高中数学选修2-1(人教A版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习及答案
新人教A版高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》知识点汇总及解题方法总计
第三章 空间向量与立体几何单元小结[核心速填]1．空间向量的有关定理和推论(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(2)共线向量定理的推论：若OA →，OB →不共线，则P ，A ，B 三点共线的充要条件是OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.(3)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b .(4)共面向量定理的推论：已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，则P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)．(5)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．2．空间向量运算的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)，a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)，λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3.(2)重要结论：a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.3．模、夹角和距离公式(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则①|a |＝a ·a②cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝(2)设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则d AB ＝|AB →|4．空间向量的结论与线面位置关系的对应关系(1)设直线l 的方向向量是u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)， 则l ∥α⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0，l ⊥α⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2(k ∈R )．(2)设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ，则l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0； l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ；α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0. 5．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2的夹角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|.(2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α的夹角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|.(3)求二面角的大小：(ⅰ)如图31①，AB ，CD 是二面角αl β的两个半平面α，β内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉．图31(ⅱ)如图31②③，n 1，n 2分别是二面角αl β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉．[体系构建][题型探究]类型一、空间向量的基本概念及运算例1、如图32，在四棱锥S ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A 、B 、C 、D 的距离都等于2.给出以下结论：图32①SA →＋SB →＋SC →＋SD →＝0； ②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0； ③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0； ④SA →·SB →＝SC →·SD →； ⑤SA →·SC →＝0.其中正确结论的序号是________． 【答案】 ③④【解析】容易推出SA →－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD 是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2·2·cos∠ASB ，SC →·SD →＝2·2·cos ∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD →，因此④正确，其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.[规律方法] 1.空间向量的线性运算包括加、减及数乘运算，选定空间不共面的三个向量作为基向量，并用它们表示出目标向量，这是用向量法解决立体几何问题的基本要求，解题时可结合已知和所求，根据图形，利用向量运算法则表示所需向量．2．空间向量的数量积(1)空间向量的数量积的定义表达式a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉及其变式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a | ·|b |是两个重要公式． (2)空间向量的数量积的其他变式是解决立体几何问题的重要公式，如a 2＝|a |2，a 在b 上的投影a ·b|b |＝|a |·cos θ等．[跟踪训练]1.如图33，已知ABCD A ′B ′C ′D ′是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′对角线BC ′上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD→＋γAA ′→，则α＋β＋γ＝________.图33【答案】32[连接BD ，则M 为BD 的中点，MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′→)＝12(－AD →＋AB →)＋34(AD →＋AA ′→)＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→.∴α＝12，β＝14，γ＝34.∴α＋β＋γ＝32.]类型二、空间向量的坐标运算例2、(1)已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x ＝( )A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)(2)已知向量a ＝(x,1,2)，b ＝(1，y ，－2)，c ＝(3,1，z )，a ∥b ，b ⊥C ． ①求向量a ，b ，c ；②求a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值.【答案】(1)B [由b ＝12x －2a 得x ＝4a ＋2b ，又4a ＋2b ＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)， 所以x ＝(0,6，－20)．](2)①∵向量a ＝(x,1,2)，b ＝(1，y ，－2)，c ＝(3,1，z )，且a ∥b ，b ⊥c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y ＝2－23＋y －2z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝1，∴向量a ＝(－1,1,2)，b ＝(1，－1，－2)，c ＝(3,1,1)． ②∵a ＋c ＝(2,2,3)，b ＋c ＝(4,0，－1)， ∴(a ＋c )·(b ＋c )＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，|a ＋c |＝22＋22＋32＝17，|b ＋c |＝42＋02＋(－1)2＝17， ∴a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值为(a ＋c )·(b ＋c )|a ＋c ||b ＋c |＝517.[规律方法] 熟记空间向量的坐标运算公式 设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， (1)加减运算：a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2，z 1±z 2). (2)数量积运算：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. (3)向量夹角：cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2x 21＋y 21＋z 21x 22＋y 22＋z 22. (4)向量长度：设M 1(x 1，y 1，z 1)，M 2(x 2，y 2，z 2)，则|M 1M 2→|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(z 1－z 2)2. 提醒：在利用坐标运算公式时注意先对向量式子进行化简再运算. [跟踪训练]2．在空间直角坐标系中，已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 一定是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】C [∵AB →＝(3,4，－8)，AC →＝(5,1，－7)，BC →＝(2，－3,1)，∴|AB →|＝32＋42＋(－8)2＝89，|AC →|＝52＋12＋(－7)2＝75，|BC →|＝22＋(－3)2＋1＝14，∴|AC →|2＋|BC →|2＝|AB →|2，∴△ABC 一定为直角三角形．]