第2章 静电场(5) 泊松方程和拉普拉斯方程讲解
静电场泊松方程
静电场泊松方程介绍静电场泊松方程是描述静电场分布的重要方程，它通过求解泊松方程来确定电势分布。
静电场泊松方程是物理学与工程学中的一项基础知识，它在电磁学、电子学、电容器设计等领域起着重要作用。
在本文中，我们将对静电场泊松方程进行全面、详细、完整且深入地探讨。
首先，我们将介绍静电场的基本概念，然后详细讨论泊松方程的定义和推导过程，最后讨论静电场泊松方程在实际应用中的重要性和应用案例。
静电场的基本概念静电场是指在没有电流流动的情况下，由电荷所产生的电场。
在静电场中，电荷的分布决定了电场的形状和强度。
根据电荷的正负性质，电场可以分为正电场和负电场。
在静电场中，电荷与电场之间存在以下关系：1.电荷受到电场力的作用，力的大小和方向由电场和电荷的性质决定。
正电荷受到正电场的斥力，负电荷受到正电场的引力。
2.电场的强度与电荷的比例成正比，与电荷与距离的平方成反比。
电场强度可表示为：E=kq，其中E为电场强度，k为库仑常数，q为电荷量，r为距离。
r23.电场是矢量量，具有方向和大小。
泊松方程的定义与推导泊松方程是描述电势分布的重要方程，它与电场之间存在以下关系：1.电场具有旋度为零的特点，也即电场是一个保守场。
电场可以表示为负梯度电位的形式：E=−∇V，其中E为电场，V为电势。
2.电场的散度等于电荷密度除以介电常数：∇⋅E=ρ，其中ρ为电荷密度，ε为ε介电常数。
基于以上两个关系，我们可以推导出泊松方程：∇⋅(−∇V)=−∇2V=ρε其中，∇2为拉普拉斯算子。
根据泊松方程，我们可以通过求解电荷分布和边界条件来确定静电场中的电势分布。
泊松方程的解与应用案例求解泊松方程是一个重要的数学问题，在实际应用中有广泛的应用。
以下是一些泊松方程的解与应用案例：1. 平行板电容器在平行板电容器中，两块平行金属板之间存在恒定电场。
通过求解泊松方程，可以确定电势分布和电场强度分布。
这对于电容器的设计和制造非常重要。
2. 圆柱电容器圆柱电容器是一种常见的电容器结构，它在电子设备中得到广泛应用。
第2章 静电场(5) 泊松方程和拉普拉斯方程讲解
8
根据矢量场理论，要确定一个矢量场， 必须同时给顶它的散度和旋度。 所以静电场的基本方程中包含了：
一个旋度方程和 一个散度方程。
同时，场量的散度与该场的标量源密度有关， 旋度与该场的矢量源密度有关。
9
§2-5 泊松方程和拉普拉斯方程
一、静电场的基本方程 二、泊松方程和拉普拉斯方程
静电场是守恒场
E d l 0（静电场的环流定理） C
静电场强的环路积分为零。
5
因此，电场强度
E
可以用一个标量
函数——电位函数的负梯度表示。
E
同时，静电场又是一个有散场， 静止电荷是静电场的散度源。
6
因此，可以从静电场的性质总结出：
在各向同性、均匀、线性的媒质中
2
y 2
2
z 2
圆柱坐标系：2
1 r
r
r
r
1 r2
2 2
2
z 2
球坐标系：
2
1 r2
r
r 2
r
1
r2 sin
sin
r2
1
sin 2
10
二、泊松方程和拉普拉斯方程 1、泊松方程 2、拉普拉斯方程
11
1、泊松方程
D E
E
（介质方程） （电场与电位的关系） D (E)
E ()
（在均匀、线性、各向同性的电介质中，为常数。）
2
一次积分
静电场(5) 泊松方程和拉普拉斯方程
0
Dd S
S
q
微分形式：
E
0
或（E ）
7
介质方程：
D
D 0rE E
在各向同性、均匀、线性的媒质中， 由静电场的基本方程可以得出结论： 静电场是一个有通量源（静止电荷）
而没有旋涡源的矢量场。
8
根据矢量场理论，要确定一个矢量场， 必须同时给顶它的散度和旋度。 所以静电场的基本方程中包含了：
E ()
（在均匀、线性、各向同性的电介质中，为常数。）
2
（电位的泊松方程）
12
2、拉普拉斯方程
对于场中没有电荷分布（=0）的区域内：
2
（电位的泊松方程）
0 2
(电位的拉普拉斯方程)
拉普拉斯方程是泊松方程的特例。
13
2是拉普拉斯算符：二阶微分算符
直角坐标系：
r
1
r2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
15
两类问题 可以用泊松方程或拉普拉斯方程解决
1、已知：有限区域内的电荷分布， 求：电位和场强
（场域内电介质是均匀、线性和各向同性。）
求电位：
(x, y, z) 1 (x', y', z') dV '
4 V '
r
求场强：
E
1
