UyHiP 趣题：几个特殊的强正则图
只有三个不同特征值的图
只有三个不同特征值的图
设图G是一个简单连通无向图、其邻接矩阵A的特征值称为G的特征值.图G的谱是指由G的所有特征值和它们对应的重数组成的集合.本文主要围绕图谱理论中的两个问题展开研究工作.第一个问题是除去完全二部图和强正则图,寻找只有三个不同的特征值的连通图.第二个问题是研究刻画第二大特征值不超过1的图.本文按照以下几个部分展开：本文的第一章介绍图论与图谱理论中的基本概念以及问题的研究背景.本文的第二章我们仅考虑非正则连通图.首先我们刻画了只有三个不同的特征值且其补图不连通的图,给出了只有三个不同特征值的图的阶,顶点度,特征值以及Perron-Frobenius特征向量的估计.我们证明了如果一个图和它的补图都恰好有三个不同的特征值,则此图只有两个不同的顶点度.其次我们重点研究了只有三个不同的特征值且恰有两个不同的顶点度的连通图,即所谓的强双正则图.主要的结果包括强双正则图的一些结构定理,构造出了一些新的强双正则图,刻画了已知的一类特殊的强双正则图以及给出了两类有无穷多个可行的强双正则图.最后,在已知的仅有有限个恰好有三个不同特征值和三个不同顶点度的图的基础上,我们又构造出了一个新的图.而且证明了一些具有特定的谱和顶点度的图是不存在的.本文的第三章我们证明了一个关于强双正则图的拟Neumaier定理,即证明了对于给定的正整数m,只有有限多个最小特征值不小于-m或者第二大特征值不超过m的非二部的强双正则图.本文的第四章我们确定出了只有三个不同特征值且第二大特征值不超过1的连通图,并且也确定出了只有三个不同的特征值且最小顶点度不大于6或者最大特征值不超过7的连通图.。
3第三章最短路问题
现在我们就来构造一个图G，它的顶点就是这10 种情况，G中的边是按照下述原则来连的；如果情况 甲经过一次渡河可以变成情况乙，那么就在情况甲与 乙之间连一条边.
MWSV MWS MWV WSV MS
WV
W
S
V
Ø
例如，MWSV经过一次渡河可以变成WV(人带着羊 过河，左岸留下狼和白菜)，又例如MWV经过一次渡河 可以变为W(人带着白菜过河，留下狼)，或变为V.当 然反过来，W也可以变为MWV(人带着白菜从右岸返回 左岸).
§3.2 求最短有向路的标号法
这一节介绍一种求有向图上最短有向路的方法 ，叫做标号法。
所谓标号,我们是指与图的每一个顶点对应的一个 数(或几个数)．例如设G=(V,A)的顶点集合是V={v1,v2, …,vn}，如果我们能使v1对应一个数b(1)，v2对应数 b(2)，…，vn对应数b(n)，那么，这些数b(i)就称为vi的 标号，当然，在不同的问题中，标号b(i)一般代表不同 的意义.
从上面的简单比较久可以看出，为什么说计算 次数是n的多项式的方法是有效的，而计算次数是 n的指数函数的方法是无效的.另外，也可以看出， 单靠提高计算机的速度还不够，还必须从数学上寻 求有效的计算方法.
现在再回过头来看看标号法好不好.回想一下标 号法的各轮计算，可以看出，它只包含两种运算： 加法与比较大小(比较大小也需要花费时间，所以 也要考虑).加法用于计算k(i,j)，每计算一个k(i,j)进 行一次加法，而且每一条弧最多只计算一次.因此, 如果图中有m条弧，那么至多进行m次加法.对于一 个有n个顶点的简单有向图来说，最多有n(n-1)条 弧(假设从每一个顶点vi出发，都有n-1条弧指向其 他的n-1个顶点)，因此，最多进行n(n-1)次加法， 放宽一点，也可以说，至多进行n2次加法.
