高中数学圆与圆的位置关系总结练习含答案解析S
高中数学必修二 圆与圆的位置关系 答案解析版
4.2.2 圆与圆的位置关系（时间90分钟，满分120分）一、选择题（每小题5分，共50分）1.圆C1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆C2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系是（）A.外离B.相交C.内切D.外切【解析】圆C1的圆心是C1(-2,2),半径r1=1,圆C2的圆心是C2(2,5),半径r2=4,则圆心距|C1C2|=5.因为|C1C2|=r1+r2,所以两圆外切.【答案】D2.圆C1:x2+y2+4x+8y-5=0与圆C2:x2+y2+4x+4y-1=0的位置关系为（）A.相交B.外切C.内切D.外离【解析】由已知,得C1(-2,-4),r1=5,C2(-2,-2),r2=3,则d=|C1C2|=2,所以d=|r1-r2|.故两圆内切.【答案】C3.已知圆A与圆B相切,圆心距为10 cm,其中圆A的半径为4 cm,则圆B的半径为（）A.6 cm或14 cmB.10 cmC.14 cmD.无解【解析】令圆A、圆B的半径分别为r1,r2,当两圆外切时,r1+r2=10,所以r2=10-r1=10-4=6;当两圆内切时,|r1-r2|=10,即|4-r2|=10,r2=14或r2=-6(舍),即圆B的半径为6 cm或14 cm.【答案】A4.已知圆O1的方程为x2+y2=4,圆O2的方程为(x-a)2+y2=1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a的所有取值构成的集合是（）A.{1,-1}B.{3,-3}C.{1,-1,3,-3}D.{5,-5,3,-3}【解析】因为两个圆有且只有一个公共点,所以两个圆内切或外切.当两圆内切时,|a|=1;当两圆外切时,|a|=3,即实数a的取值集合是{1,-1,3,-3}.故选C.【答案】C5.圆x2+y2+4x-4y+7=0与圆x2+y2-4x+10y+13=0的公切线的条数是（）A.1B.2C.3D.4【解析】两圆的圆心分别为C1(-2,2),C2(2,-5),则两圆的圆心距d又半径分别为r1=1,r2=4,则d>r1+r2,即两圆外离,因此它们有4条公切线.【答案】D6.已知以C(4,-3)为圆心的圆与圆O:x2+y2=1相切,则圆C的方程为（）A.(x-4)2+(y+3)2=16B.(x+4)2+(y-3)2=36C.(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36D.(x+4)2+(y-3)2=16或(x+4)2+(y-3)2=36【解析】设所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=r2(r>0).因为圆C与圆O相切,所以|r-1|=5或r+1=5,解得r=6或r=4(负值舍去).故所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36.【答案】C7.圆C 1:(x+1)2+(y+2)2=4与圆C 2:(x+2)2+(y+3)2=1的位置关系是（ ）A.外离B.外切C.相交D.内切【解析】圆心距d =两圆半径的和为2+1=3, 两圆半径之差的绝对值为1,1212r r d r r -<<+,所以两圆的位置关系是相交.【答案】C8.若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+ay-2=0的公共弦的长度为,则常数a 的值为（ ）A .2±B .2C .-2D .4±【解析】两圆方程左右两边分别相减得公共弦所在直线的方程为ay+2=0.由题意知0a ≠.圆x 2+y 2=4的圆心到直线ay+2=0的距离为2a ,又公共弦长为,所以=解得2a =±. 【答案】A9.已知圆C :(x-3)2+(y-4)2=1和两点A (-m ,0),B (m ,0)(m>0).若圆C 上存在点P ,使得90APB ∠=︒,则m 的最大值为（ ）A .7B .6C .5D .4【解析】因为A (-m ,0),B (m ,0)(m>0),所以使90APB ∠=︒的点P 在以线段AB 为直径的圆上,该圆的圆心为O (0,0),半径为m.而圆C 的圆心为C (3,4),半径为1.由题意知点P 在圆C 上,故两圆有公共点.所以两圆的位置关系为外切、相交或内切,故11m CO m -≤≤+,即151m m -≤≤+,解得46m ≤≤.所以m 的最大值为6.故选B .【答案】B★10.若圆(x-a )2+(y-a )2=4上,总存在不同的两点到原点的距离等于1,则实数a 的取值范围是（ ）A.⎝⎭B.⎛ ⎝⎭C.⎛ ⎝⎭⎝⎭UD.⎛ ⎝⎭【解析】圆(x-a )2+(y-a )2=4的圆心C (a ,a ),半径r=2,到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆,这个圆的圆心是原点O ,半径R=1,则这两个圆相交,圆心距d =,则|r-R|<d<r+R ,则13<<,所以22a <<,所以a <<a << 【答案】C二、填空题（每小题5分，共20分）11.圆C 1:x 2+y 2-12x-2y-13=0和圆C 2:x 2+y 2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是 .【解析】两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y-2=0.【答案】4x+3y-2=012.若圆C 1:(x-3)2+(y-4)2=16与圆C 2:x 2+y 2=m (m>0)内切,则实数m= .【解析】圆心距5d =,由题意得两圆半径差的绝对值45=,解得m=81.【答案】8113.已知圆O :x 2+y 2=25和圆C :x 2+y 2-4x-2y-20=0相交于A ,B 两点,则公共弦AB 的长为 .【解析】两圆方程相减得弦AB 所在的直线方程为4x+2y-5=0.圆x 2+y 2=25的圆心到直线AB的距离d == 故公共弦AB的长为AB ===14.若点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,则圆(x-a )2+y 2=1与圆x 2+(y-b )2=1的位置关系是 .【解析】因为点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,所以a 2+b 2=4.又圆x 2+(y-b )2=1的圆心C 1(0,b ),半径r 1=1,圆(x-a )2+y 2=1的圆心C 2(a ,0),半径r 2=1,则122d C C ===,所以d=r 1+r 2.所以两圆外切.【答案】外切三、解答题（15-17每小题12分，18题14分，共50分）15.求与圆O :x 2+y 2=1外切,切点为1,2P ⎛- ⎝⎭,半径为2的圆的方程. 【解析】设所求圆的圆心为C (a ,b ),则所求圆的方程为(x-a )2+(y-b )2=4.因为两圆外切,切点为1,2P ⎛- ⎝⎭,所以|OC|=r 1+r 2=1+2=3,|CP|=2.所以222291422a b a b ⎧+=⎪⎪⎛⎨⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎪⎝⎭⎩,解得32a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以圆心C的坐标为3,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭,所求圆的方程为22342x y ⎛⎛⎫+++= ⎪ ⎝⎭⎝⎭.16.求和圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点(4,-1)且半径为1的圆的方程.【解析】设所求圆的圆心为(a ,b ),1=. ① 若两圆外切,123=+=. ② 由①②,解得5,1a b ==-,所以所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.若两圆内切,211=-=. ③ 由①③,解得3,1a b ==-,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.综上,可知所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.17.一动圆与圆C 1:x 2+y 2+6x+8=0外切,与圆C 2:x 2+y 2-6x+8=0内切,求动圆圆心的轨迹方程.【解析】圆C 1:(x+3)2+y 2=1,所以圆心为(-3,0),半径r 1=1;圆C 2:(x-3)2+y 2=1,所以圆心为(3,0),半径r 2=1. 设动圆圆心为(x ,y ),半径为r ,由题意得1r =+1r =-,2=, 化简并整理,得8x 2-y 2=8(1x ≥).所以动圆圆心的轨迹方程是8x 2-y 2=8(1x ≥). ★（附加题）18.圆O 1的方程为x 2+(y+1)2=4,圆O 2的圆心O 2(2,1).(1)若圆O 2与圆O 1外切,求圆O 2的方程;(2)若圆O 2与圆O 1交于A ,B 两点,且AB =求圆O 2的方程.【解析】(1)设圆O 1的半径为r 1,圆O 2的半径为r 2.因为两圆外切,所以|O 1O 2|=r 1+r 2,r 2=|O 1O 2|-r 1=1),故圆O 2的方程是(x-2)2+(y-1)2=1)2.(2)设圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=22r . 因为圆O 1的方程为x 2+(y+1)2=4,将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB 所在直线的方程224480x y r ++-=, ①作O 1H ⊥AB ,则|AH|=12,O 1,由圆心O 1(0,-1)到直线①,得224r =或2220r =,故圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.。
圆与圆的位置关系参考答案
