高中数学向量总结归纳
平面向量的数量积及平面向量的应用
1.定义及运算律.
两个向量的内积(即数量积),其结果是一个实数，而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功”.
设a 及b 是具有共同始点的两个非零向量,其夹角θ满足:0°≤θ≤180°,我们把|a |·|b |·cos θ叫做a 与b 的数量积，记作a ·b 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =2121y y x x +. 其运算满足“交换律”“结合律”以及“分配律”,即:a ·b =b ·a ，(λ·a )·b =λ(a ·b )，(a ±b )·c =a ·c ±b ·c .
2.平面向量数量积的重要性质.
①|a |=a a ?=2||cos ||||a a a =θ?;cos θ=|
|||)
(b a b a ??;|a ·b |≤|a |·|b |,当且仅当a ,b 共线时取等号.
②设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则:|a |=
21
21y x +;cos θ=
22
22
21
21
2121)
(y x y x y y x x +
?
+
+;|x 1x 2+y 1y 2|≤
2
2
222121y x y x +?+
3.两向量垂直的充要条件
若a ,b 均为非零向量,则:a ⊥b ?a ·b =0. 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ?x 1x 2+y 1y 2=0.
4.向量的模及三角不等式
|a |2=a ·a 或|a |=a a ?;|a ·b |≤|a |·|b |;|a |2-|b |2=(a +b )·(a -b );|a ±b |=θ??±+cos ||||222b a b a (θ为a ,b 夹角);||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |.
5.三角不等式的推广形式
|a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |.
小练习一
【例1】 计算下列各题:
(1)已知等边三角形ABC 边长为1,且BC =a ,CA =b ,=c ,求a ·b +b ·c +c ·a ;
(2)已知a 、b 、c 是空间中两两垂直的向量,且|a |=1,|b |=2,|c |=3,求r =a +b +c 的长度以及它和a ,b ,c 的夹角;
(3)已知(a +3b )与(7a -5b )垂直,且(a -4b )与(7a -2b )垂直,求a 、b 的夹角;
(4)已知|a |=2,|b |=5,a ,b 的夹角是
3
2
π,p =3a -b ,q =λa +17b ,问系数λ取向值时，p ⊥q . 【解前点津】 (1)利用x 2=x ·x ,通过对(a +b +c )2的计算得出结论;(2)运用公式及运算律;(3)利用两向量垂直的充要条件;(4)利用两向量垂直的充要条件，运算律以及内积定义.构造关于λ的方程，解之即得.
【规范解答】 (1)∵(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2-2(a ·b +b ·c +c ·a )=3-2(a ·b +b ·c +c ·a )=0
?a ·b +b ·c +c ·a =
2
3. (2)cos ?r ,a ?=
|
|||a r a
r ??,∵|r |=2r 且
r 2=(a +b +c )2=a 2+b 2+c 2-2(a ·b +b ·c +c ·a )=14-2(a ·b +b ·c +c ·a )=14. ∴|r |=14? cos ?r ,a ?=
1414
||14|||
|14)(2==
??++a a a a c b a ; cos ?r ,b ?=
714
||14||||14)(2=
=??++b b b b c b a ; cos ?r ,c ?=
14
3
|
|14|||
|14)(2=
=??++c c c c c b a . (3)由条件:(a +3b )·(7a -5b )=7|a |2-15|b |2+16a ·b =0,(a -4b )·(7a -2b )=7|a |2+8|b |2-30a ·b =0? |a |2=|b |2=2a ·b ?(|a |·|b |)2=4(a ·b )2?2
1
||||±=??b a b a .
由cos ?a ,b ?=21
得: ?a ,b ?=3
π;
由cos ?a ,b ?=-2
1
得: ?a ,b ?=π3
2.
(4)令p ·q =0得:(3a -b )·(λa +17b )=0?3λ|a |2-17|b |2+(51-λ)a ·b =0 ① 将|a |=2,|b |=5,a ·b =|a |·|b |·cos
π3
2
代入①得3λ·4-17×25+(51-λ)·(-5)=0解之:λ=40. 【解后归纳】 综合利用内积的定义及运算律，内积运算形式与实数运算形式的相互转化，是计算的一项基本功.
【例2】 在△ABC 中,AB =(2,3),AC =(1,k ),且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值.
【解前点津】 因谁是直角，尚未确定，故必须分类讨论. 【规范解答】 ①当∠A =90°时,因为AB ·AC =0, ∴2×1+3·k =0,∴k =-3
2. ②当∠B =90°时,BC =AC -AB =(1-2,k -3)=(-1,k -3) ∵AB ·BC =0,∴2×(-1)+3×(k -3)=0?k =
3
11. ③当∠C =90°时,∵AC ·BC =0,∴-1+k ·(k -3)=0,k 2-3k -1=0?k =2
3
3±. ∴k 的取值为:-32,311或2
33±. 【例4】 已知平行四边形以a =(2,1),b =(1,-3)为两邻边. (1)求它的边长和内角;
(2)求它的两对角线的长和夹角.
