极限与连续
数列极限的概念
值无限接近常数a，就称a 是{xn}，当n →∞时的极 限，记作
如果数列{xn}，当n无限增大时，数列{xn}的取
lim xn a，
n
如果数列没有极限，称数列是发散的
收敛数列的性质
1. 收敛数列{xn}的极限是唯一的 2. 收敛的数列一定有界，但有界的数列不一 定收敛。 3.无界数列必定发散 4. 收敛数列的极限有的可以达到，有的不能 达到。例如，常数列可以达到它的极限，但上 面的例子都不能达到它们的极限。
无穷大
lim 0 ，即当 x x 0 时 如果 x x f ( x)
0
1
1 f ( x)
是无穷小，
则称当 x x 时，
0
f ( x ) 为无穷大．记为
x x0
lim f ( x) 或 f ( x) ( x x0 )
0
注 当xx
( 或 x ) 时为无穷大的函数 f ( x ) 极限
，则
x x0
（1）
x x0
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) A B
x x0
； ，
（2） x x0
lim f ( x) g ( x) lim f ( x) lim g ( x) AB
x x0 x x0
，就说 是比 低阶的无穷小．
定理
设 ~ ， ~ ，且 lim
存在，则 lim lim ．
定理表明，求两个无穷小之比的极限时，如果用来 代替的无穷小选取得适当，可使计算简化．
sin x lim 例 求 x 0 x 3 3 x ．
x x0
( B 0)
x3 1 例 求 xlim 2 x 2 5 x 3 ．
解
x 1 lim 2 x22 x 2 x 5 x 3 lim( x 5 x 3)
3 x 2
lim( x3 1)
lim x3 lim1 lim x 5lim x lim3
函数极限的运算 1）无穷小、无穷大
无穷小的定义
在某一极限过程中 （如 x x0 ，x ，n ） ， 以零为极限的变量称为该极限过程的无穷小量，简称 无穷小．
1 1 0 例如， 因为 x x 所以函数 x 为当 x 时的 lim
无穷小．
无穷小与函数极限的关系
而且 A 0 （或 A 0 ） ，那么就存在着点 x 的某一去心邻 域，当 x 在该邻域内时，就有 推论 1
0
f ( x) 0 （或 f ( x) 0 ） ． f ( x) 0 （或
如果在 x 的某一去心邻域内
x x0
f ( x) 0） ，而且 lim f ( x) A ，那么 A 0 （或 A 0 ） ．
x 2 x 2 x 2 x 2 2 x 2
(lim x) 1
3
(lim x) 5 2 3
x 2
x 2 2
2 1 7 2 2 10 3 3．
3
3）两个准则
准则 I （1）
{ yn } 及 {zn } 满足下列条件： 如果数列 {xn }、
yn xn zn
1 x 1 t lim(1 ) lim(1 ) x t x t
tan x 例 2 求 lim x0 x ．
解
1 1 lim t 1t e． (1 ) t
tan x sin x 1 sin x 1 lim lim lim lim 1． x0 x 0 x x cos x x0 x x0 cos x
二、函数的极限
1）自变量趋于无限时的函数极限
如果函数 f ( x) 当 x 无限增大时， f ( x) 取值和常数 l 要多接近就有多接近，此时称 l 是
f ( x) 当 x 时的极限，记作
lim f ( x) l ．
x
lim f ( x) 存在的充分必要条件是 lim f ( x) lim f ( x) ．
x x 0 （或 x ） 定理 在自变量的同一变化过程
f ( x ) 中，函数 具有极限 A 的充分必要条件是 f ( x) A ，
其中 是无穷小．
无穷小的运算性质
性质1 性质2 推论1 推论2 有限个无穷小的和也是无穷小． 有界函数与无穷小的乘积是无穷小． 常数与无穷小的乘积是无穷小． 有限个无穷小的乘积也是无穷小．
x x0
lim Cf ( x) C lim f ( x) CA
x x0
n
， ； ．
x x0
lim f ( x)
lim f ( x) x x0
n
An
（3） ．
lim f ( x) f ( x) A x x0 lim x x0 g ( x) lim g ( x) B
x x0
( x )存
在，那么这极限唯一． 性质 2(函数极限的局部有界性) 如果 lim
x x0
f ( x) A ，
那么存在常数
f ( x) M
M 0
和
，使得当
0 x x0
时 有
． 如果 lim
x x0
性质 3(函数极限的局部保号性)
0
f ( x) A ，
解 当 x 0 时 sin x ~ x 所以
sin x x 1 1 lim 3 lim 3 lim 2 ． x 0 x 3 x x 0 x 3 x x 0 x 3 3
2）极限的四则运算法则
设
x x0
lim f ( x) A
和
x x0
lim g ( x) B
x
n
第二个重要极限的三种形式也可统一为模型
( x ) 0
lim (1 ( x))
1 ( x)
e，
成立的条件是在给定趋势下， 两个 ( x) 是一模一样的 无穷小量．
1 x ) ． 例 1 求极限 lim(1 x x
解 令 t x 则 x 时 t ． 于是
f ( x0 0) A ．
0 0
