二维拉普拉斯方程的边值问题
解二维LAPLACE方程DIRICHLET问题直接边界积分方程的GALERKIN..
摘要Laplace方程是最典型，最简单但应用广泛的椭圆型偏微分方程。
用边界元法解边值问题，由不同的边界归化方法可以得到不同的边界积分方程，数值求解边界积分方程也有好几种方法。
本文考虑用Green公式和基本解推导得出直接边界积分方程来求解二维Laplace方程的Dirichlet问题，该直接边界积分方程是第一类Fredholm积分方程。
对二维问题，一般的带对数积分核第一类Fredholm积分方程并不总是唯一可解的，特别是对外边值问题，解在无穷远处的形态有很大的影响。
人们在用直接边界元方法进行计算时，并不刻意去考虑积分方程的可解性，但可解性的问题是不能回避的，这涉及到原问题的解与边界积分方程的解的等价性问题。
事实上，对内边值问题，第一类Fredholm直接边界积分方程的可解性条件是自然得到满足的，本文对此做了验证。
对外边值问题，考虑到二维Dirichlet 问题的解应当在无穷远处有界，故解的边界积分表达式要做修正，对积分方程的解要有约束，这样去解边界积分方程得出的解才等同于原问题的解。
一般来说，直接边界积分方程可以很方便的用配点法求解，还未见有实际用Galerkin边界元来解的报道。
本文采用Galerkin边界元方法求解直接边界积分方程，是为了验证这两种方法的效率和精度，且Galerkin法易于进行收敛性分析。
Galerkin 边界元方法是把积分方程转化为等价的边界变分方程，经用边界元离散后，通过求解线性代数方程组和计算解的离散的积分表达式求得原问题的数值解，该方法需要在边界上计算重积分。
本文推出了第一重积分的解析计算公式，对外层积分则采用高斯数值积分。
对外边值问题，第一类Fredholm积分方程的解要附加在边界上积分为零的条件，本文采用Lagrange乘子放松这个约束，求解扩展的变分方程时，可同时得出解在无穷远的值。
本文采用常单元和线性元这两种离散方式，分别用Fortran90编写了计算程序，对误差与边界元的数量的关系做了数值实验。
2.2二维拉普拉斯方程的边值问题
u
y = 0 = f ( x ),
⇒∑
n =1
∞
{ An + Bn } sin
⇒ A + B = 2 a f (ξ ) sin nπ ξdξ n n ∫
a
0
a
u
y =a
= g (x). ⇒
∑
⇒
n =1
∞
nπb nπb nπx { An exp[ ] + Bn exp[− ]} sin = g ( x). a a a
真空静电势满足拉普拉斯方程： 真空静电势满足拉普拉斯方程：
方程
∆u ( x, y ) = 0
边界条件
或
∂ 2u ∂ 2 u + 2 =0 2 ∂x ∂y
云、地、导线。
导线的表面是等势面，取其为电势零点： 导线的表面是等势面，取其为电势零点： 零点
u u
x 2 + y 2 =a 2
= f 有限
a为导线半径
∂ 2u 1 ∂u 1 ∂ 2u + + 2 =0 2 2 ∂ρ ρ ∂ρ ρ ∂ϕ
⇒
R' ' Φ + R' Φ / ρ + RΦ' ' / ρ 2 = 0
ρ 2 R' ' / R + R' ρ / R + Φ ' ' / Φ = 0
ρ R ' ' / R + R ' ρ / R = −Φ ' ' / Φ = λ
nπb nπb 2 nπξ An exp[ ] + Bn exp[− ] = ∫ g ( x) sin dξ a a a0 a
拉普拉斯方程的格林函数法
令
P x, y, z u v
x
Q x, y, z u v
y
R x, y, z u v
z
则 P,Q,RC C1 ,
P x
Q y
R z
dV
u v 2v
u v 2v
注意：外问题需附加条件
lim u(x, y, z) 0, (r x2 y2 z2 ).