类型三、利用空间向量证明平行、垂直问题例3、 在四棱锥P ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AD ＝CD ＝2AB ＝2，M 为PC 的中点．(1)求证：BM ∥平面PAD ；(2)平面PAD 内是否存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ？若存在，确定N 的位置；若不存在，说明理由．[思路探究] (1)证明向量BM →垂直于平面PAD 的一个法向量即可；(2)假设存在点N ，设出其坐标，利用MN →⊥BD →，MN →⊥PB →，列方程求其坐标即可． 【答案】以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则B (1,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，C (2,2,0)，M (1，1,1)，(1)证明：∵BM →＝(0,1,1)，平面PAD 的一个法向量为n ＝(1,0,0)， ∴BM →·n ＝0，即BM →⊥n ，又BM ⊄平面PAD ，∴BM ∥平面PAD ． (2)BD →＝(－1,2,0)，PB →＝(1,0，－2)， 假设平面PAD 内存在一点N ，使MN ⊥平面PBD ． 设N (0，y ，z )，则MN →＝(－1，y －1，z －1)， 从而MN ⊥BD ，MN ⊥PB ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧MN →·BD →＝0，MN →·PB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋2(y －1)＝0，－1－2(z －1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12，z ＝12，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，∴在平面PAD 内存在一点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，12，使MN ⊥平面PBD ．[规律方法]利用空间向量证明空间中的位置关系(1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． (2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直． (3)线面平行：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内两不共线向量线性表示．(4)线面垂直：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．(5)面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．(6)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．[跟踪训练]3．如图34，长方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别在BB1，DD1上，且AM⊥A1B，AN⊥A1D．图34(1)求证：A1C⊥平面AMN.(2)当AB＝2，AD＝2，A1A＝3时，问在线段AA1上是否存在一点P使得C1P∥平面AMN，若存在，试确定P的位置.【答案】(1)证明：因为CB⊥平面AA1B1B，AM⊂平面AA1B1B，所以CB⊥AM，又因为AM⊥A1B，A1B∩CB＝B，所以AM⊥平面A1BC，所以A1C⊥AM，同理可证A1C⊥AN，又AM∩AN＝A，所以A1C⊥平面AMN.(2)以C 为原点，CD 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，CC 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，因为AB ＝2，AD ＝2，A 1A ＝3，所以C (0,0,0)，A 1(2,2,3)，C 1(0,0,3)，CA 1→＝(2,2,3)， 由(1)知CA 1⊥平面AMN ，故平面AMN 的一个法向量为CA 1→＝(2,2,3)．设线段AA 1上存在一点P (2,2，t )，使得C 1P ∥平面AMN ，则C 1P →＝(2,2，t －3)， 因为C 1P ∥平面AMN ，所以C 1P →·CA 1→＝4＋4＋3t －9＝0， 解得t ＝13.所以P ⎝⎛⎭⎪⎫2，2，13， 所以线段AA 1上存在一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2，13，使得C 1P ∥平面AMN .类型四、利用空间向量求空间角例4、如图35，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝90°，BC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，CD ＝BE ＝2，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图(2)所示的四棱锥A ′BCDE ，其中A ′O ＝ 3.(1) (2)图35(1)证明：A ′O ⊥平面BCDE ；(2)求二面角A ′CD B 的平面角的余弦值．[思路探究] (1)利用勾股定理可证A ′O ⊥OD ，A ′O ⊥OE ，从而证得A ′O ⊥平面BCDE ；(2)用“三垂线”法作二面角的平面角后求解或用向量法求两个平面的法向量的夹角．【答案】(1)证明：由题意，得OC ＝3，AC ＝32，AD ＝2 2. 如图，连接OD ，OE ，在△OCD 中，由余弦定理，得OD ＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos 45°＝ 5.由翻折不变性，知A ′D ＝22，所以A ′O 2＋OD 2＝A ′D 2，所以A ′O ⊥OD ． 同理可证A ′O ⊥OE .又因为OD ∩OE ＝O ，所以A ′O ⊥平面BCDE .(2)如图，过点O 作OH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，连接A ′H .因为A ′O ⊥平面BCDE ，OH ⊥CD ， 所以A ′H ⊥CD ．所以∠A ′HO 为二面角A ′CD B 的平面角． 结合图(1)可知，H 为AC 的中点，故OH ＝322，从而A ′H ＝OH 2＋A ′O 2＝302. 所以cos ∠A ′HO ＝OH A ′H ＝155. 所以二面角A ′CD B 的平面角的余弦值为155. [规律方法] 用向量法求空间角的注意点(1)异面直线所成角：两异面直线所成角的范围为0°<θ≤90°，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解．(2)直线与平面所成的角：要求直线a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n 与直线a 的方向向量a 夹角的余弦cos 〈n ，a 〉，易知θ＝〈n ，a 〉－π2或者π2－〈n ，a 〉．(3)二面角：如图36，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n 1与n 2，则平面α与β所成的角跟法向量n 1与n 2所成的角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角．图36[跟踪训练]4．在如图37所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB是圆台的一条母线．图37(1)已知G ，H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ． (2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23，AB ＝BC ，求二面角F BC A 的余弦值.【答案】 (1)证明：设CF 的中点为I ，连接GI ，HI .在△CEF 中，因为点G ，I 分别是CE ，CF 的中点， 所以GI ∥EF .又EF ∥OB ，所以GI ∥OB ．在△CFB 中，因为H ，I 分别是FB ，CF 的中点， 所以HI ∥BC ．又HI ∩GI ＝I ，BC ∩OB ＝B ， 所以平面GHI ∥平面ABC ． 因为GH ⊂平面GHI ， 所以GH ∥平面ABC ．(2)连接OO ′，则OO ′⊥平面ABC ．又AB ＝BC ，且AC 是圆O 的直径， 所以BO ⊥AC ．以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题意得B (0,23，0)，C (－23，0,0)． 过点F 作FM ⊥OB 于点M ， 所以FM ＝FB 2－BM 2＝3， 可得F (0，3，3)．11 故BC →＝(－23，－23，0)，BF →＝(0，－3，3)． 设m ＝(x ，y ，z )是平面BCF 的法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·BF →＝0可得⎩⎨⎧ －23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.可得平面BCF 的一个法向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，33.因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1)， 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n|m |·|n |＝77，所以二面角F BC A 的余弦值为77.。
人教A版数学选修21-空间向量与立体几何-【完整版】
人教A 版数学选修2 1 ： 空间向量与立 体几何- 精品课 件p pt( 实用版)
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类型3 空间向量加减运算的应用(误区警示)
[典例3]
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，化简
→ DA
－
→ DB
＋B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B.
