通用版2018学高考数学二轮复习练酷专题课时跟踪检测十五排列组合与二项式定理理201802062114
教育最新K12通用版2018年高考数学二轮复习课时跟踪检测五理
课时跟踪检测（五）一、选择题1．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则函数f (x )的最小正周期为( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 解析：选B 由已知可画出草图，如图所示，则T 4＝π2＋2π32－π2＋π62，解得T ＝π. 2．已知外接圆半径为R 的△ABC 的周长为(2＋3)R ，则sin A ＋sin B ＋sin C ＝( ) A ．1＋32B ．1＋34C.12＋32D.12＋ 3 解析：选A 由正弦定理知a ＋b ＋c ＝2R (sin A ＋sin B ＋sin C )＝(2＋3)R ，所以sinA ＋sinB ＋sinC ＝1＋32，故选A. 3．若函数f (x )＝2m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12内存在零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，2 C ．(－∞，－2]∪[1，＋∞) D ．[－2,1]解析：选C 设x 0为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12内的一个零点，则2m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3－2＝0，所以m＝1sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3.因为0≤x 0≤5π12，所以π3≤2x 0＋π3≤7π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3≤1，所以m ≤－2或m ≥1，故选C.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝5，a ＝3，cos(B －A )＝79，则△ABC 的面积为( )A.152 B.523C ．5 2D ．2 2 解析：选C 在边AC 上取点D 使A ＝∠ABD ，则cos ∠DBC ＝cos(∠ABC －A )＝79，设AD ＝DB ＝x ，在△BCD 中，由余弦定理得，(5－x )2＝9＋x 2－2×3x ×79，解得x ＝3.故BD ＝DC ，在等腰三角形BCD 中，DC 边上的高为22，所以S △ABC ＝12×5×22＝52，故选C.5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6解析：选A 由射影定理可知a cos C ＋c cos A ＝b ，则(a cos C ＋c cos A )sin B ＝b sin B ，又a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，则有b sin B ＝12b ，sin B ＝12.又a >b ，所以A >B ，则B∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝π6.6．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP ―→＝λAB ―→，AQ ―→＝(1－λ)AC ―→，λ∈R ，若BQ ―→·CP ―→＝－32，则λ＝( )A.12B.1±22 C.1±102D.－3±222解析：选A 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1，3)，∴AB ―→＝(2,0)，AC ―→＝(1，3)，又AP ―→＝λAB ―→，AQ ―→＝(1－λ)AC ―→，∴P (2λ，0)，Q (1－λ，3(1－λ))，∴BQ ―→·CP ―→＝(－1－λ，3(1－λ))·(2λ－1，－3)＝－32，化简得4λ2－4λ＋1＝0，∴λ＝12.二、填空题7．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若平面向量a ，b 满足|a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝________.解析：a ∘b ＝a·b b·b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，①b ∘a ＝b·a a·a ＝|b ||a |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |.②∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴22<cos θ<1.又|a |≥|b |>0，∴0<|b ||a |≤1.∴0<|b ||a |cos θ<1，即0<b ∘a <1.∵b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z ，∴b ∘a ＝12.①×②，得(a ∘b )(b ∘a )＝cos 2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴12<12(a ∘b )<1，即1<a ∘b <2，∴a ∘b ＝32. 答案：328.在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，P ，Q 分别是BC ，BD 的中点，则向量AP ―→与AQ ―→的夹角的余弦值为________．解析：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，D (1，3)，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，则AP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，AQ ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32， 所以cos ∠PAQ ＝AP ―→·AQ ―→|AP ―→||AQ ―→|＝154＋347×3＝32114.答案：321149．(2017·石家庄质检)非零向量m ，n 的夹角为π3，且满足|n |＝λ|m |(λ>0)，向量组x 1，x 2，x 3由一个m 和两个n 排列而成，向量组y 1，y 2，y 3由两个m 和一个n 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3所有可能值中的最小值为4m 2，则λ＝________.解析：由题意，x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3的运算结果有以下两种可能：①m 2＋m·n ＋n 2＝m 2＋λ|m ||m |cosπ3＋λ2m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋λ2＋1m 2；②m·n ＋m·n ＋m·n ＝3λ|m |·|m |cos π3＝3λ2m 2.又λ2＋λ2＋1－3λ2＝λ2－λ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋34>0，所以3λ2m 2＝4m 2，即3λ2＝4，解得λ＝83.答案：83三、解答题10．已知函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )2－2.(1)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值； (2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，a ＝3，且sin B ＝2sin C ，求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝(3sin x ＋cos x )2－2 ＝(3sin 2x ＋cos 2x ＋23sin x cos x )－2 ＝2sin 2x ＋3sin 2x －1＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，5π6，∴当2x －π6＝－π2，即x ＝－π6时，函数f (x )取得最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－2；当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数f (x )取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2. (2)∵f (A )＝2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1.∵A ∈(0，π)，∴2A －π6＝π2，解得A ＝π3.∵sin B ＝2sin C ，∴b ＝2c . ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴3＝5c 2－4c 2×cos π3，解得c ＝1，∴b ＝2.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×1×sin π3＝32.11．在△ABC 中，边a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且满足2sin B ＝sin A ＋sin C ，设B 的最大值为B 0.(1)求B 0的值；(2)当B ＝B 0，a ＝3，c ＝6，AD ―→＝12DB ―→时，求CD 的长．