2020学年四川省遂宁市射洪中学高二上学期期末考试(英才班)数学(理)试题(Word版) (2)
四川省遂宁市高二上学期期末模拟数学理
四川省遂宁市 高二上学期期末数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆13422=+y x 的焦距为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+0002y x y x ，则y x z 2+=的最大值为A ．4B ．3 C. 0 D ．23．有50件产品，编号从1到50，现在从中抽取5件检验，用系统抽样确定所抽取的第一个样本编号为7，则第三个样本编号是 A ．37B ．27C ．17D ．124．椭圆x2m +y236=1的焦距是2，则m 的值是：A ．35或37B ．35C ．37D ．165.若圆222)5()3(r y x =++-上的点到直线0234=--y x 的最近距离等于1,则半径r 值是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 96.过点A(1，2)且与原点距离最大的直线方程是A. x+2y-5=0B. 2x+y-4=0C. x+3y-7=0D. x+3y-5=07.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323 cm 3 D.403 cm 38.不等式ax ２＋bx+2＞０的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ，则a －b 等于 A.－4 B.14 C.－10 D.109.已知a 、b 是关于x 的方程2320x px p p -++= (P 为常数)的两个不相等的实根,则过两点M(a ，3a )、N(b ，b 2)的直线与圆222()(1)1x p y -+-=的位置关系为A.相交 B,相切 C 相离 D.相切或相离10.已知双曲线C: 2212x y -=上任意一点为G ，则G 到双曲线C 的两条渐近线距离之积为 A.13 B. 23 C. 1 D. 4311.已知抛物线()220y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程是A.1x =B. 1x =-C. 2x =D.2x =-12.已知椭圆22143x y +=，若此椭圆上存在不同的两点A,B 关于直线4y x m =+对称，则实数m 的取值范围是A. ⎛⎝⎭ B. ⎛ ⎝⎭ C. ⎛ ⎝⎭D.1313⎛- ⎝⎭第II 卷（非选择题，满分90分）二、填空题．（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡对应的题中横线上）13．若圆的方程是0222=-+x y x ，则该圆的半径是14．圆22(2)4x y -+=截直线4y x =-所得的弦长为 .15．直三棱柱111ABC A B C -中，若1,90AA AC AB BAC ==︒=∠，则异面直线1BA 与1AC所成的角等于 .16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点为1F ，2F .过2F 作直线by x a =-的垂线l ，垂足为Q ，l 交双曲线的左支于点P ，若222F P F Q =，则双曲线的离心率e = .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在)1500,1000[.（1）求居民收入在)3500,3000[的频率；（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数；（3）为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，按收入从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则应在月收入为)3000,2500[的人中抽取多少人？ 18. (本题满分12分)当a ≥ 0时，解关于x 的不等式2(22)40ax a x -++>．19.(本题12分)已知点A (0,4)，B (0，－2)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →－y 2＋8＝0. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C ，D 两点，求证：OC ⊥OD (O 为原点)．20.（本小题满分12分）某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据.（1）①求线性回归方程∧∧+=a x b y ；②谈谈商品定价对市场的影响；（2）估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线，若该产品的成本为5.4元/件，为使科研所获利最大，该产品定价应为多少？（附：80,5.8,,)())((121==-=---=∧∧==∧∑∑y x x b y a x x y yx x b ni ini ii）F D CP EA21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ． （1） 求证：AB ∥EF ；（2）若PA PD AD ==，且平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．22.（12分）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，动点(),P x y 与定点F (－1，0)的距离和它到定直线2x =-的距离之比是.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过F作曲线C的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,直线OM与曲线C交于,P Q 两点,求四边形APBQ面积的最小值.数学（理）试题答案一．选择题1.B2.A3.B4.A5.C6.A7.C8.C9.A 10.B 11.B 12.B 二．填空题13．1 14．15．3π16三．解答题17.（1）居民收入在)3500,3000[的频率为%155000003.0=⨯. （2）中位数为2400545002000=⨯+， 平均数为2400%53750%153250%252750%252250%201750%101250=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，其众数2750,2250.（3）在月收入为)3000,2500[的人中抽取25人. 18.解：原不等式可化为(x – 2)(ax – 2) > 0，(1)当a = 0时，原不等式即为042>+-x ，解得x < 2； (2)当a > 0时，0)2)(2(>--ax x ， ①若22<a，即a > 1时，解得x <a2或x >2；②若22>a ，即0<a <1时，解得x < 2或x >a2；③若22=a ，即a =1时，解得x ≠2；综上所述，原不等式的解集为：当a = 0时，{}2|<x x ；当0<a <1时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧><a x x x 22|或；当a =1时，{}2|≠∈x R x x 且；当a > 1时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧><22|x ax x 或．zG EP CDF 19． (1)由题意可知，PA →＝(－x,4－y )，PB →＝(－x ，－2－y )， ∴x 2＋(4－y )(－2－y )－y 2＋8＝0， ∴x 2＝2y 为所求动点P 的轨迹方程．(2)证明：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2＝2y ，整理得x 2－2x －4＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4，∵k OC ·k OD ＝y 1x 1·y 2x 2＝x 1＋2x 2＋2x 1x 2＝x 1x 2＋2x 1＋x 2＋4x 1x 2＝－4＋4＋4－4＝－1，∴OC ⊥OD .20.（1）①依题意：2505.82080,20)())((61261=⨯+=-=-=---=∧∧==∧∑∑x b y a x x y yx x b i ii ii，∴回归直线的方程为25020+-=x y .②由于020<-=∧b ，则y x ,负相关，故随定价的增加，销量不断降低. （2）设科研所所得利润为w ，设定价为x ，∴112534020)25020)(5.4(2-+-=+--=x x x x w ，∴当5.840340==x 时，320max =w .故当定价为5.8元时，w 取得最大值. 21．（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AB ∥CD ．又因为AB ⊄面PCD ， CD ⊂面PCD ，所以AB ∥面PCD ．又因为,,,A B E F 四点共面，且平面ABEF I 平面PCD EF =，所以AB ∥EF ． ………………5分 （Ⅱ）取AD 中点G ，连接,PG GB ．因为PA PD =，所以PG AD ⊥． 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD I 平面ABCD AD =， 所以PG ⊥平面ABCD ． 所以PG GB ⊥．在菱形ABCD 中，因为AB AD =， 60DAB ∠=︒，G 是AD 中点，所以AD GB ⊥． 如图，建立空间直角坐标系G xyz -．设2PA PD AD a ===， 则(0,0,0),(,0,0)G A a ，(0,3,0),(2,3,0),(,0,0),(0,0,3)B a C a a D a P a --． 又因为AB ∥EF ，点E 是棱PC 中点，所以点F 是棱PD 中点．所以33(,,)a aE a -，3(,0,)2a aF -．所以33(,0,)2a a AF =-u u u r ，3(,,0)2a aEF =-u u u r ．设平面AFE 的法向量为(,,)x y z =n ，则有0,0.AF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u r u u u r 所以3,3.3z x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令3x =，则平面AFE 的一个法向量为(3,3,33)=n ．因为BG ⊥平面PAD ，所以(0,3,0)GB a =u u u r是平面PAF 的一个法向量．因为13cos ,13393GB <GB >a GB⋅===⋅⋅n n n u u u ru u u r u u u r ， 所以平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值为131322、解：（1）由已知，得()22122x y x ++=+． 两边平方，化简得x 22＋y 2＝1．故轨迹C 的方程是．…（3分）（2）因AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为x ＝my －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0.y 1＋y 2＝2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2， 故直线PQ 的斜率为－m2，PQ 的方程为y ＝－m2x ，即mx ＋2y ＝0，22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得：x 2=，|PQ |22224=222m x y m ++=+ 方法一：设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4.因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧，所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝（m 2＋2）|y 1－y 2|m 2＋4.又因为|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝22·1＋m 2m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m 2m 2＋4.…....10分故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |·2d ＝2222221422112222224m m m m m m +++••=+++=2≥2即0m =时，min 2S =- 11 - 方法二：P （，），Q （，）， P 到直线AB 的距离d 1=，Q 到直线AB 的距离d 2=，∵P ，Q 在直线AB 的两侧，且关于原点对称， ∴S APBQ =丨AB 丨（d 1+d 2）=··（ +）=，∴S APBQ ==2≥2，即0m =时，min 2S =。