（2）当自变量 x 大于 x 而无限趋近于 x 时，如果 函数 f ( x) 的对应值无限趋近于一个确定的数 A ，那么 A 就叫做函数 f ( x) 当 x x 时的右极限，记作
0
x x0
lim f ( x) A 或 f ( x0 0) A ．
y f ( x x0 ) f ( x0 ) ．
2）连续的定义
定义 1 定义，如果
x 0
0
设函数 y f ( x) 在点 x0 的某一邻域内有
lim y 0 ，
称函数 y f ( x) 在点 x 连续． 等价定义如下. 定义 1′ 设函数 y f ( x) 在点 x0 的某一邻域内有 定义，如果函数 f ( x ) 当 x x0 时的极限存在，且等于 它在点 x0 处的函数值 f ( x0 ) ，即
三、函数的连续性
连续函函数的概念
1）增量的概念
设变量 t 从一个初值 t1 变到终值 t 2 ， 增量 t 函数 函数 量为
t2 t1 ．
y f ( x) 自变量 x 从 x0 变到 x0 x 时，
y
相应地从 f ( x0 ) 变到 f ( x0 x) ，函数 y 的对应增
x x x
2）自变量趋于有限值时的极限
假定函数 f ( x) 在点 x 的某个去心邻域内是有定义，
0
如果在 x x 的过程中， 对应的函数值 f ( x) 无限接近于确
0
定的数值 A ， 那么就说 A 是函数 f ( x) 当 x x 时的极限． 记
0
作
x x0
lim f ( x) A
准则 II 的几何解释： 单调增加数列的点只可能向右一个方向移动，或 者无限向右移动，或者无限趋近于某一定点 A，而对 有界数列只可能后者情况发生．
4）两个重要极限
sin x lim 1， x 0 x
1 1 1 lim 1 e （或 lim1 e ， lim(1 x) x e ） ， x n x 0 x n
定理 函数
f ( x) 当
x x0 时极限存在的充分必要
条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即
f ( x0 0) f ( x0 0) ．
例
x 1 f ( x) 0 证明函数 x 1 x0 x0 x0
当 x0 时的极
限不存在． 证
x 0
这是因为
是不存在的．为了便于叙述也说“函数的极限是无穷 大” 并记作
x x0
lim f ( x)
f ( x ) )． (或 lim x
1 f ( x)
如果
f ( x ) 为无穷大，则
为无穷小；
f ( x ) 0 ，则
反之，如果 穷大．
f ( x)
为无穷小，且
1 f ( x)
定义 列
{xn }
满足条件 x1 x2 x3 xn xn1 ， 称数 是 单 调 增 加 的 ； 满 足 条 件
x1 x2 x3 xn xn1 ， 称 数 列 {xn } 是 单 调 减 少
的．统称为单调数列． 准则 II 单调有界数列必有极限
(n 1 ， 2， 3...) ，
y n a， lim z n a， （2） lim n n
xn a ． 那么数列 {xn } 的极限存在，且 lim n
数学极限和连续性：极限和连续性的概念
数学极限和连续性：极限和连续性的概念数学是一门与数和空间相关的学科，其基础理论体系非常庞大而复杂。
其中，数学极限和连续性是数学分析的基石，它们在解决各种问题和证明数学定理时起着重要的作用。
1. 数学极限的概念及性质数学极限是数学分析中一个重要的概念，用来描述函数序列或数列逐渐趋于无穷或某个特定值的过程。
在实际应用中，数学极限可以帮助我们解决各种求解极限问题的困扰。
在数学中，对于函数序列{fn(x)}，若存在一个实数L，使得当x趋于某个数值a时，{fn(x)}中的函数值逐渐趋近于L，我们称L是该函数序列在点a处的极限。
数学表示为：lim(fn(x)) = L (当x趋于a时)对于数列{an}，若存在一个实数L，使得当n趋于无穷大时，数列{an}的元素逐渐趋近于L，我们称L是该数列的极限。
数学表示为：lim(an) = L (当n趋于无穷大时)数学极限具有一些重要的性质，包括唯一性、局部有界性和保序性。
唯一性指的是函数序列或数列的极限是唯一确定的，且局部有界性指的是如果一个函数序列或数列在某个点处存在极限，则该序列在该点的某个邻域内有界。
此外，保序性指的是函数序列或数列满足保序关系，即如果函数序列或数列存在极限，则其极限所代表的大小关系也成立。
2. 连续性的概念及重要性连续性是数学中另一个重要概念，用于描述函数在某一点附近的平滑程度。
在应用数学中，连续性对于描述物理和自然现象非常重要。
在数学中，对于函数f(x)，若它在某一点a的邻域内存在极限，并且该极限等于f(a)，则我们称函数f(x)在点a处连续。
即数学表示为：lim(f(x)) = f(a) (当x趋于a时)连续性具有一些重要的性质，如初等函数的连续性、复合函数的连续性和反函数的连续性。
这些性质使得我们能够在数学分析中对函数的连续性进行更深入的研究，进而推导和证明各种数学定理。
3. 极限和连续性的应用极限和连续性的概念在数学的各个领域中都有广泛的应用。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性在数学中，函数的极限与连续性是两个重要的概念。
极限用于描述函数在某一点附近的趋近行为，而连续性则刻画了函数在整个定义域内的无间断性。