解：(1)由题设及正弦定理知，2b ＝a ＋c ，即b ＝a ＋c2.由余弦定理知，cos B ＝a 2＋c 2－b22ac＝a 2＋c 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 222ac＝a 2＋c 2－2ac 8ac≥ac －2ac 8ac ＝12，当且仅当a 2＝c 2，即a ＝c 时等号成立． ∵y ＝cos x 在(0，π)上单调递减， ∴B 的最大值B 0＝π3.(2)∵B ＝B 0＝π3，a ＝3，c ＝6，∴b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝33， ∴c 2＝a 2＋b 2，即C ＝π2，A ＝π6，由AD ―→＝12DB ―→，知AD ＝13AB ＝2，在△ACD 中，由余弦定理得CD ＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD ·cos π6＝13.12.某地拟建一主题游乐园，该游乐园为四边形区域ABCD ，其中三角形区域ABC 为主题活动区，其中∠ACB ＝60°，∠ABC ＝45°，AB ＝126；AD ，CD 为游客通道(不考虑宽度)，且∠ADC ＝120°，三角形区域ADC 为游乐休闲中心供游客休憩．(1)求AC 的长度；(2)记游客通道AD 与CD 的长度和为L ，求L 的最大值． 解：(1)由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠ABC，又∠ACB ＝60°，∠ABC ＝45°，AB ＝126， 所以AC ＝126sin 45°sin 60°＝24.(2)设∠CAD ＝θ(0°<θ<60°)，则∠ACD ＝60°－θ， 在△ADC 中，由正弦定理得AC sin 120°＝CD sin θ＝AD－θ，所以L ＝AD ＋CD＝163[sin(60°－θ)＋sin θ]＝163(sin 60°cos θ－cos 60°sin θ＋sin θ) ＝163sin(60°＋θ)，故当θ＝30°时，L 取到最大值16 3.。
2018届高考数学二轮复习二项式定理在数列求和中的应用学案含答案(全国通用)
2018广东高考数学一轮二项式定理在数列求和中的应用一， 二项式定理和杨辉三角介绍：1,二项式定理： ()n n n n r n r r n n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b ---+=+++++001112220其中rn C 叫做二项式系数。
2,杨辉三角：二， 重要组合恒等式:（1）,r r r n n n C C C ---+=111 证明：()!()!()!()!!()!r r n n n n C C r n r r n r -----+=+----1111111=()!![()]!()!!()!r n n n r n r C r n r r n r -+-==--1（证 毕） （2），()r r r r r r r r n n C C C C C n r +++-++++=>1121证明（数学归纳法）：当n r =+1时 上式 左边=1 右边是r r C ++=111，所以是正确的。
假设上式对()n k k r =>正确 即r r r r r r r r k k C C C C C +++-++++=1121那么就有r r r r r r r r r r k k kk C C C C C C C +++-+++++=+1121 再有组合不等式（1）可得r r r r r r r r r k k k C C C C C C +++-++++++=11211故综上所述 对于所有大于r 的正整数n （2）式都是成立的。
三， 一元n 次多项式根与系数的关系对于多项式n n n n n x a xa x a x a ---++++=121210 若,,n x x x x 123 是它的n 个根则有一下等式成立： ()n a x x x -=+++11121()n n a x x x x x x --=+++22121311()i i i k k k a x x x -=∑121 （所有i 个不同的根的乘积的和）()n n a a a a -=1231四， 应用举例为了方便应用，（2）式也可以写成()r r r r r r r r r n r n C C C C C n r ++++-+++++=>1121当r=1，2，3，4的时候上式也就是： ()!n n n ++++=+112312 ()()()!!n n n n n +++++=++1113611223 ()()()()()!!n n n n n n n ++++++=+++1114101212334()()()()()()()!!n n n n n n n n n +++++++=++++111515123123445 例一：求数列n a n =2 的前n 项和。
2018学高考理科数学通用版练酷专题二轮复习课时跟踪检测：(二十三)圆锥曲线有解析
课时跟踪检测（二十三） 圆锥曲线1．(2018届高三·石家庄摸底)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA ，TB 的斜率之积为－34.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点M (0,2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的取值范围． 解：(1)设T (x ，y )，由题意知A (－4,0)，B (4,0)， 设直线TA 的斜率为k 1，直线TB 的斜率为k 2， 则k 1＝y x ＋4，k 2＝yx －4. 由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－34，整理得x 216＋y 212＝1.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，y ＝kx ＋2消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋16kx －32＝0.所以x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝－324k 2＋3.从而，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＋x 1x 2＋(y 1－2)(y 2－2)＝2(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－80k 2－524k 2＋3＝－20＋84k 2＋3. 所以－20＜OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→≤－523.当直线PQ 的斜率不存在时，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的值为－20. 综上，OP ―→·OQ ―→＋MP ―→·MQ ―→的取值范围为⎣⎡⎦⎤－20，－523. 2．(2017·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP ―→＝ 2 NM ―→.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP ―→·PQ ―→＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 解：(1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)，NP ―→＝(x －x 0，y )，NM ―→＝(0，y 0)． 由NP ―→＝ 2 NM ―→，得x 0＝x ，y 0＝22y .因为M (x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 22＋y 22＝1.因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.(2)证明：由题意知F (－1,0)．设Q (－3，t )，P (m ，n )， 则OQ ―→＝(－3，t )，PF ―→＝(－1－m ，－n )， OQ ―→·PF ―→＝3＋3m －tn ，OP ―→＝(m ，n )，PQ ―→＝(－3－m ，t －n )． 由OP ―→·PQ ―→＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1， 又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ ―→·PF ―→＝0，即OQ ―→⊥PF ―→. 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .3．(2018届高三·西安八校联考)设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆上的点T (2，2)到点F 1，F 2的距离之和等于4 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于E ，F 两点，A 为椭圆C 的左顶点，直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N .问：以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．解：(1)由椭圆上的点T (2，2)到点F 1，F 2的距离之和是42，可得2a ＝42，a ＝2 2. 又T (2，2)在椭圆上，因此4a 2＋2b 2＝1，所以b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为椭圆C 的左顶点为A ， 所以点A 的坐标为(－22，0)．