证明：如图所示，平行六面体 ABCD-A′B′C′D′，设点O是AC′的中点，
则A→O＝12A→C′＝12(A→B＋A→D＋A→A′)． 设P、M、N分别是BD′、CA′、DB′的中点． 则A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋12B→D′＝A→B＋12·(B→A＋B→C＋
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(3)用已知向量表示指定向量的方法． 用已知向量来表示指定向量时，常结合具体图形．通 过向量的平移等手段将指定向量放在与已知向量有关的三 角形或四边形中，通过向量的运算性质将指定向量表示出 来，然后转化为已知向量的线性式．
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[变式训练] (1)下列命题中假命题的个数是( )
①向量A→B与B→A的长度相等；
②空间向量就是空间中的一条有向线段；
③不相等的两个空间向量的模必不相等．
A．1
B．2
C．3
D．0
(2)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中， AB＝4，AD＝2，AA1＝1，以该长方体的八 个顶点中的两点为起点和终点的所有向量
高二数学人教A选修2-1课件：第三章 空间向量与立体几何 3.1.1
算 . ― ― → → ― →
OB ＝ OA ＋ AB ＝a＋b
― → ― → ― → CA ＝ OA － OC ＝a－b ― → ― → ― → ― → ― → OB ＝ OA ＋ AB ＝ OA ＋ OC ＝a＋b
(2)空间向量加法交换律
a＋b＝______ b＋a
空间向量加法结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
答案
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题型探究
类型一 有关空间向量的概念的理解
例 1 给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相 同； ②若空间向量 a， b 满足|a|＝|b|， 则 a＝b； ③在正方体 ABCD－A1B1C1D1 ― → ― → 中，必有 AC ＝A1C1；④若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p，则 m＝p； ⑤空间中任意两个单位向量必相等.其中不正确的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 )
知识点一 空间向量的概念 思考 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念. 答案 在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量.
答案
大小和_____ 方向的量叫做空间向量，向量的大小 梳理 (1)在空间，把具有_____ 长度 或___. 模 叫做向量的_____
长度 表示向量的模， 空间向量用有向线段表示， 有向线段的_____ a 的起点是 A， ―→ ― → |a|或| AB | 终点是 B，则 a 也可记作 AB ，其模记为__________.
答案
思考2
由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量的和
与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？
答案
先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运
算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法 则，图2是平行四边形法则.
高中数学选修2-1(人教A版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法一、学习任务1. 理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量．2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系．3. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系．4. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题；体会向量方法在研究几何问题中的作用．二、知识清单异面直线所成的角 线面角 二面角三、知识讲解1.异面直线所成的角设直线 是异面直线，过空间一点 分别作直线 的平行线 ，我们把直线 所成的锐角或直角叫做异面直线 所成的角，或异面直线 的夹角．a ,b O a ,b ,a ′b ′,a ′b ′a ,b a ,b 如图，在正方体 中，求：（1）异面直线 与 所成的角；（2） 与 所成的角．解：（1）因为 ，而 ，所以 ，即 与 所成角为 ．（2）如下图，连接 ，，因为 ，所以 与 所成的角即为 与 所成的角．又 ，所以 为正三角形，所以 和 所成的角为 ，即 与 所成的角为 ．ABCD −A 1B 1C 1D 1AB A 1D 1A D 1D C 1∥AB A 1B 1⊥A 1D 1A 1B 1⊥AB A 1D 1AB A 1D 190∘A B 1B 1D 1A ∥D B 1C 1A B 1A D 1D C 1A D 1A =A =D 1B 1B 1D 1△AB 1D 1A D 1A B 160∘A D 1DC 160∘A1D平面平行，或在平面内，则称直线和平面所成的角是AP P求直线 与 平面∠AP B=∠APRt△AP D描述：例题：3.二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱 、面分别为 ， 的二面角记作二面角．有时为了方便，也可在 ， 内（棱以外的半平面部分）分别取点 ， ，将这个二面角记作二面角．如果棱记作 ，那么这个二面角记作二面角或．在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．AB αβα−AB −βαβP Q P −AB −Q l α−l −βP −l −Q α−l −βl O O αβl OA OB OA OB ∠AOB 如图，在正方体 中，，，， 分别是 ，， 和 的中点．（1）求证：；（2）求二面角 的平面角的正切值．解：（1）因为 ， 均为所在棱的中点，所以 ．而 ，所以 ．又因为 ， 均为所在棱的中点，所以 和 均为等腰直角三角形．所以 ，所以 ， ，故．而 ，所以 ．（2）在平面 中，过点 作 于点 ，连接 ．由（1）知 ，又 ，所以 ．ABCD −A 1B 1C 1D 1E F M N A 1B 1BC C 1D 1B 1C 1平面 MNF ⊥平面 ENF M −EF −N N F NF ⊥平面 A 1B 1C 1D 1MN ⊂平面 A 1B 1C 1D 1NF ⊥MN M E △MN C 1△NE B 1∠MN =∠NE =C 1B 145∘∠MNE =90∘MN ⊥NE MN ⊥平面 NEF MN ⊂平面 MNF 平面 MNF ⊥平面 NEF NEF N NG ⊥EF G MG MN ⊥平面 NEF EF ⊂平面 NEF MN ⊥EFEF ⊥ MNGM−EF−N||n。
高二数学(新人教A版选修2-1)第三章知识点总结《3.1.1 空间向量及其线性运算》(学生版) Word版无答案
空间向量及其线性运算
．空间向量的概念及表示
