【届走向高考】高三数学一轮(人教A版)第4章 第5节 简单的三角恒等变换PPT课件
高考一轮总复习人教A版数学4-5
由 二 倍 角 公 式 得
α a tn ＋1 2 α 1 解 得 a tn 2＝3， 故 α＝2. 1－a tn 2
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疑 难 误 区
点 拨 警 示
计算角的三角函数值时，一般要先考虑角的取值范围， 使 所 计 算 的 函 数 在 该 范 围 内 单 调 ， 以 避 免 讨 论 含 的 限 制 角 的 范 围 的 条 件 ， 避 免 因 对 隐 含 条 件 的 疏 忽 致 误 ． ，注意发掘隐
2的 等 比 数 列 及 内 角 和 定 理 可 求 角 s n i8 θ.
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[解 析]
3－c o s 2 0 ° 3－2 c o s 210° －1 ( 1 ) 原 式 ＝ ＝ ＝2. 2－c o s 210° 2－c o s 210°
π α ( 2 ) ( 文)∵π<α< 2 π ，∴2<2< π . α ∴c o s ＝ － 2 1＋c o s α . 2
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(理)依 题 设 θ＋2θ＋4θ＋8θ＝3 6 0 ° . ∴θ＝24° ，8θ＝1 9 2 ° . ∴c o s θ＝c o s 2 4 ° s n i8 θ＝s n i1 9 2 ° ＝ － ＝s n i( 1 8 0 ° ＝ － ＝a2.
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4．(文) ( 2 0 1 3 · s n i αc o s α的 值 是 ( 2 A. 5 C． －2
山 东 潍 坊 模 拟 ) 2 B． － 5 D．2
新高考数学一轮复习：第4章 第5节 第2课时 简单的三角恒等变换
(对应学生用书第 80 ⻚) 考点 1 三⻆函数式的化简
1.三⻆函数式的化简要遵循“三看”原则
2．三⻆函数式化简的方法
(1)弦切互化，异名化同名，异⻆化同⻆，降幂或升幂．
(2)在三⻆函数式的化简中“次降⻆升”和“次升⻆降”是基本的规律，根号中含有
三⻆函数式时，一般需要升次．
该类问题中给出的⻆一般都不是特殊⻆，需要通过三⻆恒等变换将其 变为特殊⻆，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．
给值求值
(1)(2019·益阳模拟)已知 cos (α－π)＋sin α＝4 3，则 sin (α＋__．
(2)已知
cos
(π＋α)＝3，17π＜α＜7π，则sin
所以sin 12－α＋ta2nsαin2α＝275×(－43)＝－2785.]
(1)给值求值的关键是通过⻆的三⻆函数的变换把求解目标用已知条件 表达出来．
(2)注意(π＋x)与(π－x)互余，sin 2(π＋x)＝cos 2x，cos 2(π－x)＝sin 2x 的灵活应
4
4
4
4
用。
给值求⻆
(1)设α，β为钝⻆，且 sin α＝ 5，cos β＝－3 10，则α＋β的值为( )
2cos4x－2cos2x＋1
(1)化简：
2 ＝________．
2tan（π－x）sin2（π＋x）
4
4
(2)[一题两空]已知 cos(θ＋π)＝ 10，θ∈ (0，π)，则 sin 2θ＝________，sin (2θ－
4 10
2
π)＝________． 3
(3)已知α为第二象限⻆，且 tan α＋tan π ＝2tan αtan π －2，则 sin (α＋5π)＝
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案简单的三角恒等变换 简单的三角恒等变换1
第六节 简单的三角恒等变换 简单的三角恒等变换能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．知识点一 半角公式1．用cos α表示sin 2 α2，cos 2 α2，tan 2 α2.sin 2α2＝1－cos α2；cos 2 α2＝1＋cos α2； tan 2 α2＝1－cos α1＋cos α.2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.sin α2＝±1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝±1－cos α1＋cos α.3．用sin α，cos α表示tan α2.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.易误提醒 应用“sin α2＝±1－cos α2”或“cos α2＝± 1＋cos α2”求值时，可由α2所在象限确定该三角函数值的符号．易混淆由α决定．必记结论 用tan α表示sin 2α与cos 2αsin 2α＝2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[自测练习]1．已知cos θ＝－15，5π2<θ<3π，那么sin θ2＝( )A.105 B ．－105 C.155D ．－155解析：∵5π2<θ<3π，∴5π4<θ2<3π2.∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋152＝－155. 答案：D知识点二 辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba . 易误提醒 在使用辅助角公式易忽视φ的取值，应由点(a ，b )所在象限决定，当φ在第一、二象限时，一般取最小正角，当φ在第三、四象限时，一般取负角．[自测练习]2．函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A ．π B.π2 C ．2πD.π4解析：f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴T ＝π. 答案：A3．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为( ) A ．[－2,2] B ．[－3，3] C ．[－1,1]D.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析：∵f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32sin x －12cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6(x ∈R )， ∴f (x )的值域为[－3，3]． 答案：B考点一 三角函数式的化简|化简：(1)sin 50°(1＋3tan 10°)；(2)2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4.解：(1)sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°(1＋tan 60°tan 10°)＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.(2)原式＝2cos 2x (cos 2x －1)＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x＝－4cos 2x sin 2x ＋14cos ⎝⎛⎭⎫π4－x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－sin 22x2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . 考点二 辅助角公式的应用|(1)函数y ＝sin 2x ＋2 3sin 2x 的最小正周期T 为________．[解析] y ＝sin 2x ＋23sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋3＝2sin(2x －π3)＋3，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π.[答案] π(2)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________. [解析] f (x )＝sin x －2cos x ＝5⎝⎛⎭⎫55sin x －255cos x ＝5sin(x －φ)，其中sin φ＝255，cos φ＝55，当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z )时函数f (x )取到最大值，即θ＝2k π＋π2＋φ时函数f (x )取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－255.[答案] －255(1)利用a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)把形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴等．(2)化a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)时φ的求法：①tan φ＝ba ；②φ所在象限由(a ，b )点确定．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间． 