两类3正则图的邻点可区别E全染色
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冠图Cm·Fn、Cm·Sn与Cm·Wn的邻点可区别I-全染色
对一个 图Ｇ进行邻点可 区别 Ｉ全染色所用 的最少颜色 的数 目称 为 图Ｇ 的邻点 可区别 Ｉ金 色数． 一 一 应用构造具 体染 色 的方法给 出冠 图Ｇ，・ 、 ・ 及 Ｃ，・ ， ， ． 中图分 类号 ： ５ ． Ｏ１ ７５ 文献标识码 ：Ａ 的邻点可区别 Ｉ全色数． ～
染色（ 简记为 Ａ Ｄ Ｔ染色）称 Ｖ Ｉ ．
：Ｇ ＝ｍｉ｛ ） ｎｋＧ有志邻点可区别 Ｉ全染色） （ ｌ 一 一
为 Ｇ的邻点可区别 Ｉ全色数． 一 定义 ３ 设 ｍ 阶圈 Ｃ ［ 。 和 扎 ＋１阶扇 ， 则 Ｃ 与 Ｆ 构成的冠图 Ｃ 定义为 棚 ・
２ ＿２ 一 ； １． ’ ， ． 厂 ） ３ 兰ｍ （ 一＋ ｍ。。； ｛ ￣ ｏ 神 ｌｄ （２ ｌｏ； （ ｍ２ ｄ
关键词 ： － Ｉ 全染色 ；邻点可区别 卜 全染 色；邻 ｉｈ ｂｅＩｔｔｌ ｏｏ ｉｇ ｆ ｏ ｏ ａｇａ ｈ ｄ ｅ ｔ ｒｅ－ ｉ ｎ ｕｓ ａ ｌ －ｏａ ｌｒ ｓｏ ｒｎ －ｒｐ ｓ ａ ｖ ｔ ｃ ｎ ｃ
Ｃ ｍ・ ， Ⅲ・ ｎ ｍ・ Ｆ＾ Ｃ Ｓ ａ ｄＣ
｛ ｌ ＝１２ …， ｊ ，， ， Ｕ ｉ ， ， ｍ； ：ｌ２ …，） ｚ
Ｅ（ ・ ） ｛ｌ‘ ｝Ｕ ＝ Ｕ０州 ｚ０ 在上述 染 色下 ， 有
（ｍ ｉ，Ｉ＝１ ２…， Ｕ Ｕ １ ， ， ｍ一１ Ｕ ＋ｏ ｉ ）
｛￣ ＃ ＝１ ２…， ，， ） ｕｕ Ｉ ｏ ｉ ， ， ；＝１２ …， 定义 ５。 对于 ｍ阶圈Ｃ， ＋ｌ ［ ］ ， ． 和ｎ 阶轮 ， 则
ｃ＝ ｝ ｍ。。； ｛ ３ 三ｍ 。 ，＝ ｏ ＋ ｌｄ ２ （ ２ ；
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￣ 三
（ ）＝ ‰
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为 Ｇ的邻点可区别 Ｉ全色数． 一 定义 ３ 设 ｍ 阶圈 Ｃ ［ 。 和 扎 ＋１阶扇 ， 则 Ｃ 与 Ｆ 构成的冠图 Ｃ 定义为 棚 ・
２ ＿２ 一 ； １． ’ ， ． 厂 ） ３ 兰ｍ （ 一＋ ｍ。。； ｛ ￣ ｏ 神 ｌｄ （２ ｌｏ； （ ｍ２ ｄ
关键词 ： － Ｉ 全染色 ；邻点可区别 卜 全染 色；邻 ｉｈ ｂｅＩｔｔｌ ｏｏ ｉｇ ｆ ｏ ｏ ａｇａ ｈ ｄ ｅ ｔ ｒｅ－ ｉ ｎ ｕｓ ａ ｌ －ｏａ ｌｒ ｓｏ ｒｎ －ｒｐ ｓ ａ ｖ ｔ ｃ ｎ ｃ
Ｃ ｍ・ ， Ⅲ・ ｎ ｍ・ Ｆ＾ Ｃ Ｓ ａ ｄＣ
｛ ｌ ＝１２ …， ｊ ，， ， Ｕ ｉ ， ， ｍ； ：ｌ２ …，） ｚ
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（ｍ ｉ，Ｉ＝１ ２…， Ｕ Ｕ １ ， ， ｍ一１ Ｕ ＋ｏ ｉ ）
｛￣ ＃ ＝１ ２…， ，， ） ｕｕ Ｉ ｏ ｉ ， ， ；＝１２ …， 定义 ５。 对于 ｍ阶圈Ｃ， ＋ｌ ［ ］ ， ． 和ｎ 阶轮 ， 则
ｃ＝ ｝ ｍ。。； ｛ ３ 三ｍ 。 ，＝ ｏ ＋ ｌｄ ２ （ ２ ；
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２
（
关于图的邻点可区别全染色的一些结果
点u, v ,有f (u) = f (v ), 则 称f 是G的 一 个k -正 常 点 染 色,简 记 作k -P V C ,且 称χ(G) = min{k | G有k -正常点染色}为G的(点)色数. 定义 1.2
[1]
设G是 图, f 是 从 E (G) 到 {1, 2, · · · , k } 的 映 射,且 对 ∀ e1 ,e2 ∈ E (G),一
2
§ 1 预备知识
在这一节中我们给出一些与本文相关的基本概念,原理和引理.本文中所讨论的 染色若无特别声明均指的是正常染色,所考虑的图均为连通、有限、无向的简单图. ∆(G)和d(v )分别表示图G的最大度和图G中的顶点v 的度. 定义 1.1
[1]
设G是 图,f 是 从V (G)到{1, 2, · · · , k }的 映 射,若 对 任 意 相 邻 的 顶
前言 偶阶完全图的 k 重 M ycielski 图的邻点可区别全染色, 并得到了其色数的确切值. 在第三部分中, 给出了两个简单图G、H 的直积图G × H 的邻点可区别全色数与G的 邻点可区别全色数以及 H 的邻点可区别正常边色数之间的关系,还讨论了一些特殊图的 直积(如Sn × Pm 、Wn × Pm 、Fn × Pm 、Sn × Sm 、Wn × Wm 、Fn × Fm 、Sn × Cm 、Wn × Cm 、Fn × Cm 、Kn × Km (其中m、n均为偶数)、Kt × Kt (t为奇数))的邻点可区别全染 色,得到了相应色数的具体值. 冠图是一类具有优美对称性的图.本文在第四部分,通过构造具体染色方案的方法,得 到了冠图Wm ⊗ Wn (m, n ≥ 5)、Fm ⊗ Fn (m, n ≥ 5)的邻点可区别全色数.
