高二数学上学期试卷(附详细解释)
福建省高二上学期期末联考数学试题(解析版)
高中二年数学科试卷第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知空间向量，，且，则x =（ ）(2,1,3)a =- (2,,3)b x =-- a b ⊥A. 1B. -13C. 13D. -5【答案】B 【解析】【分析】由空间向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】因为，，且，()2,1,3a =- ()2,,3b x =-- a b ⊥所以， 490x ---=解得， 13x =-故选：B.2. 若直线l 的方向向量是，则直线l 的倾斜角为（ ）(e =A.B.C.D.π6π32π35π6【答案】B 【解析】【分析】由斜率与倾斜角，方向向量的关系求解【详解】由直线l 的方向向量是得直线(e =l设直线的倾斜角是， ()π0πtan 3αααα≤<=⇒=，故选：B.3. 已知椭圆的左右焦点分别为2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,F F 1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若的周长为8，则C 的方程为（ ）l 2AF B A A.B.C.D.221164x y +=2211612x y +=22143x y += 2214x y +=【答案】D【解析】【分析】由椭圆的定义知的周长为，结合已知条件求出，再由离心率求出，2AF B A 4a a c 进而求出，从而得出答案.b 【详解】由椭圆定义可得，， 122AF AF a +=122BF BF a +=又，11AF BF AB +=所以的周长， 2AF B A 224AB AF BF a ++=所以，故， 48a =2a =又 c e a ==c =所以1b ==所以椭圆C 的方程为.2214x y +=故选：D.4. 若一圆与两坐标轴都相切，且圆心在第一象限，则圆心到直线的距离为50x y -+=（ ）A.B.C. 5D. 3【答案】A 【解析】【分析】根据题意可设圆的方程为，且，代入点到直线的距222()()x a y a a -+-=0a >离公式即可求解.【详解】因为圆与两坐标轴都相切，且圆心在第一象限，则设圆心为，，(,)a a 0a >，r a =所以设圆的方程为且， 222()()x a y a a -+-=0a >则圆心到直线的距离为. d 故选：A5. 如图，已知正四棱锥的所有棱长均为1，E 为PC 的中点，则线段PA 上的P ABCD -动点M 到直线BE 的距离的最小值为（ ）A.B.C.D.1312【答案】D 【解析】【分析】方法一：建立空间直角坐标系，求向量在上的投影的大小，再求点M 到BM BE直线BE 的距离，由此可求其最小值.方法二：证明为异面直线的公垂线段，由此可求动点M 到直线BE 的距离的PE ,PA BE 最小值.【详解】连接，记直线的交点为，,AC BD ,AC BD O 由已知平面，，PO ⊥ABCD AC BD ⊥以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系， O ,,OA OB OP,,x y z 由已知， 1,1AB BC CD DA PA PB PC PD ========所以，12OA OC AC OB OP ======则，,,,,A B P C E ⎫⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭⎝⎭⎝⎝⎭⎝所以，，，BE ⎛= ⎝BA ⎫=⎪⎪⎭AP ⎛= ⎝ 设，则AM AP λ=()01λ≤≤，(1BM BA AM BA AP ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭ λλ所以在上的投影向量的模为，BM BEBM BE BE⋅==又BM ==所以动点M 到直线BE 的距离， d ==所以， d =所以当时，动点M 到直线BE 的距离最小，最小值为， 1λ=12故选：D.方法二：因为为等边三角形，为的中点，所以， PBC A E PC PE BE ⊥由已知，所以，1,1,PA PC AC ===222PA PC AC +=所以，PA PC ⊥所以为异面直线，的公垂线段， PE PA BE 所以的长为动点M 到直线BE 的距离最小值， PE 所以动点M 到直线BE 的距离最小值为， 12故选：D.6. 已知椭圆与抛物线有相同的焦点，点()2222:10y x C a b a b+=>>()220x py p =>F A是两曲线的一个公共点，且轴，则椭圆的离心率是（ ） AF y ⊥A.B.C.D.1211-【答案】C 【解析】【分析】分析可得，求得，设设椭圆的下焦点为，利用勾股定理可求2p c =2AF c =F '得，利用椭圆的定义可求得该椭圆的离心率的值. AF '【详解】易知点或，所以，，即， (),0F c 0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭2pc =2p c =将代入抛物线方程可得，则， 2py =x p =±2AF p c ==设椭圆的下焦点为，因为轴，则，F 'AF y ⊥AF由椭圆的定义可得， (2221a AF AF c c '=+=+=所以，椭圆的离心率为. 1c e a ===故选：C.7. 初中时通常把反比例函数的图像叫做双曲线，它的图像就是在圆锥曲线定(0)ky k x=≠义下的双曲线，只是因为坐标系位置的不同，所以方程的形式才不同，当K >0时只需把反比例函数的图像绕着原点顺时针旋转，便得到焦点在x 轴的双曲线的图形.所以也可以45 理解反比例函数的图像是以x 轴，y 轴为渐近线，以直线y =x 为实轴的等轴双曲线，那么当k =4时，双曲线的焦距为（ ）A. 8B. 4C. D.【答案】A 【解析】【分析】结合所给信息，可得旋转后，双曲线变为等轴双曲线，再由绕原点顺时针()2,2旋转所得坐标在等轴双曲线上可得等轴双曲线方程.【详解】由所给信息，可知旋转后双曲线以两条相互垂直的直线作为渐近线，则双曲线为等轴双曲线，设为.又注意到在函数图像上，其与原点连()222210x y a a a-=>()2,24y x =线与x 正半轴夹角为，则将点绕原点顺时针旋转后，该点落在x 正半轴，设o 45()2,2o 45为，因旋转前后到原点距离不变，则.()0m ,28m m =⇒=即将点绕原点顺时针旋转后，可得，则满足.()2,2o45()()22221x y a a-=可得双曲线方程为，则，则焦距为.22188x y -=4c ==28c =故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）8. 正四面体ABCD 中，棱长为a ，高为h ，外接球半径为R ，内切球半径为r ，AB 与平面BCD 所成角为，二面角A -BD -C 的大小为，则（ ）αβA. B. C.D.h =2R r=sin α=1cos 2β=【答案】AC 【解析】【分析】根据正四面体的性质结合外接球、内切球的性质以及线面、面面夹角逐项分析运算.【详解】取的中点，的中心，连接，BD M BCD △H ,,AH BH CM 对A ：∵为正四面体，则平面，故外接球的球心（也为内切球的球ABCD AH ⊥BCD O 心）在上， AH则21,,,33AM CM BH CH CM DM CM h AH ==========，A 正确；对B ：,OA OB R OH r R ====-∵平面，平面， AH ⊥BCD ,BH CM ⊂BCD ∴，,AH BH AH CM ⊥⊥故，即，解得， 222OB BH OH =+222R R ⎫⎫=+-⎪⎪⎪⎪⎭⎭R =故，则，B 错误；r ==3R r =对C ：由平面，可得AB 与平面BCD 所成角为， AH ⊥BCD ABH α=Ð故C 正确； sin sin AH ABH AB α=Ð==对D ：∵为的中点，且，则，M BD AB AD BC BD ===,AM BD CM BD ⊥⊥故二面角A -BD -C 的大小为，AMC β=∠在中，则，D 错误. Rt AHMA 1cos cos 3MH AMC AM β=∠===故选：AC.9. 已知等差数列的前n 项和为，且满足，公差，则（ ）{}n a n S 410a a =0d <A.B.C. 有最大值D.70a =130S >n S13(112,)n n S S n n N *-=≤≤∈【答案】ACD 【解析】【分析】首先根据已知条件得到，，，再依次判断选项即可得到40a >100a <4100a a +=答案.【详解】因为满足，公差，410a a =0d <所以，，且，即.40a >100a <410a a =-4100a a +=对选项A ，，即，故A 正确.410720a a a +==70a =对选项B ，，故B 错误.()()111133401313202S a a a a ++===对选项C ，因为，，所以，， 70a =0d <60a >80a <所以当或时，有最大值.故C 正确. 6n =7n =n S 对选项D ，因为当或时，取得最大值， 6n =7n =n S 所以，故D 正确. 13(112,)n n S S n n N *-=≤≤∈故选：ACD10. 已知抛物线的焦点F 到准线的距离为4，直线过点F 且与抛物线交22(0)y px p =>l 于A 、B 两点，若是线段AB 的中点，则（ ）(),2M mA. m =1B. p =4C. 直线的方程为D.l 24y x =-5AB =【答案】BC 【解析】【分析】根据抛物线的几何性质可判断B ；利用点差法求解得直线斜率，从而可判断C ；由点在直线上可求得m ，可判断A ；利用弦长公式可判断D. (),2M m l 【详解】由题知，，故B 正确； 4p =故抛物线方程为，28y x =设，易知，则1122(,),(,)A x y B x y 12x x ≠，由点差法可得 21122288y x y x ⎧=⎨=⎩1212128y y x x y y =-+-又是线段AB 的中点，所以，所以直线l 的斜率(),2M m 124y y +=12122y y x x --=因为直线l 过焦点，所以l 的方程为，即，C 正确； (2,0)F 02(2)y x -=-24y x =-将代入可得，A 错误；(),2M m 24y x =-3m =将代入得，所以，所以24y x =-28y x =2640x x -+=126x x +=，故D 错误.126410AB x x p =++=+=故选：BC11. 在数列中，若为常数），则称为“平方等差数列”.{}n a 221(2,,n n a a p n n p *--=≥∈N {}n a 下列对“平方等差数列”的判断，其中正确的为（ ） A. 是平方等差数列{}(2)n-B. 若是平方等差数列，则是等差数列{}n a {}2n a C. 若是平方等差数列，则为常数）也是平方等差数列{}n a {}(,,,n ka b k b k b *+∈N D. 若是平方等差数列，则为常数）也是平方等差数列{}n a {}(,,,kn b a k b k b *+∈N 【答案】BD 【解析】【分析】根据等差数列的定义，结合平方等差数列的定义逐一判断即可. 【详解】对于A ，当为奇数时，则为偶数，所以n ()1n -，()()()11122223·2n n n n n ------=-+=-当为偶数时，则为奇数，所以，n ()1n -()()()11122223·2n n n n n ------=+=即不符合平方等差数列的定义，故错误；{}(2)n-对于B ，若是平方等差数列，则为常数），即是首{}n a 221(2,,n n a a p n n p *--=≥∈N {}2n a 项为，公差为的等差数列，故正确；21a p 对于C ，若是平方等差数列，则为常数），{}n a 221(2,,n n a a p n n p *--=≥∈N 则，()()()()222221112n n nn n n ka b ka b kaa kb a a ---+-+=-+-即，()()()222112n n n n ka b ka b k p kb a a --+-+=+-当为等差数列时，，则为平方等差数列， {}n a 1n n a a d --={}n ka b +当不为等差数列时，则不为平方等差数列，故错误； {}n a {}n ka b +对于D ，因为是平方等差数列，所以{}n a ，()()222222121111+++++--=-==-= kn kn kn kn k n k n a a a a a a p 把以上的等式相加，得，()()()()()222222121111+++++--+-+⋯+-=kn kn kn kn k n k n a a a a a a kp ，则，即数列是平方等差数列，故正确； 22(1)k n kn a a kp +∴-=()221kn b k n ba a kp +++-={}knb a +故选:BD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．12. 在等差数列中，若，，则______{}n a 11a =2462a a =5a =【解析】【分析】根据已知先求公差，然后由通项公式可得.【详解】记等差数列的公差为，则有{}n a d 211(3)2(5)a d a d +=+又，所以，解得 11a =2(13)2(15)d d +=+d =所以 514a =+=13. 已知双曲线的渐近线方程为，且过点，则双曲线的标准方程为2y x =±()4________【答案】221416x y -=【解析】【分析】由双曲线的渐近线为，设双曲线方程为，代入点的2y x =±22(0)4y x λλ-=≠坐标即可求得.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以设双曲线方程为2y x =±22(0)4y x λλ-=≠，因为双曲线过点，代入解得，所以双曲线的方程为.()44λ=-221416x y -=故答案为：221416x y -=14. 将全体正奇数排成一个蛇形三角形数阵：按照以上排列的规律，记第行第个数为，如，若，则i j ,i j a 4,215a =,2023i j a =i j +=_____. 【答案】69 【解析】【分析】观察数阵的排列规律，先确定在数阵中的行的值，再确定在该行的2023i 2023项数，由此可求.j i j +【详解】观察可得数阵的第行排个数，m m 从第3行起，奇数行的数从左至右排列为公差为-2的等差数列， 偶数行的数从左至右排列为公差为2的等差数列，将数阵中的所有数从小到大排列记为数列，则， {}n b 21n b n =-令，可得， 2023n b =1012n =因为2023在数阵的第行，i 所以，， ()12311012i +++⋅⋅⋅+-<()12311012i i +++⋅⋅⋅+-+≥所以，，2220240,20240i i i i --<+->N i *∈所以，所以2023排在第45行，45i =前45行共排了个数，即1035个数， 12345+++⋅⋅⋅+所以第45 的最大数为，10352069b =将第45行的数从左至右排列记为，则， {}n c 12069c =所以，即， ()206921n c n =--20712n c n =-因为2023为数列的第项，故， {}n c j 207122023j -=所以，故. 24j =69i j +=故答案为：69.15. 如图，已知一酒杯的内壁是由抛物线旋转形成的抛物面，当放入一个22(0)x py p =>半径为1的玻璃球时，玻璃球可碰到酒杯底部的A 点，当放入一个半径为2的玻璃球时，玻璃球不能碰到酒杯底部的A 点，则p 的取值范围为______.【答案】 [)1,2【解析】【分析】根据题意分析可得：圆与只有一个交点，()2211x y +-=22(0)x py p =>()O A 圆与只有两个交点，分别联立方程分析运算.()()2242x y a a +-=>22(0)x py p =>【详解】如图，由题意可得：圆与只有一个交点，()2211x y +-=22(0)x py p =>()O A 联立方程，消去x 得，解得或，()222112x y x py⎧+-=⎪⎨=⎪⎩()2210y p y +-=0y =()21y p =-故，则，()210p -≤1p ≥圆与只有两个交点，()()2242x y a a +-=>22(0)x py p =>联立方程，消去x 得，()22242x y a x py⎧+-=⎪⎨=⎪⎩()22240y p a y a +-+-=∵，可得若有根，则两根同号，240a ->()22240y p a y a +-+-=根据题意可知：有且仅有一个正根，()22240y p a y a +-+-=故，则可得，解得，()()22Δ4440p a a a p ⎧=---=⎪⎨->⎪⎩422p a p p +=>02p <<综上所述：的取值范围为. p [)1,2故答案为：.[)1,2【点睛】方法点睛：在处理实际问题时，体现数形结合的思想，将图形转化为代数，这样交点转化为方程的根或函数的零点，利用方程或函数的知识分析求解.