拉普拉斯方程
2.3拉普拉斯方程
的中心置一自由电偶极子 p f ，球
外充满另一种介质（介电常数
为荷分 2布）。，求空间各点电势和束缚电
2
1 p
z
解:
(1)
与
1
的边界为球面，故选
2
球坐标系，电荷分布在有限区，选
R0
r 0
(2)设球内电势为
，球外电势为
1
2 ,球外无自由电荷分布，
电势满足 22 0 。但球内有自由偶极子，不满足拉普拉斯
方程，但满足泊松方程。考虑偶极子使介质极化，极化电荷分
布在偶极子附近和球面上。偶极子 在介质中产生的电势
0
Pf R
4 R 3
所以 1 0 1
0
p f R
4 1 R 3
1 满足 21 0 (R R0 )
还可设 2 0 2 为简单令 0 0
考虑轴对称：1 2
n n
(an R n
21R03
2
n
(n
1)
dn Rn2
0
Pn (cos )
比较 Pn (cos ) 的系数，得
n 1
a1 d1 / R03
pf
2 R03
1a1
2 pf 21R03
2
2d1 R03
d1
(1 2 ) p f 21(1 2 2 )
a1
d1 R03
n 1
an
dn
/
R 2n1 0
n
1an
R n1 0
2 (n
R03 P
0 20
4 0R03E0
球外区域电势 1 的第二项就是这个电偶极矩
所产生的电势 1 pR
4 0 R3
0 20
E0 R03 R2
2.3 拉普拉斯方程
r r = E0 (cos e R − sin θ eθ )
ε − ε0 3 r r r 1 R0 E0 3 3cosθ e R − ( cosθ e R − sin θ eθ ) + 2ε 0 + ε R
结束
第二章∶ 第二章∶静电场
r r r r r ε − ε 0 3 3 E0 ⋅ R R E0 R0 = E0 + − 3 R5 R 2ε 0 + ε r r r r r r 1 3( p ⋅ R ) R p r = E0 + − 3 = E0 + E ′ 5 4πε 0 R R
分析：这是全介质的第一类边值问题。 分析：这是全介质的第一类边值问题。球内外电 势分布具有轴对称性。整个区域分为两部分： 势分布具有轴对称性。整个区域分为两部分：介质 球内2，球外部真空1。两区域内部都没有自由电荷， 球内 ，球外部真空 。两区域内部都没有自由电荷， 因此电势均满足拉普拉斯方程。 因此电势均满足拉普拉斯方程。 微分方程及其通解：由于问题具有轴对称性， 微分方程及其通解：由于问题具有轴对称性，即 轴对称性 ϕ i 与 φ 无关，故: 无关， 代表球外区域的电势， 代表球内的电势。 以 ϕ 1代表球外区域的电势，ϕ 2代表球内的电势。
势，满足Laplace's equation。这种方法从数学上看， 满足 。这种方法从数学上看， 实质是当区域V中有电荷分布时，电势满足Poisson's 实质是当区域 中有电荷分布时，电势满足 equation，而Poisson's equation——非齐次微分方程的 ， 非齐次微分方程的 等于其特解（ 加上拉普拉斯方程—— 通解（φ），等于其特解（ϕ0）加上拉普拉斯方程 齐次方程的通解（ ） 齐次方程的通解（ϕ′）。 但注意，边值关系还要用 ϕ S 而不能用 ϕ ′ S 但注意，
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程（Laplace'sequation），又名调和方程、位势方程，是一种偏微分方程。
因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。
求解拉普拉斯方程是电磁学、天文学和流体力学等领域经常遇到的一类重要的数学问题，因为这种方程以势函数的形式描写了电场、引力场和流场等物理对象（一般统称为“保守场”或“有势场”）的性质。
拉普拉斯方程（Laplace equation）拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。
一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。
通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。
若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△P= P1- P2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：在数理方程中拉普拉斯方程为：△u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中△为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。
