几何与代数历年真题版
代数与几何难题(含解析)
代数与几何难题一、选择题1、如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于( )．A .B .C .D .二、解答题2、如图1，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（2，1），射线AB与反比例函数图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC=75°，AD⊥y轴，垂足为D．（1）求k的值；（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式；（3）如图2，M是线段AC上方反比例函数图象上一动点，过M作直线l⊥x轴，与AC相交于点N，连接CM，求△CMN面积的最大值．3、已知抛物线y＝a+bx+c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴。
（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由。
4、已知抛物线．（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；（2）若A（n-3，n2+2）、B（-n+1，n2+2）是抛物线上的两个不同点，求抛物线的解析式和n的值；，且（3）若反比例函数的图象与（2）中的抛物线在第一象限内的交点的横坐标为x满足2＜x＜3，求k的取值范围．5、如图，抛物线y=a+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M坐标；（2）求△BCM面积与△ABC面积的比；（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点Q，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出Q点坐标；若不存在，请说明理由。
6、如图，第一角限内的点A在反比例函数y=的图象上，第四象限内的点B 在反比例函数y=图象上，且OA⊥OB，∠OAB＝60度，则K值为__________7、如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D是抛物线上一点，其坐标为（，-），B点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）经过A、B、D三点的圆交AC于F，交直线y=x+3于点E．试判断△BEF的形状，并加以证明．代数与几何难题的答案和解析一、选择题1、答案：C试题分析：先过点A向BC引垂线，构造出直角三角形，再利用三角函数的定义解答即可。
高中数学练习题代数与几何
高中数学练习题代数与几何高中数学练习题：代数与几何一、代数题1. 已知多项式函数 f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7，求 f(x) 在 x = 2 处的函数值。
解析：将 x = 2 代入 f(x) 中即可得到函数值。
2. 若 a + b = 8，ab = 15，求 a^2 + b^2 的值。
解析：根据二次方程的求根公式，我们可以得到 a 和 b 的值，然后再计算 a^2 + b^2。
3. 已知集合 A = {1, 2, 3, 4}，集合 B = {3, 4, 5, 6}，求 A 与 B 的交集、并集以及差集。
解析：根据集合的定义和运算规则，可以求得 A 与 B 的交集、并集以及差集。
二、几何题1. 在平面直角坐标系中，过点 A(2, 6) 和点 B(-4, -3) 的直线 k 的方程是什么？解析：使用两点式求得直线 k 的方程。
2. 已知等边三角形 ABC 的边长为 6cm，求三角形的高、面积以及内切圆半径。
解析：根据等边三角形的性质，可以求得三角形的高、面积以及内切圆半径。
3. 已知平面图形 ABCD 是一个正方形，AB 的边长为 5cm。
点 E、F、G 分别是 AB、BC、CD 上的点，且 AE = BF = CG。