四川省遂宁市2020-2021学年高二上学期期末考试数学理试题(1)
【市级联考】四川省遂宁市2020-2021学年高二上学期期末考试数学理试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．直线30x y -+=的倾斜角为A ．4πB ．34πC ．3πD ．6π 2．圆心在x 轴上，半径为1且过点(2,1)的圆的方程为A ．22(2)1x y +-=B ．22(2)1x y -+=C ．22(2)1x y ++=D ．22(2)1x y ++=3．根据下图给出的2021年至2021年某企业关于某产品的生产销售（单位：万元）的柱形图，以下结论不正确的是（ ）A ．逐年比较，2021年是销售额最多的一年B ．这几年的利润不是逐年提高（利润为销售额减去总成本）C ．2021年至2021年是销售额增长最快的一年D ．2021年以来的销售额与年份正相关4．直线1:330l ax y ++=和直线2:(2)10l x a y +-+=平行，则实数a 的值为 A ．3 B ．1- C ．32 D ．3或1- 5．已知P 是ABC ∆的重心，现将一粒黄豆随机撒在ABC ∆内，则黄豆落在PBC ∆内的概率是（ ）A ．14B ．13C ．12D ．236．已知mn 、是不重合直线，αβγ、、是不重合平面，则下列命题 ①若αγβγ⊥⊥、，则α∥β②若m n m αα⊂⊂、、∥n β、∥β，则α∥β③若α∥β、γ∥β，则γ∥α④若m αββ⊥⊥、，则m ∥α⑤若m n αα⊥⊥、，则m ∥n为假命题的是A ．①②③B ．①②⑤C ．③④⑤D ．①②④7．若实数，满足10,0,2,x y x y -+≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩则()222z x y =-+的最小值为AB ．15 C．2 D ．928．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为A． B． CD． 9．运行下列程序，若输入的,p q 的值分别为65,36，则输出的p q -的值为A ．47B ．57C ．61D ．6710．已知ABC ∆的外接圆M 经过点()()0,10,3，，且圆心M 在直线y x =上.若ABC ∆的边长2BC =,则sin BAC ∠等于A B ．15 C D ．1211．已知三棱锥P ABC -中，PA =34AB AC ==，，AB AC ⊥,ABC PA ⊥面，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为A ．16B ．28C ．64D ．9612．设点P 是函数y =图象上任意一点，点Q 坐标为(2,3)()a a a R -∈，当||PQ 取得最小值时圆221:()(1)4C x m y a -+++=与圆222:()(2)9C x n y +++=相外切，则mn 的最大值为A ．5B ．52C ．254D ．1二、填空题13．在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于yoz 面对称的点的坐标为__________ 14．连续抛掷两枚骰子，向上的点数之和为6的概率为_________15．已知三棱锥A －BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则直线AB 和MN 所成的角是_____．16．在平面直角坐标系xoy 中，点(1,0),(4,0)A B ，若在曲线222:24590C x ax y ay a -+-+-=上存在点P 使得||2||PB PA =，则实数a 的取值范围为__________三、解答题17．如图在三棱锥-P ABC 中， ,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===.求证：（1）直线//PA 平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC .18．某城市理论预测2021年到2021年人口总数(单位：十万)与年份的关系如下表所示：(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的回归方程y bx a =+；(2)据此估计2022年该城市人口总数.附：1221n i ii n i i x y nx y b xnx ==-=-∑∑，a y bx =-.参考数据：051728311419132⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，222220123430++++=. 19．已知直线210x y --=与直线210x y -+=交于点P（1）求过点P 且平行于直线34150x y +-=的直线1l 的方程；（2）在（1）的条件下，若直线1l 与圆222x y +=交于A 、B 两点，求直线与圆截得的弦长||AB20．2021年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速()/km h 分成六段：[)60,65， [)65,70， [)70,75， [)75,80， [)80,85， []85,90后得到如图的频率分布直方图．（1）调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的众数、中位数及平均数的估计值；（3）若从车速在[)60,70的车辆中任抽取2辆，求车速在[)65,70的车辆至少有一辆的概率．21．如图，在四棱锥PABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，AC CD ⊥，60ABC ∠=︒，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明：AE ⊥平面PCD ；（Ⅱ）求二面角A PD C --的正弦值．22．已知线段AB 的端点B 的坐标为（3,0），端点A 在圆22(3)16x y ++=上运动；（1）求线段AB 中点M 的轨迹方程；（2）过点C （1,1）的直线m 与M 的轨迹交于G 、H 两点，当△GOH （O 为坐标原点）的面积最大时，求直线m 的方程并求出△GOH 面积的最大值.（3）若点C （1,1），且P 在M 轨迹上运动，求·BC BP 的取值范围.参考答案1．A【解析】【分析】由直线方程求出直线的斜率，再由斜率是倾斜角的正切值求解．【详解】由直线x ﹣y +3＝0，得其斜率为k ＝1，设直线的倾斜角为θ（0≤θ＜π），由tan θ＝1，得θ4π=． 故选A ．【点睛】本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．2．B【解析】【分析】设圆心为C （a ，0）=1，求得a 的值，可得要求的圆的方程．【详解】∵圆心在x 轴上，设圆心为C （a ，0），再根据半径为1，且过点（2，1），=1，求得a ＝2，故要求的圆的方程为 （x ﹣2）2+y 2＝1， 故选B ．【点睛】本题主要考查求圆的标准方程的方法，求出圆心坐标的值，是解题的关键，属于基础题． 3．D【解析】逐年比较，2021年销售额为400，最大，所以是销售额最多的一年；这几年的利润不是逐年提高，如2021年利润为负；2021年至2021年销售额增长140，是增长最快的一年； 从柱形图上看，2014年以来销售额与年份负相关，D 错误． 选D ．4．B【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解．【详解】直线l 1：ax +3y +3＝0和直线l 2：x +（a ﹣2）y +1＝0平行，（1）当a=2时，直线l 1：2x +3y +3＝0，直线l 2：x +1＝0，显然不适合题意；（2）当a≠2时， 由33121a a =≠-，解得a ＝﹣1． ∴实数a 的值为﹣1．故选B ．【点睛】本题考查实数值的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查分类讨论思想与运算求解能力，是基础题．5．B【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形求出对应图形的面积比即可．【详解】如图所示，P 是△ABC 的重心，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是： P 13PBC ABC SS ==． 故选B ．【点睛】几何概型概率公式的应用：（1）一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；（2）若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；（3）若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型.6．D【解析】【分析】由垂直于同一平面的两平面平行或相交，可判断①；由面面平行的判定定理可判断②；由平行平面的传递性可判断③；由线面垂直和面面垂直的性质可判断④；由垂直于同一平面的两直线平行可判断⑤．【详解】m、n是不重合直线，α、β、γ是不重合平面，对于①，若α⊥γ、β⊥γ，则α∥β或α，β相交，故①错误；对于②，若m⊂α、n⊂α、m∥β、n∥β，且m，n相交，则α∥β，故②错误；对于③，若α∥β、γ∥β，则γ∥α，故③正确；对于④，若α⊥β、m⊥β，则m∥α或m⊂α，故④错误；对于⑤，若m⊥α、n⊥α，则m∥n，故⑤正确．故选D．【点睛】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的判断和性质，考查推理能力，属于基础题．7．D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，再由z＝（x﹣2）2+y2的几何意义，即可行域中点（x，y）与定点D（2，0）的距离的平方求解．【详解】由题实数x，y满足102x yxy＞-+≤⎧⎪⎨⎪≤⎩可行域如图所示，z＝（x﹣2）2+y2的几何意义表示可行域中点（x，y）与定点D（2，0）的距离的平方，由图可得，DP=DP292的最小值为．故选：D．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．8．A【解析】【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为三棱锥P﹣ABC，底面三角形ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝2，侧面三角形PAB与PBC全等，侧面三角形PAC为等腰三角形，PA＝PC．然后由三角形面积公式求解．【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为三棱锥P ﹣ABC ，底面三角形ABC 为等腰直角三角形，AB ＝BC ＝2，侧面三角形PAB 与PBC 全等，侧面三角形PAC 为等腰三角形，PA ＝PC ．则该三棱锥的表面积为S 1112222222=⨯⨯+⨯⨯⨯=10+2故选：A ．【点睛】本题考查由三视图求表面积，关键是由三视图还原原几何体，属于中档题．9．B【解析】分析：按照程序框图的流程逐一写出即可详解：第一步：p 65,36101q S ==⇒=第二步：p 67,3198q S ==⇒=第三步：p 69,2695q S ==⇒=第四步：p 71,2192q S ==⇒=最后：输出p 73,16q ==．57p q -=，故选B ．点睛：程序框图的题学生只需按照程序框图的意思列举前面有限步出来，观察规律，得出所求量与步数之间的关系式．10．A【解析】【分析】根据题意，设M 的坐标为（x ，y ），半径为R ，结合题意求出圆心的坐标，即可得R 的值，结合正弦定理可得BC sin BAC=∠2R ＝R 的值，即可得答案． 【详解】 根据题意，设M 的坐标为（x ，y ），半径为R ，若圆M 经过点（0，1），（0，3），则圆心在直线y ＝2上，又由圆心在直线y ＝x 上，则x ＝2，则圆心的坐标为（2，2），R =若△ABC 的边长BC ＝2，则有BC sin BAC=∠2R ＝，变形可得：sin ∠BAC =； 故选A ．【点睛】 本题考查圆的标准方程以及正弦定理的应用，关键是求出圆的方程，属于基础题． 11．C【解析】【分析】将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，也是外接球的内接正方体的体对角线长.【详解】由PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，也是外接球的内接正方体的体对角线长.∵PA =34AB AC ==，，=，∴三棱锥外接球的直径为∴外接球的内接正方体的体对角线长∴正方体的棱长为4，即正方体的体积为64故选：C ．