高考数学一轮复习 3.3 等比数列课时闯关 理(含解析)人教版
高考一轮数学复习理科课件(人教版)第3课时 等比数列
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
题型三 等比数列的判定与证明
例 3 (2011·天津文)已知数列{an}与{bn}满足 bn＋1an＋bnan ＋1＝(－2)n＋1，bn＝3＋－2 1n－1，n∈N*，且 a1＝2.
设 cn＝a2n＋1－a2n－1，n∈N*，证明{cn}是等比数列．
第六章 数列
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aq1＝13， 解方程组1－a1 q＝－12，
得aq1＝＝31，， ⇒n＝4
∴a2n＝a1·q2n－1＝1·32n－1＝32n－1＝37.
【答案】 37
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
探究 1 (1)等比数列的通项公式 an＝a1qn－1 及前 n 项 和公式 Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq(q≠1)共涉及五个量 a1，an， q，n，Sn，知其三就能求另二，体现了方程思想的应用．
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第六章 数列
第六章 数列
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第3课时 等比数列
第六章 数列
高考调研
高三数学（新课标版·理）
2012·考纲下载
1．理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式． 3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并 能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函数的关系.
2．(2012·大连模拟)在等比数列{an}中，a1＋a2＝30， a3＋a4＝60，则 a7＋a8＝________.
答案 240
第六章 数列
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高三数学（新课标版·理）
3．如果－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么( ) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9
【精品含答案】高考一轮复习3.3等比数列及其性质基础训练题(理科)
2009届高考一轮复习3.3等比数列及其性质基础训练题（理科）注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分100分，考试时间45分钟。
第Ⅰ卷（选择题部分 共36分）一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列四个命题中：①公比1q >的等比数列是递增的数列； ②公比1q 0<<的等比数列是递增的数列； ③常数列是公比为1的等比数列；④公比0q <的等比数列是递减的数列。
其中正确命题的个数是（ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）32. 已知数列{}n a 是等比数列，且每一项都是正数，若482a ,a 是06x 7x 22=+-的两个根，则49482521a ·a ·a ·a ·a 的值为（ ）（A ）221（B ）39 （C ）39±（D ）533.若递增等比数列{}n a 满足641a ·a ·a ,87a a a 321321==++，则此数列的公比=q （ ）（A ）21 （B ）221或 （C ）2 （D ）223或 4.（2007·陕西高考）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若14S ,2S n 3n ==，则n 4S 等于（ ）（A ）80（B ）30（C ）26（D ）165. 首项为2，公比为3的等比数列，从第n 项到第N 项的和为720，则n ，N 的值分别为（ ）（A ）6N ,2n ==（B ）6N ,3n == （C ）7N ,2n ==（D ）7N ,3n ==6. 已知数列{}n a 的前n 项和为常数），k *N n (k 3S n n ∈+=，那么下面结论正确的是（ ）（A ）k 为任意实数时，{}n a 是等比数列（B ）1k -=时，{}n a 是等比数列 （C ）0k =时，{}n a 是等比数列 （D ）{}n a 不可能是等比数列第Ⅱ卷（非选择题部分 共64分）二、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。
专题32 等比数列(解析版)
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.
【小问2详解】由（1）知， ，所以 ，即 ，亦即 ，解得 ，所以满足等式的解 ，故集合 中的元素个数为 ．
3.（2022·浙江卷T20）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）利用等差数列通项公式及前 项和公式化简条件，求出 ，再求 ；
2023高考一轮复习讲与练
专题32等比数列
练高考 明方向
1.（2022·全国乙（理）T8）已知等比数列 的前3项和为168， ，则 （）
A.14B.12C.6D.3
【答案】D
【分析】设等比数列 的公比为 ，易得 ，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列 的公比为 ，若 ，则 ，与题意矛盾，
基本方法：
等比数列的三种常用判定方法：
定义法：若 ＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a ＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列
通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
(Ⅰ)证明 是等比数列,并求其通项公式;
(Ⅱ)若 ,求 .
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .
2023年高考数学一轮复习第六章数列3等比数列练习含解析
等比数列考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(m ，n ∈N *)．(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列(m 为偶数且q ＝－1除外)． (4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k. (5)若⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1，则等比数列{a n }递增．若⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1，则等比数列{a n }递减．常用结论1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也是等比数列． 2．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n，这里c ≠0，q ≠0. 3．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n－A (A ≠0，q ≠1,0)． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．( × ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( × )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n1－a.( × )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × ) 教材改编题1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2D ．±12答案 D解析 设等比数列的公比为q ， ∵{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，∴a 4＝a 2q 2，∴q 2＝a 4a 2＝14，∴q ＝±12.2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，则a 6＋a 8＝______. 答案 5解析 ∵{a n }是等比数列， 且a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25， ∴a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝25. 又∵a n >0，∴a 6＋a 8＝5.3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________． 答案 1,3,9或9,3,1解析 设这三个数为a q，a ，aq ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋aq ＋aq ＝13，a ·aq ·aq ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝3，∴这三个数为1,3,9或9,3,1.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S na n等于( ) A ．2n－1 B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n－1答案 B解析 方法一 设等比数列{a n }的公比为q ， 则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2. 由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12，得a 1＝1. 所以a n ＝a 1qn －1＝2n －1，S n ＝a 11－q n 1－q ＝2n－1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n.