本文将深入探讨函数的极限与连续性的概念、性质以及应用。
1. 函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某一特定值时，函数对应的因变量的趋近行为。
数学上，我们用极限运算符来表示函数的极限，通常表示为lim f(x) = L，其中lim表示趋近的极限运算符，f(x)为给定函数，L为函数在点x趋近的极限值。
函数的极限具有以下性质：- 唯一性：如果函数存在极限，那么极限值是唯一的。
- 有界性：如果函数存在有限极限，那么函数在该点附近是有界的。
- 保号性：如果函数在某一点的极限存在且大于（或小于）零，那么该点附近的函数值都大于（或小于）零。
2. 函数的连续性函数的连续性是指函数在定义域内没有断裂或跳跃的特性。
具体而言，若函数f在某一点x=a处的极限存在且等于函数在该点的函数值f(a)，则称函数在点x=a处连续。
若函数在定义域上的每一点都连续，则称函数在该定义域上连续。
函数的连续性具有以下性质：- 初等函数的连续性：多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数在其定义域上都是连续的。
- 代数运算的连续性：两个连续函数的和、差、积仍为连续函数；若除数函数在某点不为零，那么商函数在该点连续。
- 复合函数连续性：若f(x)在点x=a处连续，g(x)在点y=f(a)处连续，那么复合函数g(f(x))在x=a处连续。
函数的极限与连续性在数学分析、微积分等领域有广泛的应用。
例如，极限理论为无穷小和无穷大的引入提供了基础，连续性可以帮助我们判断函数的可导性以及求解方程和不等式等问题。
总结起来，函数的极限与连续性是数学中重要的概念。
函数的极限描述了函数在某一点附近的趋近行为，而连续性则刻画了函数整个定义域内的无间断性。
这些概念具有各自的性质和应用，在数学的许多领域中都发挥着重要的作用。
极限与连续性
极限与连续性极限与连续性是数学中的两个重要概念。
极限是研究函数变化趋势时常用的方法，而连续性是描述函数在某一区间上的不中断性质。
本文将分别介绍极限和连续性的概念、性质以及它们在数学和实际问题中的应用。
一、极限极限是研究函数变化的重要工具。
简单来说，极限描述的是当自变量接近某一特定值时，函数值的趋势。
设函数f(x)在某一点x=a附近有定义，则当x无限接近于a时，如果函数值f(x)无限接近于某一常数L，就称函数f(x)在x=a时的极限为L，记作lim（x→a）f(x)=L。
极限有一些基本性质。
首先，唯一性性质指的是函数在某一点的极限只能有一个确定的值。
其次，加法定理指的是两个函数的极限之和等于这两个函数的极限之和。
再次，乘法定理指的是两个函数的极限之积等于这两个函数的极限之积。
最后，复合函数的极限定理指的是由两个连续函数构成的复合函数的极限等于这两个函数的极限之积。
极限在数学中有广泛的应用。
在微积分中，通过极限的概念，我们可以定义导数和积分，进而研究函数的变化速率和曲线下的面积。
在实际问题中，极限常用于计算在无限分割下的边长、面积、体积等数值，比如求圆的周长、圆的面积等。
二、连续性连续性是描述函数在某一区间上的不中断性质。
简单来说，如果函数在某一点处无间断、无跳跃，就称该函数在该点连续。
设函数f(x)在某一区间[a,b]上有定义，则当x属于[a,b]时，函数f(x)连续，当且仅当函数f(x)在[a,b]上每一点x处都连续。
连续函数具有一些基本性质。
首先，定义域上的有界闭区间上的连续函数，一定有最大值和最小值。
其次，闭区间上的连续函数满足介值定理，即如果函数在一个区间的两个端点值异号，则在这个区间上，一定存在函数的零点。
连续性在数学中也有广泛的应用。
在微积分中，通过连续性的概念，我们可以判断函数的极值点和最值点，进而求得函数的最大值和最小值。
在实际问题中，连续性常用于描述物体在一定时间内的运动轨迹、函数图像的连续性以及实验数据的趋势等。
极限与连续性
极限与连续性极限与连续性是数学中两个重要的概念，它们在微积分和数学分析等领域起着至关重要的作用。
本文将介绍这两个概念，并讨论它们在数学中的应用。
一、极限极限是数学中描述函数趋近于某个值的概念。
当自变量趋近于某个值时，函数的取值也随之接近某个特定值。
数学上用符号"lim"表示极限，例如lim(x→a) f(x) = L。
其中，x→a表示x趋近于a，f(x)表示关于x的函数，L表示函数f(x)趋近的极限值。
极限的计算需要满足一定的条件，比如函数在该点附近有定义，且左侧极限等于右侧极限。
极限可以用于求解函数的连续性、导数等问题，是微积分的基础概念。
二、连续性连续性是指函数在某个区间内没有断裂或跳跃的性质。
如果函数在某一点的左右极限存在且相等，并且函数在这个点的函数值等于这个极限值，那么函数就是在该点连续的。
连续性是函数学中一个基本的性质，连续函数具有许多重要的性质，比如介值定理、最值定理等。
在实际问题中，连续性的概念也有广泛的应用，比如物理学中对运动的描述、经济学中对供求关系的建模等。
三、极限与连续性的关系极限与连续性是密切相关的，连续性是由极限的存在性所决定的。
如果函数在某一点的极限存在，那么函数在该点就是连续的。
同样地，如果函数在某一点不连续，那么该点的极限也不存在。
通过研究函数的极限与连续性，我们能够了解函数在各个点上的性质和行为。
