第04讲 角度计算(含解答)

九年级数学竞赛专题第四讲角度计算一、选择题1．如图1，在△ABC中，∠，∠B的外角平分线分别交对边CB、AC的延长线于D、E，且AD=AB=BE，则∠A的度数是（）A．10°B．11°C．12°D．14°(1) (2) (3)2．如图2，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）A．2：3：4 B．3：4：5 C．4：5：6 D．以上结果都不对3．如图3，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是（）A．75°B．60°C．54°D．67.5°4．如图4，在△ABC中，AD是BC边上的中线；∠ADB，∠ADC的平分线各交AB，AC 于M，N，MN交AD于P，连结PB，PC，则∠BPC是（）A．锐角B．直角C．钝角D．以上都可能(4) (5) (6)5．如图5，点P是正方形ABCD内的一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a，（a>0），那么∠APB 的大小是（）A．100°B．120°C．135°D．150°二、填空题1．已知一个凸十一边形由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠，无间隙拼成，则该凸十一边形的各内角中，最小的内角大小为____________。

2．如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，P是△ABC内一点，PA=1，PB=3，PC=7，那么∠CPA=_____________.3．如图7，直角三角形ABC中，∠C=90°，BC被点D、E三等分，且BC=3AC，那么∠AEC+∠ADC+∠ABC=_____________。

(7) (8) (9)4．如图8，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=20°，D是AB边上一点，AD=BC，连结CD，那么∠BDC的大小是__________。

5．已知：如图9,△ABC中，AC=BC，∠ACB=80°，O为△ABC内一点，∠OAB=10°，∠OBA=30°，那么∠ACO=____________。

三、解答题1．如图，在△ABC中，∠B=90°，M为AB上一点，使得AM=BC，N为BC上一点，使得CN=BM，连结AN，CM相交于点P，试求∠APM的度数。

2．如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠CBA，∠CDA=90°，∠BCD=78°，AB=2AD，求∠CAD的度数。

3．如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D=90°，M 为BC 上一点，且BM=MC=DC ，∠DAM=50°，求∠AMC 的度数。

4．△ABC 中，AD 是△BAC 的角平分线，且有ACABAD111+=，求∠BAC 的度数。

5．如图，正方形被两条与边平行的线段EF ，CH 分割成四个小矩形，P 是EF 与CH 的交点，若矩形PFCH 的面积恰是矩AGPE 面积的2倍，试确定∠HAF 的大小并证明你的结论。