2.5.2 圆与圆的位置关系参考答案1．圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋4y －1＝0的位置关系为( )A ．相交B ．外切C ．内切D ．外离答案 C解析 由已知，得C 1(－2，－4)，r 1＝5，C 2(－2，－2)，r 2＝3，则d ＝|C 1C 2|＝2，所以d ＝|r 1－r 2|，所以两圆内切．2．圆x 2＋y 2－2x －5＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的交点为A ，B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x －y ＋1＝0C ．x －2y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0答案 A解析 圆x 2＋y 2－2x －5＝0的圆心为M (1,0)，圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的圆心为N (－1,2)，两圆的相交弦AB 的垂直平分线即为直线MN ，其方程为y －0x －1＝2－0－1－1，即x ＋y －1＝0. 3．圆(x －4)2＋y 2＝9和圆x 2＋(y －3)2＝4的公切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案 C解析 圆(x －4)2＋y 2＝9的圆心为(4,0)，半径为3，圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为(0,3)，半径为2. 两圆的圆心距为42＋32＝5＝2＋3，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为3.4．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋m ＝0与圆(x ＋3)2＋(y ＋3)2＝36内切，则实数m 的值为( )A ．0B ．－120C ．0或－120D ．5答案 C解析 将圆C ：x 2＋y 2－2x ＋m ＝0化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝1－m ，由两圆内切可得|6－1－m |＝5，解得m ＝0或－120.5．圆C 1：(x －1)2＋y 2＝4与圆C 2：(x ＋1)2＋(y －3)2＝9的相交弦所在的直线为l ，则直线l 被圆O ：x 2＋y 2＝4截得的弦长为( ) A.13 B ．4 C.43913 D.83913答案 D解析 由圆C 1与圆C 2的方程相减得l ：2x －3y ＋2＝0.圆心O (0,0)到l 的距离d ＝21313，圆O 的半径R ＝2， 所以截得的弦长为2R 2－d 2＝24－413＝83913. 6．(多选)下列圆中与圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0相切的是( )A ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝9B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝9C ．(x －2)2＋(y －2)2＝25D ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝49答案 BCD解析 由圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，可知圆心C 的坐标为(－1,2)，半径r ＝2.A 项，圆心C 1(－2，－2)，半径r 1＝3.∵|C 1C |＝17∈(r 1－r ，r 1＋r )，∴两圆相交；B 项，圆心C 2(2，－2)，半径r 2＝3，∵|C 2C |＝5＝r ＋r 2，∴两圆外切，满足条件；C 项，圆心C 3(2,2)，半径r 3＝5，∵|C 3C |＝3＝r 3－r ，∴两圆内切；D 项，圆心C 4(2，－2)，半径r 4＝7，∵|C 4C |＝5＝r 4－r ，∴两圆内切．7．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，则实数a ，b 的关系是________．答案 4a 2＋b 2＝1解析 圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0，化为标准方程为(x ＋2a )2＋y 2＝4，圆心坐标为(－2a ,0)，半径长为2.圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0，化为标准方程为x 2＋(y －b )2＝1.圆心坐标为(0，b )，半径长为1.由于两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，所以(2a )2＋b 2＝2－1＝1，整理得4a 2＋b 2＝1.8．经过直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________．答案 x 2＋y 2－34x －34y －114＝0 解析 由已知可设所求圆的方程为x 2＋y 2－2＋λ(x ＋y ＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－34，故所求圆的方程为x 2＋y 2－34x －34y －114＝0. 9．已知两圆C 1：x 2＋y 2＝4，C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝r 2(r >0)，直线l ：x ＋2y ＝0.(1)当圆C 1与圆C 2相交且公共弦长为4时，求r 的值；(2)当r ＝1时，求经过圆C 1与圆C 2的交点且和直线l 相切的圆的方程．解 (1)由圆C 1：x 2＋y 2＝4，知圆心C 1(0,0)，半径r 1＝2，又由圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝r 2(r >0)，可得x 2＋y 2－2x －4y ＋5－r 2＝0，两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x ＋4y －9＋r 2＝0.因为圆C 1与圆C 2相交且公共弦长为4，此时相交弦过圆心C 1(0,0)，即r 2＝9(r >0)，解得r ＝3.(2)设过圆C 1与圆C 2的圆系方程为(x －1)2＋(y －2)2－1＋λ(x 2＋y 2－4)＝0(λ≠－1)，即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)·y 2－2x －4y ＋4(1－λ)＝0，所以⎝⎛⎭⎫x －1λ＋12＋⎝⎛⎭⎫y －2λ＋12＝4λ2＋1(λ＋1)2，由圆心到直线x ＋2y ＝0的距离等于圆的半径，可得⎪⎪⎪⎪1λ＋1＋4λ＋15＝4λ2＋1|λ＋1|，解得λ＝1，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x －2y ＝0. 10．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0.(1)若直线l 1过定点A (1,1)，且与圆C 相切，求l 1的方程；(2)若圆D 的半径为3，圆心在直线l 2：x －y ＋2＝0上，且与圆C 外切，求圆D 的方程． 解 (1)圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0化为标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝4，所以圆C 的圆心为(3,4)，半径为2.①若直线l 1的斜率不存在，即直线为x ＝1，符合题意．②若直线l 1的斜率存在，设直线l 1的方程为y －1＝k (x －1)．即kx －y －k ＋1＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l 1的距离等于半径2，所以|3k －4－k ＋1|k 2＋1＝2，即|2k －3|k 2＋1＝2， 解得k ＝512，所以直线方程为5x －12y ＋7＝0. 综上，所求l 1的方程为x ＝1和5x －12y ＋7＝0.(2)依题意，设D (a ，a ＋2)．又已知圆C 的圆心为(3,4)，半径为2，由两圆外切，可知|CD |＝5，∴(a －3)2＋(a ＋2－4)2＝5，解得a ＝－1或a ＝6.∴D (－1,1)或D (6,8)，∴所求圆D 的方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝9或(x －6)2＋(y －8)2＝9.11. 设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆圆心的距离|C 1C 2|为( ) A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．82答案 C解析 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且都在直线y ＝x 上．设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17.∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32，∴|C 1C 2|＝(a －b )2＋(a －b )2＝32×2＝8.12．(多选)圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的交点为A ，B ，则有( )A ．公共弦AB 所在直线的方程为x －y ＝0B ．线段AB 中垂线的方程为x ＋y －1＝0C ．公共弦AB 的长为22D ．P 为圆O 1上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为22＋1 答案 ABD解析 对于A ，由圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0与圆O 2：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的交点为A ，B ， 两式作差可得4x －4y ＝0，即公共弦AB 所在直线方程为x －y ＝0，故A 正确；对于B ，圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1,0)，又k AB ＝1，则线段AB 中垂线的斜率为－1，即线段AB 中垂线的方程为y －0＝－1×(x －1)，整理可得x ＋y －1＝0，故B 正确；对于C ，圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0，圆心O 1(1,0)到直线x －y ＝0的距离d ＝|1－0|12＋(－1)2＝22，半径r ＝1，所以|AB |＝21－⎝⎛⎭⎫222＝2，故C 不正确； 对于D ，P 为圆O 1上一动点，圆心O 1(1,0)到直线x －y ＝0的距离为d ＝22，半径r ＝1，即P 到直线AB 距离的最大值为22＋1，故D 正确． 13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1 : x 2 ＋y 2＝8与圆C 2 : x 2＋y 2＋2x ＋y －a ＝0相交于A ，B 两点．若圆C 1上存在点P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为________________． 答案 {}8，8－25，8＋25解析 由题知，直线AB 为2x ＋y ＋8－a ＝0，当∠P AB ＝90°或∠PBA ＝90°时，设C 1到AB 的距离为d ，因为△ABP 为等腰直角三角形，所以d ＝12|AB |，即d ＝8－d 2，所以d ＝2，所以|8－a |22＋12＝d ＝2， 解得a ＝8±25， 当∠APB ＝90°时，AB 经过圆心C 1，则8－a ＝0，即a ＝8.14．过两圆x 2＋y 2－2y －4＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l ：2x ＋4y －1＝0上的圆的方程是________________．