这对于理解函数的特性、求解函数的性质以及应用数学方法解决实际问题都有着重要的帮助。
四、应用举例极限与连续性的应用非常广泛，下面以几个例子进行说明。
例一：利用极限与连续性求解函数的最值对于一个连续函数，它在闭区间上一定能够取到最大值和最小值。
我们可以利用极限的性质来求解函数的最值问题。
通过求解函数的导数为零的点，再利用连续性的性质进行验证，就可以确定函数的最值点和最值。
例二：利用极限与连续性建立函数模型在实际问题中，我们经常需要建立函数模型来描述某种关系。
高等数学_第一讲__极限与连续
如果 x 只能取正值（或取负值）趋于无穷，则有下 面的定义： 定义 2 如果当 x >0 且无限增大时，函数 f ( x) 无
限接近于一个确定的常数 A ， 则称常数 A 为函数 f ( x) 当
x 趋向于正无穷（记为 x ）时的极限，记为
lim f ( x) A （或当 x 时， f ( x) A ）.
x x0
x x0
x x0
lim f ( x) A .
x 1, x 0 2 例 1 试求函数 f ( x) x , 0 x 1 在 x 0和 1, x 1
x 1处的极限.
解析： 因为 lim f ( x) lim ( x 1) 1，而
; ( 2 ) lim
3n 2 2n 1
2
; ( 3 ) lim
2n 1
2
;
【解析】 （ 1 ） lim
2
( 1) n n
n
0;
（2） lim
3n 2n 1 n 1
2
n
lim
3
2 n
1 n2
1 n2
n
1
3;
（ 3 ） lim
n
2
2n 1 n 1
注意：上面的极限中省略了自变量的变化趋势，下同.
推论 1 常数可以提到极限号前，即
lim Cf ( x) C lim f ( x) CA .
推论 2 若 m 为正整数，则lim[ f ( x)]m =[lim f ( x)]m = Am .
结论： 一般地， 多项式函数在 x0 处的极限等于该函数在 x0 处 的函数值，即 lim(an x n an1 x n1
高中数学函数的极限与连续性
高中数学函数的极限与连续性函数的极限与连续性是高中数学中重要的概念和考点。
极限可以帮助我们研究函数的发展趋势，而连续性则是用来描述函数图像的断点情况。
本文将重点讨论高中数学中函数的极限和连续性的概念及其相关性质。
一、函数的极限在高中数学中，函数的极限可以用来描述自变量趋近于某一个值时，函数值的趋近情况。
具体来说，对于函数 f(x)，当自变量 x 趋近于 a 时，函数值 f(x) 是否趋近于某一个常数 L，即 f(x) 的极限是否存在，可以用下式来表示：lim(x->a) f(x) = L要判断一个函数是否存在极限，我们一般通过计算极限的定义式来进行求解。
也可以利用一些常见的极限公式来简化计算。
例如，对于多项式函数，当 x 趋近于无穷大时，其极限值为无穷大或负无穷大。
而对于指数函数或对数函数，其极限值也有特定的性质。
二、极限的性质函数的极限具有一些重要的性质，我们可以通过这些性质来简化函数极限的计算。
下面是一些常见的极限性质：1. 唯一性：函数的极限只有一个极限值，即不管自变量趋近于某个值的方向如何，函数值都会趋近于同一个常数。
2. 局部有界性：如果函数 f(x) 在某一点 a 的附近有极限存在，则函数在 a 的某个邻域内有界。
3. 保号性：如果函数 f(x) 在某一点 a 的附近有极限存在，而且极限值不为零，那么函数在a 的邻域内要么始终大于零，要么始终小于零。
4. 四则运算：如果 f(x) 和 g(x) 在某一点 a 的附近有极限存在，则f(x) ± g(x)、f(x) × g(x)、f(x)/g(x) 也在 a 的附近有极限存在，并且这些运算的结果等于各自的极限值进行相应的运算。
三、函数的连续性函数的连续性描述了函数图像的断点情况。
如果函数在某一点 a 处连续，则在 a 处的函数值等于函数的极限值。
具体来说，函数 f(x) 在点 a 处连续的条件为：1. 函数 f(x) 在点 a 处存在。
函数的极限函数的连续性
对于函数极限有如下的运算法则：
如果，lim f (x) A, lim g(x) B
xxo
xxo
那么,
lim [ f (x) g(x)] A B
xxo
lim [ f (x) g(x)] A B
xxo
f (x) A
lim
(B 0)
xxo g(x) B
当C是常数，n是正整数时 lim [Cf (x)] C lim f (x)
1 (x 0)
（2）讨论函数f（x）= ［0,3］上的连续性
x x3
在区间
例7 讨论下列函数在给定点处的连
续性 （1）f (x) x2 4
x2
点x 2；
（2）f (x)
x 2
1,0 x,1
x x
1，
3
点 x 1 ；
； https:///gpcq/ 除权
极限问题的基本类型：
分式型，主要看分子和分母的首项系 数指各；数式型有(极00限和； 型），通过变形使得 根式型(∞─∞型)，通过有理化变形使 得各式有极限；
例1 求下列各极限
lim
x2
(
4 x2
4
x
1
) 2
x lim x0 | x |
lim
xπ 2
co
s
cos x 2
x s in
记作 lim f(x)=a或者当x→－∞时，f(x)→a x
(3)如果
lim
x
f(x)=a且
lim
x
f(x)=a，那么就