【解前点津】 利用内积的有关运算性质.
【规范解答】 (1)|a |=51222=+,|b |=10)3(122=-+
? cos α=
102
10
5)3112(||||-
=??-?=?b a b a , ∴α=π-arccos 10
2.
(2)|a +b |=13)1(21052)(222=-++=++=+ab b a b a ,
|a -b |=17)1(2105222=-?-+=-+ab b a . cos β=221221
517
1310517
13)(2
1
)(2
1
)(21
)(21
2
2-
=--=
?-=-?+-?+b a b a b a b a b a . 【解后归纳】 本题综合运用了向量的有关运算性质，也可利用余弦定理求解.
小练习二
一、基础夯实
1.已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直,则a 与b 的夹角是 ( ) A.60° B.30° C.135° D.45°
2.已知|a |=2,|b |=1,a 与b 之间的夹角为
3
π
,则向量m =a -4b 的模为 ( ) A.2 B.23 C.6 D.12
3.a ,b 是两个非零向量,(a +b )2=a 2+b 2是a ⊥b 的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件 4.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |2-4a ·b 等于 ( ) A.23 B.57 C.63 D.83
5.已知a =(λ,2),b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是 ( ) A.λ>
310 B.λ≥310 C.λ<310 D.λ≤3
10 6.已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于 ( ) A.??? ??54,53或??? ??53,54 B ??? ??53,54或??
? ??--54,53 C ??? ??-54,53或??? ??-53,54 D ??? ??-54,53或??
? ??-54,53 7.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为 ( ) A.
55 B.5
5
- C.565 D.13
13
8.已知A (3,2),B (-1,-1),若点P (x ,-2
1
)在线段AB 中垂线上,则x 为 ( ) A.-
47 B.4
7
C.2
D.-2 9.已知a =(3,0),b =(k,5),且a 与b 的夹角为
4
3π
,则k 的值为 ( ) A.-4 B.4 C.5 D.-5
10.已知a =(3,-1),b =(1,2),求满足条件:x ·a =9与x ·b =-4的向量x 为 ( ) A.(2,3) B.(2,-3) C.(-2,3) D.(-2,-3) 二、思维激活
11.已知向量a 、b 的夹角为
3
π
,|a |=2,|b |=1,则|a +b |·|a -b |= . 12.已知a ⊥b 、c 与a ,b 的夹角均为60°,且|a |=1,|b |=2,|c |=3,则(a +2b -c )2= . 13.已知a =(1,2),b =(1,1),c =b -k a ,若c ⊥a ,则c = .
14.已知点A (1,0),B (3,1),C (2,0),且a =BC ,b =CA ,则a 与b 的夹角为 . 三、能力提高
15.设A 、B 、C 、D 是平面内任意四点,求·CD +BC ·+CA ·值.
16.设OA =(3,1),OB =(-1,2),OC ⊥OB ,BC ∥OA ,O 是原点，求满足OD +OA =OC 时的OD 坐标. 17.已知两单位向量a 与b 的夹角为120°,若c =2a -b ,d =3b -a ,试求:c 与d 的夹角. 18.已知a =(3,-1),b =???
? ??23,21,且存在实数k 和t ,使得x =a +(t 2-3)·b , y =-k a +t ·b ,且x ⊥y ,试求t t k 2+的最小值.
平面向量的数量积及平面向量的应用解答
1.D ∵a ·(a -b )=a 2-a ·b =0,∴a ·b =1=1·2cos θ,∴cos θ=
2
1. 2.B |m |=2m =323cos 1620cos 128162816222=πθ-=θ??-+=?-+b a b a .
3.C 展开得:a 2+b 2+2a ·b =a 2+b 2?a ·b =0.
4.D 原式=3(42+32)-4·(-20+18)=83.
5.A ∵a ·b =10-3λ,|a |=24λ+,|b |=34,∴由cos α=
2
434310λ+?λ-<0得λ>
3
10. 6.D 设b =(x ,y ),则x 2+y 2
=1且4x +3y =0解方程组得???????-==5453y x 或???
????=
-=5453y x .
7.C ∵a ·b =2×(-4)+3×7=13,|a |=13,|b|=65,∴13=6513?·cos θ,∴|a |·cos θ=5
65
65
13
=
. 8.C 由条件知AB 中点为M ??
?
??21,1,令MP ·AB =0得:(x -1,-1)·(-4,-3)=-4(x -1)+(-1)·(-3)=0,x =2.