答案 x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0解析 设圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0(λ≠－1)，则(1＋λ)x 2－4x ＋(1＋λ)y 2＋(2－2λ)y －4λ＝0，把圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ代入直线l ：2x ＋4y －1＝0的方程， 可得λ＝13， 所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.15．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2－2ax ＋y 2－2ay ＋2a 2－1＝0上存在点P 到点(0,1)的距离为2，则实数a 的取值范围是______________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－172，0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1＋172 解析 因为圆C ：x 2－2ax ＋y 2－2ay ＋2a 2－1＝0，所以(x －a )2＋(y －a )2＝1，其圆心C (a ，a )，半径r ＝1.因为点P 到点(0,1)的距离为2，所以P 点的轨迹为x 2＋(y －1)2＝4.因为P 又在(x －a )2＋(y －a )2＝1上，所以圆C 与圆x 2＋(y －1)2＝4有交点，即2－1≤a 2＋(a －1)2≤2＋1，所以1－172≤a ≤0或1≤a ≤1＋172. 所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－172，0∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1＋172. 16．已知圆M 与圆N ：⎝⎛⎭⎫x －532＋⎝⎛⎭⎫y ＋532＝r 2关于直线y ＝x 对称，且点D ⎝⎛⎭⎫－13，53在圆M 上． (1)判断圆M 与圆N 的位置关系；(2)设P 为圆M 上任意一点，A ⎝⎛⎭⎫－1，53，B ⎝⎛⎭⎫1，53，P ，A ，B 三点不共线，PG 为∠APB 的平分线，且交AB 于G ，求证：△PBG 与△APG 的面积之比为定值．(1)解 N ⎝⎛⎭⎫53，－53关于直线y ＝x 的对称点为M ⎝⎛⎭⎫－53，53， 所以圆M 的半径r ＝|MD |2＝⎝⎛⎭⎫－53＋132＋⎝⎛⎭⎫53－532＝43， 所以圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x ＋532＋⎝⎛⎭⎫y －532＝169. 又|MN |＝⎝⎛⎭⎫1032＋⎝⎛⎭⎫1032＝1023>43×2， 故圆M 与圆N 相离．(2)证明 设P (x 0，y 0)，则|P A |2＝(x 0＋1)2＋⎝⎛⎭⎫y 0－532＝(x 0＋1)2＋169－⎝⎛⎭⎫x 0＋532＝－43x 0，|PB |2＝(x 0－1)2＋⎝⎛⎭⎫y 0－532＝(x 0－1)2＋169－⎝⎛⎭⎫x 0＋532＝－163x 0， 所以⎝⎛⎭⎫|P A ||PB |2＝14，即|P A ||PB |＝12. 又PG 为∠APB 的平分线，故S △BPG S △APG ＝|PB ||P A |＝2为定值．。
人教A版高中数学选择性必修第一册2.5.2 圆与圆的位置关系 课时分层练习题含答案解析
2.5.2 圆与圆的位置关系基础练习一、单选题1．已知圆C ：x 2+y 2=4，则圆C 关于直线l ：x ﹣y ﹣3=0对称的圆的方程为（ ） A ．x 2+y 2﹣6x +6y +14=0 B ．x 2+y 2+6x ﹣6y +14=0 C ．x 2+y 2﹣4x +4y +4=0 D ．x 2+y 2+4x ﹣4y +4=02．过圆4x y +=上一点P 作圆:()0O x yr r +=>的两条切线，切点分别为，若2APB π∠=，则r =（ ）A ．1BC D3．圆224x y +=与圆:219C x y -+-=的位置关系是( ) A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离A ．210x y --=B ．20x y -+=C ．20x y --=D ．210x y -+=【答案】B【分析】两圆的方程消掉二次项后的二元一次方程即为公共弦所在直线方程.【详解】由x 2＋y 2－4＝0与x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0两式相减得：4480x y -+=，即20x y -+=.5．已知圆1C ：2220x y x ++=，圆2C ：2260x y y +-=相交于P ，Q 两点，则||PQ =（ ）A B ．5C D6．设圆1:244C x y x y +-+=，圆2:680C x y x y ++-=，则圆1，2的公切线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条7．如图，点()2,0A ，()1,1B ，()1,1C -，()2,0D -，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω，则（ ）A ．曲线Ω与x 轴围成的图形的面积等于32π B ．CB 与BA 的公切线的方程为10x y +-C ．BA 所在圆与 CB 所在圆的公共弦所在直线的方程为0x y -=D ．CD 所在的圆截直线y x =所得弦的长为8．已知圆:211M x y -+-=，圆:211N x y +++=，则下列是M ，N 两圆公切线的直线方程为（ ）A ．y ＝0B ．3x －4y ＝0C ．20x y -=D ．20x y -=【答案】ACD9．已知圆O ：224x y +=和圆C ：231x y -+-=.现给出如下结论，其中正确的是 A ．圆O 与圆C 有四条公切线B ．过C 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为5x y +=或10x y -+= C ．过C 且与圆O 相切的直线方程为916300x y -+=D ．P ､Q 分别为圆O 和圆C 上的动点，则PQ 3+3 10．两圆22230x y y +--=与2220x y x ++=的公共弦所在直线的方程为______. 【答案】2230x y ++=【分析】两圆相减，消去22,x y 即为答案.【详解】22230x y y +--=与2220x y x ++=相减得：2230x y ++=，即为公共弦所在直线的方程.故答案为：2230x y ++=11．已知圆C 1：2264120x y x y +-++=与圆C 2：22620x y x y a +--+=，若圆C 1与圆C 2有且仅有一个公共点，则实数a 的值为___________.12．圆230x y x +--=与224230x y x y +-++=的交点坐标为______. 【答案】()12-，和()30， 【分析】联立两圆的方程即可求解.【详解】联立22222304230x y x x y x y ⎧+--=⎨+-++=⎩，两式相减得=3x y +，将其代入22230x y x +--=中得0y =或2y =-，进而得30x y =⎧⎨=⎩或12x y =⎧⎨=-⎩， 所以交点坐标为()()1230，，，- 13．已知圆221:2440C x y x y +-+-=，圆222:2220C x y x y ++--=，则两圆的公切线条数是___________.14．若圆221x y +=与圆416x a y -+-=有3条公切线，则正数a =___________.15．设两圆1与圆2的公共弦所在的直线方程为_______ 【答案】2410x y --=【分析】利用两圆的方程相减即可求解.【详解】因为圆22110C x y +-=：①，圆222240C x y x y +-+=：②，由-①②得，2410x y --=，所以两圆的公共弦所在的直线方程为2410x y --=.16．已知以()4,3C -为圆心的圆与圆221x y +=相切，则圆C 的方程是______.A B B A B 且45A ∠=，则C 的坐标为______.（坐标分量精确到0.1）45，且A 在直线AC 上，所以18．若平面上的点P 及半径为R 的圆C ，我们称2CP R -为点P 对圆C 的幂，则平面上对圆1C ：221x y +=及圆2C ：()()22234x y -++=幂相等的点P 的坐标所满足的等式是______.【答案】2x －3y －5＝0【分析】设出点P 坐标，依题意列出等式即可. 【详解】由题知：圆心1(0,0)C ，2(2,3)C -， 圆1C 的半径11R =，圆2C 的半径22R =，设点(,)Px y ，则点P 对圆1C 的幂为：()221x y +-，点P 对圆2C 的幂为：()()22234x y -++-，所以有：()()()22221234x y x y +-=-++-，化简得：2x －3y －5＝0， 故答案为：2x －3y －5＝0. 四、解答题19．若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-= (0a >)的公共弦的长为a 的值．。
高一数学圆与圆的位置关系试题答案及解析
高一数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5－4B．－1C．6－2D．【答案】A【解析】圆关于轴对称圆的圆心坐标，半径不变，圆的圆心坐标半径的最小值为连接圆与圆圆心，再减去两圆的半径因此的最小值【考点】圆与圆的位置关系．2.若圆与圆（）的公共弦长为，则_____.【答案】1【解析】因为圆与圆（）的公共弦所在的直线方程为：；又因为两圆的公共弦长为，所以有．【考点】圆与圆的位置关系．3.圆和圆的位置关系为．【答案】内切【解析】通过利用两点间的距离公式计算,寻找其与两圆的半径和,差的关系,判断可知,所以内切.【考点】两圆位置关系的判断.4.经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．【答案】【解析】设经过两圆交点的圆的方程为,整理为,再整理：.圆心坐标为，代入直线方程，解得：，代入得圆的方程：.【考点】经过两圆交点的圆的方程5.圆与圆的位置关系为（）A．两圆相交B．两圆相外切C．两圆相内切D．两圆相离【答案】A【解析】∵，，∴两圆的圆心距，所以两圆相交，故选A．【考点】圆与圆的位置关系．6.两圆相交于点A（1，3）、B（m，－1），两圆的圆心均在直线x－y+c=0上，则m+c的值为（）A．3B．2C．0D．－1【答案】A【解析】由圆的知识可知公共弦的垂直平分线过两圆的圆心，中点为代入直线得，【考点】圆与圆的位置关系点评：两圆相交时，两圆心的连心线是公共弦的垂直平分线7.圆: 与圆: 的位置关系是A．外离B．相交C．内切D．外切【答案】D【解析】∵的圆心为（-2，2）半径为1圆的圆心为（2，5）半径为4，∴，∴两圆外切，故选D【考点】本题考查了两圆的位置关系点评：通过两圆心的距离与半径和（差）的比较即可得到两圆的位置关系8.已知圆与圆相交，则圆与圆的公共弦所在的直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，，∴两圆的公共弦所在直线方程为x+2y-1=0，【考点】本题考查了圆与圆的位置关系点评：两圆相减即可得到两圆公共弦所在的直线方程9.两圆x2+y2－4x+6y=0和x2+y2－6x=0的连心线方程为（）A．x+y+3=0B．2x－y－5=0．C．3x－y－9=0．D．4x－3y+7=0【答案】C【解析】解：因为两圆的圆心为（2,3）（3,0），则由两点式可知连心线的方程为3x－y－9=0．选C10.（本题满分14分）已知圆，圆，动点到圆,上点的距离的最小值相等.（1）求点的轨迹方程；（2）点的轨迹上是否存在点，使得点到点的距离减去点到点的距离的差为，如果存在求出点坐标，如果不存在说明理由.【答案】（1）点的轨迹方程是.（2）点的轨迹上不存在满足条件的点.【解析】本试题主要是考查了动点的轨迹方程的求解，以及满足动点到定点的距离差为定值的点是否存在的探索性问题的运用。