说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限
是a，记作：lim f(x)=a或者当x→∞时， x
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性在数学中，函数的极限与连续性是两个重要的概念，它们在微积分和数学分析中有着广泛的应用。
本文将对函数的极限与连续性进行讨论，并探究其相关性质和应用。
一、函数的极限函数的极限是描述函数在某一点趋于无穷或趋于某一特定值的性质。
常用的函数极限有左极限、右极限和无穷大极限。
1. 左极限和右极限对于函数f(x)，在某一点a处的左极限定义为：lim(x→a-) f(x) = L即当x从a的左侧趋近于a时，函数f(x)的取值逐渐趋近于L。
类似地，函数f(x)在某一点a处的右极限定义为：lim(x→a+) f(x) = M即当x从a的右侧趋近于a时，函数f(x)的取值逐渐趋近于M。
2. 无穷大极限函数的无穷大极限是指函数在某一点趋于无穷或负无穷的性质。
常用记号包括：lim(x→∞) f(x) = ∞lim(x→-∞) f(x) = -∞二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某一点的取值与其周围取值的一致性。
根据连续性的不同性质，函数可以分为三类：间断点、可去间断点和跳跃间断点。
1. 间断点函数f(x)在点a处间断，表示在点a的邻域内函数无定义或者函数在该点不连续。
常见的间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
2. 可去间断点如果一个函数在某一点a的左极限和右极限存在并相等，但与函数在a处的取值不相等，则称函数在该点具有可去间断。
在可去间断点，可以通过重新定义该点的函数值来修复函数的连续性。
3. 跳跃间断点如果一个函数在某一点a的左极限和右极限存在，但不相等，则称函数在该点具有跳跃间断。
跳跃间断点通常是由函数在该点的定义造成，例如分段函数。
三、函数极限与连续性的关系函数的极限与函数的连续性密切相关。
下面是一些重要的结论：1. 连续函数的极限性质如果函数f(x)在点a处连续，则必有：lim(x→a) f(x) = f(a)即函数在该点的极限等于该点的函数值。
2. 极限运算法则函数的极限具有一些运算法则，例如加减、乘积与商的极限运算法则。
高等数学第二章极限与连续
第二章第二章 极限与连续极限与连续一、本章提要 1.基本概念函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点，第二类间断点. .2.基本公式 (1) 1sin lim0=®口口口，(2) e )11(lim 0=+®口口口(口代表同一变量代表同一变量).). 3.基本方法⑴ 利用函数的连续性求极限；利用函数的连续性求极限； ⑵ 利用四则运算法则求极限；利用四则运算法则求极限； ⑶ 利用两个重要极限求极限；利用两个重要极限求极限； ⑷ 利用无穷小替换定理求极限；利用无穷小替换定理求极限；⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的极限；形式的极限； ⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求¥¥形式的极限；形式的极限；⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限； ⑻ 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. .4.定理左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. .二、要点解析问题1 如果如果如果 A x f x x =®)(lim 0存在，那么函数)(x f 在点0x 处是否一定有定义处是否一定有定义? ?解析 A x f x x =®)(lim 0存在与)(x f 在0x 处是否有定义无关．例如1sin lim0=®xxx ，而)(x f =xx sin 在0=x 处无定义；又如0lim 20=®x x ，而2)(x x f =在0=x 处有定义处有定义..所以，)(lim 0x f x x ®存在，不一定有)(x f 在0x 点有定义点有定义. .问题2 若若A x f x g x x =×®)()(lim 0存在，那么)(lim 0x g x x ®和)(lim 0x f x x ®是否一定存在？是否一定有)(lim 0x g x x ®·)(x f =)(lim 0x g x x ®·)(lim 0x f x x ®？解析 )(lim 0x g x x x x ®·A x f =)(存在，并不能保证)(lim 0x g x x x x ®与)(lim 0x f x xx x ®均存在均存在..例如0lim 1lim 020==®®x x x x x ，而x x 1lim 0®不存在不存在..又因为只有在)(lim 0x g x x ®与)(lim 0x f x x ®均存在的条件下，才有)(lim 0x g x x ®·)(x f =)(lim 0x g x x ®·)(lim 0x f x x ®,所以)(lim 0x g x x ®·)(x f 存在，不能保证)(lim 0x g x x ®·)(x f =)(lim 0x g x x ®·)(lim 0x f x x ®．