方法二 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2－a 3＝12，①a 4q 2－a 4＝24，②②①得a 4a 3＝q ＝2. 将q ＝2代入①，解得a 3＝4. 所以a 1＝a 3q2＝1，下同方法一．(2)(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________.答案1213解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5， 所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 11－q 51－q＝13×1－351－3＝1213. 教师备选1．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则a 4＝________. 答案 54或24解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·q ＝6，6a 1＋a 1·q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝3，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝3，a 4＝a 1·q 3＝2×33＝54或a 4＝3×23＝3×8＝24.2．已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，若a 2a 6＝－2a 7，S 3＝－6，则a 6等于( ) A ．－2或32 B ．－2或64 C ．2或－32 D ．2或－64答案 B解析 ∵数列{a n }为等比数列，a 2a 6＝－2a 7＝a 1a 7，解得a 1＝－2，设数列的公比为q ，S 3＝－6＝－2－2q －2q 2， 解得q ＝－2或q ＝1，当q ＝－2时，则a 6＝(－2)6＝64， 当q ＝1时，则a 6＝－2.思维升华 (1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q.跟踪训练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ， 令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以a 1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列， ∴a n ＝2×2n －1＝2n.又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25， ∴2k ＋11－2101－2＝215－25，即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. ①求{a n }的通项公式； ②求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1.解 ①设{a n }的公比为q (q >1)．由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32(舍去)．所以{a n }的通项公式为a n ＝2n，n ∈N *. ②由于(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1×2n ×2n ＋1＝(－1)n －122n ＋1，故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1＝23[1－－22n]1－－22＝85－(－1)n 22n ＋35. 题型二 等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式． 解 (1)由条件可得a n ＋1＝2n ＋1na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列， 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a nn＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.教师备选已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n . (1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列； (2)若a 1＝12，a 2＝32，求{a n }的通项公式．(1)证明 a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ， 所以a n ＋2＋a n ＋1＝3(a n ＋1＋a n )， 因为{a n }中各项均为正数， 所以a n ＋1＋a n >0，所以a n ＋2＋a n ＋1a n ＋1＋a n＝3，所以数列{a n ＋a n ＋1}是公比为3的等比数列． (2)解 由题意知a n ＋a n ＋1＝(a 1＋a 2)3n －1＝2×3n －1，因为a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2－3a n ＋1＝－(a n ＋1－3a n )，a 2＝3a 1， 所以a 2－3a 1＝0，所以a n ＋1－3a n ＝0， 故a n ＋1＝3a n ， 所以4a n ＝2×3n －1，a n ＝12×3n －1.思维升华 等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (3)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n－k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2 S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0.(1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)易知q ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 11－q31－q＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3， ∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n－12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列， ∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13， ∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)， 解得λ＝12，此时S n ＋12＝12×3n，则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n＝3，故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列．题型三 等比数列的性质例3 (1)若等比数列{a n }中的a 5，a 2019是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2023等于( ) A.20243 B ．1011 C.20232D ．1012答案 C解析 由题意得a 5a 2019＝3， 根据等比数列性质知，a 1a 2023＝a 2a 2022＝…＝a 1011a 1013＝a 1012a 1012＝3，于是a 1012＝123，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2023 ＝log 3(a 1a 2a 3…a 2023)11011232023=l 3·og 3.2⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )A ．40B ．60C ．32D ．50 答案 B解析 数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列， 即4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列， ∴S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 教师备选1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝__________. 答案 73解析 设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠－1，由等比数列前n 项和的性质可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3， 又由已知得S 6＝3S 3， ∴S 9－S 6＝4S 3， ∴S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________. 答案 2解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．跟踪训练3 (1)(2022·安康模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝7，则S 40等于( )A ．5B ．10C ．15D ．－20 答案 C解析 易知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…成等比数列．设{a n }的公比为q ，则S 20－S 10S 10＝q 10>0，故S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…均大于0. 故(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，即(S 20－1)2＝1·(7－S 20)⇒S 220－S 20－6＝0. 因为S 20>0，所以S 20＝3.又(S 30－S 20)2＝(S 20－S 10)(S 40－S 30)， 所以(7－3)2＝(3－1)(S 40－7)，故S 40＝15.