r 2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
1 r2
r
r 2
r
0
r 2 0
18
r r
r 2 0
r r
一次积分
r2
r
C1
C1 r r 2
1.1 拉普拉斯方程与泊松方程
泊松方程和拉普拉斯方程Poisson's equation and Laplace's equation势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史1777年，J.L.拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点的质量mk 除以它们到任意观察点P的距离rk，并且把这些商加在一起，其总和即P点的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
==静电场的泊松方程和拉普拉斯方程==若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数εo=8.854×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，σ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
除了静电场之外，在电学、磁学、力学、热学等领域还有许多服从拉普拉斯方程的势场。
物理化学泊松方程
物理化学泊松方程泊松方程是物理化学中一种重要的偏微分方程，描述了电势场中的电荷分布和电势之间的关系。
它是电场的基本方程之一，也是研究电子结构、电解质溶液等领域的基础。
我们来了解一下泊松方程的基本形式。
在三维空间中，泊松方程可以表示为：▽²Φ = -ρ/ε₀其中，▽²Φ表示拉普拉斯算子作用于电势Φ得到的结果，ρ是电荷密度，ε₀是真空介电常数。
这个方程建立了电势分布和电荷分布之间的关系，通过求解该方程，我们可以得到电势场的分布情况。
泊松方程的物理意义可以从两个方面理解。
首先，它描述了电势场中的电荷分布情况。
当电荷密度ρ为零时，泊松方程退化为拉普拉斯方程，描述了无电荷的电势场分布情况。
其次，泊松方程还可以用于求解电势场中的电荷分布。
通过已知的电势分布，可以反推出电荷分布情况，这在研究电子结构、电解质溶液等问题时非常有用。
泊松方程在物理化学中的应用非常广泛。
例如，在固体物理中，泊松方程被用来研究电子在晶格中的运动和能带结构；在电解质溶液中，泊松方程被用来研究电位分布和电解质浓度之间的关系。
此外，泊松方程还可以应用于电容器、半导体、生物电势等领域。
为了求解泊松方程，我们需要给定边界条件。
边界条件可以是电势值的固定值，也可以是电势梯度的固定值。
根据边界条件的不同，可以得到不同形式的泊松方程解。
对于一些复杂的情况，如非线性泊松方程、含时泊松方程等，求解起来可能更加困难，需要借助数值计算方法或近似方法。
泊松方程是物理化学中一种重要的方程，描述了电势场中的电荷分布和电势之间的关系。
通过求解泊松方程，可以得到电势场的分布情况，从而揭示了电势和电荷分布之间的联系。
泊松方程在固体物理、电解质溶液等领域有广泛的应用，对于理解和解决实际问题具有重要意义。
泊松方程和拉普拉斯方程
泊松方程和拉普拉斯方程势函数的一种二阶偏微分方程。
广泛应用于电学、磁学、力学、热学等多种热场的研究与计算。
简史1777年，拉格朗日研究万有引力作用下的物体运动时指出：在引力体系中，每一质点，并且把这些商加在一起，其总和即P点的质量m k除以它们到任意观察点P的距离rk的势函数，势函数对空间坐标的偏导数正比于在 P点的质点所受总引力的相应分力。
1782年，P.S.M.拉普拉斯证明：引力场的势函数满足偏微分方程：，叫做势方程，后来通称拉普拉斯方程。
1813年，S.-D.泊松撰文指出，如果观察点P在充满引力物质的区域内部，则拉普拉斯方程应修改为，叫做泊松方程，式中ρ为引力物质的密度。
文中要求重视势函数 V在电学理论中的应用，并指出导体表面为等热面。
静电场的泊松方程和拉普拉斯方程若空间分区充满各向同性、线性、均匀的媒质，则从静电场强与电势梯度的关系E=-墷V和高斯定理微分式，即可导出静电场的泊松方程：，式中ρ为自由电荷密度，纯数εr为各分区媒质的相对介电常数，真空介电常数ε=8.854o×10-12法／米。
在没有自由电荷的区域里，ρ＝0，泊松方程就简化为拉普拉斯方程。
在各分区的公共界面上，V满足边值关系，，式中i，j指分界面两边的不同分区，ζ为界面上的自由电荷密度，n表示边界面上的内法线方向。
