解析几何一题多解教给学生通性通法

解析几何一题多解 教给学生通性通法

问题：已知椭圆18

162

2=+y x ，若A,B 分别是椭圆的右顶点、上顶点，M 是第一象限内的椭圆上任意一点，O 是坐标原点，求四边形OAMB 面积的最大值．

解法1：如图1，连接OM ，设(,)M x y 且0,0x y >>，

则OAMB OAM MOB S S S S ∆∆==+11

42222

y x =⋅⋅+⋅⋅=22y x +．又

22

221,216.168

x y x y +=∴+=2162((0,22))x y y ∴=-∈222162S y y ∴=+-①，2

228y S y

'∴=-

-，由0S '=，

得2y =（负值舍去）．当02y <<时，0S '>，当2y >时，

0S '<，所以2y =时，S 有最大值，)max (28S S ==．

解法2：遇根式考虑平方，可以将繁化简，减少计算量 对①式两边平方得：2243288S y y =+- ②， 再令24()8f y y y =-，由()0f y '=，得2y =，……． 解法3：对②式没必要用导数，可以用配方法．

对②式配方得222328(4)16S y =+--+，而20,8y ∈（），

所以，24y =时，2

max

64S =．于是，max 8S =． 解法4：用椭圆的参数方程，目标函数就是一元函数，比较简单．

由点M 在椭圆18

162

2=+y x 上， 可设(4cos ,22sin ),M θθ其中(0,)2π

θ∈．

则42sin 42cos 8sin()4

S π

θθθ=+=+．

4

π

θ∴=

时，max 8S =． 解法5：如图2，设M 到直线AB 的距离为d ，

则426OAMB OAB MAB S S S S d ∆∆==+=+，因此要使S 最大，只需d 最大．直线

A

B

M

l

o

x y

图2

A

B

M

o

x

y

图1

AB 的方程为：2144

x y

+

=．设与AB 平行的直线l 的方程为： 2x y λ+=． 将其带入18

1622=+y x 得22(2)216y y λ-+=，所以 22422160y y λλ-+-=． 由0∆=解得42λ=±．直线l 应在AB 的上方，所以l 的方程为：

2420x y +-=．从而d 的最大值为两平行直线间的距离．

所以，max d =

4213-（）．于是，4(21)

42683

-+=max S =． 解法6：借助线性规划的思想方法来求解．

由解法1得22S y x =+，将S 看成目标函数，则变量,x y 满足约束条件

18

162

2=+y x 且0x >且0y >．如图3，将直线0:220l y x +=向上平移至与曲线 AMB 相切时S 最大．类似于解法5，求出切点(22,2)M ，所以

max 222228S =⨯+⨯=．

解法7：可以用导数来求切线 l 的方程或切点坐标．

设00,)M

x y （，曲线AMB 的方程是：22

16(04)2

y x x =

-<<，则切线l 的斜率0|x x k y ='=，由0l l 得方程：02222

22216x x -⋅=-

-，解得022x =．

解法8：更简单的解法.将18

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2=+y x 变形为22216x y +=，问题实质即为已知条件等式22216x y +=（0,0x y >>）,求代数式22y x +的最大值．

由不等式22

22

a b a b ++≤

得，222(2)(2422y x y x ++≤=2

）， 当且仅当224y x ==时等号成立．因此，max 248S =⨯=．

x y

B

M

A

O

l l 0

图3