年崇文高三数学理科二模含答案
北京崇文区高三数学二模试题.pdf
设复数 z = cos − sin + 2 + (cos + sin )i 。
（Ⅰ）当 = 5 时，求 argz 的值； 4
（Ⅱ）当 (− , ) 时，求|z|的最大值。
18．（本小题满分 12 分）
解关于 x 的不等式| 1 + 21log a x || log a x | +2(其中a 0且a 1)
20．（本小题满分 12 分）
如图，三棱锥 P—ABC 的底面是边长为 2 3 的正三角形，D 是 PA 的中点，二面角 P
—AC—B 为 120O，PC⊥AC 且 PC=2。 （Ⅰ）证明：AC⊥BD； （Ⅱ）求 BD 与平面 ABC 所成角的正弦值。
21．（本小题满分 12 分） 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售量均为 P，经营了 n 年（n≥2）以后，
16．用一个正方体的各面都不平行的平面去截正方体，截得的截面是四边形的图形可能
是下列选项中的______________。（把所有符合条件的图形的序号都填上）
①矩形
②直角梯形
③菱形
④正方形
三、解答题：本大题共 6 小题；共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分 12 分）
a
学无 止 境
6． 一个圆锥的侧面是半圆，则圆锥两条母线间的最大夹角为（
A．45O
B．60 O
C．90 O
7． 函数 y = sin( x + ) 的图象关于 3
A． 原点对称 B．y 轴对称
C．直线 x = − 对称 3
） D．120 O
D．直线 x = 对称 6
8Hale Waihona Puke 若函数 y = f (x) 在（0，2）上是增函数，且 f (x + 2) 是偶函数，则（ ）
2021-2022年高三二模考试数学(理)试题解析版 含解析
2021-2022年高三二模考试数学（理）试题解析版含解析一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，满分56分，只需将结果写在答题纸上）1．（4分）（xx•崇明县二模）计算= i ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的除法运算法则把分子、分母分别乘以分母的共轭复数1﹣2i即可得出．解答：解：===i．故答案为i．点评：熟练掌握复数的除法运算法则、共轭复数的定义是解题的关键．2．（4分）（xx•崇明县二模）已知函数的定义域为M，函数g（x）=2x的值域为N，则M∩N=（0，1）．考点：交集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：先求出f（x）定义域M和g（x）的值域N，再进行交集运算．解答：解：对于f（x），要满足1﹣x＞0，即，x＜1，故M={x|x＜1} 对于g（x），由于g（x）=2x＞0，故N={y|y＞0}={x|x＞0}，所以，M∩N={x|x＜1}∩{x|x＞0}=（0，1）．故答案为：（0，1）．点评：本题考查求函数的定义域和值域，求两个集合的交集的方法，化简M和N是解题的关键．3．（4分）（xx•崇明县二模）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是3，点M、N分别是棱AB、AA1的中点，则异面直线MN与BC1所成的角是．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题．分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角或直角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形A1BC1是等边三角形则∠A1BC1为，从而求出异面直线MN与BC1所成的角．解答：解：如图，连接A1B，A1C1，MN∥A1B，则∠A1BC1为直线MN与BC1所成的角棱长为3，则A1B=A1C1=BC1=3，∴三角形A1BC1为等边三角形则∠A1BC1为从而异面直线MN与BC1所成的角是故答案为．点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，解题本题的关键寻找异面直线所成角，易错在计算．4．（4分）（xx•崇明县二模）若抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线x2﹣y2=2的右焦点重合，则p的值为4．考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．题：分析：将双曲线化成标准方程，求得a2=b2=2的值，从而得到双曲线的右焦点为F（2，0），该点也是抛物线的焦点，可得=2，所以p的值为4．解答：解：∵双曲线x2﹣y2=2的标准形式为：∴a2=b2=2，可得c==2，双曲线的右焦点为F（2，0）∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线x2﹣y2=2的右焦点重合，∴=2，可得p=4故答案为：4点评：本题给出抛物线与双曲线右焦点重合，求抛物线的焦参数的值，着重考查了双曲线的标准方程和抛物线简单几何性质等知识点，属于基础题．5．（4分）（xx•崇明县二模）已知数列{a n}是无穷等比数列，其前n项和是S n，若a2+a3=2，a3+a4=1，则的值为．考点：数列的极限；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用当等比数列{a n}的公比q满足0＜|q|＜1时，则，即可得出．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+a3=2，a3+a4=1，∴，解得，∴．∵，∴==．故答案为．点评：熟练掌握：满足0＜|q|＜1时，则，是解题的关键．6．（4分）（xx•崇明县二模）圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2πcm，半径为cm，则该圆锥的体积为cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．题：分析：由已知中，圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为2πcm，半径为cm，我们易求出圆锥的底面周长及母线长，进而求出圆锥的底面半径及高，代入圆锥体积公式，即可得到答案．解答：解：∵圆锥的侧面展开图的弧长为2πcm，半径为cm，故圆锥的底面周长为2πcm，母线长为cm，则圆锥的底面半径为1，高为1则圆锥的体积V==故答案为：点评：本题考查的知识点是圆锥的体积公式，及圆锥的侧面展开图，其中根据已知求出圆锥的底面半径及高，是解答本题的关键．7．（4分）（xx•崇明县二模）阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的自然数为5．考点：循环结构．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S i 是否继续循环循环前 1 1/第一圈3 2 是第二圈7 3 是第三圈15 4 是第四圈31 5 否故最后当i＜5时退出，故答案为：5．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．8．（4分）（xx•崇明县二模）已知函数（a为常数，a∈R），且是方程f（x）=0的解．当x∈[0，π]时，函数f（x）值域为．考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用是方程f（x）=0的解．求出a，然后通过二倍角的余弦函数两角和的正弦函数化简函数表达式，然后求解函数的值域．解答：解：因为是方程f（x）=0的解．所以0=sin+a，所以=﹣2，=sinx﹣cosx﹣1=sin（x﹣）﹣1，x∈[0，π]，所以，sin（x﹣），sin（x﹣）﹣1∈[﹣2，]．故答案为：[﹣2，]．点评：本题考查二倍角的余弦函数，两角和的正弦函数的应用，三角函数值域的求法，考查计算能力．9．（4分）（xx•揭阳一模）若二项式的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中x6的系数为9．（用数字作答）考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：由题意可得，，可求n，然后写出展开式的通项，令x的次方为6求出r，即可求解解答：解：由题意可得，，解得n=9∵的展开式的通项为=令9﹣=6，解得r=2此时的系数为=9故答案为：9点评：本题主要考查了二项式系数的性质及二项展开式的通项的应用，解题的关键是熟练掌握基本公式10．（4分）（xx•崇明县二模）已知a，b为正实数，函数f（x）=ax3+bx+2x在[0，1]上的最大值为4，则f（x）在[﹣1，0]上的最小值为﹣．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题．分析：由a，b为正实数，知函数f（x）=ax3+bx+2x是增函数，故f（x）在[0，1]上的最大值f（1）=a+b+2=4，所以a+b=2．由此能求出f（x）在[﹣1，0]上的最小值．解答：解：∵a，b为正实数，函数f（x）=ax3+bx+2x，∴f（x）在R上是增函数，∴f（x）在[0，1]上的最大值f（1）=a+b+2=4，∴a+b=2．∴f（x）在[﹣1，0]上的最小值f（﹣1）=﹣（a+b）+2﹣1=﹣2+=﹣．∴f（x）在[﹣1，0]上的最小值是﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查函数的单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．11．（4分）（xx•崇明县二模）在极坐标系中，直线过点（1，0）且与直线（ρ∈R）垂直，则直线的极坐标方程为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先将直线极坐标方程（ρ∈R）化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解过点（1，0）且与直线（ρ∈R）垂直的直线方程，最后再化成极坐标方程即可．解答：解：由题意可知直线（ρ∈R）的直角坐标方程为：x﹣y=0，过点（1，0）且与直线x﹣y=0垂直的直线方程为：y=﹣（x﹣1），即所求直线普通方程为x+y﹣1=0，则其极坐标方程为．故答案为：．点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．12．（4分）（xx•崇明县二模）设函数，函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为2．考点：函数的零点；根的存在性及根的个数判断．分析：根据函数，根据指数函数和对数函数的性质，我们可以分类讨论，化简函数函数y=f[f（x）]﹣1的解析式，进而构造方程求出函数的零点，得到答案．解答：解：∵函数，当x≤0时y=f[f（x）]﹣1=f（2x）﹣1=﹣1=x﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1（舍去）当0＜x≤1时y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=﹣1=x﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，x=1当x＞1时y=f[f（x）]﹣1=f（log2x）﹣1=log2（log2x）﹣1令y=f[f（x）]﹣1=0，log2（log2x）=1则log2x=2，x=4故函数y=f[f（x）]﹣1的零点个数为2个故答案为：2点评：本题考查的知识点是函数的零点，根的存在性及根的个数判断，其中根据指数函数和对数函数的图象和性质，化简函数的解析式是解答的关键．13．（4分）（xx•崇明县二模）已知O为△ABC的外心，AB=4，AC=2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则的值等于5．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，可得E、F分别是AB、AC的中点．根据Rt△AOE中余弦的定义，算出==8，同理得==2．再由M是BC边的中点，可得==（8+2）=5．解答：解：过点O分别作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，则E、F分别是AB、AC的中点可得Rt△AEO中，cos∠OAE==∴=•==8，同理可得==2∵M是BC边的中点，可得，∴==（+）==5故答案为：5点评：本题将△ABC放在它的外接圆O中，求中线AM对应的向量与的数量积之值，着重考查了平面向量的数量积的运算性质和三角形外接圆等知识，属于中档题．