()与平面向量一样，我们把空间中具有和的量叫做空间向量，向量的叫做向量的长度或模．
()与平面向量一样，空间向量也用表示．起点是，终点是的向量也可以记作.其模记作.
()的向量叫做零向量，记为；模为的向量叫做单位向量．
()的向量称为相等向量．与向量
的向量称为的相反向量，记为.
．空间向量的线性运算
空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样．
()加法满足平行四边形法则，加法和减法满足三角形法则，加法的交换律、结合律都成立．
()实数λ与向量的乘积λ是一个向量，λ时，λ与方向相同，λ时，λ与方向相反，λ时，λ＝，其方向是任意的，λ＝.
设λ、μ是实数，则有
①分配律：λ(＋)＝
②结合律：λ(μ)＝.。
高二数学(人教A版)选修2-1课件第三章 空间向量与立体几何
(5)面面平行 ①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题． (6)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题．
6．运用空间向量求空间角 (1)求两异面直线所成角 a· b 利用公式 cos〈a，b〉＝ ， |a|· |b| 但务必注意两异面直线所成角 θ
(3)求二面角 用向量法求二面角也有两种方法： 一种方法是利用平面角 的定义， 在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向 量， 然后求出这两个方向向量的夹角， 由此可求出二面角的大 小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角， 它与二面角的大小相等或互补．
7．运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、 点与面的距离． (1)点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度， 因此也就是 这两点对应向量的模．
二、利用空间向量求空间角 (1)求两异面直线所成的角 设 a，b 分别是异面直线 l1，l2 上的方向向量，θ 为 l1，l2 |a· b| 所成的角，则 cosθ＝|cos〈a，b〉|＝|a||b|. (2)求直线与平面所成的角 设 l 为平面 α 的斜线，a 为直线的方向向量，n 为平面 α 的法向量，θ 为 l 与 α 所成的角，则 sinθ＝|cos〈a，n〉|＝ |a· n| . |a||n|
成才之路· 数学
人教A版 ·选修2-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
空间向量与立体几何
第三章
章末归纳总结
知识梳理
1．空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、 减法的平行四边形法则， 三角形法则以及相关的运算律仍然成 立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都 是平面向量在空间中的推广， 空间向量基本定理则是向量由二 维到三维的推广．
高二数学选修2-1第三章空间向量与立体几_知识点+习题+答案
空间向量与立体几何1、空间向量的概念：()1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．()2向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．()3向量AB 的大小称为向量的模（或长度），记作AB ． ()4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量． ()5与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -． ()6方向相同且模相等的向量称为相等向量．2、空间向量的加法和减法：()1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．()2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则a b BA =-．3、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的λ倍．4、设λ，μ为实数，a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：()a b a b λλλ+=+；结合律：()()a a λμλμ=．5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．6、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量a ，()0b b ≠，//a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．7、平行于同一个平面的向量称为共面向量． 8、向量共面定理：空间一点P 位于平面C AB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使x y C AP =AB+A ；或对空间任一定点O ，有x y C OP =OA +AB +A ；或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA +OB +O ++=．9、已知两个非零向量a 和b ，在空间任取一点O ，作a O A=，b OB =，则∠A O B 称为向量a ，b 的夹角，记作,a b 〈〉．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π〈〉∈． 10、对于两个非零向量a 和b ，若,2a b π〈〉=，则向量a ，b 互相垂直，记作a b ⊥．11、已知两个非零向量a 和b ，则c o s ,a b ab 〈〉称为a ，b 的数量积，记作a b ⋅．即c o s ,a b a bab ⋅=〈〉．零向量与任何向量的数量积为0．12、a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos ,b a b 〈〉的乘积． 13、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有()1cos ,e a a e a a e ⋅=⋅=〈〉；()20a b a b ⊥⇔⋅=；()3()()a b a b a b a b a b ⎧⎪⋅=⎨-⎪⎩与同向与反向，2a a a ⋅=，a a a =⋅； ()4cos ,a b a b a b⋅〈〉=；()5a b a b ⋅≤．14、向量数乘积的运算律：()1a b b a ⋅=⋅；()2()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；()3()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．15、若i ，j ，k 是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量p ，存在有序实数组{},,x y z ，使得p xi yj zk =++，称xi ，yj ，zk 为向量p 在i ，j ，k 上的分量．16、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，使得p xa yb zc =++．17、若三个向量a ，b ，c 不共面，则所有空间向量组成的集合是{},,,p p xa yb zc x y z R =++∈．