四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（共6大题，10分+12分+12分+12分+12分+12分，共70分）16. 在数列中，，点在直线x -y +3=0上.{}n a 515a =()()1,N n n a a n *+∈（1）求数列的通项公式；{}n a （2）为等比数列，且，记为数列的前n 项和，求. {}n b 1123,b a b a ==n T {}n b n T 【答案】（1）*3(N )n a n n =∈（2）. 3(31)2nn T =-【解析】【分析】(1)由条件根据等差数列定义证明数列为等差数列，结合等差数列通项公式求{}n a 其通项；(2)由条件求数列的首项和公比，根据等比数列求和公式求. {}n b n T 【小问1详解】 因为点在直线上，()()1,Nn n a a n *+∈30x y -+=所以，即， 130n n a a +-+=13n n a a +-=所以数列是以为公差的等差数列， {}n a 3d =因为，所以， 515a =14315a +⨯=故，13a =所以； *13(1)3(N )n a a n n n =+-=∈【小问2详解】设数列的公比为， {}n b q 由(1)知，11233,9b a b a ====所以，所以， 213b q b ==3n n b =所以. , 1(1)3(13)3(31)1132n n nn b q T q --===---17. 已知平行四边形的三个顶点坐标为、、.ABCD ()2,1A --()4,1B ()2,3C （1）求所在的直线方程； AD （2）求平行四边形的面积. ABCD 【答案】（1）30x y ++=（2） 16【解析】【分析】（1）分析可知，则，可求得直线的斜率，再利用点斜式//AD BC AD BC k k =AD 可得出直线的方程；AD （2）求出直线的方程，可计算得出点到直线的距离，并求出，再利用平BC A BC BC 行四边形的面积公式可求得结果. 【小问1详解】解：因为四边形为平行四边形，则，则， ABCD //AD BC 13142AD BC k k -===--所以，直线的方程为，即. AD ()12y x +=-+30x y ++=【小问2详解】解：直线的方程为，即，且BC ()14y x -=--50x y +-=，BC ==点到直线的距离为，A BC d所以，平行四边形的面积为.ABCD 16ABCD S BC d =⋅==A 18. 如图，点A （-2，1），B ，C 三点都在抛物线上，抛物线的焦点为F ，22(0)x py p =>且F 是的重心.ABC A（1）求抛物线的方程和焦点F 的坐标； （2）求BC 中点M 的坐标及线段BC 的长.【答案】（1）抛物线方程为，焦点坐标为；24x y =()0,1F（2），. ()1,1M BC =【解析】【分析】（1）由点A 在抛物线上可得抛物线方程，后可得焦点坐标；（2）设BC 直线方程为，将其与抛物线联立，结合韦达定理及重心坐标公式可y kx b =+得答案. 【小问1详解】因在抛物线上，则. ()2,1A -422p p =⇒=则抛物线方程为，焦点坐标为； 24x y =()0,1F 【小问2详解】设BC 线段所在直线方程为，将其与抛物线方程联立y kx b =+，由题. 224440x yx kx b y kx b⎧=⇒--=⎨=+⎩216160k b ∆=+>设，则由韦达定理.()()1122,，,B x y C x y 121244x x k x x b +==-，因F 是的重心，则，则BC 中点M 的坐标为ABC A 1212121220232113x x x x y y y y -++⎧=⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=++⎩⎪=⎪⎩，.又M 在直线上，则()12121122,,x x y y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭1422k k =⇒=y kx b =+，故.则 112k b b =+⇒=121222，x x x x +==-BC ==⋅=⋅=⋅=19.如图，等腰梯形中，，ABCD //,1,3,====⊥AB CD AB CD AD BC AE CD 沿AE 把折起成四棱锥，使得.DEA △D ABCE '-2D B '=（1）求证：平面平面； D BE '⊥D AC '（2）求点到平面的距离. A D BC '【答案】（1）证明见解析；（2）点到平面. A D BC '【解析】【分析】（1）先证明平面，由此证明，再证明，根据线D E '⊥ABCE D E AC '⊥BE AC ⊥面垂直判定定理证明平面，再根据面面垂直判定定理证明平面平面AC ⊥D BE 'D BE '⊥；D AC '（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量和，再由距离公式求解.D BC 'AB【小问1详解】因为，//,1,3,====⊥AB CD AB CD AD BC AE CD所以311,2DE AE -====所以，又，1D E '=2D B '=BE ==所以，故，222D B BE D E ''=+D E BE '⊥又，平面，， D E AE '⊥,AE BE ⊂ABCE AE BE E =I 所以平面，因为平面， D E '⊥ABCE AC ⊂ABCE 所以，D EAC '⊥在等腰梯形ABCD 中，，3AD AC DC ====所以， 222=AD AC CD +所以，又， AD AC ⊥//AD BE 所以，AC BE ⊥因为平面，， ,D E BE '⊂D BE 'D E BE E '= 所以平面，因为平面，AC ⊥D BE 'AC ⊂D AC '所以平面平面；D BE '⊥D AC '【小问2详解】由(1) 平面，，D E '⊥ABCE AE EC ⊥以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，E ,,EA EC ED ',,x y z 则，))()(),,0,0,1,0,2,0ABD C '所以，()()()0,1,0,,0,2,1AB BC D C '===-设平面的法向量为，则D BC '(),,n x y z =，所以， 00n BC nD C '⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩20y y z ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩令，则，x =2,4y z ==所以为平面的一个法向量，)2,4n =D BC '所以点到平面的距离为，A D BC'AB n d n⋅===20. 已知数列满足： {}n a 111,31nn n a a a a +==+（1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a （2）若，求数列的前n 项和.2nn nb a ={}n b n T 【答案】（1）证明见解析，；132n a n =-（2） 1(35)210n n T n ++=-【解析】【分析】(1)根据等差数列的定义即可证明数列是等差数列，并通过数列的通1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭项公式得到数列的通项公式；{}n a (2)因为，根据错位相减法即可求出数列的前项和．()322nn b n =-⋅{}n b n n T 【小问1详解】 因为， 131nn n a a a +=+所以， 又， 1311111133n n n n n n na a a a a a a ++-=-=+-=11a =所以数列是首项为1，公差为3的等差数列 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭所以， 11(1)332nn n a =+-⨯=-所以；132n a n =-【小问2详解】由(1)可知：， 2(32)2nn n nb n a ==-⋅， 231124272...(352(322n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅-+⋅）），23121242352322n n n T n n +=⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅-⋅（）+（）上面两式相减可得， 234123222...2322n n n T n +-=+⨯++++--⋅（（）），111=(35)134(12)23222102n n n n n -++⨯-=+---+--（）化简可得，1(35)210n n T n ++=-21. 把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱中底面长轴OO '，短轴长，为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦4AB A B ''==12,F F 2F '点，，P 为的中点，MN 为过点的下底面的一条动弦（不与AB 重合）.4AA '=BB '2F（1）求证：平面PMN12F F //'（2）求三棱锥的体积的最大值. 1P F MN -【答案】（1）证明见解析；（2）2 【解析】【分析】（1）由线线平行证线面平行；（2）由解析法，建立平面直角坐标系如图所示，，转为求O xy -1113P F MN F MN V S PB A -=⋅的最大值， 112F MN S MN d A =其中为弦长公式结合韦达定理求得，为到直线MN 的距离由点线距离公式求得. MN d 1F 最后讨论最值即可. 【小问1详解】由长轴，短轴长4AB A B ''==，∴分别OB 、的中点，12121OF OF OF OF ¢¢=====22F F ¢、OB '在柱体中，纵切面为矩形，连接，则，又，∴ABB A ''OB '21B F OF ¢¢A 211B F OF ¢¢==四边形为平行四边形，∴， 12FOB F ¢¢12OB F F ¢¢A ∵P 为的中点，，∴，BB '2F P OB ¢A 212F P F F ¢A ∵平面PMN ，平面PMN ，∴平面PMN ；2F P Ì12F F ¢Ë12F F //'【小问2详解】，1111233P F MN F MN F MN V S PB S A A -=⋅=建立平面直角坐标系如图所示，则底面椭圆为，，O xy -22143x y +=()21,0F 由题意知，直线MN 的斜率不为0，设为，，联立椭圆1x my =+()()1122,,,M x y N x y 方程可得， ()2234690m y my ++-=则，∴12122269,3434m y y y y mm +=-×=-++()22212134m MN y m +=-==+.又点到直线MN 的距离.()11,0F -d∴. 112F MNS MN d A ==∴.1123P F MNF MN V S A -===设，对，由，∴在上单调[)1,t +¥13y t t=+2130y t '=->13y t t=+[)1,+∞递增， ∴，此时.188211331P F MN V t t-=≤=++10t m =Þ=故三棱锥的体积的最大值为2.1P F MN -【点睛】圆锥曲线三角形面积问题，一般由弦长公式结合韦达定理求得一边长，再由点线距离公式求得高，从而表示出面积，作进一步讨论.。
高二数学上学期期末考试试题 理含解析 试题 10(共18页)
2021～2021学年度第一(dìyī)学期期末考试试题高二数学〔选修物理〕一、填空题．请把答案填写上在答题纸相应位置上．的渐近线方程是〔用一般式表示〕【答案】【解析】由题意得在双曲线中，，所以双曲线的准线方程为。
答案：的抛物线HY方程是_____.【答案】【解析】【分析】设抛物线HY方程为x2＝﹣2py，由焦点坐标公式可得p值，将p值代入抛物线方程即可得答案．【详解】抛物线的焦点为〔0，-5〕在y轴上，设抛物线的HY方程为x2＝﹣2py，那么有＝5，解可得p＝10，故抛物线HY方程为x2＝﹣20y；故答案为：x2＝﹣20y．【点睛】此题考察抛物线的HY方程，注意分析抛物线焦点的位置，进而设出抛物线的HY 方程．3.命题(mìng tí)“假设，那么〞的逆否命题为____.【答案】假设，那么【解析】【分析】根据逆否命题的定义进展求解即可．【详解】命题假设p那么q的逆否命题为假设￢q那么￢p，那么命题“假设，那么〞的逆否命题为：假设x2≤0，那么x≥0，故答案为：假设x2≤0，那么x≥0．【点睛】此题考察四种命题之间的关系，根据逆否命题的定义是解决此题的关键．，，且，那么的最大值是_____.【答案】1【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域，当直线z=x-y过点A〔1，0〕时，z最大值，最大值是1，考点：简单的线性规划，以及利用几何意义求最值．有公一共焦点且离心率为，那么其HY方程为_____.【答案】【解析(jiě xī)】【分析】求出椭圆的焦点坐标得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的离心率，求解a，c，得到b，即可求出双曲线方程．【详解】双曲线与椭圆有公一共焦点，可得c＝5，双曲线的离心率为，可得a＝3，那么b＝4，那么该双曲线方程为：．故答案为：．【点睛】此题考察椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考察计算才能．，那么_____.【答案】3【解析】【分析】对函数求导，将x=代入即可得到答案.【详解】f’(x)=2cos2x+，那么故答案为：3【点睛】此题考察导数公式的应用，考察计算才能.的极小值是______.【答案】【解析】【分析(fēnxī)】求函数的导数，由f’(x)＞0，得增区间，由f’(x)＜0，得减区间，从而可确定极值．【详解】函数，定义域为,那么f’(x)＝x-，由f’(x)＞0得x＞1，f〔x〕单调递增；当x＜0或者0＜x＜1时，f’(x)＜0，f〔x〕单调递减，故x＝1时，f〔x〕取极小值故答案为：【点睛】此题考察导数的运用：求单调区间和求极值，注意判断极值点的条件，考察运算才能，属于根底题．8.，，假设是的必要不充分条件，那么实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义转化为对应关系进展求解即可．【详解】x2﹣〔a+1〕x+a≤0即〔x﹣1〕〔x﹣a〕≤0，p是q的必要不充分条件，当a＝1时，由〔x﹣1〕〔x﹣1〕≤0得x＝1，此时不满足条件，当a＜1时，由〔x﹣1〕〔x﹣a〕≤0得a≤x≤1，此时不满足条件．当a＞1时，由〔x﹣1〕〔x﹣a〕≤0得1≤x≤a，假设p是q的必要不充分条件，那么a＞3，即实数a的取值范围是〔3，+∞〕，故答案(dá àn)为：〔3，+∞〕【点睛】此题主要考察充分条件和必要条件的应用，根据定义转化为不等式的包含关系是解决此题的关键.是曲线的一条切线，那么实数的值是_____.【答案】1【解析】【分析】设出切点坐标P〔x0，e x0〕，利用导数的几何意义写出在点P处的切线方程，由直线y＝x+b 是曲线y＝e x的切线，根据对应项系数相等可求出实数b的值．【详解】∵y＝e x，∴y′＝e x，设切点为P〔x0，e x0〕，那么在点P处的切线方程为y﹣e x0＝e x0〔x﹣x0〕，整理得y＝e x0x﹣e x0•x0+e x0，∵直线是y＝x+b是曲线y＝e x的切线，∴e x0＝1，x0＝0，∴b＝1．故答案为：1．【点睛】此题考察导数的几何意义，考察曲线在某点处的切线方程的求法，属于根底题.10.是椭圆上一点，，为椭圆的两个焦点，那么的最大值与最小值的差是_____.【答案】1【解析】试题(shìtí)分析：设P〔x0，y0〕，|PF1| =2+x0，|PF2| =2-x0，∴|PF1|•|PF2|=4-x02，，∴|PF1|•|PF2|的最大值是4，最大值是3，的最大值与最小值之差1。
高二数学上学期期末考试试题含解析_1 2(共15页)