14．（4分）（xx•梅州一模）设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M （M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且f（x）为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围是．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：新定义．分析：定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，画出函数f（x）的图象，可得8≥3a2﹣（﹣a2），从而可得结论．解答：解：当x≥a2时f（x）=x﹣2a2，当0≤x＜a2时f（x）=﹣x，再根据奇函数图象关于原点对称可作出f（x）的图象，如下图所示：由f（x）为R上的8高调函数，知f（x+8）≥f（x）恒成立，由图象得8≥3a2﹣（﹣a2），即a2≤2，解得﹣a≤．点评：本题考查基本初等函数的性质，考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，是一个新定义问题，注意对于条件中所给的一个新的概念，要注意理解．二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题给出四个选项，其中有且只有一个结论是正确的，选对并将答题纸对应题号上的字母涂黑得5分，否则一律得零分）15．（5分）（xx•崇明县二模）已知函数f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx，x∈R，则f （x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性．专题：计算题．分析：先对函数化简可得f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx=cos2xcosxsinx+sin2xsin2x=，由周期公式可求T，再检验f（﹣x）与f（x）的关系即可判断奇偶性解答：解：∵f（x）=（cos2xcosx+sin2xsinx）sinx=cos2xcosxsinx+sin2xsin2x=sin2xcos2x+=+=由周期公式可得T=π，且f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x，即函数f（x）为奇函数故选A点评：本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简中的应用及三角函数的周期性和奇偶性的判断，属于基础试题16．（5分）（xx•崇明县二模）不等式成立的充分不必要条件是（）A．﹣1＜x＜0或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．x＞﹣1 D．x＞1考点：其他不等式的解法；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：先求出不等式的解集，即使不等式成立的充要条件，使其成立的充分不必要条件x 的取值集合应为A的真子集．解答：解：不等式可以化为，等价于下面的两个不等式组：①或②解得①或②∴﹣1＜x＜0，或x＞1．∴不等式的解集为A={x|﹣1＜x＜0，或x＞1}．使其成立的充分不必要条件x的取值集合应为A的真子集．只有D符合．故选D．点评：本题考查了充要条件的判定，关键是分式不等式的解法．本题先考察命题p与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断出了命题p与命题q 的关系．17．（5分）（xx•崇明县二模）学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10，50）（单位：元），其中支出在[30，50）（单位：元）的同学有67人，其频率分布直方图如右图所示，则n的值为（）A．100 B．120 C．130 D．390考点：频率分布直方图．专题：计算题；概率与统计．分析：根据小矩形的面积之和，算出位于10～30的2组数的频率之和为0.33，从而得到位于30～50的数据的频率之和为1﹣0.33=0.67，再由频率计算公式即可算出样本容量n 的值．解答：解：∵位于10～20、20～30的小矩形的面积分别为S1=0.01×10=0.1，S2=0.023×10=0.23，∴位于10～20、20～30的据的频率分别为0.1、0.23可得位于10～30的前3组数的频率之和为0.1+0.23=0.33由此可得位于30～50数据的频率之和为1﹣0.33=0.67∵支出在[30，50）的同学有67人，即位于30～50的频数为67，∴根据频率计算公式，可得=0.67，解之得n=100故选：A点评：本题给出频率分布直方图，在已知某小组的频率情况下求该数据中的样本容量n的值，着重考查了频率分布直方图的理解和频率计算公式等知识，属于基础题．18．（5分）（xx•崇明县二模）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c（a，b，c∈（0，1）），已知他投篮一次得分的均值为2，的最小值为（）A．B．C．D．考点：基本不等式在最值问题中的应用；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；数形结合．分析：依题意可求得3a+2b的值，进而利用=1把转化为（）×展开后利用基本不等式求得问题的答案．解答：解：由题意得3a+2b=2，=（）×=故选D点评：本题主要考查了基本不等式的应用．解题的关键是构造出+的形式．三、解答题（本大题共5小题，满分74分．解答下列各题并写出必要的过程，并将解题过程清楚地写在答题纸上）19．（13分）（xx•崇明县二模）如图，在△ABC中，∠C=45°，D为BC中点，BC=2．记锐角∠ADB=α．且满足cos2α=．（1）求cosα；（2）求BC边上高的值．考点：正弦定理；二倍角的余弦．专题：计算题；解三角形．分析：（1）由二倍角公式cos2α=2cos2α﹣1，可求cosα（2）方法一、由可求sinα，而∠CAD=∠ADB﹣∠C=α﹣45°，利用sin∠CAD=sin （）=sin，代入可求sin∠CAD，最后再由正弦定理，可求AD，从而可由h=ADsin∠ADB求解方法二、作BC 边上的高为AH，在直角△ADH中，由（1）可得，设出AD，则可表示DH，AH，结合△AHC为等腰直角三角形，可得CD+DH=AH，代入可求解答：解：（1）∵cos2α=2cos2α﹣1=，∴，∵，∴cosα=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）方法一、由（1）得=，∵∠CAD=∠ADB﹣∠C=α﹣45°，∴sin∠CAD=sin（）=sin==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）在△ACD中，由正弦定理得：，∴AD==，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）则高h=ADsin∠ADB==4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）方法二、如图，作BC 边上的高为AH在直角△△ADH中，由（1）可得=，则不妨设AD=5m则DH=3m，AH=4m﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）注意到C=45°，则△AHC为等腰直角三角形，所以CD+DH=AH，则1+3m=4m﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以m=1，即AH=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点评：本题主要考查了同角平方关系、和差角公式及正弦定理在求解三角形中的应用，解题的关键是熟练应用基本公式20．（15分）（xx•崇明县二模）如图：已知四棱锥P﹣ABCD，底面是边长为3的正方形ABCD，PA⊥面ABCD，点M是CD的中点，点N是PB的中点，连接AM、AN、MN．（1）求证：AB⊥MN；（2）若MN=5，求二面角N﹣AM﹣B的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质．专题：空间向量及应用．分析：（1）四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为3的正方形ABCD，且PA⊥面ABCD，由此得到AD，AB，AP两两互相垂直，分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设出AP长度，则可得到图中各点坐标，求出向量，由它们的数量积等于0证得AB⊥MN；（2）利用MN=5，求出AP的长度，分别求出平面AMB和平面AMN的一个法向量，利用两个平面的法向量所成的角求二面角N﹣AM﹣B的余弦值．解答：（1）证明：因为底面是边长为3的正方形，PA⊥面ABCD，所以AP⊥AD⊥AB．如图，分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PA=t 则得，．∴=0，所以AB⊥MN；（2）解：由，得，解得t=8，即PA=8．取平面AMB的一个法向量为设平面AMN的法向量，又，由得：，取y=﹣2，得x=1，z=．所以平面AMN的一个法向量是，设二面角N﹣AM﹣B为α，则=．所以二面角N﹣AM﹣B的余弦值为．点评：本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了利用空间向量求二面角的大小，利用空间向量求二面角的大小时，关键是分清两个平面的法向量所成的角与二面角的关系，此题是中档题．21．（15分）（xx•崇明县二模）某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生较多次品，根据经验知道，次品数p（万件）与日产量x（万件）之间满足关系：．已知每生产l万件合格的元件可以盈利20万元，但每产生l万件次品将亏损10万元．（实际利润=合格产品的盈利﹣生产次品的亏损）（1）试将该工厂每天生产这种元件所获得的实际利润T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；（2）当工厂将这种仪器的元件的日产量x（万件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少？考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据题目条件写出在x的不同范围内的合格的元件间数，然后由实际利润=合格产品的盈利﹣生产次品的亏损将生产这种元件所获得的实际利润T（万元）表示为日产量x（万件）的函数；（2）分别利用配方法和函数的单调性求函数在连段内的最值，最后取两段的最大之中的最大者．解答：解：（1）当1≤x＜4时，合格的元件数为（万件），利润（万元）；当x≥4时，合格的元件数为（万件），利润（万元），综上，该工厂每天生产这种元件所获得的利润为．（2）当1≤x＜4时，T=20x﹣5x2=﹣5（x﹣2）2+20∴当x=2（万件）时，利润T的最大值20（万元）；当x≥4时，令，则，当x∈[4，+∞）时，y′＞0，所以在[4，+∞）上是单调递增，所以函数T（x）在[4，+∞）上是减函数，则当x=4时，利润T的最大值0．综上所述，当日产量定为2（万件）时，工厂可获得最大利润20万元．答：当工厂将这种仪器的元件的日产量x（万件）定为2（万件）时获得的利润最大，最大利润为20万元．点评：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了配方法及利用导数研究函数的最值，注意分段函数的最值要分段求，此题是中档题．22．（15分）（xx•崇明县二模）已知椭圆C的方程为（a＞0），其焦点在x轴上，点Q为椭圆上一点．