r
以保证解的唯一性。
§4.2 格林公式
高斯(Gauss)公式
设 是以光滑曲面 为边界的有界区域，P(x,y,z),
Q(x,y,z), R(x,y,z) 在闭域 上连续,在 内
1 r rFra bibliotek r
u r
0
解方程得： u(r) C1 ln r C2
其中 C1, C2 是任意常数。
特别地，取 C1 1, C2 0,即 u(r) ln 1 称为二维拉普拉斯方程的基本解。 r
§4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法
设 u u x, y, z 满足三维拉普拉斯方程
上连续，在 上任一点法向导数存在并且等于
已知函数 f ，即： u f n
这类问题也叫做牛曼(Neumann)问题。
上述两类问题都是在边界上给出边界条件, 在 区域内部求拉普拉斯方程的解, 这样的问题称 为内问题.
类似的有外问题。例如，当确定某物体外部的 稳恒温度场时，就归结为在区域 外找一个 调和函数, 它在边界上的值已知。
有一阶连续偏导数，即 P,Q, R C C1
则： P Q R
二维拉普拉斯方程的基本解
二维拉普拉斯方程的基本解一、引言二维拉普拉斯方程是数学中的一个重要方程，广泛应用于物理、工程等领域。
本文将介绍二维拉普拉斯方程的基本解，包括定义、性质及求解方法。
二、定义二维拉普拉斯方程是指以下形式的偏微分方程：$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partialy^2}=0$$其中，$u=u(x,y)$是未知函数，$x,y$是自变量。
三、性质1. 线性性：二维拉普拉斯方程是线性偏微分方程，即满足叠加原理。
2. 均匀性：若$u=u(x,y)$是二维拉普拉斯方程的解，则$cu=cu(x,y)$也是其解，其中$c$为任意常数。
3. 最大值原理：设$D$为平面上一个有界区域，如果在$D$内有一个点$(x_0,y_0)$使得在该点处的函数值最大（或最小），则该函数在整个区域内的函数值都不会超过（或低于）该点处的函数值。
4. 无穷远边界条件：当$x^2+y^2\rightarrow \infty $时，解趋近于常数。
四、求解方法1. 分离变量法假设$u(x,y)=X(x)Y(y)$，则可以将二维拉普拉斯方程化为两个一维的常微分方程：$$\frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=-\lambda$$其中，$\lambda$为常数。
然后分别解出$X(x)$和$Y(y)$，再将其乘起来即可得到原方程的解。
2. 用格林函数求解格林函数是指满足以下条件的函数$G(x,y;x_0,y_0)$：（1）在$x\neq x_0$或$y\neq y_0$时，它满足二维拉普拉斯方程；（2）在$x=x_0$且$y=y_0$时，它满足以下边界条件：$$G(x,y;x_0,y_0)=\begin{cases}1 & \text{$x=x_0$, $y=y_0$}\\0 & \text{其他情况}\end{cases}$$利用格林函数可以求出任意一个边值问题的解。
拉普拉斯方程的格林函数法
则 u(M 0)u (M ) n(4整r 1 M 理M 课0 件v)d S
19
2v0，in
令G(M,M0)41rM1M0 v, 其中调和函数v满足v4r1MM0
则 u(M0)u(M)G ndS.
称 G ( M ,M 0 ) 为 三 维 L a p l a c e 方 程 狄 氏 问 题 的 格 林 函 数 。 这 种 由 格 林 函 数 或 其 导 数 的 积 分 来 表 示 解 的 方 法 称 为 格 林 函 数 法 。
的 值 来 表 示 。
2） 若 M0为 外 或 边 界 上 的 点 ， 类 似 推 导 有
u(M)nrM 1M0
1 rMM0
u ndS 24uu(0 (M ， M00 M ))， ， 0在 M M 00在 在 外 上 内
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13
3 ） 若 u C 2 ( ) C 1 ( ) ， 且 2 u = F , 我 们 可 以 得 到 类 似 公 式
取 v1,则 可 得 牛 曼 问 题 u n=f有 解 的 必 要 条 件 是 fdS0
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14
（3）平均值公式
定 理 ： 设 函 数 u(M )在 区 域 内 调 和 的 ， M 0(x0,y0,z0)为 其 中 任 一 点 ，
Ka表 示 以 M 0(x0,y0,z0)为 中 心 ， 以 a为 半 径 且 完 全 落 在 内 部 的 球 面 ，
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15
（4）Laplace方程解的唯一性问题
定 理 ： 狄 氏 问 题 在 C 2 ( )C 1 ( ) 内 解 唯 一 ， 牛 曼 问 题 除 相 差 一 个
常 数 外 解 也 是 唯 一 确 定 的 。
证明：
设 u1,u2为 上 述 两 类 问 题 的 解 ， 则 它 们 的 差 vu1u2必 是 原 问 题 的 满 足 零 边 界 条 件 的 解 ， 即 对 于
拉普拉斯方程的格林函数法
然出现感应电荷, 内任意一点的电位，就是点电荷的
电位 1 和感应电荷的电位 内4的rM电0M位.