求三角形 EFG 的面积。
解析：根据正方形的性质，可以求得三角形 EFG 的面积。
三、综合题已知函数 f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x + 2，考察其在数轴上的特征点。
解析：通过求导、求值等方式，可以确定函数 f(x) 的驻点、拐点以及零点等特征点。
综上所述，本篇文章涵盖了高中数学代数与几何方面的练习题，包括代数题和几何题。
通过解析各题目，我们可以了解到问题的解法和相关概念。
这些题目旨在帮助高中生巩固数学知识，提高解题能力。
代数与几何期末测试题代答案
2000年代数与几何期末测试卷带答案试卷（一）一、填空题（每小题3分）增广矩阵为 A = （A ：b ）= 2由已知 r(A) < r(A),故 r(A) < 3, «2-2tz-3 = 0 ,即 Q = —1 或 1 = 3.当.=一1 时，r( A) < r( A) = 3 , 当 tz = 3时，r(A) = r(A).舍去. 综上，a = —\.二、选择题（每小题3分）（4）设〃维列向量组〃）线性无关，贝U 〃维列向量组川,..•,/?,〃线 性无关的充分必要条件为：（A ） 向量组％,…叫可由向量组旗,••璀皿线性表示； （B ） 向量组/?],.. .，患可由向量组线性表示；（C ） 向量组％,…叫与向量组“],•••,，〃等价；（D ） 矩阵 A = 与矩阵 B =（■，...,—）等价.解：（D ）正确（A ）、（B ）、（C ）说的都是两个向量组的线性表示，仅由旗,・・,队的线性无关，推不出线性表示，即必要条件不成立，现举反例如下：令％ =当，仪 2=。
3”2 =。
4 ,'1 2 1、（4）己知方程组 2 3 a + 2 工2 — 3J a ~2>解：一1.I无解，则。
=<1 21 • O<1 2 1:1 )10 -1 a 1 110 -1a1• 11[0 Q — 2 -3[0 0 cr — 2。
— 3| Q -3/1 a-2 ! 0,其中弓,°2，。
3，。
4为（〃阶单位阵，«>4 ）的前4列向量.显然e”2线性无关，。
3，。
4线性无关，而（A）、（B）、（C）都不成立.设.，队线性无关，因为mv〃，所以B矩阵列满秩，r（B）= m ,由线性无关，则A也是列满秩，r（A）= m,所以r（A）= r（B）,又因为4,8 都是nxm阵，故4,8等价.反之4,8等价，故残4）=,（8）,又因％,…叫线性无关，故A为列满秩阵,p = A% — (2, + /? + l)<z 9 + (2Z? +1)仪3 .解法2设有一组数k[ *盘3使得k x a x + k 2a 2 + k 3a 3 = p.对方程组的增广矩阵可作行的初等变换，有（a -2 -1（2 1 1 b 、 A = 2 1 1 b — 0 -2-色a ab 1 15 4 c)2 0 2 -1 2 c-5b7（1）当-2-旦壬0,即IA T 时，秩（A ）=秩（A ） = 3 ,方程组有唯一解，p 可由％,仪2，%线性表出，且表示唯一.2（2）当—2-— = 0,即。
几何与代数历年真题
也线性无关； 1 2, k2 3,3 1
1 1 1 1
4．
矩阵
A
0
0
1 0
1 1
1 1
的伴随矩阵
A*
=
0 0 0 1
；
5．
设矩阵
A
及
A
E
均可逆，则 G
E
(A
，且 E)1
G 1
时，
6． 与向量 (1,0,1) ， (1,1,1) 均正交的单位向量为
；
7． 四 点 共 A(1,1,1), B(1,1, x),C(2,1,1), D(2, y,3) 面 的 充 要 条 件
12．．
求求参一数正交k,l的阵值
；
Q, 使得QT
AQ
B.
八（6%）已知n 阶方阵 A 相似于对角阵，并且， A 的特征
向量均是矩阵 B 的特征向量。证明： AB BA。
-3-
02-03 学年第二学期
几何与代数期终考试试卷
一． 填空题、单选题（每小题３分，共３６分）
1
1． 025
1
2002
3
-1-
所截有界部分在 x y 平面上的投影区域的草图（应标
明区域边界与坐标轴的交点）。
三（8%）求经过直线
x x
2y y
z 2z
2且与 x y 平面垂直的
1
平面方程.