问题3 +¥=®xx 1e lim 是否正确，为什么是否正确，为什么? ?解析 不正确不正确..尽管+¥=+®xx 10e lim ，而0e1lim elim e lim 101010===---®-®®xx xx xx .这说明这说明,,0®x 时，x1e 不是无穷大不是无穷大. .三、例题精解 例1 求下列极限求下列极限求下列极限: :(1) ))(cos sin (lim tan 2224πx x x x x ++®；(2) 1)1232(lim +¥®++x x x x ；(3) 3111limxxx --®；(4) )1sin sin (lim 0xx x x x ++®； (5) )2sin(lim x x x -++¥®；(6) xx x x1sin53lim 2-¥®. 解 (1)(1)由于讨论函数由于讨论函数xx x x x f tan222)(cos sin )(++=在4π=x 处有定义，而且在4π=x 处连续，所以有处连续，所以有 ])(cos sin [lim tan 2224πx x x x x ++®4πtan222)4π(cos )4π(sin )4π(++=222)22()22(16π++= 116π2+=． (2)123lim()21x x x x +®¥++1212lim()21x x x x +®¥++=+ 12lim(1)21x x x +®¥=++ （这是¥1型，设法将其化为口口）口（11lim +¥®）11221lim(1)12x x x ++®¥=++2121)2111(lim )2111(lim ++×++=¥®+¥®x x x x x212121)]2111(lim [)2111(lim ++++=¥®+¥®+x x x x x211e ×=e =．(3) 311lim 1x xx®-- （这是（这是00型未定式）23323331(1)(1)1()lim (1)1()(1)x x x x x x x x x ®éù-+++ëû=éù-+++ëû2331(1)1()lim (1)(1)x x x x x x ®éù-++ëû=-+ （分子、分母均含非零因子1-x ） 23311()lim 1x x x x®++=+ 32=． (4))1s i ns i n(l i m 0x x x x x ++®x x x x x x 1sin lim sin lim 00++®®+= 01+=1=．需要注意，01sin lim 0=+®x x x 是由于x 为+®0x 时的无穷小量，x 1sin ≤1，即x 1si n 为有界函数，所以x x1sin为+®0x 时的无穷小时的无穷小.. (5)lim sin(2)x x x ®+¥+-sin lim (2)x x x ®+¥=+- ( (函数符号与极限符号交换函数符号与极限符号交换函数符号与极限符号交换)) (2)(2)sin lim2x x x x x x x®¥+-++=++（分子有理化）2sin lim2x x x®+¥=++0s i n = 0=． (6)235lim1sinx x x x®¥-(35)lim11(sin )x x xx x ®¥-= （适当变形） lim (35)11lim (sin )x x x x x x®¥®¥-= （利用商的极限公式）105lim (3)111lim (sin )x xx x x ®¥®-= （利用重要极限1sin lim 0=®口口口）3=例2 设ïîïíì<+>=,0,,0,1sin )(22x x a x x x x f 问a 为何值时)(lim 0x f x ®存在，并求此极限值存在，并求此极限值. . 解解 对于分段函数，对于分段函数，讨论分段点处的极限讨论分段点处的极限..由于函数在分段点两边的解析式不同，所以，一般先求它的左、右极限一般先求它的左、右极限. .01sin lim )(lim 200==++®®xx x f x x ，a x a x f x x =+=--®®)(lim )(lim 20．为使为使)(lim 0x f x ®存在，必须即),(lim )(lim 0x f x f x x -+®®=0=a . 因此，因此，0=a 时，)(lim0x f x ®存在且0)(lim 0=®x f x ． 例3 设ïïîïïíì<--³+=,0,,0,2cos )(x x x a a x x x x f 问当a 为何值时，0=x 是)(x f 的间断点? ? 是什么间断点是什么间断点是什么间断点? ?解0lim ()lim x x a a xf x x--®®--=0()()lim ()x a a x a a x x a a x -®--+-=+- 0lim ()x x x a a x -®=+-01limx a a x -®=+-12a=，212cos lim )(lim 0=+=++®®x x x f x x ，当ax f x f x x 2121)(lim )(lim 0¹¹-+®®，即，亦即1¹a 时，0=x 是)(x f 的间断点；由于a 为大于0的实数，故)0()0(-+f f 与均存在，只是)0()0(-+¹f f ，故0=x 为)(x f 的跳跃间断点的跳跃间断点. .