HY 疏勒县八一(b ā y ī)中学2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题〔含解析〕一．选择题〔答案请写在答题框内〕 1.集合，，那么A.B.C.D.【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得：集合，所以，应选择C考点：集合的运算 2.函数y =+的定义域为〔 〕A.B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】 函数有意义，要求【详解】函数()1233f x x x =-+-有意义，要求故答案(dá àn)为：C.【点睛】这个题目考察了详细函数的定义域问题，对于函数定义域问题，首先分式要满足分母不为0，根式要求被开方数大于等于0，对数要求真数大于0，幂指数要求底数不等于0即可. 3.函数的单调递增区间为( ) A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性满足“同增异减〞的结论求解即可． 【详解】由可得或者， ∴函数的定义域为． 设，那么在上单调递减，又函数为减函数，∴函数在(),2-∞-上单调递增，∴函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞-． 应选D ．【点睛】〔1〕复合函数单调性满足“同增异减〞的结论，即对于函数来讲，它的单调性依赖于函数和函数的单调性，当两个函数的单调性一样时，那么函数()()y f g x =为增函数；否那么函数()()y f g x =为减函数．〔2〕解答此题容易出现的错误(cuòwù)是无视函数的定义域，误认为函数的单调递增区间为(),0-∞． 4.，那么的值是( ) A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】 先化简得，再求cos α的值.【详解】由题得1sin =2α-，所以在第三、四象限，所以.应选：D【点睛】此题主要考察诱导公式和同角的平方关系，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.的图象，只需要将函数的图象〔 〕A. 向左平移个单位B. 向右平移12π个单位C. 向左平移(pínɡ yí)3π个单位 D. 向右平移3π个单位 【答案】B 【解析】 因为函数，要得到函数的图象，只需要将函数4y sin x =的图象向右平移12π个单位。
高二数学上学期期末考试试题含解析(共19页)
镇海中学(zhōngxué)2021学年第一学期期末考试高二年级数学试卷第I卷〔选择题〕一、选择题.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.，，那么〔〕A. B. C. D.或者【答案】C【解析】【分析】求解出集合的取值范围，利用交集定义求解.【详解】由得：或者，即或者那么此题正确选项：【点睛】此题主要考察集合运算中的交集运算，属于根底题.，，那么〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据(gēnjù)单调性，可得，再验证可得最终结果.【详解】在上单调递增，即又又此题正确选项：【点睛】此题考察与对数函数有关的比拟大小类问题，属于根底题.在点〔1，0〕处切线的倾斜角为，那么〔〕A. 2B.C. -1D. 0 【答案】A【解析】【分析】求导得，代入，可得切线斜率，即的值.【详解】由题意得：代入，可得切线斜率又，得此题正确选项：【点睛】此题考察导数的几何意义、直线斜率与倾斜角的关系，属于根底题.R上的函数的图像是连续的，且其中的四组对应值如下表，那么在以下区间中，函数不一定存在零点的是〔〕x 1 2 3 53 -1 2 0A. B. C. D.【答案(dá àn)】D【解析】【分析】根据零点存在定理，依次判断各个选项。
又为的子集，那么区间有零点，那么区间也必有零点；上有零点，那么上必有零点；由此可得结果.【详解】由题意可得：在上必有零点又，在上必有零点在上必有零点又，在上必有零点在上不一定存在零点此题正确选项：【点睛】此题主要考察零点存在定理，关键在于需要明确当，不能得到区间内一定无零点的结论，需要进一步判断.，假设，那么〔〕A. 1B. -1C. -2D. 3【答案】B【解析(jiě xī)】【分析】判断的奇偶性，通过奇偶性求得函数的值.【详解】由题意得：即定义域为，关于原点对称又可得：为奇函数此题正确选项：【点睛】此题考察通过函数奇偶性求函数值。
河南省高二上学期期末考试理科数学试题(解析版)
高二数学试卷（理）本试卷共4页，共150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若直线经过点和，则直线l 的倾斜角为（） l (0,A.B.C.D.2π33π4π3π4【答案】D 【解析】【分析】由斜率公式求出直线的斜率，利用倾斜角与斜率的关系求解. l【详解】设直线的斜率为，且倾斜角为，则，l k α1k ==则，而，故， tan 1α=[)0,πα∈π4α=故选：D.2. ，则6是这个数列的（） A. 第6项 B. 第12项C. 第18项D. 第36项 【答案】C 【解析】【分析】利用数列的通项公式求解.的通项公式为，n a =令解得，6n a ==18n =故选:C.3. 若双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，且焦点在x 轴上，则双曲线的标准方2y x =±程为（）A. 或B.C.2214y x -=221164y x -=221164y x -=D.2214y x -=2214x y -=【答案】C 【解析】【分析】根据双曲线的性质求解.【详解】由题可得解得，224ba b ⎧=⎪⎨⎪=⎩12a b =⎧⎨=⎩所以双曲线的标准方程为.2214y x -=故选:C. 4.如图，线段AB ，BD 在平面内，，，且αBD AB ⊥AC α⊥，则C ，D 两点间的距离为（）4312AB BD AC ===，，A19 B. 17 C. 15 D. 13【答案】D 【解析】【分析】根据线面垂直的性质定理结合勾股定理求解.【详解】连接，因为，所以,AD BD AB⊥5AD ==又因为，,所以， AC α⊥AD α⊂AC AD ⊥所以,13CD ==故选:D.5. “”是“曲线表示椭圆”的（）01t <<2211x y t t+=-A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据曲线表示椭圆，可求得t 的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案.【详解】因为曲线为椭圆，2211x y t t+=-所以，解得且，101t t t t>⎧⎪->⎨⎪≠-⎩01t <<12t ≠所以“”是“且”的必要而不充分条件. 01t <<01t <<12t ≠故选：B6. 设，向量，且，则,,x y z ∈R (,1,1),(1,,),(2,4,2)a x b y z c ===- ,a c b c ⊥∥（）||a b c ++=A.B.C. 3D. 9【答案】A 【解析】【分析】由向量的关系列方程求解的值，结合向量的模的公式计算得出结果.,,x y z 【详解】向量，且，(,1,1),(1,,),(2,4,2)a x b y z c ===- ,a c b c ⊥∥∴，解得， 24201242a c x y z⋅=-+=⎧⎪⎨==⎪-⎩1,2,1x y z ==-=∴ (1,1,1),(1,2,1),(2,4,2)a b c ==-=-∴，(4,5,4)a b c ++=-∴.||a b c ++==故选：A ．7. 如果实数x ，y 满足，则的取值范围是（） 22(1)(1)2x y -+-=11y x -+A.B.C.D.[1,1]-(1,1)-,1(),)1(-∞-⋃+∞(,1][1,)∞∞--⋃+【答案】A 【解析】 【分析】表示上的点与点连线的斜率,画出图形11y x -+22(1)(1)2x y -+-=(),P x y ()1,1A -即可求解.【详解】表示圆心为的圆，22(1)(1)2x y -+-=()1,1C 表示上的点与点连线的斜率. 11y x -+22(1)(1)2x y -+-=(),P x y ()1,1A -易知直线平行轴，且 AC x 2,AC =当直线为圆的切线时，，,AP C PC =AP =故，此时直线的斜率为1， 45PAC ∠=︒AP 由对称性及图形可得. []11,11y x -∈-+故选:A.8. 设抛物线，点为上一点，过点作轴于点，若点，则2:4C x y =P C P PQ x ⊥Q (4,2)A 的最小值为（）PQ PA +A.B.C. 4D. 51-1【答案】B 【解析】【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，由抛物线的定义可知，1PQ PF =-则，即可得解.11PQ PA PF PA AF +=+-≥-【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，由抛物线的定义可知2:4C x y =()0,1F 1y =-，1PQ PF =-所以，1111PQ PA PF PA AF +=+-≥-=-=-当且仅当、、三点共线（在之间）时取等号.A P F P AF故选：B9. 某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年10%年底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，即，{}n c 11200c =则大约为（）10c （参考数据：） 8910111.1 2.144,1.1 2.358,1.1 2.594,1.1 2.853≈≈≈≈A. 1429 B. 1472C. 1519D. 1571【答案】B 【解析】【分析】可以利用“每年存栏数的增长率为”和“每年年底卖出100头”建立与10%1n c +的关系，利用待定系数法证得是等比数列，从而求得，进而求得．n c {}1000n c -n c 10c 【详解】由题意，得，并且， 11200c =1 1.1100n n c c +=-令，化成， 1()n n c r k c k +=--1n n c rc rk k +=-+所以，解得，1.1100r k rk =⎧⎨-=-⎩ 1.11000r k =⎧⎨=⎩所以，()11000 1.11000n n c c +-=-所以是以为首项，为公比的等比数列， {}1000n c -200 1.1则，11000200 1.1n n c --=⨯1200 1.11000n n c -=⨯+所以. 910200 1.110001472c =⨯+≈故选：B.10. 过定点M 的直线与过定点N 的直线交于点A （A 与20tx y ++=240x ty t -+-=M ，N 不重合），则面积的最大值为（） AMN A A. B.C. 8D. 16【答案】C 【解析】【分析】根据题意分析可得点A 在以为直径的圆上，结合圆的性质求面积的MN AMN A最大值.【详解】对于直线，即， 20tx y ++=()20tx y ++=可得直线过定点，20tx y ++=()0,2M -对于直线，即， 240x ty t -+-=()()420x t y ---=可得直线过定点，240x ty t -+-=()4,2N ∵，则直线与直线垂直，即， ()110t t ⨯+⨯-=20tx y ++=240x ty t -+-=AM AN ⊥∴点A 在以为直径的圆上，且，MNMN ==由圆的性质可知：面积的最大值为.AMN A 218224MN MN MN ⨯⨯==故选：C.11. 已知数列满足，且{}na ()*11,(02,a m m m =--=≥∈N，则数列的前18项和为（） ()*2πsin3n n n a b n =∈N {}n b A.B.C.D.3-54---【答案】D 【解析】【分析】利用数列的递推公式，结合累乘法，求得其通项公式，根据三角函数的计{}n a 算，求得数列的周期，整理数列的通项公式，利用分组求和，可得答案. 2sin3n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n b【详解】由，则， (10m --=()2211m m m aa m --=即， ()()()2223212222121213111123n n n n aa a a a a a a n n ----=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= 显然，满足公式，即， 12111a ==21n a n =当时，时，；当时，； 1n =2sin3π=2n =4sin 3π=3n =sin 20π=当时，，当时，时，； 4n =8sin3π=5n =10sin 3π=6n =sin 40π=则数列是以为周期的数列，由，则， 2sin3n π⎧⎫⎨⎬⎩⎭32sin 3n n n a b π=22sin 3nn b n π=设数列的前项和为，{}n b n n S 1812318Sb b b b =++++22222212304560⎛⎛=+⨯+⨯++⨯+⨯+⎝⎝ 2221617180⎛++⨯+⨯ ⎝)22222212451617=-+-++- ()()()()()()1212454516171617=-++-+++-+⎤⎦)391533=++++ ()33362+⨯==-故选：D.12. 已知是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，以12,F F 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>1FO 为直径的圆与双曲线C 的一个交点为A ，以为直径的圆与双曲线C的一个交点为B ，12F F 若，A ，B恰好共线，则双曲线C 的离心率为（） 1F A.B.C. D. 3【答案】B 【解析】【分析】设，在中，根据余弦定理可得，根12F BF α∠=12BF F △21221cos b BF BF α=-据三角形面积公式可得，设,,则122tan2BF F b S α=△1AF AB m ==22BF n =，从而可得，，代入，结合()()122222222122tan 45222BF F m n a b S m n m n m a ⎧-=⎪⎪==⨯⨯⎨︒⎪⎪+=+⎩A 2n a =3m a =22mn b =及离心率公式即可求解.222b c a =-【详解】设，因为在双曲线上，故.12F BF α∠=B 122BF BF a -=由余弦定理可得2221212122cos F F BF BF BF BF α=+-，()()2121221cos BF BF BF BF α=-+-所以. ()()()2221222221cos 1cos c a b BF BF αα-==--所以 122221222sincos1sin 22sin 21cos tan112sin 22BF F b b bS BF BF ααααααα====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭△由题意可得与为直角三角形，所以. 1AOF △12BF F △1290F BF ∠=︒因为是的中点，所以是的中点. O 12F F A 1BF 设,,则.1AF AB m ==22BF n =22AF m a =+所以. ()()122222222122tan 45222BF F m n ab S m n m n m a ⎧-=⎪⎪==⨯⨯⎨︒⎪⎪+=+⎩A 2222444m n a mn b n a am -=⎧⎪⇒=⎨⎪=+⎩故()()22444n m n m n m =-+-⇒22222n m mn n m mn =-++-. ⇒2230m mn -=⇒32m n =所以,解得，. 32n n a -=2n a =3m a =所以,可得，故. 222232a ab c a ⨯⨯==-2213c a =ce a==故选：B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 直线与直线之间的距离为_____________． 1:220l x y ++=2:2410l x y +-=【解析】【分析】确定两直线是平行直线，故可根据平行线间的距离公式求得答案. 【详解】直线可化为， 2:2410l x y +-=21202l x y +-=：则直线与直线平行1:220l x y ++=2:2410l x y +-=故直线与直线之间的距离为， 1:220l x y ++=2:2410l x y +-=d ==. 14. 设、分别在正方体的棱、上，且，E F 1111ABCD A B C D -AB CD 13BE EA =，则直线与所成角的余弦值为_____________． 13DF FC =1B E 1D F 【答案】1517【解析】【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成D 1B E 1D F 角的余弦值．【详解】、分别在正方体的棱、上，且，E F 1111ABCD A B C D -AB CD 13BE EA =， 13DF FC =如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，D设，则，，，，4AB =()14,4,4B ()4,3,0E ()10,0,4D ()0,1,0F，，()10,1,4B E =-- ()10,1,4D F =-设直线与所成角为， 1B E 1D F θ则直线与所成角的余弦值1B E 1D F ．11111115cos cos ,17B E D F B E D F B E D Fθ⋅====⋅ 故答案为：． 151715. 