四（12%）求矩阵方程 XA 2X B 的解，其中，
. 3
A
0 0
1 1 0
1 0 3
,
B
1 3
0 2
1 1
6．若４阶方阵 A 的秩为２，则伴随矩阵 A的秩为 ；
7．若可逆矩阵
空间解析几何与向量代数测试题
空间解析几何与向量代数测试题(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--习题六一、 填空题1. 过点(3,-2,2)垂直于平面5x-2y+6z-7=0和3x-y+2z+1=0的平面方程为____________.2．轴的正向的夹与轴的正向的夹角为与的模为已知向量y x OM ,45.100→=→OM 则向量角为,600_________________.3. 过()3,1,2-点且平行于向量{}3,2,2-=和{}5,3,1--=的平面方程为__________.{}{}=-=-=→→λλλ则互相垂直和若两向量,,2,12,3,b a .5. ()向量决定的平面垂直的单位与三点)3,1,3(),1,3,3(,2,1,1321M M M - =→a ________________{}{}上的投影等于在向量向量1,2,24,1,1-==→→a b .的模等于则向量已知→→→→→→→-==⎪⎭⎫ ⎝⎛==n m a n m n m 3260,,2,50.垂直的平面方程是且与平面过点⎩⎨⎧=+-+=-+--012530742)3,0,2(z y x z y x .9. 设a b c →→→,,两两互相垂直,且a b c →→→===121,,,则向量s a b c →→→→=+-的模等于_____________.10． 过点(0,2,4)且与平面x+2z=1,y-3z=2都平行的直线是________________.1 =⎩⎨⎧=-+-=+-+D x z y x D z y x 则轴有交点与若直线,06222032.二、 选择题1． 表示方程⎩⎨⎧==++13694222y z y x ;1)(;)(平面上的椭圆椭球面=y B A():.0)(;)(答上的投影曲线椭圆柱面在椭圆柱面=y D C2． :,轴的单位向量是且垂直于则垂直于已知向量oy a k j i a →→→→→++=⎪⎭⎫⎝⎛+-±⎪⎭⎫⎝⎛++±→→→→→→k j i B k j i A 33)(33)(():22)(22)答⎪⎭⎫ ⎝⎛+±⎪⎭⎫⎝⎛-±→→→→k i D k i C3.=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛==→→→→→→b a b a b a 则且已知,4,,2,1π ():.5)(;2)(;21)(;1)(答D C B A +4. 平面3x-3y-6=0的位置是(A)平行xoy 平面 (B)平行z 轴,但不通过z 轴; (C)垂直于z 轴; (D)通过z 轴. 答:( ) 5．则有且但方向相反互相平行设向量,0,,,>>→→→→b a b a→→→→→→→→->+-=+b a b a B b a b a A )(;)(():)()(答→→→→→→→→+=+-<+ba b a A b a b a C6．是旋转曲面1222=--z y x 轴旋转所得平面上的双曲线绕x xoy A )( 轴旋转所得平面上的双曲线绕z xoz B )( 轴旋转所得平面上的椭圆绕x xoy C )( ():)(答轴旋转所得平面上的椭圆绕x xoz D7. :,0,0结论指出以下结论中的正确设向量→→→→≠≠b a ;0)(垂直的充要条件与是→→→→=⨯b a b a A ;0)(平行的充要条件与是→→→→=⋅b a b a B ;)(平行的充要条件与的对应分量成比例是与→→→→b a b a C():.0),()(答则是数若=⋅=→→→→b a b a D λλ8. =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+→→→→→→c b a c b a 则为三个任意向量设,,,→→→→→→→→⨯+⨯⨯+⨯b c a c B bc c a A )()( ():)()(答→→→→→→→→⨯+⨯⨯+⨯cb ac D cb c a C9.方程x y y 224912+==⎧⎨⎪⎩⎪在空间解析几何中表示 (A)椭圆柱面, (B) 椭圆曲线;(C)两个平行平面, (D)两条平行直线. 答:( ) 10. 对于向量,,，有（A ） 若0=⋅b a ，则,中至少有一个零向量（B ） ()())(c a c b c b a ⋅+⋅=⋅+（C ） ()()c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅ （D ） ()()0=⋅⋅1 1. 方程y z x 22480+-+=表示(A)单叶双曲面; (B)双叶双曲面;(C)锥面; (D)旋转抛物面. 答:( )12.双曲抛物面(马鞍面)()x p y qz p q 22200-=>>,与xoy 平面交线是 (A) 双曲线; (B) 抛物线,(C)平行直线; (D)相交于原点两条直线; 答( )三、 计算题（本题共6小题，每小题8分，满分48分。
几何与代数习题参考答案_全部2014
由于上式中 (α − β ), ( β − γ ), (γ − α ) 的系数都是 1， 所以根据共面的充要条件得 α − β , β − γ , γ − α 共面。 ---------想清楚共面与上面等式的关系 四、判断题
1
1． （ 错 ） 2． （ 对 ） 3． （ 错 ） 4． （ 对 ） 五、填空题
8 −3
四、解：因为 (α × β ) ⋅ γ = 0
2 −1 = 63 ≠ 0, 3
1
2 2
所以 α , β , γ 不共面，
以这三个向量为棱所作的平行六面体体积 V = (α × β ) ⋅ γ = 63 。 ----------直接用混合积计算体积,判断共面性.