9.D 作内积:a ·b =3k =3·252+k cos
4
3π
?k <0且252+k =-2k ?k =-5. 10.B 设x =(m ,n ),则由条件得?
?
?-==???
?-=+=-32
4293n m n m n m ,故x =(2,-3). 11.由已知条件得:a ·b =1,故原式=21)214()214()()(22=-+?++=-?+b a b a . 12.由条件得:c ·a =3×1×cos60°=
2
3
,c ·b =3×2·cos60°=3. ?原式=a 2+4b 2+c 2+2a ·c +4a ·b -4b ·c =1+16+9+3-12=17.
13.∵c =(1-k ,1-2k ),∴由c ·a =0得1·(1-k )+2(1-2k )=0得k =
53?c =??
? ??-51,52. 14.由条件a =(-1,-1),b =(-1,0)?|a |=2,|b |=1,由a ·b =2cos θ得:(-1·(-1)+(-1)·0=2cos θ
?cos θ=
2
2?
θ=45°. 15.∵=-,BC =-CD ,CA =CD -,
∴原式=(AD -BD )·CD +(BD -CD )·AD +(CD -AD )·BD
=AD ·CD -BD ·CD +AD ·BD -AD ·CD +BD ·CD -AD ·BD =0.
16.设=(x ,y ),由⊥得:-x +2y =0,又=-=(x +1,y -2),而∥?3(y -2)-(x +1)=0解关于x ,y 的方程组得x =14,y =7.
∴OC =(14,7)?OD =OC -OA =(11,6).
17.∵a 、b 是两单位向量,∴|a |=|b |=1,且a ,b 夹角为120°. ∴a ·b =|a |·|b |·cos120°=-2
1, ∵|c |2=c ·c =(2a -b )·(2a -b )=4a ·a -4a ·b +b ·b =4|a |2-4a ·b +|b |2=7, ∴|c |=7.
∵|d |2=d ·d =(3b -a )·(3b -a )=9b ·b -6a ·b +a ·a =13, ∴|d |=13.
∵c ·d =(2a -b )·(3b -a )=6a ·b -3b ·b -2a ·a +a ·b =-2
17
, ∴cos θ=-182911713
7217
-
=?(θ为c 、d 夹角). ∴θ=π-arccos
182
91
17. 18.∵|a |=2)1(32
=-+,|b |=123212
2
=???
? ??+??? ??,
∵a ·b =02
3
1213=?-?,故a ⊥b ,
∵x ·y =0,∴［a +(t 2-3)·b ］·［-k a +t b ］=0
化简得:k =4
33t
t -.
∴4
7)2(41)34(414222
-+=-+=+t t t t k ≥-47
.
当且仅当t =-2时,t
t k 2
+有最小值-47.
小练习三
一选择题
1．已知A 、B 、C 为三个不共线的点，P 为△ABC 所在平面内一点，若+++，则点P 与△ABC
的位置关系是 （ ） A 、点P 在△ABC 内部 B 、点P 在△ABC 外部 C 、点P 在直线AB 上 D 、点P 在AC 边上
2．已知三点A （1，2），B （4，1），C （0，-1）则△ABC 的形状为 （ ） A 、正三角形 B 、钝角三角形 C 、等腰直角三角形 D 、等腰锐角三角形 3．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力都为|F|，若|F|=|G|，则θ的值为（ ） A 、300 B 、600 C 、900 D 、1200 二、填空题
5．一艘船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成300角，则水流速度为 km/h 。
6．两个粒子a ，b 从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移分别为S a =（3，-4），S b =（4，
3），（1）此时粒子b 相对于粒子a 的位移 ； （2）求S 在S a 方向上的投影 。 三、解答题
7．如图，点P 是线段AB 上的一点，且A P ︰PB=m ︰n ，点O 是直线AB 外一点，设OA =u u u r a ，OB =u u u r
b ，试用,,,m n a b 的运算式表示向量OP uuu r
．
高三数学平面向量综合练习题
一、选择题
1、设平面向量=(－2，1)，=(λ，－1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是
A 、),2()2,21
(+∞?-
B 、(2，+∞)
C 、(21-，+∞)
D 、(－∞，2
1-)
2、设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则下列为a 与b 共线的充要条件的有 ①存在一个实数λ，使a =λb 或b =λa ；②|a ·b |=|a |·|b |； ③
2
1
21y y x x =