【点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解． 12．C【解析】【分析】根据题意，分析函数y =x ﹣1）2+y 2＝4，（y ≤0），分析可得其对应的曲线为圆心在C （1，0），半径为2的圆的下部分，由Q 的坐标可得Q 在直线x ﹣2y ﹣6＝0上，据此分析可得当|PQ |取得最小值时，PQ 与直线x ﹣2y ﹣6＝0垂直，此时有321a a -=--2，解可得a 的值，即可得圆C 1=3+2＝5，变形可得（m +n ）2＝25，由基本不等式的性质分析可得答案．【详解】根据题意，函数y =x ﹣1）2+y 2＝4，（y ≤0）， 对应的曲线为圆心在C （1，0），半径为2的圆的下半部分，又由点Q （2a ，a ﹣3），则Q 在直线x ﹣2y ﹣6＝0上，当|PQ |取得最小值时，PQ 与直线x ﹣2y ﹣6＝0垂直，此时有321a a -=--2，解可得a ＝1， 圆C 1：（x ﹣m ）2+（y +2）2＝4与圆C 2：（x +n ）2+（y +2）2＝9相外切，=3+2＝5，变形可得：（m +n ）2＝25， 则mn 2()2544m n +≤=， 故选：C ．【点睛】本题考查圆的方程的综合应用，涉及直线和圆的位置关系的应用，根据函数的表达式确定对应曲线是解决本题的关键．13．(-1，2，3)【分析】在空间直角坐标系中，点（x ，y ，z ）关于平面yoz 对称的点坐标是（-x ，y ，z ）．【详解】在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于平面xoy 对称的点坐标是（-1，2，3）．故答案为（-1，2，3）．【点睛】本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用．14．536【解析】【分析】基本事件总数n ＝6×6＝36，再用列举法求出向上的点数之和为6包含的基本事件有5个，由此能求出向上的点数之和为6的概率．【详解】连续抛掷两枚骰子，基本事件总数n ＝6×6＝36， 向上的点数之和为6包含的基本事件有5个，分别为：（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），向上的点数之和为6的概率为p 536=． 故答案为536． 【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 15．6π或3π 【分析】取BD 中点为O ，连接MN 、NO 、MO ．根据题中条件可知：NO ＝MO ，由此能推导出AB 和MN 所成的角的大小．【详解】取BD 中点为O ，连接MN 、NO 、MO ．∵AB ＝CD ，OM 12=CD ，ON 12=AB ，直线AB 与CD 成3π角， ∴NO ＝MO ， ∴∠MON ＝3π或∠MON ＝23π， 当∠MON ＝3π时，△MON 是等边三角形， ∴∠MNO ＝3π； 当∠MON ＝23π时， △MON 是等腰三角形，∠MNO ＝6π． 故答案为6π或3π．【点睛】本题考查异面直线所成的角的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．16．⎡⋃⎢⎣⎦⎣ 【解析】【分析】根据题意，设P （x ，y ），分析可得若|PB |＝2|P A |，则有（x ﹣4）2+y 2＝4（x ﹣1）2+4y 2，变形可得x 2+y 2＝4，进而可得P 的轨迹为以O 为圆心，半径为2的圆；将曲线C 的方程变形为（x ﹣a ）2+（y ﹣2a ）2＝9，可得以（a ，2a ）为圆心，半径为3的圆；据此分析可得若曲线C 上存在点P 使得|PB |＝2|P A |，则圆C 与圆x 2+y 2＝4有公共点，由圆与圆的位置关系可得3﹣2≤≤2+3，解可得a 的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，设P （x ，y ），若|PB |＝2|P A |，即|PB |2＝4|P A |2，则有（x ﹣4）2+y 2＝4（x ﹣1）2+4y 2，变形可得：x 2+y 2＝4，即P 的轨迹为以O 为圆心，半径为2的圆，曲线Cx 2﹣2ax +y 2﹣4ay +5a 2﹣9＝0，即（x ﹣a ）2+（y ﹣2a ）2＝9，则曲线C 是以（a ，2a ）为圆心，半径为3的圆；若曲线C 上存在点P 使得|PB |＝2|P A |，则圆C 与圆x 2+y 2＝4有公共点，则有3﹣2≤≤2+3，即1≤a |≤5，解可得：a 5≤-或5≤a ≤即a 的取值范围为：[]∪；故答案为[]∪． 【点睛】 判断圆与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系．(2)切线法：根据公切线条数确定．17．(1)证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面DEF 内找到一条与PA 平行的直线，由于题中中点较多，容易看出//PA DE ，然后要交待PA 在平面DEF 外，DE 在平面DEF 内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得DE AC ⊥，因此考虑能否证明DE 与平面ABC 内的另一条与AC 相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明DE EF ⊥，因此要找的两条相交直线就是,AC EF ，由此可得线面垂直.【详解】（1）由于,D E 分别是,PC AC 的中点，则有//PA DE ，又PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以//PA 平面DEF ．（2）由（1）//PA DE ，又PA AC ⊥，所以DE AC ⊥，又F 是AB 中点，所以132DE PA ==，142EF BC ==，又5DF =，所以222DE EF DF +=，所以DE EF ⊥，,EF AC 是平面ABC 内两条相交直线，所以DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC ．【考点】线面平行与面面垂直．18．(1) 3.2 3.6y x =+.(2)196.【解析】【试题分析】（1）先依据数表的数据求出x ，y ，再算出5152215 3.25ˆi i i i i x y xy b x x==-==-∑∑，3ˆ6ˆ.a y bx =-=.进而求出回归方程为 3.2 3.6ˆy x ；=+（2）将5x =代入3.2 3.ˆˆ6yx y =+=中可求得 196(万)。
遂宁202-2021高二数学期末考试高二数学(理科答案)2020
高二数学（理科）试题参考答案第1页（共5页）遂宁市高中2022届第三学期教学水平监测数学（理科）试题参考答案及评分意见题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BADDCABCBACC二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分） 13.2- 14.48 15.2216.7 三、解答题（本大题70分） 17．（1）解：点F G H ，，的位置如图所示……………………4分（2）如图，连接BD ，设O 为BD 的中点，连接OH OM MN BH ，，，.因为M N ，分别是BC GH ，的中点………………5分 所以//OMCD ，且12OM CD =………………6分//HN CD ，且12HN CD =……………………7分所以//OM HN ，OM HN =……………………8分所以四边形MNHO 是平行四边形，从而//MN OH ……………………9分 又MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ， 所以//MN 平面BDH ……………………10分18．（1）由已知直线l 过定点(1,4)A ……………………1分若截距0m n ==时，则可设:l y kx =……………………2分 因为直线过点，即，所以……………………3分若截距不等于零时，则可设:1x yl m m+=，因为直线过点(1,4)A ……4分 所以直线方程为：50x y +-=……………………5分综上，直线的方程为4y x =或50x y +-=……………………6分高二数学（理科）试题参考答案第2页（共5页）（2）由题意，设直线:(1)4(0)l y k x k =-+<……………………7分令04x y k =⇒=-，令40k y x k-=⇒=……………………8分 则有2141(4)11648(0)222k k S COB k k k k kk--=-⋅==+-<……10分所以当4k =-时，三角形面积最小为8……………………11分 此时直线方程为480x y +-=……………………12分19．（1）由直方图知()0.0050.020.00750.0025201a ++++⨯=，解得0.015a =……2分设中位数为x （百分比），经分析中位数x （百分比）应位于第三组内……3分 故有0.10.3(50)0.020.5x ++-⨯=……………………5分所以55x =，故猪肉价格上涨幅度的中位数为55%……………………6分 （2）由题意，样本中，“信心十足型”型居民有0.0052010010⨯⨯=……7分“信心不足型”型居民有0.0025201005⨯⨯=人……………………8分 由分层抽样的定义可知“信心十足型”居民抽取4人，“信心不足型”居民抽取2人.记：“信心十足型”的四位居民分别为：,,,a b c d ；“信心不足型”的两位居民分别为：,A B 。
四川省遂宁市2020-2021学年高二上学期期末考试数学理试题
四川省遂宁市2020-2021学年高二上学期期末考试数学理试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为1214,,A A A ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．102．已知,x y 满足条件，则目标函数从最小值连续变化到0时，所有满足条件的点(),x y 构成的平面区域的面积为A ．2B ．1C ．D ．3．已知矩形ABCD ，4AB =，3BC =，将矩形ABCD 沿对角线AC 折成大小为θ的二面角B AC D --，则折叠后形成的四面体ABCD 的外接球的表面积是（ ） A ．9πB ．16πC ．25πD ．与θ的大小有关4．若点()5,b 在两条平行直线6810x y -+=与3450x y -+=之间，则整数b 的值为（ ）A ．5B ．5-C ．4D ．4-5．在直角坐标系内，已知()3,3A 是以点C 为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点（异于点A ）重合，两次的折痕方程分别为10x y -+=和70x y +-=，若圆上存在点P ，使得()·0MP CP CN -=，其中点(),0M m -、(),0N m ，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．4二、填空题6．若直线与函数的图象相交于 两点，且，____.三、解答题7．如图，四面体中，分别是的中点，（1）求证：平面;（2）求直线与平面所成角的正弦值. 8．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥.（1）证明：1AC AB =；（2）若1AC AB ⊥，160CBB ∠=︒，1AB BC ==，求二面角111A A B C --的余弦值的绝对值.9．已知圆心在x 轴上的圆C 与直线:4360l x y +-=切于点3n 5E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.圆P ：22(3)220x a x y ay a +++-++=．（1）求圆C 的标准方程；（2）已知1a >，圆P 与x 轴相交于两点,M N （点M 在点N 的右侧）．过点M 任作一条倾斜角不为0的直线与圆C 相交于,A B 两点．问：是否存在实数a ，使得ANM BNM ∠=∠？若存在，求出实数a 的值，若不存在，请说明理由．参考答案1．C【分析】根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案．【详解】根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14次考试成绩超过90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为9.故选：C ．【点睛】本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．2．B【解析】可行域如图所示：当目标函数z x y =+从最小值连续变化到零时，满足条件的点(),x y 在可行域内且在12,l l 之间，它的面积为1122122⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选B.