v
的叠加，
Green函数=
➢将 上的感应电荷用一个等价的点电荷代替，使得这
个“虚”的电荷和真实的点电荷一起，在 内给出和原
来的问题同样的解
M0
M1
4.4 两种特殊区域的格林函数 及狄氏问题的解
4.4 两种特殊区域的格林函数及狄氏问题的解
r
2
2
同理可得 因此
1 r
u n
dS
1
u n
dS
4
u n
u
n
1 r
1 r
u n
dS
4
u
4
u n
0
4.2 格 林 公 式
令 0, 则
lim 0 u uM0
于是
lim
0
4
u n
0
u
M
0
1
4
u M
n
1 rM0M
1 rM0M
u M
n dS
4.2 格 林 公 式
4.3 格林函数
要想确定格林函数, 需要找一个调和函数 v , 它满
1
足: 易,
但v 对| 于4一 r些M0特M .殊对的于区一域般, 的如区半域空,间确，定球v域并等不, 容格
林函数可以通过初等方法得到. 我们通常使用“电
象法”求解。
4.3 格林函数
Green函数的物理意义
➢在接地的闭曲面中放上点电荷之后，在 面内侧必
边界条件:
1） 第一边值问题
u 0 ()
u | f .
狄利克雷(Direchlet)问题 2)第二边值问题
第五章 拉普拉斯方程
第5章 拉普拉斯方程
第五章 拉普拉斯方程 5.1 二维拉普拉斯方程的边值问题
5.1.1 矩形域上拉普拉斯方程的分离变量法
2u 2u 0 x a ,0 y b 2 2 0, y x 0 yb u (0, y ) u (a, y ) 0, u ( x,0) ( x), u ( x, b) ( x), 0 x a 0 xa X X 0, 解： XY X XY 0 u Y X (0) X (a) 0 X Y 由例1中的方法知，以上特征值问题 X Y 的特征值和特征函数分别为 2 X X 0 Y Y 0 n n , n 1,2,3, u (0, y ) X (0)Y ( y ) 0 a n u (a, y ) X (a)Y ( y ) 0 X n An sin x a X (0) 0, X (a) 0
2 2 例1 求下列定解问题 u u Y X Y X X 0 Y Y 0 u (0, y ) X (0)Y ( y ) 0 x u (a, y ) X (a)Y ( y ) 0 x X (0) 0, X (a) 0
n n n n y y y y n n a a un X nYn Cn e a Dn e a Bn cos x Cn e Dn e cos x a a 这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由线 性方程的叠加原理，设原问题的解为 n n y y n a a cos u u n C0 y D0 Cn e Dn e x a n 0 n 1
(2021年整理)固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述
（完整）固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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计算固体力学读书报告固体力学中的边界积分方程及其边界元法综述Review of the Boundary Integral Equation and Boundary Element Method in Solid Mechanics土木工程系2014年03月17日评语目录摘要 (2)A BSTRACT (2)一、引言 (3)1）什么是边界元法[1] (3)2)积分方程和边界元法的发展历史［2］ (4)二、边界元法［5] (5)1）概述 (5)2)基本解 (5)3)拉普拉斯(Laplace）积分方程 (6)4）拉普拉斯（Laplace)边界积分方程 (7)5）拉普拉斯(Laplace）积分方程离散化与解法 (7)6)泊松（Poisson）边界积分方程 (9)三、结束语 (9)参考文献 (10)摘要本文综述了边界元法的历史、现状及发展，并对积分方程和边界元法的原理进行了简单推导。
边界元法是在经典的积分方程的基础上，吸收了有限元法的离散技术而发展起来的计算方法，具有计算简单、适应性强、精度高的优点。
