2016-2017学年高二(上)期中数学试卷(解析版)

2015-2016学年高二（上）期中数学模拟试卷一．填空题（本大题共13小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．）1．命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为．2．已知椭圆+=1的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，则△PF1F2的周长为．3．“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一）4．已知椭圆+=1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为．5．两平行直线3x﹣4y﹣3=0和6x﹣8y+5=0之间的距离是．6．如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是．7．已知两点A（﹣3，﹣4），B（6，3）到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值等于．8．“0＜a＜3”是“双曲线﹣=1（a＞0）的离心率大于2”的条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一）9．已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A在椭圆上，且|AF2|=6，则△AF1F2的面积是．10．已知椭圆﹣=1的离心率e=，则m的值为：．11．过直线y=2x上的一点P作⊙M：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1的两条切线l1，l2，A，B两点为切点．若直线l1，l2关于直线y=2x对称，则四边形PAMB的面积为．12．已知x∈R，若“4﹣2a≤x≤a+3”是“x2﹣4x﹣12≤0”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是．13．已知直线l的方程是x+y﹣6=0，A，B是直线l上的两点，且△OAB是正三角形（O为坐标原点），则△OAB外接圆的方程是．二、解答题14．若椭圆+=1与双曲线x2﹣=1有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点P（，y），求椭圆及双曲线的方程．15．设椭圆M的方程为： +=1．（1）求M的长轴长与短轴长；（2）若椭圆N的焦点为椭圆M在y轴上的顶点，且椭圆N经过点A（﹣，），求椭圆N的方程．16．已知p：4x2+12x﹣7≤0，q：a﹣3≤x≤a+3．（1）当a=0时，若p真q假，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．17．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆C的四个顶点所形成的四边形面积为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过椭圆C的下顶点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点M，N，设直线AM的斜率为k，直线l：y=x分别与直线AM，AN交于点P，Q，记△AMN，△APQ的面积分别为S1，S2，是否存在直线l，使得=？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，说明理由．18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C的长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．19．已知以点C（t，）（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．（Ⅰ）求证：△AOB的面积为定值；（Ⅱ）设直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M、N，若丨OM丨=丨ON丨，求圆C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设P、Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C的动点，求丨PB丨+丨PQ丨的最小值及此时点P的坐标．2015-2016学年高二（上）期中数学模拟试卷参考答案与试题解析一．填空题1．命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为∀x∈R，x2＞0．【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x∈R，x2≤0”的否定为：∀x ∈R，x2＞0．故答案为：∀x∈R，x2＞0．2．已知椭圆+=1的两个焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上一点，则△PF1F2的周长为18．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意知a=5，b=3，c=4，从而可得|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8．【解答】解：由题意作图如右图，∵椭圆的标准方程为+=1，∴a=5，b=3，c=4，∴|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8，∴△PF1F2的周长为10+8=18；故答案为：18．3．“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的必要不充分条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据椭圆的定义，求出m的范围，结合集合的包含关系判断充分必要性即可．【解答】解：若“方程+=1表示在y轴上的椭圆”，则，解得：1＜m＜，故“m＜”是“方程+=1表示在y轴上的椭圆”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．4．已知椭圆+=1上的点P到一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为7．【考点】椭圆的定义．【分析】椭圆的长轴长为10，根据椭圆的定义，利用椭圆上的点P 到一个焦点的距离为3，即可得到P到另一个焦点的距离．