五、解：由于 α , β 不共线，向量 α , β , γ 共面，则可设 γ = xα + y β , 而
习题一 几何向量及其运算
一、填空题 1. 1）
α, β =
π
2
；
2）
α , β = 0 ； 3 ） α , β = π , 且 α ≥ β ； 4 ） α ，β = 0 ；
5） 0 ≤
α, β <
π
2
且α，β为非零向量 。 或 α ⋅ β > 0 ，
---------以上题目还可以把长度用内积表示,然后得到内积满足的条件.如.
T
⎛ a 2b 3c ⎞ ⎛ a 2a 3a ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 b 2c ⎟ . ； ⎜ 0 b 2b ⎟ . ⎜ a 3b c ⎟ ⎜ c 3c c ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
T
⎛ 2 4 6⎞ ⎜ ⎟ 二、解： αβ = 13, βα = 1 2 3 。 ⎜ ⎟ ⎜3 6 9⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2⎞ ⎛ 2 4 6⎞ ⎜ ⎟ ⎟ A = α β = ⎜ 1 ⎟ (1 2 3) = ⎜ ⎜ 1 2 3⎟; ⎜ 3⎟ ⎜ 3 6 9⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
历年代数高考题及答案
历年代数高考题及答案高考代数题目及答案年份：2015题目：1. 已知函数 $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$，则 $f(2)$ 的值为多少？答案：1. 将 $x$ 替换为 $2$，得到 $f(2) = 3(2)^2 + 2(2) + 1 = 15$。
年份：2016题目：1. 已知不等式 $2x - 3 < 5$，求解 $x$ 的范围。
答案：1. 将不等式移项，得到 $2x < 5 + 3$。
2. 化简不等式，得到 $2x < 8$。
3. 除以 $2$，得到 $x < 4$。
年份：2017题目：1. 某公司员工工资为 $x$ 元，每个月涨幅为 $5\%$，则过$n$ 个月后，员工工资为多少？答案：1. 每个月的涨幅为 $5\%$，表示为 $1 + 0.05$。
2. 过 $n$ 个月后的工资为 $x \cdot (1 + 0.05)^n$。
年份：2018题目：1. 分解因式：$x^2 + 5x + 6$。
答案：1. 将式子分解为 $(x + 2)(x + 3)$。
年份：2019题目：1. 已知 $a + b = 10$，$a - b = 2$，求解 $a$ 和 $b$。
答案：1. 将两个方程相加，得到 $(a + b) + (a - b) = 10 + 2$。
2. 化简方程，得到 $2a = 12$。
3. 除以 $2$，得到 $a = 6$。
4. 将 $a$ 替换回第一个方程，得到 $6 + b = 10$。
5. 化简方程，得到 $b = 4$。
高考代数题目及答案汇总年份：20151. 已知函数 $f(x) = 3x^2 + 2x + 1$，则 $f(2)$ 的值为多少？答案：1. $f(2) = 15$年份：20161. 已知不等式 $2x - 3 < 5$，求解 $x$ 的范围。
答案：1. $x < 4$年份：20171. 某公司员工工资为 $x$ 元，每个月涨幅为 $5\%$，则过$n$ 个月后，员工工资为多少？答案：1. 过 $n$ 个月后的工资为 $x \cdot (1 + 0.05)^n$年份：20181. 分解因式：$x^2 + 5x + 6$。
代数考试题目及答案高中
代数考试题目及答案高中一、选择题（每题2分，共20分）1. 若a，b，c是实数，且满足a + b + c = 6，a^2 + b^2 + c^2 = 12，a^3 + b^3 + c^3 = 21，求a + b^2 + c^3的值。
A. 7B. 8C. 9D. 102. 已知x^2 - 5x + 6 = 0，求x^2 + 1/x^2的值。
A. 13B. 14C. 15D. 163. 若方程x^2 - 4x + k = 0有两个实根，求k的取值范围。
A. k > 0B. k ≥ 4C. k ≤ 4D. k < 44. 已知f(x) = x^2 - 6x + 8，求f(2 - x)的表达式。
A. (2 - x)^2 - 6(2 - x) + 8B. x^2 - 6x + 8C. (x - 2)^2 - 6(x - 2) + 8D. x^2 + 12x + 205. 计算下列表达式的值：(2x - 3)^2。
A. 4x^2 - 12x + 9B. 4x^2 - 6x + 9C. 4x^2 + 12x + 9D. 4x^2 + 6x + 96. 若a，b是方程x^2 + 2x - 8 = 0的根，则a + b的值为：A. -2B. -4C. 2D. 47. 已知a，b，c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，求证a +b + c是一个偶数。