计算机图形学 第三章-5(形体表示)
• 点是三维空间的一个位置 • 边可以是直线边或曲线边，边的端点可以重合。 • 环是由首尾相接的一些边组成，而且最后一条边的终 点与第一条边的起点重合；环也可以是一个孤立点。 外壳是一些点、边、环、面的集合； • 外壳是一些点、边、环、面的集合。 • 区域由一组外壳组成。 • 模型由区域组成。
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清华大学计算机科学与技术系 计算机图形学基础
• 面的形状可以是平面或曲面。平面可用平面方程 来描述，曲面可用控制多边形或型值点来描述， 也可用曲面方程（隐式、显式或参数形式）来描 述。对于参数曲面，通常在其二维参数域上定义 环，这样就可由一些二维的有向边来表示环，集 合运算中对面的分割也可在二维参数域上进行。
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3.2.2 形体表示模型
•在实体模型的表示中，基本上可以分为分 解表示、构造表示和边界表示三大类。 •1、分解表示
将形体按某种规则分解为小的更易于描述的部分，每 一小部分又可分为更小的部分，这种分解过程直至每 一小部分都能够直接描述为止。 (a)将形体空间细分为小的立方体单元。这种表示方 法的优点是简单，容易实现形体的交、并、差计算， 但是占用的存储量太大，物体的边界面没有显式的解 析表达式，不便于运算。
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3.2.3 形体的边界表示模型
• 3.2.3.1 边界表示的基本实体 • 边界模型表达形体的基本拓扑实体包括：
–1. 顶点 –2. 边。边有方向，它由起始顶点和终止顶 点来界定。边的形状（Curve）由边的几何 信息来表示，可以是直线或曲线，曲线边可 用一系列控制点或型值点来描述，也可用显 式、隐式或参数方程来描述。
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8-15证明一棵树最多只有一个完美匹配。8-16对于n=2,3,
(5)最小生成树，最优树算法的正确性证明方法 (6)最大流标号法方法的正确性证明（算法停止 时，为何就是最大流） (7)匹配的证明：定理8.8的证明方法；利用霍 尔定理证明，如例子和习题 (8)独立集与覆盖：定理8.12的证明方法，利用 有关定理证明，如作业8.22 在图论证明中，注意基本概念和结论的运用， 通过加点，加边，删点，删边，使之满足定理 条件。
பைடு நூலகம்
2.证明 (1)证明连通：任两点连通。 反证，不连通：1）若干连通分支 2）存在2个顶点，它们之间没有路 (2)证明G为树：树的等价定义证明方法， 利用树的等价定义；证明G有生成树， 可证明G连通，再用定理7.3 (3)利用Euler公式，推论6.1和6.2，及定 理6.2的证明方法，结合定理5.1;做过的 习题 (4)连通度证明，定理8.1，8.2，8.3及做 过习题证明方法
二、基本算法和计算 最小权通路, 路及权 点着色数和面着色数 最小生成树,最优树（w(T)). 最大流，最小割，最大流的值，割容量 点连通度，边连通度 0(G) ,0(G),1(G),1(G)。
三、证明及判别 1.判别 强连通， (半)Euler图,(半)Hamilton图，找出(回)路 有关结论是否成立
8-15 ：证明一棵树最多只有一个完美匹 配。 8-16：对于n=2,3,4,5，分别找出一个没有 完美匹配的n-正则简单图的例子。 8-17：证明二分图G具有完美匹配当且仅 当对任意V的子集A， |Γ（A）|≥A成立。 8.18,8.19,8.20,8.21,8.22