（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P（x0，y0）满足，其中M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：为定值；（3）在（2）的条件下探究：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量的基本定理及其意义；直线的斜率；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）把点Q坐标代入椭圆方程即可求得a2；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由直线OM与ON的斜率之积为，可得M、N 坐标间的关系式，由，，从而可化为M、N坐标的表达式，再由M、N是椭圆C上的点即可求得为定值；（3）由（2）知，动点P（x0，y0）满足，从而可判断点P轨迹是椭圆，其焦点即为定点A、B；解答：解：（1）因为点为椭圆上一点，所以，解得a2=4，所以椭圆方程为；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），又，化简得x1x2+2y1y2=0，又M、N是椭圆C上的点，所以，，即，，由，，所以==4+4×4+4（x1x2+2y1y2）=20（定值）；（3）由（2）知，动点P（x0，y0）满足，即，所以点P的轨迹是以为焦点的椭圆．故存在点A（）、B（），使得|PA|+|PB|=（定值）．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解及平面向量基本定理，考查学生对问题的理解分析能力及解决问题的能力，具有一定综合性．23．（16分）（xx•崇明县二模）设数列{a n}、{b n}的各项都是正数，S n为数列{a n}的前n项和，且对任意n∈N*，都有，b1=e，，c n=a n+1•lnb n（常数λ＞0，lnb n是以为底数的自然对数，e=2.71828…）（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）用反证法证明：当λ=4时，数列{c n}中的任何三项都不可能成等比数列；（3）设数列{c n}的前n项和为T n，试问：是否存在常数M，对一切n∈N*，（1﹣λ）T n+λc n≥M 恒成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，请证明你的结论．考点：反证法与放缩法；数列与不等式的综合．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）由条件①，求得a1=1．当n≥2时，有②，由①﹣②可得数列{a n}是公差等于2的等差数列，从而求得a n=2n﹣1．再由，且b n ＞0，可得lnbn=lnb1×λn﹣1=λn﹣1，从而求得b n=．（2）当λ=4时，假设第m项、第n项、第k项成等比数列，则有（2n+1）2•42n﹣2=（2m+1）4m﹣1•（2k+1）4k﹣1，即m2+k2+mk+m+k=0，显然，这样的正整数m、k不存在，故数列{c n}中的任何三项都不可能成等比数列．（3）用错位相减法求得（1﹣λ）Tn=3+2λ（1+λ+λ2+…+λn﹣2）﹣（2n+1）λn，①当λ=1时，求出M的取值范围．②当λ≠1时，再求出M的取值范围，综合可得结论．解答：解：（1）∵因为a n＞0，①，当n=1时，a12=4S1﹣2a1﹣1，解得a1=1．当n≥2时，有②，由①﹣②得，（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1）=2（a n+a n﹣1），故有a n﹣a n﹣1=2（n≥2），即数列{a n}是公差等于2的等差数列，所以a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．又因为，且b n＞0，两边同时取自然对数得lnb n+1=λlnb n，由此可知数列{lnb n}是以lnb1=lne=1为首项，以λ为公比的等比数列，所以lnbn=lnb1×λn﹣1=λn﹣1，所以，b n=eλn﹣1．（2）当λ=4时，由（1）知，c n =a n+1•lnb n =（2n+1）•λn﹣1=（2n+1）•4n﹣1．假设第m项、第n项、第k项成等比数列，则有（2n+1）2•42n﹣2=（2m+1）4m﹣1•（2k+1）4k﹣1，即（2n+1）2•42n﹣2=（2m+1）（2k+1）•4m+k﹣2，∴，∴（m+k+1）2=（2m+1）（2k+1），即m2+k2+mk+m+k=0，显然，这样的正整数m、k不存在，故数列{c n}中的任何三项都不可能成等比数列．（3）解：∵c n=a n+1•lnb n =（2n+1）•λn﹣1，∴Tn=3×λ0+5×λ1+7×λ2+…+（2n﹣1）×λn﹣2+（2n+1）×λn﹣1…③．∴λ×Tn=3×λ1+5×λ2+7×λ3+…+（2n﹣1）×λn﹣1+（2n+1）×λn…④．由③﹣④得﹣3Tn=3+2×4+2×42+…+2×4n﹣1﹣（2n+1）×4n=3+2×﹣（2n+1）4n=，所以，（1﹣λ）Tn=3+2λ（1+λ+λ2+…+λn﹣2）﹣（2n+1）λn．①当λ=1时，（1﹣λ）T n+λc n=（2n+1）（n∈N*）在N*上为单调递增函数，所以对于任意常数M∈（﹣∞，3]，（1﹣λ）T n+λc n=（2n+1）≥M恒成立．②当λ≠1时，．记g（n）=g（n+1）﹣g（n）=2λn＞0，所以，数列g（n）为增函数．所以当λ≠1时，g（n）=≥g（1）=3．…（7分）所以，所以对于任意常数M∈（﹣∞，3]，（1﹣λ）T n+λc n≥M恒成立．…（8分）点评：本题主要考查数列求和问题，用反证法和放缩法证明不等式，函数的恒成立问题，属于难题．|25786 64BA 撺F31059 7953 祓37757 937D 鍽19981 4E0D 不32761 7FF9 翹hcD31506 7B12 笒X40798 9F5E 齞。
崇明二模高三数学试卷答案
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，定义域为全体实数的是（）A. $y = \sqrt{x^2 - 1}$B. $y = \frac{1}{x}$C. $y = \log_2(x - 1)$D. $y = |x|$答案：D解析：A选项的定义域为$x \geq 1$；B选项的定义域为$x \neq 0$；C选项的定义域为$x > 1$；D选项的定义域为全体实数。
2. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f(-1)$的值为（）A. 0B. 1C. -1D. -2答案：B解析：将$x = -1$代入函数$f(x)$中，得$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = 1$。
3. 已知数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n = 2n - 1$，则数列的前$n$项和$S_n$的值为（）A. $n^2$B. $n^2 - n$C. $n^2 + n$D. $n^2 - 2n$答案：A解析：数列的前$n$项和$S_n$可以表示为$S_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$。
代入通项公式，得$S_n = (2 \cdot 1 - 1) + (2 \cdot 2 - 1) + \ldots + (2\cdot n - 1) = 2(1 + 2 + \ldots + n) - n = n^2$。
4. 若向量$\overrightarrow{a} = (1, 2)$，$\overrightarrow{b} = (2, -1)$，则$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$的值为（）A. 3B. -3C. 5D. -5答案：A解析：向量的数量积（点积）公式为$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b} = a_1b_1 + a_2b_2$。
代入向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$的坐标，得$\overrightarrow{a} \cdot\overrightarrow{b} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) = 3$。
崇明县2021学年第二次高考模拟高三数学(理科答案)
第二次高考模拟高三数学（理科）参考答案及评分标准一、填空题1．(0,1) ； 2.3- ； 3.1 ； 4.3 ； 5.12π ； 6.3 ； 7.221412x y -= ； 8.4- ； 9.120 ； 10.2 ； 11.3 ； 13.1- ； 14.11 .二、选择题15.B ； 16.C ； 17.B ； 18.D.三、解答题19.证明：如图，建立空间直角坐标系，.................................1分可得有关点的坐标为 11111(0,0,1),(1,1,1),(,1,0),(0,,0),(0,1,1)22D BEF C 11(,,0)22EF =-- ，11(1,1,0)B D =-- (4)所以112B D EF =...............................5分所以11EF B D ∥...............................6分 （2）设1(,,)n u v w = 是平面1C EF 的一个法向量. 因为111,n EF n FC ⊥⊥ 所以1111110,0222n EF u v n FC v w ⋅=--=⋅=+=解得,2u v v w =-=- .取1w = ，得1(2,2,1)n =-.............................9分因为1DD ABCD ⊥平面，所以平面ABCD 的一个法向量是2(0,0,1)n = .........10分 设1n 与2n 的夹角为α ，则12121cos 3||||n n n n α⋅==⋅ .......................11分结合图形，可判别得二面角1C EF A --是钝角，其大小为1arccos 3π- ........12分 20.（1）函数()33x x f x λ-=+⋅的定义域为R当=1λ时，()33x x f x -=+，()()f x f x -=，函数为偶函数；..............2分 当=-1λ时，()33x x f x -=-，()()f x f x -=-，函数为奇函数；............4分 当||1λ≠时，1(1)3,(1)333f f λλ=+-=+ 此时(1)(1)(1)(1),f f f f -≠--≠且 所以函数为非奇非偶函数.........................................6分（第19题图）（2） 由于()6f x ≤得336xxλ-+≤，即令3[1,9]xt =∈，................................................8分 在[]1,9t ∈上恒成立，亦即26t t λ≤-+在[]1,9t ∈上恒成立，.............................10分 令[]2()6,1,9g t t t t =-+∈，当9t =时，()g t 有最小值()927g =-，所以27λ≤-................14分21.（1）三角形ACD 中，6CDA πθ∠=+，由sin sin AD ACACD CDA=∠∠ ，得 sin)sin 6AD CDA AC ACD πθ⋅∠==+∠ .................................3分三角形ABC 中，3ACB πθ∠=-由sin sin AB ACACB ABC =∠∠ ，得 sin 32sin()sin()sin 63AC ACB h ABC ππθθ⋅∠==+-∠()126ππθ≤≤...................6分（2）三角形ABC 中， 由sin sin BC ACBAC ABC=∠∠ ，得 sin 32sin()sin sin 6AC BAC BC ABC πθθ⋅∠==+∠.................................9分所以32sin()sin()32sin()sin 636AB BC πππθθθθ+=+-++16sin 2θ=+分因为126ππθ≤≤，所以263ππθ≤≤所以当12πθ=时，AB BC +取得最小值821.86+≈......................13分制造路灯灯柱AB 与灯杆BC 所用材料的总长度最小，最小值约为21.86米. .....14分 22. （1）112()4n n n n a a b b ++-=-=所以数列{}n a 为等差数列................................2分 因为11a =，所以43n a n =-.............................4分（2）数列{}n b 是公比等于2的等比数列，12b =，所以2n n b =，所以111()2(2,*)n n n n n a a b b n n N λλ----=-=⋅≥∈所以112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ 12(22...2)1212n n n λλλ--=⋅++++=⋅+- ...........7分因为数列{}n a 是等比数列所以2213a a a =，所以12λ=， 当12λ=时，12n n a -= ，数列{}n a 是等比数列 所以12λ=..................................................10分(3)当2,*n n N ≥∈ 时，11()n n n n a a b b λ---=- 所以112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ 112211()()...