解：f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 函数f (x )的最小正周期为T ＝π. 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .考点三 三角恒等变换的综合应用|三角恒等变换是高考必考内容，考查时多与三角函数的图象与性质、解三角形及平面向量交汇综合考查，归纳起来常见的命题探究角度有：1．三角恒等变换与三角函数性质的综合． 2．三角恒等变换与三角形的综合．3．三角恒等变换与向量的综合．探究一 三角恒等变换与三角函数性质的综合1．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值； (2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3， 求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值． 解：(1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 因为－π2≤φ<π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin ⎝⎛⎭⎫2·α2－π6＝34， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14.由π6<α<2π3，得0<α－π6<π2， 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154. 因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 探究二 三角恒等变换与三角形的结合2．(2016·台州模拟)已知实数x 0，x 0＋π2是函数f (x )＝2cos 2ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6(ω>0)的相邻的两个零点．(1)求ω的值；(2)设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若f (A )＝32且b tan B ＋c tan C ＝2atan A，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)f (x )＝1＋cos 2ωx ＋32sin 2ωx －12cos 2ωx ＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1， 由题意得T ＝π，∴2π2ω＝π.∴ω＝1.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， ∴f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋1＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. ∵0<A <π，∴π6<2A ＋π6<13π6，∴2A ＋π6＝5π6，即A ＝π3.由b tan B ＋c tan C ＝2a tan A 得b cos B sin B ＋c cos C sin C ＝2a cos A sin A，所以cos B ＋cos C ＝2cos A ＝1， 又因为B ＋C ＝2π3，所以cos B ＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝1， 即sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝1，所以B ＝C ＝π3. 综上，△ABC 是等边三角形． 探究三 三角恒等变换与向量的综合3．(2015·合肥模拟)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，1，b ＝(3,0)，其中θ∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4，若a·b ＝1.(1)求sin θ的值； (2)求tan 2θ的值．解：(1)由已知得：cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13，sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝223，sin θ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ－π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4·sin π4＝4＋26.(2)由cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝13得sin θ＋cos θ＝23，两边平方得：1＋2sin θcos θ＝29，即sin 2θ＝－79，而cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－429，∴tan 2θ＝728. 三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究其性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．5.三角恒等变换与解三角形的综合的答题模板【典例】 (12分)(2015·高考山东卷)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．[思路点拨] (1)首先利用二倍角公式及诱导公式将f (x )的解析式化为“一角一函数”的形式，然后求解函数f (x )的单调区间．(2)首先求出角A 的三角函数值，然后根据余弦定理及基本不等式求出bc 的最大值，最后代入三角形的面积公式即可求出△ABC 面积的最大值．[规范解答] (1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x2＝sin 2x －12.(3分)由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π， k ∈Z ；(4分)由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )；(5分)单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )．(6分) (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.(8分) 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，(9分) 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，(10分) 即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.(11分)所以△ABC 面积的最大值为2＋34.(12分) [模板形成][跟踪练习] 已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)已知△ABC 为锐角三角形，A ＝π3，且f (B )＝65，求cos 2B 的值．解：(1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1得 f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上为减函数， 又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－1， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)因为△ABC 为锐角三角形，且A ＝60°，所以⎩⎨⎧0<B <π2，0<C ＝2π3－B <π2，即B ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，所以2B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π2，7π6. 由(1)可知f (B )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝65， 即sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝35，cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝－45， 所以cos 2B ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6sin π6 ＝3－4310.A 组 考点能力演练1．(2015·洛阳统考)已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B ．－23C.13D.23解析：∵cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝23. 答案：D2．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan 2θ＝( ) A.59 B.125 C.95D.512解析：∵2sin θ＋3cos θ＝0，∴tan θ＝－32，∴tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－94＝125.