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝4，a 1a 2·…·a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案 A解析 ∵a 1a 2…a 8＝16， ∴a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1a 7＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4＋1a 5＝12(a 1＋a 8)＋12(a 2＋a 7)＋12(a 3＋a 6)＋12(a 4＋a 5) ＝12(a 1＋a 2＋…＋a 8)＝2. 课时精练1．(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝1，a 4＋a 5＝8，则a 7等于( ) A.643B ．－643C.323 D ．－323答案 A解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 4＋a 5a 1＋a 2＝q 3＝8， 所以q ＝2，又a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝1， 所以a 1＝13，所以a 7＝a 1×q 6＝13×26＝643.2．已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( ) A ．2B ．4C.92D ．6答案 B解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24， ∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2. 又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4.3．(2022·开封模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( )A.13B ．－13C.19D ．－19 答案 B解析 由等比数列前n 项和的性质知，S n ＝32n －1＋r ＝13×9n ＋r ，∴r ＝－13.4．(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为( ) A ．6里 B ．12里 C ．24里 D ．48里答案 C解析 由题意可知，该人所走路程形成等比数列{a n }，其中q ＝12，因为S 6＝a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 4＝a 1·q 3＝192×18＝24.5．(多选)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( ) A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列 B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列 C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q的等比数列答案 AD 解析 对于A ，由a n a n ＋1a n －1a n＝q 2(n ≥2)知数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列； 对于B ，当q ＝－1时，数列{a n ＋a n ＋1}的项中有0，不是等比数列； 对于C ，当q ＝1时，数列{a n －a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D ，1a n ＋11a n＝a n a n ＋1＝1q， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列．6．(多选)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，则有( ) A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2答案 ABD解析 由题意，数列{a n }的前n 项和满足a n ＋1＝2S n (n ∈N *)， 当n ≥2时，a n ＝2S n －1，两式相减，可得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ， 可得a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n＝3(n ≥2)， 又a 1＝1，则a 2＝2S 1＝2a 1＝2，所以a 2a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2.当n ≥2时，S n ＝a n ＋12＝2·3n －12＝3n －1，又S 1＝a 1＝1，适合上式， 所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －1，又S n ＋1S n ＝3n3n －1＝3， 所以数列{S n }为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD 是正确的．7．(2022·嘉兴联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________. 答案 1解析 由于S 3＝7，S 6＝63知公比q ≠1， 又S 6＝S 3＋q 3S 3， 得63＝7＋7q 3. ∴q 3＝8，q ＝2.由S 3＝a 11－q 31－q ＝a 11－81－2＝7，得a 1＝1.8．已知{a n }是等比数列，且a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 7＝________；若公比q ＝13，则a 4＝________.答案 3 81解析 由{a n }是等比数列， 得a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243， 故a 7＝3，a 4＝a 7q3＝81.9．(2022·徐州模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *. (1)求实数p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)在等比数列{b n }中，b 3＝a 1，b 4＝a 2＋4，若{b n }的前n 项和为T n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16为等比数列． (1)解 S n ＝na 1＋n n －12d ＝na 1＋n (n －1)＝n 2＋(a 1－1)n ， 又S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *， 所以p ＝1，a 1－1＝2，即a 1＝3， 所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)证明 因为b 3＝a 1＝3，b 4＝a 2＋4＝9， 所以q ＝3， 所以b n ＝b 3·q n －3＝3n －2，所以b 1＝13，所以T n ＝131－3n1－3＝3n－16，所以T n ＋16＝3n 6，又T 1＋16＝12，所以T n ＋16T n －1＋16＝3n 63n －16＝3(n ≥2)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16是以12为首项，3为公比的等比数列．10．(2022·威海模拟)记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋1.设b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }为等比数列；(2)设c n ＝|b n －100|，T n 为数列{c n }的前n 项和．求T 10. (1)证明 由S n ＋1＝4a n ＋1， 得S n ＝4a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)， 两式相减得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， 所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)， 所以b n b n －1＝a n ＋1－2a na n －2a n －1＝2a n －2a n －1a n －2a n －1＝2(n ≥2)，又a 1＝1，S 2＝4a 1＋1， 故a 2＝4，a 2－2a 1＝2＝b 1≠0，所以数列{b n }为首项与公比均为2的等比数列． (2)解 由(1)可得b n ＝2·2n －1＝2n，所以c n ＝|2n－100|＝⎩⎪⎨⎪⎧100－2n，n ≤6，2n－100，n >6，所以T 10＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400 ＝200－21－261－2＋27＋28＋29＋210＝200＋2＋28＋29＋210＝1 994.11．(多选)(2022·滨州模拟)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n ＋1＋a n }为等比数列B ．数列{a n ＋1－2a n }为等比数列C ．a n ＝2n ＋1＋－1n3D ．S 20＝23(410－1)答案 ABD解析 因为a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)， 所以a n ＋a n －1＝2a n －1＋2a n －2＝2(a n －1＋a n －2)， 又a 1＋a 2＝2≠0，所以{a n ＋a n ＋1}是等比数列，A 正确；同理a n －2a n －1＝a n －1＋2a n －2－2a n －1＝－a n －1＋2a n －2＝－(a n －1－2a n －2)，而a 2－2a 1＝－1， 所以{a n ＋1－2a n }是等比数列，B 正确； 若a n ＝2n ＋1＋－1n3，则a 2＝23＋－123＝3，但a 2＝1≠3，C 错误；由A 知{a n ＋a n －1}是等比数列，且公比为2，因此数列a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…仍然是等比数列，公比为4， 所以S 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＝21－4101－4＝23(410－1)，D 正确． 12．(多选)(2022·黄冈模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0.则下列结论正确的是( ) A ．0<q <1B ．a 7·a 9>1C ．S n 的最大值为S 9D ．