高中数学向量总结归纳
高中数学向量知识点总结大全
一、向量的基本概念向量：既有大小又有方向的量叫做向量。
物理学中又叫做矢量，如力、速度、加速度、位移就是向量。
向量可以用一条有向线段（带有方向的线段）来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向。
向量也可以用一个小写字母a,b,c表示，或用两个大写字母加表示（其中前面的字母为起点，后面的字母为终点）。
向量的表示方法：几何表示法、字母表示法。
模的概念：向量的大小（长度）称为向量的模。
记作：｜ab｜。
零向量：长度（模）为0的向量叫做零向量，记作0。
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量。
若向量a，b平行，记作a∥b。
规定0与任一向量平行。
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
向量a，b相等记作a=b。
零向量都相等。
任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段起点、终点位置无关。
二、向量的运算向量的加法：两个向量相加的结果是以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线（注意起点和方向）。
也可以先作出其中一个向量，然后将另一个向量的起点平移到第一个向量的终点上，最后以第一个向量的起点为起点，以平移后得到的向量的终点为终点作出结果向量。
这种加法称为三角形法则。
向量的减法：两个向量相减的结果是将第一个向量的起点平移到第二个向量的终点上，然后以第二个向量的起点为起点，以平移后得到的向量的终点为终点作出结果向量。
这种减法称为三角形法则的逆运算。
向量的数乘：实数与向量的乘积是一个新的向量，其模等于原向量的模乘以实数的绝对值，其方向与原向量的方向相同或相反（取决于实数的正负）。
向量的点乘：两个向量的点乘结果是一个实数，等于这两个向量的模的乘积再乘以它们之间的夹角的余弦值。
如果两个向量的夹角为90度，则它们的点乘结果为0；如果两个向量的夹角为0度或180度，则它们的点乘结果分别为它们模的乘积的正值和负值。
向量的叉乘：两个三维向量的叉乘结果是一个新的三维向量，其模等于这两个向量的模的乘积再乘以它们之间的夹角的正弦值，其方向垂直于这两个向量所构成的平面，符合右手定则。
高中数学向量知识点数学向量知识点总结
高中数学向量知识点数学向量知识点总结
高中数学中的向量知识点主要有以下内容：
1. 向量的定义和表示：向量由大小和方向组成，表示为有向线段或者二维或三维坐标系中的点。
2. 向量的运算：包括向量的加法、减法和数乘。
向量的加法满足交换律和结合律，数乘满足结合律和分配律。
3. 向量的数量表示法：向量可以用分量表示，即在坐标系中用横坐标和纵坐标表示。
4. 向量的线性相关和线性无关：若存在不全为0的实数k1、k2，对于向量v1、v2，使得k1v1 + k2v2 = 0，则v1和v2线性相关；否则，v1和v2线性无关。
5. 向量的模长：向量的模长表示向量的大小，记作|v|。
对于二维向量(a, b)，其模长为√(a^2 + b^2)；对于三维向量(a, b, c)，其模长为√(a^2 + b^2 + c^2)。
6. 向量的点积和叉积：向量的点积表示两个向量之间的夹角关系，记作u·v=|u||v|cos θ；向量的叉积表示两个向量之间的平行四边形的面积，记作u×v=|u||v|sinθ。
7. 向量的投影：向量a在向量b上的投影表示a在b方向上的分量，记作projb a。
8. 向量的垂直和平行：如果两个向量的点积为0，则这两个向量互相垂直；如果两个向量的叉积为0，则这两个向量互相平行。
9. 平面向量的基本变换：包括平移、旋转、拉伸和镜像等。
10. 向量在三角形和四边形中的应用：如用向量表示三角形的面积、求解四边形的中点坐标等。
这些是高中数学中向量的主要知识点，掌握这些知识点可以帮助理解和解决与向量相关的问题。
高中数学向量知识点归纳
高中数学向量知识点归纳
1. 向量的定义和表示
- 向量是具有大小和方向的量，可以用有向线段来表示。
- 向量的表示方法有坐标表示法和向量符号表示法。
2. 向量的加法和减法
- 向量的加法：将两个向量的对应方向上的分量相加，得到新的向量。
- 向量的减法：将被减向量取反，然后进行加法操作。
3. 向量的数量积和向量积