iii
独创性声明
关于几类图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色
关于几类图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色关于几类图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色是一种对图中顶点进行染色的方法，目的是使得相邻的顶点颜色不相同。
本文将介绍几类常见图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色方法。
1. 树图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色树图是一种无环连通图，其中任意两个顶点之间只有一条简单路径。
对于树图，其直径等于它的最长路径的长度。
树图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色方法比较简单，只需要从树的根节点开始，依次往下染色，保证每个顶点的颜色与其父节点不同即可。
这样可以确保相邻的顶点颜色不相同。
2. 平面图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色平面图是指可以绘制在平面上，使得任意两条边不相交的图。
平面图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色方法可以采用四色定理进行染色。
根据四色定理，任何平面图最多需要四种颜色即可进行染色，保证相邻顶点的颜色不相同。
这是一个非常重要的数学定理，对于解决平面图的染色问题提供了基本思路和方法。
3. 完全图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色完全图是指任意两个不同顶点之间都有一条边的图。
对于完全图的Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色方法，需要考虑图中顶点数量的奇偶性。
当顶点数量为奇数时，可以选择其中一个顶点作为起始点，将其染成一种颜色，然后从该起始点出发，依次将相邻的顶点染成不同的颜色。
当顶点数量为偶数时，染色方法类似，只是需要选择两个不同的起始点，并依次染色。
总结起来，Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色是一种保证相邻顶点颜色不相同的染色方法。
在树图中，只需要从根节点开始往下染色；在平面图中，可以利用四色定理进行染色；在完全图中，需要考虑顶点数量的奇偶性并选择合适的起始点。
通过这些方法，可以有效地实现Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色的目标综上所述，Smarandachely邻点可区别Ⅰ-全染色是一种保证相邻顶点颜色不相同的染色方法，适用于树图、平面图和完全图。
两类图的相邻顶点可区分的全染色
Ａｂｓｒ ｃ ： ｅ ｔｔｌ ｃ ｌｒｎ ｓ ｅ ｅ ａｉａ ｉｎ ｆ ｔ ｏ ｎ ｄ ｅ ｃ ｌｒｎ ａ ｄ ａｌ ｏ ｅ ｅｅ ｎｓ ｔ ａ ｔ Ｔｈ ｏａ ｏｏ ｉ ｇ ｉ ａ ｇ ｎ ｒｌｚ ｔ ｏ ｈｅ ｄ ｔ ａ ｄ ｅ ｇ ｏｏ ｉ ｇ， ｏ ｎ ｌ ｔ ｌｍｅ ｔ ｆ ｈ
ｔｅ ａ ｓＳ Ｔａｄｐｒ ｏ ｔｅ ｕ ｓｔｔ ｒ ｈ ｅ ｉ ｓａ ｉ ｎｉ ｔｉ ｐｐｒ ｈｉ Ｈ ｊ ＭＩ ｎ ａ ｂｔ ｅ ｇａ ｓｏ ｖｒｃ ｌ ｇ ｅ ｓ ａｅ． ｒ ６ Ｉ ｔ ｈ ｓ ｉ ｄ ｐ ｆ ｔ ｅ ｅ ｖ ｎｈ ｆ ｕ Ｋｅ ｏｄ ： ｄａｅｔｖｒ ｘｄ ｔ ｇ ｉ ｉｇ ｔａ ｏｏ ｎ ； ｄ ｃｎ ｅ ｅ—ｉｉｇｉ ｉｇ ｔ ａ ｃｌ ｉ ｙ ｗ ｒｓ ａｊ ｎ ｅ ｅ－ｉ ｉ ｓ ｎ ｏ ｌｃｌ ｉｇ ａｊ ｅｔｖｒ ｘｄ ｔ ｕ ｓ ｎ ｏ ｌ ｏｏ ｎ ｃ ｔ ｓｎ ｈ ｕ ｔ ｒ ａ ｔ ｓｎ ｈ ｔ ｒ ｇ
