通性通法在中考数学中的运用
数学解题中的通性通法
数学解题中的通性通法中学数学的学习离不开数学解题，在数学解题中，经常会遇到一些常规的解题模式和常用的数学方法，我们称之为通性通法。
通性通法对数学学习与数学解题非常重要，在数学解题中，我们要整体把握好通性通法，理解通性通法的本质。
下面让我们通过几个问题，共同探讨一下数学解题中的通性通法。
1. 二次函数闭区间上求最值求函数x x x f 22-=)(在区间],[32-上的最大值和最小值.解题思路：作出函数x x x f 22-=)(的图象，在区间],[32-上截段，数形结合，寻求函数的最大值和最小值解题过程：由022=-=x x x f )(解得零点：1=x 图象（如图）由图象可以看出：当2-=x 时，函数)(x f 取最大值8442=+=-)(f ;当1=x 时, 函数)(x f 取最小值1211-=-=)(f . 规律总结：二次函数闭区间上求最值时，基本的通法是：作图象，截段，求最值等。
2. 直线与圆锥曲线位置关系已知双曲线C ：2222=-y x 与点P (1，2)，求过P (1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点.解：(1)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x =1,与曲线C 有一个交点.(2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k (x －1),代入曲线C 的方程，并整理得：(2－k 2)x 2+2(k 2－2k )x －k 2+4k －6=0 (*)(ⅰ)当2－k 2=0,即k =±2时，方程(*)有一个根，直线l 与曲线C 有一个交点(ⅱ)当2－k 2≠0,即k ≠±2时 Δ=［2(k 2－2k )］2－4(2－k 2)(－k 2+4k －6)=16(3－2k ) ①当Δ=0,即k =23时，方程(*)有一个实根，直线l 与曲线C 有一个交点. ②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜kx x 22-=)＜23时，方程(*)有两不等实根，直线l 与曲线C 有两个交点. ③当Δ＜0，即k ＞23时，方程(*)无解，直线l 与曲线C 没有交点. 综上可知：当k =±2,或k =23，或k 不存在时，直线l 与曲线C 只有一个交点；当2＜k ＜23,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，直线l 与曲线C 有两个交点；当k ＞23时，直线l 与曲线C 没有交点. 规律总结：判定直线与圆锥曲线位置关系时,首先讨论直线有无斜率。
通性通法:运算律教学的核心价值(一)
通性通法:运算律教学的核心价值(一)【摘要】通性通法是数学教学中的重要理念，通过通性通法的教学方法可以帮助学生更深入地理解四则运算律的重要性和应用。
本文从引言入手，介绍通性通法的概念，接着阐述四则运算律在数学教学中的核心价值，并探讨通性通法在教学实践中的应用以及对学生学习的影响。
通过对这些内容的详细讨论，可以更好地理解通性通法在数学教育中的重要性，以及如何通过该理念提高学生的数学学习效果。
结论部分将对文章进行总结，强调通性通法在数学教学中的重要作用，为读者提供全面的认识和思考。
【关键词】通性通法、运算律、教学、核心价值、教学实践、学习影响1. 引言1.1 引言通性通法是数学教学中的一种重要理念，它强调在教学中要注重通性，即通用性，通法，即方法。
通过通性通法的教学方法，可以帮助学生更好地理解和运用各种运算律，提高他们的数学学习能力和解决问题的能力。
在数学教学中，四则运算律是最基础也是最关键的知识点之一，它们是数学学习的基石。
正确认识和理解四则运算律的重要性，对于学生的数学学习起着至关重要的作用。
通过本文的研究，我们将深入探讨通性通法在运算律教学中的核心价值，探讨其在教学实践中的应用及对学生学习的影响。
我们也将分析近年来在数学教学中普遍存在的问题，并提出一些应对措施，以期能够更好地落实通性通法的理念，提升数学教学的质量和效果。
通过这些努力，我们相信可以帮助更多的学生在数学学习中取得更好的成绩，为他们的未来发展奠定坚实的基础。
2. 正文2.1 通性通法的概念通性通法是一种教学方法，旨在通过总结不同运算法则的共性规律，帮助学生理解和掌握各种运算规律。
在数学教学中，通性通法是一种重要的教学策略，可以帮助学生建立起数学思维的框架，提高他们的整合和应用能力。
通性通法的核心理念在于不仅仅教授学生某种具体的运算规律，更重要的是让学生明白这些规律背后的共性原则。