- 向量的数量积（又称点积或内积）：用数值表示两个向量的乘积，结果是一个标量。
- 向量的数量积公式：a·b = |a| |b| cosθ。
- 向量的向量积（又称叉积或外积）：用一个新的向量表示两个向量的乘积，结果是一个向量。
- 向量的向量积公式：c = a×b，其中 c 的模长等于|a| |b| sinθ。
4. 直线和平面向量的应用
- 在平面上，可以根据向量的性质求解直线的方程、判断点与直线的位置关系等。
- 在空间中，可以根据向量的性质求解平面的方程、判断点与平面的位置关系等。
5. 向量的线性运算
- 向量的线性运算包括数乘和线性组合。
- 数乘：将向量的每个分量都乘以一个实数。
- 线性组合：将多个向量以一定比例加和。
6. 向量的模和单位向量
- 向量的模是指向量的长度，可以用勾股定理求解。
- 单位向量是指模为1的向量，可以通过向量除以模长求得。
以上是高中数学中向量知识点的归纳。
希望对你有所帮助！。
高中数学向量知识点总结
高中数学向量知识点总结高中数学中的向量是重要的数学概念之一，其涉及的知识点较多，包括向量的定义、运算、坐标表示、数量积、向量积等等。
接下来，我将总结高中数学中与向量相关的知识点，并详细介绍每个知识点的内容。
1. 向量的定义向量是有大小和方向的量，用箭头来表示。
常用大写字母表示向量，如AB表示从点A指向点B的向量。
向量还可以用平面上的有序数对(x, y)表示。
2. 向量运算向量的加法定义为将两个向量的对应分量相加，即对于向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，它们的和为A + B = (x₁ + x₂,y₁ + y₂)。
向量的减法定义为将两个向量的对应分量相减，即A - B = (x₁ - x₂, y₁ - y₂)。
3. 坐标表示向量还可以通过坐标表示。
给定平面直角坐标系Oxy和点A(x₁, y₁)，可以用从原点O指向点A的向量来表示点A。
这个向量的坐标表示为OA = (x₁, y₁)。
两个向量相等的条件是它们的对应分量相等。
4. 数量积数量积是一种向量运算，也叫点乘。
给定向量A(x₁, y₁)和向量B(x₂, y₂)，它们的数量积定义为A·B = x₁x₂ + y₁y₂。
数量积有几个重要的性质，包括交换律、分配律和结合律。
5. 向量积向量积是一种向量运算，也叫叉乘。
给定向量A(x₁, y₁, z₁)和向量B(x₂, y₂, z₂)，它们的向量积定义为A×B = (y₁z₂ - z₁y₂, z₁x₂ - x₁z₂, x₁y₂ - y₁x₂)。
向量积有几个重要的性质，包括反交换律、结合律和分配律。
6. 向量共线及线性相关性如果两个向量之间存在一个实数k，使得一个向量是另一个向量的k倍，则这两个向量称为共线向量。
两个向量共线时，它们的方向相同或相反。
如果存在实数k₁、k₂...kn，使得n个向量的线性组合等于零向量，并且至少存在一个k不等于零，则这些向量称为线性相关向量。
7. 平面向量的线性运算对于平面上的向量A、B和实数k₁、k₂，它们的线性组合定义为k₁A + k₂B。
高中数学向量知识点总结
高中数学向量知识点总结一、基础概念向量是由大小和方向两个方面表示的量，可以用有向线段表示。
向量的模(长度)是一个标量，用||a||表示，其中a为向量。
模为0的向量称为零向量。
向量的方向由其符号决定，同方向向量与相反方向向量称为“对向向量”。
二、向量的加法向量加法：向量加上另一个向量就是在另一个向量的末端从起点开始画一个同样大小的向量。
可加性：若a、b、c为向量，那么a+b=c，即a+b=c-b。
交换律：一个向量加上另一个向量等于另一个向量加上第一个向量。
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)三、向量的减法向量减法：一个向量减上另一个向量等于另一个向量的相反数加上第一个向量。
四、向量的数量积向量的数量积：向量 a 与标量 k 的积乘积表示为ka 。
向量 a 与向量 b 的数量积表示为a·b 。
夹角公式：a·b=|a||b|cosθ。
五、向量的叉积向量的叉积可以得到一个新的向量，叉积符号为叉乘号-×。
向量的叉积表示为a×b，结果垂直于a和b所在的平面，方向通过右手定则判断。
六、平面向量平面向量：一个平面向量的模表示这个向量所代表的有向线段的长度，而朝向的方向则由向量的起点指向终点。
标准单位向量i、j 满足|i|=|j|=1，同时是相互垂直的。
平面向量加减的公式与三维向量相同。