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，{},,a b c 称为空间的一个基底，a ，b ，c 称为基向量．空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．18、设1e ，2e ，3e 为有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位正交基底），以1e ，2e ，3e 的公共起点O 为原点，分别以1e ，2e ，3e 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系xyz O ．则对于空间任意一个向量p ，一定可以把它平移，使它的起点与原点O 重合，得到向量p OP =．存在有序实数组{},,x y z ，使得123p xe ye ze =++．把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐标，记作(),,p x y z =．此时，向量p 的坐标是点P 在空间直角坐标系xyz O 中的坐标(),,x y z ．19、设()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()3()111,,a x y z λλλλ=． ()4121212a b x x y y z z ⋅=++．()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=． ()6若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===． ()721a a a x =⋅=+()82cos ,a b a b a bx ⋅〈〉==+．()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =AB =20、在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置可以用向量OP 来表示．向量OP 称为点P 的位置向量．21、空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向向量，则对于直线l 上的任意一点P ，有ta AP =，这样点A 和向量a 不仅可以确定直线l 的位置，还可以具体表示出直线l 上的任意一点． 22、空间中平面α的位置可以由α内的两条相交直线来确定．设这两条相交直线相交于点O ，它们的方向向量分别为a ，b ．P 为平面α上任意一点，存在有序实数对(),x y ，使得xa yb OP =+，这样点O 与向量a ，b 就确定了平面α的位置． 23、直线l 垂直α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量． 24、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b a b ⇔⇔()a b R λλ=∈，0a b a b a b ⊥⇔⊥⇔⋅=．25、若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α⊄，则////a a αα⇔ 0a n a n ⇔⊥⇔⋅=，//a a a n a n ααλ⊥⇔⊥⇔⇔=．26、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b αβ⇔⇔a b λ=，0a b a b αβ⊥⇔⊥⇔⋅=．27、设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．28、设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．29、设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．30、点A 与点B 之间的距离可以转化为两点对应向量AB 的模AB 计算． 31、在直线l 上找一点P ，过定点A 且垂直于直线l 的向量为n ，则定点A 到直线l 的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．32、点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．空间向量与立体几何练习题1一、选择题（每小题5分，共50分）1.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点.若11B A =a ，11D A =b ，A A 1=c ，则下列向量中与M B 1相等的向量是A.－21a +21b +c B.21a +21b +c C.21a －21b +c D.－21a －21b +c2.下列等式中，使点M 与点A 、B 、C 一定共面的是A.--=23B.OC OB OA OM 513121++=C.0=+++D.0=++3.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，则⋅等于A.41B.41-C.43D.43- 4.若)2,,1(λ=a ，)1,1,2(-=b ，a 与b 的夹角为060，则λ的值为 A.17或-1 B.-17或1 C.-1 D.15.设)2,1,1(-=，)8,2,3(=，)0,1,0(=，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为 A.213 B.253 C.453D.4536.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④7.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥A.9πB.10πC.11πD.12π8.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体，下面结论错误．．的是 A.BD ∥平面CB 1D 1 B.AC 1⊥BDC.AC 1⊥平面CB 1D 1D.异面直线AD 与CB 1所成的角为60°9.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为55210.⊿ABC 的三个顶点分别是)2,1,1(-A ，)2,6,5(-B ，)1,3,1(-C ，则AC 边上的高BD 长为A.5B.41C.4D.52二、填空题（每小题5分，共20分）11.设)3,4,(x =a ，),2,3(y -=b ，且b a //，则=xy .12.已知向量)1,1,0(-=a ，)0,1,4(=b ，29=+b a λ且0λ>，则λ=________. 13.在直角坐标系xOy 中，设A （-2，3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时112=AB ，则θ的大小为 ． 14.如图，P —ABCD 是正四棱锥，1111ABCD A BC D -是正方体，其中2,AB PA ==，则1B 到平面PAD 的距离为 .三、解答题（共80分）俯视图正(主)视图 侧(左)视图15.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱PA 的长为2，且PA 与AB 、AD 的夹角都等于600，M 是PC 的中点，设c b a ===AP AD AB ,,． （1）试用c b a ,,表示出向量BM ；（2）求BM 的长．16.（本小题满分14分）如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位：cm ）.