已知，是椭圆：（）的左，右焦点，A 是椭圆的左1F 2F C 22221x y a b+=0a b >>C 顶点，点在过A 的直线上，为等腰三角形，，则P 12PF F △12120F F P ∠=︒椭圆的离心率为______. C 【答案】##0.5 12【解析】【分析】结合图像，得到，再在中，求得，，22PF c =2Rt PF QA PQ =2F Q c =从而得到，代入直线可得到，由此可求得椭圆的离心率. ()2P c AP 2a c =C 【详解】由题意知，直线的方程为：()()()12,0,,0,,0A a F c F c --AP ()y x a =+，由为等腰三角形，，得，12PF F △12120F F P ∠=︒2122PF F F c ==过作垂直于轴，如图，则在中，， P PQ x 2Rt PF Q A 218012060PF Q∠=︒-︒=︒故，， 22sin 2PQ PF PF c Q =∠==2221cos 22F Q PF P c Q F c =∠=⨯=所以，即，()P c c+()2P c 代入直线，即， ):AP y x a =+()2a c =+2a c =所以所求的椭圆离心率为. 12c e a ==故答案为：.12.16. 首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n 项和为，现有下列4个命题： {}n a n S ①也是等差数列；23,,,n n n S S S ②数列也是等差数列； n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭③若，则时，最大；15160,0S S ><8n =n S ④若的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列{}n a 的项数是19．其中所有真命题的序号是_____________．【答案】②③④【解析】【分析】对①，由等差中项性质判断；对②，求出数列的通项公式即可判断； n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭对③，由结合解析式化简得，由定义即可判断； 15160,0S S ><890,0a a ><n S 对④，设项数为，根据求和公式列方程组解得参数，即可判断.*21,k k +ÎN 【详解】设数列的公差为d ，，首项为，则，{}n a 0d ≠10a >()11n a a n d +-=， ()12121222n S n a n d n d d n a ⎡⎤+-⎛⎫⎣⎦==+- ⎪⎝⎭对①，23222111942322222222n n n S d d d d d d S n S a n n a n n a n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-++--+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣+⎝⎭⎦，∴不是等差数列，①错； 20dn =≠23,,,n n n S S S 对②，，则数列为首项，公差为的等差数列，②对； ()112n S d a n n =+-⋅n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1a 2d 对③，∵，，∴，10a >15160,0S S ><0d <，()151881015750S d a a a =+=>⇒>， 9169115161602022S d a d d a a ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎭<⇒<⎪⎭⎝<⎝∴由定义可知，时，最大，③对；n S 8n =n S 对④，由题意可设的项数为，{}n a *21,k k +ÎN 则所有奇数项组成的数列为首项，公差，项数为的等差数列，故所有奇数项的1a 2d 1k +和为，[]()()()1122112902a k d k a kd k +⋅+=++=所有偶数项组成的数列为首项，公差，项数为的等差数列，故所有偶数项的和1a d +2d k 为.()()()112122612a d k d ka kd k ⎡⎤++-⋅⎣⎦=+=两式相除得，∴数列的项数是19，④对. 12909261k k k +=Þ=故答案为：②③④.三、解答题：本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知是数列的前项和，且，，设． n S {}n a n 24S =416S =n n S b n =（1）若是等比数列，求；{}n b 10b （2）若是等差数列，求的前项和，{}n a {}n b n n T 【答案】（1）1032b =（2） (1)2n n n T +=【解析】【分析】（1）由等比数列的通项公式的求法求解即可；（2）由等差数列的通项公式的求法，结合公式法求数列的前项和即可．n 【小问1详解】解：已知是数列的前项和，且，，， n S {}n a n 24S =416S =n n S b n=则， 4242b b =⎧⎨=⎩又是等比数列，设公比为,则，即； {}n b q 2422b q b ==841022232b b q ==⨯=【小问2详解】解：已知是等差数列，设公差为,{}n a d 又，，则， 24S =416S =11244616a d a d +=⎧⎨+=⎩则，即， 112a d =⎧⎨=⎩21n a n =-则， 2(121)2n n n S n +-==则， n n S b n n==则， (1)123...2n n n T n +=++++=即的前项和． {}n b n (1)2n n n T +=18. 在平面直角坐标系中，已知圆M 的圆心在直线上，且圆M 与直线Oxy 2y x =-相切于点．10x y +-=(2,1)P -（1）求圆M 的方程；（2）过的直线l 被圆M，求直线l 的方程．(0,2)-【答案】（1）()()22122x y -+=+（2）或2y x =-2y x =--【解析】【分析】（1）根据已知得出点与直线垂直的直线方程，根据圆切线的性质P 10x y +-=得出该直线过圆心，与已知过圆心方程联立即可得出圆心坐标，根据圆心到切线的距离得出圆的半径，即可得出圆的方程；（2）根据弦长得出点到直线l 的距离，分类讨论直线l 的斜率，设出方程，利用点到直M 线的距离列式，即可得出答案.【小问1详解】过点与直线垂直的直线方程为：，即 (2,1)P -10x y +-=12y x +=-3y x =-则直线过圆心， 3y x =-解得，即圆心为， 32y x y x =-⎧⎨=-⎩12x y =⎧⎨=-⎩()1,2M -则半径为r 则圆M 的方程为：；()()22122x y -+=+【小问2详解】过的直线l 被圆M ，(0,2)-则点到直线l的距离 M d ==若直线l 的斜率不存在，则方程为，此时圆心到直线l 的距离为1，不符合题意； 0x =若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：，2y kx =-则，解得，d ==1k =±则直线l 的方程为：或.2y x =-2y x =--19. 如图，和所在平面垂直，且．ABC ADBC △AB BC BD CBA DBC θ==∠=∠=，（1）求证：；AD BC ⊥（2）若，求平面和平面的夹角的余弦值． 2π3θ=ABD ABC【答案】（1）见解析；（2. 【解析】【分析】（1）取的中点，可得，根据可得，AD E BE AD ⊥ABC DBC △≌△CE AD ⊥由线面垂直的判定定理及性质定理可证明；（2）作于点,以点为原点，所在直线分别为轴建立空AO BC ⊥O O ,,OD OC OA ,,x y z 间坐标系，求出两个平面的法向量即可求解.【小问1详解】取的中点，连接，AD E ,BE CE因为，所以.AB BD =BE AD ⊥因为为公共边，,,AB BD CBA DBC BC =∠=∠所以，所以,所以.ABC DBC △≌△CA CD =CE AD ⊥因为平面，所以平面，,,BE CE E BE CE =⊂ BCE AD ⊥BCE 因为平面,所以.BC ⊂BCE AD BC ⊥【小问2详解】当,可设, 2π3θ=1AB =作于点,连接，易证两两垂直，AO BC ⊥O DO ,,AO OC OD 以点为原点，所在直线分别为轴建立空间坐标系，O ,,OD OC OA ,,x y z则, ()130,0,0,,0,,0,0,,0,22O D B C A ⎫⎛⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎭⎝设平面的法向量为，ABD (),,n x y z = ,10,,,2AB AD ⎛== ⎝ 所以，1020n AB y z n AD x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅==⎪⎩ 令,可得. 1z =1,x y ==()n =r易知平面，所以平面的法向量为，OD ⊥ABC ABC ()1,0,0m =设平面和平面的夹角为，ABD ABC α则cos ,m n m n m n ⋅===⋅ 故平面和平面. ABD ABC 20. 已知直线与抛物线交于A ，B 两点．l 2:2(0)C x py p =>（1）若，直线的斜率为1，且过抛物线C 的焦点，求线段AB 的长；2p =l （2）若交AB 于，求p 的值．OA OB OD AB ⊥⊥，(2,2)D -【答案】（1）8；（2）. 47【解析】【分析】（1）焦点为，直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，根据()0,1F l 1y x =+弦长公式即可求解；（2）设直线的方程为，根据题意可得，且在直线l y kx m =+1OD AB k k ⋅=-(2,2)D -l 上，从而可得直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，根据韦达定理可得l 4y x =+，代入即可求解.12122,8x x p x x p +==-0OA OB ⋅=【小问1详解】若，则抛物线，焦点为，2p =2:4C x y =()0,1F 故直线的方程为.l 1y x =+设， ()()1122,,,A x y B x y 联立，消去，可得，241x y y x ⎧=⎨=+⎩y 2440x x --=，故. ()()24414320∆=--⨯⨯-=>12124,4x xx x +==-故.8AB ===【小问2详解】 设直线的方程为，，l y kx m =+()()1122,,,A x y B x y 因为交AB 于，所以，且，OD AB ⊥(2,2)D -1OD AB k k ⋅=-1OD k =-所以，直线的方程为.1AB k =l y x m =+又在直线上，所以,解得.(2,2)D -l 22m =-+4m =所以直线的方程为.l 4y x =+由，消去，可得， 224x py y x ⎧=⎨=+⎩y 2280x px p --=则.12122,8x x p x x p +==-因为，OA OB ⊥所以， ()()12121212121244280OA OB x x y y x x x x x x x x ⋅=+=++++=+++= 即，解得. ()28280p p ⨯-++=47p =21. 已知等比数列的前n 项和为，且． {}n a n S ()*122n n a S n +=+∈N （1）求数列的通项公式；{}n a （2）若，求数列的前n 项和． 21n nn b a -={}n b n T 【答案】（1）；123n n a -=⋅（2）. 131223n n n T -+=-⨯【解析】 【分析】（1）根据与的关系可得公比，由可求，再根n a n S 211122223a S a a =+=+=1a 据等比数列的通项公式即可求解；（2），由错位相减法即可求解. 1212123n n n n n b a ---==⋅【小问1详解】因为，()*122n n a S n +=+∈N 所以当时，，2n ≥122n n a S -=+两式相减得，即.12n n n a a a +=-13n n a a +=故等比数列的公比为3.{}n a 故，解得.211122223a S a a =+=+=12a =所以. 123n n a -=⋅【小问2详解】， 1212123n n n n n b a ---==⋅故①， 120121113232123333n n n n n n T b b b ----⎛⎫=+++=++++ ⎪⎝⎭②， 12111132321323333n n n n n T ---⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭①-②，得 0121211222213233333n n n n T --⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 121111121233323n n n --⎛⎫=++++- ⎪⋅⎝⎭ 111133121122313n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥-⎣⎦=+-⋅- 111121222323n nn --=+--⋅⋅， 112112323n n n --=--⋅⋅113nn +=-所以. 131223n n n T -+=-⨯22. 已知椭圆，点在椭圆C 上．2222:1(0)x y C a b a b +=>>P ⎛⎝（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记A 是椭圆的左顶点，若直线l 过点且与椭圆C 交于M ，N 两点（M ，N⎫⎪⎪⎭与A 均不重合），设直线AM ，AN 的斜率分别是．试问是否为定值？若是，求12k k ，12k k ⋅出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1） 2212x y +=（2）是，定值为，理由见解析 16-【解析】【分析】（1）由待定系数法列方程组求解；（2）直线l 的斜率不为0，设为，结合韦达定理表示即可化简判断. x my =+12k k ⋅【小问1详解】由题意得，，∴椭圆C的标准方程为； 2222222112121a ba c ab a bc ⎧⎪+=⎪⎪⎪⎧==⇒⎨⎨=⎩⎪-=⎪⎪⎪⎩2212x y +=【小问2详解】由题意得，直线l 的斜率不为0，设为，，x my =()()1122,,,M x y N x y ，()A 联立直线与椭圆消x 得，，则()222230m y ++-=， ()12122322y y y y m +==-+∴12k k ⋅=== ()2322m -+=()22232393222m m m -=--++. 16=-故是定值，为. 12k k ⋅16-。
黑龙江省高二上学期期末考试数学试题(解析版)
高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．在曲线的图象上取一点及邻近一点，则为（ ） 26y x =+(1,7)(1,7)x y +∆+∆yx∆∆A ． B ． 2x +∆12x x ∆--∆C ． D ． 12x x∆++∆12x x+∆-∆【答案】A【分析】根据平均变化率，代入计算． ()()00+∆-∆=∆∆f x x f x y x x【详解】()26172x x x x y ⎡⎤+-∆⎣⎦==+∆+∆∆∆故选：A2．设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） l 66cos 130x y β-+=l αA ． B ．[0,]πππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．D ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦πππ3,,422π4⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦【答案】C【分析】当时，可得倾斜角为，当时，由直线方程可得斜率cos 0β=π2cos 0β≠1tan cos αβ==k ，然后由余弦函数和正切函数的性质求解即可.【详解】当时，方程变为，其倾斜角为， cos 0β=6130+=x π2当时，由直线方程可得斜率， cos 0β≠1tan cos αβ==k 且，[]cos 1,1β∈- cos 0β≠，即，][(),11,k ∴∈-∞-⋃+∞][()tan ,11,α∈-∞-⋃+∞又，，[)0,πα∈πππ3π,,4224α⎡⎫⎛⎤∴∈⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝⎦由上知，倾斜角的范围是．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：C ．3．已知等差数列的前项和为，且，则（ ）{}n a n n S 0n a >7448S Sa a-=+A ．2B ．C ．1D ．3212【答案】B【分析】由等差数列的性质求解. 【详解】由题意得.745676486633222S S a a a a a a a a -++===+故选：B4．已知双曲线的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为（ ）22221(0,0)y x a b a b -=>>A． B ．0y ±=0x ±=C ． D ．