七、空间向量空间向量：空间向量是三维向量，定义为一个向量的起点和终点可以在三维空间中的任意两个点之间往返移动。
空间向量加减的公式与平面向量相同。
空间向量的数量积：a·b=|a||b|cosθ。
八、向量的应用平移变换：平移是向量应用最广泛的变换之一，在2D空间或3D空间中使用相同的基础技巧。
投影：当我们需要在三维空间中绘制3D图像时，我们经常需要计算平行于某个坐标轴的投影。
向量知识点总结公式高中
向量知识点总结公式高中一、向量的定义向量是具有大小和方向的有序组，可以用箭头表示，表示为a→。
向量有两种表示方法，一种是点表示法，将向量的起点放在坐标原点上，由坐标对(x,y)来确定向量的终点，另一种是分量表示法，将向量的起点放在坐标原点上，向量的终点为(x,y)，则向量a→=(a1,a2)，其中a1为横坐标，a2为纵坐标。
二、向量的基本运算1. 向量的加法：向量的加法符合三角形法则，即若有三个向量a→，b→和c→，则a→+b→=c→，其中c→为以a→和b→为两条边的三角形的第三条边的向量。
2. 向量的减法：向量的减法可以转化为向量的加法，即a→-b→=a→+(-b→)=c→，其中-c→为向量b→的反向量。
3. 向量的数乘：向量的数乘是指向量与一个实数的乘积。
若有向量a→和实数k，则ka→=b→，其中b→的大小为ka的绝对值，方向与a→一致。
4. 基本运算规律：(1) 结合律：a→+(b→+c→)=(a→+b→)+c→；(2) 交换律：a→+b→=b→+a→；(3) 数乘结合律：k(la→)=(kl)a→；(4) 分配律：k(a→+b→)=ka→+kb→。
三、向量的数量积向量的数量积，又叫点积或内积，是数学中的一种运算。
已知有向量a→=（a1，a2）和向量b→=（b1，b2），则a→·b→=a1b1+a2b2，其中a1b1和a2b2分别为向量a→和b→的横坐标和纵坐标乘积之和。
数量积的几何意义是向量a→在向量b→上的投影的长度乘以向量b→的模的长度，即a→·b→=|a→|·|b→|·cosθ，其中θ为向量a→和b→之间的夹角。
数量积还有以下几个重要的性质：1. a→·b→=b→·a→2. (ka→)·b→=k(a→·b→)=a→·(kb→)3. a→·a→=|a→|^24. a→是b→的倍数当且仅当a→·b→=|a→|·|b→|四、向量的叉积向量的叉积，又称外积或向量积，是将两个向量相乘得到一个新的向量的一种向量运算。
高中向量知识点总结简要
高中向量知识点总结简要一、向量的概念1、向量的基本概念向量是一个有大小和方向的量，通常用箭头或者有向线段表示，向量的大小叫做模，记作|a|或a，其方向表示向量的指向。
两个有相同模和方向的向量是相等的，称之为零向量。
在空间直角坐标系中，向量可以表示为一个元素是实数的有序数组。
2、向量的性质(1) 相等的向量具有相同的大小和方向。
(2) 向量的加法满足交换律和结合律。
(3) 向量的数乘即一个向量与一个数的乘积，也满足分配律。
3、单位向量单位向量指模为1的向量，通常用字母e加方向符号表示。
4、零向量向量的大小为零，方向不定。
5、向量的相等向量完全相等（具有相同的大小和方向）时，称为相等。
符号：→AC=→BD。
6、向量的夹角(1) 向量的夹角是指两个向量之间的夹角。
向量夹角的余弦公式：cosθ=→a•→b/|→a||→b|。
(2) 向量的夹角为0时，两个向量为共线向量，夹角为90度时，两个向量垂直。
7、向量的模向量的模是向量的大小，表示为向量的长度。
在直角坐标系中，向量的大小可以用勾股定理来求解。
8、向量的方向角向量必须与坐标轴的正方向所成的角，叫做向量的方向角。
向量的方向角是α、β、γ三组件角所确定的。
9、向量的三角形定理向量的三角形定理即两边和等于第三边，两个向量相加之后的结果是第三个向量。
二、向量的坐标表示1、二维坐标系中的向量表示二维空间中的一个向量可以表示为(x,y)，表示向量在坐标系中的横纵坐标。
2、三维坐标系中的向量表示三维空间中的一个向量可以表示为(x,y,z)，由三个有序数组成。
三、向量的运算1、向量的加法两个向量相加等于将两个向量的对应分量相加，即(a,b)+(c,d)=(a+c, b+d)。
2、向量的减法两个向量相减等于将两个向量的对应分量相减，即(a,b)-(c,d)=(a-c, b-d)。
3、向量的数乘向量a与实数k相乘，等于将a的每个分量乘以k，即k•(a,b)=(ka, kb)。
高中数学向量知识点总结
高中数学向量知识点总结是一门重要的学科，其中向量是一个关键的知识点。