Ｒ Ｈ讨论 了点可区分的正常边染色后 ， ． 张忠辅等ｎ提出了邻点可区分 的全染色的概念 ， 许多人对此进行 了研
究 ． 文考 虑 的是 有 限无 向简单 图 ． 本 我们 用 Ｖ Ｇ） Ｅ（ 分别 表 示 图的点 集 和边集 ， 他未 说 明 的术语 和 （ 和 Ｇ） 其
记号参见 ［］ ３． 定义 １１ 设 Ｇ Ｖ Ｅ 是阶不小于 ２ ．… （，） 的连通 图， 是一个正整数 ， 映射 厂 Ｖ Ｇ） Ｇ） ｛ ， ， ， ｋ 令 ： （ Ｕ Ｅ（ 一 １２ …
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第 ２卷 ０
第 ５ 期
山 东 科 学
ｓ Ｎ ＮＧ Ｓ Ｉ ＮＣ ＨＡ Ｄ０ Ｃ Ｅ Ｅ
Ｖ １２ Ｎ ５ ｏ ．０ ｏ． Ｏ ｔ２ Ｏ ｃ ．０ ｒ ７
三类K重Mycielski图的邻点强可区别E-全染色
三类 Ｋ重 Ｍｙｃｉｅｌｓｋｉ图的邻点强可区别 Ｅ－全染色
李雨虹１，强会英１，王洪申２
（１．兰州交通大学 数理学院，甘肃 兰州 ７３００７０，２．兰州理工大学 机电工程学院，甘肃 兰州 ７３００５０）
［摘要］对简单图 Ｇ，如果图 Ｇ存在一个染色法 ｆ，使得任意两个相邻的顶点染不同的颜色，任意一条边与其关联的 点染不同的颜色，任意两个相邻点的色集合不同，其中每个点的色集合包含该点及其关联边和相邻点的颜色，则称该染 色法 ｆ为 Ｇ的邻点强可区别 Ｅ－全染色，且称所用最小的颜色数为图 Ｇ的邻点强可区别 Ｅ－全色数．本文应用反证法和 构造函数染色法研究了图 Ｍｋ（Ｐｎ），Ｍｋ（Ｓｎ），Ｍｋ（Ｃｎ）的邻点强可区别 Ｅ－全染色，并得出了其邻点强可区别 Ｅ－全色 数．
情形 ２：当 ｜Ｃ（ｗ）｜＝４时，必存在 ｊ∈ ｛１，２，
（２）对任意的 ｕｖ，ｕｗ∈ Ｅ（Ｇ），ｕ≠ ｖ，ｆ（ｕｖ）≠ ｆ（ｕｗ）；
（３）对 任 意 的 ｕｖ∈ Ｅ（Ｇ），ｕ≠ ｖ，Ｃ（ｕ）≠ Ｃ（ｖ）．
则称 ｆ为图 Ｇ的 ｋ－邻点强可区别全染色，简 记为 ｋ－ＡＶＳＤＴＣ．又称
χａｓｔ（Ｇ） ＝ｍｉｎ｛ｋ｜Ｇ有 ｋ－ＡＶＳＤＴＣ｝ 为 Ｇ的邻点强可区别全色数． 定义 ２［５］ 设图 Ｇ是阶数至少为 ２的连通图， 映射 ｆ：Ｖ（Ｇ）∪ Ｅ（Ｇ）→ ｛１，２，…，ｋ｝，其中 ｋ为自 然数，Ｃ（ｕ）＝｛ｆ（ｕ）｝∪ ｛ｆ（ｖ）｝∪ ｛ｆ（ｕｖ）｜ｕｖ∈ Ｅ（Ｇ），ｖ∈ Ｖ（Ｇ）｝．如果 ｆ满足： （１）对 任 意 的 ｕｖ∈ Ｅ（Ｇ），ｕ≠ ｖ，ｆ（ｕ）≠ ｆ（ｖ），ｆ（ｕ）≠ ｆ（ｕｖ）；
第 ２期 李雨虹，强会英，王洪申：三类 Ｋ重 Ｍｙｃｉｅｌｓｋｉ图的邻点强可区别 Ｅ－全染色
９
（２）对 任 意 的 ｕｖ∈ Ｅ（Ｇ），ｕ≠ ｖ，Ｃ（ｕ）≠
李雨虹１，强会英１，王洪申２
（１．兰州交通大学 数理学院，甘肃 兰州 ７３００７０，２．兰州理工大学 机电工程学院，甘肃 兰州 ７３００５０）
［摘要］对简单图 Ｇ，如果图 Ｇ存在一个染色法 ｆ，使得任意两个相邻的顶点染不同的颜色，任意一条边与其关联的 点染不同的颜色，任意两个相邻点的色集合不同，其中每个点的色集合包含该点及其关联边和相邻点的颜色，则称该染 色法 ｆ为 Ｇ的邻点强可区别 Ｅ－全染色，且称所用最小的颜色数为图 Ｇ的邻点强可区别 Ｅ－全色数．本文应用反证法和 构造函数染色法研究了图 Ｍｋ（Ｐｎ），Ｍｋ（Ｓｎ），Ｍｋ（Ｃｎ）的邻点强可区别 Ｅ－全染色，并得出了其邻点强可区别 Ｅ－全色 数．
情形 ２：当 ｜Ｃ（ｗ）｜＝４时，必存在 ｊ∈ ｛１，２，
（２）对任意的 ｕｖ，ｕｗ∈ Ｅ（Ｇ），ｕ≠ ｖ，ｆ（ｕｖ）≠ ｆ（ｕｗ）；
（３）对 任 意 的 ｕｖ∈ Ｅ（Ｇ），ｕ≠ ｖ，Ｃ（ｕ）≠ Ｃ（ｖ）．
则称 ｆ为图 Ｇ的 ｋ－邻点强可区别全染色，简 记为 ｋ－ＡＶＳＤＴＣ．又称
χａｓｔ（Ｇ） ＝ｍｉｎ｛ｋ｜Ｇ有 ｋ－ＡＶＳＤＴＣ｝ 为 Ｇ的邻点强可区别全色数． 定义 ２［５］ 设图 Ｇ是阶数至少为 ２的连通图， 映射 ｆ：Ｖ（Ｇ）∪ Ｅ（Ｇ）→ ｛１，２，…，ｋ｝，其中 ｋ为自 然数，Ｃ（ｕ）＝｛ｆ（ｕ）｝∪ ｛ｆ（ｖ）｝∪ ｛ｆ（ｕｖ）｜ｕｖ∈ Ｅ（Ｇ），ｖ∈ Ｖ（Ｇ）｝．如果 ｆ满足： （１）对 任 意 的 ｕｖ∈ Ｅ（Ｇ），ｕ≠ ｖ，ｆ（ｕ）≠ ｆ（ｖ），ｆ（ｕ）≠ ｆ（ｕｖ）；
