现代控制理论1.1(稳定性)

如果 ∆ = a 正定。
1
11 > 0, ∆2 =
a11 a12 a21 a22
> 0,L, ∆n = P > 0,
则P为正定，即V(X) P X
V(X) = XT PX 或对称阵P为负定的充要条件 负定的充要条件是： ②二次型 P 负定的充要条件 为奇数) P的主子行列式满足 ∆i < 0 ( i 为奇数)；∆i &诺夫第一法:
解系统的微分方程，然后根据解的性质来 判断系统的稳定性。如果特征方程的根全部 具有负实部，则系统在工作点附近是稳定的.
李亚普诺夫第二法（也称直接法）: 李亚普诺夫第二法（也称直接法）
不必求解系统的微分方程式，就可以对 系统的稳定性进行分析判断，而且给出的稳 定信息不是近似的。它提供了判别所有系统 稳定性的方法。
e
X 0 −X e = [(X10 −X 1e )2 + (X 20 −X 2e )2 +L+ (X n0 −X ne) ]
1 2 2
称为范数， χ 称为范数 χi0、 ie(i =1,2,L, n)
分别为 X0 与 X e 的分量。
同样
X −Xe ≤ε (t ≥t0)
表示平衡状态偏差都在以 ε 为半径， Xe 以平衡状态 为中心的闭球域: S( ) ε 里。式中范数
现代控制理论的优点
线性定常系统稳定性判断—
1.劳斯-赫尔维茨判剧 1.劳斯劳斯 2.奈奎斯特稳定判剧 2.奈奎斯特稳定判剧
现代控制系统—结构复杂，非线性或时变,
上述稳定判剧难以胜任; 上述稳定判剧难以胜任; 通用的方法是李亚普诺夫第二法. 通用的方法是李亚普诺夫第二法.
李亚普诺夫稳定性判据
1982年，李亚普诺夫归纳出两种方法
系统的稳定性--系统在受到外界干扰后， 系统的稳定性--系统在受到外界干扰后，系 --系统在受到外界干扰后 统偏差量（被调量偏离平衡位置的数值） 统偏差量（被调量偏离平衡位置的数值）过 渡过程的收敛性， 渡过程的收敛性， 用数学方法表示就是： 用数学方法表示就是：
lim ∆x ( t ) ≤ ε
t →∞
V(X) = V(χ1 , χ2 ,L, χn )
平衡点） 对任意 X ≠ X e （平衡点）时，VX) >0、(X) <0 ( V & 成立， 成立，且对 X = Xe 时，才有 V(X ) = V(X ) = 0 。
李亚普诺夫第二法可归结为: 李亚普诺夫第二法可归结为:
1.在不直接求解的前提下， 2.通过李亚普诺夫函数 V(X, ) 的符号 通过李亚普诺夫函数 t 3.及其对时间的一次导数 V ( X, t ) 的符号 及其对时间的一次导数 &
李亚普诺夫第二法建立的物理事实： 如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的， 如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即:
lim X
t →∞
xe
那么随着系统的运动， 那么随着系统的运动，其贮存的能量将随着时间 的增长而衰减， 的增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极 小值。 小值。
对系统而言，并没有这样的直观性，因此， 李亚普诺夫引入了“广义能量函数”，称之 “广义能量函数” 为李亚普诺夫函数， 为李亚普诺夫函数，表示为 V(X,t) ,它是状 态 χ1 , χ 2 ,L, χ n 和时间t的函数。 如果动态系统是稳定的， 如果动态系统是稳定的，则仅当存在依赖于 状态变量的李亚普诺夫函数
就可给出系统平衡状态稳定性的信息。 就可给出系统平衡状态稳定性的信息。 应用李亚普诺夫稳定理论的关键: 能否找到一个合适的李亚普诺夫函数! --尚未有一个简便的、一般性的方法！
* 由于系统的结构日益复杂 系统的结构日益复杂，对李亚普诺夫稳定 系统的结构日益复杂 理论的研究和应用受到人们的重视； * 特别是在从典型的数学函数 非线性特性 典型的数学函数及非线性特性 典型的数学函数 非线性特性出发 寻求李亚普诺夫函数方面颁有进展。 t * 李亚普诺夫函数 V(X,) 是对前述的不具有直观性 的物理事实的表现，这个“广义能量 广义能量”概念与 广义能量 能量概念又不完全相同。 李亚普诺夫函数的选取不是唯一的！ 李亚普诺夫函数的选取不是唯一的！ 很多情况下李亚普诺夫函数可取为二次型 二次型及其定号性，是该理论的数学基础。
因此，明确李亚普诺夫意义下的稳定定义是重要的。 系统的状态方程为
& X = f [ X (t ), u (t )]
设 u(t) = 0 且系统的平衡状态为 X e , f [X e (t )] = 0 。有扰 动使系统在t = t 0 时的状态为 X ，产生初始偏 差 X 0 - X e ，则 t ≥ t 0 后系统的运动状态从 X 0 开始随时 间发生变化。 由数学中数的概念知道， X 0 − X e ≤ δ 表示初始偏差 都在以 δ 为半径，以平衡状态 X e 为中心的闭球 域S( δ )里，其中
现代控制理论课件