通过比较和归纳不同的运算规律，学生可以更好地理解数学运算的本质，从而在实际问题中更加灵活和准确地运用所学知识。
求最短路径问题的策略与方法
教育实践与研究2015年第36期/B （12）理科教学探索求最短路径问题是历年数学中考中的常见题型，在选择、填空和解答题中均有体现，其灵活多变的考查形式，较易与其他知识融合的显著特点，受到许多命题者的青睐。
在中考数学试题中，求最短路径问题常常以求两条线段之和最小值的形式出现，并以特殊三角形、特殊四边形和函数图象等初中数学中的核心知识为载体，以考查学生灵活运用转化、化归等数学思想方法为目的，通过操作探究、推理论证、灵活求解的方式来解决问题。
此类问题的解决是以基本事实“两点之间线段最短”为依据，以探寻转化方法为核心，实现对学生综合运用数学知识解决问题能力的全面考查。
此类题目充满了探究性和思辨性，常常在中档题和压轴题中出现。
如何利用基本事实“两点之间线段最短”，解决最短路径问题呢？一、建立数学模型基本事实“两点之间线段最短”，从宏观上说明了“两点之间的所有连线中，线段最短。
”在解决问题时，此基本事实常常以下面的具体模型呈现：数学模型：如图1，已知点A 、点B 在直线l 的两侧，点P 是直线l 上的一个动点，连接AB 、PA 、PB ，则有PA +PB ≥AB 。
根据“两点之间线段最短”这一基本事实可知：PA +PB ≥AB ，即当点P 与AB 和直线l 的交点O 重合时，PA +PB =OA +OB 的值最小，最小值即为线段AB 的长。
因此，在求两条动线段之和的最小值时，我们只要能够将两条线段转化为一条线上的一个动点到两个定点（在这条线的两侧）的两条线段之和的形式，就可以直接应用这个数学模型来解决问题。
二、应用数学模型结合2015年全国各地中考数学试卷中，有关求最短路径问题的部分题目，探究解决此类问题的具体策略与方法。
求最短路径问题的策略与方法李会芳（石家庄市新华区教育局教研室，河北石家庄050051）摘要：求最短路径问题是历年数学中考中的常见题型，常在中档题和压轴题中出现。
2015年全国各地中考数学试题中，此类问题更是呈现形式多样，考法丰富多彩，较好地考查了学生综合运用数学知识灵活解决问题的能力。
2024河南中考数学试题评析
2024河南中考数学试题评析中考是每个学生人生中的一次重要考试，决定着他们的高中学业发展。
其中数学科目一直被认为是学生们最为困难的科目之一，曾有人说过：“ 胜数学者胜中考”。
2024年中考拉下帷幕，当我们仔细分析今年的数学命题，我相信有经验的数学老师都会有一种意料之中的快意，下面我谈几点不成熟的看法。
一、稳中求变。
我从2002-2022河南中考数学试题做过对比分析，这里面有五次大的转折，基本呈现五年有调整，前二次转折无论从题量还是题型甚至知识点考查调整比较大，更倾向于 变”；后三次转折可以说是微调，更注重 稳”。
1.我们先来说说稳。
发展到现在主要有三不变：①结构不变：闭卷120分，考试时间为100分钟，题目共计23题，填空选择15题45分，解答8题75分。
②题型不变：选择题、填空题、解答题，解答题主要涵盖——计算求解、推理证明题、应用性问题、阅读分析题、类比探究性问题、开放性问题等。
③考查知识点不变：以数与代数、图形与几何为主，统计与概率、综合与实践为辅。
2.我们再来说说变。
三变”。
①选择题由原来的6题升为8题，再升为10题，填空题由原来的9题降为7题再将为5题。
②题目难度下调，2024难度系数0.65-0.70，满分120，基本平均分78-84；③阅读量增大。
二、变中求新。
1.体现教-学-评一致性。
可以说原来我们的数学中考是考什么，学什么，所以每一年都会有 惊喜”，正如有人说平时学了一粒沙，考试考了撒哈拉；现在依据新课程标准转变为学什么，考什么。
以前我们每年可以扒拉出上百套全国各地中考试题，以后这种情况将不复存在了。
新课标明确规定学业水平考试由省级教育行政部门组织实施，依据学业质量标准，对学生学完本课程后课程目标达成度进行终结性评价。
考试成绩是学生毕业和高一级学校招生录取的重要依据，为评价区域和学校教学质量、改进教学提供重要参考。
值得注意的是2025与2026届仍延续的是2011版课标，今年暑假后七年级新生将正式使用新教材，2022版新课标也正式落地。
数学的通性通法在教学中的运用
数学的通性通法在教学中的运用作者：孙克红来源：《学周刊·C》2014年第03期数学是一门系统性很强的科学，首先，任何一个数学概念和规律都是包含在一定的知识体系当中。
只有深刻地理解了所有概念、规律的关系，以及他们在整个数学知识体系中的地位和作用，理解才够深刻，记忆才会牢固，运用才会得心应手。