第 ２期 李雨虹，强会英，王洪申：三类 Ｋ重 Ｍｙｃｉｅｌｓｋｉ图的邻点强可区别 Ｅ－全染色
９
（２）对 任 意 的 ｕｖ∈ Ｅ（Ｇ），ｕ≠ ｖ，Ｃ（ｕ）≠
图的全染色以及邻点可区别全染色的开题报告
图的全染色以及邻点可区别全染色的开题报告开题报告：图的全染色以及邻点可区别全染色一、研究背景及意义图的染色问题是图论中经典的问题之一，它是指对给定的图G的所有顶点进行染色，且相邻顶点染色不相同的问题。
最基础的染色问题是着色问题，即是否存在一种着色方案使得每个节点的颜色都不同。
全染色问题是指对于一个给定的图，每个节点必须被染色，即不能有节点未被染色的情况。
全染色问题与一些实际问题有关，例如约会问题、课程调度问题等。
因此，研究全染色问题对规划和管理等领域具有重要的实际意义。
邻点可区别全染色问题是全染色问题的一种扩展，它是指相邻顶点采用颜色方案不同的全染色方案。
它的优点在于它会给予我们更多的色彩选择机会，因此更符合实际需求。
邻点可区别全染色问题在优化领域被广泛应用，例如路线优化问题、资源分配问题等。
二、研究目标及内容本研究旨在探究邻点可区别全染色问题，研究如何利用图论算法有效解决这个问题，并尝试发现问题的一般性质和特征。
具体来说，本研究的内容包括以下几个方面：1.探究邻点可区别全染色的可行性和可解性。
2.研究邻点可区别全染色的最小化问题。
3.分析邻点可区别全染色的性质和特征。
4.开发图论算法，以实现高效解决邻点可区别全染色问题。
三、研究方法本研究采用以下方法解决邻点可区别全染色问题：1.图论分析方法：研究邻点可区别全染色问题的最优解和局部最优解的构成，分析其具有的一般性质和特征。
2.算法设计方法：设计图论算法，以有效地解决邻点可区别全染色问题，并验证算法的正确性和复杂度。
3.实验方法：通过计算机仿真，对比算法的性能和实际应用效果，进一步验证算法的优越性和可行性。
四、预期结果本研究预期通过图论算法有效解决邻点可区别全染色问题，并探究该问题的一般性质和特征。
在这个过程中，我们预期发现该问题的某些特征及其与其他优化问题的类比，为类似问题提供解决方案。
同时，我们还期望能够为如路线优化、资源分配等实际问题提供解决方案，并在实践中得到推广和应用。
图的邻点可区别无圈边染色
（ Ｇ）一 ｍｉ ｛ Ｇ 有 ｋ— Ａ ｎ ｋＩ ＡＥＣ） ，
称 为该 图的邻 点 可 区别 无 圈边染 色数 ， 记 为 简 显 然对 于任 意无 孤立 边 的图 Ｇ，
有 ≥△ 如果 图 Ｇ有 最 大度点 相连 ， 么有 ． 那
（ ． Ｇ） ≥Ａ，可 以得 到 ， 任意 简单 连通 图 Ｇ且 Ｉ Ｇ） ≥３ 对 Ｖ（ Ｉ
≥△＋１ ．
（ 存在 ． Ｇ） 由
由文献Ｅ ３ ｓ 中结 果 ， 容易 可 以得到 ， 任意 圈 的 邻 点 可 区别 边 染 色 数就 是 该 图 的邻 点 可 区 别无 圈 很 对
边染 色数 ， 有
ｆ２ ， ７ （ ）一 Ｃ （ ）一 ３， Ｃ ７ ２— ３， ５； ４， ７ 兰 ｏ（ ２ ｍｏｄ ３ ）；
（ ” ） ＥＣ具 有 唯 一性 ， 以可 以得 到 Ｋ （ ｎ １ 一ＡＡＥ ２ ＋１ 一Ｐ 所 ＋ 的 ２ ＋ ） Ｃ也 具 有 唯 一性 （ ： 于 任 意 两 个 即 对
Ｋ２ ｌ ２ ＋１ － Ａ 的（ ” ） ＡＥＣｃ ，ｔ存 在一个 颜色 映射 ｊ渍 ： ＋ Ｃ， ｔ ５ ｃ一 ，如果 Ｃ ∈ Ｃ，２ ｔ ｊ ｆ） ２ ｌ Ｃ ∈Ｃ且 ５ １ ｚｃ，那么 Ｃ ，２ ｔ （ ｌｆ
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第３ ４卷
第１ 期
阜
师 范
Ｖ ｏ１ ４ Ｎ ｏ ．３ ．１
２０ ０ ８年 １月
ｏ Ｑ ｕ ｕ ｆ ｆ
Ｊ ｎ ２ ０ ａ． ０８
图的邻点可区别无 圈边染 色
卞 量
（ 州 交 通 大 学 应 用 数 学 研 究 所 ，７０ ７ 兰 ３ ００，甘肃 省 兰州 市 ）
意最大度 ≥１ ｏ 且没有孤立边的图， 。 其邻点可区别边染色数至多为 △ ０． ＋３ ０ 相关符号及定义参见文献［ ， １ ３５ ． —］