答案 一、选择题 1．C 2．A 3．B 4．C 5．C解答：1． 如图，设∠BAC=x °，则∠BAD=21(180°- x °)∵∠1=21(180°- ∠BAD) = 45°+ 4︒x∠2 = 21∠1 =21( 45°+4︒x )，且∠2 = ∠BAE + ∠E = 2x °,∴21( 45°+ 4︒x )= 2x °解之得 x = 12 即∠BAC=12°2． 如图，将△APB 绕A 点反时针旋转60°得△A 'P C ，显然有△A 'P C ≌△APB ，连P 'P .∵A 'P =AP ，∠'P AP=60°，∴△A 'P P 是等边三角形， ∴P 'P =AP ， ∵'P C=PB ，∴△'P CP 的三边长分别为PA ，PB ，PC ，∵∠APB + ∠BPC + ∠CPA = 360°，∠APB ：∠BPC ：∠CPA=5：6：7，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，∴∠P 'P C=∠A 'P C - ∠A 'P P = ∠APB - ∠A 'P P = 100° - 60°= 40° ∠P 'P C=∠APC - ∠AP 'P = 140° - 60°= 80°， ∠PC 'P = 180°- （40°+80°）= 60° ∴∠P 'P C ：∠PC 'P ：∠'P PC = 2：3：4 3． 如图，连结BD∵∠BCE = ∠BCD + ∠DCE = 90°+60° = 150°，BC=EC ， ∴∠EBC=∠BEC=21（180°-∠BCE ）=15°∵∠BCM=21∠BCD = 45°，∴∠BMC=180°- （∠BCM +∠EBC ）=120°， ∴∠AMB=180°- ∠BMC = 60°∵AC 是线段BD 的垂直平分线，M 在AC 上， ∴∠AMD=∠AMB = 60° 4． 如图，在三角形ABC 中，DM 平分∠BDA ，所以AD ：DB=AM ：MB 同理AD ：DC=AN ：NC ， 又BD=DC ，所以AM ：MB=AN ：NC ， 所以MN ∥BC所以∠1=∠2=∠3所以PM=PD ，同理PD=PN 所以PM=PN=PD又PM ：BD=AP ：AD<1, 所以BD>PD所以∠BPD>∠PBD 同理∠CPD>∠PCD所以∠BPC=∠BPD+∠DPC>∠PBD+∠PCD=∠BPM+∠CPN 所以∠BPC>90°，所以∠BPC 是钝角5． 如图，将三角形APB 绕B 点旋转90°得：三角形CPB ，连结PQ 、AC ，则：△CPQ ≌△APB因为∠PBQ=90°，PB+QB=2a ，所以∠PQB=∠BPQ=45°，PQ=22a所以2PC =CQ 2+PQ 2， 所以∠PQC=90° 所以∠APB=∠CQB=∠PQB+∠PQC=135°二、填空题 1．120°； 2．135°； 3．90°； 4．30°； 5．70°； 解答：1．设此凸十一边形的各个内角中有x 个60°，y 个90°角，z 个120°角，t 个150°角，则⎩⎨⎧︒⋅-=+++=+++180)211(150120906011t z y x t z y x消去t 得：3x + 2y + z = 1 因为x,y,z 均为非负整数，所以x = y = 0, z = 1, 所以t = 10.由这个凸十一边形有一个角是120°，其余十个内角均为150°，所以，此凸十一边形中最小内角为120°2．如图，作△ACQ ≌△ABP ，连结PQ ，则AQ=AP=1，CQ=AB=3，∠QAC=∠PAB ，又因为∠PAB+∠PAC=90°，所以∠PAQ=∠QAC+∠CAP=∠PAB+∠PAC=90°所以PQ 2AQ 2+AP 2=2，且∠QPA=45° 在△CPQ 中，PC 2+PQ 2=7+2=9=CQ 2所以∠QPC=90° 所以∠CPA=∠QPA+∠QPC=135°3．如图，以BC 为边作正方形BCMN ，在MN 上取点P 、Q ，使MP=PQ=QN ，连结AP ，PD ，DQ ，则有AM=CD ，MP=AC ，△ACB ≌△PQD ，易得△APM ≌△DCA所以AP=AD 且∠DAC+∠PAM=90°， 即△APD 是等腰直角三角形所以∠ABC+∠ADC=∠PDQ+∠ADC =90°- ∠ADP=90°- 45°= 45° 又由题意知∠AEC=∠EAC=45° 所以∠AEC+∠ADC+∠ABC=90°4．如图，作△AED ≌△BAC ，连结EC ，则∠AEC=∠BAC=20°，∠DAE=∠ADE=∠B=∠°ACB=80°， 所以∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°- 20°= 60°又因为AE=AB=AC ，所以△ACE 是一个等边三角形 所以∠DEC=∠AEC-∠AEC=40° 所以∠EDC=21（180°- ∠DEC ）=70°所以∠BDC=180°- （∠ADE+∠EDC ）=30° 6． 如图，作正△CAQ ，连结BQ ，依题意易得：∠BAQ=60°- 50°=10°=∠OAB ； ∠QCB=80°-60°=20°； CQ = CA = CB所以∠CBQ=80°，∠ABQ = ∠CBQ - ∠CBA = 80°-50°=30°， 所以∠ABQ=∠OBA ，所以△OAB ≌△QAB ，所以AO = AQ = AC 而∠CAO=50°-10°=40°， 所以∠ACO=21（180°-40°）=70°三、解答题1． 解：如图，过A 作AB 的垂线，在其上截取AK=CN=MB ，连KM ，KC ，则因为AM=BC ，AK=BM ，∠KAM=∠B=90°， 所以△KAM ≌△MBC ，所以KM=CM ，∠AMK=∠MCB因为∠CMB+∠MCB=90°，所以∠CMB+∠AMK=90° 所以 ∠KMC=90°所以△KMC 为等腰直角三角形，∠MCK=45° 又因为△AKC ≌△CAN ， 所以∠KCA=∠NAC ， 所以KC ∥AN ，所以∠APM=∠KCM=45°2． 如图，在四边形ABCD 中，∠DAB=∠ABC=21（360°-90°-78°）=96°，构造含30°角的直角三角形，在形内作∠DAE=60°，易证∠DAC>60°， 可设AE 交CD 于Ｅ，在Ｒt △ＡＤＥ中知ＡＥ＝2AD ，由AB=2AD ，得AE=AB ，故连结BE 得等腰三角形AEB ，且顶角∠EAB=96°-60°=36°， 根据顶角36°的等腰三角形特性，考虑作其底角∠ABE 的角平分线BF 交AE 于F ， 则BF 把△ABE 分成两个等腰三角形，AF=BF=BE ，在△BEC 中，已知∠BCE=78°，∠BEC=180°-30°-72°=78°，所以∠BEC=∠BCE ，故AF=BF=BE=BC 。