向量是描述空间中的运动和力学问题的有力工具。
本文将对中的向量知识点进行总结和归纳。
一、向量的定义和表示方法向量是有大小和方向的量，它可以用有向线段来表示。
在二维坐标系中，一个向量可以表示为两个有序实数对；在三维坐标系中，一个向量可以表示为三个有序实数对。
我们可以用向量的起点和终点来表示一个向量。
二、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
具体而言，两个向量相加，可以通过将它们的对应分量相加得到。
2. 向量的数量乘法向量的数量乘法满足分配律和结合律。
具体而言，将一个向量乘以一个实数，可以将该实数分别乘以向量的每个分量。
3. 向量的数量积向量的数量积又称点积，它是两个向量对应分量的乘积之和。
两个向量的数量积等于两个向量的模的乘积再乘以它们夹角的余弦值。
4. 向量的矢量积向量的矢量积又称叉积，它是一个向量，其大小等于两个向量的模的乘积再乘以它们夹角的正弦值，方向垂直于这两个向量所在的平面。
三、向量的性质和定理1. 向量共线如果两个非零向量的方向相同或相反，它们就是共线的。
2. 向量垂直如果两个非零向量的数量积为零，它们就是垂直的。
3. 向量的模运算向量的模等于每个分量的平方和的平方根。
4. 平面向量的混合积为零如果三个平面向量的混合积为零，它们共面。
5. 平行四边形法则平行四边形法则指出，如果两个向量的起点相同，那么从起点出发，依次连接两个向量的终点，形成的四边形四个边相互平行。
四、向量在几何中的应用向量在几何中有广泛的应用，下面列举几个常见的应用场景：1. 直线的垂直与平行两条直线平行，意味着它们的方向向量是平行的；两条直线垂直，意味着它们的方向向量是垂直的。
2. 平面的垂直与平行两个平面平行，意味着它们的法向量是平行的；两个平面垂直，意味着它们的法向量是垂直的。
3. 向量投影向量的投影是一个向量的坐标在另一个向量上的投影。
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平面向量的数量积及平面向量的应用1.定义及运算律.两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数，而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功”.设a 及b 是具有共同始点的两个非零向量,其夹角θ满足:0°≤θ≤180°,我们把|a |·|b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =2121y y x x +. 其运算满足“交换律”“结合律”以及“分配律”,即:a ·b =b ·a ，(λ·a )·b =λ(a ·b )，(a ±b )·c =a ·c ±b ·c .2.平面向量数量积的重要性质.①|a |=a a ⋅=2||cos ||||a a a =θ⋅;cos θ=||||)(b a b a ⋅⋅;|a ·b |≤|a |·|b |,当且仅当a ,b 共线时取等号.②设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则:|a |=2121y x +;cos θ=222221212121)(y x y x y y x x +⋅++;|x 1x 2+y 1y 2|≤22222121y x y x +⋅+3.两向量垂直的充要条件若a ,b 均为非零向量,则:a ⊥b ⇔a ·b =0. 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.4.向量的模及三角不等式|a |2=a ·a 或|a |=a a ⋅;|a ·b |≤|a |·|b |;|a |2-|b |2=(a +b )·(a -b );|a ±b |=θ⋅⋅±+cos ||||222b a b a (θ为a ,b 夹角);||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |.5.三角不等式的推广形式|a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |.小练习一【例1】 计算下列各题:(1)已知等边三角形ABC 边长为1,且BC =a ,CA =b ,=c ,求a ·b +b ·c +c ·a ;(2)已知a 、b 、c 是空间中两两垂直的向量,且|a |=1,|b |=2,|c |=3,求r =a +b +c 的长度以及它和a ,b ,c 的夹角;(3)已知(a +3b )与(7a -5b )垂直,且(a -4b )与(7a -2b )垂直,求a 、b 的夹角;(4)已知|a |=2,|b |=5,a ,b 的夹角是32π,p =3a -b ,q =λa +17b ,问系数λ取向值时，p ⊥q . 【解前点津】 (1)利用x 2=x ·x ,通过对(a +b +c )2的计算得出结论;(2)运用公式及运算律;(3)利用两向量垂直的充要条件;(4)利用两向量垂直的充要条件，运算律以及内积定义.构造关于λ的方程，解之即得.【规范解答】 (1)∵(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2-2(a ·b +b ·c +c ·a )=3-2(a ·b +b ·c +c ·a )=0⇒a ·b +b ·c +c ·a =23. (2)cos 〈r ,a 〉=||||a r ar ⋅⋅,∵|r |=2r 且r 2=(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2-2(a ·b +b ·c +c ·a )=14-2(a ·b +b ·c +c ·a )=14. ∴|r |=14⇒ cos 〈r ,a 〉=1414||14||||14)(2==⋅⋅++a a a a c b a ; cos 〈r ,b 〉=714||14||||14)(2==⋅⋅++b b b b c b a ; cos 〈r ,c 〉=143||14||||14)(2==⋅⋅++c c c c c b a . (3)由条件:(a +3b )·(7a -5b )=7|a |2-15|b |2+16a ·b =0,(a -4b )·(7a -2b )=7|a |2+8|b |2-30a ·b =0⇒ |a |2=|b |2=2a ·b ⇒(|a |·|b |)2=4(a ·b )2⇒21||||±=⋅⋅b a b a .由cos 〈a ,b 〉=21得: 〈a ,b 〉=3π;由cos 〈a ,b 〉=-21得: 〈a ,b 〉=π32.(4)令p ·q =0得:(3a -b )·(λa +17b )=0⇒3λ|a |2-17|b |2+(51-λ)a ·b =0 ① 将|a |=2,|b |=5,a ·b =|a |·|b |·cosπ32代入①得3λ·4-17×25+(51-λ)·(-5)=0解之:λ=40. 【解后归纳】 综合利用内积的定义及运算律，内积运算形式与实数运算形式的相互转化，是计算的一项基本功.【例2】 在△ABC 中,AB =(2,3),AC =(1,k ),且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值.【解前点津】 因谁是直角，尚未确定，故必须分类讨论. 【规范解答】 ①当∠A =90°时,因为AB ·AC =0, ∴2×1+3·k =0,∴k =-32. ②当∠B =90°时,BC =AC -AB =(1-2,k -3)=(-1,k -3) ∵AB ·BC =0,∴2×(-1)+3×(k -3)=0⇒k =311. ③当∠C =90°时,∵AC ·BC =0,∴-1+k ·(k -3)=0,k 2-3k -1=0⇒k =233±. ∴k 的取值为:-32,311或233±. 【例4】 已知平行四边形以a =(2,1),b =(1,-3)为两邻边. (1)求它的边长和内角;(2)求它的两对角线的长和夹角.【解前点津】 利用内积的有关运算性质.【规范解答】 (1)|a |=51222=+,|b |=10)3(122=-+⇒ cos α=102105)3112(||||-=⨯⨯-⨯=⋅b a b a , ∴α=π-arccos 102.(2)|a +b |=13)1(21052)(222=-++=++=+ab b a b a ,|a -b |=17)1(2105222=-⨯-+=-+ab b a . cos β=221221517131051713)(21)(21)(21)(2122-=--=⨯-=-⋅+-⋅+b a b a b a b a b a . 【解后归纳】 本题综合运用了向量的有关运算性质，也可利用余弦定理求解.小练习二一、基础夯实1.已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直,则a 与b 的夹角是 ( ) A.60° B.30° C.135° D.45°2.