；④(+)//(－) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、若函数y=2sin(x+θ)的图象按向量(6
π，2)平移后，它的一条对称轴是x=
4
π，则θ的一个可能的值是
A 、
125π B 、3π C 、6
π D 、12π 4、ΔABC 中，若
?=?，则ΔABC 必约
A 、直角三角形
B 、钝角三角形
C 、锐角三角形
D 、等腰三角形
5、已知ΔABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足AB PC PB PA =++，则点P 与ΔABC 的关
系是
A 、P 在ΔABC 内部
B 、P 在ΔAB
C 外部
C 、P 在直线AB 上
D 、P 在ΔABC 的AC 边的一个三等分点上
6、在边长为1的正三角形ABC 中，a BC =，AB c =u u u r r ，CA b =u u u v v
，则a c c b b a ?+?+?=
A 、1.5
B 、－1.5
C 、0.5
D 、－0.5 二、填空题
1、已知a =(cos θ，sin θ)，b =(3，－1)，则|2a －b |的最大值为____________
2、已知P(x ，y)是椭圆14
22
=+y x 上一点，F 1、F 2是椭圆的两焦点，若∠F 1PF 2为钝角，则x 的取值范围为
________________
3、设=(a,b)，=(c,d)，规定两向量m, n 之间的一个运算“×”为×=(ac －bd ，ad+bc)，若已知=(1，
2)，×=(－4，－3)，则=____________
4、将圆x 2+y 2=2按=(2，1)平移后，与直线x+y+λ=0相切，则实数λ的值为____________ 三、解答题
1、已知平面内三向量、、的模为1，它们相互之间的夹角为1200。 （1）求证：⊥-)(；（2）1||>++k ，求k 的取值范围。
2、设两个向量1e 、2e 满足|1e |=2，|2e |=1，1e 与2e 的夹角为600，若向量2172e e +=λ与向量
21e e λ+=的夹角为钝角，求实数λ的取值范围。
3、△ABC 内接于以o 为圆心，l 为半径的圆，且=++543，求：?，?，?。
4、抛物线2
2x y -=与过点M(1，0)的直线l 相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若OB OA ?=0，求直线l 的
方程。
5、设=(m ，n)，=(p ，q)，定义向量间运算“*”为：*=(mp －nq ，mq+np)。 （1）计算||、|| 及 |*|；（2）设=(1，0)，计算cos<*，>及cos<，>； （3）根据（1）、（2）的结果，你能得到什么结论？
6、已知=(cos α，sin α)，=(cos β，sin β)，0<α<β<π。 （1）求证：+与－垂直；
（2）若k +与－k 的长度相等，求β－α的值（k 为非零的常数） 7、已知A(3，0)，B(0，3)，C(cos α，sin α)。（1）若1-=?，求sin2α的值；（2）若13||=+，
且α∈(0，π)，求与的夹角。
8、已知=(2，2)，与的夹角为
4
3π
，且·=－2。 （1）求向量；（2）若=(1，0)，且⊥，=(cosA ，2cos 2
2
C
)，其中A 、C 是△ABC 的内角，若A 、B 、C 依次成等差数列，求|+|的取值范围。
9、已知向量a 、b 、c 、d 及实数x 、y ，且|a |=|b |=1，c =a +(x 2－3)b ，d =－y a +x b ，a ⊥b ，若c ⊥
d ，且|c |≤10。
（1）求y 关于x 的函数关系y=f(x)及定义域； （2）求函数f(x)的单调区间。
10、平面向量=(1，7)，=(5，1)，=(2，1)，点M 为直线OP 上一动点。
（1）当MB MA ?取最小值时，求的坐标；（2）当点M 满足（1）中的条件和结论时，求∠AMB 的余弦。
11、已知P(x ，y)，A(－1，0)，向量PA 与=(1，1)共线。
（1）求y 是x 的函数；（2）是否在直线y=2x 和直线y=3x 上分别存在一点B 、C ，使得满足∠BPC 为锐角时x 取值集合为{x| x<－
7或x>7}？若存在，求出这样的B 、C 的坐标；若不存在，说明理由。
12、已知21e e -=，2134e e +=，其中1e =(1，0)，2e =(0，1)。 （1）计算a ·b ，|a +b |的值；
（2）如果存在n 个不全为零的实数k 1，k 2，…，k n ，使a k a k a k n n =+???++2211成立，则称n 个向量1a ，
2a ，…，n a “线性相关”，否则为“不线性相关”，依此定义，三个向量1a =(－1，1)，2a =(2，1)，3a =(3，2)
是否为“线性相关”的，请说明你的判断根据；
（3）平面上任意三个互不共线的向量1a ，2a ，3a 一定是线性相关的吗？为什么？ 参考答案
选择题1－5 ACADDB
填空题 1. 4 ，2
(33
，3 （－2，1）， 4 －1或－5，
解答题1：k>0 或k<－2
2：1(7,()2
2
2-?-
3：OB OA ?＝0，OC OB ?＝－0.8，OA OC ?＝－0.6 4：y=2x-2