高二数学圆与圆的位置关系试题答案及解析
高二数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.已知动圆与圆和圆都外切,则动圆圆心的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．双曲线的一支【答案】D【解析】设动圆的圆心坐标为（x，y），半径为，由于动圆与圆和圆都外切，所以，所以，根据双曲线的定义可知动圆的轨迹为双曲线的一支.【考点】1.圆与圆的位置关系；2.双曲线的定义.2.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心在（）A．一个椭圆上B．一条抛物线上C．双曲线的一支上D．一个圆上【答案】A【解析】由两圆的位置关系求解，记动圆圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为10，则，，故，从而知点轨迹是椭圆.【考点】圆与圆的位置关系，椭圆的定义.3.圆与圆的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离【答案】B【解析】两个圆的圆心距等于所以两个圆相交.【考点】本小题主要考查两个圆的位置关系.点评：判断两个圆的位置关系，主要是根据两个圆的圆心距与半径的和或差的关系.4.圆与公共弦的长为．【答案】【解析】两圆公共弦所在的直线为：，圆的圆心到公共弦的距离为：，所以公共弦长为：。
【考点】圆的简单性质；圆与圆的综合应用。
点评：圆x2＋y2+D1x+E1y＋F1＝0与x2＋y2+D2x+E2y＋F2＝0公共弦所在的直线为: x＋y＋＝0.5.两圆和的位置关系是（）A．相离B．相交C．内切D．外切【答案】B【解析】因为两圆的圆心坐标分别为C1(0,0),C2(4,-3),半径分别为r1=3,r2=4,因为r2-r1=1,r2+r1=7,|C1C2|=5,所以,所以两圆相交.6.圆：和圆：交于两点，则的垂直平分线的方程是【答案】【解析】根据圆的几何性质，两圆圆心的连线垂直平分公共弦AB，因而的垂直平分线就是两圆圆心的连线，因为两圆的圆心分别为(2,-3),(3,0),所以其斜率为3,所求直线方程为,即7.两圆和的位置关系为( )A．相交B．外切C．内切D．相离【答案】B【解析】因为两圆的圆心C1(0,3),C2（-4，0），半径r1=3,r2=2,所以所以d=r1+r2,所以两圆外切.8.⊙O1极坐标方程为，⊙O2参数方程为为参数)，则⊙O1与⊙O2公共弦的长度为( )A．B．C．2D．1【答案】C【解析】因为⊙O1的普通方程为,⊙O2的普通方程为,所以两圆作差可得,所以圆O1到直线x+y=0的距离为,所以公共弦的长度为.9.已知圆O：，圆O1：（、为常数，）对于以下命题，其中正确的有_______________．①时，两圆上任意两点距离②时，两圆上任意两点距离③时，对于任意，存在定直线与两圆都相交④时，对于任意，存在定直线与两圆都相交【答案】②③【解析】①圆心距为,当a=b=1时，d=1,所以两圆相交，并且相互过对方圆的圆心.所以两圆上任点两点之间的距离为[0,3].错.对于②:当a=4,b=3时，,圆上任意两点最大距离为d+2=6,最小距离为3-2=1,所以两圆上任意两点距离.正确.③由①知显然此命题正确.④显然此命题错误.10.（本小题满分14分）动圆G与圆外切，同时与圆内切，设动圆圆心G的轨迹为。
高三数学圆与圆的位置关系试题答案及解析
高三数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.在平面直角坐标xoy中，设圆M的半径为1，圆心在直线上,若圆M上不存在点N，使,其中A（0，3），则圆心M横坐标的取值范围 .【答案】【解析】设，由得：化简得：，表示为以为圆心，2为半径的圆，由题意得圆B与圆无交点，即或，解得圆心M横坐标的取值范围为：【考点】动点轨迹，圆与圆位置关系2.设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为________．【答案】3【解析】∵l与圆相交所得弦的长为2，＝，∴m2＋n2＝≥2|mn|，∴|mn|≤.l与x轴交点A(，0)，与y轴交点B(0，)，∴S＝·|△AOB |||＝·≥×6＝3.3.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以，故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力. 4.已知圆C的方程为，若以直线上任意一点为圆心，以l为半径的圆与圆C没有公共点，则k的整数值是（）A．l B．0C．1D．2【答案】【解析】由题意知，直线过定点，圆与圆相离.圆心到直线大于，所以，，解得，故的整数值为，选．【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离公式.5.圆：与圆：的公共弦长等于.【答案】【解析】将的方程化为标准方程得：.将两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为：.圆心到弦的距离为，所以弦长.【考点】两圆的位置关系及弦长.6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x＝5上．圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为r1＝13；圆弧C2过点A(29，0)．(1)求圆弧C2所在圆的方程；(2)曲线C上是否存在点P，满足PA＝PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；(3)已知直线l：x－my－14＝0与曲线C交于E、F两点，当EF＝33时，求坐标原点O到直线l 的距离．【答案】（1）x2＋y2－28x－29＝0.（2）P不存在（3）【解析】(1)由题意得，圆弧C1所在圆的方程为x2＋y2＝169.令x＝5，解得M(5，12)，N(5，－12)，又C2过点A(29，0)，设圆弧C2所在圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则，解得所以圆弧C2所在圆的方程为x2＋y2－28x－29＝0.(2)假设存在这样的点P(x，y)，则由PA＝PO，得(x－29)2＋y2＝30(x2＋y2)，即x2＋y2＋2x－29＝0.由解得x＝－70(舍去)；由解得x＝0(舍去)．所以这样的点P不存在．(3)因为圆弧C1、C2所在圆的半径分别为r1＝13，r2＝15，因为EF>2r1，EF>2r2，所以E、F两点分别在两个圆弧上．设点O到直线l的距离为d，因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14，0)，所以EF＝15＋，即＝18，解得d2＝，所以点O到直线l的距离为.7.已知圆C1：x2＋y2－2y＝0，圆C2：x2＋(y＋1)2＝4的圆心分别为C1，C2，P为一个动点，且直线PC1，PC2的斜率之积为－.(1)求动点P的轨迹M的方程；(2)是否存在过点A(2，0)的直线l与轨迹M交于不同的两点C，D，使得|C1C|＝|C1D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）＋y2＝1(x≠0)（2）不存在【解析】(1)两圆的圆心坐标分别为C1(0，1)，和C2(0，－1)，设动点P的坐标为(x，y)，则直线PC1，PC2的斜率分别为(x≠0)和 (x≠0)．由已知条件得＝－(x≠0)，即＋y2＝1(x≠0)．所以动点P的轨迹M的方程为＋y2＝1(x≠0)．(2)假设存在满足条件的直线l，易知点A(2，0)在椭圆M的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆M无交点，此时不符合题意，所以直线l斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝k(x－2)．联立方程组得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－2＝0，①依题意Δ＝－8(2k2－1)>0，解得－<k<.当－<k<时，设交点分别为C(x1，y1)，D(x2，y2)，CD的中点为N(x，y)，则x1＋x2＝，则x＝＝，所以y0＝k(x－2)＝k＝.要使|C1C|＝|C1D|，必须C1N⊥l，即k·kC1N＝－1，所以k·＝－1，即k2－k＋＝0，因为Δ1＝1－4×＝－1<0，∴k2－k＋＝0无解，所以不存在直线，使得|C1C|＝|C1D|，综上所述，不存在直线l，使得|C1C|＝|C1D|.8.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ax－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.【答案】1【解析】x2＋y2＋2ax－6＝0(a>0)可知圆心为(－a,0)，半径为，两圆公共弦所在方程为(x2＋y2＋2ax－6)－(x2＋y2)＝－4，即x＝，所以有2－2＝2解得a＝1或－1(舍去)．9.设集合，，若存在实数，使得，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】首先集合实际上是圆上的点的集合，即表示两个圆，说明这两个圆相交或相切（有公共点），由于两圆半径都是1，因此两圆圆心距不大于半径这和2，即，整理成关于的不等式：，据题意此不等式有实解，因此其判别式不大于零，即，解得．【考点】两圆位置关系及不等式有解问题．10.若点和点到直线的距离依次为和，则这样的直线有（）A．条B．条C．条D．条【答案】C【解析】以点为圆心，以为半径长的圆的方程为，以点为圆心，且以为半径的圆的方程为，则直线为两圆的公切线，，即圆与圆外切，因此两圆的公切线有条，即直线有三条，故选C.【考点】1.两圆的位置关系；2.两圆的公切线11.圆与圆的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切 D相离【答案】B【解析】两圆圆心间的距离，两圆半径的差为和为，因为，故两圆相交，选B.【考点】圆与圆的位置关系.12.若直线y＝kx与圆－4x＋3＝0的两个交点关于直线x＋y＋b＝0对称，则（）A．k＝1，b＝－2B．k＝1，b＝2C．k＝－1，b＝2D．k＝－1，b＝－2【答案】A【解析】：若直线与圆的两个交点关于直线对称，则直线与直线垂直,故斜率互为负倒数,可知,而过弦的中点,且与弦垂直的直线必过圆心,而圆心的坐标为,代入直线得,.【考点】直线与圆的位置关系，考查学生数形结合能力.13.两圆和的位置关系是（）A．相交B．外切C．内切D．外离【答案】C【解析】圆的圆心为，半径；圆的方程可以变形为，其圆心为，半径．圆心距，所以圆内切于圆．【考点】平面内两圆的位置关系．14.已知圆，直线．（Ⅰ）若与相切，求的值；（Ⅱ）是否存在值，使得与相交于两点，且（其中为坐标原点），若存在，求出，若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）m=9±2【解析】(Ⅰ)由圆方程配方得(x+1)2+(y－3)2=9，圆心为C(－1，3)，半径为 r = 3， 2分若l与C相切，则得=3，∴(3m－4)2=9(1+m2)，∴m =． 5分(Ⅱ)假设存在m满足题意。
