【名师A计划】2017高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质习题 理

第五节直线、平面垂直的判定及其性质
[基础达标]
一、选择题(每小题5分,共20分)
1m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是()
A.若α⊥β,m∥α,则m⊥β
B.若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥β
C.若m⊥β,α⊥β,则m∥α
D.若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,则α⊥β
1.D【解析】若α⊥β,m∥α,则m,β平行、相交或者m⊂β,A错误;若m∥α,n∥β,m ∥n,则α,β平行或相交,B错误;若m⊥β,α⊥β,则m∥α或m⊂α,C错误;由面面垂直的判定定理可知D正确.
2.已知两个平面垂直,下列命题:
①一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线.
②一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线.
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面.
④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确的个数是()
A.3
B.2
C.1
D.0
2.B【解析】由面面垂直的性质可知②④正确,①③错误,所以正确的个数是2.
3α,β是两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.B【解析】若α⊥β,m⊂α,则m与β平行、相交或m⊂β都有可能,所以充分性不成立;若m⊥β,m⊂α,则α⊥β,必要性成立.
4,可得
出空间内的下列结论:
①垂直于同一个平面的两条直线互相平行;②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;③垂直于同一个平面的两个平面互相平行;④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.
则正确的结论是()
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
4.D【解析】垂直于同一平面的两条直线互相平行;垂直于同一直线的两条直线可能平行、异面或相交;垂直于同一个平面的两个平面可能平行或相交;垂直于同一条直线的两个平面互相平行,因此其中正确的结论是①④.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知直线a,b和平面α,且a⊥b,a⊥α,则b与α的位置关系是.
5.b∥α或b⊂α【解析】易知当b⊂α或b∥α时,a⊥α,都有a⊥b.
6.α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同的直线,给出四个论断:
①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题.
6.②③④⇒①或①③④⇒②【解析】⇒m⊥n,⇒α⊥β,⇒/n ⊥β,⇒/m⊥α.
三、解答题(共25分)
7.(12分,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O,E分别为B1D,AB的中点.
(1)求证:OE∥平面BCC1B1;
(2)求证:平面B1DC⊥平面B1DE.
7.【解析】(1)连接BC1,B1C,OE,设BC1∩B1C=F,连接OF,
因为O,F分别是B1D与B1C的中点,所以OF∥DC,且OF=DC,又E为AB中点,所以EB∥DC,且EB=DC,从而OF∥EB,OF=EB,即四边形OEBF是平行四边形,所以OE∥BF,又OE⊄平面
BCC1B1,BF⊂平面BCC1B1,
所以OE∥平面BCC1B1.
(2)因为DC⊥平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,
所以BC1⊥DC,又BC1⊥B1C,且DC,B1C⊂平面B1DC,
DC∩B1C=C,所以BC1⊥平面B1DC,
而BC1∥OE,所以OE⊥平面B1DC,又OE⊂平面B1DE,
所以平面B1DC⊥平面B1DE.
8.(13分P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=,点F是PD中点,点E是DC边上的任意一点.
(1)当点E为DC边的中点时,判断EF与平面PAC的位置关系,并加以证明;
(2)证明:无论点E在DC边的何处,都有AF⊥FE.
8.【解析】(1)因为EF分别是CD,PD的中点,
则EF是△PCD的中位线,
EF∥PC.
又因为EF⊄平面PAC,PC⊂平面PAC,
EF∥平面PAC.
(2)因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,
所以PA⊥CD,
又因为CD⊥AD,
所以CD⊥平面PAD,CD⊥AF.
又因为PA=AD,点F是PD中点,
所以AF⊥PD,
从而AF⊥平面PCD,
又因为EF⊂平面PCD,
所以AF⊥EF.