（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（3）在所给直观图中连结'BC ，证明：'BC ∥面EFG..17.（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD 中，CB CD AD BD =⊥，，点E F，正视图MPD C BA分别是AB BD ，的中点．求证： （1）直线//EF 面ACD ； （2）平面EFC ⊥面BCD ． 18.（本小题满分14分）如图，已知点P 在正方体''''D C B A ABCD -的对角线'BD 上，∠PDA=60°.（1）求DP 与'CC 所成角的大小；（2）求DP 与平面D D AA ''所成角的大小.19.（本小题满分14分）已知一四棱锥P －ABCD 的三视图如下，E 是侧棱PC 上的动点．（1）求四棱锥P －ABCD 的体积；（2）是否不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE ？证明你的结论;D 'C 'B'A'PD C BA俯视图侧视图正视图ED CBA P （3）若点E 为PC 的中点，求二面角D －AE －B 的大小．20.（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，E F ，分别是BC PC ，的中点．（1）证明：AE PD ⊥；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD所成最大角的正切值为2，求二面角E AF C --的余弦值．参考答案 一、选择题PBECDFA1.)(21111A B B ++=+==c +21(－a +b )=－21a +21b +c ，故选A.2.1),,(=++∈++=⇔z y x R z y x OC z OB y OA x OM C B A M 且四点共面、、、由于C B A --=⇔=++∴0由于都不正确、、选项.)()()(共面使所以存在y x y x ,,,1,1∴+==-=四点共面，、、、为公共点由于C B A M M ∴故选D. 3.∵的中点分别是AD AB F E ,,,BD EF BD EF 21,21//=∴=∴且, 41120cos 1121,210-=⨯⨯⨯>=<=⋅=⋅∴DC BD DC BD DC EF 故选B.4.B5.B6.D7.D8.D9.D 10.4,cos ==><=AC AB ，5==,故选A二、填空题 11.9 12.313.作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，则++=θθcos 6)180,0,0,2530-=-⋅=⋅=⋅===DB AC DB CD CD AC0022222120,1800 .21cos ),cos 600(2253)112()(2)(=∴≤≤-=∴--+++=∴⋅+⋅+⋅+++=++=θθθθ由于AC DB DB CD CD AC DB CD AC14.以11B A 为x 轴，11D A 为y 轴，A A 1为z 轴建立空间直角坐标系 设平面PAD 的法向量是(,,)m x y z =，(0,2,0),(1,1,2)AD AP ==，∴02,0=++=z y x y ，取1=z 得(2,0,1)m =-，1(2,0,2)B A =-，∴1B 到平面PAD 的距离15B A m d m⋅==三、解答题15.解：（1）∵M 是PC 的中点，∴)]([21)(21BM -+=+=c b a a c b 212121)]([21++-=-+= （2）2,1,2,1===∴===c b a PA AD AB 由于160cos 12,0,60,00=⋅⋅=⋅=⋅=⋅∴=∠=∠⊥c b c a b a PAD PAB AD AB 由于),(21c b a ++-=BM 由于23)]110(2211[41)](2[41)(412222222=+-+++=⋅+⋅-⋅-+++=++-=c b c a b a c b a c b a2626的长为，BM ∴=. 16.解：（1）如图（2）所求多面体体积V V V =-长方体正三棱锥1144622232⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭2284(cm )3=． （3）证明：在长方体ABCD A B C D ''''-中，连结AD '，则AD BC ''∥． 因为E G ，分别为AA '，A D ''中点， 所以AD EG '∥， 从而EG BC '∥．又BC '⊄平面EFG ，所以BC '∥面EFG ．17.证明：（1）∵E,F 分别是AB BD ，的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵AD ⊂面ACD ，EF ⊄面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ；（2）∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD ，∵CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，∴CF ⊥BD 又EF ∩CF=F, ∴BD ⊥面EFC ， ∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD .18.解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D xyz -． 则(100)DA =，，，(001)CC '=，，．连结BD ，B D ''．A C D E F GA 'B 'C 'D '在平面BB D D ''中，延长DP 交B D ''于H ． 设(1)(0)DH m m m =>，，，由已知60DH DA <>=，， 由cos DA DH DA DH DA DH =<>，，可得2m = 解得2m=，所以21DH ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭．（1）因为0011cos DH CC ++⨯'<>==， 所以45DH CC '<>=，，即DP 与CC '所成的角为45．（2）平面AA D D ''的一个法向量是(010)DC =，，．因为01101cos 2DH DC +⨯<>==，， 所以60DH DC <>=，，可得DP 与平面AA D D ''所成的角为30．19.解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P －ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC=2.∴1233P ABCD ABCD V S PC -=⋅=(2)不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE证明如下：连结AC ，∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC∵PC ⊥底面ABCD 且BD ⊂平面ABCD ∴BD ⊥PC又ACPC C =∴BD ⊥平面PAC∵不论点E 在何位置，都有AE ⊂平面PAC ∴不论点E 在何位置，都有BD ⊥AE(3)解法1：在平面DAE 内过点D 作DG ⊥AE 于G ，连结BG∵CD=CB,EC=EC ，∴Rt ECD ∆≌Rt ECB ∆，∴ED=EB ∵AD=AB ，∴△EDA ≌△EBA ，∴BG ⊥EA ∴DGB ∠为二面角D －EA －B 的平面角 ∵BC ⊥DE ，AD ∥BC ，∴AD ⊥DE在R ｔ△ADE 中AD DE DG AE ⋅==BG在△DGB 中，由余弦定理得212cos 222-=⋅-+=∠BG DG BD BG DG DGB∴DGB ∠=23π，∴二面角D －AE －B 的大小为23π. 