因为直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆x 28＋y 24＝1交于E ，F 两点，设点E (x 0，y 0)(不妨设x 0＞0)，则点F (－x 0，－y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1消去y ，得x 2＝81＋2k 2， 所以x 0＝221＋2k 2，则y 0＝22k 1＋2k 2， 所以直线AE 的方程为y ＝k1＋1＋2k 2(x ＋22)．因为直线AE ，AF 分别与y 轴交于点M ，N ， 令x ＝0，得y ＝22k1＋1＋2k 2，即点M 0，22k1＋1＋2k 2.同理可得点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22k 1－1＋2k 2.所以|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k 1＋1＋2k 2－22k 1－1＋2k 2＝22(1＋2k 2)|k |.设MN 的中点为P ，则点P 的坐标为P ⎝⎛⎭⎫0，－2k . 则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋2k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2(1＋2k 2)|k |2，即x 2＋y 2＋22k y ＝4. 令y ＝0，得x 2＝4，即x ＝2或x ＝－2.故以MN 为直径的圆经过两定点P 1(2,0)，P 2(－2,0)．4.(2017·安徽二校联考)已知焦点为F 的抛物线C 1：x 2＝2py (p ＞0)，圆C 2：x 2＋y 2＝1，直线l 与抛物线相切于点P ，与圆相切于点Q .(1)当直线l 的方程为x －y －2＝0时，求抛物线C 1的方程； (2)记S 1，S 2分别为△FPQ ，△FOQ 的面积，求S 1S 2的最小值．解：(1)设点P ⎝⎛⎭⎫x 0，x 22p ，由x 2＝2py (p ＞0)得， y ＝x 22p ，求得y ′＝xp ，因为直线PQ 的斜率为1， 所以x 0p ＝1且x 0－x 202p －2＝0，解得p ＝2 2.所以抛物线C 1的方程为x 2＝42y .(2)点P 处的切线方程为y －x 202p＝x 0p (x －x 0)，即2x 0x －2py －x 20＝0，OQ 的方程为y ＝－px 0x . 根据切线与圆相切，得|－x 20|4x 20＋4p2＝1，化简得x 40＝4x 20＋4p 2，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 0x －2py －x 20＝0，y ＝－px 0x ， 解得Q ⎝⎛⎭⎫2x 0，4－x 202p .所以|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |＝1＋x 20p 2⎪⎪⎪⎪x 0－2x 0＝ p 2＋x 20p ·⎪⎪⎪⎪x 20－2x 0，又点F ⎝⎛⎭⎫0，p2到切线PQ 的距离 d 1＝|－p 2－x 20|4x 20＋4p2＝12x 2＋p 2， 所以S 1＝12|PQ |d 1＝12·p 2＋x 20p ·⎪⎪⎪⎪x 20－2x 0·12x 20＋p 2＝x 20＋p 24p ⎪⎪⎪⎪x 20－2x 0， S 2＝12|OF ||x Q |＝p 2|x 0|，而由x 40＝4x 20＋4p 2知，4p 2＝x 40－4x 20＞0，得|x 0|＞2， 所以S 1S 2＝x 20＋p 24p ⎪⎪⎪⎪x 20－2x 0·2|x 0|p＝(x 20＋p 2)(x 20－2)2p 2＝(4x 20＋x 40－4x 20)(x 20－2)2(x 40－4x 20) ＝x 20(x 20－2)2(x 20－4) ＝x 20－42＋4x 20－4＋3≥22＋3，当且仅当x 20－42＝4x 20－4时取等号，即x 20＝4＋22时取等号，此时p ＝2＋2 2. 所以S 1S 2的最小值为22＋3.。
高三数学2018届高三数学专项训练(2018)《排列、组合二项式定理》
高三数学2021届高三数学专项训练(2021)?排列、组合二项式定理?1 / 412021届高三数学专项训练〔 09〕?排列、组合二项式定理?一、选择题〔此题每题 5分，共60 分〕1．以下各式中，假设 1 k n, 与C n k不等的一个是〔〕A ．k 1C n k 11B ．nC n k 11 C ． n n C n k1D ．kn C n k 11n 12 kk n 12．二项式(x)7展开式的第 4项与第5项之和为零，那么x 等于 〔〕xA ．1B ．2C ．2D ．463．设(12x)10 a 1 a 2x a 3x 2a 11x 10，那么a 3 a 5 a 7 a 9 a 11等于 〔 〕A ． 10 1 B． 1 10 C ． 1 10 1) ． 1310 1 3 3 (3 () 2 D 24．从10名女学生中选 2名，40 名男生中选 3名，担任五种不同的职务，规定女生不担任其中某种职务，不同的分配方案有 〔 〕A ．A 102A 403 ．C 102C 403A 42A 33 C ．C 102C 403A 55． 2 3 1040 B D CC5．用1，2，3，4，5，6，7七个数字排列组成七位数，使其中偶位数上必定是偶数，那么可得七位数的个数是 〔 〕 A ． 4 B ． 4 3 3 D ． 1 74 43 C ．6A 3 7AAAA26．假设( 3 2x)12 a 0 a 1xa 2x 2 a 12x 12，那么(a 1a 3 a 5 a 11)2 (a 0a 2 a 4 a 12)2的值是 〔 〕A ．1B ．－1 C ．2 D ．－27．在某次数学测验中，学号 i(i 1,2,3,4)的四位同学的考试成绩 f(i) {90,92,93,96,98} ，且满足f(1) f(2) f(3) f(4) ，那么这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为 〔 〕 A ．9种 B ．5种 C ．23种 D ．15种 8．如果一个三位正整数形如“ a1a2a3〞满足a1 a 2且a 3 a 2 ，那么称这样的三位数为凸数〔如120、 363、374等〕，那么所有凸数个数为 〔 〕 A ．240 B ．218 C ．729 D ．920 9．使得多项式81x 4108x 3 54x 2 12x1能被5整除的最小自然数x 为 〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．410．假设( x 2 )n 展开式中存在常数项 ,那么n 的值可以是 〔 〕A ．8 3xB ．9C ．10 D ．1211．在 AOB 的OA 边上取m 个点，在OB 边上取n 个点〔均除O 点外〕，连同O 点m 点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有 〔A ．C m 1 1Cn 2 Cn 11Cm 2B ．C m 1C n 2C n 1C m 2 C ．C m 1C n 2C n 1C m 2 C m 1C n 1D ．Cm 1Cn 21 C 12．二项式(2x2)9(x R)的展开式的第7项为 21,那么lim(xx 2x n )的2 4 nA ．1B． 1 C ． 3 D ． 344 44高三数学2021届高三数学专项训练(2021)?排列、组合二项式定理?2 / 42二、填空题〔此题每题 4分，共 16分〕13．二项式(1 1)10的展开式中含 15的项的系数________〔请用数字作答〕2x x14．某学校要从高三的 6个班中派 9名同学参加市中学生外语口语演讲，每班至少派 1人，那么这9 个名额的分配方案共有 种.〔用数字作答〕15．在(1 x x 2)(1x)10的展开式中，x 4项的系数是.16．(理)有四个好友A,B,C,D 经常通 交流信息,在通了三次 后这四人都得悉某一条高考信息,那么第一个 是 A 打的情形共有 种.(文)甲、乙、丙、丁、戊5 名学生进行投篮比赛，决出了第 1至第5名的不同名次，甲、乙两 人向裁判询问成绩。
2018届高考数学二轮复习(理数)二项式定理学案含答案(全国通用)
专题11.2 二项式定理【最新考纲解读】【考点深度剖析】本章知识点均是以解答题的形式进行考查，涉及到分类讨论的思想，着重考查学生运算能力和逻辑思维能力，本章知识点常与概率等知识一起考查，难度中等偏上.【课前检测训练】【判一判】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C r n a n －r b r 是二项展开式的第r 项.( )(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.( )(3)(a ＋b )n 的展开式中某一项的二项式系数与a ，b 无关.( )(4)在(1－x )9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项.( )(5)若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，则a 7＋a 6＋…＋a 1的值为128.( )1. ×2. ×3. √4. ×5. ×【练一练】1. (x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是( )A.C m nB.C m ＋1nC.C m －1nD.(－1)m －1C m －1n【答案】D【解析】(x －y )n 展开式中第m 项的系数为C m －1n (－1)m －1.2.已知6e 11d n x x =⎰，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3x n 展开式中含x 2项的系数为( ) A.130B.135C.121D.139 【答案】B3.