A. 正确B. 错误8. 计算下列表达式的值：(3x + 2)(2x - 3)。
A. 6x^2 - 5x - 6B. 6x^2 - 9x + 4C. 4x^2 - 13x + 6D. 5x^2 - 13x + 69. 若f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)。
A. 3x^2 - 6x + 2B. x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 2xD. x^2 - 6x10. 已知a，b，c是实数，且满足a^2 + b^2 + c^2 = 1，求(a + b +c)^2的最大值。
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01-02学年第二学期几何与代数期终考试试卷一（30%）填空题：1． 设(1,2)α=，(1,1)β=-，则Tαβ= ；Tαβ== ； 100()Tαβ= ；2． 设矩阵120031130A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，234056007B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则行列式1AB -= ；3． 若向量组123,,ααα线性无关，则当参数k 时，122331,,k αααααα---也线性无关；4． 矩阵1111011100110001A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭的伴随矩阵*A =⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭； 5． 设矩阵A 及A E +均可逆，则1()G E A E -=-+，且1G-= ；6． 与向量(1,0,1)α=，(1,1,1)β=均正交的单位向量为 ；7． 四点(1,1,1),(1,1,),(2,1,1),(2,,3)A B x C D y 共面的充要条件为 ；8． 设实二次型22212312323(,,)2f x x x x kx x x x =+++，则当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是椭球面；当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是柱面。
二（8%）记1π为由曲线23z y x ⎧=-⎨=⎩绕z -轴旋转所产生的旋转曲面,2π为以1π与平面3:1x y z π++=的交线为准线，母线平行于z -轴的柱面。
试给出曲面12ππ及的方程，并画出13ππ被所截有界部分在x y -平面上的投影区域的草图（应标明区域边界与坐标轴的交点）。
三（8%）求经过直线2221x y z x y z +-=⎧⎨-+-=⎩且与x y -平面垂直的平面方程.四（12%）求矩阵方程2XA X B =+的解，其中，311101010,321003A B ⎛⎫-⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭.五（12%）设线性方程组12341234234123403552232(3)1x x x x x x x x x px x q x x x p x +++=⎧⎪+++=⎪⎨-+-=⎪⎪++++=-⎩1． 问：当参数,p q 满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ 2． 当方程组有无穷多解时，求出其通解。
六（12%）设矩阵11113120132A k ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，已知()2A =秩。
1． 求参数k 的值；2． 求一42,,()2;B AB O B ⨯==矩阵使得且秩3． 问：是否存在秩大于2的矩阵M 使得O AM =？为什么？ 七（12%）设实对称矩阵001100.1001A k B l ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与相似1． 求参数,k l 的值；2． 求一正交阵,.TQ Q AQ B =使得八（6%）已知n 阶方阵A 相似于对角阵，并且，A 的特征向量均是矩阵B 的特征向量。
证明：AB BA =。
