2020年高中物理竞赛—电磁学B03泊松方程 拉普拉斯方程 (共13张PPT)
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2020年高中物理竞赛-电磁学篇(电磁场理论)03静态电磁场：恒定电流的磁场(共16张PPT)
电磁场理论
Electromagnetic Theory 2020高中物理竞赛 （电磁学篇）
3.4 恒定电流的磁场
1 恒定电流磁场的矢势
恒定电流产生的磁场满足的方程是：
H r dl J r ds H r J r
L
s
Br ds 0 Br 0
s
引入矢量函数 Ar ，磁感应强度可表示为
j dq j
j
t
i j dt
i j d
j
j
j
t
，
dt电源对整个回路系统作的功为
电流环
N
N
dW dW j i jd j
j 1
j 1
N
， j M kjik k 1
NN
1
Wm W
i j M kjik d
j1 k 1
0
1 2
N j 1
N
M kji jik
k 1
1 2
dl 2
3 磁场的能量 导线回路电流在建立的过程中，导线中 电流增大将使空间磁场增强；增强的磁 场将使以导线为边界的曲面上的磁通量 改变，在回路上产生感应的电动势，阻 止电流的增加。电源作的功转变为系统 的磁场能（电流建立的过程中没有其它 形式的能量损耗）。
dt时间内，电源对回路j所作的功为
， dW j
可以导出磁矢势在边界面上的条件：
nˆ A2 A1 0
nˆ
1
2
A2
1
1
A1
Js
| A2 A1
0
边界面
A2 r
A1r
3 小电流环的磁场 由于电流分布的轴对称
性，磁矢势以z为对称
轴，与 无关。
pm Iπa2nˆ Isnˆ
Electromagnetic Theory 2020高中物理竞赛 （电磁学篇）
3.4 恒定电流的磁场
1 恒定电流磁场的矢势
恒定电流产生的磁场满足的方程是：
H r dl J r ds H r J r
L
s
Br ds 0 Br 0
s
引入矢量函数 Ar ，磁感应强度可表示为
j dq j
j
t
i j dt
i j d
j
j
j
t
，
dt电源对整个回路系统作的功为
电流环
N
N
dW dW j i jd j
j 1
j 1
N
， j M kjik k 1
NN
1
Wm W
i j M kjik d
j1 k 1
0
1 2
N j 1
N
M kji jik
k 1
1 2
dl 2
3 磁场的能量 导线回路电流在建立的过程中，导线中 电流增大将使空间磁场增强；增强的磁 场将使以导线为边界的曲面上的磁通量 改变，在回路上产生感应的电动势，阻 止电流的增加。电源作的功转变为系统 的磁场能（电流建立的过程中没有其它 形式的能量损耗）。
dt时间内，电源对回路j所作的功为
， dW j
可以导出磁矢势在边界面上的条件：
nˆ A2 A1 0
nˆ
1
2
A2
1
1
A1
Js
| A2 A1
0
边界面
A2 r
A1r
3 小电流环的磁场 由于电流分布的轴对称
性，磁矢势以z为对称
轴，与 无关。
pm Iπa2nˆ Isnˆ
2020年高中物理竞赛(电磁学)稳恒磁场和电磁场的相对性(含真题)磁场中的高斯定理(共27张PPT)
1. 求均匀磁场中 半球面的磁通量
B S1
R
O S2
S1 S2 0 S1 ( BR2 ) 0 S1 BR2
课 2. 在均匀磁场B 3i 2 j
堂 中，过YOZ平面内
练 习
面积为S的磁通量。
Y
S
n
B
O
X
Z
m
B
•S
( 3i 2 j )• Si
3S
五 、毕奥---沙伐尔定律
1)
dB
P
X
B
0I 4a
(cos1
cos2 )
无限长载流直导线
1 0 2
B 0I 2a
半无限长载流直导线 1 2
2
B 0I 4a
B
直导线延长线上 B ?