()n n n n b b b b b b a λλλ---=-+-++-+1211n n b b a λλλλλ+=-+=-+当1n =时，上式依然成立，所以12n n a λλλ+=-+................12分2122n n a λλλ+=-+，因为(1,0)λ∈-，所以212222(1)0n n n a a λλ++-=-> 即数列{}n a 的偶数项构成的数列2{}n a 是单调增数列同理222121(1)0n n n a a λλ+--=-<即数列{}n a 的奇数项构成的数列21{}n a -是单调减数列又212210n n a a λλ+-=-<，所以数列{}n a 的最大值1M a λ== 2232120n n a a λλ++-=->，所以数列{}n a 的最小值322m a λλλ==-+.....14分所以32221113()241M m λλλλλλλ-+-=-+==+因为(1,0)λ∈-，所以213()(1,3)24λ-+∈所以1(,1)3M m ∈..................................................16分 23. （1）设点P 的坐标为).,(y x 由P ),(y x 在椭圆上，得1||(F P x === 由455,505x x -≤≤+>知，所以 14||55F P x =+.........................4分 （2）设点T 的坐标为).,(y x当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上. ......................6分 当|0||0|2≠≠TF 且时，由0||||2=⋅TF ，得2TF ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a F ==||21||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+.........................10分（3）C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x .........12分 由③得a y ≤||0，由④得20||.b y c =所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当cb a 2<时，不存在满足条件的点M. .................................14分当cb a 2≥时，),(),,(002001y xc MF y x c MF --=---=，由2222022021b c a y c x MF =-=+-=⋅， 212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅， 22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F ...............18分。
20192020年高三二模数学试题含答案
20．已知三棱柱的侧棱与底面垂直, AA1 AB AC 1, AB AC, M 是的中点，是的中点，点在上， 且满足（1）证明：；（2）当取何值时，直线与平面所成的角最大?并求该角的最大值的正切值。
P
2019-2020 年高三二模数学试题含答案(word 版可编辑修改)
Sn N (1) N (2) N (3) N (4) N (2n 1) N (2n ) ，则数列的前项和的表达式为
．
二、选择题(每小题 5 分，共 20 分）
15．已知,是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是( ）
（A） 若， , 则; （B)若, ， 则 ；
（C)若， ， 则 ;
解 ： (1） 以 分 别 为 轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 则
P
PN
(1 2
,
1 2
, 1),
AM
0,1,
1 2
.PN
AM
(1 2
)
0
1 2
11
1 2
0,
PN
AM .
Ａ
Ｍ
(2） 显 然 平 面 的 一 个 法 向 量 为 则
B
PN n sin cos PN, n
数的值； （2)把函数的图象向右平移个单位，可得函数的图象，若在上为增函数，求的最 大值．
20．已知三棱柱的侧棱与底面垂直， AA1 AB AC 1, AB AC, M 是的中点,是的中点，点在 上，且满足（1)证明：；（2）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角的最大值的 正切值。
2019-2020 年高三二模数学试题含答案(word 版可编辑修改)
2024届上海市崇明区高三二模数学试题及答案
上海市崇明区2024届高三二模数学试卷（满分150分，时间120分钟）一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.若集合 2,0,1A ，10B x x x 或，则A B ．2.不等式 10x x 的解为．3.已知向量 2,,1a ， 2,1,4b ，若a b，则．4.若复数z 满足1iz i （i 为虚数单位），则z ．5.6.7.若 8.BC 是母线．若直线9.10.11.的最小值是．12.222x y 的最大13.若a b ，0c ，则下列不等式成立的是（）.A a b c ；.B a b c c；.C a c b c ；.D 22ac bc ．14.某单位有A 、B 两个部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如图所示．设A 、B 两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为1n 、2n ，方差分别为21s 、22s ，则下列说法正确的是（）.A 12n n ，2212s s ；.B 12n n ，2212s s ；.C 12n n ，2212s s ；.D 12n n ，2212s s ．15.设函数 sin 6f x x，若对于任意5,62，在区间 0,m 上总存在唯一确定的 ，使得0f f ，则m 的最小值为（）.A 6；.B 2；.C 76；.D ．16.已知函数 y f x 的定义域为D ，12,x x D ．命题p ：若当 120f x f x 时，都有120x x ，则函数 y f x 是D 上的奇函数．命题q ：若当.A p .C p 三、17.的中点．（1）（2）第17题图18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若CD 为CA 在CB方向上的投影向量，且满足2sin c B CD．（1）求cos C 的值；（2）若b，3cos a c B ，求ABC 的周长．19.如表所示．（1）95%（2）现（3）3人，求附：22n ad bc a b c d a c b d， 23.8410.05P≥．已知椭圆22:12x y ，A 为 的上顶点，P 、Q 是 上不同于点A 的两点．（1）求椭圆 的离心率；（2）若F 是椭圆 的右焦点，B 是椭圆下顶点，R 是直线AF 上一点．若ABR 有一个内角为3，求点R 的坐标；（3）作AH PQ ，垂足为H ．若直线AP 与直线AQ 的斜率之和为2，是否存在x 轴上的点M ，使得MH为定值？若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．已知 ln 1f x a x ax ．（1）若1a ，求曲线 y f x 在点 1,2P 处的切线方程：（2）若函数 y f x 存在两个不同的极值点12,x x ，求证： 120f x f x ；（3）若1a ， g x f x x ，数列 n a 满足 10,1a ， 1n n a g a ．求证：当2n 时，212n n n a a a ．上海市崇明区2024届高三二模数学试卷-简答1参考答案及评分标准一、填空题1.{2,1} ；2.(0,1)；3.8 ；4.1 i ；5.9；6.9；7.1；8.3；9.199；10.0.996；11.32；12.6.二、选择题13.D ；14.C ；15.B ；16.C.三、解答题17.解（1）因为AP =CP =AC =4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP=连结OB ．因为AB =BC=2AC ，222AB BC AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，故OB ⊥AC ，OB =12AC =2．因为222OP OB PB ，所以OP OB ．......................4分因为OP OB OP AC ，，OB AC O ，所以PO ⊥平面ABC ．........................................................7分（2）方法一：作CH ⊥OM ，垂足为H ．因为OP 平面ABC ，所以OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ．故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．..................4分由题意，OC=12AC =2，CM=3，∠ACB=45°．所以OM=3，CH =sin OC MC ACB OM=5．所以点C 到平面POM的距离为5．.......................................7分方法二：设C 到平面POM 的距离为h ，由（1）知PO 即为P 到平面COM 的距离，且PO OM ．.......................................1分又PO ，在OMC △中，22,4533OC CM BC ACB，则由余弦定理得3OM，.......................................1分因为C POM P COM V V ，即1133POM COM S h S PO △△，故2212COMPOMS POhS△△即点C到平面POM的距离为5．..................................7分18.解（1）由题意，得cosCD b C，又2sinc B，所以2sin cosc B C，由正弦定理sin sinb cB C，得2sin sin cosC B B C，又sin0B，所以2sin C C，..................................4分因为C为锐角，所以2cos3C ...................................6分（2）由3cosa c B，得cos3aBc，由余弦定理得222cos2a c bBac，所以22223a cb aac c，得22233a c b①..............3分由由余弦定理得2222cos23a b cCab，得222333a b c②............................5分联立①②，解得a c，故ABC△的周长为a b c................8分19.解(1)假设H：患慢性气管炎与吸烟无关.22340(1204516015)6.58128060135205由2( 3.841)0.05P≥，而6.581 3.481，从而否定原假设，即有95%的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关.....................................................4分（2）()()()||9()()32()()()||()P A BP B A P A B A BP AL B AP B A P A B P A B A BP A............................4分（3）按分层抽样，不吸烟者3人，吸烟者4人，....................................................1分X的可能值为0，1，2，3，其分布是012341812135353535....................................................5分所以4181219[]0123353535357E X ....................................................6分2320.