答案：B3．sin 2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A.15 B ．－15C.75D ．±15解析：因为sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α－1，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±1＋sin 2α，因为sin 2α＝2425，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝±75，因为0<α<π2，所以－π4<π4－α<π4，所以2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝75. 答案：C4．(2015·太原一模)设△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且tan A ，tan B ，tan C,2tan B 成等差数列，则cos(B －A )＝( )A ．－31010B ．－1010C.1010D.31010解析：由题意得tan C ＝32tan B ，tan A ＝12tan B ，所以△ABC 为锐角三角形．又tan A ＝－tan(C ＋B )＝－tan C ＋tan B 1－tan C tan B ＝－52tan B 1－32tan 2B ＝12tan B ，所以tan B ＝2，tan A ＝1，所以tan(B －A )＝tanB －tan A 1＋tan B tan A ＝2－11＋2×1＝13.因为B >A ，所以cos(B －A )＝31010，故选D.答案：D5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A.118 B ．－118C.1718D ．－1718解析：依题意得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，cos α＋sin α＝26，(cos α＋sin α)2＝⎝⎛⎭⎫262＝118，即1＋sin 2α＝118，sin 2α＝－1718，故选D.答案：D6．计算sin 250°1＋sin 10°＝________.解析：sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 答案：127．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：法一：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α ＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 法二：令α＝0，则原式＝14＋14＝12. 答案：128．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 答案： 39．设函数f (x )＝sin ωx ＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，x ∈R . (1)若ω＝12，求f (x )的最大值及相应x 的集合； (2)若x ＝π8是f (x )的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f (x )的最小正周期． 解：由已知：f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4. (1)若ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4.又x ∈R ，则2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4≤2，∴f (x )max ＝2，此时12x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝4k π＋3π2，k ∈Z . (2)∵x ＝π8是函数f (x )的一个零点， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫π8ω－π4＝0，∴π8ω－π4＝k π，k ∈Z ， 又0<ω<10，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，此时其最小正周期为π. 10．(2016·沈阳模拟)已知函数f (x )＝sin x －3cos x ＋2，记函数f (x )的最小正周期为β，向量a ＝(2，cos α)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，tan ⎝⎛⎭⎫α＋β2⎝⎛⎭⎫0<α<π4，且a·b ＝73. (1)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤2π3，4π3上的最值；(2)求2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α的值． 解：(1)f (x )＝sin x －3cos x ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤2π3，4π3，∴x －π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π， ∴f (x )的最大值是4，最小值是2.(2)∵β＝2π，∴a·b ＝2＋cos αtan(α＋π)＝2＋sin α＝73， ∴sin α＝13， ∴2cos 2α－sin 2(α＋β)cos α－sin α＝2cos 2α－sin 2αcos α－sin α＝2cos α ＝21－sin 2α＝423. B 组 高考题型专练1．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝2sin x 2cos x 2－2sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π，0]上的最小值．解：(1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－22，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4. 当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－1－22. 2．(2013·高考陕西卷)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a·b .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解：f (x )＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12·(3sin x ，cos 2x ) ＝3cos x sin x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝cos π6sin 2x －sin π6cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π， 即函数f (x )的最小正周期为π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6. 当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取得最大值1. 当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (0)＝－12， 当2x －π6＝56π，即x ＝π2时，f ⎝⎛⎭⎫π2＝12， ∴f (x )的最小值为－12.因此，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值是1，最小值是－12. 3．(2014·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a －c ＝66b .sin B ＝6sin C .(1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值． 解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝c sin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c .所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64. (2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. 于是，cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14， sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.。
人教A版高中数学必修4PPT课件：简单的三角恒等变换(共2课时)
14
»感受三角变换的魅力
引进辅助角法：
a2 b2
b