T n 的最大值为T 7答案 AD解析 ∵a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0， ∴a 7>1,0<a 8<1， ∴0<q <1，故A 正确；a 7a 9＝a 28<1，故B 错误；∵a 1>1,0<q <1，∴数列为各项为正的递减数列， ∴S n 无最大值，故C 错误； 又a 7>1,0<a 8<1，∴T 7是数列{T n }中的最大项，故D 正确．13．(2022·衡阳八中模拟)设T n 为正项等比数列{a n }(公比q ≠1)前n 项的积，若T 2015＝T 2021，则log 3a 2019log 3a 2021＝________.答案 15解析 由题意得，T 2015＝T 2021＝T 2015·a 2016a 2017a 2018a 2019a 2020a 2021， 所以a 2016a 2017a 2018a 2019a 2020a 2021＝1， 根据等比数列的性质，可得a 2016a 2021＝a 2017a 2020＝a 2018a 2019＝1， 设等比数列的公比为q ，所以a 2016a 2021＝a 20212q 5＝1⇒a 2021＝52,qa 2018a 2019＝a 20192q＝1⇒a 2019＝12,q所以log 3a 2019log 3a 2021＝123523log 1.5log q q14.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．答案132解析 由题意，得正方形的边长构成以22为首项,22为公比的等比数列，现已知共含有1023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1023，所以n ＝10，所以最小正方形的边长为⎝⎛⎭⎪⎫2210＝132.15．(多选)在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是( ) A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为0 答案 AD解析 对于A ，k 不可能为0，正确；对于B ，当a n ＝1时，{a n }为等差数列，但不是“等差比数列”，错误；对于C ，当等比数列的公比q ＝1时，a n ＋1－a n ＝0，分式无意义，所以{a n }不是“等差比数列”，错误；对于D ，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确． 16．已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n 项和为2n －1·3n＋12.(1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．解 (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列， 所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0， 所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3， 所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝2n －1·3n＋12，所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝2n －3·3n －1＋12(n ≥2)，两式相减，得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)，因为a n ＝2·3n －1，所以b n ＝n (n ≥2)，当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2，得b 1＝1(符合上式)，所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <34.因为∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立， 所以m ≥34，即实数m 的最小值为34.。
高三数学一轮复习 第三章第3课时闯关 新人教版
2013年高三数学一轮复习第三章第3课时知能演练轻松闯关新人教版1．在△ABC中，sin A＝cos B cos C，则( )A．sin B＋sin C为常数B．cos B＋cos C为常数C．tan B＋tan C为常数D．以上都不对解析：选C.在△ABC中，A＋B＋C＝π，则sin[π－(B＋C)]＝cos B cos C，sin(B＋C)＝cos B cos C，sin B cos C＋cos B sin C＝cos B cos C，所以tan B＋tan C＝1.2．(cos15°－cos75°)(sin75°＋sin15°)＝( )A.12B.22C.32D．1解析：选 C.原式＝(cos15°－sin15°)(cos15°＋sin15°)＝cos215°－sin215°＝cos30°＝32.3．(2011·高考大纲全国卷)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，sinα＝55，则tan2α＝__________.解析：∵sinα＝55，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cosα＝－1－sin2α＝－255.∴tanα＝sinαcosα＝－12，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－11－14＝－43.答案：－434．在平面直角坐标系xOy中，点P(12，cos2θ)在角α的终边上，点Q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且OP→·OQ→＝－12.(1)求cos2θ的值；(2)求sin(α＋β)的值．解：(1)因为OP→·OQ→＝－12，所以12sin2θ－cos2θ＝－12，即12(1－cos2θ)－cos2θ＝－12，所以cos2θ＝23，所以cos2θ＝2cos2θ－1＝13.(2)因为cos2θ＝23，所以sin2θ＝13，所以点P(12，23)，点Q(13，－1)，又点P (12，23)在角α的终边上， 所以sin α＝45，cos α＝35. 同理sin β＝－31010，cos β＝1010， 所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×1010＋35×(－31010)＝－1010.一、选择题1．(2011·高考福建卷)若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于( ) A ．2 B ．3C ．4D ．6解析：选D.sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝2×3＝6. 2．若α∈(π2，π)，且sin α＝45，则sin(α＋π4)－22cos α＝( ) A.225B ．－225 C.425 D ．－425解析：选A.sin(α＋π4)－22cos α＝sin αcos π4＋cos αsin π4－22cos α＝45×22＝225.故选A. 3．tan π12－1tan π12等于( ) A ．4 B ．－4C ．2 3D ．－2 3解析：选D.原式＝sin π12cos π12－cos π12sin π12 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π12－sin 2π12sin π12cos π12＝－cos π612sin π6＝－2 3. 4．(2011·高考福建卷)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33C. 2D. 3解析：选D.∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，∴cos 2α＝14，∴cos α＝12或－12(舍去)，∴α＝π3，∴tan α＝ 3. 5．(2012·洛阳质检)在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( ) A.14 B.13C.12D.53解析：选B.tan(A ＋B )＝－tan C ＝－tan120°＝3，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝3， 即2331－tan A tan B ＝ 3.解得tan A tan B ＝13，故选B. 二、填空题6．满足sin π5sin x ＋cos 4π5cos x ＝12的锐角x ＝________. 解析：由题意知sin π5sin x －cos π5cos x ＝12， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π5＋x ＝－12，故x ＋π5＝±23π＋2k π，k ∈Z ， 又因为x 为锐角，故x ＝715π. 答案：7π157.cos2α1＋sin2α·1＋tan α1－tan α的值为________． 解析：原式＝cos 2α－sin 2αsin α＋cos α2·1＋sin αcos α1－sin αcos α＝cos α－sin αsin α＋cos α·sin α＋cos αcos α－sin α＝1. 答案：18．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 解析：根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.答案：1三、解答题9．已知tan α＝2.求sin2α＋cos 2π－α1＋cos2α的值． 解：sin2α＋cos 2π－α1＋cos2α＝2sin αcos α＋cos 2α2cos 2α＝2sin α＋cos α2cos α＝tan α＋12＝52.10．(2012·黄冈调研)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值． 解：(1)∵a ⊥b ，∴sin θ×1＋(－2)×cos θ＝0⇒sin θ＝2cos θ.∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1⇒cos 2θ＝15. ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos θ＝55⇒sin θ＝255. (2)由5cos(θ－φ)＝35cos φ有5(cos θcos φ＋sin θsin φ)＝35cos φ⇒5cos φ＋25sin φ＝35cos φ，∴cos φ＝sin φ.又∵0＜φ＜π2，∴cos φ＝22. 11．已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15. (1)求tan2A 的值； (2)求2cos 2A 2－3sin A －12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4的值． 解：(1)∵OM →·ON →＝(sin B ＋cos B )sin C ＋cos C (sin B －cos B )＝sin(B ＋C )－cos(B ＋C )＝－15， ∴sin A ＋cos A ＝－15，① 两边平方并整理得：2sin A cos A ＝－2425， ∵－2425＜0，∴A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝75.② 联立①②得：sin A ＝35，cos A ＝－45，∴tan A ＝－34， ∴tan2A ＝2tan A 1－tan 2A ＝－321－916＝－247. (2)∵tan A ＝－34， ∴2cos 2A2－3sin A －12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝cos A －3sin A cos A ＋sin A＝1－3tan A 1＋tan A ＝1－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝13.。