解（1）由题意，1a c，所以离心率c e a分（2）由题意，(1,0)F ，(0,1)A ，所以直线AF 的方程为：1y x ，设00(,1)R x x 显然4BAR ...................................................................................2分①当3ABR时，00(0,2),(,2)BA BR x x，由1cos 2||||BA BR ABR BA BR，得：200660x x ，解得03x03x 分②当3ARB时，0000(,),(,2)RA x x RB x x ，由1cos 2||||BA BR ABR BA BR，得：2003620x x ，解得013x（舍去）或013x 综上所述，点R的坐标是(32或(1 .....................6分（3）假设存在定点(,0)M m 满足题意，当PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y kx b ，1122(,),(,)P x y Q x y ，由2221x y y kx b得22212)4220k x kbx b （，由题意，2222164(12)(22)0k b k b ，即22210k b ①．2121222422,1212kb b x x x x k k，122121211212121211()()(1)()2AP AQ y y x kx b x x kx b x b x x k k k x x x x x x2(1)22222(1)1b kb k k b b ，所以1k b ，代入①，得：2430b b ，所以3b 或1b ，即存在直线PQ 使得直线AP与直线AQ 的斜率之和为2.....................................................................3分直线PQ 的方程为1y kx k ，直线AH 的方程为11y x k由111y kx k y x k，得：22221211k k x k k y k，即22222(,1)11k k k H k k .................5分所以2222222222(2)(21)()(1)1111k k k k m kMH m m k k k4所以当12m时，MH...........................................................7分当直线PQ 斜率不存在时，设00(,)P x y ，00(,)Q x y ，则0000112AP AQ y y k k x x ，01x ，此时(1,1)H，2MH满足题意．所以存在定点1(0)2,P ，使得MH为定值且定值为2．.................8分21.解（1）当1a时，1'()1,'(1)3f x f x所以曲线()y f x 在点(1,2)P 处的切线方程为31y x .................4分（2）由'()0f x0aa x，令t 0t 原方程可化为：20at t a ①，则12t t ①的两个不同的根所以214010a a，解得102a .................3分所以121212()()(ln ln )()2f x f x a x x a x x 222212121212()ln()()222t t a t t a t t a a因为102a，所以12220a a，所以12()()0f x f x .......................6分（3）由题意，()ln 1g x x，所以1'()g x x当(0,1)x 时，'()0g x ，所以函数()y g x 在区间(0,1)上严格减，当(1,)x 时，'()0g x ，所以函数()y g x 在区间(1,) 上严格增，.................3分因为101a ，所以21()1a g a g ，32()(1)1a g a g ，以此类推，当2n 时，1()(1)1n n a g a g ，.................4分又213110'(242)21f x x x，所以函数()y f x 在区间(0,) 上严格减，当2n 时，()()(1)0n n n f a g a a f ，所以1n n a a ，.................7分所以1()()n n f a f a ，即211n n n n a a a a ，故212n n n a a a ...................................8分。
高三数学二模试卷(理科)-Word版含解析
高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R，集合A={x|x2﹣3x＞0}，则∁U A=（）A．[0，3]B．（0，3） C．（﹣∞，0）∪（3，+∞）D．（﹣∞，0]∪[3，+∞）2．i为虚数单位，若复数z=（1﹣ai）（1+i）（a∈R）的虚部为﹣3，则|z|=（）A．B．4 C． D．53．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=（）A．﹣4 B．﹣3 C．4 D．4．某公司安排6位员工在“元旦（1月1日至1月3日）”假期值班，每天安排2人，每人值班1天，则6位员工中甲不在1日值班的概率为（）A．B．C．D．5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则sin2θ=（）A．B．C．D．6．将函数f（x）=sin3x+cos3x的图象沿x轴向左平移∅个单位后，得到一个偶函数的图象，则∅的一个可能取值为（）A．B．C．D．07．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道问题：“今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果n=（）A．4 B．5 C．6 D．78．已知函数f（x）的定义域为D，若对于∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的三边长，则称f（x）为“三角形函数”．给出下列四个函数：①f（x）=lg（x+1）（x＞0）；②f（x）=4﹣cosx；③；④其中为“三角形函数”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则剩余部分体积与原四棱锥体积的比值为（）A．B．C．D．10．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，则此球的体积等于（）A．B． C．D．11．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=aln（x+2）﹣x2在（0，1）内任取两个实数p，q，且p＞q，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，24]B．（﹣∞，12]C．[12，+∞）D．[24，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知变量x，y满足约束条件，若使z=ax+y（a＞0）取得最小值的最优解有无穷多个，则实数a=．14．（x2﹣3x+3）3的展开式中，x项的系数为．15．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣6x+8=0，若直线y=2kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围是．16．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知a=4，b=5，cos（B﹣A）=，则cosB=．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）=qa n+d（q，d为常数）．17．已知数列{a n}满足a1=4，a n+1（1）当q=1，d=2时，求a2017的值；（2）当q=3，d=﹣2时，记，S n=b1+b2+b3+…+b n，证明：．18．2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率．为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了一个有奖闯关游戏，游戏分为两个环节．第一环节“解锁”：给定6个密码，只有一个正确，参赛选手从6个密码中任选一个输入，每人最多可输三次，若密码正确，则解锁成功，该选手进入第二个环节，否则直接淘汰．第二环节“闯关”：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得10个、20个、30个学豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏，也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响．（1）求某参赛选手能进入第二环节的概率；（2）设选手甲在第二环节中所得学豆总数为X，求X的分布列和期望．19．如图（1）所示，在直角梯形ABCD中，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图（2）所示．（1）证明：CD⊥平面A1OC；（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值．20．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴的正半轴上，过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，且满足．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若点M在抛物线C的准线上运动，其纵坐标的取值范围是[﹣1，1]，且，点N是以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线的一个公共点，求点N的纵坐标的取值范围．21．已知函数，（e为自然对数的底数，a，b∈R），若f（x）在x=0处取得极值，且x﹣ey=0是曲线y=f（x）的切线．（1）求a，b的值；（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数，若函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，求实数c的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为为参数）．曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线C与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为M，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．若关于x的不等式|3x+2|+|3x﹣1|﹣t≥0的解集为R，记实数t的最大值为a．（1）求a；（2）若正实数m，n满足4m+5n=a，求的最小值．2017年云南省大理州高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U=R，集合A={x|x2﹣3x＞0}，则∁U A=（）A．[0，3]B．（0，3） C．（﹣∞，0）∪（3，+∞）D．（﹣∞，0]∪[3，+∞）【考点】补集及其运算．【分析】由二次不等式的解法，可得集合A，再由补集的定义，计算即可得到所求．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2﹣3x＞0}={x|x（x﹣3）＞0}={x|x＞3或x＜0}，则∁U A={x|0≤x≤3}=[0，3]．故选：A．2．i为虚数单位，若复数z=（1﹣ai）（1+i）（a∈R）的虚部为﹣3，则|z|=（）A．B．4 C． D．