a sin x bcos x a2 b2 sin(x ) a
其中tan b a
设 y a sin bcos
使 y Asin(x ) 函数
的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简 三角函数式中的作用．
15
»感受三角变换的魅力
变式练习：
思考：
在例2证明过程中用到了哪些 数学思想方法?
例２证明中用到换元思想， ①式是积化和差的形式， ②式是和差化积的形式；
在后面的练习当中还有六个关于积化和差、 和差化积的公式．
人教A版高中数学必修4PPT课件：简单 的三角 恒等变 换(共2 课时)
人教A版高中数学必修4PPT课件：简单 的三角 恒等变 换(共2 课时)
以从右边着手
sin(+) ＝ sincos+cossin
sin(-) ＝ sincos-cossin
两式相加,得
sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos
sin cos 1 sin sin
2
人教A版高中数学必修4PPT课件：简单 的三角 恒等变 换(共2 课时)
人教A版高中数学必修4PPT课件：简单 的三角 恒等变 换(共2 课时)
解 是 的二倍角.
2
2
2
2
在公式 cos 2
1
2 sin
2
中,以代替2 ,以
代替 ,
2
cos 1 2sin 2
2
sin 2 1 cos ①
2
2
在公式 cos 2 2 cos2 1中,以代替2 ,以 代替 ,
cos 2 cos2 1
新人教A版版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形简单的三角恒等变换教案理解析版
基础知识整合１．两角和与差的正弦、余弦和正切公式２．二倍角的正弦、余弦、正切公式１．降幂公式：cos２α＝错误!，sin２α＝错误!.２．升幂公式：１＋cos２α＝２cos２α，１—cos２α＝２sin２α.３．公式变形：tanα±tanβ＝tan（α±β）（１∓tanα·tanβ）．４．辅助角公式：asinx＋bcosx＝错误!sin（x＋φ），其中sinφ＝错误!，cosφ＝错误! .１．（２0１8·全国卷Ⅲ）若sinα＝错误!，则cos２α＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．—错误!答案B解析cos２α＝１—２sin２α＝１—错误!＝错误!.故选Ｂ．２．（２0１9·吉林模拟）若sin（π—α）＝错误!，且错误!≤α≤π，则sin２α的值为（）Ａ．—错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案A解析∵sin（π—α）＝错误!，即sinα＝错误!，又错误!≤α≤π，∴cosα＝—错误!＝—错误!，∴sin２α＝２sinαcosα＝—错误!.３．（２0１6·全国卷Ⅲ）若tanθ＝—错误!，则cos２θ＝（）Ａ．—错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案D解析解法一：cos２θ＝cos２θ—sin２θ＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ｄ．解法二：由tanθ＝—错误!，可得sinθ＝±错误!，因而cos２θ＝１—２sin２θ＝错误!.４．（２0１9·南宁联考）若角α满足sinα＋２cosα＝0，则tan２α＝（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．错误!答案D解析由题意知，tanα＝—２，tan２α＝错误!＝错误!.故选Ｄ．５．若函数f（x）＝（１＋错误!tanx）cosx,0≤x<错误!，则f（x）的最大值为（）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．错误!＋１Ｄ．错误!＋２答案B解析f（x）＝错误!cosx＝cosx＋错误!sinx＝２sin错误!，∴当x＝错误!时，f（x）取得最大值２．6．（２0１7·全国卷Ⅰ）已知α∈错误!，tanα＝２，则cos错误!＝________.答案错误!解析cos错误!＝cosαcos错误!＋sinαsin错误!＝错误!（cosα＋sinα）．又由α∈错误!，tanα＝２，知sinα＝错误!，cosα＝错误!，∴cos错误!＝错误!×错误!＝错误!.核心考向突破考向一三角函数的化简例１（１）（２0１8·全国卷Ⅰ）已知函数f（x）＝２cos２x—sin２x＋２，则（）Ａ．f（x）的最小正周期为π，最大值为３Ｂ．f（x）的最小正周期为π，最大值为４Ｃ．f（x）的最小正周期为２π，最大值为３Ｄ．f（x）的最小正周期为２π，最大值为４答案B解析根据题意，有f（x）＝错误!cos２x＋错误!，所以函数f（x）的最小正周期为T＝错误!＝π，且最大值为f（x）max＝错误!＋错误!＝４．故选Ｂ．（２）（２0１8·全国卷Ⅲ）函数f（x）＝错误!的最小正周期为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．πＤ．２π答案C解析由已知得f（x）＝错误!＝错误!＝sinxcosx＝错误!sin２x，f（x）的最小正周期T＝错误!＝π.故选Ｃ．触类旁通三角函数式化简的常用方法（１）异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数．２异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一.３异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次.即时训练１．（２0１7·全国卷Ⅲ）函数f（x）＝错误!sin错误!＋cos错误!的最大值为（）Ａ．错误!Ｂ．１Ｃ．错误!Ｄ．错误!答案A解析∵f（x）＝错误!sin错误!＋cos错误!＝错误!sin错误!＋cos错误!＝错误!sin错误!＋sin错误!＝错误!sin错误!＋sin错误!＝错误!sin错误!，∴当x＝错误!＋２kπ（k∈Z）时，f（x）取得最大值错误!.故选Ａ．２．函数y＝sinxcosx＋错误!cos２x—错误!的最小正周期是（）Ａ．２πＢ．πＣ．错误!Ｄ．错误!答案B解析∵y＝错误!sin２x＋错误!·错误!—错误!＝错误!sin２x＋错误!cos２x＝sin错误!，∴此函数的最小正周期是T＝错误!＝π.考向二三角函数的求值角度错误!给值求值例２（１）（２0１9·汕头模拟）已知tan错误!＝３，则cosα＝（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．—错误!答案B解析cosα＝cos２错误!—sin２错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝—错误!.故选Ｂ．（２）（２0１8·全国卷Ⅱ）已知sinα＋cosβ＝１，cosα＋sinβ＝0，则sin（α＋β）＝________.答案—错误!解析解法一：因为sinα＋cosβ＝１，cosα＋sinβ＝0，所以（１—sinα）２＋（—cosα）２＝１，所以sinα＝错误!，cosβ＝错误!，因此sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝错误!×错误!—cos２α＝错误!—１＋sin２α＝错误!—１＋错误!＝—错误!.解法二：由（sinα＋cosβ）２＋（cosα＋sinβ）２＝１，得２＋２sin（α＋β）＝１，所以sin（α＋β）＝—错误!.（３）（２0１9·重庆检测）已知α是第四象限角，且sinα＋cosα＝错误!，则tan错误!＝________.答案—错误!解析因为sinα＋cosα＝错误!，α是第四象限角，所以sinα＝—错误!，cosα＝错误!，则tan错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝—错误!.触类旁通给值求值是指已知某个角的三角函数值，求与该角相关的其他三角函数值的问题，解题的基本方法是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来.即时训练３．（２0１8·江苏高考）已知α，β为锐角，tanα＝错误!，cos（α＋β）＝—错误!.（１）求cos２α的值；（２）求tan（α—β）的值．解（１）因为tanα＝错误!，tanα＝错误!，所以sinα＝错误!cosα.因为sin２α＋cos２α＝１，所以cos２α＝错误!，所以cos２α＝２cos２α—１＝—错误!.（２）因为α，β为锐角，所以α＋β∈（0，π）．又因为cos（α＋β）＝—错误!，所以sin（α＋β）＝错误!＝错误!，因此tan（α＋β）＝—２．因为tanα＝错误!，所以tan２α＝错误!＝—错误!.因此tan（α—β）＝tan[２α—（α＋β）]＝错误!＝—错误!.角度错误!给角求值例３（１）（２0１9·浙江模拟）tan70°＋tan５0°—错误!tan70°·tan５0°的值等于（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．—错误!答案D解析因为tan１２0°＝错误!＝—错误!，所以tan70°＋tan５0°—错误!tan70°·tan５0°＝—错误!.故选Ｄ．（２）（２0１8·衡水中学二调）错误!—错误!＝（）Ａ．４Ｂ．２Ｃ．—２Ｄ．—４答案D解析错误!—错误!＝错误!—错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝—４．触类旁通该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值.