运筹学3

的最优解是 X = (6,2,0) ，求对偶问题的最优解。
T
§2.2对偶性质 对偶性质 Dual Property
Ch2 Dual Problem
2010年12月27日星期一 Page 12 of 23
m z = 3x1 + 4x2 + x3 ax x1 + 2x2 + x3 ≤10 2x1 + 2x2 + x3 ≤16 x ≥ 0, j =1,2,3 j
这一性质说明了两个线性规划互为对偶时， 这一性质说明了两个线性规划互为对偶时，求最大值的线性规 划的任意目标值都不会大于求最小值的线性规划的任一目标值， 划的任意目标值都不会大于求最小值的线性规划的任一目标值， 不能理解为原问题的目标值不超过对偶问题的目标值。 不能理解为原问题的目标值不超过对偶问题的目标值。
§2.2对偶性质 对偶性质 Dual Property一 Page 5 of 23
例如：
m z = x1 + 2x2 in 1 − x1 − 2 x2 ≥ 2 x1 + x2 ≥ 2 x , x ≥ 0 1 2
无可行解，而对偶问题
CX = CB X B = CB B b = Y b
0 0
−1
由性质3知 °是最优解。 由性质 知Y°是最优解。 还可推出另一结论： 由性质 4 还可推出另一结论：若（LP）与（DP）都有可行解， ） ）都有可行解， 则两者都有最优解，若一个问题无最优解， 则两者都有最优解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最 优解。 优解。
§2.2对偶性质 对偶性质 Dual Property
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由这个性质可得到下面几个结论： （1）（LP）的任一可行解的目标值是（DP）的最优值下 界；（DP）的任一可行解的目标是（LP）的最优值的上 界； （2）在互为对偶的两个问题中，若一个问题可行且具有 无界解，则另一个问题无可行解； (3）若原问题可行且另一个问题不可行，则原问题具有 无界解。 注意上述结论（2）及（3）的条件不能少。一个问题有可 行解时，另一个问题可能有可行解（此时具有无界解）也 可能无可行解。
§2.2对偶性质 对偶性质 Dual Property
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性质5】 【 性质 】 互补松弛定理 设 X°、 Y°分别为 （ LP）与 ° ° 分别为（ ） 是它的松弛变量的可行解， （ DP） 的可行解 ， XS 和 YS 是它的松弛变量的可行解 ， 则 ） 的可行解， X°和Y°是最优解当且仅当 ° ° YSX°=0和Y°XS=0 ° 和 ° 【证】设X°和Y°是最优解，由性质 ，C X°= Y°b， ° °是最优解，由性质3 ° ° ， 由于X 是松弛变量， 由于 S和YS是松弛变量，则有 A X°＋XS＝b ° Y°A－YS=C ° － 将第一式左乘Y° 第二式右乘X° 将第一式左乘 °，第二式右乘 °得 Y°A X°＋Y°XS＝Y°b ° ° ° ° Y°A X°－YS X°=C X° ° ° ° °
§2.2对偶性质 对偶性质 Dual Property
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设原问题是（记为LP）：
m Z = CX ax AX ≤ b X ≥ 0
对偶问题是（记为DP）： m w=Y in b
A Y ≥ C Y ≥ 0 这里A是m×n矩阵X是n×1列向量，Y是1×m行向量。假 设Xs与Ys分别是（LP）与（DP）的松驰变量。
m w = Yb, in
YA ≤ C,Y ≥ 0
它与下列线性规划问题是等价的：
m −w) = −Yb,−YA ≤ −C,Y ≥ 0 ax(
再写出它的对偶问题。
m w' = −CX,−AX ≥ −b, X ≥ 0 in
它与下列线性规划问题是等价的
m Z = CX, AX ≤ b, X ≥ 0 ax
即是原问题。
m w = 2y1 + 2y2 ax − y1 + y2 ≤ 1 1 − y1 + y2 ≤ 2 2 y1, y2 ≥ 0
有可行解，由结论（3）知必有无界解。
§2.2对偶性质 对偶性质 Dual Property
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【性质 性质1】 对称性 对偶问题的对偶是原问题。 性质 【证】设原问题是 证
m Z = CX, AX ≤ b, X ≥ 0 ax