一、基本概念 顶点度数，(G),定理5.1,5.2 正则图，生成子图，导出子图，边导出 子图，补图 连通，连通图，连通分支(孤立点也是一 个分支） 出度，入度，竞赛图，强连通，单向连 通，弱连通 定理5.4(所有度数大于1有回路）,定理5.7 （二分图，奇回路）
正则竞赛图的有向生成三角形
１ 预 备 工 作
定 理 １ （ ｌ Ｓ ｒｉｇ ｈ ｏ ｅ 设 Ｇ是具 有 二分 类 （， Ｈａｌ ｒ ｅ ｅ ｒｍ） ｍａ ａ ｔ 【 ， 的偶 图 ， Ｇ包 含饱 和 Ｕ 的每个顶 点 的 ） 则 对 集 当且 仅 当 １ Ｓ ｌ ｌ 对 任意 的 ≠Ｓ ＿ 均 成立 ． Ｎ（ ） ≥ ｌ ｓ ， ｃＵ 在有 向图 中应 用该 定 理 ， 我们可 以立 即得到 下 面推论 ． 推 论 １ 设 Ｄ 是二 部有 向 图 ，，Ｖ为 其两 部顶 点集 ， 么 Ｄ 存 在 （ Ｖ） 完善 对集 当且 仅 当 ｌ 【， 那 ｕ， 一 Ｎ （ ） ≥ Ｓ Ｉ ｆ 对任 意 的 ≠Ｓ ＿ 均成 立． Ｓｌ ＣＵ 设 Ｄ 和 Ｆ 是两 个有 向图 ， 对 ＥＶ（ ， 互 不相 交且 同构 于 Ｆ 的一 族 有 向图 ． Ｆ］ 为 Ｄ， 的合 Ｄ） Ｆ 是 ＤＥ 称 Ｆ
（ ， Ｄ） 我们 用 ＤＥ ］ 示 Ｄ 中 由顶点 集 ｓ诱导 生成 的子 图． Ｓ表 如果 Ｄ Ｄ 的子 图 ， 是 我们 用 Ｎ （ Ｄ ） Ｎ一（ ； ， ；
Ｄ ） 的外邻 集 和 内邻 集． 中
设 Ｄ 是 阶为 ２ｚ ， ＋１的有 向图 ， 中 ｗＥ （ ， 果 存在 ，个 有 向三角 形 Ｔ 生成 Ｔ 且 、（ Ｎｖ（ ， 一 其 Ｄ） 如 ｚ ，Ｔ） ， Ｔ） 叫（ ≤ ≤ ” ， １ ＜ ） 那么 我们 说 ｛ ） Ｄ 中 以 硼 为公 共 顶点 的生 成三 角形 集． 是
０ 引 言
设 Ｄ一（ Ａ） 有 向 图 ， 和 Ａ 分 别是 有 向 图的顶 点集 和 弧集 ， （ ｌ 为 Ｄ 的 阶． 于 Ｖ ， 是 Ｖ ｌ Ｄ） 称 对 Ｅ、（ ， 厂 Ｄ） 我们 用 Ｎ （ ， ） Ｎ一（ ） 别表 示 的外 邻集 和 内邻 集． 义 ｄ ） ｌ 分 定 （ 一 Ｎ （ ｌｄ ） Ｉ ） ， 一（ 一 Ｎ一（ Ｉ设 Ｓ ） ．
2002年4月离散数学试题答案
2002年4月离散数学试题答案第一篇：2002年4月离散数学试题答案 专注于收集各类历年试卷和答案更多试卷答案下载免费试听网校课程2002年4月离散数学试题答案课程代码：02324一、单项选择题(本大题共15小题，每小题1分，共15分)1.B2.D3.A4.A5.D6.D7.D8.C9.D10.B11.A12.A13.C14.B15.C二、填空题 16.0 17.10 18.单位元19.x∩yx∪y 20.入射满射21.［x］R=［y］R22.A(x)B(y)23.(M(x)→D(x))M(x)→D(x)24.可满足式永假式(或矛盾式)25.陈述句真值三、计算题⎧1⎪⎪126.M=⎨⎪1⎪0⎩⎧2⎪2⎪2M=⎨⎪2⎪1⎩442ij***10⎫⎪0⎪⎬1⎪1⎪⎭0⎫⎪1⎪⎬ 1⎪1⎪⎭∑∑Mi=1j=1=18, ∑Mij=6i=12G中长度为2的路总数为18，长度为2的回路总数为6。