30x y ±=30x y ±=【答案】B【分析】设，由题有，据此可得，即可得双曲线的渐近线方程.222+=a b c 3c a =228b a =【详解】设，由题有，则222+=a b c 3ce a ==222222298c a b b a b a a a +==⇒=⇒=±故双曲线渐近线方程为，即.y =0x ±=故选：B5．函数过点的切线方程为（ ）()2e xf x x =()0,0A ． B ． C ．或 D ．或0y =e 0x y +=0y =e 0x y +=0y =e 0x y +=【答案】C【分析】设切点，利用导数的几何意义求该切点上的切线方程，再由切线过代入求2(,e )m m m ()0,0参数m ，即可得切线方程.【详解】由题设，若切点为，则， 2()(2)e x f x x x '=+2(,e )m m m 2()(2)e m f m m m '=+所以切线方程为，又切线过， 22(2))e e (m m y m m m x m +-=-()0,0则，可得或，22(2e )e m m m m m +=0m =1m =-当时，切线为；当时，切线为，整理得. 0m =0y =1m =-e 1(1)y x --=+e 0x y +=故选：C6．过抛物线的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂24y x =足分别为两点，以线段为直径的圆C 过点，则圆C 的方程为（ ）11,A B 11A B (2,3)-A ．B ． 22(1)(2)2x y ++-=22(1)(1)5x y ++-=C ．D ．22(1)(1)17x y +++=22(1)(2)26x y +++=【答案】B【分析】求出抛物线焦点坐标、准线方程，设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立求出圆心的纵坐标，再结合圆过的点求解作答.【详解】抛物线的焦点，准线：，设，令弦AB 的中点24y x =(1,0)F 11A B =1x -1122(,),(,)A x y B x y 为E ，而圆心C 是线段的中点，又，即有，，11A B 111111,AA A B BB A B ⊥⊥11////EC AA BB 11EC A B ⊥显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线，由消去x 得：，:1AB x ty =+214x ty y x =+⎧⎨=⎩2440y ty --=则，E 的纵坐标为， 12124,4y y t y y +==-12||y y -==1222y y t +=于是得圆C 的半径，而圆C 过点， 111211||||22r A B y y ==-=(1,2)C t -(2,3)M -则有，解得， ||MC r ==12t =因此圆C 的圆心，半径C 的方程为. (1,1)C -r =22(1)(1)5x y ++-=故选：B7．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） x R ∈20x ax a +->a A ． B ． (]ln 2,0e -[)0,ln 2e C ． D ．(]2ln 2,0e -[)0,2ln 2e 【答案】C【分析】由不等式在上恒成立，问题转化为图象恒在上方，分类讨论参数x R ∈2x y =()1y a x =--，结合函数图象、导数，即可求在何范围时图象符合要求.a a 【详解】对，不等式恒成立，知：不等式恒成立，x ∀∈R 20x ax a +->()21xa x >--问题可转化为：曲线恒处于直线的上方， 2x y =()1y a x =--当时，直线与曲线恒有交点，不满足条件.0a >当时，直线与曲线没有交点且曲线恒处于直线的上方，满足条件.0a =2x y =()1y a x =--当时，当直线与曲线相切时，设切点为，切线方程为，切线过点a<0(),2mm 22ln 2()mm y x m -=-，代入方程得，此时切线斜率为， ()1,0211log 2ln 2m e =+=2ln 2e由图可知，，即，曲线恒处于直线的上方， 02ln 2a e <-<2ln 20e a -<<2x y =()1y a x =--综上，. 2ln 20e a -<≤故选：C【点睛】本题考查不等式恒成立，并将问题转化为函数图象的位置关系，利用导数研究函数求参数范围.8．已知，设，则（ ）ln 20.69≈3ln 8 3.527 3.536,,132a b c e ===A ． B ． a c b >>b c a >>C ． D ．a b c >>b a c >>【答案】D【分析】将化为，和b 比较，确定变量，构造函数，利用其导数判断其单调性，即a 33323()2x x f x =可比较大小，再比较，即可得答案.,a b ,a c 【详解】由于，33ln83 3.527273 3.5,822a b e ====故设函数 ， 32322322ln 2(3ln 2)(),()2(2)2x x x x x x x x x x f x f x ⋅-⋅⋅-⋅'=∴==当时，，即在上单调递增， 3ln 2x <()0f x '>()f x 3(,ln 2-∞由于， 33 4.35ln 20.69≈≈故，即， (3)(3.5)f f <333 3.53 3.522a b =<=又，故， ln82727363813a c e ==>>=b a c >>故选：D【点睛】关键点睛：比较的大小时，要注意根据两数的结构特征，确定变量，从而构造函数，,a b 这是比较大小关键的一步，然后利用导数判断函数的单调性，即可求解.二、多选题 9．关于函数，则下面四个命题中正确的是（ ） ()ln xf x x=A ．函数在上单调递减B ．函数在上单调递增 ()f x (0,e)()f x (e,)+∞C ．函数没有最小值D ．函数的最小值为()f x ()f x e 【答案】BC【分析】求出函数的定义域，求出函数导数，判断函数的单调性，作出其大致图像，一一判断每个选项，即可确定答案. 【详解】由，定义域为，且，则，()ln xf x x={|0x x >1}x ≠2ln 1()(ln )x f x x -'=当和时，，01x <<1e x <<()0f x '<故函数在上单调递减，故A 错误；()f x (0,1),(1,e)当时，，故函数在上单调递增，故B 正确； e x >()0f x '>()f x (e,+)∞当时，，当时，， 01x <<()0f x <1x >()0f x >作出其大致图像如图：由图像可知函数没有最小值，故C 正确，D 错误， ()f x 故选：BC10．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ） (0,)+∞()f x ()f x '2()()()0f x x x f x '++<A ． B ． 4(2)3(1)f f <8(2)9(3)f f >C ． D ．3(3)2(1)f f >15(3)16(4)f f <【答案】AB【分析】令，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性逐一判断即可. ()()()01xf x g x x x =>+【详解】令，()()()01xf x g x x x =>+则， ()()()()()()()()()()222111f x xf x x xf x x g f x x x x x f x '++-⎡⎤⎣⎦'++'==++因为恒成立， 2()()()0f x x x f x '++<所以恒成立， ()0g x '<所以在上递减， ()g x (0,)+∞所以， ()()()()1234g g g g >>>即， ()()()()12233442345f f f f >>>所以，故A 正确； 4(2)3(1)f f <，故B 正确；8(2)9(3)f f >，故C 错误； 3(3)2(1)f f <故D 错误.15(3)16(4)f f >故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数是解()()()01xf x g x x x =>+决本题的关键.11．已知，令，则取到的值可以112(,6),(A x x B x -L =L 有（ ）A ．BCD ． 【答案】BCD【分析】可以看作点直线上的点到椭圆上的点的距离，从L =A B 而求出直线上的点到椭圆的最短距离，从而可判断各项的对错. 【详解】由，得点为直线上的点，11(,6)A x x -A 6y x =-由得点为曲线,(2B x B y则可以看作点到点的距离，L =A B由，y 221(0)2y x y +=≥所以点为椭圆且在轴上方的点，B 221(0)2y x y +=≥x如图，设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为6y x =-221(0)2y x y +=≥y x C =-+联立，消得， 2212y x y x C ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩y 223220x Cx C -+-=则，解得（舍去()2241220C C ∆=--=C =则=-+y x所以直线与直线6y x =-=-+yxd==所以L≥对于A ，，A 错误；=<对于B B 正确；>=对于C C 正确；>=对于D ，D 正确. =>故选：BCD12．对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的数目.函数以其首名研究者n )(n ϕn n )(n ϕ欧拉命名，称为欧拉函数，例如（1，3与4互质），则（ ） (4)2ϕ=A ．B ．如果为偶数，则数列单调递增(13)12ϕ=n {}()n ϕC ．数列的前6项和等于63D ．数列前项和为(){}2nϕ()54nϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭n 1514n --【答案】AC【分析】根据欧拉函数的定义，即可求解AC,根据反例即可排除BD.【详解】对于A,13与1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12均互质，所以，故A 正(13)12ϕ=确，对于B,当时，6与1，5互质，所以，故B 错误，6n =(6)(4)2ϕϕ==对于C,由于2为质数，所以小于等于的正整数中,所有的偶数的个数为个，所以剩下的均与2n 12n -互质，故，所以前6项和等于，故C 正确，2n ()112=222n n n n ϕ---=(){}2nϕ251222=63++++ 对于D ，当时，5与1，2，3，4均互质，所以，而，，显然不成1n =()54ϕ=()514ϕ=051=04-立，故D 错误，（与不互质的数有，共有个，所以与不互质的数有5n 51055n n ，，-5，15n -5n ，因此，则前项和为，故错误） 115545n n n ---=⨯()(){}1155=45,54n nn n ϕϕ--⎧⎫⎪⎪⨯∴=⎨⎬⎪⎪⎩⎭n 514n -故选：AC三、填空题13．圆与圆的公共弦所在直线方程为___________.221:130O x y +-=222:650O x y x +-+=【答案】30x -=【分析】判断两圆相交，将两圆方程相减即可求得答案.【详解】圆的圆心为，半径为，221:130O x y +-=(0,0)1r =圆的圆心为，半径为，222:650O x y x +-+=(3,0)22r =则，则两圆相交，121212||3r r O O r r -<=<+故将两圆方程相减可得：，即，6180x -=30x -=即圆与圆的公共弦所在直线方程为，221:130O x y +-=222:650O x y x +-+=30x -=故答案为：30x -=14．已知，数列的前项和的通项公式为___________.21nn a =-12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭n n S 【答案】 112221n n n S ++-=-【分析】先化简为，再利用裂项相消法可求解. 112112121n n n n n a a ++=-⋅--【详解】因为，()()111212122211121n n n n n n n n a a +++----==-⋅所以 12231111111212121212121n n n S +-+--=++------ . 11111122212121n n n +++=--=---故答案为：. 112221n n n S ++-=-四、双空题15．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，6m =共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足（为正整数）， {}n a 1a m =m 1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时当时，试确定使得至少需要________步雹程；若，则所有可能的取值集合34m =1n a =91a =m M 为________.【答案】 13{4,5,6,32,40,42,256}【分析】第一空，根据运算法则，写出每一个步骤，即可得答案；第二空，根据运算法则一步步逆推，分类求解，可得答案.【详解】当时，则按运算法则得到：34m =，34175226134020105168421→→→→→→→→→→→→→即使得需要13步雷程． 1n a =若，则或， 91a =8762,4,8a a a ===1当 时，则或， 68a =5416,32a a ==5若，则或；432a =3264,128a a ==21若，则，若，则； 2128a =1256a =221a =142a =当时，或，45a =3210,20a a ==3若时，则，若时，则； 220a =140a =23a =16a =当时，则或，61a =5432,4,8a a a ===1若，则或；38a =2116,32a a ==5若，则，31a =212,4a a ==故所有可能的取值集合为，m M {4,5,6,32,40,42,256}故答案为：13；{4,5,6,32,40,42,256}五、填空题16．已知分别为双曲线的左、右顶点，是双曲线上关于轴对称的不同两点，,A B 2213x y t -=,P Q x设直线的斜率分别为，若点A 到直线,AP BQ ,m n 2y mnx =________.【分析】确定的坐标，设点，表示出的表达式，结合化简可得,A B (,)P u v ,m n 2213u v t -=2y mnx =即，根据点A 到直线t 的值，即可求得答案.60x ty +=2y mnx =【详解】由题意可得双曲线中，，故， 2213x y t -=0t >(A B 设点,则,则，则， (,)P u v (,)Q u v -2213u v t -=223v t u t =--所以 AP m k ==BQ n k ==故即，即，即， 2y mnx =2(y x =2226v y x x t u t==--60x ty +=由于点A 到直线，2y mnx =解得， 6t =故双曲线离心率为 c e a ====【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于设点，从而表示出，结合化简可得(,)P u v ,m n 2213u v t -=，从而可得即，这是关键的环节，然后再结合题意求解即可. 223v t u t=--2y mnx =60x ty +=六、解答题17．过点可以作两条直线与圆相切，切点分别为 (0,1)P 22:20E x y kx k ++-=AB 、(1)求实数的取值范围.k (2)当时，存在直线吗？若存在求出直线方程，若不存在说明理由.10k =-AB 【答案】(1) 1(,8)0,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭(2)存在，5200x y --=【分析】（1）根据点在圆外和圆方程的条件即可求解；P （2）易知四点共圆且以为直径，求其方程，利用两圆方程相减即可得到相交弦所P A B E 、、、PE 在直线方程，从而求解.【详解】（1）由题意可知，点在圆外，即，解得. P 120k ->12k <又因为圆，即， 22:20E x y kx k ++-=222824k k k x y +⎛⎫++= ⎪⎝⎭所以，即或，280k k +>8k <-0k >综上，实数的取值范围是. k 1(,8)0,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭（2）当时，，10k =-22:10200E x y x +-+=即，所以圆心，22(5)5x y -+=()5,0E 因为与圆相切，所以四点共圆且以为直径.,PA PB P A B E 、、、PE 设过四点的圆上一点，P A B E 、、、(),M x y 则，即，即0PM EM ⋅= (5)(1)0x x y y -+-=2250x y x y +--=所以过过四点的圆的方程为，P A B E 、、、2250x y x y +--=两圆方程相减得，5200x y --=于是直线的方程为.AB 5200x y --=18．