高考数学一轮复习 考点32 数列的综合问题必刷题 理(含解析)-人教版高三全册数学试题
考点32 数列的综合问题1．（市房山区2019年高考第一次模拟测试理）《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）（结果精确到0.1．参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771．）A．天B．天C．天D．天【答案】C【解析】设蒲的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为，其前n项和为A n，则A n=.莞的长度组成等比数列{b n}，其b1=1，公比为2，其前n项和为B n．则B n，由题意可得：，整理得：2n+=7，解得2n=6，或2n=1（舍去）．∴n=≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等.故选：C．2．（某某乌鲁木齐市2018届高三第三次诊断性测验）已知数列，满足，，，则数列的前10项的和为A．B．C．D．【答案】D【解析】由a n +1﹣a n 2，所以数列{a n }是等差数列，且公差是2，{b n }是等比数列，且公比是2． 又因为＝1，所以a n ＝+（n ﹣1）d ＝2n ﹣1． 所以b 2n ﹣1＝•22n ﹣2＝22n ﹣2．设，所以＝22n ﹣2，所以4，所以数列{∁n }是等比数列，且公比为4，首项为1．由等比数列的前n 项和的公式得：其前10项的和为（410﹣1）．故选：D ．3．（某某省“皖南八校”2018届高三第三次（4月)联考）删去正整数数列 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意可得，这些数可以写为：，第个平方数与第个平方数之间有个正整数，而数列共有项，去掉个平方数后，还剩余个数，所以去掉平方数后第项应在后的第个数，即是原来数列的第项，即为，故选B.4．（华大新高考联盟2018届高三上学期11月教学质量测评理）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,，则42S S =（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】由可得312a a =，所以22q =，又因为，所以选B.5．（某某省2017届高三高考冲刺预测卷六理）最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（ ） A ．140B ．1121C ．1364D ．11093【答案】C 【解析】由题意，可设1,2,3,4,5,6 扇形区域的面积分别为，则由几何概型得，消费88 元以上者抽中一等奖的概率，故选C.6．（某某省钟祥市2019届高三高考第一次模拟考试理）对于实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数，已知正数列{a n }满足S n =12（a n n 1a +），n ∈N*，其中S n 为数列{a n }的前n 项的和，则[]=______．【答案】20 【解析】由题可知0n S >，当1n >时，化简可得，当所以数列2{}n S 是以首项和公差都是1的等差数列，即又1n >时，记一方面另一方面所以2021S << 即[]20S = 故答案为207．（市某某区2019届高三第一次（3月)综合练习一模）天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的某某石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．【答案】2433402 【解析】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块， 则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列， 所以，a n ＝9＋（n －1）×9＝9n ， 所以，a 27＝9×27＝243， 前27项和为：＝3402.8．（某某省某某师大附中2018届高三高考考前模拟考试）在数列{a n }中，若a 4＝1，a 12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a 2018＝______． 【答案】9【解析】分析：将a n +a n+1+a n+2=15中n 换为n+1，可得数列{a n }是周期为3的数列．求出a 2，a 1，即可得到a 2018 详解：由题意可得a n +a n+1+a n+2=15，将n 换为a n+1+a n+2+a n+3=15，可得a n+3=a n ，可得数列{a n 是周期为3的数列．故，由a n +a n+1+a n+2=15，n 取1可得，故，故答案为9.9．（某某省武昌2018届元月调研考试）对任一实数序列，定义新序列，它的第项为，假设序列的所有项都是，且，则__________． 【答案】100. 【解析】 设序列的首项为，则序列，则它的第n 项为，因此序列A 的第项，则是关于的二次多项式，其中的系数为，因为，所以必有，故。
高考一轮数学复习 3-3等比数列 理 同步练习(名师解析)
第3章 第3节 知能训练·提升考点一：判断或证明数列是等比数列1．关于数列有下面四个判断：①若a ，b ，c ，d 成等比数列，则a ＋b ，b ＋c ，c ＋d 也成等比数列； ②若数列{a n }既是等差数列也是等比数列，则{a n }为常数列；③若数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n－1(a ∈R )，则{a n }为等差或等比数列； ④若数列{a n }为等差数列，且公差不为零，则数列{a n }中不会有a m ＝a n (m ≠n )． 其中正确判断的序号是________(注：把你认为是正确判断的序号都填上)． 答案：②④2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n ＝p n (p ∈R ，n ∈N *)，判断{a n }是否成等比数列． 解：当n ＝1时，S 1＝a 1＝p ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －p n －1＝(p －1)p n －1.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧p (n ＝1)，(p －1)p n －1(n ≥2).∴a 2＝(p －1)p ，a 3＝(p －1)p 2. (1)若p ＝1或p ＝0有a 2＝a 3＝0， 此时{a n }不是等比数列；(2)若p ≠0且p ≠1，则a 2a 1＝p －1，a 3a 2＝p .∵p －1≠p ，∴数列{a n }也不是等比数列． ∴综上可知，数列{a n }不是等比数列．考点二：等比数列的基本量的有关计算3．(2010·湖北调研)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7，则b 6等于( )A ．4 2B ．－4 2C ．±4 2D ．±2 2 解析：由S 9＝9a 5＝－36，得a 5＝－4，∴b 5＝－4. 由S 13＝13a 7＝－104，得a 7＝－8，∴b 7＝－8. ∴b 26＝b 5·b 7＝32. ∴b 6＝±4 2. 答案：C4．(2010·内蒙古赤峰)已知等比数列{a n }，a 2＝8，a 5＝512. (1)求{a n }的通项公式；(2)令b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝8，a 5＝512，可得a 1q ＝8，a 1q 4＝512. 解得a 1＝2，q ＝4.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2×4n －1.(2)由a n ＝2×4n －1，得b n ＝log 2a n ＝2n －1.所以数列{b n }是首项b 1＝1，公差d ＝2的等差数列．故S n ＝1＋2n －12×n ＝n 2，即数列{b n }的前n 项和S n ＝n 2.考点三：利用等比数列性质解题5．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1、a 99是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，则a 40a 50a 60的值为( )A ．32B ．64C ．±64 D．256解析：∵a 1，a 99是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根， ∴a 1·a 99＝16. ∴a 250＝a 1·a 99＝16. 又a n ＞0，∴a 50＝4.∴a 40a 50a 60＝a 350＝43＝64. 答案：B6．(2010·重庆模拟)已知数列{a n }是等比数列，且a 4·a 5·a 6·a 7·a 8·a 9·a 10＝128，则12a 7＝________. 解析：∵a 4·a 5·a 6·a 7·a 8·a 9·a 10＝128，又a 4·a 10＝a 5·a 9＝a 6·a 8＝a 27，∴a 77＝128.