已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n 等于( )A.63B.64C.31D.32 【答案】A【解析】逆用二项式定理得C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋23C 3n ＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729，即3n ＝36，所以n ＝6，所以C 1n ＋C 2n ＋C 3n ＋…＋C n n ＝26－C 0n ＝64－1＝63.故选A. 4. ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为________. 【答案】40【解析】T k ＋1＝C k 5(x 2)5－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3k ＝C k 5(－2)k x 10－5k . 令10－5k ＝0，则k ＝2.∴常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40. 5.(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是________.【答案】168【解析】∵(1＋x )8的通项为C k 8x k ，(1＋y )4的通项为C t 4y t ，∴(1＋x )8(1＋y )4的通项为C k 8C t 4x k y t，令k ＝2，t ＝2，得x 2y 2的系数为C 28C 24＝168.【题根精选精析】考点1 二项式定理 【1-1】5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中32y x 的系数是________. 【答案】20-【解析】根据二项式定理可得第1n +项展开式为()55122nn nC x y -⎛⎫- ⎪⎝⎭,则2n =时, ()()2532351121022022n n n C x y x y x y -⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,所以23x y 的系数为20-. 【1-2】如果1111221011)23(x a x a x a a x ++++=+ ，那么0211531()(a a a a a -++++ 21042)a a a ++++ 的值是________.【答案】1【1-3】若71()x ax -的展开式中x 项的系数为280，则a = ________. 【答案】12- 【解析】因为x 项的系数为3471280C a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以12a =-. 【1-4】已知231(1)nx x x x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭的展开式中没有．．常数项，n ∈*N ，且2 ≤ n ≤ 7，则n =______． 【答案】5【解析】二项式定理展开()2311k k n k n x x C x x -⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭化简得()241k n k n x x C x -++⋅，因为不含常数项所以4,41,42n k n k n k ≠≠-≠-又因为27n ≤≤，所以n=5【1-5】9(1)x -的展开式中，系数最大的项是 .【答案】第5项【解析】19(1)r r r r T C x +=-，要使其系数最大，则r 应为偶数，又在9r C （0,1,2,3,,9r = ）中，当4r =,或5时9r C 最大，故当4r =,即第5项系数最大.【基础知识】1. 二项式定理()()011*n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈ ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做()na b +的二项展开式，其中的系数r n C (0,1,2,3,,r n = )叫做二项式系数．式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即展开式的第1r +项；1r n r r r n T C a b -+=. 2．二项展开式形式上的特点(1)项数为1n +.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从0n C ，1n C ，一直到1n n C -，n n C .3. 二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即0n n nC C =，11n n n C C -=， ，m n m n n C C -=. (2)增减性与最大值：二项式系数r n C ，当12n r +≤时，二项式系数是递增的；由对称性知：当12n r +>时，二项式系数是递减的．当n 是偶数时，中间的一项2n n C 取得最大值．当n 是奇数时，中间两项12n n C+ 和12n n C -相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和 ()n a b +的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即012r n n n n n n C C C C +++++= ，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++=+++= ，4.注意:（1）．分清r n r r n C a b -是第1r +项，而不是第r 项.(2)．在通项公式1r n r r r n T C a b -+=中，含有1r T +、r nC 、a 、b 、n 、r 这六个参数，只有a 、b 、n 、r 是独立的，在未知n 、r 的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出n 、r ,然后代入通项公式求解.(3)．求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出r ，再求所需的某项；有时则需先求n ,计算时要注意n 和r 的取值范围以及 它们之间的大小关系.(4) 在1r n r r r n T C a b -+=中，r nC 就是该项的二项式系数，它与a ，b 的值无关；而1r T +项的系数是指化简后字母外的数．5．二项式的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；（4）近似计算.当x 充分小时，我们常用下列公式估计近似值：①()11n x nx +≈+；②()()21112n n n x nx x -+≈++； （5）证明不等式.【思想方法】1.在应用通项公式时，要注意以下几点： ①它表示二项展开式的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定；②1r T +是展开式中的第1r +项，而不是第r 项；③公式中，a ，b 的指数和为n 且a ，b 不能随便颠倒位置；④对二项式()na b -展开式的通项公式要特别注意符号问题．⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．2. 二项定理问题的处理方法和技巧:⑴运用二项式定理一定要牢记通项1r n r r r n T C a b -+=，注意()n a b +与()n b a +虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指r n C ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．⑵ 对于二项式系数问题，应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1；②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；③证明不等式时，应注意运用放缩法.⑶ 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r ，再求1r T +，有时还需先求n ，再求r ，才能求出1r T +.⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.⑸ 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.。
2018年高考数学(理)二轮复习讲练测专题1.7排列组合二项式定理(测)含解析