即时训练４．（２0１9·九江模拟）化简错误!等于（）Ａ．—２Ｂ．—错误!Ｃ．—１Ｄ．１答案C解析错误!＝错误!＝错误!＝—１．５．（２0１9·上海模拟）计算错误!＝________.答案—４解析原式＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝—４．角度错误!给值求角例４（１）（２0１9·四川模拟）若sin２α＝错误!，sin（β—α）＝错误!，且α∈错误!，β∈错误!，则α＋β的值是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!或错误!Ｄ．错误!或错误!答案A解析因为α∈错误!，所以２α∈错误!，又sin２α＝错误!，所以２α∈错误!，α∈错误!，所以cos２α＝—错误!.又β∈错误!，所以β—α∈错误!，故cos（β—α）＝—错误!，所以cos（α＋β）＝cos[２α＋（β—α）]＝cos２αcos（β—α）—sin２αsin（β—α）＝—错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!，又α＋β∈错误!，故α＋β＝错误!.选Ａ．（２）已知α，β∈（0，π），且tan（α—β）＝错误!，tanβ＝—错误!，则２α—β的值为________．答案—错误!解析∵tanα＝tan[（α—β）＋β]＝错误!＝错误!＝错误!>0，∴0<α<错误!.又∵tan２α＝错误!＝错误!＝错误!>0，∴0<２α<错误!，∴tan（２α—β）＝错误!＝错误!＝１．∵tanβ＝—错误!<0，∴错误!<β<π，—π<２α—β<0，∴２α—β＝—错误!.触类旁通通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时应遵循的原则（１）已知正切函数值，则选正切函数．即时训练6．（２0１9·福建漳州八校联考）已知锐角α的终边上一点P（sin４0°，１＋cos４0°），则α等于（）Ａ．１0°Ｂ．２0°Ｃ．70°Ｄ．80°答案C解析由题意得tanα＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝tan70°.又α为锐角，∴α＝70°，故选Ｃ．7．（２0１9·江苏徐州质检）已知cosα＝错误!，cos（α—β）＝错误!，且0<β<α<错误!，则β的值为________．答案错误!解析∵0<β<α<错误!，∴0<α—β<错误!.又∵cos（α—β）＝错误!，∴sin（α—β）＝错误!＝错误!.∵cosα＝错误!，0<α<错误!，∴sinα＝错误!，∴cosβ＝cos[α—（α—β）]＝cosαcos（α—β）＋sinαsin（α—β）＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.∵0<β<错误!，∴β＝错误!.考向三三角恒等变换的综合应用例５（２0１9·广东模拟）已知函数f（x）＝错误!２—２sin２错误!.（１）若f（x）＝错误!，求sin２x的值；（２）求函数F（x）＝f（x）·f（—x）＋f２（x）的最大值与单调递增区间．解（１）由题意知f（x）＝１＋sinx—（１—cosx）＝sinx＋cosx，又∵f（x）＝错误!，∴sinx＋cosx＝错误!，∴sin２x＋１＝错误!，∴sin２x＝错误!.（２）F（x）＝（sinx＋cosx）·[sin（—x）＋cos（—x）]＋（sinx＋cosx）２＝cos２x—sin２x＋１＋sin２x＝cos２x＋sin２x＋１＝错误!sin错误!＋１，当sin错误!＝１时，F（x）取得最大值，即F（x）max＝错误!＋１．令—错误!＋２kπ≤２x＋错误!≤错误!＋２kπ（k∈Z），∴kπ—错误!≤x≤kπ＋错误!（k∈Z），从而函数F（x）的最大值为错误!＋１，单调递增区间为错误!（k∈Z）．触类旁通三角恒等变换的应用策略（１）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．２把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝sin x＋φ，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.即时训练8．（２0１9·贵阳模拟）已知函数f（x）＝cosx·sin错误!—错误!cos２x＋错误!，x∈R.（１）求f（x）的最小正周期，对称轴方程，对称中心坐标；（２）求f（x）的闭区间错误!上的最大值和最小值．解（１）由已知，有f（x）＝cosx·错误!—错误!cos２x＋错误!＝错误!sinx·cosx—错误!cos２x＋错误!＝错误!sin２x—错误!（１＋cos２x）＋错误!＝错误!sin２x—错误!cos２x＝错误!sin错误!.所以f（x）的最小正周期T＝错误!＝π.由２x—错误!＝错误!＋kπ（k∈Z）得对称轴方程为x＝错误!＋错误!（k∈Z）；由２x—错误!＝kπ（k∈Z）得x＝错误!＋错误!（k∈Z），∴对称中心坐标为错误!（k∈Z）．（２）由x∈错误!得２x—错误!∈错误!，则sin错误!∈错误!，即函数f（x）＝错误!sin错误!∈错误!.所以函数f（x）在闭区间错误!上的最大值为错误!，最小值为—错误!.１．（２0１9·海口模拟）４cos５0°—tan４0°＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２错误!—１答案C解析４cos５0°—tan４0°＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.２．设α为锐角，若cos错误!＝错误!，则sin错误!的值为________．答案错误!解析cos错误!＝错误!，α为锐角，则α＋错误!为锐角，sin错误!＝错误!，由二倍角公式得sin２错误!＝错误!，cos２错误!＝错误!，所以sin错误!＝sin错误!＝sin２错误!cos错误!—cos２错误!sin错误!＝错误!×错误!—错误!×错误!＝错误!.答题启示角的变换是三角函数变化的一种常用技巧，解题时要看清楚题中角与角之间的和差，倍半、互余、互补的关系，把“目标角”变成“已知角”，通过角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决．对点训练１．已知tan（α＋β）＝—１，tan（α—β）＝错误!，则错误!的值为（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!Ｃ．３Ｄ．—３答案A解析错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ａ．２．（２0１9·合肥模拟）计算：tan２0°＋４sin２0°＝________.答案错误!解析原式＝错误!＋４sin２0°＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.。
【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 4-5 简单的三角恒等变换 新人教A版
4-5 简单的三角恒等变换基础巩固强化1.(文)已知等腰三角形顶角的余弦值等于45，则这个三角形底角的正弦值为( )A.1010 B ．－1010C.31010D ．－31010[答案] C[解析] 设该等腰三角形的顶角为α，底角为β，则有α＋2β＝π，β＝π2－α2，0<α2<π2， ∵2cos2α2－1＝cos α，∴sin β＝sin(π2－α2)＝cos α2＝cos α＋12＝31010，故选C. (理)(2011·天津蓟县模拟)函数f (x )＝cos 2x ＋3sin x cos x 在区间[－π4，π3]上的最大值为( )A.12 B.1＋32C ．1 D.32[答案] D[解析] f (x )＝1＋cos2x 2＋32sin2x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12∵－π4≤x ≤π3，∴－π3≤2x ＋π6≤5π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，∴f (x )的最大值为32.2．(文)已知tan α＝－2，则14sin 2α＋25cos 2α的值是( )A.257 B.725 C.1625D.925[答案] B[解析] 14sin 2α＋25cos 2α＝14sin 2α＋25cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝14tan 2α＋25tan 2α＋1＝725. (理)(2012·东北三省四市联考)若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin2α＋2cos2α＝( )A ．－145B ．－75C ．－2 D.45[答案] C[解析] ∵点P 在直线y ＝－2x 上，∴sin α＝－2cos α，∴sin2α＋2cos2α＝2sin αcos α＋2(2cos 2α－1)＝－4cos 2α＋4cos 2α－2＝－2.3．(2012·大纲全国文)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( ) A.π2 B.2π3 C.3π2D.5π3[答案] C[解析] 本题考查了三角函数奇偶性，诱导公式．由y ＝sinx ＋φ3是偶函数知φ3＝π2＋k π，即φ＝3π2＋3k π， 又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2适合．本题也可用偶函数定义求解．4．