dB
0 4
Idl sin
r2
I
0 dB 0 B 0
2. 圆型电流轴线上的磁场
已知: R、I，求轴线上P
点的磁感应强度。
r
L r3
2、运动电荷的磁场
电流 电荷定向运动
电流元 Idl
dB
0 4
Idl r2
r0
其中
I
q v
S
dl
I qnvS
载流子
总数 dN nSdl
电荷 密度 速率 截面积
B
dB dN
0 4
qv sin( v , r0
r2
)
运动电荷产生的磁场
B
0 4
qv
r
r3
若q 0, B与v r同向
csc2
B
2(
1
0
2
nI
sin )d
0
2020届高中物理竞赛电磁学部分第4章 电磁波的传播(共34张ppt)
和随频率而变的现象--介质的色散
对于一般非正弦变化的电场，色散介质的电位移矢量与电场不成瞬
时关系；而对线性均匀介质和某一频率的正弦波而言，和均为常量。
Er,
t
E
r
e
it
Br, t Bre it
2.导电介质中的自由电荷分布
变化的电磁场
电荷、电流
其中 D E, B H
-2E
E
H
2E
t
t 2
E
H
B
t D
t
D 0
B
0
-2B
B
H
E
x,
t
满足
E 0
的一个解
Ex
E0 e ikx
时谐波全式 E x, t
E0
e
i k xt
E0 --电场振幅
eikxt --振荡的相位因子
一般坐标系下平面波的表示式
E
r,
t
E0eikrt
E0z 0
,
B，ek
满足右手螺旋关系；
3）E, B同相，振幅比为电磁波的传播速度v
k
四、电磁波的能量与能流
单色平面电磁波入射线性均匀介质，电磁场的能量密度
w
1 2
E
2
1
B2
E 2
1
B2
--电场、磁场能量相等
能流密度
对于一般非正弦变化的电场，色散介质的电位移矢量与电场不成瞬
时关系；而对线性均匀介质和某一频率的正弦波而言，和均为常量。
Er,
t
E
r
e
it
Br, t Bre it
2.导电介质中的自由电荷分布
变化的电磁场
电荷、电流
其中 D E, B H
-2E
E
H
2E
t
t 2
E
H
B
t D
t
D 0
B
0
-2B
B
H
E
x,
t
满足
E 0
的一个解
Ex
E0 e ikx
时谐波全式 E x, t
E0
e
i k xt
E0 --电场振幅
eikxt --振荡的相位因子
一般坐标系下平面波的表示式
E
r,
t
E0eikrt
E0z 0
,
B，ek
满足右手螺旋关系；
3）E, B同相，振幅比为电磁波的传播速度v
k
四、电磁波的能量与能流
单色平面电磁波入射线性均匀介质，电磁场的能量密度
w
1 2
E
2
1
B2
E 2
1
B2
--电场、磁场能量相等
能流密度
2020年高中物理竞赛—电磁学C-07正弦平面电磁波：麦克斯韦方程组的复数形式(共13张PPT)
v 2E z 2
k
v 2E
0
2 Ex x2 2Ey
x2
2 Ex y 2 2Ey
y 2
2Ex z 2
2Ey z 2
k 2Ex k2Ey
0 0
2 Ez
x2
2 Ez y 2
2 Ez z 2
k 2Ez
0
方考向虑传一播种，简则单由情均况匀，平即面电波磁性波质电，场知沿Evx只方随向z，坐波标只变沿化z。
则方程可以简化为：
2 Ex z 2
k 2Ex
0
解一元二次微分方程，可得上方程通解为：
Ex Eme jkz Eme jkz 波动方程平面波解 式中: Em 、Em 为待定常数（由边界条件确定）.
讨论：1、Ex Eme jkz Eme jkz 为通解的复数表达形式，
通解的实数表达形式为：
Ex Re[(Eme jkz Eme jkz )e jt ]
2020高中物理竞赛
电磁学C
二、麦克斯韦方程组的复数形式
很明E显tv ，R对e于[ j时E谐v&m场e jt
],
v B t
Re[
j Bv&me
jt
]
故由麦克斯韦方程组微分形式，可得：
v H
v E v
v
Je
v
B
v D t
t
ggBDv
0
为了简化书写，约定
Bv&m写gg((BD((做v&v&HEmv&mv&emBemvejej，jtjt))tt而))0ej(mJvte&j项mjB则tv&mj省ej略Dvt&m不)e写jt，
则方程变为：
2020年高中物理竞赛—电磁学B版：第二章 电磁场基本方程(3-6麦克斯韦方程组等)(共42张PPT
第13.14学时 2 .4 电磁场的边界条件
2 .4 .1 一般情况
电磁场边界条件
返回
对此回路应用表中的麦氏旋度方程式(a′) , (b′),可得
l
E
dl
E1
l
E2
(l)
E1t l
E2t l
S
B t
ds
0
l E dl H1t H2tl 1
S
D t
ds
J
sl
得到E和H的切向分量边界条件为
③在分界面上有面电荷(在理想导体表面上)时, D的法向分 量不连续, 其差等于面电荷密度; 否则, D的法向分量是连续 的;
④任何分界面上B的法向分量是连续的。
2 .4 .2 两种特殊情况
理想介质是指 0 ，即无欧姆损耗的简单媒质。在两种理想介