∴a 7＝2，∴12a 7＝1.答案：1考点四：等比数列综合问题7．(2010·云南昆明)三个实数a ，b ，c 成等比数列，若有a ＋b ＋c ＝1成立，则b 的取值范围是( )A ．[－13，1]B ．(0，13]C ．[－1,0)∪(0，13]D ．[－13，0)∪(0,1]解析：本题主要考查等比数列的定义以及一元二次方程有解的充要条件．因为a ，b ，c 成等比数列，所以a ，b ，c 均不为0且c ＝b 2a ，代入a ＋b ＋c ＝1，得a ＋b＋b 2a－1＝0，整理得a 2＋(b －1)a ＋b 2＝0，此方程有实数解，即Δ＝(b －1)2－4b 2≥0，解得－1≤b ≤13.又b ≠0，所以－1≤b ＜0或0＜b ≤13.故选C.答案：C8．(2010·嘉兴模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，{b n }为等差数列且各项均为正数，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，T 3＝15.(1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)若a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n . 解：(1)证明：a 2＝2S 1＋1＝3＝3a 1；当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝(2S n ＋1)－(2S n －1＋1)＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n ，，即a n ＋1a n＝3. ∴数列{a n }是公比为3的等比数列．(2)由(1)得a n ＝3n －1.设数列{b n }的公差为d (d ＞0)， ∵T 3＝15，∴b 2＝5.依题意有(a 2＋b 2)2＝(a 1＋b 1)(a 3＋b 3)， ∴64＝(5－d ＋1)(5＋d ＋9)，d 2＋8d －20＝0，得d ＝2，或d ＝－10(舍去)．故T n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .1.(2009·广东)已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．(n －1)2B ．n 2C ．(n ＋1)2D ．n (2n －1)解析：∵a 5·a 2n －5＝22n ＝a 2n ，a n ＞0，∴a n ＝2n，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1a 3…a n －1)＝log 221＋3＋…＋(2n －1)＝log 22n 2＝n 2.故选B. 答案：B2．(2009·湖北)已知数列{a n }满足：a 1＝m (m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2， 当a n 为偶数时，3a n ＋1， 当a n 为奇数时.若a 6＝1，则m 所有可能的取值为________．解析：根据题意可知，当a n 为奇数时，a n ＋1为偶数，∴由a 6＝1为奇数可以判定a 5为偶数，∴a 5＝2a 6＝2.又当a n ＋1为偶数时，若a n ＋1是被3除余1的数，则a n 为奇数或偶数，否则a n 仍为偶数．a 4可能为奇数也可能为偶数，∴a 4＝4，依次有a 3＝1，a 2＝2，a 1＝4，即m ＝4.或者a 3＝8，a 2＝16，a 1＝32或a 1＝5. 答案：4,5,323．(2009·浙江)设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.解析：a 4＝a 1(12)3＝18a 1，S 4＝a 1(1－124)1－12＝158a 1，∴S 4a 4＝15.答案：154．(2009·江苏)设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |＞1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)．若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.解析：∵b n ＝a n ＋1，∴a n ＝b n －1，而{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中， ∴{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中． ∵{a n }是公比为q 的等比数列，|q |＞1，∴{a n }中的连续四项依次为－24,36，－54,81，∴q ＝－3624＝－32，∴6q ＝－9.答案：－95．(2009·上海)已知{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．(1)若a n ＝3n ＋1，是否存在m 、k ∈N *，有a m ＋a m ＋1＝a k ？请说明理由；(2)找出所有数列{a n }和{b n }，使对一切n ∈N *，a n ＋1a n＝b n ，并说明理由； (3)若a 1＝5，d ＝4，b 1＝q ＝3，试确定所有的p ，使数列{a n }中存在某个连续p 项的和是数列{b n }中的一项，请证明．解：(1)由a m ＋a m ＋1＝a k ，得6m ＋5＝3k ＋1，整理后，可得k －2m ＝43，∵m 、k ∈N *，∴k －2m 为整数．∴不存在m 、k ∈N *，使等式成立．(2)解法一：若a n ＋1a n ＝b n ，即a 1＋nd a 1＋(n －1)d＝b 1q n －1，(*)(i)若d ＝0，则1＝b 1q n －1＝b n .当{a n }为非零常数项，{b n }为恒等于1的常数列，满足要求．(ii)若d ≠0，(*)式等号左边取极限得lim n →∞ a 1＋nda 1＋(n －1)d＝1，(*)式等号右边的极限只有当q ＝1时，才可能等于1.此时等号左边是常数，∴d ＝0，矛盾．综上所述，只有当{a n }为非零常数列，{b n }为恒等于1的常数列，满足要求．解法二：设a n ＝nd ＋c .若a n ＋1a n＝b n ，对n ∈N *都成立，且{b n }为等比数列， 则a n ＋2a n ＋1a n ＋1a n＝q ，对n ∈N *都成立，即a n a n ＋2＝qa 2n ＋1. ∴(dn ＋c )(dn ＋2d ＋c )＝q (dn ＋d ＋c )2对n ∈N *都成立， ∴d 2＝qd 2.(i)若d ＝0，则a n ＝c ≠0，∴b n ＝1，n ∈N *.(ii)若d ≠0，则q ＝1，∴b n ＝m (常数)，即dn ＋d ＋cdn ＋c＝m ，则d ＝0，矛盾．综上所述，有a n ＝c ≠0，b n ＝1，使对一切n ∈N *，a n ＋1a n＝b n .(3)a n ＝4n ＋1，b n ＝3n ，n ∈N *，设a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋p ＝b k ＝3k ，p 、k ∈N *，m ∈N . 4(m ＋1)＋1＋4(m ＋p )＋12p ＝3k ，∴4m ＋2p ＋3＝3kp .∵p 、k ∈N *，∴p ＝3s，s ∈N .取k ＝3s ＋2,4m ＝32s ＋2－2×3s－3＝(4－1)2s ＋2－2×(4－1)s－3≥0，由二项展开式可得正整数M 1、M 2，使得(4－1)2s ＋2＝4M 1＋1，2×(4－1)s ＝8M 2＋(－1)s2，∴4m ＝4(M 1－2M 2)－((－1)s＋1)2， ∴存在整数m 满足要求，故当且仅当p ＝3s，s ∈N 时，命题成立.1.设数列{a n }是公比大于1的等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2q＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q ＞1，∴q ＝2.∴a 1＝1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，由(1)得a 3n ＋1＝23n，∴b n ＝ln23n＝3n ln2. 又b n ＋1－b n ＝3ln2，∴数列{b n }是等差数列．∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝n (3ln2＋3n ln2)2＝3n (n ＋1)2ln2.故T n ＝3n (n ＋1)2ln2.。
高考数学一轮复习 第六章 数列 第3讲 等比数列及其前n项和配套课时作业 理(含解析)新人教A版-新
第3讲 等比数列及其前n 项和配套课时作业1．(2019·某某某某模拟)已知等比数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝8，则a 3a 4a 5＝( ) A ．±64 B ．64 C ．32 D ．16答案 B解析 因为a 2＝2，a 6＝8，所以由等比数列的性质可知a 2·a 6＝a 24＝16，而a 2，a 4，a 6同号，所以a 4＝4，所以a 3a 4a 5＝a 34＝64.故选B.2．(2019·某某调研)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝3，a 4＝24，则S 6＝( ) A ．93 B ．189 C ．99 D ．195答案 B解析 ∵a 4＝a 1q 3＝3q 3＝24，∴q ＝2，∴S 6＝a 11－q 61－q＝189.故选B.3．已知正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7＝( ) A.56 B.65 C.23 D.32答案 D解析 由等比数列性质可知a 2a 8＝a 4a 6＝6，故a 4，a 6分别是方程x 2－5x ＋6＝0的两根．因为a n ＋1<a n ，所以a 4＝3，a 6＝2，故a 5a 7＝a 4a 6＝32.故选D.4．(2019·某某模拟)设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为2的等比数列，则a 6＝( ) A ．31.5 B ．160 C ．79.5 D ．159.5答案 C解析 因为1＋2a n ＝(1＋2a 1)·2n －1，则a n ＝5·2n －1－12，a n ＝5·2n －2－12. a 6＝5×24－12＝5×16－12＝80－12＝79.5.5．(2019·某某某某中学调研)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5＝2a 3，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．