2018年高考数学（理）二轮复习讲练测专题七 排列组合二项式定理总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______一、选择题（12*5=60分）1．【2018届广西南宁市高三9月摸底】（2x ﹣1x）5的展开式中x 3项的系数为（ ） A. 80 B. ﹣80 C. ﹣40 D. 48 【答案】B【解析】通项公式()()55521551212rrr r r r r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭，令523r -=，解得1r =，∴展开式中3x 项的系数415280C =-=-，故选B.2．从7名男队员和5名女队员中选出4人进行乒乓球男女混合双打，不同的组队种数是（ ） A. 2275C C B. 22754C C C. 22752C C D. 2275A A 【答案】C3．【2018届江西省临川二中、新余四中高三1月联考】若二项式62m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为160-，则m 的值为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 【答案】C【解析】二项式62m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()2612366C ()()C r r r r rr m x m x x ---=-.令1233r -=，解得3r =，则系数为()()33366C C 20160r rm m m =-=-=-.解得2m =. 故选C.4．【2018届河北衡水金卷高三高考模拟一】()61231x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（ ）A. 73-B. 61-C. 55-D. 63- 【答案】A【解析】令1x =，得()61231264x x ⎛⎫-+=-=- ⎪⎝⎭，而常数项为0166329C C -⨯+⨯=，所以展开式中剔除常数项的各项系数和为64973--=-，故选A.5．【2018届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上期末】把四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】C6．【2018届四川省绵阳市南山中学高三二诊】某学校需要把6名实习老师安排到,,A B C 三个班级去听课，每个班级安排2名老师，已知甲不能安排到A 班，乙和丙不能安排到同一班级，则安排方案的种数有（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 72 【答案】C【解析】先考虑甲不能到A 班的方案： ()11225460C C C =种，减去其中乙和丙安排到同一班级的方案：()11123212C C C=种，即48种；故选C.7．【2018届河南省郑州市高三第一次检测（模拟）】在x x ⎛ ⎝的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为3：2，则2x 的系数为（ ）A. 50B. 70C. 90D. 120 【答案】C故二项式为5x ⎛ ⎝，其展开式的通项为()35521553rr r r r r r T C x C x x --+==，（ 0,1,2,3,4,5r =）． 令2r =得222235390T C x x ==．所以2x 的系数为90．选C ．8．若(1＋2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是( )A. 11125x <<B. 1165x <<C. 12123x <<D. 1265x <<【答案】A【解析】由题意可得： 2123{ T T T T >>，即： ()162126621{ 22C x C x C x ⨯>⨯>⨯， 求解关于实数x 的不等式组可得实数x 的取值范围是： 11125x <<. 本题选择A 选项.9．【2018届湖南师范大学附属中学高三上学期月考（三）（11月）】已知()()62701271...,x a x a a x a x a x a R +-=++++∈，若01267...0a a a a a +++++=，则3a 的值为（ ）A. 35B. 20C. 5D. 5-【答案】D【解析】令1x =，得()6017...21,1a a a a a +++=⋅-∴=，而3a 表示3x 的系数， ()()3232366115a C C ∴=-+-=-，故选D.10．【2018届河南省洛阳市高三年级第一次统考】若0sin a xdx π=⎰，则二项式61x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为（ ）A. -15B. 15C. -240D. 240 【答案】D【解析】0cos |2a x π=-=，而61x ⎛⎫ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为(()()66366221666121212rr rn rr r r rr r r r r T C xC xC x x ------+⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭令630r -=，所以2r =，常数项的系数为()2622612240C --=，选D.11．在()()6411x y ++的展开式中，记mnx y 项的系数为(),f m n ，则()()()()3,02,11,20,3f f f f +++=( )A. 45B. 60C. 120D. 210 【答案】C12．【2018届四川省成都市第七中学高三上学期一诊】已知S 为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式6⎛ ⎝的展开式中常数项的系数是（ ）A. -20B. 20C. 203- D. 60 【答案】A二、填空题（4*5=20分）13.【2018届广西壮族自治区贺州市桂梧高中高三上学期第五次联考】 5x x ⎛⎝展开式中各项的二项式系数之和为__________． 【答案】32【解析】5x x ⎛- ⎝展开式中各项的二项式系数之和为5232= 故答案为32.14．【2018届上海市长宁、嘉定区高三第一次调研（一模）】若12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为____________. 【答案】1120【解析】因为二项展开式中的所有二项式系数之和等于2256n = ，故8n =，所以8888218822r r r r r r r r T C x x C x -----+=⋅=，当820r -=时，即4r =时，常数项的值为44821120C =,故填1120.15．将4个男生和3个女生排成一列，若男生甲与其他男生不能相邻，则不同的排法数有__________种（用数字作答） 【答案】1440【解析】2515353521440A A A A +⨯=。
2018年高考数学(理)二轮复习讲练测专题1.7排列组合二项式定理(讲)含解析
2018年高考数学（理）二轮复习讲练测专题七 排列组合二项式定理考向一 两个计数原理、排列组合的综合应用【高考改编☆回顾基础】2017课标II 改编】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有 . 【答案】362.【两个计数原理】【2016高考新课标3改编】定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若4m =，则不同的“规范01数列”共有 .【答案】14【解析】由题意，得必有10a =，81a =，则具体的排法列表如下：3.【计数原理、简单组合问题】【2016高考新课标2改编】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 .【答案】184.【计数原理、简单排列组合问题】【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答）【答案】1080【解析】413454541080A C C A+=.【命题预测☆看准方向】从近五年高考试题来看,高考命题对排列组合注重基础知识和基本解题方法、规律的考查以及运算能力的考查.题目的难度基本都为中等或中等以下.考查的重点重点，一是利用计数原理、排列、组合知识进行计数；二是与概率问题的综合等.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018届山东省师大附中高三第三次模拟】将编号1,2,3,4的小球放入编号为1,2,3盒子中,要求不允许有空盒子,且球与盒子的编号不能相同,则不同的放球方法有（）A. 6种B. 9种C. 12种D. 18种【答案】C【解析】由题意可知,这四个小球有两个小球放在一个盒子中,当四个小球分组为如下情况时,放球方法有:当1与2号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;当1与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法;当1与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当2与3号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当2与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 当3与4号球放在同一盒子中时,有2种不同的放法; 因此,不同的放球方法有12种. 故选：C【趁热打铁】【2018届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期末】高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有（ ） A. 16种 B. 18种 C. 37种 D. 48种 【答案】C【例2】【2018届北京市西城区高三期末】把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答） 【答案】8【解析】当C 在最右边位置时，由336A = 种排法符合条件；当C 在从右数第二个位置时，由222A =种排法符合条件，把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有6+2=8种，故答案为8.