[高考冲关]
1.(5分ABC-A1B1C1是所有棱长均相等的直三棱柱,M是B1C1的中点,则下列命题正确的是()
A.在棱AB上存在点N,使MN与平面ABC所成的角为45°
B.在棱AA1上存在点N,使MN与平面BCC1B1所成的角为45°
C.在棱AC上存在点N,使MN与AB1平行
D.在棱BC上存在点N,使MN与AB1垂直
1.B【解析】利用定理逐一判断.设该直三棱柱的棱长均为a,取BC的中点P,则MP⊥平面ABC,点N在棱AB上,若MN与平面ABC所成角为45°,即∠MNP=45°,则PN=PM=a,而
|NP|max=a<a,所以A错误.如图所示,连接A1M,AM,由题意可得AA1⊥平面A1B1C1,则AA1⊥A1M.在Rt△AA1M中,设AA1=1,则有A1B1=A1C1=B1C1=1,AM=,所以tan ∠AMA1=>1,所以∠
AMA1>45°,则在棱AA1上存在点N,使MN与平面BCC1B1所成的角为45°,所以B正确.因为点N∉平面AB1C,那么M,N,A1,B四点不共面,所以MN不可能与AB1平行,所以C错误.取BC的中点K,则AK⊥平面BCC1B1,AK⊥MN,若MN⊥AB1,则MN⊥平面AB1K,此时MN⊥B1K,当N在棱BC上时,MN⊥B1K不可能成立,D错误.
2.(5分)在正方形ABCD中,E,F分别是AB及BC的中点,M是EF的中点,沿DE,DF及EF把
△DAE,△DFC,△EBF折起使A,B,C三点重合,重合后的点记作P,那么在四面体P-DEF中必有() A.DP⊥平面PEF B.DM⊥平面PEF
C.PM⊥平面DEF
D.PF⊥平面DEF
2.A【解析】因为E,F分别是AB,BC的中点,所以BD⊥EF.因为DA⊥AE,DC⊥CF,所以折叠后
DP⊥PE,DP⊥PF,因为PE∩PF=P,所以DP⊥平面PEF.
3.(5分)在空间四边形ABCD中,若AB=BC,AD=CD,E为对角线AC的中点,下列判断正确的是()
A.平面ABD⊥平面BDC
B.平面ABC⊥平面ABD
C.平面ABC⊥平面ADC
D.平面ABC⊥平面BED
3.D【解析】连接DE,BE.因为E为对角线AC的中点,且AB=BC,AD=CD,所以DE⊥AC,BE⊥AC.
因为DE∩BE=E,所以AC⊥平面BDE.AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面BED.
4.(12分P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥
BC,BC=2AD=4,AB=CD=,∠DBC=45°.
(1)证明:BD⊥平面PAC;
(2)若二面角A-PC-D的大小为60°,求四棱锥P-ABCD的体积.
4.【解析】(1)设O为AC与BD的交点,作DE⊥BC于点E.由四边形ABCD是等腰梯形得
CE==1,DE==3,
所以BE=DE,从而得∠DBC=∠BCA=45°,所以∠BOC=90°,即AC⊥BD.
由PA⊥平面ABCD得,PA⊥BD,
所以BD⊥平面PAC.
(2)作OH⊥PC于点H,连接DH.由(1)知DO⊥平面PAC,
故DO⊥PC,所以PC⊥平面DOH,从而得PC⊥OH,PC⊥DH.
故∠DHO是二面角A-PC-D的平面角,所以∠DHO=60°.
在Rt△DOH中,由DO=,得OH=.
在Rt△PAC中,.设PA=x,可得.
解得x=,即AP=,
所以V P-ABCD=AP·S四边形ABCD=.
5.(13分a的正四棱锥P-ABCD,还有一个所有棱长均为a的正三棱锥,将此三棱锥的一个面与正四棱锥的一个侧面完全重合地粘在一起,得到一个如图所示的多面体.
(1)证明:A,B,E,P四点共面;
(2)求三棱锥E-ADP的体积;
(3)在底面ABCD内找一点M,使EM⊥平面PBC,指出M的位置,并说明理由.
5.【解析】(1)取PB的中点F,连接CF,因为各面均为正三角形,所以AF⊥PB,CF⊥PB;
且AF=CF=a,
所以∠ACF为A-PB-C的平面角,∠EFC为E-PB-C的平面角.
在△AFC中,由余弦定理得cos∠AFC=-.
在△EFC中,由余弦定理得cos∠EFC=.
所以∠AFC+∠EFC=π,由此,A,B,E,P四点在同一个平面内.
(2)因为A,B,E,P四点共面,∠PAB=60°,∠ABE=120°,所以AP∥BE,BE∥平面APD,
所以V E-APO=V B-APD=V P-ABD=·a·a·a=a3.
(3)设ME⊥平面PBC交平面PBC于点H,则H为△PBC的重心.连接AC,在△ACE中,因为=2,所以H为△ACE的重心,所以M为线段AC的中点.。