29B ．31C ．33D ．36答案 B解析 由a 2a 5＝a 3a 4＝2a 3，得a 4＝ 2.又a 4＋2a 7＝2×54，所以a 7＝14，又因为a 7＝a 4q 3，所以q ＝12，所以a 1＝16，所以S 5＝16×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝31.故选B.6．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84答案 B解析 设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＋a 3＋a 5＝a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，即q 4＋q 2＋1＝7，解得q 2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)×q 2＝21×2＝42.故选B.7．在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64(n >2)，且前n 项和S n ＝42，则n ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 A解析 由a 1＋a n ＝34，a 1a n ＝a 3a n －2＝64及{a n }为递增数列，得a 1＝2，a n ＝32＝a 1qn －1，又S n ＝a 11－q n1－q＝42，∴q ＝4，n ＝3.故选A.8．(2019·某某模拟)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( ) A ．2 B ．73 C ．310 D ．1或2答案 B解析 设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，S 4＝3k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73.故选B.9．(2019·延庆模拟)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1)C ．n n ＋12D ．n n －12答案 A解析 ∵a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 2·a 8，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )， 将d ＝2代入上式，解得a 1＝2， ∴S n ＝2n ＋n n －1·22＝n (n ＋1)．故选A.10．(2019·北大附中模拟)若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝22n －1B ．a n ＝2nC ．a n ＝22n ＋1D ．a n ＝22n －3答案 A解析 ∵a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝(a n ＋1－4a n )(a n ＋1＋a n )＝0，又a n ＋1＋a n >0，∴a n ＋1＝4a n ，∴a n ＝2×4n －1＝22n －1.故选A.11．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 8＝2a 4，S 4＝4，则S 8的值为( ) A ．4 B ．8 C ．10 D ．12答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由题意知q ≠1.因为a 8＝2a 4，S 4＝4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 7a 1q 3＝2，a 11－q 41－q＝4，解得q 4＝2，a 1＝－4(1－q )，所以S 8＝a 11－q 81－q＝－41－q 1－221－q＝12.故选D.12．记等比数列{a n }的前n 项积为T n (n ∈N *)，已知a m －1·a m ＋1－2a m ＝0，且T 2m －1＝128，则m 的值为( )A ．4B ．7C ．10D ．12答案 A解析 因为{a n }是等比数列，所以a m －1a m ＋1＝a 2m .又a m －1a m ＋1－2a m ＝0，则a 2m －2a m ＝0，所以a m ＝2.由等比数列的性质可知前2m －1项积T 2m －1＝a 2m －1m ，即22m －1＝128，故m ＝4.故选A.13．(2019·某某模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋3，则S 4＝________.答案 66解析 依题意有a n ＝2S n －1＋3(n ≥2)，与原式作差，得a n ＋1－a n ＝2a n ，n ≥2，即a n ＋1＝3a n ，n ≥2，可见，数列{a n }从第二项起是公比为3的等比数列，a 2＝5，所以S 4＝1＋5×1－331－3＝66.14．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 答案 3n －1解析 由3S 1,2S 2，S 3成等差数列可得4S 2＝3S 1＋S 3，所以3(S 2－S 1)＝S 3－S 2，即3a 2＝a 3，a 3a 2＝3.所以q ＝3，所以a n ＝3n －1. 15．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.答案 2n解析 ∵a 25＝a 10，∴(a 1q 4)2＝a 1q 9，∴a 1＝q ，∴a n ＝q n.∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n (1＋q 2)＝5a n q ，∴2(1＋q 2)＝5q ，解得q ＝2或q ＝12(舍去)．∴a n ＝2n.16．(2019·启东模拟)已知等比数列{a n }中，a 2>a 3＝1，则使不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－1a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1a n ≥0成立的最大自然数n 是________．答案 5解析 设公比为q ，由a 2>a 3＝1知0<q <1，a n ＝q n －3，∴不等式的左端＝q －21－q n1－q－q 21－q －n 1－q －1＝1－q n1－q q2·(1－q 5－n)≥0，∵0<q <1，∴n ≤5. 17．(2018·高考)设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2. (1)求{a n }的通项公式； (2)求e a 1＋e a 2＋…＋e an . 解 (1)设{a n }的公差为d .因为a 2＋a 3＝5ln 2，所以2a 1＋3d ＝5ln 2. 又a 1＝ln 2，所以d ＝ln 2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ln 2. (2)因为ea 1＝eln 2＝2，eane a n －1＝e an －an －1＝eln 2＝2，所以{e an }是首项为2，公比为2的等比数列． 所以ea 1＋ea 2＋…＋e an ＝2×1－2n1－2＝2(2n－1)．18．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)．设b n ＝a n ＋1－a n . (1)证明：数列{b n }是等比数列； (2)设＝b n4n 2－12n，求数列{}的前n 项和S n .解 (1)证明：因为a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝a n ＋1－a n ， 所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝3a n ＋1－2a n －a n ＋1a n ＋1－a n ＝2a n ＋1－a na n ＋1－a n＝2， 又b 1＝a 2－a 1＝2－1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以2为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝1×2n －1＝2n －1，因为＝b n4n 2－12n，所以＝122n ＋12n －1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n4n ＋2.19．(2019·某某省实验中学模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q >0，S 2＝2a 2－2，S 3＝a 4－2.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝n a n，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 2＝2a 2－2，①S 3＝a 4－2，②所以由①②两式相减得a 3＝a 4－2a 2，即q 2－q －2＝0. 又因为q >0，所以q ＝2.又因为S 2＝2a 2－2，所以a 1＋a 2＝2a 2－2，所以a 1＋a 1q ＝2a 1q －2， 代入q ＝2，解得a 1＝2，所以a n ＝2n. (2)由(1)得b n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，①将①式两边同乘12，得12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，②由①②两式错位相减得12T n ＝12＋122＋123＋124＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1，整理得T n ＝2－n ＋22n.20．(2019·正定模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且3a n ＋1＋2S n ＝3(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对任意n ∈N *，k ≤S n 恒成立，某某数k 的最大值． 解 (1)因为3a n ＋1＋2S n ＝3，① 所以当n ≥2时，3a n ＋2S n －1＝3.②由①－②，得3a n ＋1－3a n ＋2a n ＝0(n ≥2)，所以a n ＋1a n ＝13(n ≥2)． 因为a 1＝1,3a 2＋2a 1＝3，解得a 2＝13，所以a 2a 1＝13.所以数列{a n }是首项为1，公比为13的等比数列．所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.(2)由(1)知S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .由题意，可知对于任意n ∈N *，恒有k ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 成立．因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 单调递增，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 中的最小项为23，所以k ≤32×23＝1，故实数k 的最大值为1.。