其次，在一定范围内的概念和规律，也有主次之分。
因此，在数学教学中，不仅要掌握个别的概念和规律，而且要掌握其知识体系；不仅要掌握知识体系而且要突出重点、难点，以点带面，抓住知识的“纲”，做到“纲举目张”。
数学的通性通法就是数学系统知识的“纲”。
例如，集合和逻辑语言的运用；设未知数列方程或不等式问题原理；函数关系的建立与研究；数形结合；配方法；待定系数法；立体问题的平面转化等等。
数学的通性通法，还说明在研究自然科学、工程技术、农业、商业、经济、政治中的实际问题时，需要从事物的定量分析中将其数学化，建立数学模型，再利用模型来解决这类问题。
其过程是：实际问题——数学化——数学模型——检验——应用。
因此，马克思说：“一种科学只有在成功地运用数学时才能达到真正完美的境地。
”在这里我们只探讨数学通性通法在数学教学中的应用。
一、注意知识的系统性，形成知识体系不少数学知识、概念和规律在出现时具有一定的离散性，如果教师不能系统地加以把握，那么学生得到的就是一些零星、孤立、毫无联系的东西，既不利于理解，又容易遗忘。
例如，“距离”这个概念，从初二“两点间的距离”开始，到立体几何中“两条异面直线间的距离”，再到解析几何中“点到直线的距离”和“两条平行线之间的距离”，概念的延续和拓展时间达四年之久，如果教师在教学中不能将新旧知识系统化，教学效果将大打折扣。
再如，对于“数”的学习和认识，从小学的“自然数、整数、分数”到初中的“有理数、无理数、实数”，再到高中的“复数”，学习时间前后多达11年之久。
如果数学教师在高中的教学阶段中不能把集合和复数的概念加以系统化，形成“数”的体系，那么学生在解决“数集”的问题时，必然会遇到困难而错误百出。
初中数学教学如何体现通性通法
2023年第30期教育教学SCIENCE FANS 初中数学教学如何体现通性通法陈燕春（江门市第一中学景贤学校，广东 江门 529000）【摘 要】初中数学教学重视通性通法，要求在教学过程中淡化特殊技巧，注重本原性方法，突出对数学基本概念、基本原理的教学，引导学生梳理知识之间的内在联系，帮助学生构建完整的数学知识体系。
【关键词】初中数学；通性通法；数学本质【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2023）30-0107-03《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）针对中考命题原则提出：“以核心素养为导向的考试命题，要关注数学的本质，关注通性通法。
”可见，新一轮中考命题改革对通性通法十分重视。
在初中数学新课程教学设计过程中，为适应新中考的变化，应强调在课前预习设计、课堂教学设计、课后作业设计、考试命题设计等方面充分关注通性通法，使学生有更多的机会触及数学问题的本质，提升学生的思维能力和学科素养[1]。
对此，笔者结合自身教学实践，认为可以从以下五个方面来进一步体现通性通法。
1 在大单元整体知识架构下体现通性通法新课标在“课程理念”板块提出“对内容进行结构化整合，探索发展学生核心素养的路径”，大单元教学正是在这种背景下产生的。
一个单元必定有一个核心主题（关键的知识、技能或思想），这个核心主题将单元内各部分知识串联成一个相关联且富有逻辑性的整体。
教学时，教师应立足单元视角，牢牢把握单元的核心主题，以此体现数学的通性通法。
【教学案例1】对于“平方差公式”部分内容的教学，人教版初中数学教材直截了当地引入公式，使得学生感到非常突兀。
实际上，两数和与两数差的积就是两个多项式的乘积的一种特例，往大处看，就是两个整式的乘法。
而本节课所在的单元主题正是整式的乘法，本单元的通法是整式的乘法法则。
教学过程中，教师可以站在大单元整体知识架构的基础上引入平方差公式。
试论网格作图题的通性通法
试论⽹格作图题的通性通法很多⼈知道天津中考数学有⼀道“奇葩”题——⽹格作图题，此题要求⽤⽆刻度直尺作图，并且还不需要说明作图原理。
很多外省市教师都不能理解此题的意图，包括天津本市也有很多⽼师觉得此题⽆从⼊⼿。
本⼈曾经在天津呆了⼀段时间，⼀直在思考，也⼀直在学习如何突破这道题。
现在将我的思考总结如下，敬请指正。
本⽂分为四部分：第⼀部分：通过⼀个基本问题阐释⽹格作图题的突破点：基本作图。
第⼆部分：通过基本问题的变化感受⽹格作图题的⼀般破解⽅法。
第三部分：通过中考真题的解法对⽐提炼中考题的通性通法。
第四部分：附录该题型命题⼈的⽂章和其他著名教师的解法。
本⽂后半部分需要付费，请谅解，算是给本⼈打字的⾟苦钱，谢谢您。
其实核⼼的内容都在前⾯了。
不感兴趣的读者不⽤看后⾯。
饮酒陶渊明结庐在⼈境，⽽⽆车马喧。