2.5.2圆与圆的位置关系(解析版)
2.5.2圆与圆的位置关系一、圆和圆的位置关系1．圆与圆的五种位置关系的定义 两圆外离：两个圆没有公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离. 两圆外切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆相交：两个圆有两个公共点时，叫做这两圆相交. 两圆内切：两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内切.这个唯一的公共点叫做切点. 两圆内含：两个圆没有公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.2．两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系： 设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，两圆心O1O2的距离为d，则： 两圆外离d＞r1+r2 两圆外切d=r1+r2 两圆相交r1-r2＜d＜r1+r2(r1≥r2) 两圆内切d=r1-r2(r1＞r2) 两圆内含d＜r1-r2(r1＞r2)要点： (1) 圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为：相离(含外离、内含)、相切(含内切、外切)、相交； (2) 内切、外切统称为相切，唯一的公共点叫作切点； (3) 具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合.A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种【答案】A 【解析】由图形可以看出，有两种位置关系，相交和内切．故选A.题型2：根据圆与圆的位置关系求半径4．已知1O e 与2O e 相切，若1O e 的半径为3cm ，127cm O O =，，则2O e 的半径为（ ）A ．4cm 或12cmB ．10cm 或6cmC ．4cm 或10cmD ．6cm 或12cm【答案】C【分析】根据圆与圆的位置关系，内切时()2121d r r r r =->，外切时12d r r =+，计算即可．【解析】解：两圆内切时，2O e 的半径7310=+=(cm)，外切时，2O e 的半径734=-=(cm)，∴2O e 的半径为4cm 或10cm ．故选：C ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，熟练掌握知识点是解题的关键．5．如果两圆有两个交点，且圆心距为13，那么此两圆的半径可能为（ ）A ．1、10B ．5、8C ．25、40D ．20、30【答案】D【分析】先由两圆有两个交点得到两圆相交，然后根据半径与圆心距之间的关系求解即可．【解析】∵两圆有两个交点，∴两圆相交，∵圆心距为13∴两圆的半径之差小于13，半径之和大于13．A ．1101113+=<，故不符合题意；B ．5813+=，故不符合题意；【点睛】此题重点考查圆与圆的位置关系、线段的垂直平分线的性质、勾股定理以及数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．9．已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距A．0＜d＜3B．0＜d＜7C．3＜d＜7A．45°B．30°【答案】B【分析】连接O1O2，AO2，O1B，可得【解析】解：连接O1O2，AO2，O∵O 1B = O 1A∴112112O AB O BA AO O Ð=Ð=Ð ∵⊙O 1和⊙O 2是等圆，∴AO 1=O 1O 2=AO 2，∴△AO O 是等边三角形，【点睛】本题考查了相交两圆的性质以及等边三角形的判定与性质，得出21AO O D 是等边三角形是解题的关键．题型5：分类讨论13．已知圆1O 、圆2O 的半径不相等，圆1O 的半径长为5，若圆2O 上的点A 满足15AO =，则圆1O 与圆2O 的位置关系是（ ）A ．相交或相切B ．相切或相离C ．相交或内含D ．相切或内含【答案】A【分析】根据圆与圆的位置关系，分类讨论．【解析】解：如图所示：当两圆外切时，切点A 能满足15AO =，当两圆相交时，交点A 能满足15AO =，当两圆内切时，切点A 能满足15AO =，当两圆相离时，圆2O 上的点A 不能满足15AO =，所以，两圆相交或相切，故选：A ．【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．14．如图，长方形ABCD 中，4AB =，2AD =，圆B 半径为1，圆A 与圆B 外切，则点C 、D 与圆A 的位置关系是（ ）A ．点C 在圆A 外，点D 在圆C ．点C 在圆A 上，点D 在圆【答案】A 【分析】先根据两圆外切求出圆A 的半径，连接【解析】解：∵4AB =，圆B 半径为【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键，还利用了数形结合的思想，通过图形确定圆的位置．15．如图，1O e ，2O e 的圆心 1O ，128cm O O =．1O e 以 1cm /s 的速度沿直线A ．外切B ．相交C ．内切D ．内含【答案】D 【分析】先求出7s 后，两圆的圆心距为1cm ，结合两圆的半径差即可得到答案．【解析】解：∵1O e 的半径为 2cm ，2O e 的半径为 3cm ，128cm O O =．1O e 以 1cm /s 的速度沿直线 l 向右运动，7s 后停止运动．∴7s 后，两圆的圆心距为1cm ，此时两圆的半径差为321cm -=，∴此时两圆内切，∴在此过程中，1O e 与 2O e 没有出现的位置关系是：内含，故选D ．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，掌握d R r =+，则两圆外切，d R r =-，则两圆外切，是关键．题型6：圆的位置关系综合16．如图，∠MON =30°，p 是∠MON 的角平分线，PQ 平行ON 交OM 于点Q ，以P 为圆心半径为4的圆ON 相切，如果以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相交，那么r 的取值范围是（ ）A ．4<r <12B ．2<r <12C ．4<r <8D ．r >4【答案】A 【分析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，得到四边形ABPQ 是矩形，QA=PB=4，根据∠MON =30°求出OQ=2QA=8，根据平行线的性质及角平分线的性质得到PQ=8，再分内切与外切两种求出半径r ，即可得到两圆相交时的半径r 的取值范围.【解析】过点Q 作QA ⊥AN 于A ，过点P 作PB ⊥ON 于B ，∵PQ ∥ON ，∴PQ ⊥PB ，∴∠QAB=∠QPB=∠PBA=90°，∴四边形ABPQ 是矩形，∴QA=PB=4，∵∠MON =30°，∴OQ=2QA=8，∵OP 平分∠MON ，PQ ∥ON ，∴∠QOP=∠PON=∠QPO ，∴PQ=OQ=8，当以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相外切时，r=8-4=4，当以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相内切时，r=8+4=12，∴以Q 为圆心半径为r 的圆与P Q 相交，4<r<12，故选：A.【点睛】此题考查角平分线的性质，平行线的性质，矩形的判定及性质，两圆相切的性质.17．如图，在Rt ABC V 中，90C Ð=°，4AC =，7BC =，点D 在边BC 上，3CD =，A e 的半径长为3，D e 与A e 相交，且点B 在D e 外，那么D e 的半径长r 可能是（ ）A ．1r =B ．3r =C ．=5r D ．7r =【答案】B 【分析】连接AD 交A e 于E ，根据勾股定理求出AD 的长，从而求出DE DB 、的长，再根据相交两圆的位置关系得出r 的范围即可．【解析】解：连接AD 交A e 于E ，如图1，在Rt ACD V 中，由勾股定理得：则532DE AD AE =-=-=，73BC CD ==Q ，，734BD \=-=，\D e A eA ．142r <<B ．52r <<【答案】C【分析】过点O 作OE AD ^，勾股定理求得11,OE AB OF AD ==，根据题意，画出相应的图形，即可求解．当圆O 与CD 相切时，过点O 作OF CD ^于点F ，如图所示，则162OF AD ==则1325622r =+=∴O e 与直线AD 相交、与直线CD 相离，且D e 与O e 内切时，作AD⊥BC，以A为圆心，以AD为半径画圆一、单选题1．如果两圆的半径长分别为5和3，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是（）A．内切B．外离C．相交D．外切【答案】D【分析】根据两圆半径的和与圆心距，即可确定两圆位置关系．【解析】解：∵两圆的半径长分别为5和3，圆心距为8，538+=，∴两圆外切，故选：D ．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是掌握：外离，则d R r >+；外切，则d R r =+；相交，则R r d R r -<<+；内切，则d R r =-；内含，则d R r <-．2．两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，则这两个圆的位置关系为（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】A【分析】本题直接告诉了两圆的半径及圆心距，根据它们数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．【解析】解：∵两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，又∵7＞3+2，∴两圆的位置关系是：外离．故选A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，解题的关键在于能够准确掌握相关知识进行求解.3．已知直径分别为6和10的两圆没有公共点，那么这两个圆的圆心距的取值范围是（ ）A ．d ＞2B ．d ＞8C ．d ＞8或0≤d ＜2D ．2≤d ＜8【答案】C【分析】分两种情况讨论：当两圆外离时，两圆没有公共点时，当两圆内含时，两圆没有公共点时，从而可得答案.【解析】解：Q 直径分别为6和10的两圆没有公共点，\ 两圆的半径分别为3和5，当两圆外离时，两圆没有公共点时，8,d >当两圆内含时，两圆没有公共点时，02,d £<综上：所以两圆没有公共点时，8d >或0 2.d £<故选C【点睛】本题考查的是两圆的位置关系，熟练的运用两圆外离与内含的定义解题是解本题的关键.4．