三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ：其中Δ称为拉普拉斯算子.拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数f(x, y, z)，即：则该方程称为泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。
偏微分算子或Δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。
狄利克雷问题拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域D内定义的函数φ，使得在D 的边界上等于某给定的函数。
为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。
拉普拉斯方程积分解
拉普拉斯方程积分解什么是拉普拉斯方程拉普拉斯方程（Laplace’s equation）是一个重要的偏微分方程，常常用于描述电势、温度、流体流动等物理过程。
它的一般形式如下：∇^2ϕ = 0,其中，∇^2表示拉普拉斯算符，ϕ表示待求函数。
拉普拉斯方程的积分解方法拉普拉斯方程的求解方法有很多种，其中一种重要的方法是积分解法。
积分解法基于格林函数的概念，通过求解拉普拉斯方程的格林函数，然后进行积分运算，得到方程的解。
格林函数的定义和性质格林函数是偏微分方程求解中的重要概念，它表示在某个位置施加一个单位源，得到的响应。
对于拉普拉斯方程，其格林函数可以表示为：G(x, x’) = -1/(4π|r - r’|),其中，G(x, x’)表示格林函数，x和x’分别表示两个位置点的坐标，r和r’表示两个位置点的距离。
格林函数的一个重要性质是齐次性，即满足齐次边界条件。
这意味着当待求函数满足齐次边界条件时，拉普拉斯方程的解可以表示为格林函数与边界条件的乘积的积分：ϕ(x) = ∫ G(x, x’)f(x’)dV’,其中，ϕ(x)表示待求函数，f(x’)表示边界条件，dV’表示体积元素。
求解过程要利用积分解法求解拉普拉斯方程，首先需要确定边界条件和格林函数。
对于某个具体的物理问题，边界条件是问题的一部分，可以通过实际情况或给定条件确定。
格林函数的选择要与边界条件相适应，通常需要进行一些数学推导和分析。
确定好边界条件和格林函数后，就可以开始求解了。
求解的过程主要包括以下几个步骤：1.将待求函数表示为格林函数与边界条件的乘积的积分形式。
2.利用格林函数的性质进行积分运算，得到待求函数的表达式。
3.针对具体的边界条件和格林函数形式，进行数值计算或解析求解，得到问题的解。
案例分析下面通过一个简单的例子来说明拉普拉斯方程积分解的具体步骤。
考虑一个二维平面上的拉普拉斯方程问题，边界条件为ϕ(x, y) = g(x, y)，其中g(x, y)为已知函数。
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程，也称为谐波方程和势方程，是一种偏微分方程，最早由法国数学家拉普拉斯提出。
拉普拉斯方程是液体表面曲率和液体表面压力之间关系的公式。
曲面称为曲面。
通常，使用两个相应的曲率半径来描述表面，即在表面上的某个点处绘制垂直于该表面的直线，然后通过该线制作一个平面。
平面和表面的截面是曲线，并且在该点与曲线相切的圆的半径称为曲线的曲率半径R1。
第二剖面线及其曲率半径R2可以通过使第二平面垂直于第一平面并与表面相交来获得。
液面的弯曲可以用R1和R2表示。
如果液体表面弯曲，则液体P1内部的压力将与液体外部的压力P2不同，并且液体表面的两侧之间将存在压力差△P = P1-P2，这称为附加压力。
压力。
其值与液体表面的曲率有关，可以表示为：其中γ是液体的表面张力系数，称为拉普拉斯方程。
在数学公式中拉普拉斯方程是：其中∥是拉普拉斯算子，而这里的拉普拉斯方程是二阶偏微分方程。
在三维情况下，拉普拉斯方程可按以下形式描述。
可以将问题简化为求解对于实变量X，y和Z可二阶微分的实函数φ∇2称为拉普拉斯算子。
拉普拉斯方程的解称为谐波函数。
如果在等号右边是给定的函数f（x，y，z），即：然后将该方程称为泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆偏微分方程。
偏微分算子（可以在任何维空间中定义）称为拉普拉斯算子。
方程解它称为谐波函数，可以在建立方程的区域进行分析。
如果任何两个函数满足拉普拉斯方程（或任何线性微分方程），则这两个函数的总和（或它们的任何线性组合）也满足上述方程。
这种非常有用的特性称为叠加原理。
根据这一原理，可以将已知的复杂问题的简单特殊解组合起来，以构建具有更广泛适用性的一般解。