于长官 主 编 哈尔滨工业大学出版社
第三章 控制系统的李亚普诺夫 稳定性
§3.1 李亚普诺夫第二法概述 §3.2 李亚普诺夫意义下的稳定性 §3.3 李亚普诺夫稳定性定理 §3.4 线性系统的李亚普诺夫稳定性分析
§3.1 李亚普诺夫第二法的概述
一、物理基础 一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是 一个稳定的系统，即当系统受到外界干扰后，显然 它的平衡状态被破坏，但在外扰去掉以后，它仍有 能力自动地在平衡状态下继续工作，系统的这种性 能，通常叫做稳定性 稳定性，它是系统的一个动态属性。 稳定性
必须指出，二次型是一个标量，最 基本的特性就是它的定号性，也就 定号性， 定号性 是V(X)在坐标原点附近的特性。 X
定号性
(1)正定性 (1)正定性 当且仅当 X=0 时，才有V(X)=0； X 对任意非零X，恒有V(X)＞0，则V(X)为正定。 X X X (2)负定性 (2)负定性 当且仅当X＝0时．才有V(X)＝0； X X 对任意非零X，恒有V(X)＜0，则V(X)为负定。 X X X (3)正半定性与负半定性 (3)正半定性与负半定性 如果对任意X≠0，恒有V(X)≥0，则V(X)为正半定。 X X X 如果对任意X≠0，恒有V(X)≤0，则V(X)为负半定。 X X X (4)不定性 (4)不定性 如果无论取多么小的零点的某个邻域,V(X)可为正值也可 X 为负值．则V(X)为不定。 X
由式(3.1)可知，在系统的平衡点，状态变量的 变化率为0，由古典控制理论知道，该点即为奇 点，因此，系统微分方程式的奇点代表的就是系 统在运动过程中的平衡点。 任何彼此孤立的平衡点，均可以通过坐标的变 换，将其移到坐标原点 移到坐标原点，这就是经常以坐标原点 移到坐标原点 作为平衡状态来研究的原因，因此常用的连续系 统的平衡状态表达式为 f ( 0 , t ) = 0 对同一问题用不同理论去研究．会得到不同含义 的结果与解释。如非线性系统中的自由振荡，古 典的稳定性理论认为是不稳定的，而李亚普诺夫 稳定性理论则认为是稳定的。
e e e e
e
如果对状态空间中的任意点，不管初 始偏差有多大，都有渐近稳定特性。 即 lim(χ i − χ ie ) = 0(i = 1,2,L, n) 对所有点都 t →∞ 成立，称平衡状态 X e 为大范围渐近稳 定。可见，这样的系统只能有一个平 衡状态。由于线性定常系统有唯一解， 所以如果线性定常系统是渐近稳定的， 则它一定也是大范围内渐近稳定的。
2
a 21 χ 1 χ 2 + a 22 χ 2 + L + a 2 n χ 2 χ n + L +
2
a n1 χ 1 χ n + a n 2 χ 2 χ n + L + a nn χ n
2
称为二次型。 称为二次型。 式中， aik (i, k +1,2,L, n) 是二次型的系数。 设 aik = aki ，既对称且均为实数。
偶数) 偶数) i =1,2,…,
。
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§3.2李亚普诺夫意义下的稳定性 3.2李亚普诺夫意义下的稳定性
研究系统的稳定性问题，实质上是研究系统平衡状 态的情况。一般说来，系统可描述为 & X = f (X , t ) 式中 X为 n 维状态向量。当在任意时间都能满足 f (Xe , t ) = 0 (3.1) 时，称 X e 为系统的平衡状态 平衡状态。凡满足式(3.1)的一 平衡状态 切X值均是系统的平衡点，对于线性定常系 X & 统 X = f (X, t) = AX ，A为非奇异时,X=0是其唯一的平 A X X 衡状态，如果A是奇异的．则式(3.1)有无穷多解， A 系统有无穷多个平衡状态。对于非线性系统，有一 个或多个平衡状态。
赛尔维斯特准则
V(X) = XT PX 或对称矩阵P为正定的充要条件 正定的充要条件是 ①二次型 P 正定的充要条件
P的主子行列式均为正，即 的主子行列式均为正
a 11 a P = 21 M a n1
a 12 a 22 M an2
L L M L
a1n a 2n M a nn
在控制工程中．确定大范围内渐近稳定的范 围是很重要的，因为渐近稳定性是个局部概 念，知道渐近稳定的范围，才能明确这一系 统的抗干扰程度、从而可设法抑制干扰，使 它满足系统稳定性的要求。古典理论的稳定 性概念，只牵涉到小的扰动，没有涉及大范 围扰动的问题，因此它是有局限性的。
3．不稳定
既不是渐近稳定的， 如果平衡状态 X 既不是渐近稳定的， t ≥ t0 也不是稳定的， 并无限增大时， 也不是稳定的，当 并无限增大时， X0 从 出发的运动轨迹最终超越 S (ε ) 域，则称平衡状态 X e 为不稳定的。 为不稳定的。
二次型及其定号性) 二、数学基础 (二次型及其定号性 二次型及其定号性 1．二次型 n个变量 χ , χ , L , χ 的二次齐次多项式: 的二次齐次多项式: 个变量