【趁热打铁】【2018届湖南师范大学附属中学高三上学期月考（五）】某班上午有五节课，分别安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是（ ） A. 16 B. 24 C. 8 D. 12 【答案】A【例3】【2017年12月浙江省重点中学期末热身联考】甲，乙，丙，丁四名同学做传递手帕游戏（每位同学传递到另一位同学记传递1次），手帕从甲手中开始传递，经过5次传递后手帕回到甲手中，则共有__________种不同的传递方法．（用数字作答）【答案】60种【解析】根据题意分3种情况①当甲第一次传给其余3人，有133C=种情况，第二次将手帕传给了甲，第三次甲再传给其余3人，有133C=种情况，第四次传给了除甲以外的2人，有122C=种情况，第五次传给甲，此时有33218⨯⨯=种情况；②当甲第一次传给其余3人，有133C=种情况，第二次将手帕传给了除甲以外的2人，有122C=种情况，第三次传给了甲，第四次传给了其余3人，有133C=种情况，第五次传给甲，此时有32318⨯⨯=种情况；③当甲第一次传给其余3人，有133C=种情况，第二次将手帕传给了除甲以外的2人，有122C=种情况，第三次再传给了除甲以外的2人，有122C=种情况，第四次仍然传给了除甲以外的2人，有122C=种情况，第五次传给甲，此时有322224⨯⨯⨯=种情况综上，共有18182460++=种不同的传递方法故答案为60.【趁热打铁】8人排成一排照相，分别求下列条件下的不同照相方式的种数.（1）其中甲、乙相邻，丙、丁相邻；（2）其中甲、乙不相邻，丙、丁不相邻；（要求写出解答过程，并用数字作答）【答案】(1)2880(2)23040【解析】试题分析：（1）相邻问题用捆绑法：即将甲、乙看作一个元素，丙、丁相邻看作一个元素，这样六个元素全排列，再分别乘以甲、乙排列数以及丙、丁排列数（2）不相邻问题用插空法：先排剩下六人全排列，再插空排甲、乙得甲、乙不相邻的排法总数，最后减去甲、乙不相邻时但丙、丁相邻的情况即得结果试题解析：（1）捆绑法，共有6226222880A A A=种不同排法.（2）间接法，先求出甲、乙不相邻的排法总数6267A A ，再减去甲、乙不相邻时但丙、丁相邻的情况，此时有522526A A A 种，故共有625226752623040A A A A A -=种.【方法总结☆全面提升】1.在分类加法计数原理中,每一种方法都能完成这件事情,类与类之间是相互独立的,不能重复.即分类的标准是“不重不漏,一步完成”.2.在分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,在各个步骤中任取一种方法,即是完成这个步骤的一种方法.3.应用两种原理解题要注意分清要完成的事情是什么,完成该事情是分类完成还是分步完成.分类的就应用分类加法计数原理,分步的就应用分步乘法计数原理;在综合应用两个原理时,一般先分类再分步,在每一步当中又可能用到分类加法计数原理.4.解决排列组合问题的基本方法有: 解决排列问题的主要方法(1)解决“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．不管是从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．(2)解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看做一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列．(3)解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．(4)对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列． (5)若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”．【规范示例☆避免陷阱】【典例】要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法？ (1)A ，B ，C,3人都参加； (2)A ，B ，C,3人都不参加； (3)A ，B ，C,3人中只有一个参加．【规范解答】(1)只需再从A ，B ，C 之外的9人中选择2人， 所以有方法29C ＝36(种)．(2)由于A ，B ，C 三人都不能入选，所以只能从余下的9人中选择5人，即有选法59C ＝126(种)． (3)可分两步：先从A ，B ，C 三人中选出一人，有13C 种选法；再从其余的9人中选择4人，有49C 种选法．所以共有选法1439378C C = (种)．【反思提高】解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数． 【误区警示】解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手. (1)“分析”就是找出题目的条件、结论,哪些是“元素”,哪些是“位置”; (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合,对某些元素的位置有无限制等; (3)“分类”就是首先对于较复杂问题中的元素分成互斥的几类,然后逐类解决;(4)“分步”就是首先把问题化成几个互相联系的步骤,而每一步都是简单的排列组合问题,然后逐步解决.考向二二项式定理【高考改编☆回顾基础】1.【二项式定理求指定项系数】【新课标1，改编】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 . 【答案】302．【二项式定理由指定项系数求n 】【2017山东，理11】已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 【答案】4【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式()1C 3C 3rr r r rr n n x x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =．3. 【虚数单位、二项式定理求指定项】【2016年高考四川改编】设i 为虚数单位，则6()x i +的展开式中含x 4的项为. 【答案】－15x 4【解析】二项式6()x i +展开的通项616r r rr T C xi -+=，令64r -=，得2r =，则展开式中含4x 的项为2424615C x i x =-.4. 【二项式定理由指定项系数求参数值】【2016高考山东理数】若（ax 2）5的展开式中x 5的系数是—80，则实数a=_______. 【答案】-2【解析】因为5102552155()r rrr r rr T C ax C a x x---+==，所以由510522r r -=⇒=，因此252580 2.C a a -=-⇒=-【命题预测☆看准方向】从近五年高考试题来看,高考命题对排二项式定理注重基础知识和基本解题方法、规律的考查以及运算能力的考查.题目的难度基本都为中等或中等以下.考查的重点重点是求二项展开式中的某一项的二项式系数、指定项、各项系数和、n 的值、参数的值等.【典例分析☆提升能力】【例1】【2018届黑龙江省七台河市高三上期末】已知()41(0)ax a +>展开式的所有项系数之和为81，则()211?2ax x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的常数项为__________．【答案】-2【解析】因为()41(0)ax a +>展开式的所有项系数之和为81，所以()4181a +=，解得2a =，所以()411?2x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭中的常数项为01442242C C -=-=-，故填2-.【趁热打铁】【2018届四川省成都市龙泉中学高三12月月考】912x x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为___________.（用数字作答） 【答案】212-【例2】【2018届河北省鸡泽县第一中学高三上学期第四次月考】()()511x x +-展开式中含3x 项的系数为_______.（用数字表示） 【答案】0【解析】∵（x+1）（x ﹣1）5=（x+1）（05C x 5+()11451C x ⋅⋅-+()22351C x ⋅⋅-+()33251C x ⋅⋅-+()44151C x ⋅⋅-+()5551C ⋅-）， 故展开式中含x 3 的项的系数为﹣35C +25C =0， 故答案为 0．【趁热打铁】【2018届辽宁省凌源市高三上期末】82332x x ⎛ ⎝的展开式中，含2x 的项的系数为__________． 【答案】6316【解析】通项为()7168283188313322r rr rrr r r T C xC xx ---+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝ 令71623r -=，解得： 6r =，故含2x 的项的系数为668681633216C -⎛⎫-=⎪⎝⎭. 故答案为：6316【例3】【2018届安徽省皖南八校高三12月联考】若0a <， ()()52x y ax y -+展开式中， 42x y 的系数为-20，则a 等于()A. -1B. 32-C. -2D. 52- 【答案】A【解析】由()()342214255210xC ax y yC ax y x y -=，可得()310120,a a -=-将选项A B C D ，，，中的数值代入验证可得， 1a =-符合题意，故选A.【趁热打铁】在()3*212nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( )A. 3B. 5C. 8D. 10 【答案】B【方法总结☆全面提升】1. 求二项展开式中的指定项,一般是利用通项公式进行化简,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出项数r+1,代回通项公式即可.2. 