质的分界面上不存在面电流和自由电荷，即Js=0, s 0 。 两种理想介质间的边界条件
其解为
v
t
v
0
v
e( / )t v0
(C / m3)
可见, ρv随时间按指数减小。衰减至ρv0的1/e即36.8%的时 间 (称为驰豫时间)为τ=ε/σ(s)。对于铜, σ=5.8×107S/m, ε=ε0, 得τ=1 .5×10-19s。因此, 导体内的电荷极快地衰减, 使得其 中的ρv可看作零。
b2 )
(1)
a:H
2
Ja
2
I
a 2
H
I 2a 2
,H
ˆ
I 2a 2
由于H只有Hφ分量，可知，
H
ˆ
H z
zˆ
1
(H )
zˆ
1
I 2 2a2
zˆ
2020年高中物理竞赛(电磁学)稳恒磁场和电磁场的相对性(含真题)霍尔效应(共13张PPT)
pm
M
B0
M
pm
B0
分子磁矩产生的磁场方向和外磁场方向一致，
顺磁质磁化结果，使介质内部磁场增强。
B B0
B
B0
2、抗磁质及其磁化 分子的固有磁矩为零 pm 0
在外磁场中，抗磁质分子会产生附加磁矩
电子绕核的轨道运动 电子本身自旋
外磁场场作用下产生 附加磁矩
pm
pm
总与外磁场 方向反向
电子的附加磁矩总是削弱外磁场的作用。
B B0
抗磁性是一切磁介质共同具有的特性。
9-6 磁介质
一、 磁介质的分类
磁介质——能与磁场产生相互作用的物质
磁化——磁介质在磁场作用下所发生的变化
磁导率——描述不同磁介质磁化后对愿外磁场的影响
B Bo B 附加磁场
r
B B0
r 0r
根据 B 的大小和方向可将磁介质分为四大类
（1）顺磁质 B B0 （3）铁磁质 B B0
（2）抗磁质 B B0 （4）超导体 B 0
*四、磁流体发电 在导电流体中同样会产生霍耳效应
导电气体q B Nhomakorabeaq 发电通道
电极
磁流体发电原理图
使高温等离子体（导电流体）以1000ms-1的高速 进入发电通道（发电通道上下两面有磁极），由于洛 仑兹力作用，结果在发电通道两侧的电极上产生电势 差。不断提供高温高速的等离子体，便能在电极上连 续输出电能。
b
霍耳效应原理
带电粒子在磁场中运动受到洛仑兹力
q>0
f洛
qv
B
fe qEH
f洛 fe EH vB F合 0
A
+++++
高中物理竞赛(电磁学)电磁场和电磁波(含真题练习)麦克斯韦方程组(共13张ppt)
l
l
根据位移电流的定义
P
O
O
R
l
Id
de
dt
dDS
dt
0
dE R2
dt
0R
l
2
U
0
cos
t
另解
dQ dCU dU
Id dt
dt
C dt
平性板电容器的电容 C 0R2
l
代入,可得同样结果.
(2)由位移电流密度的定义
Jd
D t
0
E t
0 U 0U0 cost
l t l
或者 Jd Id R2
2020高中物理学奥林匹克竞赛
电磁学篇[基础版] （含往年物理竞赛真题练习）
三、麦克斯韦方程组
麦克斯韦认为静电场的高斯定理和磁场的高斯定
理也适用于一般电磁场.所以,可以将电磁场的基本规
律写成麦克斯韦方程组(积分形式):
SD
dS
V
dV
LE
dl
S
B t
dS
SB dS 0
LH
dl
(3)因为电容器内 I=0,且磁场分布应具有轴对称性,
由全电流定律得 P
rR
L1 H1 dl S Jd dS Jdr 2
O
O
R
H1 2r
0U0
l
r
2
cost
l
H1
0U0
2l
cost
r
B1
0H1
U 0
2lc2
cost
r
rR
L2 H 2 dl Id JdR2
P
O
O
R
S
2020年高中物理竞赛—电磁学B版：第三章 静电场分析(7静电场的边值效应)(共35张PPT) 课件
()2dV 0
V
3.7.3 静电场边界值问题的解法
求解边值问题的方法，都基于唯一性定理，一般可以分为解 析法和数值法两大类。解析法中的镜像法和分离变量法。
1. 镜像法
镜像法是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地应用唯 一性定理， 使某些看来难解的边值问题容易地得到解决。 使用镜像法时要注意以下三点： （1）镜像电荷是虚拟电荷; （2）镜像电荷置于所求区域之外的附近区域; （3）导电体是等位面。
3.7.2 唯一性定理
在静电场中，在每一类边界条件下，泊松方程或拉普拉斯方 程的解必定是唯一的，即静电场的唯一性定理。
利用反证法来证明在第一类边界条件下，拉普拉斯方程的解 是唯一的。考虑一个由表面边界S包围的体积V，由格林第 一定理
V
(2 )dV S
dS
n
令上式中ψ=φ=φ， 得
3.13 两无限大平行板电 极，距离为d，电位分别 为0和U0，板间充满电荷 密 度 为 ρ0x/d ， 如 图 所 示 。 求极板间的电位分布和 极板上的电荷密度。
x U0
d 0
0x / d
3.14 无限大空气平行板电容器的 电容量为C0，将相对介电常数为εr =4的一块平板平行地插入两极板 之间，如图所示。
z q
d
x