已知点()4,0A ，()0,3B ，如果⊙A 的半径为2，⊙B 的半径为7，那么⊙A 与⊙B 的位置关系（ ）【点睛】本题考查了两圆外切的条件，两圆相交的条件，等腰直角三角形的性质和对称性，熟练掌握两圆D ．当⊙1O 与⊙2O 没有公共点时，1202O O <≤．【答案】D【分析】根据圆与圆位置关系的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【解析】当1224O O <<时，⊙1O 与⊙2O 相交，有两个公共点，故选项A 描述正确；当⊙1O 与⊙2O 有两个公共点时，1224O O <<，故选项B 描述正确；当1202O O <≤时，⊙1O 与⊙2O 没有公共点，故选项C 描述正确；当⊙1O 与⊙2O 没有公共点时，1202O O <≤或124O O >，故选项D 描述错误；故选：D ．【点睛】本题考查了圆与圆位置关系的知识；解题的关键是熟练掌握圆与圆位置关系的性质，从而完成求解．9．如图，矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，以A 、D 为圆心，半径分别为2和1画圆，E 、F 分别是⊙A 、⊙D 上的一动点，P 是BC 上的一动点，则PE+PF 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C 【分析】以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD′交BC 于P ，交⊙A 、⊙D′于E 、F′，连接PD ，交⊙D 于F ，EF′就是PE+PF 最小值；根据勾股定理求得AD′的长，即可求得PE+PF 最小值．【解析】解：如图，以BC 为轴作矩形ABCD 的对称图形A′BCD′以及对称圆D′，连接AD’交BC 于P ，则EF′就是PE+PF最小值；∵矩形ABCD中，AB=4，BC=6，圆A的半径为2，圆D的半径为1，∴A′D′=BC=6，AA′=2AB=8，AE=2,D′F′=DF=1，∴AD′=10，EF′=10-2-1=7∴PE+PF=PF′+PE=EF′=7，故选C．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理的应用等，作出对称图形是解答本题的关键．10．如图，在⊙O中，弦AD等于半径，B为优弧AD上的一动点，等腰△ABC的底边BC所在直线经过点D．若⊙O的半径等于1，则OC的长不可能为（）A．2﹣B．﹣1C．2D．+1【答案】A【解析】试题分析：利用圆周角定理确定点C的运动轨迹，进而利用点与圆的位置关系求得OC长度的取值范围．解：如图，连接OA、OD，则△OAD为等边三角形，边长为半径1．作点O关于AD的对称点O′，连接O′A、O′D，则△O′AD也是等边三角形，边长为半径1，∴OO′=×2=．由题意可知，∠ACB=∠ABC=∠AOD=30°，∴∠ACB=∠AO′D，∴点C在半径为1的⊙O′上运动．由图可知，OC长度的取值范围是：﹣1≤OC≤+1．故选A．考点：相交两圆的性质；轴对称的性质．二、填空题当1O e 位于2O e 外部，且P ，1O ，2O 位于同一条直线上时，如图所示，min 121523r O O PO =-=-=．故答案为：37r ££．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，能采用数形结合的方法和分类讨论的思想分析问题是解题的关键．16．在矩形ABCD 中，5AB =，8AD =，点E 在边AD 上，3AE =图)，点F 在边BC 上，以点F 为圆心、CF 为半径作F e ．如果F e【答案】4116【分析】连接EF ，作FH 股定理得到()(235r r +=-【解析】解：连接EF ，作BQe过点A，且7AB=，由函数图象可知，当即不等式①的解集为同理可得：不等式②【点睛】此题主要考查了相交两圆的性质以及勾股定理，熟练利用正三角形以及正方形的性质是解题关键．20．已知A e ，B e ，C e 【答案】A e 的半径为2厘米，(1)设AP ＝x ，求两个圆的面积之和S ；(2)当AP 分别为13a 和12a 时，比较S 【答案】(1)22111422a ax x p p p -+11求：(1)弦AC的长度；(2)四边形ACO1O2的面积．【答案】(1)8(2)21（2）解：在2Rt AO E △中，由勾股定理得：∴1212426O O O E O E =+=+=∴1111831222O AC S AC O D ==´´=g △，S ∴四边形ACO 1O 2的面积为：S S +(1)如图1所示，已知，点()02A ，，点()32B ，．①在点()()()123011141P P P -，，，，，中，是线段AB 的“对称平衡点”的是___________②线段AB 上是否存在线段AB 的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的 “对称平衡点若不存在，请说明理由；(2)如图2，以点()02A ，为圆心，1为半径作A e ．坐标系内的点C 满足2AC =，再以点作C e ，若C e 上存在A e 的“对称平衡点”，直接写出C 点纵坐标C y 的取值范围．【答案】(1)①1P ，3P ；②不存在，理由见解析(2)02c y ££∴线段AB的“对称平衡点”的是1P，故答案为：1P，3P；②不存在设P为线段AB上任意一点，则它与线段££，PA PB33点P关于x轴的对称点为P¢，它到线段，是线段AB上的任意两点，即若M N∵()()0,2,0,0A O ∴02c y ££【点睛】本题考查了对称平衡点．两圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会取特殊点特殊位置解决问题．。
高中数学选择性必修一：2.5.2圆与圆的位置关系精选考点提升训练
第二章 2.5.2圆与圆的位置关系A级——基础过关练1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．外离【答案】B【解析】将两圆化成标准方程分别为x2＋y2＝1，(x－2)2＋(y＋1)2＝9，可知圆心距d＝ 5.由于2<d<4，所以两圆相交．2．圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公切线有()A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】r1＝2，r2＝3，圆心距d＝5，由于d＝r1＋r2，所以两圆外切，故公切线有3条．3．圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的公切线有() A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】C【解析】圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0化为(x－1)2＋(y－3)2＝9，圆心C1(1,3)，半径为r1＝3，圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0化为(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心C2(－2，－1)，半径r2＝2.因为|C1C2|＝－2－12＋－1－32＝5＝r1＋r2，所以两圆外切．作出两圆图象如图，所以圆C1：x2＋y2－2x－6y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的公切线有3条．4．(2021年九江模拟)圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为() A．5B．6C．25D．26【答案】C【解析】x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0.圆x2＋y2＝50的圆心(0,0)到2x＋y－15＝0的距离d＝35，因此公共弦长为2522－352＝2 5.5．两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－3＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－1＝0公共弦长的最大值为________．【答案】2 【解析】两圆相交弦所在直线的方程为x ＋y ＋a ＋b －1a －b ＝0，所以弦长为23－⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －b ＋1a －b 22，所以当|a －b |＝1时，弦长最大，最大值为2. 6．已知圆C 1：x 2＋y 2＝4与圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－1＝0内切，则a 等于________． 【答案】±1 【解析】圆C 2：(x －a )2＋y 2＝1，因为两圆内切，所以|C 1C 2|＝r 1－r 2＝2－1＝1，即|a |＝1，故a ＝±1.7．若曲线C 1：x 2＋y 2＝5与曲线C 2：x 2＋y 2－2mx ＋m 2－20＝0(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两曲线在A 处的切线互相垂直，则m 的值是________．【答案】±5 【解析】由已知可得圆C 1的圆心C 1(0,0)，半径r 1＝5，圆C 2的圆心C 2(m,0)，半径r 2＝25，|C 1C 2|2＝r 21＋r 22，即m 2＝25，故m ＝±5.8．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________．【答案】x ＋y －3＝0 【解析】AB 的中垂线即为圆C 1，圆C 2的连心线C 1C 2所在的直线，又C 1(3,0)，C 2(0,3)，C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0，即线段AB 的中垂线方程为x ＋y －3＝0.9．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2,1)． (1)若圆O 2与圆O 1外切，求圆O 2的方程，并求内公切线方程； (2)若圆O 2与圆O 1交于A ，B 两点，且AB ＝22，求圆O 2的方程． 解：设圆O 1，O 2的半径分别为r 1，r 2. (1)由两圆外切可知|O 1O 2|＝r 1＋r 2， 所以r 2＝|O 1O 2|－r 1＝2(2－1)，故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝12－82， 两圆的方程相减并整理，即得两圆内公切线的方程为x ＋y ＋1－22＝0.(2)圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22， 因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在直线的方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0. 作O 1H ⊥AB ，则AH ＝12AB ＝2，所以O 1H ＝O 1A 2－AH 2＝ 2. 由圆心(0，－1)到直线4x ＋4y ＋r 22－8＝0的距离为|r 22－12|42＝2，得r 22＝4或r 22＝20，故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.10．