称 为该 图的邻 点 可 区别 无 圈边染 色数 ， 记 为 简 显 然对 于任 意无 孤立 边 的图 Ｇ，
有 ≥△ 如果 图 Ｇ有 最 大度点 相连 ， 么有 ． 那
（ ． Ｇ） ≥Ａ，可 以得 到 ， 任意 简单 连通 图 Ｇ且 Ｉ Ｇ） ≥３ 对 Ｖ（ Ｉ
≥△＋１ ．
（ 存在 ． Ｇ） 由
由文献Ｅ ３ ｓ 中结 果 ， 容易 可 以得到 ， 任意 圈 的 邻 点 可 区别 边 染 色 数就 是 该 图 的邻 点 可 区 别无 圈 很 对
边染 色数 ， 有
ｆ２ ， ７ （ ）一 Ｃ （ ）一 ３， Ｃ ７ ２— ３， ５； ４， ７ 兰 ｏ（ ２ ｍｏｄ ３ ）；
（ ” ） ＥＣ具 有 唯 一性 ， 以可 以得 到 Ｋ （ ｎ １ 一ＡＡＥ ２ ＋１ 一Ｐ 所 ＋ 的 ２ ＋ ） Ｃ也 具 有 唯 一性 （ ： 于 任 意 两 个 即 对
Ｋ２ ｌ ２ ＋１ － Ａ 的（ ” ） ＡＥＣｃ ，ｔ存 在一个 颜色 映射 ｊ渍 ： ＋ Ｃ， ｔ ５ ｃ一 ，如果 Ｃ ∈ Ｃ，２ ｔ ｊ ｆ） ２ ｌ Ｃ ∈Ｃ且 ５ １ ｚｃ，那么 Ｃ ，２ ｔ （ ｌｆ
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第３ ４卷
第１ 期
阜
师 范
Ｖ ｏ１ ４ Ｎ ｏ ．３ ．１
２０ ０ ８年 １月
ｏ Ｑ ｕ ｕ ｆ ｆ
Ｊ ｎ ２ ０ ａ． ０８
图的邻点可区别无 圈边染 色
卞 量
（ 州 交 通 大 学 应 用 数 学 研 究 所 ，７０ ７ 兰 ３ ００，甘肃 省 兰州 市 ）
意最大度 ≥１ ｏ 且没有孤立边的图， 。 其邻点可区别边染色数至多为 △ ０． ＋３ ０ 相关符号及定义参见文献［ ， １ ３５ ． —］
两类完全4-部图的邻点可区别正常边染色
强边 染色 ． 在文 ［ ］ ５ 中给 出 了部分 完 全 ４ 部 图 的邻 一
｛ ｌ ＝１２ … ， ｍ ： ｛ ！ ＝１２ ３４ 若 ，， ｍ ｝， 。 ｉ ，， ，．
中的每个顶 点都 与 中 的顶点 相邻 ， 中 ｉ ， 其 ≠
ｉ ， １２， ， 则称 Ｇ为完全 ４部 图． ： ， ３ ４， ．
为 Ｇ的边色数 ． 定 义 ２ 若 对 阶至 少 是 ３的连 通 图 Ｇ ， ） （ Ｅ
当 Ｇ有 两 个 相 邻 的 最 大 度 顶 点 时 ，则 （ ）≥ Ｇ
△（ Ｇ）＋１．
文 中用 △表 示 图的最 大度 ， Ｃ ｕ 用 （ ）表示 顶 点 “的色集 合 Ｃ ）的补 集 ． 个 图 Ｇ有 邻 点 可 区别 （ 一
１２， ， ）； ， … ｒ ｌ ，
证 明 由引理 １及 引理 ４ 仅需 证 ， ，有 ２ ， ｎ
＋ Ｐ — ＡＶ ＤＰＥＣ ．
＋ （ ：１ ２ … ， ； ， ， Ｐ Ｊ＝ ） ２ ｎ＋ｉ 一１， ｉ
＝
设 Ｓ Ｋ ， ）＝ ｛ ， ， ， ＋ （ｎ １ ２ … ２ ｐ一１ ０ 构 造 ， ｝，
文章编号 ：０ ９— ２９ ２ １ ）５— ０ ６— ３ １０ ２ ６ （０ ２ ０ ０ ５ ０
两 类 完全 ４部 图的邻 点 可 区别 正 常边 染 色 一
赵新梅 ， 贾爱 霞
（ 兰州工业学 院 基础学科部 ， 甘肃 兰州 ７０５ ） ３０ ０
摘要 ： 主要 讨论 了两类 完全 ４部 图的邻点 可 区别正 常边 染 色． 体 验证 了邻 点 可 区别 正 常边 染 色 一 具
点可 区别 正常边 色数 ． 文继续 讨论 并验 证 了该 猜 本
想对 两类 完全 ４ 部 图和是 成立 的． 一
｛ ｌ ＝１２ … ， ｍ ： ｛ ！ ＝１２ ３４ 若 ，， ｍ ｝， 。 ｉ ，， ，．
中的每个顶 点都 与 中 的顶点 相邻 ， 中 ｉ ， 其 ≠
ｉ ， １２， ， 则称 Ｇ为完全 ４部 图． ： ， ３ ４， ．
为 Ｇ的边色数 ． 定 义 ２ 若 对 阶至 少 是 ３的连 通 图 Ｇ ， ） （ Ｅ
当 Ｇ有 两 个 相 邻 的 最 大 度 顶 点 时 ，则 （ ）≥ Ｇ
△（ Ｇ）＋１．
文 中用 △表 示 图的最 大度 ， Ｃ ｕ 用 （ ）表示 顶 点 “的色集 合 Ｃ ）的补 集 ． 个 图 Ｇ有 邻 点 可 区别 （ 一