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为3π,则向量m =a -4b 的模为 ( ) A.2 B.23 C.6 D.123.a ,b 是两个非零向量,(a +b )2=a 2+b 2是a ⊥b 的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 4.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |2-4a ·b 等于 ( ) A.23 B.57 C.63 D.835.已知a =(λ,2),b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是 ( ) A.λ>310 B.λ≥310 C.λ<310 D.λ≤310 6.已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于 ( ) A.⎪⎭⎫ ⎝⎛54,53或⎪⎭⎫ ⎝⎛53,54 B ⎪⎭⎫ ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛--54,53 C ⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53或⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 7.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为 ( ) A.55 B.55- C.565 D.13138.已知A (3,2),B (-1,-1),若点P (x ,-21)在线段AB 中垂线上,则x 为 ( ) A.-47 B.47C.2D.-2 9.已知a =(3,0),b =(k,5),且a 与b 的夹角为43π,则k 的值为 ( ) A.-4 B.4 C.5 D.-510.已知a =(3,-1),b =(1,2),求满足条件:x ·a =9与x ·b =-4的向量x 为 ( ) A.(2,3) B.(2,-3) C.(-2,3) D.(-2,-3) 二、思维激活11.已知向量a 、b 的夹角为3π,|a |=2,|b |=1,则|a +b |·|a -b |= . 12.已知a ⊥b 、c 与a ,b 的夹角均为60°,且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则(a +2b -c )2= . 13.已知a =(1,2),b =(1,1),c =b -k a ,若c ⊥a ,则c = .14.已知点A (1,0),B (3,1),C (2,0),且a =BC ,b =CA ,则a 与b 的夹角为 . 三、能力提高15.设A 、B 、C 、D 是平面内任意四点,求·CD +BC ·+CA ·值.16.设OA =(3,1),OB =(-1,2),OC ⊥OB ,BC ∥OA ,O 是原点，求满足OD +OA =OC 时的OD 坐标. 17.已知两单位向量a 与b 的夹角为120°,若c =2a -b ,d =3b -a ,试求:c 与d 的夹角. 18.已知a =(3,-1),b =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21,且存在实数k 和t ,使得x =a +(t 2-3)·b , y =-k a +t ·b ,且x ⊥y ,试求t t k 2+的最小值.平面向量的数量积及平面向量的应用解答1.D ∵a ·(a -b )=a 2-a ·b =0,∴a ·b =1=1·2cos θ,∴cos θ=21. 2.B |m |=2m =323cos 1620cos 128162816222=πθ-=θ⨯⨯-+=⋅-+b a b a .3.C 展开得:a 2+b 2+2a ·b =a 2+b 2⇔a ·b =0.4.D 原式=3(42+32)-4·(-20+18)=83.5.A ∵a ·b =10-3λ,|a |=24λ+,|b |=34,∴由cos α=2434310λ+⋅λ-<0得λ>310. 