拉普拉斯方程
➢ 实微分定理
L
df (t) dt
sF (s)
f
(0),
f (0) f (t) t 0
证明：
由于
f (t)est dt 0
e st f (t)
s
0
df (t ) est 0 dt s
dt
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满哥制作
复变函数—拉普拉斯（Laplace）方程
B'(s)
B'( pi )
例 1：求
F (s)
s2 s 2 s(s 2 s 6) 的原函数
f（t）。
解：
F(s)
s2 s 2 s(s2 s 6)
s2 s 2 s(s 3)(s 2)
A1 s
A2 s3
A3 s2
A1
sF (s) s0
s2 s 2
(s
3)(s
2)
正弦及余弦函数
sin t 1 e j t e j t 2j
版权所有，盗版必究！cos t
第
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共
e
j18 页t
e j t
满哥制作
2
复变函数—拉普拉斯（Laplace）方程
由欧拉公式，有：
从而： L[sint ] 1 e jt e st dt e jt e st dt
2j 0
0
同理：
1 2j
s
1
j
L[coss2
t ]
2
s
1
sj
sR2 e(s) 02
单位脉冲函数 (t)
f(t)
1
0
t
单位脉冲函数
0
(t
)
拉普拉斯方程
拉普拉斯方程拉普拉斯方程（Laplace's equation）又称调和方程、位势方程，是一种偏微分方程，因由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名。
[1]拉普拉斯方程表示液面曲率与液体表面压强之间的关系的公式。
中文名拉普拉斯方程外文名Laplace's equation别称调和方程、位势方程提出者拉普拉斯关键词微分方程、拉普拉斯定理涉及领域电磁学、天体物理学、力学、数学目录.1基本概述.▪在数理方程中.▪方程的解.2二维方程.3人物介绍基本概述一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相切的圆半径称为该曲线的曲率半径R1。
通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径R2，用R1与R2可表示出液体表面的弯曲情况。
若液面是弯曲的，液体内部的压强p1与液体外的压强p2就会不同，在液面两边就会产生压强差△P= P1- P2，称附加压强，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：，式中γ是液体表面张力系数，该公式称为拉普拉斯方程。
在数理方程中拉普拉斯方程为：，其中∇²为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。
三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ ：其中∇²称为拉普拉斯算子。
拉普拉斯方程的解称为调和函数。
如果等号右边是一个给定的函数f（x，y，z），即：则该方程称为泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。
偏微分算子（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是Laplace operator或简称作Laplacian。
方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。
任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。
拉普拉斯方程极坐标形式
拉普拉斯方程极坐标形式拉普拉斯方程是一种描述空间物理现象的数学方程。
在极坐标系下，拉普拉斯方程的形式为：$$\frac{\partial^2u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partialu}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2u}{\partial\theta^2}=0$$其中，$u$是我们要求解的函数，$r$是极径，$\theta$是极角。
这个方程主要描述了空间中的温度分布、电场分布等现象，是物理学中的重要工具。
这个方程的求解可以通过分离变量的方法来得到。