它以边界积分方程为数学基础,同时采用了与有限元法相似的划分单元离散技术，通过将边界离散为边界元，将边界积分方程离散为代数方程组，再用数值方法求解代数方程组，从而得到原问题边界积分方程的解。
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X ' ' ( x) X ( x) 0,
由齐次边界条件 u(0, y) 0, u(a, y) 0
X (0) X (a) 0,
下面求解常微分方程边值问题 X ' ' ( x) X ( x) 0, X (0) X (a) 0, (36) 的非0解。 (1)当 0 时，问题(36)没有非平凡解。 (2)当 0 时，问题(36)也没有非平凡解。
n 1
1 u (r , ) a0 (an cosn bn sin n )r n . 2 n 1
(43)
(0 2 ),
16
1 u (r0 , ) a0 (a n cosn bn sin n )r0n f ( ), 2 n 1
2.3 二维拉普拉斯方程的边值问题
对于某些特殊区域上的拉普拉斯方程边值问题， 也可以应用分离变量法来求解。 一、矩形域上拉普拉斯方程的边值问题 考察一矩形薄板稳恒状态时的温度分布问题。 设薄板上下两面绝热，板的两边 ( x 0, x a) 始终保持0度，另外两边 ( y 0, y b) 的温度分别 为 f ( x) 和 g ( x). 求板内稳恒状态下的温度分布规律。 我们用 u ( x, y ) 来表示板上点 ( x, y ) 处的温度，即
an e
n b a
bne
n b a
2 a n g( x ) sin xdx, 0 a a
(n 1, 2, ).
Hale Waihona Puke 由上式解出 an , bn , 代回(37)式即得问题(30)-(32) 的解。
6
补充知识点： 欧拉(Euler)方程的一般形式
x n y( n) P1 x n1 y( n1) Pn1 xy' Pn y f ( x). 其中 P1 Pn 是常数， f ( x) 是已知函数。
u yy (urr ry ur y ) ry ur ryy (u r ry u y ) y u yy
9
1 1 u rr u r 2 u 0 (0 r r0 ), r r
(39)
(40)
u |r r0 f ( ).
| R(0) | .
11
这样，我们就得到两个常微分方程的定解问题 ' ' 0. (41) ( 2 ) ( ).
r 2 R' 'rR'R 0, | R(0) | .
(42)
我们先从问题(41)入手，对 分三种情形讨论： 1.当 0 时，方程的通解为 ( ) Ae Be , 其中A, B 是任意常数。 由于这样的函数不满足周期 性条件，因此 不能取负值。
设方程(39)的解为
u(r, ) R(r )( ),
代入方程(39)得 分离变量则有
1 1 R' ' R' 2 R' ' 0 r r
r 2 R' ' rR' ' ' R
其中比值 为常数。
10
由此可得两个常微分方程 r 2 R' 'rR'R 0, ' ' 0. 由于温度函数 u (r , ) 是单值的，所以当 从 变到 2 时，u(r , 2 ) u(r , ) 成立， 从而有 ( 2 ) ( ). 同时，根据问题的物理意义，圆内各点处的温度 应该是有界的，因而 | u(0, ) | 成立，由此知 R(r )应满足条件
(40) 0 在极坐标
r
x2 y2 ,
y . x
y r sin ,
u
r
x
y
arctan
u x ur rx u x
u y ur ry u y
u xx (urr rx ur x ) rx ur rxx (u r rx u x ) x u xx
(31)
5
则有关系式
n (an bn ) sin x f ( x ), a n 1
n n b a
(a e
n 1
bne
n b a
n ) sin x g( x ), a
利用傅里叶系数公式得
2 a n an bn f ( x ) sin xdx, 0 a a
(35)
将 n 代入方程(35)可得 其通解为
Y ( y ) Cne
n y a
Dne
n y a
(n 1, 2, ).