点睛：如果目标函数z x y =+从最小值连续变化到零时，那么对应的动直线从20x y ++=变化到0x y +=，解题时注意代数意义与几何意义的转化.3．C【解析】由题意得，在二面角D B AC --内AC 的中点O 到点A,B,C,D 的距离相等，且为522AC =，所以点O 即为外接球的球心，且球半径为52R =，所以外接球的表面积为24=25S R ππ=．选C ．4．C【分析】将5x =代入直线方程可求得b 的取值范围，根据b 为整数可求得结果.【详解】把5x =代入6810x y -+=，得：318y = 把5x =代入3450x y -+=，得：5y =3158b ∴<<，又b 为整数 4b ∴= 本题正确选项：C【点睛】本题考查点与直线的位置关系，属于基础题.5．B【解析】由题设，圆心为两次折痕的交点，由1070x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，故()3,4C ，半径341r =-=，圆()()22:341C x y -+-=，又()·0MP CP CN -=，故·0MP NP =，也就是MP NP ⊥，所以P 在 以MN 为直径的圆上，故(),P x y 在圆222:O x y m +=上，因题中求m 的最大值，故可设0m >.因圆C 与圆O 有公共点，而5OC =，故151m m -≤≤+，也就是46m ≤≤，故m 的最大值为6.点睛：因为折叠时点A 均在圆上，因此圆心在折痕上，故折痕线的交点为圆心.又·0MP NP =，故P 在以MN 为直径的圆上，且该圆与圆C 有公共点，故利用圆心距小于等于两圆半径之和，大于等于两圆半径之差的绝对值得到m 的最大值为6.6．【解析】函数2y =可化为()()()2212925x y y -+-=≤≤，它表示在直线2y =上方的半圆（含与直线2y =上的两个点），如图所示，圆心到直线的距离为d ===12k =或2k =.由3y kx =+恒过()0,3，而()2,2C -，故32122k -≤=，因此舎去2k =，填12.点睛：函数2y =的图像不容易看出，对其变形后得()()()2212925x y y -+-=≤≤，从而看出其图像为半圆.因为弦长已知，故弦心距可求，利用圆心到直线的距离公式求得12k =或2k =，注意图像是半圆，故需利用斜率k 的范围舍去2k =.7．（1）见解析（2）7【解析】 试题分析：（1）连结OE ，则OE 为BCD ∆的中位线，故OE CD ，所以OEOE //平面ACD .（2）由题设，有1,AO CO ==结合2AC =有AO OC ⊥，而AO BD ⊥，故AO ⊥平面BCD ，我们可以建立空间直角坐标系，计算OC 与平面ACD 法向量的夹角的余弦值，也可以通过等积法计算O 到平面ACD 的距离，从而得到线面角的正弦值. 解析：（1）证明：连结OE ，因为,O E 分别是,BD BC 的中点，所以OE CD ，又OE ⊄平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，所以OE 平面ACD .（2）法一：连接OC ，因为BO DO =，AB AD =，所以AO BD ⊥，同理CO BD ⊥，又1,AO CO ==2AC =，所以222AO CO AC +=，所以AO CO ⊥ ，又因为BD OC O ⋂= ，所以AO ⊥ 平面BCD .以OB OC OA 、、分别为x y 、、z 轴，建立如图所示的直角坐标系，则()()()()0011000100A B C D -，，、，，、、，， .设平面ACD 的法向量()x y z η=，，，由()1,0,1DA =，()1,DC =则有030x z x +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1x =-，得311η⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， .又因为()0,OC =,所以•7sin OC OC ηαη==，故直线OC与平面ACD 所成角的正弦7.法二：设O 到平面ACD 的距离为d ，由A ODC O ADC V V --=,有1111113232d ⨯⨯=⨯，得d =，故直线OC 与平面ACD 所成角的正弦值为：d OC =8．（1）证明见解析；（2）17. 【分析】 （1）连接1BC ，交1B C 于点O ，连接AO ，证明1B C AO ⊥且1B C 平分AO 得到答案. （2）O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立空间直角坐标O xyz -，计算相应点坐标，计算法向量，利用二面角公式计算得到答案.【详解】证明：（1）连接1BC ，交1B C 于点O ，连接AO ，因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥，且O 为1B C 与1BC 的中点，又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO . 由于AO ⊂平面ABO ，故1B C AO ⊥.又1B O CO =，故1AC AB =.（2）因为1AC AB ⊥，且O 为1B C 的中点，所以AO CO =.又因为AB BC =，所以BOA BOC ∆∆≌，故OA OB ⊥，从而1,,OA OB OB 两两相互垂直，O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立空间直角坐标O xyz - 因为160CBB ∠=︒，所以1CBB ∆为等边三角形，又AB BC =，则11110,0,,(,0,0),0,,0,0,,02222A B B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111113110,,,,0,,,0222222AB A B AB B C BC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 设(,,)n x y z =是平面11AA B 的法向量，则11100n AB n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即110221022y z x z ⎧-=⎪⎪⎪-=⎪⎩ 所以(1,3,n =.设m 是平面111A B C 的法向量，则111100m A B m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，同理可取(1,m =, 1cos ,7||||n mn m n m ⋅==，所以二面角111A A B C --的余弦值为17.【点睛】本题考查线段相等的证明，建立空间直角坐标系解决二面角问题，计算量较大，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9．（1）()2214x y ++=（2）4a =【解析】试题分析：（1）切点在直线l 上，故3655E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，从而求出过切点且垂直切线的直线，它与x 轴的交点就是圆心()1,0C -，半径是2CE =，从而求得圆的标准方程为()2214x y ++=.（2）先求出()()2010M N a ---，、，，若ANM BNM ∠=∠，则AN BN k k =-,即1212011y y x a x a +=++++，用韦达定理把该方程转化为()()1212210my y a y y +-+=，联立用韦达定理把所得方程化简为()40m a -=，从而得到4a =. 解析：（1）设圆心C 的坐标为()0t ，，由点E 在直线l 上，知：3655E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，则6535CE k t =-，又43l k =-， 1CE l k k ⋅=-，则1t =- ，故()1,0C -，所以2CE =，即半径2r . 故圆C 的标准方程为()2214x y ++=.（2） 假设这样的a 存在，在圆P 中，令0y =，得：()()23210x a x a ++++=，解得：1221x x a =-=--或，又由1a >知12a --<-，所以：()()2010M N a ---，、，.由题可知直线AB 的倾斜角不为0，设直线AB ：2x my =-，()()1122A x y B x y ，、，，()22214x my x y =-⎧⎪⎨++=⎪⎩，消元得()221230m y my +--=.∵点()20M ，-在圆C 内部，∴有>0∆恒成立，又1221222131m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩.因为ANM BNM ∠=∠，所以AN BN k k =-,即1212011y y x a x a +=++++，也即是1212011y y my a my a +=+-+-，整理得()()1212210my y a y y +-+=，从而()223221011m m a m m -⨯+-⨯=++，化简有()40m a -=，因为对任意的m R ∈都要成立，所以4a =，由此可得假设成立，存在满足条件的a ，且4a =.点睛：（1）求圆的标准方程，关键是圆心和半径的确定，一般地，圆心在弦的中垂线上，也在过切点且垂直于切线的直线上.（2）解析几何中的定点定值问题，常需要把目标转化为关于1212,x x x x +（或1212,y y y y +）的代数式，再利用韦达定理把该代数式化为某变量的代数式，从而解决定点定值问题.。
四川省遂宁市射洪中学2019-2020学年高二上期期末考试数学(理)Word版含答案
2021届第三学期教学水平监测数学〔理科〕试题本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部。
总分150分。
考试时间120分钟。
第一卷〔选择题，总分值60分〕考前须知：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。
并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．过点(1,1)且斜率不存在的直线方程为A ．1y =B ．1x =C ．y x =D ．1y x =+2．空间直角坐标系中A B 、两点坐标分别为(2,3,5)、(3,1,4)那么A B 、两点间距离为 A ．2 B ．5 C ．6 D ．6 3．假设方程2220x y a ++=表示圆，那么实数a 的取值范围为 A ．0a < B ．0a = C ．0a ≤ D ．0a >4．直线1:30l ax y --=和直线2:(2)20l x a y +++=平行，那么实数a 的值为 A ．3 B ．1- C ．2- D ．3或1-5．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1BD 所成的角为 A ．4π B ．3π C ．2π D ．6π6．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，以下四个命题为假命题的是 A ．假设,//m n αα⊥，那么m n ⊥；B ．假设α⊥γ面，β⊥γ面，l αβ⋂=，那么l ⊥γ面C ．假设,//,//,//,//m n A m m n n αβαβ⋂=，那么//αβ.D ．假设α⊥β，a ⊂α，那么a ⊥β7．假设实数x y 、满足不等式组1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，那么2Z x y =+的最小值为A ．0B ．1C ．3D ．98．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，2sin8y x π=的图在平面直角坐标系中，圆O 被函数象分割为两个对称的鱼形图案(如图)，其中阴影局部小圆的周长均为4π，现从大圆内随机取一点，那么此点取自阴影局部的概率为A ．136B ．118C ．116 D ．189． 如下图，1111ABCD A B C D -是长方体，O 是11B D 的中点，直线1A C 交平面11AB D 于点M ，那么以下结论正确的选项是 A ．,,A M O 三点共线 B ．1,,,A M O A 不共面 C ．,,,A M C O 不共面 D ．1,,,B B O M 共面10．假设直线1:1l y kx k =-+与直线2l 关于点(3,3)对称，那么直线2l 一定过定点A ．(3,1)B ．2,1（）C ．5,5（）D ．(0,1) 11．坐标原点0,0O （）在动直线(2)(2)0m x n y -+-=上的投影为点P ，假设点1,1Q --（），那么PQ 的取值范围为A ．232⎡⎤⎣⎦， B ．22⎡⎤⎣⎦，2 C ．2232⎡⎤⎣⎦， D ．2⎡⎤⎣⎦1，312．正方形ABCD 的边长为4，CD 边的中点为E ，现将,ADE BCE ∆∆分别沿,AE BE 折起，使得,C D 两点重合为一点记为P ，那么四面体P ABE -外接球的外表积是A ．1712π B ．1912π C ．193πD ．763π第二卷〔非选择题，总分值90分〕考前须知：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第二卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