(2012·北京海淀期中练习)已知关于x 的方程x 2－x cos A ·cos B ＋2sin 2C2＝0的两根之和等于两根之积的一半，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．钝角三角形[答案] C[解析] 由题意得，cos A cos B ＝12·2sin 2C 2⇒ cos A ·co s B ＝1－cos C2⇒2cos A ·cos B ＝1＋cos(A ＋B )⇒2cos A ·cos B ＝1＋cos A ·cos B －sin A ·sin B⇒cos A ·cos B ＋sin A ·sin B ＝1⇒cos(A －B )＝1⇒A －B ＝0⇒A ＝B ，所以△ABC 一定是等腰三角形，故选C.5．(文)(2011·陕西宝鸡质检)设α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α的值为( )A ．2 B. 3 C ．1 D.33[答案] C[解析] 由已知得cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，所以cos α(cos β＋sin β)＝sin α(cos β＋sin β)，因为β为锐角，所以sin β＋cos β≠0，所以sin α＝cos α，即tan α＝1，故选C.(理)已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin α＝( )A.3365B.6365 C ．－3365D ．－6365[答案] A[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧0<α<π2－π2<β<0，∴0<α－β<π，又cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝1－cos 2α－β＝45；∵－π2<β<0，且sin β＝－513，∴cos β＝1213.从而sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝3365.6．(文)设5π2<θ<3π，且|cos θ|＝15，那么sin θ2的值为( )A.105B ．－105C ．－155D.155[答案] C[解析] ∵5π2<θ<3π，∴cos θ<0，∴cos θ＝－15.∵5π4<θ2<3π2，∴sin θ2<0， 又cos θ＝1－2sin2θ2，∴sin 2θ2＝1－cos θ2＝35， ∴sin θ2＝－155.(理)已知tan α2＝3，则cos α＝( )A.45 B ．－45C.415D ．－35[答案] B[解析] cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin2α2cos 2α2＋sin2α2＝1－tan2α21＋tan2α2＝1－91＋9＝－45，故选B.7．(文)在△ABC 中，a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ，则( )A ．a ，b ，c 依次成等差数列B ．b ，a ，c 依次成等差数列C ．a ，c ，b 依次成等差数列D ．a ，b ，c 既成等差数列，也成等比数列 [答案] A[解析] ∵a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ，∴a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，∴(a ＋c )＋(a cos C ＋c cos A )＝3b ， ∵a cos C ＋c cos A ＝b ，∴a ＋c ＝2b ，∴a 、b 、c 依次成等差数列．(理)(2012·河南六市联考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A >0，ω>0,0<φ<π)，其导函数f ′(x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝4sin(12x ＋π4)B ．f (x )＝2sin(12x ＋π4)C ．f (x )＝2sin(x ＋π4)D ．f (x )＝4sin(12x ＋3π4)[答案] A[解析] f ′(x )＝A ωcos(ωx ＋φ)，由图象知，2πω＝2×(3π2－(－π2))，∴ω＝12，又A ω＝2，∴A ＝4，∴f ′(x )＝2cos(12x ＋φ)，由f ′(x )的图象过点(π2，0)得，cos(π4＋φ)＝0，∵0<φ<π，∴φ＝π4，∴f (x )＝4sin(12x ＋π4)，故选A.8．已知sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈(0，π2)，则α＋β＝________.[答案]π2[解析] ∵α，β∈(0，π2)，sin α＝35，cos β＝35，∴cos α＝45，sin β＝45，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×35－35×45＝0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π2.9．已知：sin α＋cos α＝15，π<α<2π，则cos α2＝________.[答案] －31010[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，π<α<2π，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝45，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－31010. 10．在△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A2·tan C2的值是________．[答案]3[解析] ∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ， 又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，A ＋C ＝2π3，∴tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2·tan C2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋C 2⎝⎛⎭⎪⎫1－tan A 2·tan C 2＋3tan A 2tan C2＝ 3.能力拓展提升11.sin10°＋sin50°sin35°·sin55°的值为( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4 [答案] C [解析] 原式＝sin 30°－20°＋sin 30°＋20°sin 45°－10°·sin 45°＋10°＝2sin30°cos20°12cos 210°－12sin 210°＝cos20°12cos20°＝2.12．(文)(2011·天津蓟县模拟)函数f (x )＝cos 2x ＋3sin x cos x 在区间[－π4，π3]上的最大值为( )A.12B.1＋32C ．1 D.32[答案] D[解析] f (x )＝1＋cos2x 2＋32sin2x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，∵－π4≤x ≤π3，∴－π3≤2x ＋π6≤5π6，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，∴f (x )的最大值为32.(理)在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角的三角形 [答案] B[解析] ∵sin A sin B ＝cos 2C2，∴12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12(1＋cos C )， ∴cos(A －B )－cos(π－C )＝1＋cos C ， ∴cos(A －B )＝1，∵－π<A －B <π，∴A －B ＝0，∴△ABC 为等腰三角形．13．已知sin θ＋cos θ＝713，且π2<θ<π，则cos2θ的值是________．[答案] －119169[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713sin 2θ＋cos 2θ＝1消去cos θ得，sin 2θ－713sin θ－60169＝0，∵π2<θ<π，∴sin θ>0， ∴sin θ＝1213，∴cos2θ＝1－2sin 2θ＝－119169.14．(2012·河北保定模拟)设α为△ABC 的内角，且tan α＝－34，则sin2α的值为________．[答案] －2425[解析] ∵tan α＝－34，∴sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝2tan αtan 2α＋1＝2×－34－342＋1＝－2425. 15．(文)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值．(2)若f (x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos2x 0的值．