设抛物线的准线为，过抛物线上的动点作，为垂足.设点的2:2(0)E x py p =>0l T 0TT l '⊥T 'K 坐标为，则有最小值(6,0)KT TT '+(1)求抛物线的方程；(2)已知，过抛物线焦点的直线（直线斜率不为0）与抛物线交于两点，记直线的(2,1)H -E E ,M N ，斜率分别为，求的值. HM HN 12,k k 1212k k k k +【答案】(1)24x y =(2) 12-【分析】（1）结合抛物线定义确定的最小值，即可求得p 的值，可得答案.KT TT '+（2）设出直线方程并联立抛物线方程，可得根与系数的关系，进而将化简，即可求得答案. 1212k k k k +【详解】（1）设抛物线焦点为，则，则有， F (0,)2p F ||||||||KT TT KT TF KF '+=+≥即三点共线时取得最小值，,,F T K KT TT '+而有最小值KT TT '+=得，则抛物线的方程为 12p =E 24x y =（2）由题意可知，直线的斜率一定存在，设为k ，则其方程为，(0,1)F MN 1y kx =+设，()()1122,,,M x y N x y 由，得，， 214y kx x y=+⎧⎨=⎩2440x kx --=216(1)0k ∆=+>，，124x x k ∴+=124x x =-，，111y kx =+221y kx =+ 121212221111x x k k y y --∴+=+++ 1212221111x x kx kx --=+++++ ()()()()()()122112222222x kx x kx kx kx -++-+=++ ()()12122121222(1)824kx x k x x k x x k x x --+-=+++， 222288(1)888248444k k k k k k k ------===--+++所以的值为. 1212k k k k +12-【点睛】方法点睛：解决直线和抛物线的位置关系类问题时，一般方法是设出直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，要结合题中条件进行化简，但要注意的是计算量一般都较大而复杂，要十分细心.19．设为数列的前项和，已知.n S {}n a n ()2*0,484n n n n a a a S n >+=-∈N (1)求数列的通项公式；{}n a (2)求数列的前项和. 18(1)()n n n n n a a a +⎧⎫-⋅+⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】(1)()*42n a n n =-∈N (2) 11(1)224(2)n n T n n =-+-++【分析】（1）利用与的关系式即可求出；n S n a n a （2）结合的奇偶，利用分组求和法、裂项相消法求和.n 【详解】（1）由，①，得：0n a >2484n n n a a S +=-当时，，解得.1n =2111148484a a S a +=-=-12a =当时，②，2n ≥2111484n n n a a S ---+=-①-②得：，2211144888n n n n n n n a a a a S S a ---+--=-=即()()()1114n n n n n n a a a a a a ---+-=+所以，所以数列是以2为首项，4为公差的等差数列.14n n a a --={}n a 所以.()*42n a n n =-∈N （2） ()()()()()()188111424242n n n n n n n n a n a a n n +⎛⎫-⋅+=-+-⋅- ⎪-+⎝⎭, ()()()()()()()()2111114211222212122121n n n n n n n n n n n n ⎛⎫=-+-⋅-=-⨯++-⋅-+ ⎪-+-+⎝⎭设数列的前项和为， (1)21211112⎧⎫⎛⎫⨯+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭--+n n n n n C ； (1)1(1)(1)33557212111212111111111122214⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-++⋅⋅⋅++=+=-+ ⎪ ⎪ -⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝-----+⎭⎣⎦++n n n n C n n n n 设数列的前项和为，(){}(1)222-⋅-+n n n n n D .()()()()()()02244668(1)222(1)2+++-++++-⋅==--+-⋅n n n n n n D所以数列的前项和 18(1)()n n n n n a a a +⎧⎫-⋅+⎨⎬⎩⎭n 11(1))224(2=-+-+++=n n n n T C D n n 利用分组，列项和并项求和即可获得. 11(1)224(2)n n T n n =-+-++20．已知等差数列的前项和为，首项为，.数列是等比数列，公比小于0，{}n a n n T 38-63T T ={}n b q 且，，数列的前项和为，121b a =39b a ={}n b n n S (1)记点，证明：在直线上； ()*,,N n n n L b S n ∈n L :330l x y -+=(2)对任意奇数恒成立，对任意偶数恒成立，求的最小值.,n n M S ≥,n n N S ≤M N -【答案】(1)证明见解析(2)34【分析】（1）根据题意求得等常数列的通项公式，即可求得等比数列的通项公式，继而求得,n n b S 的表达式，即可证明结论；（2）结合（1）可判断当为奇数和偶数时的单调性，从而求得的最值，即可得答案.n n S ,M N 【详解】（1）证明：设等差数列的公差为d ， {}n a 则由首项为，可得，则， 38-63T T =365332638282d d ⨯⨯-⨯+⋅=-⨯+⋅332d =故， 33315(1)8323232n a n n =-+-⨯=-由，，得，， 0q <121b a =39b a =131532132322b ⨯-==2131519,32322q q b ⨯-∴=-=故，， 131()22n n b -=⋅-311()1221(121()2n n n S ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----则，即， 1311(22233(3n n n n S b -=-=-=--330n n S b -+=则点在直线上；(),n n n L b S :330l x y -+=（2）由（1）可知， n S =111()1(12()2n n n --=--当为奇数时，在奇数集上单调递减，； n (112n n S =+31,2n S ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦当为偶数时，在偶数集上单调递增，， n 11()2n n S =-3,14n S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭所以. min max min 333,,()244M N M N ==∴-=21．已知函数.()ln (2)1(R)f x x m x m m =+-+-∈(1)当时，求函数的最小值；1m =()e ()x h x x f x =-(2)是否存在正整数，使得恒成立，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.m ()0f x ≤m 【答案】(1)1(2)存在,最小正整数3m =【分析】（1）根据题意可得，构造函数，利用导数说明其单调ln ()e (ln )x x h x x x +=-+()e x m x x =-性，结合设，判断其取值情况，即可求得答案.()ln ,(0)g x x x x =+>（2）求出函数的导数，根据其表达式，讨论时，说明不合题意，当时，将问题转化为2m ≤m 2>函数的最值问题，即可求得答案.【详解】（1）当时，，1m =()ln ,(0)f x x x x =+>，ln ()e ()e (ln )e (ln )x x x x h x x f x x x x x x +=-=-+=-+令，则，()e x m x x =-()e 1x m x '=-当时，，当时，，0x <()0m x '<0x >()0m x '>即在上单调递减，在上单调递增，()m x (,0)-∞(0,)+∞故，仅当时取等号，1())(0m m x ≥=0x =故对于，此时，ln ()e (ln )x x h x x x +=-+ln 0x x +=令，则， ()ln ,(0)g x x x x =+>11()10x g x x x+'=+=>即在在上单调递增，()ln g x x x =+(0,)+∞，，故，使得， 1110e e g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭(1)10g =>01,1e x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00g x =函数的最小值为.()e ()x h x x f x =-00ln 000()e (ln )1x x h x x x +=-+=（2）由题意的定义域为，()ln (2)1f x x m x m =+-+-(0,)+∞， 1(2)1()2m x f x m x x-+'=+-=当时，，函数在上单调递增，函数无最大值，不合题意；2m ≤()0f x '>()f x (0,)+∞当时，时，，时，， m 2>102x m <<-()0f x '>12x m >-()0f x '<函数在上单调递增，在上单调递减， ()f x 10,2m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭1,2m ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭当时，函数取得最大值，且， 12x m =-()f x max 11()ln 22f x f m m m ⎛⎫==- ⎪--⎝⎭要使恒成立，即，()0f x ≤max ()0f x ≤所以，即， 1ln 02m m -≤-ln(2)0m m -+≥令，， ()ln(2),(2)m m m m ϕ=-+>11'()10,(2)22m m m m m ϕ-=+=>>--所以在上单调递增， ()m ϕ(2,)+∞，， 6120e ϕ⎛⎫+< ⎪⎝⎭(3)ln130ϕ=+>所以存在最小正整数，使得，即使得恒成立.3m =()ln(2)0m m m ϕ=-+≥()0f x ≤【点睛】方法点睛：（1）第一问中要能根据的表达式的结构特征进行变形为()h x ，从而构造函数，利用导数判断单调性，解决问题；ln ()e (ln )x x h x x x +=-+（2）第二问中，根据函数不等式恒成立问题，求出函数导数，分类讨论参数范围，进而转化为函数最值问题解决.22过点，点分别为椭圆的左、2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,F F C 右焦点，过点与轴垂直的直线交椭圆第一象限于点.直线平行于（为原点），且与椭2F x 0l T 1l OT O 圆交于两点，与直线交于点（介于两点之间）.C ,M N 0l P P ,M N (1)当面积最大时，求的方程；TMN △1l (2)求证：.||||||||TM PN TN PM ⋅=⋅【答案】(1) 2y x =-(2)证明见解析【分析】（1）根据离心率以及椭圆经过的点联立方程即可解，进而可得椭圆方2a b c ===程，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，进而由弦长公式求解弦长，利用面积公式表达面积，结合基本不等式即可求解最值，（2）根据比例关系可将问题转化成斜率之和为0，代入斜率公式即可化简求解.【详解】（1）由题意可知，解得,22222231c e a ab a bc ⎧==⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a b c ===所求椭圆的方程为. C 22184x y +=当时，，所以 2x =211422y æöç÷=-´=ç÷èø(2T 由于的方程为，设，，OT k =1l y t =+()11,M x y ()22,Nx y 由，消去整理得， 22184y t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 2240xt +-=由韦达定理可得：，()12212224Δ2808x x x x t t t ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪=-->⇒<⎪⎩则||MN===又点到的距离 T 1ld ==所以. 11|22TMN S MN d t ===V≤=当且仅当，即时，等号成立.228t t -=24t =又介于两点之间， P ,MN 2P y t t ++所以，故.0t t --<<2t =-故直线的方程为：. 1l 2y =-（2）要证结论成立，只须证明， ||||||||TM TN PM PN =由角平分线性质即证：直线为的平分线，2x =MTN ∠转化成证明：.0TM TN k k +=由于TM TN k k+= ()()()()122112222222t x t x x x ⎡⎡⎫⎫+-++--⎢⎢⎪⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=--===0=因此结论成立.【点睛】圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用。
高二数学考试卷(附解答)
高二数学考试卷(附解答)高二数学考试卷（附解答）一、选择题（每题4分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x + 1是单调递增函数，则实数a的取值范围是：A. a > -1B. a ≤ -1C. a > 1D. a ≤ 1解答：A. a > -12. 已知等差数列的前5项和为35，公差为3，首项为：A. 5B. 10C. 15D. 20解答：B. 103. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面上对应的点位于：A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限解答：B. 虚轴4. 设函数g(x) = x^3 - 3x，下列说法正确的是：A. g(x)在(-∞, 0)上单调递增B. g(x)在(0, +∞)上单调递减C. g(x)的极小值点为x = 0D. g(x)的极大值点为x = 0解答：C. g(x)的极小值点为x = 05. 若平面α与平面β的交线为直线l，且直线l与直线a平行，则直线a与平面α的关系为：A. 在平面α内B. 平行于平面αC. 与平面α相交D. 在平面α的延长线上解答：B. 平行于平面α二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知等比数列的前3项分别为2，4，__，则该数列的公比为______。
解答：8，22. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的图象与坐标轴的交点个数为______。
解答：33. 若矩阵A的行列式为2，则矩阵A的逆矩阵的元素满足______。
解答：元素乘以-1/2后与原矩阵对应元素相等4. 设平面α与平面β的夹角为θ，则sinθ等于______。
解答：平面α与平面β的法向量夹角的余弦值5. 已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且cosA = 1/2，则三角形ABC的形状为______。
解答：等腰三角形或直角三角形三、解答题（每题10分，共30分）1. （10分）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最小值及取得最小值的x值。
高二数学上学期期末考试试题理含解析_1(共16页)
