河北省衡水中学2018届高三上学期九模考试数学(文)试题(原卷版)
【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三9月大联考理数试题
衡水金卷2018届全国高三大联考理数第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|540M x x x =-+≤，{}|24x N x =>，则（ ） A ．{}|24M N x x =<< B ．M N R =C ．{}|24MN x x =<≤D ．{}|2MN x x =>2.记复数z 的虚部为Im()z ，已知复数5221iz i i =--（i 为虚数单位），则Im()z 为（ ） A ．2B ．3-C ．3i -D ．33.已知曲线32()3f x x =在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-+=（ ） A ．12B ．2C ．35D ．38-4.2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A ．27265mm πB ．236310mm πC ．23635mm πD ．236320mm π5.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线经过圆E ：22240x y x y +-+=的圆心，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．5B ．52C ．2D ．26.已知数列{}n a 为等比数列，且2234764a a a a =-=-，则46tan()3a a π⋅=（ ） A ．3- B ．3 C ．3±D ．33-7.执行如图的程序框图，若输出的S 的值为10-，则①中应填（ ）A ．19?n <B ．18?n ≥C ．19?n ≥D ．20?n ≥8.已知函数()f x 为R 内的奇函数，且当0x ≥时，()1cos xf x e m x =-+-，记2(2)a f =--，(1)b f =--，3(3)c f =，则a ，b ，c 间的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<9.已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为（ ）A ．23π+ B ．12π+ C ．26π+D ．23π+10.已知函数()2sin()f x x ωϕ=+（0ω>，,2πϕπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的部分图像如图所示，其中5||2MN =．记命题p ：5()2sin()36f x x ππ=+，命题q ：将()f x 的图象向右平移6π个单位，得到函数22sin()33y x ππ=+的图象，则以下判断正确的是（ ）A ．p q ∧为真B ．p q ∨为假C ．()p q ⌝∨为真D ．()p q ∧⌝为真11.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线的对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为（ ）A ．712612+ B ．926+ C ．910+D ．832612+ 12.已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，263n n n S a a =+，*n N ∈，12(21)(21)nn n a n a a b +=--，若*n N ∀∈，n k T >恒成立，则k 的最小值是（ ） A ．17B ．149C ．49D ．8441第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知在ABC ∆中，||||BC AB CB =-，(1,2)AB =，若边AB 的中点D 的坐标为(3,1)，点C 的坐标为(,2)t ，则t = ．14.已知1()2nx x-（*n N ∈）的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p 、q ，则64p q +的最小值为 ．15.已知x ，y 满足3,,60,x y t x y π+≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩其中2t π>，若sin()x y +的最大值与最小值分别为1，12，则实数t 的取值范围为 ．16.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑M ABC -中MA ⊥平面ABC ，2MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数21()cos 3sin()cos()2f x x x x ππ=+-+-，x R ∈． （1）求函数()f x 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（2）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()1f A =-，3a =，sin sin b C a A =，求ABC ∆的面积．18.如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中//CD AB ，BC AB ⊥，侧面ABE ⊥平面ABCD ，且222AB AE BE BC CD =====，动点F 在棱AE 上，且EF FA λ=.（1）试探究λ的值，使//CE 平面BDF ，并给予证明； （2）当1λ=时，求直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值．19.如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分．为了解网络外卖在A 市的普及情况，A 市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）经常使用网络外卖 偶尔或不用网络外卖合计 男性 50 50 100 女性 60 40 100 合计11090200（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖的情况与性别有关？ （2）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠券，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率；②将频率视为概率，从A 市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X ，求X 的数学期望和方差．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：20()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k2.0722.7063.8415.0246.63520.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，其离心率为12，短轴长为23．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点1F 的直线1l 与椭圆C 交于M ，N 两点，过点2F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，且12//l l ，证明：四边形MNPQ 不可能是菱形．21.已知函数()(1)xf x e a x b =-+-（a ，b R ∈），其中e 为自然对数的底数． （1）讨论函数()f x 的单调性及极值；（2）若不等式()0f x ≥在x R ∈内恒成立，求证：(1)324b a +<． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos ,sin x t y αα=⎧⎨=⎩（0t >，α为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2sin()34πρθ+=．（1）当1t =时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值； （2）若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|21||1|f x x x =-++． （1）解不等式()3f x ≤；（2）记函数()()|1|g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：2313t t t+≥+．衡水金卷2018届全国高三大联考理数答案一、选择题1-5:CBCBA 6-10: ACDAD 11、12：BB二、填空题13.1 14.16 15.57,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.2482ππ- 三、解答题17.解：（1）原式可化为21()cos 3sin cos 2f x x x x =--1cos 231sin 2222x x +=--sin(2)6x π=-sin(2)6x π=--，故其最小正周期22T ππ==， 令262x k πππ-=+（k Z ∈），解得23k x ππ=+（k Z ∈）， 即函数()f x 图象的对称轴方程为23k x ππ=+（k Z ∈）． （2）由（1）知()sin(2)6f x x π=--， 因为02A π<<，所以52666A πππ-<-<， 又()sin(2)6f A A π=--1=-，故262A ππ-=，解得3A π=．由正弦定理及sin sin b C a A =，得29bc a ==， 故193sin 24ABC S bc A ∆==． 18.解：（1）当12λ=时，//CE 平面BDF ． 证明如下：连接AC 交BD 于点G ，连接GF ． ∵//CD AB ，2AB CD =， ∴12CG CD GA AB ==． ∵12EF FA =，∴12EF CG FA GA ==． ∴//GF CE .又∵CE ⊄平面BDF ，GF ⊂平面BDF ， ∴//CE 平面BDF .（2）取AB 的中点O ，连接EO ，则EO ⊥AB ． ∵平面ABE ⊥平面ABCD ，平面ABE 平面ABCD AB =，且EO AB ⊥，∴EO ⊥平面ABCD ．∵//BO CD ，且1BO CD ==，∴四边形BODC 为平行四边形，∴//BC DO ．又∵BC AB ⊥，∴AB OD ⊥．由OA ，OD ，OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -． 则(0,0,0)O ，(0,1,0)A ，(0,1,0)B -，(1,0,0)D ，(1,1,0)C -，(0,0,3)E ． 当1λ=时，有EF FA =，∴可得13(0,,)22F ． ∴(1,1,0)BD =，(1,1,3)CE =-，33(0,,)22BF =． 设平面BDF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则有0,0,n BD n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,330,22x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令3z =，得1y =-，1x =，即(1,1,3)n =-．设CE 与平面BDF 所成的角为θ， 则|113|1sin |cos ,|555CE n θ--+=<>==⨯， ∴当1λ=时，直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值为51． 19.解：（1）由列联表可知2K 的观测值22()200(50405060) 2.020 2.072()()()()11090100100n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯，所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖情况与性别有关． （2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有6053100⨯=（人）， 偶尔或不用网络外卖的有4052100⨯=（人）． 则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为2133233355710C C C P C C =+=． ②由22⨯列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的概率为1101120020=， 将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为1120． 由题意得11~(10,)20X B ，∴1111()10202E X =⨯=；11999()10202040D X =⨯⨯=． 20.