02-03学年第二学期几何与代数期终考试试卷一． 填空题、单选题（每小题３分，共３６分）1．[]2002105132⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎢⎥-=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 2．1230110002-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 3．若A 是正交矩阵，则行列式3T A A = ；4．空间四点(1,1,1)A ，(2,3,4)B ，(1,2,)C k ，(1,4,9)D -共面的充要条件是k = ； 5．点(2,1,1)P -到直线11:221x y z l -+==- 的距离为 ；6．若４阶方阵A 的秩为２，则伴随矩阵A *的秩为 ；7．若可逆矩阵P 使AP PB =，1203B -⎛⎫=⎪⎝⎭，则方阵A 的特征多项式为 ；8．若３阶方阵A 使,2,3I A I A A I --+都不可逆，则A 与对角阵 相似（其中，I 是３阶单位阵）；9．若0111120A x y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭与对角阵相合，则(,)x y = ； 10．设()1234,,,A A A A A =，其中列向量124,,AA A 线性无关，31242A A A A =-+，则齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系是 ；11．设,A B 都是３阶方阵，AB O =，()()2r A r B -=，则()()r A r B +=（ ） （Ａ）5； （Ｂ）4； （Ｃ）3； （Ｄ）212．设n 阶矩阵A 满足22A A =，则以下结论中未必成立的是（ ）（Ａ）A I -可逆，且1()A I A I --=-；（Ｂ）A O =或2A I =；（Ｃ）若2不是A 的特征值，则A O =；（Ｄ）0A =或2A I =。
二． 计算题（每小题8分，共24分）13．2015110112313012-14．求直线211:212x y z l --+==在平面:210x y z π+-+= 上的垂直投影直线方程． 15．设XA AB X =+，其中102020101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，101B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求99X ．三． 计算题、解答题（三小题共３２分） 16．设向量组12311222115,,,101302a b αααβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123(,,)V L ααα=是123,,ααα生成的空间．已知()2V =维，V β∈．（１） 求,a b ；（２） 求V 的一个基，并求β在此基下的坐标； （３） 求V 的一个标准正交基． 17．用正交变换化简二次曲面方程22121213234221x x x x x x x x +---=求出正交变换和标准形）并指出曲面类型．18．设D 为由yoz 平面中的直线0z =，直线,(0)z y y =≥及抛物线22y z +=围成的平面区域．将D绕y 轴旋转一周得旋转体Ω．（１）画出平面区域D 的图形；（２）分别写出围成Ω的两块曲面12,S S 的方程；（３）求12,S S 的交线l 在zox 平面上的投影曲线C 的方程；（４）画出12,S S 和l ，C 的图形．四． 证明题、解答题（每小题４分，共８分）19．设η是线性方程组Ax b =的一个解，0b ≠，12,ξξ是导出组0Ax =的基础解系．证明：12,,ηξηξη++线性无关．20．设α是３维非零实列向量，α=T=．（１）求A的秩；（２）求A的全部特征值；Aαα（３）问A是否与对角阵相似？（４）求3-．I A0３-0４学年第二学期几何与代数期终考试试卷一． （24%）填空题1．若向量i a j k α=+-u rr r r ，bi j k β=++u r r r r，k =γ共面，则参数b a ,满足 .2．过点)1,2,1(P 且包含x 轴的平面方程为 .3．已知矩阵A 满足O I A A =-+322，则A 的逆矩阵1-A = .4．设矩阵120031130A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，234056007B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则行列式=-12B A .5．设向量组1231312,2,311k ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当k 时，123,,ααα线性相关.6．向量空间2R 中向量)3,2(=η在2R 的基)1,1(=α，)1,0(=β下的坐标为 .7．满足下述三个条件的一个向量组为 ，这三个条件是：①它是线性无关的；②其中的每个向量均与向量()121=α正交；③凡与α正交的向量均可由它们线性表示.8．