首先假设$u$能够表示为$r$和$\theta$的乘积形式：$$u(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta)$$将上式代入拉普拉斯方程中得到：$$\frac{1}{R}\frac{\partial^2R}{\partialr^2}+\frac{1}{rR}\frac{\partial R}{\partialr}+\frac{1}{r^2\Theta}\frac{\partial^2\Theta}{\partial\theta^2}=0$$这个式子中，左侧只依赖于$r$，右侧只依赖于$\theta$。
因此，它们应该等于一个常数，记作$k^2$：$$\frac{1}{R}\frac{\partial^2R}{\partialr^2}+\frac{1}{rR}\frac{\partial R}{\partial r}=k^2$$$$\frac{1}{r^2\Theta}\frac{\partial^2\Theta}{\partial \theta^2}=-k^2$$这两个方程可以分别求解得到$R$和$\Theta$：$$R(r)=c_1\ln(r)+c_2$$$$\Theta(\theta)=a\sin(k\theta)+b\cos(k\theta)$$其中，$c_1$、$c_2$、$a$、$b$为常数。
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拉普拉斯方程应该和泊松方程是同胞兄弟了，都是扩散方程，用来描述散度场的。
只不过拉普拉斯方程是无源场，泊松方程是有源场。
预备内容：梯度、旋度、散度和拉普拉斯算子在曲线坐标下的表达式：
如果在某个曲线坐标系内位移微元（其中是坐标），那么便有：
梯度：散度：旋度：拉普拉斯算符：
对于直角坐标系、球坐标系和柱坐标系来说，的值为：
于是，我们便可以轻松地默写球坐标下拉普拉斯算符的表达式\^o^/
下面进入正题
1.直角坐标系
当出现金属平板之类的边界条件时，使用直角坐标系较为方便。
在直角坐标系下，拉普拉斯方程的表达式为：
i）二维问题
假设沿z轴平移V保持不变，于是方程便简化为二维形式：
我们假设V可以写成两个函数相乘的形式：
（乍看之下这不是一个很合理的假设。
但是我们很快可以看到为什么可以这样做）
代入原方程并在两边除以V:
因为两部分之和为0，因此我们可以假设一个是正数另一部分是负数：（这里以含x的部分为正含y的部分为负为例）
很显然，这两个方程的解就是：
注记：这里决定哪一部分是正数哪一部分是负数要由边界条件来确定。
比如说，沿x方向到达无限远时电势为零，x就应该含有指数衰减项，因此令含x的部分为正数。
于是，方程的一个解是
对所有可能的k求和，可以得到通解：
常数A,B,C,D的值需要由边界条件来确定。
通常情况下，通过边界条件可以把k化成含有正整数的式子。
将求和号改成对n求和，可以看到，第二个括号里的项便是傅里叶级数。
狄利克雷定理保证了这个级数可以拟合任何边界条件。
傅里叶系数可以由积分来确定。
ii)三维问题
三维问题的处理方法与二维的情形类似。
同样，假设是这种形式：
同样，代入方程并在两边同除以V:
假设含x的部分是正的，含y和z的部分是负的：
很显然，上面这些方程的解为：
方程的一个解就是对于k和l求和便得到了通解。
与二维问题类似，通过边界条件可以确定所有常数的值。
同样，可以拟合用于确定边界条件的二元函数。
由于三角函数具有正交性，确定这里的系数的方式与傅里叶级数的方法十分类似。
2. 球坐标系
对于边界是球形的情形使用球坐标系更加方便
这里只研究具有轴对称性的问题，即V中不含有。
于是，利用一开始提到的拉普拉斯算符在曲线坐标系中的表达式，写出球坐标下的拉普拉斯方程，并删掉含有的项可以得到：
与前面一样，我们假设解是乘积形式：
代入方程并在两边同除以V:
很容易就可以得到第一个方程的解：
然而，第二个方程的解就没有这么简单了。
我们必须要用勒让德多项式来写出它：
勒让德多项式可以由罗德里格公式来定义：
前几个勒让德多项式
罗德里格公式仅对非负整数成立。
此外，它仅仅提供了一个解。
对于一个二阶微分方程来说，显然对于每一个l应该有两个解。
一般来说，另外一个解在或时发散，在物理上是不可取的。
但是，有的时候z轴是只能无限接近而无法取到的，这时别的解需要被考虑。
不管怎么样，一般来说，解是：
勒让德多项式的性质与三角函数十分类似。
它在的区间内构成一个完备集，而且它是正交的：
因此，勒让德多项式同样可以用来拟合边界条件。
可以用傅里叶技巧确定系数。
3. 柱坐标系
当出现带电金属线、带电金属导管之类的时候使用柱坐标系较为方便。
这里我们只考察柱对称的情形（V不依赖于z）
再一次用开头提到的公式写出拉普拉斯方程并删掉含有z的项：
假设
代入并两边除以V：
令
很容易求出这两个方程的解：
因此方程的一个解就是。
对其关于l求和就是通解。
同样，常数的值要由边界条件来确定。
第二个括号里的项是傅里叶级数，可以用于拟合边界条件。