6.D 设b =(x ,y ),则x 2+y 2=1且4x +3y =0解方程组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==5453y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=5453y x .7.C ∵a ·b =2×(-4)+3×7=13,|a |=13,|b|=65,∴13=6513⨯·cos θ,∴|a |·cos θ=5656513=. 8.C 由条件知AB 中点为M ⎪⎭⎫⎝⎛21,1,令MP ·AB =0得:(x -1,-1)·(-4,-3)=-4(x -1)+(-1)·(-3)=0,x =2.9.D 作内积:a ·b =3k =3·252+k cos43π⇒k <0且252+k =-2k ⇒k =-5. 10.B 设x =(m ,n ),则由条件得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+=-324293n m n m n m ,故x =(2,-3). 11.由已知条件得:a ·b =1,故原式=21)214()214()()(22=-+⋅++=-⋅+b a b a . 12.由条件得:c ·a =3×1×cos60°=23,c ·b =3×2·cos60°=3. ⇒原式=a 2+4b 2+c 2+2a ·c +4a ·b -4b ·c =1+16+9+3-12=17.13.∵c =(1-k ,1-2k ),∴由c ·a =0得1·(1-k )+2(1-2k )=0得k =53⇒c =⎪⎭⎫ ⎝⎛-51,52. 14.由条件a =(-1,-1),b =(-1,0)⇒|a |=2,|b |=1,由a ·b =2cos θ得:(-1·(-1)+(-1)·0=2cos θ⇒cos θ=22⇒θ=45°. 15.∵=-,BC =-CD ,CA =CD -,∴原式=(AD -BD )·CD +(BD -CD )·AD +(CD -AD )·BD=AD ·CD -BD ·CD +AD ·BD -AD ·CD +BD ·CD -AD ·BD =0.16.设=(x ,y ),由⊥得:-x +2y =0,又=-=(x +1,y -2),而∥⇒3(y -2)-(x +1)=0解关于x ,y 的方程组得x =14,y =7.∴OC =(14,7)⇒OD =OC -OA =(11,6).17.∵a 、b 是两单位向量,∴|a |=|b |=1,且a ,b 夹角为120°. ∴a ·b =|a |·|b |·cos120°=-21, ∵|c |2=c ·c =(2a -b )·(2a -b )=4a ·a -4a ·b +b ·b =4|a |2-4a ·b +|b |2=7, ∴|c |=7.∵|d |2=d ·d =(3b -a )·(3b -a )=9b ·b -6a ·b +a ·a =13, ∴|d |=13.∵c ·d =(2a -b )·(3b -a )=6a ·b -3b ·b -2a ·a +a ·b =-217, ∴cos θ=-1829117137217-=⋅(θ为c 、d 夹角). ∴θ=π-arccos1829117. 18.∵|a |=2)1(32=-+,|b |=1232122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛,∵a ·b =0231213=⨯-⨯,故a ⊥b ,∵x ·y =0,∴［a +(t 2-3)·b ］·［-k a +t b ］=0化简得:k =433tt -.∴47)2(41)34(414222-+=-+=+t t t t k ≥-47.当且仅当t =-2时,tt k 2+有最小值-47.小练习三一选择题1．已知A 、B 、C 为三个不共线的点，P 为△ABC 所在平面内一点，若+++，则点P 与△ABC的位置关系是 （ ） A 、点P 在△ABC 内部 B 、点P 在△ABC 外部 C 、点P 在直线AB 上 D 、点P 在AC 边上2．已知三点A （1，2），B （4，1），C （0，-1）则△ABC 的形状为 （ ） A 、正三角形 B 、钝角三角形 C 、等腰直角三角形 D 、等腰锐角三角形 3．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力都为|F|，若|F|=|G|，则θ的值为（ ） A 、300 B 、600 C 、900 D 、1200 二、填空题5．一艘船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成300角，则水流速度为 km/h 。