【解答】解：椭圆的长轴长为10根据椭圆的定义，∵椭圆上的点P到一个焦点的距离为3∴P到另一个焦点的距离为10﹣3=7故答案为：75．两平行直线3x﹣4y﹣3=0和6x﹣8y+5=0之间的距离是．【考点】两条平行直线间的距离．【分析】根据题意，将直线3x﹣4y﹣3=0化为6x﹣8y﹣6=0，利用平行线间的距离公式求解．【解答】解：3x﹣4y﹣3=0可化为6x﹣8y﹣6=0．∴两平行直线3x﹣4y﹣3=0和6x﹣8y+5=0之间的距离：d==．故答案为：．6．如果实数x，y满足等式（x﹣2）2+y2=3，那么的最大值是．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设，的最大值就等于连接原点和圆上的点的直线中斜率的最大值，由数形结合法的方式，易得答案．【解答】解：设，则y=kx表示经过原点的直线，k为直线的斜率．所以求的最大值就等价于求同时经过原点和圆上的点的直线中斜率的最大值．从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且与圆相切，此时的斜率就是其倾斜角∠EOC的正切值．易得，可由勾股定理求得|OE|=1，于是可得到，即为的最大值．故答案为：7．已知两点A（﹣3，﹣4），B（6，3）到直线l：ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值等于﹣或﹣．【考点】点到直线的距离公式．【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：∵两点A（﹣3，﹣4），B（6，3）到直线l：ax+y+1=0的距离相等，∴，化为|3a+3|=|6a+4|．∴6a+4=±（3a+3），解得或．故答案为：或．8．“0＜a＜3”是“双曲线﹣=1（a＞0）的离心率大于2”的充要条件．（填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”之一）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】双曲线双曲线﹣=1（a＞0）的离心率大于2，a＞0，可得e=＞2，解得0＜a＜3．即可判断出．【解答】解：双曲线双曲线﹣=1（a＞0）的离心率大于2，a＞0，可得e=＞2，解得0＜a＜3．∴“0＜a＜3”是“双曲线双曲线﹣=1（a＞0）的离心率大于2”的充要条件．故答案为：充要9．已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A在椭圆上，且|AF2|=6，则△AF1F2的面积是24．【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆方程求得离心率及右准线方程，根据椭圆的第二定义，求得A点横坐标，代入椭圆方程求得纵坐标，根据三角形面积公式△AF1F2的面积是•2c•|y A，即可求得△AF1F2的面积．【解答】解：椭圆+=1，a=7，b=2，c==5，由离心率e==，右准线方程为x==，|AF2|=ed=e（﹣x A）=a﹣ex A=6，即为7﹣x A=6，可得x A=，y A=±=±，则△AF1F2的面积是•2c•|y A|=5•=24．故答案为：24．10．已知椭圆﹣=1的离心率e=，则m的值为：﹣3或﹣．【考点】椭圆的简单性质．【分析】分两种情况加以讨论：当椭圆的焦点在x轴上时，椭圆离心率为e==，解之得m=﹣3；当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的离心率为e==，解之得m=﹣．最后综上所述，得到正确答案．【解答】解：将椭圆﹣=1化成标准形式为：①当椭圆的焦点在x轴上时，a2=5，b2=﹣m∴椭圆的离心率为e==，解之得m=﹣3②当椭圆的焦点在y轴上时，a2=﹣m，b2=5∴椭圆的离心率为e==，解之得m=﹣综上所述，可得m的值为：﹣3或﹣故答案为：﹣3或﹣11．过直线y=2x上的一点P作⊙M：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1的两条切线l1，l2，A，B两点为切点．若直线l1，l2关于直线y=2x对称，则四边形PAMB的面积为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】本题考查了直线和圆的有关问题，结合对称性，可以判断出MP和直线y=2x对称，利用切线长相等，可以求出两个全等的三角形的面积．【解答】解：直线l1，l2关于直线y=2x对称，所以PM与直线y=2x垂直，由点到直线的距离公式可得PM==，因为切线长相等，△PAM≌△PBM，所以四边形的面积为：2×．故答案为：．12．已知x∈R，若“4﹣2a≤x≤a+3”是“x2﹣4x﹣12≤0”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是a＞3．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先求出不等式x2﹣4x﹣12≤0的解集，再结合充分必要条件的定义得到不等式组，解出即可．【解答】解：解不等式x2﹣4x﹣12≤0得：﹣2≤x≤6，若“4﹣2a≤x≤a+3”是“x2﹣4x﹣12≤0”的必要不充分条件，则，解得：a＞3，故答案为：a＞3．13．已知直线l的方程是x+y﹣6=0，A，B是直线l上的两点，且△OAB是正三角形（O为坐标原点），则△OAB外接圆的方程是（x﹣2）2+（y﹣2）2=8．【考点】圆的标准方程．【分析】取AB中点D，连结OD，由已知得圆心在OD上，且半径为=2，由此能求出圆的方程．【解答】解：取AB中点D，连结OD，则D点坐标为（3，3），则OD=3，由已知得圆心在OD上，且半径为=2，∴圆心为（2，2），∴圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=8．故答案：（x﹣2）2+（y﹣2）2=8．二、解答题14．若椭圆+=1与双曲线x2﹣=1有相同的焦点，且椭圆与双曲线交于点P（，y），求椭圆及双曲线的方程．【考点】双曲线的标准方程；椭圆的标准方程．【分析】求出双曲线的两焦点坐标，即为椭圆的焦点坐标，即可得到m，b的值，然后根据椭圆的定义得到a，最后利用a，b，c的关系即可求出b的值，得到椭圆及双曲线的方程．【解答】解：由题意可知10﹣m=1+b，，，解得，m=1，b=8，所以椭圆的方程为；双曲线的方程为．15．设椭圆M的方程为： +=1．（1）求M的长轴长与短轴长；（2）若椭圆N的焦点为椭圆M在y轴上的顶点，且椭圆N经过点A（﹣，），求椭圆N的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）求出椭圆M的a，b，即可得到长轴长2a，短轴长2b；（2）求出椭圆M的短轴的顶点，可设椭圆N的方程为+=1（m＞n＞0），由焦点坐标和A点满足椭圆方程，解方程可得所求．