5【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，结合已知求得a，代入复数z，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵z=（1﹣ai）（1+i）=（1+a）+（1﹣a）i的虚部为﹣3，∴1﹣a=﹣3，解得a=4，∴z=5﹣3i，则|z|=．故选：C．3．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=（）A．﹣4 B．﹣3 C．4 D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先用表示出，，再计算数量积．【解答】解：=（）•（﹣）=（）•（﹣）=﹣﹣，∵正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，∴=4，=0，∴=﹣4．故选：A．4．某公司安排6位员工在“元旦（1月1日至1月3日）”假期值班，每天安排2人，每人值班1天，则6位员工中甲不在1日值班的概率为（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n=，再求出6位员工中甲不在1日值班包含的基本事件个数m=，由此能求出6位员工中甲不在1日值班的概率．【解答】解：某公司安排6位员工在“元旦（1月1日至1月3日）”假期值班，每天安排2人，每人值班1天，基本事件总数n=，6位员工中甲不在1日值班包含的基本事件个数m=，∴6位员工中甲不在1日值班的概率p===．故选：B．5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，则sin2θ=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦；任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tanθ的值，再利用同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式求得sin2θ的值．【解答】解：∵角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线上，∴tanθ=﹣则sin2θ====﹣，故选：D．6．将函数f（x）=sin3x+cos3x的图象沿x轴向左平移∅个单位后，得到一个偶函数的图象，则∅的一个可能取值为（）A．B．C．D．0【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用辅助角公式化积，得到平移后的函数解析式，由题意可得3φ+=k，k∈Z，得到φ=，取k=0得到φ值．【解答】解：f（x）=sin3x+cos3x=，沿x轴向左平移φ个单位后，得y=，由y=为偶函数，可得3φ+=k，k∈Z．∴φ=．取k=0，得φ=．故选：A．7．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道问题：“今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出的结果n=（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a，n，S的值，当S=10.2时，满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为6，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得a=0，S=0，n=1S=1不满足条件S≥9，执行循环体，n=2，a=1.4，S=3.4不满足条件S≥9，执行循环体，n=3，a=2.1，S=5.1不满足条件S≥9，执行循环体，n=4，a=2.8，S=6.8不满足条件S≥9，执行循环体，n=5，a=3.5，S=8.5，不满足条件S≥9，执行循环体，n=6，a=4.2，S=10.2，退出循环，输出n的值为6．故选：C8．已知函数f（x）的定义域为D，若对于∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的三边长，则称f（x）为“三角形函数”．给出下列四个函数：①f（x）=lg（x+1）（x＞0）；②f（x）=4﹣cosx；③；④其中为“三角形函数”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，若f（x）为“三角形函数，则满足f（x）﹣f（x）min＜f（x）min，即可．max【解答】解：若f（x）为“三角形函数，则f（x）max﹣f（x）min＜f（x）min，①若f（x）=lg（x+1）（x＞0），则f（x）∈（0，+∞），不满足条件；②若f （x ）=4﹣cosx ，则f （x ）∈[3，5]，满足条件；③若，则f （x ）∈[1，4]，不满足条件；④若=1+，则f （x ）∈（1，2），满足条件；故选：B9．在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA=AB ，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则剩余部分体积与原四棱锥体积的比值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图可得：该几何体是过BD 且平行于PA 的平面截四棱锥P ﹣ABCD 所得的几何体．设AB=1，则截取的部分为三棱锥E ﹣BCD ，V 剩余部分=V 四棱锥P ﹣ABCD ﹣V 三棱锥E ﹣BCD ．即可得出．【解答】解：根据几何体的三视图可得；该几何体是过BD 且平行于PA 的平面截四棱锥P ﹣ABCD 所得的几何体． 设AB=1，则截取的部分为三棱锥E ﹣BCD ，V 三棱锥E ﹣BCD =××1×1×=．V 四棱锥P ﹣ABCD ===．剩余部分的体积V 剩余部分=V 四棱锥P ﹣ABCD ﹣V 三棱锥E ﹣BCD =﹣=．∴剩余部分体积与原四棱锥体积的比值==．故选：D ．10．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，则此球的体积等于（）A．B． C．D．【考点】球的体积和表面积．【分析】画出球的内接三棱柱ABC﹣A1B1C1，作出球的半径，然后可求球的表面积．【解答】解：设AA1=h，则∵棱柱的体积为，AB=2，∴∴h=1，∵AB=2，∴BC==，如图，连接上下底面外心，O为PQ的中点，OP⊥平面ABC，AP==则球的半径为OA，由题意OP=，∴OA==，所以球的体积为：πR3=π故选B．11．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理4c2=m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的长半轴，a1是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a1，由此能求出结果．【解答】解：设F1P=m，F2P=n，F1F2=2c，由余弦定理得（2c）2=m2+n2﹣2mncos60°，即4c2=m2+n2﹣mn，设a1是椭圆的实半轴，a2是双曲线的实半轴，由椭圆及双曲线定义，得m+n=2a1，m﹣n=2a2，∴m=a1+a2，n=a1﹣a2，将它们及离心率互为倒数关系代入前式得3a22﹣4c2+a12=0，a1=3a2，e1•e2===1即3e12=1∴e1=故选：A．12．已知函数f（x）=aln（x+2）﹣x2在（0，1）内任取两个实数p，q，且p＞q，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，24]B．（﹣∞，12]C．[12，+∞）D．[24，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．【分析】根据题意，利用，将其变形可得f（p+1）﹣2（p+1）＞f（q+1）﹣2（q+1），从而构造函数g（x）=f（x）﹣2x，分析可得函数g（x）为增函数，利用导数分析可得在x∈（1，2）上恒成立，分析可得a≥[（x+2）（2x+2）]恒成立，结合三角函数的性质分析可得[（x+2）（2x+2）]的最大值，由恒成立的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，由，变形可得得f（p+1）﹣f（q+1）＞2（p ﹣q），则f（p+1）﹣2（p+1）＞f（q+1）﹣2（q+1），令g（x）=f（x）﹣2x，则有g（p+1）＞r（q+1）又由实数p、q∈（0，1），且p＞q，所以函数g（x）=f（x）﹣2x在（1，2）上单调递增，从而在x∈（1，2）上恒成立即a≥[（x+2）（2x+2）]，亦即a≥[（x+2）（2x+2）]max又函数y=（x+2）（2x+2）=2（x2+3x+2）在x∈[1，2]上单调递增所以[（x+2）（2x+2）]max=24，所以a≥24；故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知变量x，y满足约束条件，若使z=ax+y（a＞0）取得最小值的最优解有无穷多个，则实数a=1．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，要使z=ax+y取最小值的最优解有无穷多个，则目标函数和其中一条直线平行，然后根据条件即可求出a的值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=ax+y，得y=﹣ax+z，a＞0，则目标函数的斜率k=﹣a＜0．平移直线y=﹣ax+z，由图象可知当直线y=﹣ax+z和直线x+y=3平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，此时﹣a=﹣1，即a=1．故答案为：1．14．（x2﹣3x+3）3的展开式中，x项的系数为﹣81．【考点】二项式系数的性质．=×33﹣r（x2﹣3x）r，（x2﹣3x）r的通项公【分析】（x2﹣3x+3）3的展开式的通项公式T r+1=，令2r﹣k=1，r=0，1，2，3，k≤r，k∈N*．解得r=k=1，即可得出．式T k+1=×33﹣r（x2﹣3x）r，【解答】解：（x2﹣3x+3）3的展开式的通项公式T r+1==，（x2﹣3x）r的通项公式T k+1令2r﹣k=1，r=0，1，2，3，k≤r，k∈N*．∴r=k=1，∴x项的系数=×=﹣81．故答案为：﹣81．15．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣6x+8=0，若直线y=2kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则实数k的取值范围是．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由于圆C的方程为（x﹣3）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣3）2+y2=4与直线y=2kx ﹣2有公共点即可．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣6x+8=0，整理得：（x﹣3）2+y2=1，即圆C是以（3，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=2kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣3）2+y2=4与直线y=2kx﹣2有公共点即可．设圆心C′（3，0）到直线y=2kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即5k2﹣6k≤0，∴k∈，故答案为．16．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知a=4，b=5，cos（B﹣A）=，则cosB=．【考点】正弦定理．【分析】由题意和边角关系可得B＞A，由条件和平方关系求出sin（B﹣A），由正弦定理化简得sinA与sinB关系，由sinA=sin[B﹣（B﹣A）]、两角差的正弦公式化简后，结合条件和平方关系求出cosB的值．【解答】解：由得，B＞A，sin（B﹣A）＞0，所以，由正弦定理得，则，即sinA=sinB，因为sinA=sin[B﹣（B﹣A）]=sinBcos（B﹣A）﹣cosBsin（B﹣A），所以，化简得，由，sinB＞0知，cosB＞0，由得，，所以，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}满足a1=4，a n=qa n+d（q，d为常数）．