分，为此需要总结这些问题的通性通法.所谓“通性通法”，指的是某一类本质相同的数学问题的统一解法. 这个工作是巨量的，因为要做得非常细：这种方法适合在什么情况下使用？针对哪个类型的题目有效？它的原理是什么？与其它方法比，它的优点和缺点分别是什么？该方法的操作流程、操作细则是什么？哪一步是关键步骤？我在哪一步犯错较多？我如何避免这样的错误？......当然，通法的积累并不排斥巧解----技巧的运用.既然你追求的是135+的高分，用于提升解题速度的技巧也要积累.既要有思路、又要会计算很多高三学生复习时，见到自己会的题、自己有思路的题就跳过，美其名曰“省时间”.这样挑着做题、跳着做题的后果就是，一旦走进真正的考场，瞬间被击溃.因为每一套高考试卷的设计，都要从思维量和计算量两个维度上通盘考虑.也就是说，每套高考卷思维量和计算量的总和基本是一个定值，且是经过严格测试的-----每年都有提前参加考试的学生"小白鼠"和青年教师“小白鼠”.如果你只做一部分题，就无法接受命题人全面、系统、整体的考验，训练的效果自然事倍功半.而且，久而久之你的计算能力也会严重下降.还要会表达、还要懂趋势接下来，你要学会规范表达.模仿历年高考的标准答案，你要练就各种解答题的书写套路----什么是要写出的得分点，什么是可省略的中间过程.最后，想考135+的童鞋，还要踮起脚够一够压轴题.各个地区的压轴题命题思路迥异，比如北京理科卷，每年压轴题都要设计一道不说人话的创新题，考察学生推理证明的能力.在命题趋势把握方面，还是找一位出色的私人教师比较可行.让学生自己研究考试方向，就应了一句古诗----不识庐山真面目，只缘生在此山中.王总结数学针对高三学生，特别推出《高考135+目标分数班》。
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数学解题中的通性通法
中学数学的学习离不开数学解题，在数学解题中，经常会遇到一些常规的解
题模式和常用的数学方法，我们称之为通性通法。
通性通法对数学学习与数学解
题非常重要，在数学解题中，我们要整体把握好通性通法，理解通性通法的本质。
下面让我们通过几个问题，共同探讨一下数学解题中的通性通法。
1. 二次函数闭区间上求最值
求函数x x x f 22-=)(在区间],[32-上的最大值和最小值.
解题思路：作出函数x x x f 22-=)(的图象，在区间],[32-上截段，数形结合，
寻求函数的最大值和最小值
解题过程：由022=-=x x x f )(解得零点：
1=x 图象（如图）
由图象可以看出：当2-=x 时，函数)(x f 取
最大值8442=+=-)(f ;当1=x 时, 函数
)(x f 取最小值1211-=-=)(f . 规律总结：二次函数闭区间上求最值时，
基本的通法是：作图象，截段，求最值等。
2. 直线与圆锥曲线位置关系
已知双曲线C ：2222=-y x 与点P (1，2)，求过P (1，2)点的直线l 的斜率
取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点.
解：(1)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1,与曲线C 有一个交点.
(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k (x －1),代入曲线C 的方
程，并整理得：(2－k 2)x 2+2(k 2－2k )x －k 2+4k －6=0 (*)
(ⅰ)当2－k 2=0,即k =±2时，方程(*)有一个根，直线l 与曲线C 有一个交点
(ⅱ)当2－k 2≠0,即k ≠±
2时 Δ=［2(k 2－2k )］2－4(2－k 2)(－k 2+4k －6)=16(3－2k ) ①当Δ=0,即k =2
3时，方程(*)有一个实根，直线l 与曲线C 有一个交点. ②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k
x x 22-=)
＜23时，方程(*
)有两不等实根，直线l 与曲线C 有两个交点. ③当Δ＜0，即k ＞23
时，方程(*)无解，直线l 与曲线C 没有交点. 综上可知：当k =±
2,或k =23，或k 不存在时，直线l 与曲线C 只有一个交点；当2＜k ＜2
3,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，直线l 与曲线C 有两个交点；当k ＞2
3时，直线l 与曲线C 没有交点. 规律总结：判定直线与圆锥曲线位置关系时,首先讨论直线有无斜率。
当直线l 斜率存在时，应将直线l 方程与圆锥曲线C 的方程联立,消去y (也可消去x )得一个关于变量x 的一元方程220.ax bx ++=
①当0a ≠时,若有0∆>,则l 与C 相交;若0∆=,则l 与C 相切;若0∆<,则l 与C 相离. 通过∆的情况判断直线与圆锥曲线的位置关系。
②当0a =时,得到一个一元一次方程,若方程有解,则有直线l 与C 相交,此时只有一个公共点;若C 为双曲线,则l 平行于双曲线的渐近线;若C 为抛物线,则l 平行于抛物线的轴.所以只有当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线、抛物线可能相切,也可能相交。
3. 待定系数法求解数学问题
待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决的数学方法。
解题的关键是依据已知条件，正确列出等式或方程。
例1 已知抛物线过A(0，1),B(1，2),C(2，-1)三点，求函数解析式.
解：设函数解析式为y=ax 2+bx+c ，∵抛物线过（0，1），（1，2），（2，-1） c=1
∴ a+b+c=2 ，解之得a=-2，b=3，c=1；
4a+2b+c=-1
故函数解析式为y=-2x 2+3x+1.
例2 求过三点O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圆的方程．
解：设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，由O 、A 、B 在圆上，则有
解得：D=-8，E=6，F=0，
故所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0．
例题评析：以上两个例题均采用了待定系数法。
判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，两个问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。
待定系数法解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
通过以上几个例子，我们可以看到通性通法在数学解题中的重要作用。
这种具有普遍意义的解题方法，在解决问题中是最适用的，是数学方法的主流，也是高考中的重要考查点。
因此，我们在教学中重视对通性通法的重视和引导，把通性通法放在一个重要的地位。
当然，数学中的通性通法不仅仅是以上几种，如数形结合、变量代换、消元、某类问题的解法等，都是重要的通性通法。
在教学中需要我们将其渗透于各章节之中，加强对通性通法的训练与提高。