【解答】解：（1）椭圆M的方程为： +=1的a=3，b=，可得M的长轴长为6，短轴长为2；（2）由椭圆M可得y轴上的顶点为（0，±），设椭圆N的方程为+=1（m＞n＞0），由题意可得，m2﹣n2=5，+=1，解得m=3，n=2，即有椭圆N的方程为+=1．16．已知p：4x2+12x﹣7≤0，q：a﹣3≤x≤a+3．（1）当a=0时，若p真q假，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．【分析】（1）将a=0代入q，求出x的范围即可；（2）根据集合的包含关系得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：由4x2+12x﹣7≤0，解得：﹣≤x≤，q：a﹣3≤x≤a+3．（1）当a=0时，q：﹣3≤x≤3，若p真q假，则﹣≤x＜﹣3；（2）若p是q的充分条件，则，解得：﹣≤x≤﹣，（“=”不同时取到）．17．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆C的四个顶点所形成的四边形面积为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过椭圆C的下顶点A作两条互相垂直的直线，分别交椭圆C于点M，N，设直线AM的斜率为k，直线l：y=x分别与直线AM，AN交于点P，Q，记△AMN，△APQ的面积分别为S1，S2，是否存在直线l，使得=？若存在，求出所有直线l的方程；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（1）由椭圆的离心率公式及菱形的面积公式求得a和b的值，可求得椭圆的方程；（2）利用椭圆方程及直线AM，AN的方程求得x M、x N、x P及x Q的值根据三角形面积公式求得k的值，求得直线方程．【解答】解：（1）由题意可知：e===，且2ab=4，且a2﹣b2=c2，解得a=2，b=，∴椭圆的标准方程：，（2）由（1）可知，A（0，﹣），则直线AM的方程为y=kx﹣，将直线方程代入椭圆方程得：消去并整理得：（3+4k2）x2﹣8kx=0，解得x M=，直线AN的方程y=﹣﹣，同理可得：x N=﹣，解得x P=k，同理可得x Q=﹣，∴==丨丨==，即3k4﹣10k2+3=0，解得k2=3或k2=，所以=或﹣，故存在直线l：y=x，y=﹣x，满足题意．18．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C的长轴长为4．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+与椭圆C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得：，解得a，b，c值，可得椭圆C的方程；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l 的方程y=kx+代入+x2=1，利用韦达定理，及向量垂直的充要条件，可求出满足条件的k值．【解答】解：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得：，解得所以b2=a2﹣c2=4﹣3=1，故所求椭圆C的方程为+x2=1．（2）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：设点A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l 的方程y=kx+代入+x2=1，并整理，得（k2+4）x2+2 kx﹣1=0．（*）则x1+x2=﹣，x1x2=﹣．因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以•=0，即x1x2+y1y2=0．又y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+3，于是﹣﹣+3=0，解得k=±，经检验知：此时（*）式的△＞0，符合题意．所以当k=±时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．19．已知以点C（t，）（t∈R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．（Ⅰ）求证：△AOB的面积为定值；（Ⅱ）设直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M、N，若丨OM丨=丨ON丨，求圆C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设P、Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C的动点，求丨PB丨+丨PQ丨的最小值及此时点P的坐标．【考点】圆的标准方程；两点间的距离公式．【分析】（Ⅰ）根据题意写出圆C的方程，整理后分别令y=0与x=0求出对应的x与y的值，确定出A与B坐标，求出三角形AOB面积，即可得证；（Ⅱ）根据|OM|=|ON|，得到O在MN的中垂线上，设MN中点为H，得到CH与MN垂直，进而确定出C，H，O共线，求出直线OC斜率，得到t的值确定出圆心C坐标，即可得到圆C的方程；（Ⅲ）找出B关于x+y+2=0的对称点B′坐标，利用三角形两边之和大于第三边求出|PB|+|PQ|的最小值，以及此时直线B′C的方程，即可求出交点P坐标．【解答】解：（Ⅰ）由题设知，圆C的方程为（x﹣t）2+（y﹣）2=t2+，化简得x2﹣2tx+y2﹣y=0，当y=0时，x=0或2t，则A（2t，0）；当x=0时，y=0或，则B（0，），=|OA|•|OB|=×|2t|×||=4为定值；∴S△AOB（II）∵|OM|=|ON|，∴原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k===，∴t=2或t=﹣2，∴圆心C（2，1）或C（﹣2，﹣1），∵当圆方程为（x+2）2+（y+1）2=5时，直线2x+y﹣4=0到圆心的距离d＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去；∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5；（Ⅲ）点B（0，2）关于直线x+y+2=0的对称点为B′（﹣4，﹣2），则|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|﹣r=﹣=3﹣=2，∴|PB|+|PQ|的最小值为2，直线B′C的方程为y=x，则直线B′C与直线x+y+2=0的交点P的坐标为（﹣，﹣）．2016年11月1日。