+1（1）当q=1，d=2时，求a2017的值；（2）当q=3，d=﹣2时，记，S n=b1+b2+b3+…+b n，证明：．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【分析】（1）当q=1，d=2时，a n+1﹣a n=2，从而数列{a n}是首项a1=4，公差d=2的等差数列，由此能求出a2017．（2）当q=3，d=﹣2时，a n+1=3a n﹣2变形得a n+1﹣1=3（a n﹣1），从而数列{a n﹣1}是以3为首项，3为公比的等比数列，进而数列{b n}是以为首项，为公比的等比数列，由此能证明．【解答】（1）解：∵数列{a n}满足a1=4，a n+1=qa n+d（q，d为常数）．∴当q=1，d=2时，a n+1﹣a n=2，∴数列{a n}是首项a1=4，公差d=2的等差数列，∴a n=4+（n﹣1）×2=2n+2，∴a2017=2×2017+2=4036．（2）证明：当q=3，d=﹣2时，a n+1=3a n﹣2变形得a n+1﹣1=3（a n﹣1）∴数列{a n﹣1}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴，∴，∴数列{b n}是以为首项，为公比的等比数列，∴，∴．18．2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率．为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了一个有奖闯关游戏，游戏分为两个环节．第一环节“解锁”：给定6个密码，只有一个正确，参赛选手从6个密码中任选一个输入，每人最多可输三次，若密码正确，则解锁成功，该选手进入第二个环节，否则直接淘汰．第二环节“闯关”：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得10个、20个、30个学豆的奖励，游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏，也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响．（1）求某参赛选手能进入第二环节的概率；（2）设选手甲在第二环节中所得学豆总数为X，求X的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）选手能进入第二环节，说明该选手可能是第一次解锁成功，可能是第二次解锁成功，也可能是第三次才解锁成功．第一次解锁成功的概率为：，第二次解锁成功的概率为：，第三次解锁成功的概率为：，即可得出．（2）X的所有可能取值为0，10，30，60．利用互斥事件与相互独立事件的概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）选手能进入第二环节，说明该选手可能是第一次解锁成功，可能是第二次解锁成功，也可能是第三次才解锁成功．第一次解锁成功的概率为：，第二次解锁成功的概率为：，第三次解锁成功的概率为：，所以该选手能进入第二环节的概率为：．（2）X的所有可能取值为0，10，30，60．，，，．所以X的分布列为．19．如图（1）所示，在直角梯形ABCD中，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，如图（2）所示．（1）证明：CD⊥平面A1OC；（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）BE⊥平面A1OC，又BE∥CD，即可证明：CD⊥平面A1OC；（2）若平面A1BE⊥平面BCDE，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可求平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：在图（1）中，因为，E是AD的中点，且，所以BE⊥AC，BE∥CD，即在图（2）中，BE⊥OA1，BE⊥OC，又OA1∩OC=O，OA1⊂平面A1OC，OC⊂平面A1OC，从而BE⊥平面A1OC，又BE∥CD，所以CD⊥平面A1OC．（2）解：由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且交线为BE，又由（1）知，BE⊥OA1，所以OA1⊥平面BCDE，如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设，所以，得．设平面A1BC的法向量，平面A1CD的法向量，平面A1BC与平面A1CD的夹角为θ，则得，取，同理，取，从而，即平面A1BC与平面A1CD所成锐二面角的余弦值为．20．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴的正半轴上，过点F的直线l与抛物线C相交于A、B两点，且满足．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若点M在抛物线C的准线上运动，其纵坐标的取值范围是[﹣1，1]，且，点N是以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线的一个公共点，求点N的纵坐标的取值范围．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设出抛物线方程，联立方程消去x得：y2﹣2pty﹣p2=0，利用韦达定理及向量的数量积公式，求出p，即可求抛物线的方程；（2）由（1）知，，结合，确定t的范围，根据抛物线的定义可知，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，可得点N的纵坐标为，即可求出点N的纵坐标的取值范围．【解答】解：（1）设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0），其焦点F的坐标为直线l的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程消去x得：y2﹣2pty﹣p2=0，所以，因为，解得p=1，所以所求抛物线C的标准方程为y2=2x．（2）设点，由（1）知，，所以，因为，所以（t﹣m）2=9得t=m+3或t=m﹣3，因为﹣1≤m≤1，∴2≤t≤4或﹣4≤t≤﹣2，由抛物线定义可知，以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，所以点N的纵坐标为，所以点N的纵坐标的取值范围是[﹣4，﹣2]∪[2，4]．21．已知函数，（e为自然对数的底数，a，b∈R），若f（x）在x=0处取得极值，且x﹣ey=0是曲线y=f（x）的切线．（1）求a，b的值；（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数，若函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，求实数c的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出原函数的导函数，由f（x）在x=0处取得极值，且x﹣ey=0是曲线y=f（x）的切线，可得b=1，且，由此可得a值；（2）记函数，求其导函数，可得当x≥2时，F'（x）＜0恒成立，当0＜x＜2时，F'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，故F（x）在（0，+∞）上单调递减．由函数的零点存在性定理及其单调性知存在唯一的x0∈（1，2），使F（x0）=0，有，得到，分离参数c后利用导数求得答案．【解答】解：（1），∵f（x）在x=0处取得极值，∴f'（0）=0，即b=0，此时，设直线x﹣ey=0与曲线y=f（x）切于点P（x0，y0），由题意得，解之得a=1；（2）记函数，当x≥2时，F'（x）＜0恒成立，当0＜x＜2时，，从而∴F'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，故F（x）在（0，+∞）上单调递减．又，∴F（1）•F（2）＜0，又曲线y=F（x）在[1，2]上连续不间断，∴由函数的零点存在性定理及其单调性知存在唯一的x0∈（1，2），使F（x0）=0，∴x∈（0，x0），F（x）＞0；x∈（x0，+∞），F（x）＜0，故，从而，∴．由函数h（x）=g（x）﹣cx2为增函数，且曲线y=h（x）在（0，+∞）上连续不断，知h'（x）≥0在（0，x0），（x0，+∞）上恒成立．①当x＞x0时，在（x0，+∞）上恒成立，即在（x0，+∞）上恒成立，记，则，从而u（x）在（x0，3）单调递减，在（3，+∞）单调递增，∴．故在（x0，+∞）上恒成立，只需，∴．②当0＜x＜x0时，，当c≤0时，h'（x）＞0在（0，x0）上恒成立，综上所述，实数c的取值范围为：．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为为参数）．曲线C的极坐标方程为．（1）求直线l的倾斜角和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线C与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为M，求的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由直线l的参数方程（t为参数），消去参数t化为普通方程，可得直线l的倾斜角；利用互化公式将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．（2）易知直线l与x轴的交点为M（1，0），从而直线l的参数方程的标准形式为为参数）．将直线l的方程代入，得7T2+4T﹣4=0，利用根与系数的关系、参数的意义进而得出．【解答】解：（1）由直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程为，直线l的倾斜角为，将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为．（2）易知直线l与x轴的交点为M（1，0），从而直线l的参数方程的标准形式为为参数）．将直线l的方程代入，得，整理得7T2+4T﹣4=0，所以，故=====2．[选修4-5：不等式选讲]23．若关于x的不等式|3x+2|+|3x﹣1|﹣t≥0的解集为R，记实数t的最大值为a．（1）求a；（2）若正实数m，n满足4m+5n=a，求的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）问题转化为|3x+2|+|3x﹣1|≥t，求出|3x+2|+|3x﹣1|的最小值，从而求出t 的范围即可；（2）根据柯西不等式的性质求出函数的最小值即可．【解答】解：（1）因为|3x+2|+|3x﹣1|﹣t≥0，所以|3x+2|+|3x﹣1|≥t，又因为|3x+2|+|3x﹣1|≥|（3x+2）+（1﹣3x）|=3，所以t≤3，从而实数t的最大值a=3．（2）因为=，所以，从而y≥3，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为3．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京市崇文区2007-2008学年度第二学期高三统一练习（二）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷1至2页，第II 卷3 至9页，共150分・考试时间120分钟.考试结朿，将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题共40分）注意事项：1•答第I 卷前，考生务必将自己的姓爼、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.不能答在试卷上.一、选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,一项是符合题目要求的・1.函数y = sin （x +彳）的一个单调递增区间为2.若双曲线二一二=1的渐近线方程为＞，=±°兀，则其离心率为 cr Zr 2C.丄或丄D.竺或总V13V13 233.若半径为1的球与120°的二而角的两个半平而切于M 、N 两点，则两切点间的球面距 离是（）.4兀A. -----34.若抛物线y 2 = 2px 的焦点与椭圆—+ —= 1的右焦点重合，则“的值为6 2A. 一 4B. 4 C ・ 一 2D ・ 25.如图,在棱长为2的正方体ABCD-AiBiCiDi 中，M 、N 分别是棱A I B H A I D I 的中点, 则点B 到平而AMN 的距离为（ ）9 r- 4 5 A ・— B ・、/3 C ・ 一 D. 一5 3 4学（理科）200& 5只有A. B.（0用C.D.(爲 2”)0) u (0, +00), /(羽在(0, +00)上的图象如图所示，则不等式f(x)f(x)>0的解集是( )A.( —oc, -1) U <0, 1)B.( —1 , 0) U(1，+x)C・(一0C , — 1 ) U(1・ +00)D. ( —1, 0) U(0, I)7.按分层抽样的方法，从15个相同的红球和10个相同的黑球中抽出10个球排成一排，则不同的排列方法为( )A. C愉B.鸡C. C：。