１２， ， ）； ， … ｒ ｌ ，
证 明 由引理 １及 引理 ４ 仅需 证 ， ，有 ２ ， ｎ
＋ Ｐ — ＡＶ ＤＰＥＣ ．
＋ （ ：１ ２ … ， ； ， ， Ｐ Ｊ＝ ） ２ ｎ＋ｉ 一１， ｉ
＝
设 Ｓ Ｋ ， ）＝ ｛ ， ， ， ＋ （ｎ １ ２ … ２ ｐ一１ ０ 构 造 ， ｝，
文章编号 ：０ ９— ２９ ２ １ ）５— ０ ６— ３ １０ ２ ６ （０ ２ ０ ０ ５ ０
两 类 完全 ４部 图的邻 点 可 区别 正 常边 染 色 一
赵新梅 ， 贾爱 霞
（ 兰州工业学 院 基础学科部 ， 甘肃 兰州 ７０５ ） ３０ ０
摘要 ： 主要 讨论 了两类 完全 ４部 图的邻点 可 区别正 常边 染 色． 体 验证 了邻 点 可 区别 正 常边 染 色 一 具
点可 区别 正常边 色数 ． 文继续 讨论 并验 证 了该 猜 本
想对 两类 完全 ４ 部 图和是 成立 的． 一
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Ｖ（ Ｒ ， ， ）一 ｛ ７ ３ 。 ｌ ｔ 一１ ，２ ，… ， 忌 ｝Ｕ Ｕ｛ ｌ 一１ ， ２ ， …， ２ 一 ・ ） ；
①
收 稿 日期 ：２ Ｏ ｌ １ 一Ｏ ６—２ ０ 基 金 项 目：甘 肃 省 自然科 学 基 金 （ ０ ９ ６ Ｒ Ｊ Ｚ Ｅ１ ０ ６ ） ；天 水 师 范学 院 中青 年 教 师科 研 资助 项 目（ ＴＳ Ｙ２ ０ １ ２ ０ ６ ） 作 者 简 介 ：杨 随 义 （ １ ９ ７ ７ 一 ） ，男 ，甘 肃 天水 人 ，硕 士 ，副 教 授 ， 主要 从 事 代 数 图 论 与 染 色 ．
定义 ２ ＿ ７ 设 Ｇ是 阶至 少为 ２ 的连通 图 ， ，是图 Ｇ 的使 用颜色 为 １ ， ２ ，… ， 是的全 染色 ．如 果 Ｇ的任意
相邻 的点染 不 同的颜 色 ， 并 且 Ｇ的任 意点与 该点相 关联 的所 有边 的颜色 不 同 ， 那 么称 － 厂 为 Ｇ 的 Ｅ一 全 染色 ． 设 ，是 Ｇ 的 Ｅ一 全 染色 ， 对 ３ ２ ∈ Ｖ（ Ｇ） ， 令Ｃ （ ｚ ） 表示 在 厂 下点 ｚ的颜 色及 与 关 联 的全体边 的颜 色构成 的集合 ， 称 之为在 ，下 点 ｚ 的色集合 ．如 果对 Ｖ Ｕ ＂ Ｕ∈ Ｅ（ Ｇ ） ， 有 Ｃ（ “ ）≠ ｃ（ ） ， 则－ 厂 称 为 Ｇ 的 忌一 邻 点可 区 别 Ｅ一 全 染色 （ 简记 为 ｋ － ＡＶＤ Ｅ Ｔ染色 ） ．称 ｅ （ Ｇ）一 ｍｉ ｎ ｛ 是Ｉ Ｇ有 尼～ 邻 点可 区别 Ｅ 一 全染 色 ｝ 为 Ｇ的邻点 可
ｉ＝ １ ｍ １
Ｅ（ Ｇ … ）一 ｛ ０ ￡ 甜 １ ， ３ 卜 ２ ， ｏ １ ， ３ 卜 １ ， ０ １ ｌ ｔ —ｌ ， ２ ，… ， 志 ｝ Ｕ Ｕ｛ “ “ 汁 １ ， ２ ｒ ｌ ， 【 ７ 汁 ｌ ， ２ ， Ｉ Ｊ 一１ ， ２ ，… ，
第３ ８卷 第 ３期
Ｖｏ １ ．３ ８ Ｎｏ ． ３
西 南 师 范 大 学学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｏ ｕ ｔ ｈ ｗｅ ｓ ｔ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
中图 分 类 号 ：Ｏ１ ５ ７ ． ５
图的染色 是 图论 的重 要研究 内容 之一 ，由计 算机 科学 和信 息科 学 等所 产 生 的点可 区别 边 染色 ｌ ＿ １ ］ 、邻 点 可 区别边 染色 （ 或邻 强边染 色 ） ］ 、点可 区别 均匀 边 染 色ｌ ４ ］ 、邻 点可 区别全 染 色 ， 及 图 的邻 点 可 区
摘 要 ：应 用 构 造 具 体 染 色 的方 法 得 到 了两 类 ３ 一 正 则 图 的邻 点 可 区别 Ｅ 一 全 色数 ， 进 一 步 验 证 了关 于 图 的邻 点 可 区
别 Ｅ一 全 染 色 的猜 想 ． 关 键 词： Ｅ一 全染色 ； 邻 点 可 区别 Ｅ ～ 全染色 ； 邻 点 可 区别 Ｅ一 全 色 数 文 献 标 志 码 ：Ａ
