极限与连续

第二章 极限与连续 §2.1数列的极限要点：1.数列极限的N -ε的定义方式。

2.如何用定义证明.)(lim A n f n =∞→（包括:分析和证明，有时需要放大，取对数等）。

3．记住三个常用极限;1lim=∞→nn n0lim =∞→n n q ，其中1||<q ; )0(1lim>=∞→a a nn .一. 数列定义在自然数集合上的函数)(n f yn=依次排成一串数),(,),3(),2(),1(n f f f f 称为数列。

如：数列1：nny 21=，即,21,,161,81,41,21n ，其中n 21称为数列的通项。

数列2：ny n11+=，即,,11,,45,34,23,2 n +其中 n11+ 称为通项。

数列3：ny nn1)1(1-+=，即 ,1)1(1,,45,32,23,0nn -+,其中 nn1)1(1-+ 称为通项。

数列4：ny n 2=，即 ,2,,8,6,4,2n ，其中n 2称为通项。

数列5：2)1(1nn y -+=，即 ,2)1(1,,1,0,1,0n-+,其中通项是.2)1(1n-+当自变量n 逐渐增大时，上述数列各自有着自己的变化趋势，从对变化趋势的分析可以引出数列极限的概念。

二. 数列的极限容易看出，当n 无限增大时，记为∞→n （这里自然理解为+∞→n ），数列1的通项 n21 与常数0的差（或说距离）|021|-n将无限地接近零,则说当∞→n 时，数列}21{n的极限为0，记为021lim =∞→nn ，或记为21→n（当∞→n ）。

当n 无限增大时，数列2的通项 ny n 11+=与常数1的差（或说距离）nn1|1)11(|=-+无限地接近于零。

我们就说：当+∞→n 时，数列}11{n+的极限是1,记作 1)11(lim =+∞→nn ，或记为1)11(→+n （当∞→n ）。

类似，当∞→n 时，ny nn 1)1(1-+=与常数1的距离01|1]1)1(1[|→=--+n n n ，所以 1]1)1(1[lim =-+∞→nnn .如何用数学语言描述数列)(n f y n =有极限A ？定义 如果对任意给定的正数0>ε，都能找到一个时刻0>N ，使得当N n >时，恒有ε<-|)(|A n f 成立，则称当∞→n 时，数列)}({n f 以常数A 为极限。

记作A n f n =∞→)(lim (即A y n n =∞→lim )，或记为An f →)(（当∞→n ）。

如果数列)(n f 有极限则说数列)(n f 收敛，否则就说)(n f 是发散的（即没有极限）。

图2.1定义中的N 是依赖于ε的，不同的ε,则有不同的).(εN N =这种定义常称为 N -ε 定义。

例如数列3，显然对任意给定的0>ε要使ε<=--+nnn 1|1]1)1(1[|，只须ε1>n , 所以可取]1[ε=N （]1[ε表示ε1的整数部分),只要正整数]1[ε=>N n 时,定有ε1>n ，从而.1|1]1)1(1[|ε<=--+nnn 故由极限定义可知 1]1)1(1[lim =-+∞→nnn . 图示如下：图2.2数列4 ny n2=，显然当∞→n ，∞→n 2,记作.2lim ∞=∞→n n 此时，数列ny n 2=没有确定的常数作为它的变化趋势，故是发散的。

而数列52)1(1nn y -+=，当∞→n 时，n y 取 ,1,0,1,0振荡，没有确定的常数作为它的变化趋势，这是另一种发散的类型。

例1 利用定义 证明 212lim =+∞→nn n .[分析:,2,12)(=+=A nn n f 若任意给定0>ε,要使 ε<==-+=-+=-nn nnn nn A n f 1|1||212||212||)(| )1(ε>n 必须，只要取]1[ε=N ,则当Nn >时,必有ε<n1,即有 ε<-+|212|n n ].证明 0>∀ε，]1[ε=∃N ，则当Nn >时，ε<=-+nnn 1|212|,成立，故有 212lim=+∞→nn n . 由上不难看出，用定义证明A n f n =∞→)(lim的问题，实际上就是对任意给定的0>ε,想办法利用绝对值性质去找N ,当N 找到了，证明就完成了（自然)(εN N=是依赖ε的）。