已知22⨯矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d b c a A ，若对任意2维列向量η有0=ηηA T ，则d c b a ,,,满足条件 . 二．（12%）假设矩阵B A ,满足AB B A =-，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=021021020A .求B .三．（15%）设向量()Ta1021=α，()T 5122-=α，()T 4213-=α，()T c b 1=β. 问：当参数c b a ,,满足什么条件时1．β能用321,,ααα唯一线性表示？ 2．β不能用321,,ααα线性表示？3．β能用321,,ααα线性表示，但表示法不唯一？求这时β用321,,ααα线性表示的一般表达式. 四．（8%）设实二次型ayz axy z y x z y x f 22),,(222++++=问：实数a 满足什么条件时，方程1),,(=z y x f 表示直角坐标系中的椭球面？五．（12%）设3阶方阵A 的特征值为2，2-，1，矩阵I aA aA B +-=43。
1． 求参数a 的值，使得矩阵B 不可逆；2． 问：矩阵B 是否相似于对角阵？请说明你的理由. 六．（12%）已知二次曲面1S 的方程为：223y x z +=，2S 的方程为：21x z -=。
1． 问：1S ，2S 分别是哪种类型的二次曲面？ 2． 求1S 与2S 的交线在xOy 平面上的投影曲线方程； 3． 画出由1S 及2S 所围成的立体的草图.七．（10%）假设33⨯实对称矩阵A 的秩为2，并且C AB =，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110011B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110011C 。
求A 的所有特征值及相应的特征向量；并求矩阵A 及9999A .八．（7%）证明题：1． 设t ηηη,,,21Λ是齐次线性方程组θ=Ax 的线性无关的解向量，β不是其解向量。
证明：t ηβηβηββ+++,,,,21Λ也线性无关.2． 设A 是n 阶正定矩阵，证明：1>+A I .04-05学年第二学期几何与代数期终考试试卷一、 (24%)填空题1． 以(1,1,2)A ，(2,1,1)B --，(1,1,1)C --为顶点的三角形的面积为 ；2． 设3阶矩阵123(,,)A ααα=，23131(,2,)B ααααα=+-。
若A 的行列式3A =，则B 的行列式B = ；3． 若向量(1,0,1)α=，(2,1,1)β=-，(1,1,)k γ=-共面，则参数k = ；4． 若A 为n 阶方阵，则方阵2I O B A I ⎛⎫= ⎪⎝⎭的逆矩阵1B -= ；5． 已知向量111η⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭是矩阵11201122a A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的特征向量，则参数a = ，相应的特征值等于 ；6． 假设矩阵1000A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则在实矩阵11001110,,,,11021101B C D E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1300F ⎛⎫= ⎪⎝⎭中，与A 相抵的有 ；与A 相似的有 ；与A 相合的有 ．二、 （8%）计算行列式121111x x x x x x xx xx ．三、 （10%）假设200110102A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，121210B -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求矩阵方程3XB XA =+的解．四、 （14%）假设矩阵1101011A λλλ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，000θ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，11a b ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭．1． 已知齐次线性方程组Ax θ=的基础解系中有两个线性无关的解向量．试确定这时参数λ的值，并求这时Ax θ=的一个基础解系．2． 若在非齐次线性方程组Ax b =的解集中，存在两个线性无关的解向量，但不存在更多的线性无关的解向量，试确定这时参数λ及a 的值，并求Ax b =的通解．五、 （10%）已知直线l 过点(1,1,1)P ，与平面:1x y z π+-=平行，且与直线1121xy z λ- ==： 相交。