相似三角形添加辅助线的方法举例

相似三角形添加辅助线的方法举例例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2＝2CD ·AC ．例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE（1）如果AB CE ⊥，CD AB =，AE BE 3=，求B ∠的度数；（2）设BCE ∆和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S =，试求AEBE的值例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点，AD AF 31=，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC的值．BCD例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________.例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长．例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：CD BDAC AB．相似三角形添加辅助线的方法举例答案例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2＝2CD ·AC ．分析：欲证 BC 2＝2CD ·AC ，只需证BCACCD BC =2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同．证法一（构造2CD ）：如图，在AC 截取DE ＝DC ， ∵BD ⊥AC 于D ，∴BD 是线段CE 的垂直平分线， ∴BC=BE ，∴∠C=∠BEC ， 又∵ AB ＝AC ， ∴∠C=∠ABC ．∴ △BCE ∽△ACB ．∴BC AC CE BC =， ∴BCACCD BC =2 ∴BC 2＝2CD ·AC ． 证法二（构造2AC ）：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝AC ，连结BE ， ∵ AB ＝AC ， ∴ AB ＝AC=AE ． ∴∠EBC=90°， 又∵BD ⊥AC ．∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°， ∴∠E=∠DBC ， ∴△EBC ∽△BDC∴BC CE CD BC =即BCAC CD BC 2= ∴BC 2＝2CD ·AC ． 证法三（构造BC 21） ：如图，取BC 的中点E ，连结AE ，则EC=BC 21．又∵AB=AC ，∴AE ⊥BC ，∠ACE=∠C ∴∠AEC=∠BDC=90° ∴△ACE ∽△BCD ．∴BC AC CD CE =即BCACCD BC=21． ∴BC 2＝2CD ·AC ． 证法四（构造BC 21）：如图，取BC 中点E ，连结DE ，则CE=BC 21． ∵BD ⊥AC ，∴BE=EC=EB ，∴∠EDC=∠C又∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ， ∴△ABC ∽△EDC ．BCEBCBB C∴ECACCDBC=J即BCACCDBC21=．∴BC2＝2CD·AC．说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．例2．已知梯形ABCD中，BCAD//，ADBC3=，E是腰AB上的一点，连结CE（1）如果ABCE⊥，CDAB=，AEBE3=，求B∠的度数；（2）设BCE∆和四边形AECD的面积分别为1S和2S，且2132SS=，试求AEBE的值（1）设kAE=，则kBE3=解法1如图，延长BA、CD交于点FΘBCAD//，ADBC3=，∴AFBF3=∴kAF2=，E为BF的中点又BFCE⊥CFBC=，又BFCF=∴BCF∆为等边三角形故︒=∠60B解法2如图作ABDF//分别交CE、CB于点G、F则DFCE⊥，得平行四边形ABFD同解法1可证得CDF∆为等边三角形故︒=∠=∠601B解法3如图作ECAF//交CD于G，交BC的延长线于F作ABGI//，分别交CE、BC于点H、I则GICE⊥，得矩形AEHGCEAF//Θ∴3==AEBECFBC，又AD BC 3= ∴AD CF =，故G 为CD 、AF 的中点 以下同解法1可得CGI ∆是等边三角形 故︒=∠=∠601B 解法4 如图，作CD AF //，交BC 于F ，作CE FG //，交AB 于G ，得平行四边形AFCD ，且AB FG ⊥ 读者可自行证得ABF ∆是等边三角形，故︒=∠60B 解法5 如图延长CE 、DA 交于点F ，作CD AG //，分别交BC 、CE 于点G 、H ，得平行四边形AGCD 可证得A 为FD 的中点，则k AH 2=，故︒=∠601 得ABG ∆为等边三角形，故︒=∠60B 解法6 如图（补形法），读者可自行证明CDF ∆是等边三角形， 得︒=∠=∠60F B（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三线合和一、等积法等） （2）设S S BCE 3=∆，则S S AECD 2=四边形 解法1（补形法）如图补成平行四边形ABCF ，连结AC ，则AD DF 2= 设x S ACD =∆，则x S S ACE -=∆2，x S CDF 2=∆ 由ACF ABC S S ∆∆=得， x x x s s 223+=-+，∴s x 45=∴s x s S ACE 432=-= ∴4433===∆∆ss S S AE BE ACE BCE解法2（补形法）如图，延长BA 、CD 交于点F ，91=∆∆ABC FAD S S∴sS S S FAD ABCD FAD 581∆∆==梯形 ∴s S FAD 85=∆，s s s S FEC 821285=+=∆，又s S EBC 3=∆ ∴87==∆∆BEC FBC S S