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由表2－1知，它的对偶问题是
§2.2对偶性质 对偶性质 Dual Property
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显然有
Y°XS=－YS X° Y°XS=0和YS X°=0
又因为Y°、Xs、Ys、X°≥0，所以有 成立。
反之， 当Y°XS=0 =0和YS X°=0时，有 =0 Y°A X°＝Y°b Y°A X°=C X° 显然有Y°b=C X°,由性质3知Y°与X°是（LP）与（DP） 的最优解。证毕。
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性质5告诉我们已知一个问题的最优解时求另一个问题的 最优解的方法，即已知Y°求X°或已知X°求Y°。 Y°XS=0和YS X°=0 两式称为互补松弛条件。将互补松弛条件写成下式
因而原问题为无界解，即无最优解。
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【性质 性质6】 （LP）的检验数的相反数对应于（DP）的一 性质 组基本解. 其中第j个决策变量xj的检验数的相反数对应于（DP） 中第j个松弛变量 yS j 的解，第i个松弛变量 xS 的检验 i 数的相反数对应于第i个对偶变量yi 的解。反之，（DP） 的检验数（注意：不乘负号）对应于（LP）的一组基本解。 证明略。
§2.2对偶性质 对偶性质 Dual Property
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【例2.8】 证明下列线性规划无最优解： 例
m Z = x1 − x2 + x3 in x1 − x3 ≥ 4 x1 − x2 + 2x3 ≥ 3 x ≥ 0, j = 1,2,3 j
【证】容易看出X=（4，0，0） 证 X= 4 0 0 是一可行解，故问题可行。对偶问题
m w = 4y1 + 3y2 ax y1 + y2 ≤ 1 − y ≤ −1 2 − y1 + 2y2 ≤ 1 y1 ≥ 0, y2 ≥ 0
1 将三个约束的两端分别相加得 2 ， 而第二个约束有y2≥1，矛盾，故对偶 问题无可行解， y2 ≤
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【性质2】 弱对偶性 设X°、Y°分别为（LP）与（DP）的 性质 】 ° °分别为（ ） ） 可行解， 可行解，则 CX 0 ≤ Y 0b 因为X° 【证】因为 °、Y°是可行解，故有 °≤b, X°≥0及 °是可行解，故有AX° ° 及 Y°A≥C，Y°≥0, 将不等式 AX°≤b 两边左乘 ° 两边左乘Y° ° ， ° ° 得Y°AX°≤Y°b ° ° ° 再将不等式Y° 两边右乘X° 再将不等式 °A≥C两边右乘 °， 两边右乘 得C X°≤Y°AX° ° ° ° 故 C X°≤Y°AX≤Y°b ° ° °
∑y
i=1 m
m
0
i
xSi = 0 xj = 0
0
∑y
j =1
Sj
由于变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分量 为零，因而有下列关系：
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（1）当yi°>0时， S x
y1 + 2y2 = 3 2y1 + 2y2 = 4
解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对 偶问题的最优解为Y=（1，1），最 优值w=26。
§2.2对偶性质 对偶性质 Dual Property
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【例2.7】 已知线性规划 例
m z = 2x1 − x2 + 2x3 in 4 − x1 + x2 + x3＝ − x1 + x2 − x3 ≤ 6 x ≤ 0, x ≥ 0, x 无 束 约 2 3 1
的对偶问题的最优解为 Y=（0, -2），求原问题 的最优解。
【解】对偶问题是 解 m w = 4y1 + 6y2 由y2≠0得 xS=0，由 yS2 =1 ax 2 得x2=0，原问题的约束条件变为: − y1 − y2 ≥ 2 y + y ≤ −1 − x1 + x3 = 4 解此方程组得 1 2 2 y1 − y2＝ − x1 − x3 = 6 原问题最优解： y1无 束 y2 ≤ 0 约 ， X=(-5, 0, -1)T，minZ = -12。