边界条件和解的唯一性为了在给定区域内确定满足泊松方程以及边值关系的解，还需给定求解区域边界上的物理情况，此情况叫做边界条件。
有两类基本的边界条件：给定边界面上各点的电势，叫做狄利克雷边界条件；给定边界面上各点的自由电荷，叫做诺埃曼边界条件。
边界几何形状较简单区域的静电场可求得解析解，许多情形下它们是无穷级数，稍复杂的须用计算机求数值解，或用图解法作等势面或力线的场图。
静电场的Laplace方程和Poisson方程(精)
边界条件当然不限于以上三类,还可以有各式各样的边界 条件，甚至是非线性边界条件。
除了初始条件和边界条件，有一些物理问题还需要附加一 些其他才能确定其解。如教材中所介绍的衔接条件和自然边界 条件等。
（P159）
（定解问题所需边界条件的数目？）
三类定解问题
定解问题有微分方程(泛定方程)和定解条件组成. 定解条件主要是由初始条件和边界条件组成.根据定解 条件的情况,可以把定解问题分成三类:
二阶线性偏微分方程
把函数 u 的所有自变量（包含空间坐标和时间）依次记作
x1 , x2 ,
, xn ,二阶偏微分方程如果可以写成如下形式:
a u
i, j
n
ij xi x jFra bibliotek biuxi cu f 0
i
n
如果 aij , bi , c, 是线性的.如果 齐次的.
f
只是 1
x , x2 ,
, xn 的函数,则该方程
f 0 ,则称该方程是齐次的;否则称为非
(1)方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称 为方程的阶． (2)方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏 微分方程的次数． (3)线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有 （组合）偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高 于一次以上的方程称为非线性方程． (4)准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最 高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程． (5)自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的 项称为自由项．
t ,
u x x, t | x l t k
1
又如杆的纵振动问题,若一端受有外力,且单位面积上所受的力 为
NO.9-10 第二章 静电场--泊松方程和拉普拉斯方程
φ1 φ 2 ε1 = ε2 n n
第二章 静 电 场
四、介质分界面上电场方向的关系
当两种介质分界面上没有自由电荷, 即ρs=0, 则 边界条件:
D1n = D 2 n
E1t = E2t
改写:
ε 1 E1 cos θ1 = ε 2 E 2 cos θ 2
E1 sin θ 1 = E 2 sin θ 2
ρv d 2φ 2 2 φ2 = = 2 ε0 dy
d 2φ3 2 φ3 = =0 2 dy
第二章 静 电 场 将上面三个方程分别分两次可得
φ1 = C1 y + C2 ρv 2 φ2 = y + C3 y + C 4 2ε 0 φ 3 = C5 y + C 6
由场分布的y=0平面对称性，可知φ3(y)= φ1(-y)，所以我们 只需求解φ1和φ2，也就是只要根据边界条件确定常数C1、 C2 、 C3 、 C4。
圆柱坐标系中: 圆柱坐标系中 球坐标系中: 球坐标系中
第二章 静 电 场
四 . 一维泊松方程的求解
P.66 例2-9 例2-10
第二章 静 电 场 例 1 设有一个半径为a的球体, 其中均匀充满体电荷密度为 ρv(C/m3)的电荷, 球内外的介电常数均为ε0,试用电位微分方程, 求解球内、外的电位和电场强度。 解：设球内、外的电位分别为φ1和φ2, φ1满足泊松方程, φ2满足拉普拉斯方程, 由于电荷均匀分布, 场球对称, 所以φ1、 φ2均是球坐标r的 函数。 ;
两式相除:
tgθ1 ε1 ε r1 = = tgθ 2 ε 2 ε r 2
------静电场的折射定理 静电场的折射定理
电场方向在 交界面上的曲折
第二章 静 电 场
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E 0