4
这样我们就可以得到方程(30)满足齐次边界 条件(32)的一系列特解
un ( x, y ) (ane
n y a n y a
bne
n ) sin x (n 1, 2, ), a
3
(3)当 0 时，问题(36)有非平凡解。
此时 对应的
n 2 n ( ) , a nx X n ( x) Bn sin (n 1, 2, ). a
接着考虑方程
Y ' ' ( y) Y ( y) 0,
n 2 Y ' ' ( y ) ( ) Y ( y ) 0, a
代入原方程有
Rtt Rt Rt n 2 R 0
Rtt n 2 R 0
Rn Cn e nt Dn e nt .
再将 t ln r 代入还原得
(n 1, 2, )
7
原方程通解为
Rn (r ) Cnr n Dnr n .
二、圆域上拉普拉斯方程的边值问题 考察一半径为 r0 的圆形模板稳恒状态下的温度 分布问题，设板的上下两面绝热，圆周边界上的 温度已知为 f ( ) (0 2 ), 且 f (0) f (2 ). 试求稳恒状态下的温度分布规律。 由于稳恒状态下的温度满足拉普拉斯，并且区 域是圆形的， 为了应用分离变量法，拉普拉斯方程 采用极坐标形式更方便。 我们用 u (r , )来表示圆形薄板内 (r , )点处的温度 则所述问题可以表示成下列定解问题：
8
1 1 u rr u r 2 u 0 (0 r r0 ), r r
(39)
1 1 系下的形式为 u rr r u r r 2 u 0
练习：验证拉普拉斯方程 u xx u yy 提示： 作极坐标变换
x r cos ,
u |r r0 f ( ).
n2
(n 1, 2, ),
为了保证 | R(0) | , 只有取 Dn 0 (n 1, 2, ), 所以 Rn (r ) Cn r n . (n 1, 2, ),
15
2 (n 1, 2, ), 时，我们得到方程(39) n 那么，当 的一系列特解 un (r, ) (an cosn bn sin n )r n (n 1, 2, ),
1
解下列定解问题： u xx u yy 0 (0 x a, 0 y b), u ( x,0) f ( x), u ( x, b) g ( x), u (0, y ) 0, u (a, y ) 0.
(30) (31) (32) (33)
应用分离变量法，设 u( x, y) X ( x)Y ( y),
12
' ' 0.
( 2 ) ( ).
(41)
2.当 0 时， 方程的通解为 0 ( ) A0 B0 , 其中A0 , B0 是任意常数。 只有当 A0 0 时，函数 0 才满足周期性条件。因此，当 0 时，问题(41) 0 ( ) B0 . 的解为 2 r 0 再将 代入问题(42)中的方程 R' 'rR'R 0, R0 (r ) C0 ln r D0 , 其通解为 其中C0 , D0 是任意常数。只有当 C0 0 时，函数 R0 | R(0) | . 才满足有界性条件 因此，当 0 时，问题(42) 的解为 R0 (r ) D0 . 1 从而得原方程(39)的一个非0解 u 0 (r , ) B0 D0 a0 .
n y a
由于方程(30)和边界条件(32)是齐次的，因此
u( x, y ) (ane
n 1 n y a
bne
n ) sin x a
(37)
仍然满足方程和齐次边界条件(32). 再应用非齐次边界条件 u( x,0) f ( x), u( x, b) g ( x),
f ( ) sin nd
1 an n r0
2
13
' ' 0.
( 2 ) ( ).
(41)
3.当 0 时， 方程的通解为 ( ) A cos B sin , 其中 A, B 是任意常数。 由于 ( 2 ) ( ), A cos B sin Acos ( 2 ) B sin ( 2 ) A cos cos2 A sin sin2 B sin cos2 B cos sin2 比较系数得
A A cos2 B sin2
sin2 0.
B A sin2 B cos2
cos2 1,
14
n2
(n 1, 2, ),
' ' 0.
( 2 ) ( ).
(41)
3.当 0 时， 方程的通解为 ( ) A cos B sin , 其中 A, B 是任意常数。 由于 ( 2 ) ( ), 此时问题(41)中的方程的解可表示成