别 卜－ 全染色 口 妇等都是 十分 困难 的问题 ， 至今 文献甚 少．在 此基础 之上 ， 张 忠辅等人 进一 步提 出 了图的新 染 色概念 ．图的邻 点可 区别 Ｅ一 全染 色是 其 中之一 ］ ， 本 文给 出了两 类 ３ 一 正 则 图的邻点 可 区别 Ｅ一 全 色数． 定义 １ ［ ６ 设 Ｇ是 阶至少 为 ２的连通 图 ， 为正整数 ， ＿ 厂 是 图 Ｇ 的使 用颜 色为 １ ，２ ，… ， 是的正常全 染 色．对 Ｖ ∈ （ Ｇ） ， 令 Ｃ（ ｘ ） 表示在 厂下点 ｚ的颜色及 与 ３ ２ 关联 的全 体边 的颜色 构成 的集合 ， 称 之为在 全
区别 Ｅ一 全 色数 ． 在 本文 中，考虑 了两类 ３一 正则 图 Ｇ ， 和Ｒ … 的邻点 可区别 Ｅ 一 全染 色．
Байду номын сангаас
定义 ３ ＿ ８ 设 忌 ， ｍ， ｎ均为 正整数 ，且 一 ２ ｍ － ・ ３ 是 ，图 Ｇ ， ， 的定 义如下 ：
ｍ
（ Ｇ ， ）一 ｛ 。 ｌ ｔ 一１ ，２ 。… ， ｋ ｝Ｕ Ｕ｛ “ ｆ Ｊ一 １ ， ２ ，… ， ２ ・ ３ 忌 ｝ ；
２ ０ １ ３年 ３ 月
Ｍａ ｒ 。 ２ Ｏ １ ３
文章编号 ： １ ０ ０ ０—５ ４ ７ １ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３— ０ ０ ３ ６— ０ ６
两 类 ３一 正 则 图 的 邻 点 可 区别 Ｅ 一 全 染 色①
杨 随义 ， 邵海琴 ， 何 万 生
天水师范学院 数学与统计学院 ． 甘肃 天水 ７ ４ １ ０ ０ １
染色 ． 厂下点 ３ ２的色集合 ．如 果 Ｖ Ｕ ＇ Ｕ∈ Ｅ（ Ｇ） ， 有 Ｃ（ ｕ ）≠ Ｃ （ ） ， 则 厂称为 Ｇ 的 ｋ一 邻 点 可 区别全 染 色．称
（ Ｇ）一 ｍｉ ｎ ｛ ｋ ｌ Ｇ有 点一 邻 点可 区别全 染色 ） 为 Ｇ 的邻 点可 区别全 色数．
３ ８
西 南师范 大学 学报 （ 自然科 学版）
第３ ８卷
Ｖ（ Ｇ ｌ ＿ ｌ ， 。 ）Ｕ Ｅ（ Ｇ １ Ｉ １ ， 。 ）到 ｛ １ ， ２ ， ３ ， ４ ｝的映射 ，如下 ：
ｚ＝ ｌ
２ ｒ ＿ ・ ３ 忌 ｝Ｕ ｛
， ｉ ＋ １ １ Ｊ一 １ ， ２ ，… ， 咒～ １ ｝Ｕ ｛ １ Ｍ ｝ ． 的定 义如 下 ：
定义 ４ ［ ８ 设 忌 ， ， 均 为正整 数 ， 且 ｋ≥ ３ ，７ ２ — ２ 一 ・ 尼 ，图 Ｒ ，
Ｖ（ Ｒ ， ， ）一 ｛ ７ ３ 。 ｌ ｔ 一１ ，２ ，… ， 忌 ｝Ｕ Ｕ｛ ｌ 一１ ， ２ ， …， ２ 一 ・ ） ；
①
收 稿 日期 ：２ Ｏ ｌ １ 一Ｏ ６—２ ０ 基 金 项 目：甘 肃 省 自然科 学 基 金 （ ０ ９ ６ Ｒ Ｊ Ｚ Ｅ１ ０ ６ ） ；天 水 师 范学 院 中青 年 教 师科 研 资助 项 目（ ＴＳ Ｙ２ ０ １ ２ ０ ６ ） 作 者 简 介 ：杨 随 义 （ １ ９ ７ ７ 一 ） ，男 ，甘 肃 天水 人 ，硕 士 ，副 教 授 ， 主要 从 事 代 数 图 论 与 染 色 ．
定义 ２ ＿ ７ 设 Ｇ是 阶至 少为 ２ 的连通 图 ， ，是图 Ｇ 的使 用颜色 为 １ ， ２ ，… ， 是的全 染色 ．如 果 Ｇ的任意
相邻 的点染 不 同的颜 色 ， 并 且 Ｇ的任 意点与 该点相 关联 的所 有边 的颜色 不 同 ， 那 么称 － 厂 为 Ｇ 的 Ｅ一 全 染色 ． 设 ，是 Ｇ 的 Ｅ一 全 染色 ， 对 ３ ２ ∈ Ｖ（ Ｇ） ， 令Ｃ （ ｚ ） 表示 在 厂 下点 ｚ的颜 色及 与 关 联 的全体边 的颜 色构成 的集合 ， 称 之为在 ，下 点 ｚ 的色集合 ．如 果对 Ｖ Ｕ ＂ Ｕ∈ Ｅ（ Ｇ ） ， 有 Ｃ（ “ ）≠ ｃ（ ） ， 则－ 厂 称 为 Ｇ 的 忌一 邻 点可 区 别 Ｅ一 全 染色 （ 简记 为 ｋ － ＡＶＤ Ｅ Ｔ染色 ） ．称 ｅ （ Ｇ）一 ｍｉ ｎ ｛ 是Ｉ Ｇ有 尼～ 邻 点可 区别 Ｅ 一 全染 色 ｝ 为 Ｇ的邻点 可