例2 用定义证明 )0(1lim>=∞→a a nn .证明 分三种情况讨论（这里nan f =)(, 1=A ）(1) 当1=a 时，11≡=nn a . 故 11lim=∞→nn .(2) 当1>a时，1>n a ，0>∀ε，考察 ε<-=-=-1|1||)(|nn a a A n f .即 ε+<1na ，所以 n a )1(ε+<.为了求N ，将n a )1(ε+<两边都取对数 得 )1ln()1ln(ln εε+=+<n a n ，∴ )1ln(ln ε+>a n .于是0>∀ε，我们找到了])1ln(ln [ε+=a N ，当N n >时，恒有ε<-|1|n a 成立，故1lim=∞→nn a .(3)当10<<a 时，令ba 1=，则 11>=ab .而|1||1||1||11||1|-=-<-=-=-n nnnnnb b bbba .由(2)知，0>∀ε，必有])1ln(ln [])1ln(1ln[])1ln(ln [εεε+-=+=+=a a b N ,使当 Nn >时，恒有 ε<-<-|1||1|n nb a .故 1lim=∞→nn a ，10<<a .综上讨论，有 )0(1lim>=∞→a a nn .（此例题，要求① 记住结论；②为找N ，有时使用不等 式放大和不等式两边取对数的技巧；③当10<<a 时，利 用已证明过的结果（2）,做个变换ba 1=）.顺便提一句，中学所学的数列前n 项求和公式，有时也可以帮助我们求极限。

例如，求 )21(lim222nn nnn +++∞→ .解 利用n 项和公式)1(21321+=++++n n n ，有 2222)1(21lim )21(lim nn n nn nnn n +=+++∞→∞→.21)2121(lim 2lim22=+=+=∞→∞→nnn n n n同样22225)12(531lim)5125351(lim nn nn nnn n -++++=-+++∞→∞→5151lim5lim22===∞→∞→n n nn.例3 利用定义证明 0lim =∞→n n q ，其中1||<q .证（1） 当0,,0=∀=nq n q ，常数的极限是其本身。

所以 0lim =∞→nn q .（2）当 1||0<<q （这里0,)(==A q n f n ）先分析：0>∀ε，（不妨设||0q <<ε），要使不等式ε<=-=-nnq q A n f |||0||)(|成立，就须解不等式 ε<n q ||，求出n 的范围（即求N ）。

为此两边取对数εlg ||lg <n q ，即||lg lg ,0||lg .lg ||lg q n q q n εε>∴<< （εlg亦小于0，故0||lg lg >q ε）. 因此取 ]||lg lg [q N ε= 即可.证明 0>∀ε，不妨取||0q <<ε，只要取]||lg lg [q Nε=，则当Nn >时, 必有||lg lg q n ε>. 于是εlg ||lg <q n 即εlg ||lg <n q .由于x lg 是严格单增的，ε<∴nq ||，故有ε<==-nnnq q q |||||0|.由极限定义知 0lim =∞→nn q .图2.3例4 用定义证明 342314lim 22=++∞→n n n .分析 0>∀ε，欲使2222222195)23(35|342314|,|342314|nnn n n n n <<+=-++<-++ε只需ε<21n，即ε1>n .证明 0>∀ε，[]01>=∃εN ，当Nn >时，恒有 ε<-++|342314|22n n 成立，所以 342314lim22=++∞→n n n .例5 用定义证明 .211210lim233=+++-∞→n n n n n （书p.23）[分析 0>∀ε，要证存在,N 使当Nn >时,有.211210233ε<-+++-n n n n用适当放大方法211210233-+++-n n n n =,)12(2192232++-+n n n n当3>n 时，1922-+n n ==-+20)1(2n 1922-+n n <n n 22+<2.2n 而)12(223++n n >23n .,)12(2192232n12n2n 3n 32=<++-+>∴n n n n 时，当为要<++-+)12(2192232n n n n .},{,,即可故取只需⎥⎦⎤⎢⎣⎡=><εεε13max N 1n n1]证,0>∀ε取 },{⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε13max N ，，则当N n >时，有.211210lim.211210233233=+++-∴<-+++-∞→n n n n n n n n n ε例6 用定义证明1lim=∞→nn n （或写为1lim 1=∞→n n n ）.证明 利用几何平均不超过算术平均公式na a a a a a nnn +++≤⋅ 2121 , 其中n i a i ,,1,0 =≥, 得nn n n n n nn n1111)2(++++≤⋅⋅=- 个n n n )2-(2+=1)1-(2+=nn ， 从而nnn nn n n 22)1(21=<-≤-,只要ε<n2，即24ε>n ，便可保证 ε<-=-1|1|nnn n .∴,0>∀ε只要取]4[2ε=N ，则当N n >时，恒有ε<-|1|n n 成立，故 1lim=∞→nn n .（改错：书p.25 ).1())1(())1(2()1(⋅⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅=n k n k n n ） 数列极限的性质性质1（唯一性）}{n x 的极限唯一.(反证法) 性质2（有界性）收敛的数列必有界.性质2（保序性）,lim a x n n =∞→ by n n =∞→lim（1） 若n;n y x N n >>∃⇒>时，使当,N b a（2）若 b.a y x N n n n≥≥>∃则时使当,,N数列极限的四则运算（书p.27）⇒（书p.29）推论1,2,3.和定理1.2.5。