D.8.下列命题中正确的有( )①若向量“与b满足a b<0.则“与b所成角为钝角；②若向戢a与b不共线'nF 4・a +為・“ n二“ • a +皿・b."・“2亡尺)m 4 •弘—禺• “ = o °人 + + °C = 0C0—小S S yzz6.若偶函数f(x)义域为(一8,lg(3-x)x-210.二项式Lv-1 | (xHO)的展开式中常数项等于_ X)2ax + l,11.已知函数/(A-)= 2,x2+b,(X>1),(x = l),在41处连续,(x<1)-12.如图，函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是〉=则f (3) +f f⑶二_________________________ .13.已知等比数列｛a」的公比不为1，其前n项和为Sn，若向量1=(, a2), j =(a), a3), 2(-1, 1)满足A G麥z 雋才C； cf / / 虧C： pf c：c；AABC成c： V C；C：s.(4i-j) - k二0,则—= ___________ ・a i14.在如图所示的数阵中，分别按图中虚线，从上到下把划到的数一一列岀，构成一个数列{a n}： C；, C? , Cf, C；, C：, C：, Cj, C；, C：,……,则如二__________________ .(用数值作答)三、解答题；本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15・(本小题满分12分)在AA3C中，角A, B» C所对的边分别为a.b.c＞且满足bcosA + acosB = 2ccosC , AABC的面积为4JJ.(I)求角C的大小：(II)若a = 2,求边长c.16・（本小题满分14分）已知函数/（x） = x\m-x| （x e /?） > 且/（1） = 0.（I）求函数/（X）的解析式；（II）作出函数/（X）的图象，并指岀函数/（X）的单调区间; （IH）求不等式/（%） > -的解集.4得分评卷人17.（本小题满分13分）如图，已知正方形ABCD与矩形BEFD所在的平而互相垂直，AB=<2 , DF=h P是线段EF上的动点.（I）若点O为正方形ABCD的中心，求直线OP与平面ABCD所成角的最大值; （II）当点P为EF的中点时，求直线BP与FA所成角的正弦值：（III）求二而角A-EF-C的大小.18.(本小题满分13分)已知8人组成的抢险小分队中有3名医务人员，将这8人分为A、B两组，每组4人. (I )求A、B两组中有一组恰有一名医务人员的概率：(II )求A组中至少有两划医务人员的概率：(III)求A组中医务人员人数歹的数学期望.19.（本小题满分14分）已知A、8分别是x轴和y轴上的两个动点，满足卜勻=2，点P在线段AB上，且AP = tPB（/是不为0的常数），设点P的轨迹方程为C.（I ）求点P的轨迹方程C：（H）若曲线C为焦点在*轴上的椭圆，试求实数/的取值范国：3 （III）若t = 2,点M、7V是C上关于原点对称的两个动点，点0的坐标为（二,3）,求2△0MN的而积S的最大值.20.（本小题满分14分）2x已知 A(Xj, y,), B(x 2, y 2)是函数 f(x) = ' 1_2'_1,点M 在直线x =丄上，且AM MB ・2（I ） 求x^x 2的值及y, + y 2的值（II ） 已知S 产0,当 心2 时，S n = /（-） + /（-） + /（-）+••• + /（—） 求S”n n n n （HI ）在（II ）的条件下，设匕二2»,几为数列｛%｝的前〃项和，若存在正整数e 、m>1 1 x = —的图象上的任意两点（可以重合）,使得不等式士求c 和m 的值.北京市崇文区2007-2008学年度第二学期高三统一练习（二）数学（理科）参考答案一、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1. D2. A3. D4. B5. C6. B7. A8. A 二、 填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. （一 oc, 2） U （2, 3）10. -2011.丄，112. 113. 121 , 14.212三、 解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. （本小题满分12分）解：（I ） V bcosA + acosB = 2ccosC f ①由正弦立理知，b = 2R sin B,a = 2R sin A.c = 2R sin C » ② ................ 2 分 将②式代入①式，得 2sin 3 cos A + 2sin A cos B = 4 sin Ceos C,化简,得sin ( A+B) = sin C = 2sin Ccos C ................................................ 5 分•/ sin C H 0 , /. cosC = — ♦ •*. C =—・ ................................................................. 7 分2 3 (II) I AABC 的而积为4JL ••• -absinC = 4y/3, :. ab = \6・2又V a = 2, :. b = 8. (10)16. （本小题满分14分）解：（I ）由/（1） = |加一1| = 0=＞加=1・ ........... 2 分（II ）图象如图. ......................... 7分函数/（X ）的单调递增区间是（YO,丄］和2/（兀）的单调递减区间是［-,1］; ............ 9分2（III ）由（II ）知,函数 f （x ） = -x 2+x 在区间（YO,1）上的最大值为/（-）=-，又•・•函数/（A ） = X 2 -尤在区间（1 ,S ）上单调递增, 2cosC =22+8—2x1612分x < 1, x>\.lab由余弦定理得如图可知,在区间（1,8）上存在X。
,有/（X o） = -.42又-.-xeChco）, /. x0 =l + >/2■2即令X2-X = -,解得............................................... 12分.・・不等式/（x）＞丄的解集是（匕迟,+s） •4 214分解法二:x\\-x\>-^x< 1,< ° 1 ①一JT + X > —4x > 1,解①此不等式组无解，解②2耳I.・.不等式/（X）＞ -的解集是（1 ,+S）.4 217.（本小题满分13分）解：（I ）连结0P.设0P与平而ABCD所成角为a,则ae[-,-].当P是线段EF的中2点时，0P丄平面ABCD,直线0P与平而ABCD所成的最大角是仝.............. 4分2（II ）连结AF. FC、OF.证FO ZAFO依题意，在等腰MFC中，FO丄AC f AAFO为直角三角形.丁AD二、伍，DF=1, Z.AF=$ .又 A0二抑血）2+（后=1,・・•在恥阿中，s^FO = ^（11【）连结AE、EC,则AF=FC二AE二EC二JL 取EF 的中点P,连结AP.CP, AP 丄EF,CP 丄EF,则等腰^AEF/CEF ,•••在AAPC中，AP=CP二血•又AC=2, :. AAPC是直角三角形.且ZAPC捋.・••二而角A-EF-C的大小是号............................... 14分18.（本小题满分13分）解：（I ）设“A、B两组中有一组恰有一需医务人员”为事件儿,（II）设“A组中至少有两需医务人员”为事件A.■C2C2 C3C l i 叽)=乂&+丄—;・.............■ C； C； 2(III)歹可取0、1、2、3.C4 1 C[C3 3P3°)宅芯心"苛FC2C2 3 C3C} 1P(—) =苛〒呢=32苛〒13 3 1 3Eg = 0x — + lx — + 2x — + 3x —=—・........................................................ 13 分147 7 14 219.(本小题满分14分)解：(I )设点A(a,0), B(0,b), C(x,y),———- x-a = -tx.••• AP = fPB ,即(x_% v) = t(-x,b-y),即{ ................ 2 分y = t(b-y).a = (\ + t)x则L 1+/・b = ---- yt又= 即a2+b2 = 4..(\ + t)2x2 , (l + r)2y2T-+^i^ = 1-2 2•••点P的轨迹方程C：—一+ \ =]・ ......................... 5分4 4r(1 + /)' (1 + 024 4广5） •・•曲线C 为焦点在*轴上的椭圆…••吋＞吋，得—•又•••/>(), •••Ovfvl ・ .................................................................................. 8 分9r 2 9v 2(1【【)当t = 2时，曲线C 的方程为 —+ —= 1. ...................................................... 9分 4 16设Mg 」），N （-几一牙），则|测 =2舛 +）『-当斗H0时，设直线的方程为y =3 * 9•； S?=卫］_3西=9xj +才〉「_9xj .Q r - Q v - Q丈••寸+詰"®2蔦宀4.・・・S'4 — 9栩 而］=竺 +竺亠2•空•空"沁，则-9x 1Vl <4.即S 2<8,S<2V2. 4 16 2 4 43 r 3 V 1当且仅当二1 = 一亠时，即Xj =--Vi 时，“=”成立.2 24 R 当召=0时,\MN\ = 2•-= -91 Q 3 ••• △0MN 的而积S = —• —•二=2 . 23 2•••S 有最大值 ........................................................ 14分 20. (本小题满分14分)1 1 —— ——解：(I ) •••点M 在直线x=_上，设又AM = MB,2 2—— 1 —— 1即 AM = (-~x p y w -y,), MB = (x 2--,y 2-y A/), .\x,+x 2=l.••• △0MN 的而积 5 = 1-2 2 3 Q —V, 一 3x 2 _ 3 Q / . 于”_3召・ 11分则点0到直线MV 的距离①当X］二*时，兀冷，丫心2二/3)+ /也)=一1 一1 = 一2：②当兀严丄时，禺工二玉〒基二如匕込連二如一1 2 ~2 1-2A-1-2X2(1 —2旺)(1一2电) =邈釜熬普十综合①②得，宀=一2.……(II)由(【)知，当兀］+兀2二1时，Yi + y2=一2・•••/(£) + /(—) = 一2 ‘ k二123,…m -1 •.................................................n nn22 时，5…= /(-) + /(-)+/(-)+- + /(—)，①n n n nu— 1 n— 2 n— 3 ISK—) + /(——)+ /(—)+ •・・ + /(—)，②n n n n①+②得，2 Sn =-2 (n-1),则S “ =l~n.n=l I时,S］二0 满足Sn 二l-n・・：S n=l-n・..............................................................S 1 1 2(in)际2 "i, T n=l+-+-+(-r-=2--< 1 <z> -c)-(Tz -c) v 0 o c_(2T舟-TQ < °2 ■一一T _n 1Tm+l - 2-莎，131•••_S2———vcv2 ——— v2, c、m为正整数，/.c=l,22m2m2-—<1 cm2, Al<2m<3,2-—>l2m 10分TmT1m+2g —c)2T m-T m =4- —-2+ —=2- — m mi 2m2m当c二1时，14分。