永昌县第四中学2021-2021学年高二数学(sh ùxu é)上学期期末考试试题 理〔含解析〕第一卷一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.〕 1.，那么以下不等式：①；②；③.其中不成立的个数是〔 〕 A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质，可举一正一负的例子对三个不等式进展判断. 【详解】由题意可令a ＝1，b ＝﹣1，此时①不对，②不对， ③ab ＝﹣1，此时有，故③不对． 应选：D ．【点睛】此题考察不等关系与不等式，解题的关键是找到适宜的反例说明问题不成立，假如成立那么需证明. 2.假设“，那么〞逆否命题是〔 〕A. 假设，那么B. 假设x y >，那么C. 假设22x y ≤，那么x y ≤D. 假设，那么22x y <【答案】C 【解析】 【分析】互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否认作为(zuòwéi)结论，原命题的结论的否认作为条件即可得逆否命题【详解】由题意，原命题的结论的否认：假设x 2≤y 2，原命题的条件的否认为x ≤y ，所以逆否命题是假设x 2≤y 2，那么x ≤y ， 应选：C ．【点睛】此题考察四种命题的关系判断，考察根本知识的应用． 3.“〞是“〞的〔 〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】将两个条件互相推导，根据能否推导的情况选出正确选项. 【详解】当“x a >〞时，如，，故不能推出“〞 .当“x a >〞时，必然有“x a >〞.故“x a >〞是“x a >〞的必要不充分条件. 【点睛】本小题主要考察充分、必要条件的判断，考察含有绝对值的不等式，属于根底题. 4.不等式的解集为〔 〕A.B.C.D.【答案】B 【解析(jiě xī)】 【分析】将不等式等价转化后，由一元二次不等式的解法求出解集． 【详解】由102xx-≥+得，即，解得，所以不等式的解集是(]2,1-，应选B ．【点睛】此题主要考察分式不等式的转化，一元二次不等式的解法，注意分母不为零，属于根底题．，假设命题是假命题，那么实数的取值范围是〔 〕A.B.C.D.【答案】A 【解析】试题分析：命题2000:,0p x R x ax a ∃∈++<的否认为命题：，∵命题为假命题，∴命题p ⌝为真命题，即恒成立，∴，解得，故答案为A.考点：命题的真假判断与应用.【方法点睛】此题考察含量词的命题的否认形式、考察命题与命题p ⌝真假相反、考察二次不等式恒成立的充要条件从开口方向及对称轴上考虑．特称命题的否认为全称命题，将变为，结论否认写出命题的否认；利用命题与命题p ⌝真假相反得到p ⌝为真命题；令判别式小于等于求出即可． 6.且，那么(nà me)的最大值等于A. B.C.D.【答案】B 【解析】∵a ，b ∈R ＋，∴1＝a ＋b ≥2，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝时等号成立．选B. 7.椭圆上一点P 到一个焦点的间隔 为2，那么点P 到另一个焦点的间隔 为〔 〕 A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆的定义可得点P 到两个焦点的间隔 之和为2a ＝10，再由点P 到一个焦点的间隔 为2，可得点P 到另一个焦点的间隔 ．【详解】由椭圆22125x y +=，可得a ＝5、b ＝1，设它的两个焦点分别为F 、F ′，再由椭圆的定义可得|PF |+|PF '|＝2a ＝10，由于点P 到一个焦点的间隔 为2，那么点P 到另一个焦点的间隔 为8， 应选(yīnɡ xuǎn)：D ．【点睛】此题主要考察椭圆的定义和HY方程的应用，属于中档题．，焦点是，，那么双曲线方程为〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意e=2，c=4，由e=，可解得a=2，又b2=c2﹣a2，解得b2=12所以双曲线的方程为．故答案为22x y1 412-=．故答案选A.9.正数满足，假设不等式对任意实数恒成立，那么实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先用根本不等式求的最小值，再根据配方法求二次函数的最大值.【详解(xiánɡ jiě)】，当且仅当，即时，“=〞成立，假设不等式2418+≥-++-对任意实数x恒成立，a b x x m那么，即对任意实数x恒成立，+∞.实数m的取值范围是[6,)应选D.【点睛】此题考察根本不等式与二次不等式恒成立.10.不等式组所表示的平面区域的面积等于A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在坐标平面中画出可行域，求出直线与直线的交点后可求面积.【详解】不等式组对应的可行域如下图：由得到(dé dào)，两条直线的纵截距分别为43和，故不等式组对应的可行域的面积为，应选C.【点睛】平面区域面积的计算，关键是确定区域是由什么图形确定的，假如是标准图形，那么利用面积公式计算，假如不是标准图形，那么需要把其分割成标准图形分别计算．11.在上定义运算：，那么满足的实数x的取值范围为〔〕A B.C. 或者D.【答案】B【解析】【分析】按照定义，先写出常规不等式形式，再解一元二次不等式即可求出．【详解】∵，∴，∴.应选(yīnɡ xuǎn)B．【点睛】此题主要考察新定义应用以及一元二次不等式的解法．12.设双曲的一个焦点为，虚轴的一个端点为,假如直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设该双曲线方程为得点B〔0，b〕，焦点为F〔c，0〕，直线FB的斜率为,由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a、b、c的等式，变形整理为关于离心率e的方程，解之即可得到该双曲线的离心率.【详解】设该双曲线方程为2222100x ya ba b-=（＞，＞），可得它的渐近线方程为，焦点为F〔c，0〕，点B〔0，b〕是虚轴的一个端点，∴直线FB的斜率为，∵直线(zhíxiàn)FB与直线互相垂直，, ,,, ,双曲线的离心率e ＞1， ∴e=512+,应选D.考点：双曲线的简单性质第二卷二、填空题〔此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.〕 13.命题“〞的否认是______. 【答案】【解析】 【分析】根据全称命题的否认是特称命题，写出结论.【详解】原命题是全称命题，故其否认是特称命题，所以原命题的否认是“[)30000,.0x x x ∃∈+∞+<〞.【点睛】本小题主要考察全称命题的否认是特称命题，除了形式上的否认外，还要注意否认结论，属于根底题. 14.假设(jiǎshè)不等式的解集不是空集，那么实数a 的取值范围是__________．【答案】(－∞，－4)∪(4，＋∞)【解析】分析：不等式的解集不是空集，只需相应方程有两个不同的根即可．详解：∵240++的解集不是空集，有两个不同的实数根，x ax＜那么需，或者.即答案为.点睛：此题是考察二次函数，二次不等式，二次方程间的互相转化和互相应用，这是函数中综合性较强的问题，需纯熟掌握，y满足条件，那么目的函数的最大值为 . 【答案】【解析】【详解】试题分析：画出可行域，如以下图所示，将目的函数变形为，当取到最大值时，直线的纵截距最大，故将直线向上平移到过点C时，目的函数取到最大值，，得，故．考点(kǎo diǎn)：线性规划．16.假设过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴，y轴交于A，B两点，那么AB中点M的轨迹方程为________．【答案】x＋y－1＝0【解析】设直线l1的方程是y－1＝k(x－1)，那么直线l2的方程是y－1＝－(x－1)，所以直线l1与x轴的交点为A(1－1k，0)，l2与y轴的交点为B(0,1＋1k)，设AB的中点为M(x，y)，那么有，两式相加消去k得x＋y＝1，即x＋y－1＝0，所以AB中点M的轨迹方程为x＋y－1＝0．三、解答题〔此题一共6小题，一共70分.〕17.求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.【答案(dá àn)】顶点坐标(－3，0)，(3，0)；焦点坐标为F 1(－，0)，F 2(13，0)；实轴长6，虚轴长是4，离心率，渐近线方程：.【解析】 【分析】 将双曲线，化为HY 方程，求得，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由题意，将双曲线229436y x -=-，化为HY 方程22194x y -=，可得，那么，所以双曲线的顶点为A 1(－3，0)，A 2(3，0)， 焦点坐标为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长是2a ＝6，虚轴长是2b ＝4， 离心率，渐近线方程：.【点睛】此题主要考察了双曲线的HY 方程，以及双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确求解是解答的关键，着重考察了推理与计算才能，属于根底题. 18.在平面直角坐标系中的一个椭圆的中心在原点，左焦点为，且右顶点为．设点的坐标是.(1)求该椭圆的HY 方程； (2)假设是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．【答案(dá àn)】〔1〕 〔2〕【解析】 【分析】〔1〕根据条件求得的值，结合求得的值，由此求得椭圆方程.〔2〕设出的坐标，根据中点坐标公式表示M 点坐标，由此用M 的坐标表示P 点坐标，将此坐标代入椭圆方程，由此求得M 点的轨迹方程. 【详解】(1)因为,所以所以椭圆的HY 方程为2214x y ＋＝. (2)设，由中点坐标公式，得，所以.又因为，所以()222112142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即为中点M 的轨迹方程．【点睛】本小题主要考察椭圆方程的求法，考察相关点法求轨迹方程，属于中档题.19.假设不等式的解集是，(1) 求a 的值； (2) 求不等式的解集.【答案】〔1〕〔2〕{x|}【解析】【分析(fēnxī)】〔1〕由不等式的解集得到=0的两个实数根为12和2，利用韦达定理即可求出a的值；〔2〕直接利用一元二次不等式的解法求解即可.【详解】解：〔1〕依题意可得：252ax x+-=0的两个实数根为12和2，由韦达定理得：，解得：2a=-；.〔2〕那么不等式22510ax x a-+->，可化为，解得 {x|132x-<<}，故不等式22510ax x a-+->的解集{x|132x-<<}．.【点睛】此题主要考察一元二次不等式的解集与一元二次不等式的根之间的关系，以及一元二次不等式的解法与韦达定理的应用，属于简单题.20.设有两个命题：的解集为R；q：函数是减函数，假设这两个命题中有且只有一个是真命题，务实数m的取值范围.【答案】【解析】【分析】分别求得p真q真时，实数m的取值范围，依题意，知p真q假，或者p假q 真，分别解之，取并即可．【详解】命题：p：x2﹣2x+2≥m的解集为R⇔m≤[〔x﹣1〕2+1]min＝1恒成立，即m≤1；命题q：函数f〔x〕＝﹣〔7﹣3m〕x是减函数⇔7﹣3m＞1，解得：m＜2；假设这两个命题中有且只有一个是真命题，那么p真q假，或者p假q真．假设(jiǎshè)p真q假，那么，解得：m∈∅；假设p假q真，那么，解得：1＜m＜2；综上所述，实数m的取值范围为〔1，2〕．【点睛】此题考察命题的真假判断与应用，考察复合命题的真假判断与恒成立问题，考察分类讨论思想与方程思想，属于中档题．21.函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.(1)假设a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；(2)对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕根据根本不等式求最值，注意等号取法，〔2〕先化简不等式，再根据二次函数图像确定满足条件的不等式，解不等式得结果.【详解】(1)依题意得y===x+-4.因为x>0,所以x+1x≥2.当且仅当x=1x时,即x=1时,等号成立.所以y≥-2.所以当x=1时,y=()f xx的最小值为-2.(2)因为f(x)-a=x2-2ax-1,所以要使得“对任意(rènyì)的x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立〞只要“x2-2ax-1≤0在[0,2]恒成立〞.不妨设g(x)=x2-2ax-1,那么只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可.所以即解得a≥34,那么a的取值范围为.【点睛】在利用根本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑〞等技巧，使其满足根本不等式中“正〞(即条件要求中字母为正数)、“定〞(不等式的另一边必须为定值)、“等〞(等号获得的条件)的条件才能应用，否那么会出现错误.与椭圆相交于两个不同的点.〔1〕务实数b的取值范围；〔2〕当时，求【答案】〔1〕〔2〕【解析】【分析】〔1〕将直线y＝x+b与椭圆联立，利用△＞0，即可求；〔2〕设A〔x1，y1〕，B 〔x2，y2〕，当b＝1 时，可求A，B的坐标，利用两点间间隔公式可求结果.【详解】〔1〕将y＝x+b代入2212xy+=，消去y，整理得3x2+4bx+2b2﹣2＝0．①因为直线y＝x+b与椭圆2212xy+=相交于A，B两个不同的点，∴△＝16b2﹣12〔2b2﹣2〕＝24﹣8b2＞0〔2〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，当b＝1 时，方程(fāngchéng)①为3x2+4x＝0．解得,此时【点睛】此题考察直线与椭圆的位置关系的应用，考察直线与椭圆相交所得弦长问题，考察计算才能，属于根底题.内容总结（1）永昌县第四中学2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题理〔含解析〕第一卷一、选择题〔此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.〕1.，那么以下不等式：①。
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一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．方程x2+y2+2ax﹣by+c=0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a，b，c 的值依次为（）A．2，4，4 B．﹣2，4，4 C．2，﹣4，4 D．2，﹣4，﹣42．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④3．点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．a=±14．直线y=x﹣1上的点到圆x2+y2+4x﹣2y+4=0上的点的最近距离为（）A．B．C．D．05．给出下列四个命题：（1）平面内的一条直线与平面外的一条直线是异面直线；（2）若三个平面两两相交，则这三个平面把空间分成7部分；（3）用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；（4）一条直线与两条异面直线中的一条直线相交，那么它和另一条直线可能相交、平行或异面．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．直线x+y﹣2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是（）A．B．C．D．7．若圆台的上、下底面半径的比为3：5，则它的中截面分圆台上下两部分面积之比为（）A．3：5 B．9：25 C．5：D．7：98．过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）A．y=B．y=﹣C．D．9．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为30°的等腰三角形 D．其他等腰三角形10．已知，N={（x，y）|y=x+b}，若M∩N≠∅，则b∈（）A．B．C．D．11．用若干个棱长为1cm的小正方体叠成一个几何体，图1为其正视图，图2为其俯视图，若这个几何体的体积为7cm3，则其侧视图为（）A．B．C．D．12．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，B1C1的中点，则过这三点的截面图的形状是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．以点A（1，4）、B（3，﹣2）为直径的两个端点的圆的方程为．14．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是．15．正四面体的内切球与外接球的体积之比．16．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm2）为．三、解答题：（本大题共5小题，第17题8分，第18～21题每题10分．）17．过圆x2+y2﹣x+y﹣2=0和x2+y2=5的交点，且圆心在直线3x+4y﹣1=0上的圆的方程为．18．过原点O作圆x2+y2﹣8x=0的弦OA，延长OA到N，使|OA|=|AN|，求点N 的轨迹方程．