已知过点M (0,2)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝1交于A ，B 两点． (1)求斜率k 的取值范围；(2)以点M 为圆心，r 为半径的圆与圆C 总存在公共点，求r 的取值范围； (3)O 为坐标原点，求证：直线OA 与OB 斜率之和为定值． (1)解：由题意知直线l 的斜率存在，且直线l 与圆C 相交， 设l ：y ＝kx ＋2，则圆心到直线的距离小于半径， 即|k ＋2|k 2＋1<1，解得k <－34.(2)解：由题意知两个圆相交或相切，满足|r －1|≤|MC |≤r ＋1， 因为|MC |＝0－12＋2－02＝5，所以⎩⎨⎧r ＋1≥5，|r －1|≤5，所以5－1≤r ≤5＋1.(3)证明：将直线l 与圆C 方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x －12＋y 2＝1，化简得(k 2＋1)x 2＋(4k －2)x ＋4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2－4k k 2＋1，x 1x 2＝4k 2＋1，k OA ＋k OB ＝y 1x 1＋y 2x 2＝kx 1＋2x 1＋kx 2＋2x 2＝2k ＋2x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋2－4k2＝1，所以直线OA 与OB 斜率之和为定值1.B 级——能力提升练11．若圆(x －a )2＋(y －a )2＝4上总存在两点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－22，0∪⎝⎛⎭⎫0，22 B ．()－22，－2∪()2，22 C ．⎝⎛⎭⎫－322，－22∪⎝⎛⎭⎫22，322 D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－322∪(2，＋∞)【答案】C 【解析】根据题意知，圆(x －a )2＋(y －a )2＝4与圆x 2＋y 2＝1相交，两圆圆心距为d ＝a 2＋a 2＝2|a |，所以2－1<2|a |<2＋1，解得22<|a |<322.所以－322<a <－22，22<a <322. 12．(多选)已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，下列结论正确的有( )A ．a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0B ．2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2C ．x 1＋x 2＝aD ．y 1＋y 2＝2b【答案】ABC 【解析】由题意，由圆C 2的方程可化为C 2：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0，两圆的方程相减可得直线AB 的方程为2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，即2ax ＋2by ＝a 2＋b 2.分别把A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点代入，得2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2，2ax 2＋2by 2＝a 2＋b 2.两式相减，得2a (x 1－x 2)＋2b (y 1－y 2)＝0，即a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0，所以A ，B 正确；由圆的性质可得，线段AB 与线段C 1C 2互相平分，所以x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b ，所以C 正确，D 不正确．故选ABC ．13．若点A (a ，b )在圆x 2＋y 2＝4上，则圆(x －a )2＋y 2＝1与圆x 2＋(y －b )2＝1的位置关系是________．【答案】外切 【解析】因为点A (a ，b )在圆x 2＋y 2＝4上，所以a 2＋b 2＝4.又圆x 2＋(y －b )2＝1的圆心C 1(0，b )，半径r 1＝1，圆(x －a )2＋y 2＝1的圆心C 2(a ，0)，半径r 2＝1，则d ＝|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝4＝2，所以d ＝r 1＋r 2.所以两圆外切．14．两圆x 2＋y 2＝16与(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r >0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝________.【答案】3 【解析】设一个交点为P (x 0，y 0)，则x 20＋y 20＝16，(x 0－4)2＋(y 0＋3)2＝r 2，所以r 2＝41－8x 0＋6y 0.因为两切线互相垂直，所以y 0x 0·y 0＋3x 0－4＝－1，所以3y 0－4x 0＝－16.所以r 2＝41＋2(3y 0－4x 0)＝9，所以r ＝3.15．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程．解：方法一，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，两式相减，得公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，解得两圆交点坐标为(－1,2)，(5，－6)． 因为所求圆以公共弦为直径， 所以圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径为125＋12＋－6－22＝5.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.方法二，由方法一可知公共弦所在直线方程为4x ＋3y －2＝0.设所求圆的方程为x 2＋y 2－12x －2y －13＋λ(x 2＋y 2＋12x ＋16y －25)＝0(λ为参数)． 可求得圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12λ－1221＋λ，－16λ－221＋λ.因为圆心C 在公共弦所在直线上，所以4·－12λ－1221＋λ＋3·－16λ－221＋λ－2＝0，解得λ＝12.所以圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －17＝0.16．如图，已知圆心坐标为M (3，1)的圆M 与x 轴及直线y ＝3x 均相切，切点分别为A ，B ，另一圆N 与x 轴及直线y ＝3x 均相切，切点分别为C ，D ．圆M 与圆N 外切．(1)求圆M 和圆N 的方程；(2)过B 点作MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．解：(1)由于圆M 与∠BOA 的两边相切， 故M 到OA 及OB 的距离均为圆M 的半径， 则M 在∠BOA 的平分线上．同理，N 也在∠BOA 的平分线上，即O ，M ，N 三点共线，且OMN 为∠BOA 的平分线． 因为M 的坐标为M (3，1)，所以M 到x 轴的距离为1，即圆M 的半径为1. 所以圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝1. 设圆N 的半径为r ，由Rt △OAM ∽Rt △OCN ， 得OM ∶ON ＝MA ∶NC ， 即23＋r ＝1r，解得r ＝3，OC ＝3 3. 所以圆N 的方程为(x －33)2＋(y －3)2＝9.(2)由对称性可知，所求弦长等于过A 点的MN 的平行线被圆N 截得的弦长， 此弦所在直线方程为y ＝33(x －3)，即x －3y －3＝0，圆心N 到该直线的距离为d ＝|33－3×3－3|1＋3＝32，则弦长＝2r 2－d 2＝33.C 级——探究创新练17．已知相交两圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4，公共弦所在直线的方程为__________，公共弦的长度为__________．【答案】x ＝1 23【解析】联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x －22＋y 2＝4作差可得公共弦所在直线的方程为x ＝1.将x ＝1代入x 2＋y 2＝4，解得y ＝±3，l ＝|y 1－y 2|＝2 3.18．已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l ：x －y ＋10＝0上． (1)若动圆C 过点(－5,0)，求圆C 的方程；(2)是否存在正实数r ，使得动圆C 中满足与圆O ：x 2＋y 2＝r 2相外切的圆有且仅有一个？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，可设动圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝ 25，其中圆心(a ，b )满足a －b ＋10＝0.又因为动圆过点(－5,0)，所以(－5－a )2＋(0－b )2＝25.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋10＝0，－5－a 2＋0－b 2＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－10，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝5.故所求圆C 的方程为(x ＋10)2＋y 2＝25或(x ＋5)2＋(y －5)2＝25. (2)圆O 的圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|10|1＋1＝5 2. 当r 满足r ＋5<d 时，动圆C 中不存在与圆O 相外切的圆；当r 满足r ＋5>d 时，r 每取一个数值，动圆C 中存在两个圆与圆O 相外切； 当r 满足r ＋5＝d 时，即r ＝52－5时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆O 相外切． 故当动圆C 中与圆O 相外切的圆仅有一个时，r ＝52－5.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.2.3 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系及判定1.圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系外离外切相交内切内含公共点个数0 ①② 1 02.设两圆半径分别为r1,r2,圆心距为d,则两圆相交时,r1,r2,d的关系为③.两圆外切时,r1,r2,d的关系为④.3.设两圆方程分别为x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x+E2y+F2=0,联立得{x2+y2+D1x+E1y+F1=0,x2+y2+D2x+E2y+F2=0,方程组有两组不同实数解⇔两圆⑤,有⑥实数解⇔两圆相切,无实数解⇔两圆外离.