3.22 两无限大导体平板成6 0°角放置，在其内部x=1、y =1处有一点电荷q，如图所 示。求： (1) 所有镜像电荷的位置和 大小； (2) x=2、y=1处的电位。
q
(1 , 1) 60 °
3.23 一个沿z轴很长且中 y
空的金属管， 其横截面
为矩形， 管子的三边保
＝ 0
持零电位， 而第四边的
组合值， 即给定
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2020高中物理竞赛
电磁学B
电磁场与波
3.3 泊松方程 拉普拉斯方程
补充内容：拉普拉斯运算
标量场的拉普拉斯运算 对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：
gu 2u
式中：“2”称为拉普拉斯算符。
在直角坐标系中：
2u
2u x2
2u y 2
2u z 2
3.3 泊松方程 拉普拉斯方程
矢量场的拉普拉斯运算
r
ev r
ev
r sin
)( aU )
r
evr
aU r2
解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。
设导体球带电总量为Q，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场 强度为：
v E
Q
40r 2
evr
U
Evgdrv Q ( 1) Q
a
40 r a 40a
Q 40aU
v E
aU r2
evr
可用于求解静电场的边值问题。
例 半径为a的带电导体球，已知球体电位为U，
求空间电位分布及电场强度分布。
解法一：导体球是等势体。
r
a
时：Ev
U
0
r a时：
2 0 ra U r 0
1
r
2
d dr
(r 2
d
dr
ra U
r 0
)
0
c1 r U
ra
0
r
Байду номын сангаас
c2
aU r
v
E
(evr
问题的求解。
THE END
谢谢观看！
Evgdrv
r
aU r r2 dr
aU r
小结：求空间电场分布的方法
1、场源积分法 积分困难，对大多数问题不能得出解析解。
小结：求空间电场分布的方法
2、应用高斯定理求解 只能应用于电荷成对称分布的问题。
小结：求空间电场分布的方法
3、间接求解法 先求解空间电位分布，再求解空间电场。 在实际工程应用中，间接求解法应用最为广泛，适用于边值
v
v
v
2F (gF ) ( F )
在直角坐标系中：
v 2F
evx2Fx
evy2Fy
evz2Fz
柱面坐标系和球面坐标系下的拉普拉斯运算见附录。
一、静电场电位方程的建立
v
gE v
/
0
E
g
/0
即： 2 / 0
电位的泊松方程
在无源区域， 0
2 0
电位的拉普拉斯方程
二、电位方程的应用
电磁学B
电磁场与波
3.3 泊松方程 拉普拉斯方程
补充内容：拉普拉斯运算
标量场的拉普拉斯运算 对标量场的梯度求散度的运算称为拉普拉斯运算。记作：
gu 2u
式中：“2”称为拉普拉斯算符。
在直角坐标系中：
2u
2u x2
2u y 2
2u z 2
3.3 泊松方程 拉普拉斯方程
矢量场的拉普拉斯运算
r
ev r
ev
r sin
)( aU )
r
evr
aU r2
解法二：电荷均匀分布在导体球上，呈点对称。
设导体球带电总量为Q，则可由高斯定理求得，在球外空间，电场 强度为：
v E
Q
40r 2
evr
U
Evgdrv Q ( 1) Q
a
40 r a 40a
Q 40aU
v E
aU r2
evr
可用于求解静电场的边值问题。
例 半径为a的带电导体球，已知球体电位为U，
求空间电位分布及电场强度分布。
解法一：导体球是等势体。
r
a
时：Ev
U
0
r a时：
2 0 ra U r 0
1
r
2
d dr
(r 2
d
dr
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0
c1 r U
ra
0
r
Байду номын сангаас
c2
aU r
v
E
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问题的求解。
THE END
谢谢观看！
Evgdrv
r
aU r r2 dr
aU r
小结：求空间电场分布的方法
1、场源积分法 积分困难，对大多数问题不能得出解析解。
小结：求空间电场分布的方法
2、应用高斯定理求解 只能应用于电荷成对称分布的问题。
小结：求空间电场分布的方法
3、间接求解法 先求解空间电位分布，再求解空间电场。 在实际工程应用中，间接求解法应用最为广泛，适用于边值
v
v
v
2F (gF ) ( F )
在直角坐标系中：
v 2F
evx2Fx
evy2Fy
evz2Fz
柱面坐标系和球面坐标系下的拉普拉斯运算见附录。
一、静电场电位方程的建立
v
gE v
/
0
E
g
/0
即： 2 / 0
电位的泊松方程
在无源区域， 0
2 0
电位的拉普拉斯方程
二、电位方程的应用