27.当n是偶数时，∀x∈P(A),xn=∅当n是奇数时，∀x∈P(A),x=x⊕于是：当n是偶数，(｛a｝-1｛b｝｛a｝)n｛a｝-n｛b｝n｛a｝n=∅⊕(｛a｝-1)n｛b｝n｛a｝n=∅⊕∅当n是奇数时，=∅n(｛a｝-1｛b｝｛a｝)n⊕｛a｝-n｛b｝n｛a｝n-1-1nnn=｛a｝｛b｝｛a｝⊕(｛a｝)｛b｝｛a｝-1-=｛a｝｛b｝｛a｝⊕｛a｝｛b｝｛a｝=∅28.(1)偏序关系R 的哈斯图为 专注于收集各类历年试卷和答案(2)B的最大元：无，最小元：无；极大元：2，5，极小元：1，3下界：4，下确界4；上界：无，上确界：无29.原式⇔(┐(P→Q)→(P→┐Q))∧((P→┐Q)→┐(P→Q))((P→Q)∨(P→┐Q))∧(┐(P→┐Q)∨┐(P→Q))(┐P∨Q∨┐P∨┐Q)∧(┐(┐P∨┐Q)∨(P∧┐Q))(┐(P∧┐Q)∨(P∧┐Q))(P∧Q)∨(P∧┐Q)P∧(Q∨┐Q)P∨(Q∧┐Q)(P∨Q)∧(P∨┐Q)命题为真的赋值是P=1,Q=0和P=1,Q=1 30.令e1=(v1,v3)，e2=(v4,v6)e3=(v2,v5)，e4=(v3,v6)e5=(v2,v3)，e6=(v1,v2)e7=(v1,v4)，e8=(v4,v3)e9=(v3,v5)，e10=(v5,v6)令ai为ei上的权，则a1取a1的e1∈T,a2的e2∈T,a3的e3∈T,a4的e4∈T,a5的e5∈T,即，T的总权和=1+2+3+4+5=15 31.原式⇔┐(∀x1F(x1,y)→∃y1G(x,y1))∨∃x2H(x2)(换名)⇔┐∃x1∃y1(F(x1,y)→G(x,y1))∨∃x2H(x2)⇔∀x1∀y1┐(F(x1,y1)→G(x,y1))∨∃x2H(x2)⇔∀x1∀y1∃x2(┐(F(x1,y1)→G(x,y1))∨H(x2)四、证明题32.设T中有x片树叶，y个分支点。
UyHiP趣题：用最少的称重次数验证硬币的重量
假设你有n 枚外观完全相同的硬币，它们的重量分别为1g, 2g, 3g, …, ng 。
有意思的是，这一次，你已经知道了各枚硬币的重量，而且你也已经把重量值标在了这些硬币上。
但是，由于我不知道各枚硬币的重量，因此我希望你能向我证明，你所标的重量值是正确的（我知道这些硬币的重量是从 1 克到n 克，我只是不知道哪个硬币对应哪个重量）。
你唯一能用的工具就是一架天平。
每一次，你可以任意选择一枚或多枚硬币，放在天平的左侧，再从剩下的硬币中任意选择一枚或多枚硬币，放在天平的右侧（注意，你只能在天平上放硬币，不能放别的东西）。
一个有意思的问题是，为了向我证明你所标的重量值都是对的，你最少需要使用多少次天平？显然，为了证明n 枚硬币的重量标签的正确性，我们最多需要称n – 1 次。
先把硬币1 放在左边，把硬币 2 放在右边，让对方看到硬币 1 确实比硬币 2 要轻。
接下来，向对方验证硬币 2 确实比硬币 3 更轻，硬币 3 确实比硬币 4 更轻，等等。
称完n – 1 次后，我们就相当于给出了n 枚硬币的轻重顺序，因而它们只有可能分别是 1 克、 2 克、 3 克……。
我们还能做得更好吗？不妨让我们看看n 比较小的情况。
例如，当n = 4 的时候，利用上述方法可以 3 次完成验证，那么只用 2 次可以完成验证吗？仔细一想，你会发现真的可以！其中一种方法就是，先把硬币 1 和硬币 2 放在左边，把硬币 4 放在右边。
由于两枚硬币的重量之和小于第三枚硬币，这只可能是1 + 2 < 4 ，因此对方会相信，左边两枚硬币分别是 1 和 2 ，右边那枚硬币是4 ，没放上去的那枚硬币是 3 。
对方唯一不知道的就是，在左边两枚硬币中，究竟谁是 1 ，谁是 2 。
于是，我们只需要再称一下硬币 1 和硬币 2 ，问题就解决了。
不妨把证明n 枚硬币重量标签的正确性最少需要的称重次数记作B(n) 。
我们的问题就是：判断B(n) 是以什么级别增长的。
Hall定理正则二部图完美匹配