四川省遂宁市2019-2020学年高二上学期期末考试数学理Word版含答案
遂宁市高中2019级第三学期教学水平监测数学（理科）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
总分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。
并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
）1．从遂宁市中、小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查．经了解，我市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是A．简单的随机抽样 B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样 D．系统抽样2A．平行 B．重合C．相交但不垂直 D．垂直3．图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第1次到第14次的考试成绩依图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图.那么程序框图输出的结果是A ．7B ． 8C ．9D ． 104．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自正方形内白色部分的概率是A ．34 B ．π18-C ．8πD ．π14-5．已知直线l m ，，平面βα，，且βα⊂⊥l m ，，给出下列命题： ①若βα//，则l m ⊥； ②若βα⊥，则l m //； ③若l m ⊥，则βα⊥； ④若l m //，则βα⊥. 其中正确的命题是A ．①④B ．③④C ．①②D ．②③6．供电部门对某社区1000位居民2020年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[)010，， [)1020，， [)2030，， [)3040，， []4050，五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是A ．12月份人均用电量人数最多的一组有400人B ．12月份人均用电量不低于20度的有500人C ．12月份人均用电量为25度D ．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[)3040，一组的概率为1107．已知,x y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤200x y y x ，则目标函数y x z +=从最小值连续变化到0时，所有满足条件的点(),x y 构成的平面区域的面积为A ．2B ．1C ．21 D ．41 8．已知矩形,4,3ABCD AB BC ==.将矩形ABCD 沿对角线AC 折成大小为θ的二面角B ACD --，则折叠后形成的四面体ABCD 的外接球的表面积是A ．9πB ．16πC ．25πD ．与θ的大小有关9．若点（5，b ）在两条平行直线6x -8y +1=0与3x -4y +5=0之间，则整数b 的值为A ．4B ．-4C ．5D ．-510．“微信抢红包”自2020年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元， 5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是 A ．103 B ．25 C ．21 D ．5311．如图，正方体1111ABCD A B C D -绕其体对角线1BD 旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是 A ．23π B ．34πC ．56π D ．35π 12．在直角坐标系内，已知(3,5)A 是以点C 为圆心的圆上的一点，折叠该圆两次使点A 分别与圆上不相同的两点（异于点A ）重合，两次的折痕方程分别为01=+-y x 和07=-+y x ，若圆上存在点P ，使得()0MP CP CN -=u u u r u u u r u u u rg ，其中点(,0)M m -、(,0)N m ，则m 的最大值为A ．7B ．6C ．5D ．4第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
四川省射洪县2020学年高二数学上学期期末模拟试题 理(无答案)
四川省射洪县2020学年高二数学上学期期末模拟试题 理（无答案） 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
总分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。
并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
）1．某学校有教职工150人，其中高级职称45人，中级职称90人，一般职员15人，现用分层抽样的方法抽取一个容量为10的样本，则各职称抽取的人数分别为A ．5,15,5B ．3,6,1C ．3,10,17D ．5,9,162．如右图，边长为3的正方形中有一张封闭曲线围成的笑脸.在正方形中随机撒一粒豆子，它落在笑脸区域的概率为23，则笑脸区域面积约为 A ．4 B ．23C ．6D ．无法计算 3．设有直线m 、n 和平面α、β. 下列四个命题中，正确的是A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α4．甲、乙两名同学在遂宁市5次体能测试中的成绩统计如右图的茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别是X 甲、X 乙,则下列结论正确的是A ．X 甲<X 乙；乙比甲成绩稳定B ．X 甲>X 乙；甲比乙成绩稳定C ．X 甲>X 乙；乙比甲成绩稳定D ．X 甲<X 乙；甲比乙成绩稳定5．如果直线l 将圆：x 2+y 2+2x －4y =0平分，且不过第一象限，那么l 的斜率取值范围是A ．[0，2]B ．（0，2）C ．（－∞，0）U （2，+∞）D ．（－∞，-2] 6. 方程()2242x y -=--表示的曲线是 A ．一个圆 B ．半圆 C ．两个圆 D ．两个半圆 7．如图，OABC 是四面体，G 是△ABC 的重心，1G 是OG 上一点，且13OG OG =，则A ．OC OB OA OG ++=1 B ．OC OB OA OG 9191911++=C ．OC OB OA OG 3131311++=D ．OC OB OA OG 4343431++= 8．已知方程224240x y x y ++--=，则22x y +的最大值是A ．65B ．35+C ．1465+D ．149．已知P 是直线0843=++y x 上的动点，,PA PB 是圆012222=+--+y x y x 的切线，,A B 是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是A ．22B ．42C ．6D ．不存在10．下图是遂宁市某校高中学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1、A 2、…、A 10（如A 2表示身高（单位：cm ）[150，155）内的学生人数）.右图是统计左图中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160~175cm(含160cm ，不含175cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A ．i<6B ．i<7C ．i<8D ．i<911．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，长为1的线段MN 的一个端点M 在棱1DD 上运动，点N 在正方形ABCD 内运动，则MN 中点P 的轨迹的面积为A ．2πB ．16πC ．8πD ．4π 12．如果直线1x ky =-与圆22:20C x y kx my p ++++=相交，且两个交点关于直线y x=对称，那么实数p 的取值范围为A ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B ．3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ C ．3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ D ．3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
四川省遂宁市2020-2021学年高二上学期期末数学理科试题
遂宁市高中2022届第三学期教学水平监测数学（理 科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 经过点(0,3)且倾斜角为0的直线方程为（ ） A. 3x = B. 3y = C. 3yxD. 23y x =+B根据倾斜角求出斜率，再利用点斜式即可求出. 直线倾斜角为0，故斜率为tan 00=， 则直线方程为()300y x -=⨯-，即3y =.故选：B. 2. 圆心为()3,4-，半径是2的圆标准方程为（ ） A. 22(3)(4)4x y ++-= B. 22(3)(4)4x y -++= C. 22(3)(4)2x y ++-= D. 22(3)(4)2x y -++=A根据圆的标准方程即可得结果.解：因为圆的圆心为()3,4-，半径为2，所以圆的标准方程为22(3)(4)4x y ++-=，故选：A.3. 已知直线1:260l ax y ++=和直线22:(1)10l x a y a +-+-=平行，则a 的值为（ ）A. 2B. 1-C. 2或1-D. 2-或1B根据两直线平行得211a a =-，再代入直线排除重合的情况. 因为两直线平行，所以211a a =-，得()12a a -=，解得：2a =或1a =-，当2a =时，1:30l x y ++=，2:30l x y ++=，此时两直线重合， 当1a =-时，1:260l x y --=，2:20l x y -=，此时两直线平行.故选：B 4. 下列茎叶图是两组学生五次作业得分情况，则下列说法正确的是（ ）A. 甲组学生得分的平均数小于乙组选手的平均数。
B. 甲组学生得分的中位数大于乙组选手的中位数。
C. 甲组学生得分的中位数等于乙组选手的平均数。
D. 甲组学生得分的方差大于乙组选手得分的方差。
D根据茎叶图分别求出甲乙两组得分的平均数、中位数和方差即可得出答案. 对A ，根据茎叶图可知7582838793845x ++++==甲，7783848591845x ++++==乙，故平均数相等，故A 错误；对B ，由茎叶图可知甲组学生得分的中位数为83，乙组选手的中位数为84，故甲组学生得分的中位数小于乙组选手的中位数，故B 错误；对C ，由AB 可得甲组学生得分的中位数小于乙组选手的平均数，故C 错误；对D ，()()()()()2222217584828483848784938435.25S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦甲， ()()()()()22222177848384848485849184205S ⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦乙，故甲组学生得分的方差大于乙组选手得分的方差，故D 正确.故选：D.5. 设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题，其中正确命题的序号是（ ）①若m α⊥，n β⊥，//αβ，则//m n ； ②若m αγ=，n βγ=，//m n ，则//αβ； ③若γα⊥，γβ⊥，则//αβ.④若//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； A. ①③ B. ②③C. ①④D. ③④C可以证明①④正确，由②③得到//αβ或者αβ，相交，所以这两个选项错误. ①若m α⊥，//αβ，所以,m β⊥又因为n β⊥，所以//m n ，所以该选项正确；②若m αγ=，n βγ=，//m n ，则//αβ或者αβ，相交，所以该选项错误； ③若γα⊥，γβ⊥，则//αβ或者αβ，相交，所以该选项错误；④若//αβ，//βγ，所以//αγ，因为m α⊥，所以m γ⊥，所以该选项正确.故选：C 方法点睛：关于直线平面位置关系命题的真假的判断，常用的方法有：（1）举反例法；（2）直接证明法.