例 4 已知已知 011lim 2=÷÷øöççèæ--++¥®b ax x x x ，求b a ,的值的值. . 解 因为因为 )11(lim 2b ax x x x --++¥®2(1)()1lim1x a x a b x bx ®¥--++-=+0=，由有理函数的极限知，上式成立，必须有2x 和x 的系数等于0,0,即即îíì=+=-01b a a ，于是1,1-==b a .四、练习题⒈ 判断正误⑴ 若函数)(x f 在0x 处极限存在，则)(x f 在0x 处连续处连续. ( . ( . ( ×× ) 解析 函数在一点连续，函数在一点连续，函数在一点连续，要求函数在该点极限存在，要求函数在该点极限存在，要求函数在该点极限存在，且极限值等于该点函数值．且极限值等于该点函数值．且极限值等于该点函数值．如函数如函数îíì=¹=,0,1,0,)(x x x x f 0lim )(lim 00==®®x x f x x ，即函数)(x f 在0=x 处极限存在；但1)0(0)(lim 0=¹=®f x f x ，所以函数îíì=¹=0,1,0,)(x x x x f 在0=x 处不连续．处不连续． ⑵分段函数必有间断点⑵分段函数必有间断点. ( . ( . ( ×× )解析 分段函数不一定有间断点．如函数îíì<-³=0,,0,)(x x x x x f 是分段函数，()0lim )(lim 0=-=--®®x x f x x ，0lim )(lim 0==++®®x x f x x ，所以0)(lim 0=®x f x ；又因为0)0(=f ，即)0()(lim 0f x f x =®，所以函数)(x f 在0=x 处连续，无间断点．处连续，无间断点．⑶x 3tan 与x 3sin 是0®x 时的等价无穷小时的等价无穷小. ( . ( . ( √√ ) 解析 13cos 1lim3sin 3tan lim 00==®®xxx x x ，由等价无穷小的定义，x 3tan 与x 3sin 是0®x 时的等价无穷小．的等价无穷小．⑷无界函数不一定是无穷大量⑷无界函数不一定是无穷大量. ( . ( . ( √√ ) 解析 无穷大必无界，但反之不真．如函数无穷大必无界，但反之不真．如函数x x x f cos )(=，当¥®x 时是无界函数；但若取2ππ2+=n x ，¥®x （¥®n ）时0cos )(==x x x f ，不是无穷大量．，不是无穷大量． 2.选择题⑴下列极限存在的是⑴下列极限存在的是( B ) ( B )(A) xx 4lim ¥®; (B) 131lim 33-+¥®x x x ; (C)x x ln lim 0+®; (D) 11sin lim 1-®x x . 解析 (A)04lim =-¥®x x ，+¥=+¥®x x 4lim ， 所以所以xx 4lim ¥®不存在；不存在；(B)311311lim 131lim 3333=-+=-+¥®¥®x x x x x x ，极限存在；，极限存在；(C)-¥=+®x x ln lim 0，所以x x ln lim 0+®不存在；不存在； (D)1®x 时，01®-x ，¥®-11x ，所以，所以11sinlim 1-®x x 不存在．不存在． ⑵已知615lim =-+¥®x ax x ,则常数=a ( C ).(A) 1(A) 1；； (B) 5 (B) 5 ；； (C) 6 (C) 6 ；； (D) -1.解析611515lim ==-+=-+¥®a xx a x ax x ，所以，所以6=a ． ⑶xx f 12)(=在0=x 处 ( C ).(A) (A) 有定义；有定义；有定义； (B) (B) 极限存在；极限存在；极限存在； (C) (C) 左极限存在；左极限存在；左极限存在； (D) (D) 右极限存在右极限存在右极限存在. . 解析 因xx f 12)(=，在0=x 处无定义，处无定义，02lim )(lim 1==--®®xx x x f ，即xx f 12)(=在0=x 处左极限存在，处左极限存在，+¥==++®®x x x x f 102lim )(lim ，即xx f 12)(=在0=x 处右极限不存在，处右极限不存在，由极限存在的充要条件，可知函数xx f 12)(=在0=x 处的极限不存在．处的极限不存在． ⑷当⑷当+¥<<x 0时，xx f 1)(=( D ).(A) (A)有最大值与最小值有最大值与最小值有最大值与最小值; ; (B)(B)有最大值无最小值有最大值无最小值有最大值无最小值; ;(C)(C)无最大值有最小值无最大值有最小值无最大值有最小值; ; (D)(D)无最大值无最小值无最大值无最小值无最大值无最小值. . 解析 xx f 1)(=在()+¥,0上是连续函数，图形如下：上是连续函数，图形如下：所以当+¥<<x 0时，xx f 1)(=无最大值与最小值．无最大值与最小值． 3.填空题Oyxx1(1) (1)已知已知b a ,为常数，3122lim2=-++¥®x bx ax x ，则=a 0 0 ，，=b 6 6 ；； 解 ¥®x 时极限值存在且值为3，则分子、分母x 的最高次幂应相同，所以0=a ，那么那么 32122lim 122lim 122lim 2==-+=-+=-++¥®¥®¥®b xx b x bx x bx ax x x x ，所以6=b ．