问君何能尔，⼼远地⾃偏。
采菊东篱下，悠然见南⼭。
⼭⽓⽇⼣佳，飞鸟相与还。
此中有真意，欲辨已忘⾔。
基本问题如图，在边长为1的⽹格中⽤⽆刻度的直尺完成以下作图：（1）作出长度为的线段。
（2）过点C作AB的平⾏线。
（3）点点C作AB的垂线。
（4）在AB线段上取⼀点D，使AD:BD=4:3.解题障碍:有点⽆从⼊⼿的感觉，知道尺规作图，但是不知道这种⽆刻度直尺作图。
不理解⽆刻度直尺的含义，不⽤圆规怎么可以画出⽆理线段，看到答案也不明⽩答案为什么成⽴，更不明⽩笔者是怎么想到答案的。
这都是⽹格题的痛点所在。
解题之道：“乾坤⼤挪移”，将⽹格问题转化为常规平⾯⼏何问题解题之术：基本解题顺序是⼀估⼆推三作图。
利⽤4个基本作图破解作图难题，剩下的就是模型分析和推理了。
注重逆向思维的使⽤。
执果索因解题之本：⽹格就相当于是⼀个坐标，直尺上的刻度转化到⽹格上了。
后⾯作图原理是勾股，平⾏，垂直，相似性质得到，其实都是教科书上的基本原理。
这⾥特意提到以下基本概念：格点，⽹格线（格线），格点线段，⾮格点线段，悬空点，悬空线段，补格格点：⽹格线的交点格点线段：图中两端点都是格点的线段⾮格点线段：⾄少有⼀个端点不是格点的线段。
数学的通性通法在教学中的运用
识 体系而且要 突出重 点 、 难点 ， 以点带 面 ， 抓 住 知识 的“ 纲” ． 做 到“ 纲举 目张 ” 数 学 的通 性通 法就 是数 学 系统 知识 的
“ 纲” 。 例如． 集合 和逻辑语言 的运 用 ： 设未知 数 列方程或 不等式 问题原理 ： 函数关 系的建 立 与研 究 ； 数形结 合 ； 配方 法 ； 待 定系数 法 ； 立体 问题 的平 面转化 等等 数 学 的通 性通 法 ．还说 明在研究 自然科学 、工程技 术 、 农
是 联系社会 生活和学 生思想实 际 ． 让学 生看
例如． 由圆的任意方 程和圆心 在原点 的 方 程之 间的关 系 ．推导 和记 忆坐 标平 移 公 式： 在解 析 几何 中 ， 根 据圆锥 曲线 的定 义 推 导 和记忆它 的标 准方程 、 性质等 。将诱 导公 式 总结 为 “ 纵 变横 不变 。 符 号看 象 限 ” ： １ ． 当
又让学 生学 到了方法
数学 教学 中．很 不注 意联系实 际生活实践 这 样使得 本来 具有 广泛 使用 价值 的数 学学 科失 去 了本 来的价值 ．成为教 育的摆设 ． 变 成 了无源之水 、 无本之木 。学生 既不知道 为 什 么学数学 ．造成学生 学习 中缺乏兴趣 ： 也 不 知道如何 学习 ． 造成 本来抽象 的知识无法 理解、 无法 掌握 ： 更不 知道 学习数 学有 什 么
价值 、 用途 ． 成 了书呆子 联 系实际 ．一 是联系学 生专业 实际 ． 让
例 如 ．由直线 方 程 的点斜 式推 导 斜截
式、 两点 式 、 截距式 ； 由余 弦的和角 公式推 导 余弦 的差 角 、 倍角 、 半角公 式 ， 再推 导正弦 的 差角 、 和角、 倍角、 半角公 式 ， 再推 导正 切 的 差角 、 倍角、 半角公式 等。
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通性通法在中考数学中的运用作业
1、如图1，图2，图3，在ABC △中，分别以AB AC ，为边，向ABC △外作正三角形，正四边形，正五边形，BE CD ，相交于点O ．
①如图1，求证：ABE ADC △≌△；
②探究：如图1，BOC ∠= ；
如图2，BOC ∠= ；
如图3，BOC ∠= ．
（2）如图4，已知：AB AD ，是以AB 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边；AC AE ，是以AC 为边向ABC △外所作正n 边形的一组邻边．BE CD ，的延长相交于点O ．
①猜想：如图4，BOC ∠= （用含n 的式子表示）；
②根据图4证明你的猜想．
2、如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以
CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，
得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否
仍然成立,并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb (a≠b，k>0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k=1
2
，求22
BE DG
+的值．。