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【优化方案】2014届高考数学一轮复习 3.3 等比数列课时闯关理（含解析）人教版一、选择题1．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝( ) A．5 2 B．7C．6 D．4 2解析：选A.∵a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，且{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a2＝35，a8＝310.∴a8a2＝32，即q6＝32.∴q3＝62.∴a4a5a6＝a35＝(a2q3)3＝(35·62)3＝5 2. 2．等比数列{a n}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则a n＝( )A．(－2)n－1B．－(－2)n－1C．(－2)n D．－(－2)n解析：选A.∵|a1|＝1，∴a1＝1或a1＝－1.∵a5＝－8a2＝a2·q3，∴q3＝－8，∴q＝－2.又a5>a2，即a2q3>a2，∴a2<0.而a2＝a1q＝a1·(－2)<0，∴a1＝1.故a n＝a1·(－2)n－1＝(－2)n－1.3．已知等比数列{a n}中，若a1 006·a1 008＝4，则该数列的前2 013项的积为( ) A．42 013B．±42 013C．22 013D．±22 013解析：选D.∵a1 006·a1 008＝4＝a21 007，∴a1 007＝±2，∴a1·a2·…·a2 013＝a 2 0131 007＝±22 013，选D.4．(2011·高考上海卷)设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{A n}为等比数列的充要条件为( )A．{a n}是等比数列B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同解析：选D.∵A i＝a i a i＋1，若{A n}为等比数列，则A n＋1A n＝a n＋1a n＋2a n a n＋1＝a n＋2a n为常数，即A2A1＝a3a1，A3A2＝a4a2，….∴a1，a3，a5，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n ＝q ，从而{A n }为等比数列．5．数列{a n }满足：log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，若a 3＝10，则a 10等于( )A ．1 275B ．1 280C ．1 080D ．1 180解析：选B.由已知得a n ＋1＝2a n ，故数列{a n }是公比为2的等比数列，所以a 10＝a 3×27＝10×128＝1 280.二、填空题6．已知数列{a n }满足a 1＝23，且对任意的正整数m 、n 都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝__________.解析：令m ＝1，得a n ＋1＝a 1·a n ，即a n ＋1a n ＝a 1＝23，可知数列{a n }是首项为a 1＝23，公比为q ＝23的等比数列， 于是S n ＝a 11－q n 1－q ＝23×[1－23n ]1－23＝2[1－(23)n ] ＝2－2n ＋13n . 答案：2－2n ＋13n 7．(2011·高考广东卷)已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________.解析：由a 2＝2，a 4－a 3＝4得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2，a 2q 2－a 2q ＝4⇒q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1.又{a n }是递增等比数列，故q ＝2.答案：28．(2011·高考福建卷)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )，这里x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于________．解析：由(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项，∴(c －a )2＝(b －c )(b －a )，∴(c －a )2＝[(b －a )＋(a －c )](b －a )．又c ＝a ＋x (b －a )，∴b －a ＝c －a x， ∴(c －a )2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤c －a x ＋a －c ·c －a x . 由题意知，c －a ≠0，∴1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1·1x ， ∴x 2＋x －1＝0，∴x ＝5－12或x ＝－1－52(舍去)． 答案：5－12三、解答题9．(2012·高考广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＜32. 解：(1)∵a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，∴2(a 2＋5)＝a 1＋a 3.又2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，∴2S 1＝a 2－22＋1,2S 2＝a 3－23＋1，∴2a 1＝a 2－3,2(a 1＋a 2)＝a 3－7.由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＋5＝a 1＋a 3，2a 1＝a 2－3，2a 1＋a 2＝a 3－7，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，a 2＝5，a 3＝19.∴a 1＝1. (2)∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，①∴当n ≥2时，2S n －1＝a n －2n ＋1.②①－②得2a n ＝a n ＋1－a n －2n ＋1＋2n ，∴a n ＋1＝3a n ＋2n .两边同除以2n ＋1得a n ＋12n ＋1＝32·a n 2n ＋12， ∴a n ＋12n ＋1＋1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n ＋1. 又由(1)知a 222＋1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫a 121＋1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1是以32为首项，32为公比的等比数列， ∴a n 2n ＋1＝32·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ， ∴a n ＝3n －2n ，即数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －2n .(3)证明：∵a n ＝3n －2n ＝(1＋2)n －2n＝C 0n ·1n ·20＋C 1n ·1n －1·21＋C 2n ·1n －2·22＋…＋C n n ·10·2n －2n＝1＋2n ＋2(n 2－n )＋…＋2n －2n >1＋2n ＋2(n 2－n )＝1＋2n 2>2n 2>2n (n －1)，∴1a n ＝13n －2n <12n n －1＝12·1n n －1， ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n n －1 ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＝32－12n <32， 即1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.10．已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n .解：(1)∵{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列，∴a n ＝19－2(n －1)＝21－2n ，S n ＝19n ＋12n (n －1)×(－2)＝20n －n 2. (2)由题意得b n －a n ＝3n －1，即b n ＝a n ＋3n －1， ∴b n ＝3n －1－2n ＋21，T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n －12.11．(探究选做)在数列{a n }中，a 1＝16，a n ＝12a n －1＋12×13n (n ∈N *且n ≥2)．(1)证明：{a n ＋13n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证：S n <12. 解：(1)证明：由已知，得 a n ＋1＋13n ＋1a n ＋13n ＝12a n ＋12·13n ＋1＋13n ＋1a n ＋13n ＝12， ∴{a n ＋13n }是等比数列．(2)设A n ＝a n ＋13n ，则A 1＝a 1＋13＝16＋13＝12， 且q ＝12，则A n ＝(12)n，∴a n ＋13n ＝12n ，可得a n ＝12n －13n .(3)证明：S n ＝(121－131)＋(122－132)＋…＋(12n －13n ) ＝121－12n 1－12－131－13n1－13＝12－12n ＋12·13n ＝12－2·3n －2n 2·6n <12.。