19．如图：已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CC1的中点，F是AC，BD的交点．求A1F与B1E所成角的余弦值．20．圆（x+1）2+y2=8内有一点P（﹣1，2），AB过点P，①若弦长，求直线AB的倾斜角；②若圆上恰有三点到直线AB的距离等于，求直线AB的方程．21．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M、N两点（1）求实数k的取值范围；（2）求证：为定值；（3）若O为坐标原点，且，求直线l的方程．参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．方程x2+y2+2ax﹣by+c=0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a，b，c 的值依次为（）A．2，4，4 B．﹣2，4，4 C．2，﹣4，4 D．2，﹣4，﹣4【考点】二元二次方程表示圆的条件．【分析】先根据方程求出用a、b和c表示的圆心坐标和圆的半径，再由题意代入对应的式子求出a、b和c的值．【解答】解：由x2+y2+2ax﹣by+c=0得，圆心坐标是（﹣a，），半径为r2=，因圆心为C（2，2），半径为2，解得a=﹣2，b=4，c=4，故选B．2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④【考点】简单空间图形的三视图．【分析】利用三视图的作图法则，对选项判断，A的三视图相同，圆锥，四棱锥的两个三视图相同，棱台都不相同，推出选项即可．【解答】解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，所以，正确答案为D．故选D3．点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．a=±1【考点】点与圆的位置关系．【分析】圆（x﹣a）2+（y+a）2=4表示平面上到圆心（a，﹣a）的距离为2的所有点的集合，如果点（1，1）在圆内，则得到圆心与该点的距离小于半径，列出关于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范围．【解答】解：因为点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，所以表示点（1，1）到圆心（a，﹣a）的距离小于2，即＜2两边平方得：（1﹣a）2+（a+1）2＜4，化简得a2＜1，解得﹣1＜a＜1，故选：A．4．直线y=x﹣1上的点到圆x2+y2+4x﹣2y+4=0上的点的最近距离为（）A．B．C．D．0【考点】点到直线的距离公式；圆的标准方程．【分析】求出圆心和半径，求圆心到直线的距离，此距离减去半径即得所求的结果．【解答】解：由题设知圆心为C（﹣2，1），半径r=1，而圆心C（﹣2，1）到直线x﹣y﹣1=0距离为，因此，圆上点到直线的最短距离为，故选C．5．给出下列四个命题：（1）平面内的一条直线与平面外的一条直线是异面直线；（2）若三个平面两两相交，则这三个平面把空间分成7部分；（3）用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；（4）一条直线与两条异面直线中的一条直线相交，那么它和另一条直线可能相交、平行或异面．其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】（1）写出平面内的一条直线与平面外的一条直线的位置关系，即可判定命题正误；（2）画出三个平面两两相交的情况，即可判定命题的正误；（3）根据棱台的定义，可以判定命题的正误；（4）举例说明命题是正确的．【解答】解：（1）平面内的一条直线与平面外的一条直线的位置关系是平行，相交，或异面；∴命题（1）错误；（2）三个平面两两相交，这三个平面可以把空间分成6或7部分，如图，；∴命题（2）错误；（3）用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台；∴命题（3）错误；（4）一条直线与两条异面直线中的一条直线相交，那么它和另一条直线可能相交（如两条异面直线的公垂线），平行（如作两条异面直线所成的角），或异面（如正方体中下底面的对角线与上底面的棱）；∴命题（4）正确；所以，以上真命题只有1个，是（4）；故选：B．6．直线x+y﹣2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是（）A．B．C．D．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】先求圆心到直线的距离，再求劣弧所对的圆心角．【解答】解：圆心到直线的距离：，圆的半径是2，劣弧所对的圆心角为60°故选C．7．若圆台的上、下底面半径的比为3：5，则它的中截面分圆台上下两部分面积之比为（）A．3：5 B．9：25 C．5：D．7：9【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】中截面把圆台分为上、下两个圆台，则两个圆台的侧高相等，且中截面半径等于两底面半径和的一半，根据圆台的上、下底面半径的比为3：5，我们可以设，上底半径为3R，下底半径为5R，母线长为2L，求出上、下两部分侧面积，即可得到答案．点评：【解答】解：设上底半径为3R，下底半径为5R，母线长为2L，则中截面半径为4R，分成的两个圆台的母线长均为L，4R+3R）L，则S上=π（S下=π（4R+5R）L，故分圆台上、下两部分侧面积的比为7：9．故选：D，8．过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）A．y=B．y=﹣C．D．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】画出图形，利用三角函数可以求直线的斜率，求出直线方程．【解答】解：如图，圆方程为（x+2）2+y2=12，圆心为A（﹣2，0），半径为1，．故选C．9．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为30°的等腰三角形 D．其他等腰三角形【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】圆锥的母线长就是展开半圆的半径，根据这个条件就可以知道圆锥的母线长是圆锥底面圆半径的两倍，推出结论．【解答】解：圆锥的母线长就是展开半圆的半径，半圆的弧长为aπ就是圆锥的底面周长，所以圆锥的底面直径为a，圆锥的轴截面是等边三角形．故选A10．已知，N={（x，y）|y=x+b}，若M∩N≠∅，则b∈（）A．B．C．D．【考点】交集及其运算；元素与集合关系的判断．【分析】先分析出M中的元素表示的是以（0，0）为圆心，r=3的上半圆，N中的元素是一组平行线上的点，再画出对应图象，知道直线的临界值在相切以及y=x+3之间，求出相切时对应的b即可求得结果．【解答】解：由题得：M中的元素表示的是以（0，0）为圆心，r=3的上半圆，N中的元素是一组平行线上的点．由M∩N≠∅，得直线与半圆有公共点，画出图形得直线的临界值在与圆相切以及y=x﹣3之间．相切时，因为（0，0）到直线y=x+b的距离d==3⇒b=±3，由图得取b=3．所以﹣3＜b≤3．故选：C．11．用若干个棱长为1cm的小正方体叠成一个几何体，图1为其正视图，图2为其俯视图，若这个几何体的体积为7cm3，则其侧视图为（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】通过几何体的体积，判断几何体中正方体的个数，排除选项A、D；从俯视图正视图推出正确选项．【解答】解：由这个几何体的体积为7cm3可知共有7个小正方体．通过俯视图可以排除选项A、D，结合俯视图与主视图即可选出正确答案为C（若左视图为D，则只需要6个小正方体即可）．故选C．12．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，B1C1的中点，则过这三点的截面图的形状是（）A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【考点】平面的基本性质及推论．【分析】分别取D1C1、D1D、AD的中点H、M、N，连结GH、HM、MN，六边形EFGHMN是过E，F，G这三点的截面图．【解答】解：分别取D1C1、D1D、AD的中点H、M、N，连结GH、HM、MN，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，B1C1的中点，∴HG∥EN，HM∥EF，FG∥MN，∴六边形EFGHMN是过E，F，G这三点的截面图，∴过这三点的截面图的形状是六边形．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．以点A（1，4）、B（3，﹣2）为直径的两个端点的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=10．【考点】圆的标准方程．【分析】根据中点坐标公式求出线段AB的中点坐标即为圆心的坐标，然后根据两点间的距离公式求出圆心到A的距离即为圆的半径，根据求出的圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．【解答】解：设线段AB的中点为O，所以O的坐标为（，），即（2，1），则所求圆的圆心坐标为（2，1）；由|AO|==，得到所求圆的半径为，所以所求圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=10．故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1014．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是16或64．【考点】平面图形的直观图．【分析】利用直观图的画法规则法两种情况即可求出．【解答】解：如图所示：①若直观图中平行四边形的边A′B′=4，则原正方形的边长AB=A′B′=4，故该正方形的面积S=42=16．②若直观图中平行四边形的边A′D′=4，则原正方形的边长AD=2A′D′=8，故该正方形的面积S=82=64．故答案为16或64．15．正四面体的内切球与外接球的体积之比1：27．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】画出图形，确定两个球的关系，通过正四面体的体积，求出两个球的半径的比值，即可求棱长为a的正四面体的内切球和外接球的体积之比．【解答】解：设正四面体为PABC，两球球心重合，设为O．设PO的延长线与底面ABC的交点为D，则PD为正四面体PABC的高，PD⊥底面ABC，且PO=R，OD=r，OD=正四面体PABC内切球的高．设正四面体PABC底面面积为S．将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连接，可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面．每个正三棱锥体积V1=•S•r 而正四面体PABC体积V2=•S•（R+r）根据前面的分析，4•V1=V2，所以，4••S•r=•S•（R+r），所以，R=3r，所以棱长为a的正四面体的内切球和外接球的体积之比为1：27．故答案为1：27．16．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm2）为80 cm2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图判断几何体的特征，结合三视图的数据关系，求出几何体的侧面积．【解答】解：由三视图复原几何体可知，此几何体为正四棱锥，底面边长为8，侧面上的高为5，8×5=80cm2．所以S侧=4××故答案为：80cm2．三、解答题：（本大题共5小题，第17题8分，第18～21题每题10分．）17．过圆x2+y2﹣x+y﹣2=0和x2+y2=5的交点，且圆心在直线3x+4y﹣1=0上的圆的方程为x2+y2+2x﹣2y﹣11=0．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】根据题意可设所求圆的方程为x2+y2﹣x+y﹣2+λ（x2+y2﹣5）=0（λ≠﹣1），再求出圆心坐标为，圆心在直线3x+4y﹣1=0上，所以将圆心的坐标代入中心方程可得λ的值，进而求出圆的方程．【解答】解：设所求圆的方程为x2+y2﹣x+y﹣2+λ（x2+y2﹣5）=0（λ≠﹣1），即整理可得，所以可知圆心坐标为，因为圆心在直线3x+4y﹣1=0上，所以可得，解得λ=﹣．将λ=﹣代入所设方程并化简可得所求圆的方程为：x2+y2+2x﹣2y﹣11=0．故答案为：x2+y2+2x﹣2y﹣11=0．18．过原点O作圆x2+y2﹣8x=0的弦OA，延长OA到N，使|OA|=|AN|，求点N 的轨迹方程．【考点】轨迹方程．【分析】设N（x，y），延长OA到N，使|OA|=|AN|，可得A．由于点A在圆（x′）2+（y′）2﹣8x′=0上，即可得出．【解答】解：设N（x，y），∵延长OA到N，使|OA|=|AN|，∴A．由于点A在圆（x′）2+（y′）2﹣8x′=0上，∴﹣8×=0，化为：x2+y2﹣16x=0，即为点N的轨迹方程．19．如图：已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CC1的中点，F是AC，BD的交点．求A1F与B1E所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．利用cos＜，＞=即可得出．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．不妨设AB=2，则D（0，0，0），A1（2，0，2），F（1，1，0），B1（2，2，2），E（0，2，1）．=（1，﹣1，2），=（2，0，1），∴cos＜，＞===，∴A1F与B1E所成角的余弦值为．20．圆（x+1）2+y2=8内有一点P（﹣1，2），AB过点P，①若弦长，求直线AB的倾斜角；②若圆上恰有三点到直线AB的距离等于，求直线AB的方程．【考点】直线的一般式方程；直线的倾斜角．【分析】①由弦长公式求出圆心到直线AB的距离，点斜式设出直线方程，由点到直线的距离公式求出斜率，再由斜率求倾斜角．②由题意知，圆心到直线AB的距离d=，由点到直线的距离公式求出斜率，点斜式写出直线方程，并化为一般式．【解答】解：①设圆心（﹣1，0）到直线AB的距离为d，则d==1，设直线AB的倾斜角α，斜率为k，则直线AB的方程y﹣2=k（x+1），即kx﹣y+k+2=0，d=1=，∴k=或﹣，∴直线AB的倾斜角α=60°或120°．②∵圆上恰有三点到直线AB的距离等于，∴圆心（﹣1，0）到直线AB的距离d==，直线AB的方程y﹣2=k（x+1），即kx﹣y+k+2=0，由d==，解可得k=1或﹣1，直线AB的方程x﹣y+3=0 或﹣x﹣y+1=0．21．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M、N两点（1）求实数k的取值范围；（2）求证：为定值；（3）若O为坐标原点，且，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．（2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程化简，再利用一元二次方程根与系数的关系求得x1+x2和x1•x2的值，可得y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）的值，利用=（x1，y1﹣1）•（x2，y2﹣1）=x1•x2+y1•y2﹣（y1+y2）+1，即可得出结论；（3）由x1•x2+y1•y2=12，解得k的值，从而求得直线l的方程．【解答】（1）解：由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0．…由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．故由＜1，解得：＜k＜．故当＜k＜时，过点A（0，1）的直线与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M，N两点．（2）证明：由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，可得（1+k2）x2﹣4（k+1）x+7=0，设M（x1，y1）；N（x2，y2），则x1+x2=，x1•x2=，∴y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）=，=（x1，y1﹣1）•（x2，y2﹣1）=x1•x2+y1•y2﹣（y1+y2）+1=+﹣k×﹣2+1=7为定值；（3）解：由x1•x2+y1•y2==12，解得k=1，故直线l的方程为y=x+1，即x﹣y+1=0．。