Hall定理正则⼆部图完美匹配相异代表系设S1,S2,⋯,S m是⼀族集合，它们的⼀个相异代表系为⼀个m维向量 (x1,x2,⋯,x m)满⾜：代表性：x i∈S i互异性：∀i≠j,x i≠x j相异代表系也简称为SDR对于⼀族指标J⊆[m]，我们定义它们的并 union(J) 为：union(J)=⋃j∈J S jHall定理有限集族S1,S2,⋯,S m存在SDR当且仅当HC成⽴，其中HC：∀J⊆[m],|union(J)|≥|J|（严谨性未知）笔者⼝胡的反证法：如果⼀个集合满⾜HC但是不存在SDR，那么⼀定存在⼀个S i，其中的元素⽆法选择，并且对于j≠i，S j中选择的元素⽆法更换，因为如果可以更换，那么我们相应的更换S k,k≠j,k≠i中的元素，直到更换⾄S i，即存在SDR，此时我们不选择S i，余下的集族不满⾜HC，⽭盾（正规证明）使⽤数学归纳法：定义⼀个指标族J临界，若 {S j:j∈J} 存在SDR，并且 |union(J)|=|J|空集与全集如果是临界指标族，那么称为平凡的临界指标族⾸先我们讨论S1,S2,⋯,S m不存在⾮平凡临界指标族显然当m=1 时成⽴，现在我们假设在⼩于m时均成⽴显然由HC得S m⾮空，我们选择⼀个元素x m∈S m，将S i(1≤i<m) ⾥的x m剔除，将此剔除后的集合的并函数设为 union′(J)注意到不存在⾮平凡临界指标族，所以之后对于J⊆[m−1]，有：|union′(J)|=|union(J)|+1≥|J|+1−1≥|J|满⾜了HC，之后构造SDR显然，证毕现在我们来讨论存在⾮平凡临界指标族的情况由上例的思想，我们显然可以将这⼀个⾮平凡临界指标族捆绑起来，然后从剩余的⾥⾯剔除掉这个指标族的并，然后由于J是临界的，我们直接展开即得1.设 (A1,A2,⋯,A m) 为 {1,2,⋯,n} 的⼀个⼦集组，且关联矩阵M=(m ij),m ij=1i∈A j 0i∉A j可逆，证明 (A1,A2,⋯,A m) 有SDR证：可逆⇒⾮降秩矩阵，证毕2. 01矩阵的最⼩覆盖数m等于最⼤匹配数M{证：匹配显然要找⼀对⾏与列都不同的 1，这⼀对 1 显然要⾄少 1 条线来覆盖，即m≥M然后我们设S i为⼀条横线上存在的 1 的位置，在满⾜最⼩覆盖的情况下，显然这东西满⾜HC，因此存在⼀个SDR，可推出M≥m，即m=M正则⼆部图完美匹配⼆部图G=X△Y具有覆盖了X的匹配当且仅当HC2成⽴，HC2：∀J⊆X,|N(J)|≥|J|其中对于⼀个图G=(V,E)，N(v)={u∈V:u∼v}，u∼v当且仅当有边连接它们不难发现这就是HC换了个⽪，证明也很显然定理：正则的⼆部图⼀定存在完美匹配设此⼆部图为G=X△Y，并且∀y∈Y,∃x∈X,x∼y设 deg(v)=k，其中 deg(v) 表⽰顶点v的度事实上如果G中存在孤⽴点，那么此图不存在边也就是说E=∅现在我们来证明 |X|=|Y|，不难发现∑x∈X deg(x)=∑y∈Y deg(y)，由此图正则即可得∀J∈X，F={e:e∈E,e f∈J,e t∈Y}，其中e f与e t分别是⼀条边的起点与终点则显然有 |F|=k|J|，|F|≤k|N(J)||N(J)|≥|J|，证毕Processing math: 100%。
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屋子里有若干个人，任意两个人都有恰好 1 个共同的朋友。
这有可能吗？有可能。
比方说，屋子里有9 个人，其中8 个人正好组成 4 对朋友，第9 个人则和前面8 个人都是朋友。
容易验证，任意两个人都有恰好 1 个共同的朋友。