圆系方程的应用1.(2014湖北黄冈期中,★☆☆)圆C1:x2+y2+4x-4y+4=0与圆C2:(x-2)2+(y-5)2=9的公切线有条.思路点拨求出圆心距,即可得出结论.2.(2013江苏白蒲模拟,★★☆)求圆心在直线x-y-4=0上,且经过两圆x2+y2-4x-6=0和x2+y2-4y-6=0交点的圆的方程.思路点拨本题解法较多,可考虑利用公共弦求解,也可以利用圆系方程求解.3.(2014江苏建湖中学训练,★★☆)已知圆M:x2+y2-2mx-2ny+m2-1=0与圆N:x2+y2+2x+2y-2=0交于A,B两点,且这两点平分圆N的圆周,求圆心M的轨迹方程,并求圆M的半径最小时的方程.思路点拨从几何性质入手分析,抓住圆心和半径分析圆的方程.4.(2013苏南四校月考,★★★)已知☉O:x2+y2=1和点M(4,2).(1)过点M向☉O引切线l,求直线l的方程;(2)求以点M为圆心,且被直线y=2x-1截得的弦长为4的☉M的方程;(3)设P为(2)中☉M上任一点,过点P向☉O引切线,切点为Q.试探究:平面内是否存在一定点R,使得PQPR为定值?若存在,请举出一例,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由.一、填空题1.已知圆O1:x2+y2-2x-4y+4=0与圆O2:x2+y2-8x-12y+36=0,两圆的位置关系为.2.圆C1:(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2:(x-m)2+(y+1)2=4外切,则m的值为.3.若a2+b2=4,则圆(x-a)2+y2=1与圆x2+(y-b)2=1的位置关系是.4.半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+(y-3)2=1内切,则此圆的方程是.5.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是.6.点P在圆x2+y2-8x-4y+11=0上,点Q在圆x2+y2+4x+2y+1=0上,则|PQ|的最小值是.7.集合M={(x,y)|x2+y2≤4},N={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤r2},且M∩N=N,则r的取值范围是.8.设A={(x,y)|y=√2a2-x2,a>0},B={(x,y)|(x-1)2+(y-√3)2=a2,a>0},若A∩B≠⌀,则a的最大值为.9.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为.10.圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0的公共弦所在直线被圆C3:(x-1)2+(y-1)2=254截得的弦长是.二、解答题11.试分别确定圆C1:x2+y2+4x-6y+12=0与C2:x2+y2-2x-14y+k=0(k<50)外切、内切、相交、内含、外离时,k的取值范围.12.已知圆x2+y2-4ax+2ay+20(a-1)=0(a≠2).(1)求证:对于任意实数a(a≠2),该圆过定点;(2)若该圆与圆x2+y2=4相切,求实数a的值.知识清单①1 ②2 ③|r 1-r 2|<d<r 1+r 2 ④d=r 1+r 2 ⑤相交 ⑥两组相同链接高考1.答案 3解析 C 1(-2,2),r 1=2,C 2(2,5),r 2=3,|C 1C 2|=√(-2-2)2+(2-5)2=5,∵|C 1C 2|=r 1+r 2,∴圆C 1与圆C 2外切.所以圆C 1与圆C 2有3条公切线.2.解析 解法一:由{x 2+y 2-4x -6=0,x 2+y 2-4y -6=0,得到两圆公共弦所在直线方程为y=x, 由{y =x ,x 2+y 2-4y -6=0, 解得{x 1=-1,y 1=-1或{x 2=3,y 2=3.∴圆x 2+y 2-4x-6=0和x 2+y 2-4y-6=0的交点分别为A(-1,-1)、B(3,3), 线段AB 的垂直平分线方程为y-1=-(x-1). 由{y -1=-(x -1),x -y -4=0,得{x =3,y =-1. ∴所求圆的圆心为(3,-1), 半径为√(3-3)2+[3-(-1)]2=4. ∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16. 解法二:由解法一,求得A(-1,-1)、B(3,3). 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,由{a -b -4=0,(-1-a )2+(-1-b )2=r 2,(3-a )2+(3-b )2=r 2,得{a =3,b =-1,r 2=16. ∴所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16. 解法三:设经过两圆交点的圆系方程为 x 2+y 2-4x-6+λ(x 2+y 2-4y-6)=0(λ≠-1), 即x 2+y 2-41+λx-4λ1+λy-6=0. ∴圆心坐标为(21+λ,2λ1+λ),又∵圆心在直线x-y-4=0上, ∴21+λ-2λ1+λ-4=0,即λ=-13,∴所求圆的方程为x 2+y 2-6x+2y-6=0.3.解析 两圆方程相减,得公共弦AB 所在的直线方程为2(m+1)x+2(n+1)y-m 2-1=0, 由于A,B 两点平分圆N 的圆周,所以A,B 为圆N 直径的两个端点, 即直线AB 过圆N 的圆心N,而N(-1,-1),所以-2(m+1)-2(n+1)-m 2-1=0, 即m 2+2m+2n+5=0,即(m+1)2=-2(n+2)(n≤-2), 又圆M 的圆心M(m,n),所以圆心M 的轨迹方程为(x+1)2=-2·(y+2)(y≤-2), 又圆M 的半径r=2+1≥√5(n≤-2), 当且仅当n=-2,m=-1时半径取得最小值,∴当圆M 的半径最小时,圆M 的方程为x 2+y 2+2x+4y=0.4.解析 (1)显然,直线l 的斜率存在.设切线l 的方程为y-2=k(x-4),易得√k 2+1=1,解得k=8±√1915. ∴切线l 的方程为y-2=8±√1915(x-4). (2)圆心到直线y=2x-1的距离为√5,设圆M 的半径为r,则r 2=22+(√5)2=9,∴☉M 的方程为(x-4)2+(y-2)2=9.(3)假设存在这样的点R(a,b),设点P 的坐标为(x,y),相应的定值为λ(λ>0), 根据题意及勾股定理可得PQ=√x 2+y 2-1, ∴√x 2+y 2√(x -a )+(y -b )=λ,即x 2+y 2-1=λ2(x 2+y 2-2ax-2by+a 2+b 2),(*) 又点P 在☉M 上, ∴(x -4)2+(y-2)2=9,即x 2+y 2=8x+4y-11,代入(*)式得,8x+4y-12=λ2[(8-2a)x+(4-2b)y+(a 2+b 2-11)].若系数对应相等,则等式恒成立,∴{λ2(8-2a )=8,λ2(4-2b )=4,λ2(a 2+b 2-11)=-12,解得a=2,b=1,λ=√2或a=25,b=15,λ=√103, ∴可以找到这样的定点R,使得PQPR 为定值.当点R 的坐标为(2,1)时,比值为√2; 当点R 的坐标为(25,15)时,比值为√103.基础过关一、填空题 1.答案 外切解析 由题意得圆的半径分别为1,4,圆心距为√(4-1)2+(6-2)2=5=4+1,故两圆外切. 2.答案 2或-5解析 圆C 1:(x+2)2+(y-m)2=9的圆心为(-2,m),半径为3;圆C 2:(x-m)2+(y+1)2=4的圆心为(m,-1),半径为2.依题意有√(-2-m )2+(m +1)2=3+2, 即m 2+3m-10=0, 解得m=2或m=-5. 3.答案 外切解析 ∵两圆的圆心分别为O 1(a,0),O 2(0,b),半径r 1=r 2=1,∴O 1O 2=√a 2+b 2=2=r 1+r 2,则两圆外切. 4.答案 (x±4)2+(y-6)2=36解析 设所求圆的圆心为(a,6),由两圆内切,得√a 2+(6-3)2=6-1,解得a=±4,则此圆的方程是(x±4)2+(y-6)2=36.5.答案 (x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9解析 动圆圆心的轨迹是以已知圆的圆心(5,-7)为圆心,以3或5为半径的圆. 6.答案 3√5-5解析 (x-4)2+(y-2)2=9的圆心为C 1(4,2),半径为r 1=3;(x+2)2+(y+1)2=4的圆心为C 2(-2,-1),半径为r 2=2.又|C 1C 2|=3√5,显然两圆外离,所以|PQ|的最小值是3√5-5. 7.答案 (0,2-√2]解析 由于M∩N=N,故圆(x-1)2+(y-1)2=r 2在圆x 2+y 2=4内部,当两圆内切时,√2=2-r,则r=2-√2,因此r 的取值范围是(0,2-√2].8.答案2(√2+1)解析A表示以O(0,0)为圆心,√2a为半径的半圆,B表示以O'(1,√3)为圆心,a为半径的圆.∵A∩B≠⌀,即半圆O与圆O'有公共点,则当两圆内切时,a最大,即√2a-a=OO'=2,∴a的最大值为2(√2+1).9.答案√7解析记直线y=x+1上任意一点与圆心的距离为h,记切线长为l,则始终有等量关系h2=l2+1.故当h取得最小值时,切线长取最小值,易知h的最小值即为圆心到直线y=x+1的距离,故hmin=2√2,此时l=√7.10.答案√23解析圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程为x2+y2-1-(x2+y2-2x-2y+1)=0,即x+y-1=0.圆心C3到直线x+y-1=0的距离d=√2=√22,所以所求弦长为2√r2-d2=2√254-12=√23.二、解答题11.解析将两圆的一般方程化为标准方程,C1:(x+2)2+(y-3)2=1,C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k.圆C1的圆心为C 1(-2,3),半径r1=1;圆C2的圆心为C2(1,7),半径r2=√50-k(k<50).从而圆心距d=√(-2-1)2+(3-7)2=5.当两圆外切时,d=r1+r2,即1+√50-k=5,解得k=34;当两圆内切时,d=|r1-r2|,即|1-√50-k|=5,解得k=14;当两圆相交时,|r1-r2|<d<r1+r2,即|1-√50-k|<5<1+√50-k,解得14<k<34;当两圆内含时,d<|r1-r2|,即|1-√50-k|>5,解得k<14;当两圆外离时,d>r1+r2,即1+√50-k<5,解得34<k<50.12.解析(1)证明:将圆的方程整理得(x2+y2-20)+a(-4x+2y+20)=0,此方程表示过圆x2+y2=20与直线-4x+2y+20=0的交点的圆系.解方程组{x2+y2=20,-4x+2y+20=0得{x=4,y=-2,所以该圆恒过定点(4,-2).(2)圆的方程可化为(x-2a)2+(y+a)2=5(a-2)2(a≠2).若两圆外切,则2+√5(a -2)2=√(2a -0)2+(-a -0)2,解得a=1+√55. 若两圆内切,则|2-√5(a -2)2|=√(2a -0)2+(-a -0)2,解得a=1-√55或a=1+√55(舍去). 综上所述,a=1±√55.。