解法2：以点C 为坐标原点，CD 所在的直线为ｘ轴建立空间直角坐标系如图示：则(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)D A B E ,从而(1,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1)DE DA BA BE =-===- 设平面ADE 和平面ABE 的法向量分别为(,,),(',',')m a b c n a b c ==由法向量的性质可得：0,0a c b -+==，'0,''0a b c =-+= 令1,'1c c ==-，则1,'1a b ==-，∴(1,0,1),(0,1,1)m n ==-- 设二面角D －AE －B 的平面角为θ，则1cos 2||||m n m n θ⋅==-⋅∴23πθ=，∴二面角D －AE －B 的大小为23π. 20.（1）证明：由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=，可得ABC △为正三角形． 因为E 为BC 的中点，所以AE BC ⊥．又BC AD ∥，因此AE AD ⊥．因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥． 而PA ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD 且PAAD A =，所以AE ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ， 所以AE PD ⊥．（2）解：设2AB =，H 为PD 上任意一点，连接AH EH ，． 由（1）知AE ⊥平面PAD ，则EHA ∠为EH 与平面PAD 所成的角．在Rt EAH △中，AE = 所以当AH 最短时，EHA ∠最大， 即当AH PD ⊥时，EHA ∠最大．此时tan AE EHA AH ∠===因此AH =2AD =，所以45ADH ∠=，所以2PA =．解法一：因为PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面ABCD ．过E 作EO AC ⊥于O ，则EO ⊥平面PAC ，过O 作OS AF ⊥于S ，连接ES ，则ESO ∠为二面角E AF C --的平面角，在Rt AOE△中，3sin302EO AE==3cos302AO AE==，又F是PC 的中点，在Rt ASO△中，3sin454 SO AO==，又SE==Rt ESO△中，cos SOESOSE∠===即所求二面角的余弦值为5．解法二：由（1）知AE AD AP，，两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又EF，分别为BC PC，的中点，所以(000)10)(020)A B C D-，，，，，，，，，，1(002)0)12P E F⎫⎪⎪⎝⎭，，，，，，，，所以31(300)12AE AF⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭，，，，，．设平面AEF的一法向量为111()x y z=，，m，则AEAF⎧=⎪⎨=⎪⎩，，mm因此1111122x y z=++=⎪⎩，．取11z=-，则(021)=-，，m，因为BD AC⊥，BD PA⊥，PAAC A=，所以BD⊥平面AFC，故BD为平面AFC的一法向量．又(0)BD=，，所以cos55BDBDBD<>===，mmm．因为二面角E AF C--为锐角，所以所求二面角的余弦值为5．空间向量与立体几何2B一、选择题（每小题5分，共60分） 1．下列各组向量中不平行的是（ ）A ．)4,4,2(),2,2,1(--=-=b aB ．)0,0,3(),0,0,1(-==d cC ．)0,0,0(),0,3,2(==f eD ．)40,24,16(),5,3,2(=-=h g 2．已知点(3,1,4)A --，则点A 关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．)4,1,3(-- B ．)4,1,3(--- C ．)4,1,3( D ．)4,1,3(--3．若向量)2,1,2(),2,,1(-==b aλ，且a 与b 的夹角余弦为98，则λ等于（ ）A ．2B ．2-C ．2-或552D ．2或552-4．若A )1,2,1(-，B )3,2,4(，C )4,1,6(-，则△ABC 的形状是（ ）A ．不等边锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形5．若A )12,5,(--x x x ，B )2,2,1(x x -+，当B A取最小值时，x 的值等于（ ） A ．19 B ．78-C ．78D ．14196．空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos <,OA BC >的值是（ ）A ．21B ．22 C ．－21 D ．07．设n m 、表示直线，βα、表示平面，则下列命题中不正确．．．的是（ ）． A ．βα⊥⊥m ,m ，则α//β B ．m//n ,=βαα ，则m//n C ．α⊥m ,β//m , 则βα⊥ D ．n //m ,α⊥m , 则 α⊥n8．在棱长均为2的正四面体BCD A -中，若以三角形ABC 为视角正面的三视图中，其左视图的面积是（ ）． A ．3 B ．362 C ．2 D ．22 9、如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD 在原正方体中的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交且垂直ABC DDCABC ． 异面D ．相交成60°10、点P 在平面ABC 外，若PA=PB=PC ，则点P 在平面ABC 上的射影 是△ABC 的 （ ）A ．外心 B.重心 C.内心 D.垂心11、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为１的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）（A）2（B）12 （C）22+ （D）112、已知PD ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中相互垂直的平面有（ ） （A ）2对 （B ）3对 （C ）4对 （D ）5对二、填空题（每小题4分，共24分）13．若向量)2,3,6(),4,2,4(-=-=b a，则(23)(2)a b a b -+=__________________。
人教版高中数学选修2-1《空间向量与立体几何小结与复习》
空间向量运 算的几何意 义（如平行 四边形法则）
空间向量的 定义及其运 算
用空间向量表示 点、直线、平面 等元素 建立空间图 形与空间向 量的联系
利用空间 向量的运 算解决立 体几何中 的问题
空间向量运 算的坐标表 示（加、减、 数乘、数量 积）
归纳整理 （一）基本概念 1. 空间向量：空间中具有大小和方向的量 叫做向量．
长沙市第一中学高二数学备课组
2. 空间向量也用有向线段表示，并且同向且 等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
3. 向量的模：向量的大小叫向量的长度或 模.即表示向量的有向线段的长度. 4. 单位向量：模是 1 的向量.