我们可以用下面这个图表示此时这9 个人之间的朋友关系，其中每个点代表一个人，如果两个人是朋友，就在他们之间连一条线。
除了上图展示的情况之外，我们还能构造出很多别的同样满足要求的情况。
事实上，上述方案可以扩展到一切奇数个人的情况，比如下面这样：
现在，假设屋子里有若干个人，任意两个人都有恰好2个共同的朋友。
这有可能吗？有可能。
比方说，屋子里有 4 个人，他们互相之间都是朋友。
容易验证，
任意两个人都有恰好 2 个共同的朋友。
我们可以用下面这个图表示此时这 4 个人之间的朋友关系。
我们的问题是，除了上图展示的情况之外，还有别的同样满足要求的情况吗？
有。
想象屋子里有16 个人，他们站成了一个 4 × 4 的方阵。
每行里的 4 个人互相之间都是朋友，每列里的 4 个人互相之间也都是朋友。
于是，对于任意两个同一行或者同一列的人来说，都恰好有 2 个共同的朋友，即这一行或者这一列的另外两个人；对于任意两个既不同行又不同列的人来说，也都恰好有 2 个共同的朋友，即与我同行与你同列的人，以及与你同行与我同列的人。
我们可以
用下面的这个图表示此时这16 个人之间的朋友关系（我们把同一行的点以及同一列的点都稍微错开了一些，使得连线不会重叠在一起）。
那么，除此之外，还有没有别的满足要求的解呢？有，比如下面这个图：
上面这两个图有很多类似的地方：它们都有16 个点，48 条连线，每个点都
恰好引出了6 条连线。
不过，这两个图确实是本质不同的两个图。
你可以这样看出来：前面这个图中，与每个点相邻的 6 个点互相之间连成的是两个三角形；而后面这个图中，与每个点相邻的 6 个点互相之间连成的是一个“圈”。
任意两个人都有恰好 2 个共同的朋友，究竟有多少种可能的情况呢？现在，我们已经看到了三个解。
第一个解是 4 个互相之间都有连线的点。
在图论中，我
们通常用K
4来表示这个图。
第二个解则是借助一个4 × 4 的方阵构造出来的。
在图论中，这个图叫做 4 × 4 rook’s graph ，因为它相当于国际象棋中的车（rook）摆成 4 × 4 的方阵后互相之间能否攻击的示意图。
真正神奇的就是问题的第三个解了。
它叫做Shrikhande graph 。
这是由印度数学家Sharadchandra Shankar Shrikhande 在1959 年发现的。
在图论中，Shrikhande graph 是一个非常神奇的图。
如果一个图的每个点都引出了相同数目的线，我们就说这个图是一个“正则图”
（regular graph）。
如果一个正则图有v 个点，每个点都引出了k 条线，并且
它额外地满足，任意两个相邻的点之间都恰好有λ 个公共邻点，任意两个不相邻的点之间都恰好有μ 个公共邻点，我们就说这个图是一个“强正则图”（strongly regular graph），用符号srg(v, k, λ, μ) 表示。
显然，n × n rook’s graph 属于强正则图srg(n2, 2n – 2, n – 2, 2) 。
那么反过来，满足srg(n2, 2n – 2, n – 2, 2) 的图是否一定就是n × n rook’s graph 呢？基本上是，除了唯一的一个反例：当n = 4 时，Shrikhande graph 也满足srg(n2, 2n – 2, n – 2, 2) 。
这篇文章的题目也反映出了Shrikhande graph 的独特之处。
如果任意两个点都有恰好2 个公共邻点，那么除了K
4和n × n rook’s graph 以外，Shrikhande graph 是唯一满足要求的解了。
也就是说，任意两个人都有恰好2 个共同的朋友，可能的情况一共就只有 3 种。