要根据已知条件灵活选择合适的方法判断证明.6. 某同学打算编织一条毛线围巾送给妈妈，决定从妈妈喜欢的白色､黄色和紫色中随机选择两种颜色的毛线编织，那么这条围巾是由白色､紫色两种颜色的毛线编织的概率是（ ） A. 14B.13C.12D.34B通过列举法求出所有基本情况数及满足要求的基本情况数，再由古典概型概率公式即可得解. 由题意，该同学选择的两种颜色的基本情况有： （白，黄），（白，紫），（黄，紫），共3种情况； 其中满足要求的基本情况有1种； 故所求概率13P =.故选：B.7. 设,x y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则z x y =+的最小值是（ ）A. 7-B. 2C. 3D. 5-B由约束条件可得可行域，将问题转化为y x z =-+在y 轴截距最小值的求解问题，利用数形结合的方法可得到结果.由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：由z x y =+得：y x z =-+，当z 取最小值时，y x z =-+在y 轴截距最小， 由图象可知：当y x z =-+过A 时，在y 轴截距最小， 又()2,0A ，min 202z ∴=+=.故选：B.方法点睛：线性规划问题中，通常有三种类型的最值或取值范围问题： （1）截距型：形如z ax by =+的形式，转化为a zy x b b=-+，将问题转化为直线在y 轴截距的求解问题；（2）斜率型：形如cy d z ax b +=+的形式，转化为d y c c b a x a+⋅+，将问题转化为(),x y 与,b d a c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线斜率的求解问题；（3）距离型：形如z Ax By C =++的形式，转化为2222Ax By C z A B A B ++=++(),x y 到直线0Ax By C ++=的距离的求解问题.8. 下图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（ ）A. 43πB. 623π+C. 12πD. 423π+C先分析由三视图还原的几何体为正三棱锥，然后还原为正方体，得到正方体的外接球的半径为3，利用球的表面积公式即可．由三视图还原后的几何体是一个正三棱锥（如图1所示），可以扩充还原为一个边长为2的正方体（如图2所示），且二者的外接球相同. 设外接球的半径为R ，则222222223R ++=所以该几何体外接球的表面积224(23)12S R πππ===.故选：C 多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面园半径法；(5)确定球心位置法． 9. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为126，则判断框内的条件可以为（ ）A. 5n ≤B. 6n ≤C. 7n ≤D. 8n ≤B根据框图，模拟程序运行即可求解. 根据框图，执行程序，12,2S n ==；1222,3S n =+=；⋯12222,1i S n i =++⋯+=+，令12222126i S =++⋯+=， 解得6i =，即7n =时结束程序， 所以6n ≤，故选 ：B本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，等比数列求和，属于中档题.genju 10. 3360x y -+=的倾斜角为α，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AC 与平面11BCC B 所成的角为β，若αβ=，则该长方体的体积为（ ） A. 2 B. 2C. 2D. 2A先根据直线倾斜角求得线面角β，再利用线面角定义构建关系求得长方体的高1CC ，最后利用体积公式计算即得结果. 3360x y -+=斜率为33k =，即3tan 3α=，故6πα=.故长方体1111ABCD A B C D -中，1AC 与平面11BCC B 所成的角为6πβ=，如图，AB ⊥平面11BCC B ，故1AC 在平面11BCC B 的投影为1BC ，故1AC 与平面11BCC B 所成的角为16AC B π∠=，故1Rt AC B △，11tan AB AC B BC ∠=，即131tan 63BC π==，故13BC =()222211312CC BC BC =-=-=该长方体的体积为11122V AB BC CC =⋅⋅=⨯=.故选：A. 求空间中直线与平面所成角的常见方法为： （1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.11. 直线10x y +-=与直线240x y --=交于点P ，则点P 到直线120()kx y k k R -++=∈的最大距离为（ ） A. 2 B. 2C. 5D. 4C根据联立直线的方程解出交点P ，再得出直线120()kx y k k R -++=∈的恒过点，从而求得最大距离得选项．由10240x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得21x y =⎧⎨=-⎩，所以()21P -，， 由120()kx y k k R -++=∈，得()210()k x y k R +-+=∈，令2x =-，1y =恒成立，所以直线120()kx y k k R -++=∈恒过点()21Q -，，所以点P 到直线120()kx y k k R -++=∈的最大距离为PQ ==选：C ．方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一（换元法）：根据直线方程的点斜式直线的方程变成()y k x a b =-+，将x a =带入原方程之后，所以直线过定点()a b ，；方法二（特殊引路法）：因为直线的中的m 是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取两个m 的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.12. 已知正方体1111ABCD A B C D -内切球的表面积为π，P 是空间中任意一点： ①若点P 在线段1AD 上运动，则始终有11C P CB ⊥； ②若M 是棱11C D 中点，则直线AM 与1CC 是相交直线； ③ 若点P 在线段1AD 上运动，三棱锥1D BPC -体积定值；④E 为AD 中点，过点1,B 且与平面1A BE 平行的正方体的截面面积为2⑤若点P 在线段1A B 上运动，则1AP PD + 以上命题为真命题的个数为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5C由已知求得正方体的棱长，对于①，连接1A D ，根据线面垂直的判定定理证得1CB ⊥平面11AC D ，可判断；对于②，假设直线AM 与1CC 是相交直线，推出A M ，，1C C ，四点共面，由此得出矛盾； 对于③，由已知得直线1AD 上所有点到平面1BC D 的距离相等，再根据等体积法，可判断；对于④，取BC 的中点G ，11A D 的中点F ，连接11,,,DG B G DF B F ，得出截面，再利用菱形的面积公式可判断；对于⑤，将1AA B 与四边形11A D CB 沿1A B 展开在同一个平面上，由两点间线段最短得出线段1AD 的长度即为1AP PD +的最小值，在11AA D 中，由余弦定理求得长度可判断．因为正方体1111ABCD A B C D -内切球的表面积为π，所以设该内切球的半径为R ，则24R ππ=，解得12R =，所以球的直径为1， 所以由下图知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，对于①，如下图，连接1A D ，所以11//B C A D ，又11A D AD ⊥，所以11B C AD ⊥，因为11C D ⊥平面11BCC B ，1CB ⊂平面11BCC B ，所以11C D ⊥1CB ，又1111C D AD D ⋂=，所以1CB ⊥平面11AC D ，因为点P 在线段1AD 上运动，所以1C P ⊂平面11AC D ，所以11C P CB ⊥，故①正确；对于②，如下图，假设直线AM 与1CC 是相交直线，则直线AM 与1CC 在同一个平面内，所以点A M ，，1C C ，四点共面，这与已知点A M ，，1C C ，不共面相矛盾，所以假设是错误的，故②不正确；对于③，如下图，由已知得11//B C A D ，所以直线1AD 上所有点到平面1BC D 的距离相等，又11D BPC P BDC V V --=，而1BDC S是一个定值，所以三棱锥1D BPC -体积为定值，故③正确；对于④，如下图，取BC 的中点G ，11A D 的中点F ，连接11,,,DG B G DF B F ，因为//BE GD ，111////B G DF A E ，所以四边形1DGB F 就是过点1,B 且与平面1A BE 平行的正方体的截面．221111513222DG B F GB DF DB GF ⎛⎫====+=== ⎪⎝⎭，，，所以四边形1DGB F 的面积为162322⨯⨯=，故④正确；对于⑤，如下图，将1AA B 与四边形11A D CB 沿1A B 展开在同一个平面上，由图知，线段1AD 的长度即为1AP PD +的最小值，在11AA D 中，由余弦定理得22121121+1cos13+25AD =-⨯⨯⨯=，故⑤正确，综上得，正确的命题有①③④⑤，故选：C ．方法点睛：本题考查空间中的动点问题，解决此类问题时，常需证明线线，线面，面面间的平行和垂直关系，从而得出点运动中，存在的不变的位置关系，存在着的面积，体积的定值． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知直线12:20,:230l x y l x ay +-=+-=，若12l l ⊥，则实数a =____2-根据斜率相乘为1-即可求出. 由题可知0a ≠，1:20l x y +-=的斜率为1-，2:230l x ay +-=的斜率为2a-， 若12l l ⊥，则()211a ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭，解得2a =-.故答案：2-.14. 某班有学生50人，现将所有学生按1,2,3,...,50随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本（等距抽样），已知编号为4,,24,,44a b 号学生在样本中，则a b +=____ 48利用系统抽样的性质求出,a b 的值即得解. 由于系统抽样抽出的编号是等差数列， 所以424244414,34,4822a b a b ++====∴+=. 故答案为：4815. 在区间11[,]22-上任取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为___22根据直线和圆的位置关系得到2244k -<<，根据几何概型公式计算得到答案. 因为圆心()0,0，半径1r =，直线与圆相交，所以2311kd k =<+，解得22k <<故相交的概率2244211222P⎛⎫-- ⎪⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故答案为：22.16. 过圆222:(1)(1)(0)M x y a a++-=≠的圆心M作曲线222:22(2)2430N x y tx t y t t+---+-+=的切线，切点分别为,P Q,则MP MQ⋅的最小值为____7先将曲线N的方程化为标准方程()[]22(2)1x t y t-+--=，得到(),2,1N t t r-=，求得MN，由切线长定理得到21MP MQ MN==-，再由MP MQ⋅21MN=-求解.圆222:(1)(1)(0)M x y a a++-=≠的圆心M()1,1-，曲线222:22(2)2430N x y tx t y t t+---+-+=的标准方程为：()[]22(2)1x t y t-+--=，则(),2,1N t t r-=，如图所示：则()[]2211(2)MN t t=--+--由切线长定理得：()[]2222111(2)1249MP MQ MN t t t t==-=--+---=-+所以()22249217MP MQ t t t⋅=-+=-+，所以MP MQ 的最小值为7 故答案为：7三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M GH ，的中点为N .（1）请将字母F G H ，，标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）； （2）证明：直线//MN 平面BDH . （1）见解析（2）证明见解析（1）根据正方体的平面展开图与原图的对应关系，标出,,F G H 点的坐标.（2）通过构造平行四边形，证得MN 与平面BDH 内的一条直线平行，由此证得直线//MN 平面BDH .（1）解：点F G H ，，的位置如图所示.