ｉ＝ １ ｍ １
Ｅ（ Ｇ … ）一 ｛ ０ ￡ 甜 １ ， ３ 卜 ２ ， ｏ １ ， ３ 卜 １ ， ０ １ ｌ ｔ —ｌ ， ２ ，… ， 志 ｝ Ｕ Ｕ｛ “ “ 汁 １ ， ２ ｒ ｌ ， 【 ７ 汁 ｌ ， ２ ， Ｉ Ｊ 一１ ， ２ ，… ，
第３ ８卷 第 ３期
Ｖｏ １ ．３ ８ Ｎｏ ． ３
西 南 师 范 大 学学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｏ ｕ ｔ ｈ ｗｅ ｓ ｔ Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
中图 分 类 号 ：Ｏ１ ５ ７ ． ５
图的染色 是 图论 的重 要研究 内容 之一 ，由计 算机 科学 和信 息科 学 等所 产 生 的点可 区别 边 染色 ｌ ＿ １ ］ 、邻 点 可 区别边 染色 （ 或邻 强边染 色 ） ］ 、点可 区别 均匀 边 染 色ｌ ４ ］ 、邻 点可 区别全 染 色 ， 及 图 的邻 点 可 区
摘 要 ：应 用 构 造 具 体 染 色 的方 法 得 到 了两 类 ３ 一 正 则 图 的邻 点 可 区别 Ｅ 一 全 色数 ， 进 一 步 验 证 了关 于 图 的邻 点 可 区
别 Ｅ一 全 染 色 的猜 想 ． 关 键 词： Ｅ一 全染色 ； 邻 点 可 区别 Ｅ ～ 全染色 ； 邻 点 可 区别 Ｅ一 全 色 数 文 献 标 志 码 ：Ａ
别 卜－ 全染色 口 妇等都是 十分 困难 的问题 ， 至今 文献甚 少．在 此基础 之上 ， 张 忠辅等人 进一 步提 出 了图的新 染 色概念 ．图的邻 点可 区别 Ｅ一 全染 色是 其 中之一 ］ ， 本 文给 出了两 类 ３ 一 正 则 图的邻点 可 区别 Ｅ一 全 色数． 定义 １ ［ ６ 设 Ｇ是 阶至少 为 ２的连通 图 ， 为正整数 ， ＿ 厂 是 图 Ｇ 的使 用颜 色为 １ ，２ ，… ， 是的正常全 染 色．对 Ｖ ∈ （ Ｇ） ， 令 Ｃ（ ｘ ） 表示在 厂下点 ｚ的颜色及 与 ３ ２ 关联 的全 体边 的颜色 构成 的集合 ， 称 之为在 全
区别 Ｅ一 全 色数 ． 在 本文 中，考虑 了两类 ３一 正则 图 Ｇ ， 和Ｒ … 的邻点 可区别 Ｅ 一 全染 色．
Байду номын сангаас
定义 ３ ＿ ８ 设 忌 ， ｍ， ｎ均为 正整数 ，且 一 ２ ｍ － ・ ３ 是 ，图 Ｇ ， ， 的定 义如下 ：
ｍ
（ Ｇ ， ）一 ｛ 。 ｌ ｔ 一１ ，２ 。… ， ｋ ｝Ｕ Ｕ｛ “ ｆ Ｊ一 １ ， ２ ，… ， ２ ・ ３ 忌 ｝ ；
２ ０ １ ３年 ３ 月
Ｍａ ｒ 。 ２ Ｏ １ ３
文章编号 ： １ ０ ０ ０—５ ４ ７ １ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３— ０ ０ ３ ６— ０ ６
两 类 ３一 正 则 图 的 邻 点 可 区别 Ｅ 一 全 染 色①
杨 随义 ， 邵海琴 ， 何 万 生
天水师范学院 数学与统计学院 ． 甘肃 天水 ７ ４ １ ０ ０ １
染色 ． 厂下点 ３ ２的色集合 ．如 果 Ｖ Ｕ ＇ Ｕ∈ Ｅ（ Ｇ） ， 有 Ｃ（ ｕ ）≠ Ｃ （ ） ， 则 厂称为 Ｇ 的 ｋ一 邻 点 可 区别全 染 色．称
（ Ｇ）一 ｍｉ ｎ ｛ ｋ ｌ Ｇ有 点一 邻 点可 区别全 染色 ） 为 Ｇ 的邻 点可 区别全 色数．
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西 南师范 大学 学报 （ 自然科 学版）
第３ ８卷
Ｖ（ Ｇ ｌ ＿ ｌ ， 。 ）Ｕ Ｅ（ Ｇ １ Ｉ １ ， 。 ）到 ｛ １ ， ２ ， ３ ， ４ ｝的映射 ，如下 ：
ｚ＝ ｌ
２ ｒ ＿ ・ ３ 忌 ｝Ｕ ｛
， ｉ ＋ １ １ Ｊ一 １ ， ２ ，… ， 咒～ １ ｝Ｕ ｛ １ Ｍ ｝ ． 的定 义如 下 ：
定义 ４ ［ ８ 设 忌 ， ， 均 为正整 数 ， 且 ｋ≥ ３ ，７ ２ — ２ 一 ・ 尼 ，图 Ｒ ，