[解析] (1)由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1，得f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1)＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f (x 0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6. 又因为f (x 0)＝65，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6，从而cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝－45.所以cos2x 0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6sin π6＝3－4310.(理)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫3cos x 4，cos x 4，n ＝sin x 4，cos x4.(1)若m ·n ＝3＋12，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的值；(2)记f (x )＝m ·n －12，在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a－c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．[解析] (1)m ·n ＝3＋12＝3cos x 4sin x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝32， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝－12.(2)f (x )＝m ·n －12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6，则f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6，因为(2a －c )cos B ＝b cos C ， 则(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 即2sin A cos B ＝sin A ，则B ＝π4，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34π，A 2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π24，则f (A )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1. 16．(文)(2012·湖南文，18)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间．[解析] (1)由题设图象知，周期T ＝2(11π12－5π12)＝π，所以ω＝2πT ＝2.因为点(5π12，0)在函数图象上，所以A sin(2×5π12＋φ)＝0，即sin(5π6＋φ)＝0.又因为0<φ<π2，所以5π6<5π6＋φ<4π3.从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，得A ＝2.故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)g (x )＝2sin[2(x －π12)＋π6]－2sin[2(x ＋π12)＋π6]＝2sin2x －2sin(2x ＋π3)＝2sin2x －2(12sin2x ＋32cos2x )＝sin2x －3cos2x ＝2sin(2x －π3)．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .所以函数g (x )的单调递增区间是[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .[点评] 本题考查了正弦型函数解析式求法，周期、单调区间求法、两角和与差的正弦公式等基础知识．由图象求(理)(2012·乌鲁木齐地区二诊)已知函数f (x )＝sin x (1＋sin x )＋cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在[－π6，2π3]上的最大值和最小值．[解析] (1)f (x )＝sin x ＋sin 2x ＋cos 2x ＝sin x ＋1， ∴f (x )的最小正周期为2π.(2)f (x )在[－π6，π2]上为增函数，在[π2，2π3]上为减函数，又f (－π6)<f (2π3)，∴x ＝－π6时，f (x )有最小值f (－π6)＝sin(－π6)＋1＝12；x ＝π2时，f (x )有最大值f (π2)＝sin π2＋1＝2.1．已知cos 2α－cos 2β＝a ，那么sin(α＋β)· sin(α－β)等于( ) A ．－a 2 B.a2 C ．－a D ．a[答案] C[解析] sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)·cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a .故选C.2．若0<α<β<π2，则下列不等式中不正确的是( )A ．sin α＋sin β<α＋βB ．α＋sin β<sin α＋βC ．α·sin α<β·sin β D. β·sin α<α·sin β[答案] D[解析] 由已知得sin α<α，sin β<β，0<sin α<sin β，因此sin α＋sin β<α＋β，即选项A 正确．α·sin α<β·sin β，即选项C 正确．构造函数f (x )＝x －sin x (其中x >0)，则f ′(x )＝1－cos x ≥0，因此函数f (x )＝x －sin x 在(0，＋∞)上是增函数，当0<α<β<π2时，有f (α)<f (β)，即α－sin α<β－sin β，α＋sin β<sin α＋β，选项B 正确．对于选项D ，当α＝π6，β＝π3时，β·sin α＝π6>π6·32＝α·sin β，选项D 不正确．[点评] 作为选择题可用特殊值找出错误选项D 即可． 3．若5π2≤α≤7π2，则1＋sin α＋1－sin α等于( )A ．－2cos α2B ．2cos α2C ．－2sin α2D ．2sin α2[答案] C[解析] ∵5π2≤α≤7π2，∴5π4≤α2≤7π4.∴1＋sin α＋1－sin α ＝1＋2sin α2cos α2＋1－2sin α2cos α2＝sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－(sin α2＋cos α2)－(sin α2－cos α2)＝－2sin α2.4.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是( ) A ．4cos4－2sin4 B ．2sin4 C ．2sin4－4cos4 D ．－2sin4[答案] D[解析] ∵5π4<4<3π2，∴sin4<cos4<0.∴2＋2cos8＋21－sin8＝2|cos4|＋2|sin4－cos4| ＝－2cos4＋2(cos4－sin4)＝－2sin4.故选D.5．已知a cos α＋b sin α＝c ，a cos β＋b sin β＝c (ab ≠0，α－β≠k π，k ∈Z )，则cos2α－β2＝( ) A.c 2a 2＋b 2B.a 2c 2＋b 2C.b 2a 2＋c2D.ac 2＋b 2[答案] A [解析]在平面直角坐标系中，设A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)，点A (cos α，sin α)与点B (cos β，sin β)是直线l ：ax ＋by ＝c 与单位圆x 2＋y 2＝1的两个交点，如图，从而|AB |2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)，又∵单位圆的圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|c |a 2＋b 2，由平面几何知识知|OA |2－(12|AB |)2＝d 2，即1－2－2cos α－β4＝c 2a 2＋b 2，∴cos2α－β2＝c2a 2＋b 2.。
人教版高中数学必修1《简单的三角恒等变换》PPT课件
α2，cos
α2，tan
α 2
的值；
1－sin (2)化简：
α－2c－os2αcossiαnα2＋cosα2(－π<α<0)．
[解] (1)∵sin α＝－187，π＜α＜32π，∴cos α＝－1157.
∵cos2α＝1－2sin2α2＝2cos2α2－1，又π2＜α2＜34π，
∴sin α2＝
1－cos 2
6 A. 3
B．－
6 3
C．±
6 3
解析：∵cos θ＝13，且 θ∈(0，π)，
D．±
3 3
∴θ2∈0，π2，∴cosθ2＞0，
∴cos θ2＝
cos2θ2＝
1＋cos 2
θ＝
1＋2 13＝ 36.
答案：A
()
3．已知 cos α＝45，α∈32π，2π，则 sin α2等于
A．－
10 10
10 B. 10
【学透用活】
[典例 2] (1)求证：1＋2cos2θ－cos 2θ＝2；
(2)求证：
sin
x＋cos
2sin xcos x－1sin
x x－cos
x＋1＝1＋sincoxs
x .