D
或（E ）
2
§2-5 泊松方程和拉普拉斯方程
一、静电场的基本方程 二、泊松方程和拉普拉斯方程
3
§2-5 泊松方程和拉普拉斯方程
一、静电场的基本方程 二、泊松方程和拉普拉斯方程
4
一、静电场的基本方程
前面已经得出：
静电场是无旋场 E 0 (静电场守恒性的微分形式)
（电位的泊松方程）
12
2、拉普拉斯方程
对于场中没有电荷分布（=0）的区域内：
2
（电位的泊松方程）
0 2
(电位的拉普拉斯方程)
拉普拉斯方程是泊松方程的特例。
13
2是拉普拉斯算符：二阶微分算符
直角坐标系：
ax
x
ay
y
az
z
10
二、泊松方程和拉普拉斯方程 1、泊松方程 2、拉普拉斯方程
11
1、泊松方程
D E
E
（介质方程） （电场与电位的关系） D (E)
E ()
（在均匀、线性、各向同性的电介质中，为常数。）
2
D和E
，
求电荷的分布。
D 或
E
17
例2-9 P66 已知导体球的电位是U（设无穷远处的电位为0）， 球的半径为a，求球外的电位函数。 解：球外的电位满足拉普拉斯方程（=0），且电场
具有球面对称性，因此= (r)。 球 坐 标 系，
2
1 r2
r
r 2
静电场的基本方程：
积分形式：
Edl C
0
Dd S
S
q
微分形式：
E
0
或（E ）
介质方程：
D
D 0rE
E
7
在各向同性、均匀、线性的媒质中， 由静电场的基本方程可以得出结论： 静电场是一个有通量源（静止电荷）
而没有旋涡源的矢量场。
8
根据矢量场理论，要确定一个矢量场， 必须同时给顶它的散度和旋度。 所以静电场的基本方程中包含了：
一个旋度方程和 一个散度方程。
同时，场量的散度与该场的标量源密度有关， 旋度与该场的矢量源密度有关。
9
§2-5 泊松方程和拉普拉斯方程
一、静电场的基本方程 二、泊松方程和拉普拉斯方程
r2
r
C1
C1 r r 2
r
C1 r2
一次积分
C1 r
C2
边界条件： r a , U ; r , 0。
C1 aU; C2 0。
aU (a r ) r
19
例2-10 P66
两无限大平行板电极，板间距为d，电压
2
y 2
2
z 2
圆柱坐标系：2
1 r
r
r
r
1 r2
2 2
2
z 2
球坐标系：
2
1 r2
r
r 2
r
1
r2 sin
sin
r2
1
sin 2
x
E
0 x2 x
22
填空题：
静电场电位所满足的微分方程是
。
2
原来就是泊松方程啊！ ~~~~~~ORZ…………………
23
2
ax
x
ay
y
az
z
ax
x
ay
y
az
z
2
x 2
2
y 2
2
z 2
14
拉普拉斯算符2在三种坐标系中的表示
直角坐标系：2
2
x2
r
1
r 2 sin
sin
1
r 2 sin 2
2 2
1 r2
r
r 2
r
0
r 2 0
r r
18
r 2 0
r r
一次积分
为U0，并充满密度为0x/d的体电荷。用 泊松方程的方法求板间的电场强度。
解：
2
0x 0d
(0 x d)
x 0, 0
x d, U0
0x d
2
2
x2
d 2
dx2
0x 0d20
d 2 0 x dx2 0d
静电场是守恒场
E d l 0（静电场的环流定理） C
静电场强的环路积分为零。
5
因此，电场强度
E
可以用一个标量
函数——电位函数的负梯度表示。
E
同时，静电场又是一个有散场， 静止电荷是静电场的散度源。
6
因此，可以从静电场的性质总结出：
在各向同性、均匀、线性的媒质中
第二章 静电场
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7 §2.8
库仑定律与电场强度 静电场的无旋性与电位函数 静电场中的导体与电介质 高斯通量定理 泊松方程和拉普拉斯方程 分界面上的边界条件 导体系统的电容 静电场能量和静电力
★ 电位的泊松方程
2
★ 静电场的基本方程
一次积分
d
dx
1 2
0 x2 0d
C1
一次积分
边界条件： x 0,
0;
0 x3 6 0 d
C1x C2
C1
U0 d
0d 6 0
;
x d , U0 .
C2 0
21
0x3 6 0 d
U0 d
0d 6 0
2 2
15
两类问题 可以用泊松方程或拉普拉斯方程解决
1、已知：有限区域内的电荷分布， 求：电位和场强
（场域内电介质是均匀、线性和各向同性。）
求电位：
(x, y, z) 1 (x', y', z') dV '
4 V '
r
求场强：
E
16
2、给定电场分布，即已知