（2）如图，连接BD ，设O 为BD 的中点，连接OH OM MN BH ，，，. 因为M N ，分别是BC GH ，的中点，所以//OM CD ，且12OM CD =，//HN CD ，且12HN CD =，所以//OM HN ，OM HN =.所以四边形MNHO 是平行四边形，从而//MN OH . 又MN ⊄平面BDH ，OH ⊂平面BDH ， 所以//MN 平面BDH .本小题主要考查线面平行的证明，考查正方体的展开图，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.18. 已知函数1()3x f x a -=+与直线l 均过定点A ，且直线l 在,x y 轴上的截距依次为m 和n . （1）若直线l 在,x y 轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）若直线l 分别与x 轴正半轴、y 轴正半轴交于,B C 两点，求直线与两坐标轴正半轴围成三角形COB 面积最小时直线l 的方程. （1）40x y -=或50x y +-=；（2）8（1）讨论0m n ==和0m n =≠两种情况即可求出；（2）设出直线方程，求出截距，即可表示出面积，再利用基本不等式即可求解. （1）14f ，∴定点()1,4A ，直线l 在,x y 轴上的截距相等，若0m n ==时，则直线l 过原点，设为y kx =，代入()1,4A 得4k =，故直线方程为4y x =，即40x y -=，若0m n =≠时，设直线为1x ym n+=，代入()1,4A 解得5m n ==，故直线方程为155x y +=，即50x y +-=，综上，直线l 的方程为40x y -=或50x y +-=； （2）由题可得直线斜率存在，设为k ，可得0k <， 则直线l 的方程为()41y k x -=-，令0x =，得4y k =-，令0y =，可得41x k=-，则三角形COB 面积()1411641822S k k k k ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0k <，0k ∴->，()()1616248k k k k ∴--=-+≥⨯=-，当且仅当16k k-=-，即4k =-时等号成立， 三角形COB 面积的最小值为()18882⨯+=.本题考查截距式方程的应用，解题的关键是正确理解截距式方程，注意考虑过原点的情况，这也是容易漏掉的地方.19. 2019年，受非洲猪瘟影响，全国猪肉价格大幅上涨.10月份全国居民消费指数（CPI ）同比上涨3.8%，创七年新高，其中猪肉价格成为推动居民消费指数上涨的主要因素之一.某学习调查小组为研究某市居民对猪肉市场的信心程度，对当地100名居民在未来一段时间内猪肉价格上涨幅度的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如图所示的频率分布直方图：（1） 求频率分布直方图中a 的值，并求猪肉价格上涨幅度的中位数； （2）将猪肉价格上涨幅度预期值在[)10,30和[)90,110居民分别定义为对市场“信心十足型”和“信心不足型”，现采用分层抽样的方法从样本中位于这两个区间的居民中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求所抽取的3人中有2人来自“信心十足型”的概率.（1）0.015a =，中位数为55；（2）35（1）由频率之和为1可求出a ，根据频率判断出中位数在[)50,70，再列出式子可求中位数； （2）由分层抽样的定义可知“信心十足型”居民抽取4人，“信心不足型”居民抽取2人，分别列出抽取3人的所有情况，得出有2人来自“信心十足型”的情况，即可求出概率. （1）由直方图知()0.0050.020.00750.0025201a ++++⨯=，解得0.015a =. 根据直方图可知上涨幅度预期值在[)10,50的频率为()0.0050.015200.40.5+⨯=<， 上涨幅度预期值在[)10,70的频率为()0.0050.0150.02200.80.5++⨯=>， 故可得猪肉价格上涨幅度的中位数在[)50,70，设为x ， 则()500.020.1x -⨯=，解得55x =；（2）（2）由题意，样本中，“信心十足型”型居民有0.0052020020⨯⨯=人. “信心不足型”型居民有0.00252020010⨯⨯=人. 由分层抽样的定义可知“信心十足型”居民抽取620430⨯=人，设为,,,A B C D “信心不足型”居民抽取610230⨯=人，设为,a b ， 则从这6人中随机抽取3名的情况有()()()()(),,,,,,,,,,,,,,A B C A B D A B a A B b A C D ，()()()()(),,,,,,,,,,,,,,A C a A C b A D a A D b A a b ,()()(),,,,,,,,B C D B C a B C b ， ()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,B D a B D b B a b C D a C D b C a b D a b ，共20种，其中有2人来自“信心十足型”的情况有()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,A B a A B b A C a A C b A D a()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,A D b B C a B C b B D a B D b C D a C D b ，共12种，所以所抽取的3人中有2人来自“信心十足型”的概率为123205=. 本题考查频率分布直方图的应用，考查古典概型概率计算，解题的关键是正确列出所有情况，做到不重不漏.20. 第十八届中国国际农产品交易会于11月27日在重庆国际博览中心开幕，我市全面推广“遂宁红薯”及“遂宁鲜”农产品区域公用品牌，并组织了100家企业、1000个产品进行展示展销，扩大优质特色农产品市场的占有率和影响力，提升遂宁特色农产品的社会认知度和美誉度，让来自世界各地的与会者和消费者更深入了解遂宁，某记者对本次农交会进行了跟踪报道和实际调查，对某特产的最满意度()%x 和对应的销售额y (万元)进行了调查得到以下数据：（1）求销量额y 关于最满意度x 的相关系数r ；我们约定：销量额y 关于最满意度x 的相关系数r 的绝对值在0.95以上(含0.95)是线性相关性较强；否则，线性相关性较弱.请你对线性相关性强弱作出判断，并给出理由；（2）如果没有达到较强线性相关，则采取“末位淘汰”制(即销售额最少的那一天不作为计算数据)，并求在剔除“末位淘汰”的那一天后的销量额y 关于最满意度x 的线性回归方程（系数精确到0.1）.参考数据：24x =，81y =，52215146i i x x =-=∑， 52215176i i y y =-=∑，515151i i i x y xy =-=∑，13.27≈≈.附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅.其回归直线方程 ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆ·ni ii nii x y nx y bxnx ==-=-∑∑，ˆa y bx=-，线性相关系数·ni ix y nx y r -=∑.（1）0.94r ≈，线性相关性较弱；（2） +77.3ˆyx = （1）代入线性相关系数r 公式即可得到答案，给出判断.（2）由（1）得到线性相关性较弱，淘汰销售额为75万元的数据，再利用最小二乘法求回归直线方程即可. （1）1510.9412.0813.27r ==≈⨯.因为0.940.95r ≈<，所以线性相关性较弱，（2）由（1）可得没有达到较强线性相关，则淘汰销售额为75万元的数据. 剔除数据后的25.25x '=，82.5y '=.4122783490258620768446i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，4425.2582.58332.5x y ''⋅=⨯⨯=，2241222223425202665ii x==+++=∑，2425.2525.252550.254x =⨯⨯='，所以84468332.5ˆ126652550.25b-=≈-，ˆ82.525.2577.3a y bx ''=-=-≈. 所以线性回归方程为 +77.3ˆyx =. 本题考查线性相关强弱的判断，考查最小二乘法求线性回归方程，解题的关键是正确处理数据，正确计算.21. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，090ACB ∠=，侧棱12AA =，点,,D E F 分别为棱11,,CC A B AB 的中点，ABD ∆的重心为G ，直线EG 垂直于平面ABD .（1）求证：直线//CF 平面1A BD ； （2）求二面角1A BD C --的余弦. (1)证明见解析；(2)6（1）证线面平行，直接找线线平行即可，构造平行四边形EFCD ，证明CF 平行于DE ，即可得到线线平行，进而得到线面平行．（2）建系，分别求出两个半平面的法向量，根据公式得到法向量的夹角，从而得到二面角的大小．(1) 连结 ,,DE EF FC ，则在三角形1A AB 中EF 为中位线，于是1//EF A A ，112EF A A =因为D 为1C C 中点，所以EF 平行且等于DC . 所以在平行四边形EFCD 中，CF 平行于DE 因为DE 在平面 1A BD 上，所以CF 平行于平面1A BD（2）分别以1,,CA CB CC 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系设CA a =，则()()()()11,0,0,0,,0,0,0,1,,0,2,,,1,,,22333a a a a A a B a D A a E G ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为EG 垂直于平面ABD ，所以有0,0EG AB EG AD ⋅=⋅=， 解得2a =，所以AB =面ABC 的法向量()0,0,1n =，面ABD 的法向量为112,,333EG ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭所以6cos ,3n EG=结合图形知，二面角1A BD C --的余弦为3-. 22. 已知线段RQ 的端点Q 的坐标是()4,3，端点R 在圆22(2)(3)16x y +++=上运动，线段RQ 中点的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）直线l 经过坐标原点，且不与y 轴重合，直线l 与曲线C 相交于1122(,),(,)M x y N x y 两点，求证：1211+x x 为定值；（3）已知过点(,3)P m -(0)m >有且只有一条直线与圆2210x y +=相切，过点P 作两条倾斜角互补的直线与圆2210x y +=交于,E F 两点，求,E F 两点间距离的最大值.（1）22(1)4x y-+=；（2）23-；（3）（1）设(),C x y ， ()00,R x y ，由两点的中点公式得出0024,23x x y y =-=-，再由点()00,R x y 在圆22(2)(3)16x y +++=上运动，代入可得曲线C 的方程；（2）设直线l 的方程为 y kx =，与圆的方程联立整理得22(1)230k x x +--=，由根与系数的关系得出1212,x x x x +，代入可求得1211+x x 为定值； （3）由已知得点P 在圆上，因此有当PE PE ⊥时，点,E F 两点间距离的最大，最大值为圆的直径．（1）设(),C x y ，因为C 为RQ 的中点，设()00,R x y ，所以004232x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以0024,23x x y y =-=-，又点()00,R x y 在圆22(2)(3)16x y +++=上运动，所以22(242)(233)16x y -++-+=，化简得22(1)4x y -+=，所以曲线C 的方程为22(1)4x y -+=；（2）设直线l 的方程为 y kx =，与曲线C 的方程22(1)4x y -+=联立，整理得22(1)230k x x +--=，所以12122223,11x x x x k k -+==++， 所以2212121221121331x x k x x x k x +++===--+，所以1211+x x 为定值23-； （3）因为过点(,3)P m -(0)m >有且只有一条直线与圆2210x y +=相切，所以点P 在圆上， 所以()22310m +-=，又0m >，解得1m =，所以(1,3)P -因为点E ，F 在圆上，所以当PE PE ⊥时，点,E F 两点间距离的最大，最大值为圆2210x y +=的直径．此时，设直线EF 的方程为 'y k x =，3344(,),(,)E x y F x y ，与圆2210x y +=联立，整理得'22(1)100k x +-=，所以34'234100,1x x x x k -+==+，又由已知得+0PE PF k k =，所以3434+3+3+011y y x x =--，代入解得13k =-（3k =-舍去，此时点P 在直线EF 上）， 此时(3,1),(3,1)E F ，()()1313113131PE PF k k -----====----，，满足题意， 所以,E F两点间距离的最大值为． 方法点睛：求轨迹的方法之相关点法的步骤：1．设出所求动点M 的坐标(),x y 与已知曲线上对应点P 的坐标00(,x y ）；(,x y）；2．用点M的坐标(),x y表示点P的坐标00(,x y）代入已知方程（点P所在的曲线方程）便可得所求曲线的方程．3．将点P的坐标0021。