5. 零向量：模是 0 的向量.零向量的方向 是任意的.有向线段的起点与终点重合.
解答
知识点二
用坐标法解决立体几何问题
步骤如下：
(1)建立适当的空间直角坐标系；
(2)写出相关点的坐标及向量的坐标；
(3)进行相关坐标的运算；
(4)写出几何意义下的结论.
关键点如下： (1) 选择恰当的坐标系 . 坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点 的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程. (2) 点的坐标、向量的坐标的确定 . 将几何问题转化为向量的问题，必须 确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题. (3) 几何问题与向量问题的转化 . 平行、垂直、夹角问题都可以通过向量 计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键.
归纳整理
（一）基本概念
长沙市第一中学高二数学备课组
7. 相反向量：模相等且方向相反的向量叫 做相反向量．
6. 相等向量：模相等且方向相同的向量叫 做相等向量．
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第三章 空间向量与立体几何 3.3 异面直线的距离（补充）
一、学习任务 介绍异面直线距离的概念，会计算简单的异面直线距离的问题，加深对空间位置关系的理解． 二、知识清单
异面直线的距离
三、知识讲解
1.异面直线的距离 描述： 设直线 a ，b 是异面直线，则存在直线 l 与直线 a ，b 均相交且垂直，此时直线 l 称为异面直 线 a ，b 的公垂线，直线 l 夹在直线a ，b 之间的部分称为异面直线a ，b 的公垂线段．异面直线 a, b 的公垂线段的长度称为异面直线 a ，b 的距离． 例题： 如图，长方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 中， AB = BC = 1，AA 1 = 2 ，求直线 A 1 C1 与 B 1 B 之间的距离．
B 1 D 所在的直线上．
3. 正方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 的棱长为 a ，那么 （1）直线 BA 1 与 CC1 所成角的大小为 （2）直线 BA 1 与 B 1 C 所成角的大小为 （3）异面直线 BC 与 AA 1 的距离为 （4）异面直线 BA 1 与 CC1 的距离为
答案：
． ． ． ．
45∘ ；60∘ ；a ；a
．
4. 已知正方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 的棱长是 1 ，则直线 DA 1 与 AC 间的距离为
答案：
√3 3
解析：
3
以 A 为原点， AB 为 x 轴正方向建立空间直角坐标系， M ， N 分别是 A 1 D ， AC 上的 点，且 MN 是 DA 1 与 AC 间的垂线段． 可设 M (0, m, 1 − m) ， N (t, t, 0) ，利用 MN ⊥ A 1 D 且 MN ⊥ AC 可求得 M ， N 坐标， 从而求出 DA 1 与 AC 间的距离．
B1 E =
√2 ． 2
因此直线 A 1 C1 与 B 1 B 之间的距离为
√2 ． 2
2
四、课后作业
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1. ABCD 是边长为 1 的正方形， E 、 F 分别是 BC 、 CD 的中点，沿 AE 、 EF 、 AF 折起， 使 B 、 C 、 D 重合于 P ，则直线 AP 与 EF 间的距离为 ( A．
−→ −
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)
பைடு நூலகம்D．
答案： D
√3 2
B．
√3 4
C．
√2 2
√2 4
2. 与正方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 的三条棱 AB 、 CC1 、 A 1 D 1 所在直线的距离相等的点 ( A．有且只有 1 个
答案： D 解析： 满足题意的点有无数个，且都在正方体的体对角线
)
C．有且只有 3 个
B．有且只有 2 个 D．有无数个
解：连接 B 1 D 1 交 A 1 C1 于 E 点，因为长方体中 AB = BC，所以长方体上下底面均为正 方形，故 A 1 C1 ⊥ B 1 D 1 ． 又长方体可知 BB 1 ⊥ 面 A 1 B 1 C1 D 1 ，B 1 E ⊂ 面 A 1 B 1 C1 D 1 ，所以 BB 1 ⊥ B 1 E． 综上可知，B 1 E 为异面直线 A 1 C1 和 BB 1 的公垂线，结合 AB = BC = 1，所以