二项式定理给出的是一个恒等式,对于a,b 的一切值都成立.因此,可将a,b 设定为一些特殊的值.在使用赋值法,令a,b 等于多少时,应视具体情况而定,一般取“1,-1或0”,有时也取其他值.3. 一般地,若f(x)=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n,则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1),奇数项系数之和为a 0+a 2+a 4+…=,偶数项系数之和为a 1+a 3+a 5+…=.【规范示例☆避免陷阱】【典例】设()20121nnn x a a x a x a x +=+++⋯+,若a 1+a 2+…+a n=63,则展开式中系数最大的项是( )A.15x 2B.20x 3C.21x 3D.35x 3【反思提升】二项展开式系数最大的项的求法:求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式中各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第r项系数最大,应用解出r,即得展开式系数最大的项.要特别注意二项式系数与二项展开式系数的区别. 【误区警示】应用通项公式要注意五点:(1)它表示二项展开式的任意项,只要n与r确定,该项就随之确定;(2)Tr+1是展开式中的第(r+1)项,而不是第r项;(3)公式中a,b的指数和为n,且a,b不能随便颠倒位置;(4)要将通项中的系数和字母分离开,以便于解决问题;(5)对二项式(a-b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题.。
高考数学专题：排列、组合与二项式定理问题练习试题、答案
高考数学专题：排列、组合与二项式定理问题练习试题一．排列与组合问题1．某科技小组有四名男生两名女生，现从中选出三名同学参加比赛，其中至少一名女生入选的不同选法种数为（ ）A ．36CB ．1225C C C ．12212424C C C CD ．36A2．某校需要在5名男生和5名女生中选出4人参加一项文化交流活动，由于工作需要，男生甲与男生乙至少有一人参加活动，女生丙必须参加活动，则不同的选人方式有（ ）A ．56种B ．49种C ．42种D ．14种 3．五人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法有（ ）A ．60种B ．48种C ．36种D ．24种4．某单位有7个连在一起的停车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有（ ）A ．16种B ．18种C ．24种D ．32种5．为迎接2008年北京奥运会，某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，若12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3个不同的代表队，则不同获奖情况种数共有（ ）A ．412CB ．3111162223C C C C C C ．31116322C C C C D ．311112622232C C C C C A 6．A 、B 两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4，现从中任取三条网线且使这三条网线通过最大信息量的和大于等于6的方法共有（ ）A ．13种B ．14种C ．15种D ．16种7．有一排7只发光二级管，每只二级管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二级管点亮，但相邻的两只二级管不能同时点亮，根据这三只点亮的二级管的不同位置或不同颜色来表示不同的信息，则这排二级管能表示的信息种数共有（ ）A ．10B ．48C ．60D ．808．数列{}n a 共七项，其中五项为1，两项为2，则满足上述条件的数列{}n a 共有（ ）A ．21个B ．25个C ．32个D ．42个 9．三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过5次传递后，毽又踢回给甲，则不同的传递方式共有（ ）A ．6种B ．8种C ．10种D ．16种 10．5个大小都不同的数按如图形式排列，设第一行中的最大数为a ，第二行中的最大数为b ，则满足a b <的所有排列的个数是（ ）A ．144B ．72C ．36D ．2411．有A ，B ，C ，D ，E ，F 共6个不同的油气罐准备用甲，乙，丙3台卡车运走，每台卡车运两个，但卡车甲不能运A 罐，卡车乙不能运B 罐，此外无其它限制. 要把这6个油气罐分配给这3台卡车，则不同的分配方案种数为（ ）A ．168B ．84C ．56D ．4212．若m 、2210{|1010}n x x a a a ∈=⨯+⨯+，其中(0,1,2){1,2,3,4,5,6}i a i =∈，并且606m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为（ ）A ．32个B ．30个C ．62个D ．60个 13．由0、1、2、3这四个数字，可组成无重复数字的三位偶数有_______个．14．从1，2，…，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为奇数的概率是____________（用数字作答）．15．如图所示，画中的一朵花，有五片花瓣．现有四种不同颜色的画笔可供选择，规定每片花瓣都要涂色，且只涂一种颜色．若涂完的花中颜色相同的花瓣恰有三片，则不同涂法种数为_______（用数字作答）．二．二项式定理1．已知23132nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项（非零），则正整数n 的可能值是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．32．已知622x x p ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，不含x 的项是2720,那么正数p 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知31nx ⎛⎫ ⎪⎝⎭的展开式中第二项与第三项的系数之和等于27，则n 等于______，系数最大的项是第___________项．4．621x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数为___________．（用数字作答） 5．6)21(x -展开式中所有项的系数之和为________；63)21)(1(x x -+展开式中5x 的系数为__________．6．62)21(x x -展开式中5x 的系数为______________．7．已知n x )21(+的展开式中含3x 项的系数等于含x 项的系数的8倍，则n 等于__________．8．已知n+的二项展开式的第6项是常数项，那么n =_______． 9．62)2(x x+的展开式中的常数项是______________（用数字作答）． 10． 在6(12)x -的展开式，含2x 项的系数为_________________；所有项的系数的和为_______________． 11．在n的展开式中，前三项的系数的绝对值依次组成一个等差数列，则n =______，展开式中第五项的二项式系数为_____（用数字作答）． 12．82)2(x +的展开式中12x 的系数等于______________（用数字作答）． 13．210(1)x -的展开式中2x 的系数是______________，如果展开式中第4r 项和第2r +项的二项式系数相等，则r 等于____________． 14． 若62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为160-，则常数a 的值为_________，展开式中各项系数之和为_________．答案一．1．C2．B3．C4．C5．C6．C7．D8．A9．C10．B11．D12．D13．1014．10 2115．240二1．B2．C 3．9，5 4．－20 5．1，－132 6．－160 7．58．10 9．60 10．60，111．8，70 12．112 13．－10，2 14．1，1。
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课时跟踪检测（十五） 排列、组合与二项式定理
1．(2017·宝鸡模拟)我市正在建设最具幸福感城市，原计划沿渭河修建7个河滩主题公园．为提升城市品位、升级公园功能，打算减少2个河滩主题公园，两端河滩主题公园不在调整计划之列，相邻的两个河滩主题公园不能同时被调整，则调整方案的种数为( )
A ．12
B ．8
C ．6
D ．4
解析：选C 由题意知除两端的2个河滩主题公园之外，从中间5个河滩主题公园中调整2个，保留3个，可以从这3个河滩主题公园的4个空中任选2个来调整，共有C 2
4＝6种方法．
2．若⎝
⎛⎭⎪⎫9x －13x n (n ∈N *
)的展开式中第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项
为( )
A ．84
B ．－252
C ．252
D ．－84
解析：选A 由题意可得C 2
n ＝36，∴n ＝9. ∴⎝
⎛
⎭⎪⎫9x －
13x n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫9x －13x 9
的展开式的通项为 T r ＋1＝C r
9·99－r
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－13r ·x 392-r
，
令9－3r
2
＝0，得r ＝6.