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四川省遂宁市射洪中学2020高二上学期期末考试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题，共36分）和第Ⅱ卷（非选择题，共64分）两部分。
考试时间为60分钟。
满分为100分。
第Ⅰ卷（选择题 共36分）注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在机读卡上。
2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上。
3、考试结束后，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
）1.在“射洪歌唱达人”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别、，则下列判断正确的是A ．＜，乙比甲成绩稳定 B ． ＜，甲比乙成绩稳定C ．＞，甲比乙成绩稳定 D ． ＞，乙比甲成绩稳定 2.在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在l 上的投影，由区域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线0x y z +-=上的投影构成的线段记为AB ，则AB = A ．22B ．4 C ．32 D ．63．在ABC ∆内任取一点P ，则APB ABC ∆∆与的面积之比大于23的概率为 A. 13B.23C. 16D. 194.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1//A F 平面1D AE ，则1A F 与平面11BCC B 所成角的正切值t 构成的集合是A ．25235tt ⎧⎫⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎩ B ．2525t t ⎧⎫⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭C ．{}223t t ≤≤D ．{}222t t ≤≤5.设点()00,2M x x +，若在圆22:1O x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=o ，则0x 的取值范围是A. 2,0⎡⎤-⎣⎦B. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. []2,2-D. 33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6．在Rt △ABC 中，已知D 是斜边AB 上任意一点（如图①），沿直线CD 将△ABC 折成直二面角B ﹣CD ﹣A （如图②）．若折叠后A ，B 两点间的距离为d ，则下列说法正确的是图 ① 图 ② A ．当CD 为Rt △ABC 的中线时，d 取得最小值 B ．当CD 为Rt △ABC 的角平分线时，d 取得最小值 C ．当CD 为Rt △ABC 的高线时，d 取得最小值 D ．当D 在Rt △ABC 的AB 边上移动时，d 为定值第Ⅱ卷（非选择题 共64分）注意事项：1、请用0.5毫米黑色签字笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2、试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷题卡上作答的内容或问题。
二、填空题（本大题共3小题，每小题7分，共21分）。
7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于 ▲ ．8.设m R ∈，过定点A 的动直线230mx y m --+=和过定点B 的动直线10x my +-=相交于P 点（点P 与点A ，B 不重合），则PAB ∆的周长的最大值为于 ▲ .9. 已知实数1x ，2x ，1y ，2y 满足12121=+y x ，12222=+y x ，212121=+y y x x ，则21212211-++-+y x y x 的最大值为____________三、解答题（本大题共3小题，共43分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
）10.（本小题满分13分）2018年10月17日是我国第5个扶贫日，也是第26个国际消除贫困日。
射洪某企业员工共500人参加“精准扶贫”活动，按年龄分组：第一组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）下表是年龄的频数分布表，求正整数a ，b 的值；区间 [25，30） [30，35） [35，40） [40，45） [45，50]人数 50 50 a 150 b（3）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．▲11.（本小题满分14分）已知ABC ∆的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆圆心为H ．（1）求圆H 的方程；（2）若直线l 过点C ，且被圆H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（3）对于线段BH 上的任意一点P ，若在以C 为圆心的圆上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求圆C 的半径r 的取值范围.▲12.（本小题满分16分）在直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）111ABC A B C -中，以,AB BC 为邻边作平行四边形ABCD ，记线段11,CD A B 的中点分别为,P E ，连接,AE BP ，得到如图乙所示的几何体．又1,AB BC AB BC AA ⊥==．（1）若1AA a =，图甲给出了计算异面直线之间距离的一种算法框图（其中两异面直线的公垂线是指：与两异面直线都垂直且相交的直线），请利用这种方法求异面直线AE 和BP 间的距离；（2）若1AA a =，在线段1A C 上有一动点M ，过点M 作垂直于平面11A ACC 的直线l ，与直三棱柱111ABC A B C -的其他侧面相交于点N ，设CM x =，MN y =，求函数()y f x =的解析式，并据此求出线段MN 的长度的最大值． ▲理科数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 45 6 答案 AC D DAB二、填空题7.4532+ 8.222+ 9.23+三、解答题 10.解：（1）由题设可知，0.085500200a =⨯⨯=，0.02550050b =⨯⨯=. (3分) （2）根据频率分布直方图可得，平均年龄为 5.385)02.05.4706.05.4208.05.3702.05.3202.05.27(=⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x& 估计中位数：75.384.03.0535=⨯+. (8分) 开始计算异面直线AE ，BP 的公 垂线的一个方向向量n计算AP计算AP 在向量n 方向上 的投影n n AP ⋅计算异面直线AE ，BP 间的距离n nAP d ⋅=结束输出d 图甲图乙（3）因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为： 第1组的人数为1300506=⨯ 第2组的人数为1300506=⨯ 第3组的人数为43002006=⨯设第1组的1位同学为A ，第2组的1位同学为B ，第3组的4位同学为4321,,,C C C C ，则从六位同学中抽两位同学有：),(B A ，),(1C A ，),(2C A ，),(3C A ，),(4C A ，),(1C B ，),(2C B ，),(3C B ，),(4C B ，),(21C C ，),(31C C ，),(41C C ，),(32C C ，),(42C C ，),(43C C ，共15种可能。
其中2人年龄都不在第3组的有：),(B A ，共1种可能， 所以至少有1人年龄在第3组的概率为15141511=-. (13分) 11.解：（1）由题意，)2,3(),0,1(),0,1(C B A -，AB ∴的垂直平分线是0=x ，1:-=x y BC Θ，BC 中点是)1,2(，BC ∴的垂直平分线是3+-=x y ，由⎩⎨⎧+-==3x y x ，得到圆心是)3,0(，10=∴r ， ∴圆H 的方程为10)3(22=-+y x . (4分)（2）Θ弦长为2，∴圆心到l 的距离3=d .设2)3(:+-=x k y l ，则312332=++--=k k d ，34=∴k ，l ∴的方程234-=x y ； 当直线的斜率不存在时，3=x ，也满足题意。
综上，直线l 的方程是3=x 或0634=--y x ；(9分) （3）直线BH 的方程为033=-+y x ，设),(),10)(,(y x N m n m P ≤≤. 因为点M 是点N P ,的中点，所以)2,2(yn x m M ++，又N M ,都在半径为r 的圆C 上，所以⎪⎩⎪⎨⎧=-++-+=-+-222222)22()32()2()3(r y n x m r y x ， 即⎩⎨⎧=-++-+=-+-2222224)4()6()2()3(r n y m x r y x 因为该关于y x ,的方程组有解，即以)2,3(为圆心，r 为半径的圆与以)4,6(n m --为圆心，r 2为半径的圆相交，所以2222)2()42()63()2(r r n m r r +<+-++-<-，又033=-+n m ，所以2229101210r m m r <+-<对任意]1,0[∈m 成立。
而101210)(2+-=m m m f ，在[]1,0上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡10,532，又线段BH 与圆C 无公共点，所以222)233()3(r m m >--+-对任意[]1,0∈m 成立，即5322<r . 故圆C 的半径r 的取值范围为)5104,310[. (14分) 12.解：（1）由题意知四边形ABCD 为正方形，1,,AA AB AD ∴三线两两垂直，分别以AD 、AB 、1AA 为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系， 则由题意知)0,0,0(A ，),2,0(a a E ，)0,,0(a B ，)0,2,(aa P ， 设异面直线AE 与BP 的一个法向量为),,(z y x =， 则0,0=⋅=⋅，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+∴0202y a ax az y a，)1,2,1(-=∴，又)0,2,(aa =Θ， ∴异面直线AE 和BP 之间的距离：nn AP d ⋅=6++=a aa 36=(7分) （2）①当a x 230≤≤时， 把MN 向平面ABC 内正投影得到N M ''，如图2，则N M MN ''=， 1CA CA CM M C ='Θaa 32=36=x M C 36='∴ 在等腰直角三角形C N M ''中，x CM N M 36=='‘‘， x MN 36=∴， ∴当a x 230≤≤时，x y 36=. ②当a x a 323≤<时，把MN 向平面ABC 内正投影得到N M ''，如图3，则N M MN ''=， 11CA CA M A M A ='Θaa32=36=)3(36x a M A -='∴， 在等股直角三角形A N M ''中， )3(36x a M A N M -='=''， )3(36x a MN -=∴， ∴当a x a 323≤<时，)3(36x a MN -=. 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤=a x a x a a x x y 323),3(36230,36，∴当a x 23=时，a y 22max =. (16分)。