(2)23)(2+-=x x x f 的连续区间是(][)¥+¥-,21, ；解 由0232³+-x x ，知函数)(x f 的定义区间为(][)¥+¥-,21, ．又因为初等函数在其定义区间上连续，所以23)(2+-=x x x f 的连续区间是(][)¥+¥-,21, ．(3)0=x 是xx x f sin )(=的 可去可去可去 间断点间断点间断点; ;解 0=x 时，函数xx x f sin )(=无定义，但1sin lim0=®xxx ，极限存在，所以0=x 是xx x f sin )(=的可去间断点．的可去间断点．(4)(4)若若a x x =¥®)(lim j (a 为常数为常数))，则=j ¥®)(elim x x ae．解 由复合函数求极限的方法，ax x x x e eelim )(lim )(==j j ¥®¥®．4.解答题⑴ qq q q sin cos 1lim 0-®； 解一 qq q q sin cos 1lim 0-®2cos2sin 22sin 2lim 2q q q qq ®=2cos2122sinlim 0qqqq ×=®2cos 21lim 10q q ®×=21=．解二 无穷小量的等价代换，由于无穷小量的等价代换，由于0®q 时，2~cos 1,~sin 2q q q q -，所以所以 q q q q sin cos1lim 0-®q q q q ×=®2lim 2021= ．⑵ 设x x f ln )(=，求，求 1)(lim1-®x x f x ； 解由无穷小量的等价代换，1®x 即01®-x 时，()[]1~11ln ln )(--+==x x x x f ，所以所以 111lim 1ln lim 1)(lim 111=--=-=-®®®x x x x x x f x x x ．⑶ x xx sin e lim -+¥®；解 +¥®x 时，x-e 是无穷小量，x sin 是有界变量．是有界变量． 因为有界变量乘无穷小量仍是无穷小量，所以因为有界变量乘无穷小量仍是无穷小量，所以 0sin e lim =-+¥®x xx ．⑷ 设îíì>-£=,1,56,1,)(x x x x x f 试讨论)(x f 在1=x 处的连续性，写出)(x f 的连续区间；解 1lim )(lim 11==--®®x x f x x ，()156lim )(lim 11=-=++®®x x f x x ，所以1)(lim 1=®x f x ．且1)1(=f ，即)1()(lim 1f x f x =®，所以函数)(x f 在1=x 处连续．处连续．又因为当1£x 时函数x x f =)(连续，当1>x 时函数56)(-=x x f 也连续，也连续，所以函数所以函数)(x f 的连续区间为()¥+¥-,．⑸ 设ïïîïïíì>=<=,0,sin ,0,1,0,e )(xx x x x x f x求)(lim ),(lim 00x f x f x x +-®®,并问)(x f 在0=x 处是否连续；处是否连续；e 1xe 1e 11=--xxe 1e 1e 1111=-=---++xx xxe 1e 11+-=xx 的跳跃间断点．的跳跃间断点． xx 2sin )1ln(lim0+；212lim 2sin )1ln(lim00=+x x x x ．。
极限与连续性
极限与连续性极限与连续性是微积分中的重要概念，它们在解析几何、物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将探讨极限与连续性的概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、极限的概念在数学中，极限用于描述函数在某一点附近的行为。
具体而言，对于给定的函数f(x)，当x无限接近某一特定值a时，如果f(x)的取值也趋近于一个确定的值L，则称L为函数f(x)在点a处的极限。
数学符号表示为：lim(x->a) f(x) = L极限的计算可以通过直接代入、夹逼定理、导数等方法进行。
它是分析函数在特定点或无穷处的性质的基础。
二、极限的性质极限具有以下基本性质：1. 唯一性：如果函数f(x)在点a处的极限存在，则该极限唯一。
2. 保序性：如果在点a的某一邻域中，函数f(x)的值总是小于等于另一个函数g(x)的值（或总是大于等于），则在点a处，f(x)的极限小于等于（或大于等于）g(x)的极限。
3. 四则运算法则：如果函数f(x)和g(x)在点a处的极限都存在，则它们的和、差、积和商在点a处的极限也存在，分别满足以下关系：lim(x->a) [f(x) ± g(x)] = lim(x->a) f(x) ± lim(x->a) g(x)lim(x->a) [f(x) × g(x)] = lim(x->a) f(x) × lim(x->a) g(x)lim(x->a) [f(x) / g(x)] = lim(x->a) f(x) / lim(x->a) g(x) (其中lim(x->a) g(x) ≠ 0)三、连续性的概念连续性是函数的一个重要特性，用于描述函数在其定义域上的行为。
如果函数f(x)在定义域上的每个点都满足以下条件，那么它被称为连续函数：1. 函数在其定义域上有定义。
2. 函数在其定义域上的每个点都有极限。