[证明] (1)左边＝1＋2cos2θ－cos 2θ＝1＋2×1＋c2os 2θ－cos 2θ＝2＝右边，
所以原等式成立．
• (一)教材梳理填空 • 1．半角公式：
半角公式
正弦 sinα2＝ ±
1－cos α 2
余弦 cosα2＝ ±
1＋cos α 2
续表
正切 tan α2＝±
1－cos 1＋cos
αα，tanα2＝1＋sincoαs
＝ α
高三数学一轮复习课件：简单的三角恒等变换 新人教A
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解：(1)由sin(2α＋β)＝3sinβ， 得sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，2分 即sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα ＝3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα， ∴sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)sinα，
∴tan(α＋β)＝2tanα，于是1t－antαa＋nαttaannββ＝2tanα，
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4分
∵f(B)＝2，∴2sin(2B＋π3)＝2，又 B∈(0，
π)，
∴2B＋π3＝π2，∴B＝1π2.
6分
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(2)f(B)－m＞2 恒成立，
即 2sin(2B＋π3)＞2＋m 恒成立，
8分
因为 0＜B＜π，所以 2sin(2B＋π3)∈[－2,2]，
所以 2＋m＜－2，
∴m＜－4. 12 分
αα 4sin2cos2cosα
＝(cosα2－sinα2)(αcosα2＋sinα2)sinα2 cos2cosα
＝(cos2α2－sin2α2)sin α
α
2＝
α tan2.
cos2cosα
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法二：原式
＝[sinα＋(cosα－1)][sinα－(cosα－1)] sin2α
＝sin2α－cos2α＋2cosα－1 sin2α
，得 cos2α＝190，
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∴cosα＝－130 10，
∴sin2α－2cos2α sin(α－π4)
＝ 2sinαcosα－2cos2α sinαcosπ4－cosαsinπ4
＝2c2o2s(αs(isniαn－α－cocsoαs)α)＝2
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走向高考 ·高考总复习 ·人教A版 ·数学
1.半角公式 sinα2＝_±____1_－__2c_o_s_α_， cosα2＝_±____1_＋__2c_o_s_α_，
1－cosα tanα2＝__±____1_＋_c_o_s_α_， tanα2＝1＋sincoαsα＝1－sincoαsα.
·数学
A版 ·高考总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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三角函数、三角恒等变形、解三角形 第四章
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
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第五节 简单的三角恒等变换 第四章
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
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第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
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主要有两种类型命题方式：一是将数列，三角形，导数， 平面向量，不等式等其中某知识点与三角函数求值，求角，三 角公式融合命制客观题；二是以两角和与差的三角函数及倍角 公式与其他知识点(如平面向量，解析几何，数列，不等式等) 结合命制大题加强综合性和应用性考查．
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
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2．求值题常见类型 (1)“给角求值”：所给出的角常常是非特殊角，从表面来 看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题 时，要利用观察得到的关系，结合和、差、倍、半角公式、和 差化积、积化和差公式消去非特殊角转化为特殊角的三角函数 而得解．
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
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3．三角函数的最值问题
(1)用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式
① y ＝ asinx ＋ bcosx ＝ a2＋b2 sin(x ＋ φ) ， 其 中 cosφ ＝
a2a＋b2，sinφ＝
b a2＋b2 .
②y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x 可先降次，整理转化为上一
[解析] 因为向量 a＝(sinα， 22)的模为 |a|＝ sin2α＋ 222＝ sin2α＋12， 所以可得 sin2α＋12＝ 23，解得 sin2α＝14. cos2α＝1－2sin2α＝1－2×14＝12.
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
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种形式．
③y＝acssiinnxx＋＋db或y＝acccoossxx＋＋db可转化为只有分母含 sinx(或 cosx)的函数式或 sinx＝f(y)(cosx＝f(y))的形式，由正、余弦函数
的有界性求解．
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
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(2)用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式 ①y＝asin2x＋bcosx＋c 可转化为 cosx 的二次函数式． ②y＝asinx＋bscinx(a，b，c>0)，令 sinx＝t，则转化为求 y ＝at＋bct(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求 解．
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4．(2014·九龙坡区质检)若 0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝13，
cos(π4－β2)＝ 33，则 cos(α＋β2)＝( )
A．
3 3
B．－
3 3
C．5 9 3
D．－
6 9
[答案] C
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2 ．(2013·洛阳统考)函数
f(x)
＝
2sin2(
π 4
＋
x)
－
π 3 cos2x( 4
≤x≤π2)的最大值为( )
A．2
B．3
C．2＋ 3
D．2－ 3
[答案] B
[解析] 依题意，f(x)＝1－cos2(π4＋x)－ 3cos2x＝sin2x－
3cos2x＋1＝2sin(2x－π3)＋1，当π4≤x≤π2时，π6≤2x－π3≤23π，12
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
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(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些 角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有 某种关系．
(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也 是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结 合该函数的单调区间求得角．
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
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[解析]
3 据已知得 tanα＝csoinsαα＝54＝34，
5
α 由二倍角公式得 tanα＝1－2tatann22α2＝34，且 tanα2>0，
解得 tanα2＝13，故1ta－nα2t＋anα21＝2.
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
≤sin(2x－π3)≤1，此时 f(x)的最大值是 3，选 B．
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3．(2013·呼和浩特第二次统考)若 cosα＝45，α∈(0，π2)，则
11＋－ttaannαα22＝(
)
A．－12
B．12
C．2
D．－2
[答案] C
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
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1．(2014·安徽宿州质检)设向量 a＝(sinα， 22)的模为 23， 则 cos2α＝( )
A．
3 2
B．12
C．－12
D．－14
[答案] B
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
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1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 课时作业
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
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自主预习学案
第四章 三角函数、三角恒等变形、解三角形
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能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的 正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和 差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．
[解析] 本题主要考查三角函数的两角和、差公式的运用． ∵0<α<π2，－π2<β<0， ∴π4＋α∈(π4，34π)，π4－β2∈(π4，π2)， ∵cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝ 33， ∴sin(π4＋α)＝232，sin(π4－β2)＝ 36， ∴cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)] ＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋cos(π4＋α)sin(π4－β2)＝13× 33＋232 × 36＝593.