BE EF 设m 8=BE ，则m 7=EF ，m 15=BF ，m 5=AF∴m 2=AE ，∴4==AEBE解法3（补形法）如图连结AC ，作AC DF //交BA 延长线于点F 连结FC则FAD ∆∽ABC ∆，故AF AB 3=（1）ACF ACD S S ∆∆=，FEC AECD S S ∆=四边形 ∴23===∆∆∆AECD BCE FEC BEC S S S S EF BE 四边形 故AF AE AF AE EF BE 33)(332+=+==（2） 由（1）、（2）两式得AE BE 4= 即4=AEBE解法4（割补法）如图连结A 与CD 的中点F 并延长交BC 延长线于点G ，如图，过E 、A 分别作高1h 、2h ，则AD CG =且AECG AECD S S 四边形四边形=，∴s S S ABCD ABG 5==∆梯形∴21212153h BG h BC S S ABGEBC⋅⋅⋅⋅==∆∆，又43=BG BC ∴5421=h h ，∴54=AB BE ，故4=AEBE 说明 本题综合考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是作辅助线，构造相似三角形.例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点，AD AF 31=，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC的值．解法1： 延长FE 交CB 的延长线于H ， ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴BCAD //，∴ ∠H=∠AFE ，∠DAB=∠HBE又AE=EB ，∴ △AEF ≌△BEH ，即AF=BH ，∵AD AF 31=，∴ BC AF 31=，即CH AF 41=．∵ AD ∥CH ，∠AGF=∠CGH ，∠AFG=∠BHE ，∴ △AFG ∽△CGH ．∴ AG ：GC=AF ：CH ，∴ AG ：GC=1：4，∴ AG ：AC=1：5．解法2： 如图4—2，延长EF 与CD 的延长线交于M ，由平行四边形ABCD 可知，DCAB //，即AB ∥MC ，∴ AF ：FD=AE ：MD ，AG ：GC=AE ：MC ． ∵ AD AF 31=，∴ AF ：FD=1：2，∴ AE ：MD=1：2．∵DCAB AE 2121==．∴ AE ：MC=1：4，即AG ：GC=1：4，∴ AG ：AC=1：5例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________.解析：取CF 的中点G ，连接BG ．∵ B 为AC 的中点， ∴ BG ：AF=1：2，且BG ∥AF ，又E 为BD 的中点， ∴ F 为DG 的中点． ∴ EF ：BG=1：2．故EF ：AF=1：4，∴ AF ：AE=4：3．例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长．解法1： 过O 点作OM ∥CB 交AB 于M ， ∵ O 是AC 中点，OM ∥CB ，∴ M 是AB 的中点，即a MB 21=，∴ OM 是△ABC 的中位线，b BC OM 2121==，且OM ∥BC ，∠EFB=∠EOM ，∠EBF=∠EMO ．∴ △BEF ∽△MOE ，∴EM BE OMBF =， 即cacb BF +=221，∴c a bc BF 2+=. 解法2： 如图4-8，延长EO 与AD 交于点G ，则可得△AOG ≌△COF ，∴ AG=FC=b-BF ，∵ BF ∥AG ，∴AE BE AG BF =．即c a cBF b BF +=-， ∵ c a c bBF 2+= ∴ c a bcBF 2+=. 解法3： 延长EO 与CD 的延长线相交于N ，则△BEF 与△CNF 的对应边成比例，即CN BECF BF =． 解得c a bcBF 2+=.例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：CD BDAC AB =． 分析1 比例线段常由平行线而产生，因而研究比例线段问题，常应注意平行线的作用，在没有平行线时，可以添加平行线而促成比例线段的产生．此题中AD 为△ABC 内角A 的平分线，这里不存在平行线，于是可考虑过定点作某定直线的平行线，添加了这样的辅助线后，就可以利用平行关系找出相应的比例线段，再比较所证的比例式与这个比例式的关系，去探求问题的解决． 证法1： 如图4—9，过C 点作CE ∥AD ，交BA 的延长线于E ．在△BCE 中，∵ DA ∥CE ，∴ AE BADCBD =① 又∵ CE ∥AD ，∴ ∠1=∠3，∠2=∠4，且AD 平分∠BAC ，∵ ∠1=∠2，于是∠3=∠4，∴ AC=AE ．代入②式得AC ABDCBD =． 分析2 由于BD 、CD 是点D 分BC 而得，故可过分点D 作平行线．证法2： 如图4—10，过D 作DE ∥AC 交AB 于E ，则∠2=∠3．∵ ∠1=∠2，∴ ∠1=∠3． 于是EA=ED ．又∵DC BD EA BE =，∴ EA BE ED BE AC AB ==，∴CD BDAC AB =. 分析3 欲证式子左边为AB ：AC ，而AB 、AC 不在同一直线上，又不平行，故考虑将AB 转移到与AC 平行的位置．证法3： 如图4—11，过B 作BE ∥AC ，交AD 的延长线于E ，则∠2=∠E ．∵ ∠1=∠2，∴ ∠1=∠E ，AB=BE ．又∵AC BE DCBD =，∴ CD BDAC AB =. 分析4 由于AD 是∠BAC 的平分线，故可过D 分别作AB 、AC 的平行线，构造相似三角形求证．证法4 如图4—12，过D 点作DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ．易证四边形AEDF 是菱形．则 DE=DF ．由△BDE ∽△DFC ，得DE BEDF BE DC BD ==．又∵ AC AB DE BE =，∴ DC BD AC AB =.。