∴展开式中的常数项为C 69×93
×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－136＝84.
3．(2017·昆明一模)旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为( )
A ．24
B ．18
C ．16
D ．10
解析：选D 第一类，甲在最后一个体验，则有A 3
3种方法；第二类，甲不在最后一个体验，则有A 12A 2
2种方法，所以小李旅游的方法共有A 3
3＋A 12A 2
2＝10种．
4．(2017·西安二检)将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法种数为( )
A ．15
B ．21
C ．18
D ．24
解析：选B 分两类，第一类：两个红球分给其中一个人，有A 3
3种分法；第二类：白球
和黄球分给一个人，有A 13种分法；第三类：白球和一个红球分给一个人，有A 3
3种分法；第四类：黄球和一个红球分给一个人，有A 3
3种分法．总共有A 3
3＋A 1
3＋A 3
3＋A 3
3＝21种分法．
5．将⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
x ＋124x n 的展开式按x 的降幂排列，若前三项的系数成等差数列，则n 为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
解析：选C 二项式的展开式为T r ＋1＝C r n (x )n －r ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫124x r ＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12r x 324－n r
，由前三项系数
成等差数列得C 0n ＋C 2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝2C 1n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫121，即n 2
－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍去)，故n ＝8.
6．(2017·西安二模)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )
A ．10种
B ．20种
C ．36种
D ．52种
解析：选A 1号盒子可以放1个或2个球，2号盒子可以放2个或3个球，所以不同的放球方法有C 14C 3
3＋C 24C 2
2＝10(种)．
7．(2017·广州模拟)将5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这3所大学就读，每所大学至少保送1人，则不同的保送方法共有( )
A ．150种
B ．180种
C ．240种
D ．540种
解析：选A 先将5人分成三组，3,1,1或2,2,1，共有C 3
5
＋C 15
×C 2
4·C 2
2
2！＝25种方法，再
将三组学生分到3所学校有A 3
3＝6种方法，共有25×6＝150种不同的保送方法．
8．(2017·成都模拟)(x ＋1)5
(x －2)的展开式中x 2
的系数为( ) A ．25 B ．5 C ．－15
D ．－20
解析：选C 因为(x ＋1)5
的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5x
5－r
，令5－r ＝2，得r ＝3；
令5－r ＝1，得r ＝4，所以(x ＋1)5
(x －2)的展开式中x 2
的系数为－2C 3
5＋C 4
5＝－15.
9．(2018届高三·桂林中学摸底)从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方
程x 2a 2＋y 2
b
2＝1中的a 和b ，则能组成落在矩形区域B ＝{(x ，y )||x |＜11，且|y |＜9}内的椭圆个数为( )
A．43 B．72
C．863 D．90
解析：选B 在1,2,3，…，8中任取两个数作为a和b，共有A28＝56个椭圆；在9,10中取一个作为a，在1,2,3，…，8中取一个作为b，共有A12A18＝16个椭圆，由分类加法计数原理，知满足条件的椭圆的个数为56＋16＝72.
10．(2018届高三·威海二中调研)在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B，C实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( )
A．24种 B．96种
C．120种 D．144种
解析：选B 先安排程序A，从第一步或最后一步选一个，有A12种，再把B，C看成一个整体和其余三个程序编排，有A44种，最后B，C排序，有A22种，故共有A12A44A22＝96种．11．在(2x－3y)10的展开式中，奇数项的二项式系数和与各项系数的和的比值为( ) A．210 B．29
C.
1
210
D.
1
29
解析：选B 令x＝1，y＝1，则各项系数的和为(2－3)10＝1，因为C010＋C210＋C410＋…＋C1010＝C110＋C310＋C510＋…＋C910，C010＋C110＋C210＋C310＋C410＋C510＋…＋C910＋C1010＝210，故奇数项的二项式系数和为C010＋C210＋C410＋…＋C1010＝29，故奇数项的二项式系数和与各项系数的和的比值为29.
12．(2017·衡水二模)已知数列{a n}共有5项，其中a1＝0，a5＝2，且|a i＋1－a i|＝1，i ＝1,2,3,4，则满足条件的数列{a n}的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：选C 法一：因为|a i＋1－a i|＝1，所以a i＋1－a i＝1或a i＋1－a i＝－1，即数列{a n}从前往后，相邻两项之间增加1或减少1，因为a1＝0，a5＝2，所以从a1到a5有3次增加1，有1次减少1，故数列{a n}的个数为C34＝4.
法二：设b i＝a i＋1－a i，i＝1,2,3,4，∵|a i＋1－a i|＝1，∴|b i|＝1，即b i＝1或－1.a5＝a5－a4＋a4－a3＋a3－a2＋a2－a1＋a1＝b4＋b3＋b2＋b1＝2，故b i(i＝1,2,3,4)中有3个1,1个－1，故满足条件的数例{a n}的个数为C14＝4.
13．(2018届高三·湖南五校联考)在(2x＋1)(x－1)5的展开式中含x3项的系数是________．(用数字作答)
解析：由题易得二项式的展开式中含x3项的系数为C25(－1)2＋2C35(－1)3＝－10.
答案：－10
14．(2018届高三·西安八校联考)已知关于x 的二项式⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
x ＋a 3x n 的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则实数a 的值为________．
解析：依题意得2n
＝32，n ＝5，二项式⎝
⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫
x ＋a 3x 5的展开式的通项T r ＋1
＝C r
5·(x )5－r
·⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫a 3x r ＝C r 5·a r ·x 1556－r .令15－5r 6＝0，得r ＝3.由C 35·a 3＝10a 3＝80，解得
a ＝2.
答案：2
15．(2018届高三·广西五校联考)已知n ＝∫20
x 3
d x ，则⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫
x －23x n 的展开式中常数项为________．
解析：n ＝∫20
x 3
d x ＝14
x 4| 20＝4，二项式的展开式的通项为T r ＋1＝C r 4x 4－r ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－23x r ＝(－2)r C r
4
x 4－4
3r ，令4－43
r ＝0，则r ＝3，展开式中常数项为(－2)3C 34＝－8×4＝－32.
答案：－32
16．(2017·中山模拟)由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数是________．
解析：当十位数字为0，千位数字为7时，四位数的个数是A 2
8；当十位数字与千位数字为1,8或8,1时，四位数的个数是A 28A 2
2；当十位数字与千位数字为2,9或9,2时，四位数的个数是A 28A 2
2.故所求的四位数的个数是A 2
8＋A 28A 2
2＋A 28A 2
2＝280.
答案：280。