解：（1）由已知，得12c a =，3b =，又222c a b =-，故解得24a =，23b =，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． （2）由（1），知1(1,0)F -，如图，易知直线MN 不能平行于x 轴， 所以令直线MN 的方程为1x my =-， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立方程2234120,1,x y x my ⎧+-=⎨=-⎩得22(34)690m y my +--=，所以122634m y y m +=+，122934y y m -=+． 此时221212||(1)()4MN m y y y y ⎡⎤=++-⎣⎦．同理，令直线PQ 的方程为1x my =+，设33(,)P x y ，44(,)Q x y ， 此时342634m y y m -+=+，342934y y m -=+， 此时223434||(1)()4PQ m y y y y ⎡⎤=++-⎣⎦．故||||MN PQ =，所以四边形MNPQ 是平行四边形.若MNPQ 是菱形，则OM ON ⊥，即0OM ON ⋅=，于是有12120x x y y +=.又1212(1)(1)x x my my =--21212()1m y y m y y =-++， 所以有21212(1)()10m y y m y y +-++=，整理得22125034m m --=+，即21250m +=， 上述关于m 的方程显然没有实数解， 故四边形MNPQ 不可能是菱形.21.解：（1）由题意'()(1)xf x e a =-+．当10a +≤，即1a ≤-时，'()0f x >，()f x 在R 内单调递增，没有极值．当10a +>，即1a >-时， 令'()0f x =，得ln(1)x a =+，当ln(1)x a <+时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当ln(1)x a >+时，'()0f x >，()f x 单调递增，故当ln(1)x a =+,()f x 取得极小值(ln(1))f a +1(1)ln(1)a b a a =+--++，无极大值． 综上所述，当1a ≤-时，()f x 在R 内单调递增，没有极值；当1a >-时，()f x 在区间(,ln(1))a -∞+内单调递减，在区间(ln(1),)a ++∞内单调递增，()f x 的极小值为1(1)ln(1)a b a a +--++，无极大值．（2）由（1），知当1a ≤-时，()f x 在R 内单调递增， 当1a =-时，(1)3024b a +=<成立， 当1a <-时，令c 为1-和11ba-+中较小的数， 所以1c ≤-，且11bc a-≤+． 则1ce e -≤，(1)(1)a c b -+≤--+，所以1()(1)(1)0cf c e a c b e b b -=-+-≤---<，与()0f x ≥恒成立矛盾，应舍去． 当1a >-时，min ()(ln(1))1(1)ln(1)0f x f a a b a a =+=+--++≥， 即1(1)ln(1)a a a b +-++≥，所以22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a +≤+-++．令22()ln (0)g x x x x x =->，则'()(12ln )g x x x =-． 令'()0g x >，得0x e <<；令'()0g x <，得x e >，故()g x 在区间(0,)e 内单调递增，在区间(,)e +∞内单调递减， 故max ()()ln 2e g x g e e e e ==-=， 即当1a e +=，即1a e =-时，max ()2eg x =．所以22(1)(1)(1)ln(1)2e a b a a a +≤+-++≤， 所以(1)24b a e+≤．而3e <，所以(1)324b a +<． 22.解：（1）易知曲线C ：221x y +=，直线l 的直角坐标方程为30x y +-=． 所以圆心到直线l 的距离33222d ==， ∴max 3212d =+． （2）∵曲线C 上的所有点均在直线l 的下方， ∴a R ∀∈，有cos sin 30t αα+-<恒成立， ∴213t +<．又0t >，∴解得022t <<， ∴实数t 的取值范围为(0,22)．23.解：（1）依题意，得3,1,1()2,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩于是得()3f x ≤1,33,x x ≤-⎧⇔⎨-≤⎩或11,223,x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1,233,x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩解得11x -≤≤．即不等式()3f x ≤的解集为{}|11x x -≤≤．（2）()()|1||21||22||2122|3g x f x x x x x x =++=-++≥---=， 当且仅当(21)(22)0x x -+≤时，取等号， ∴[3,)M =+∞． 原不等式等价于2331t t t-+≥， ∵[3,)t ∈+∞，∴230t t -≥， ∴2311t t -+≥. 又∵31t ≤，∴2331t t t-+≥， ∴2313t t t+≥+.。
河北省衡水中学2018届高三上学期五调考试 数学(文)
4．设 2, 1, 的个数是 A．1
Leabharlann 1 1 1 , , ,1, 2,3，则使f x x a 为奇函数且在区间 0, 内单调递减的 值 2 3 2
C．3 D．4
B．2
5．若点 P cos ,sin 在直线 y 2 x 上，则 cos 2 A．
A． 2 B．
2 3
2
C．
2
12 5
D．
2
2 4 7
2
11．已知动圆 M 与圆 C1 : x 1 y 1 ，与圆 C2： x 1 y 25 内切，则动圆圆心 M 的轨迹 方程是 A．
x2 y2 x2 y2 1 B. 1 8 9 9 8
C．
tan A tan B tan A tan B ．
(1)求角 B 的大小；
2 2 2
(2)若 a 4, a c b ，求 BA在CB 方向上的投影．
19．(本小题满分 12 分)如图，四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，A1 A 底面 ABCD，四边形 ABCD 为梯 形， AD／／BC，且 AD=2BC，过 A1 , C , D 三点的平面记为 , BB1 与平面 的交点为 Q． (1)求 BQ： QB1 的值； (2)求此四棱柱被平面 分成上、下两部分的体积之比．
20．(本小题满分 12 分)已知函数 f x
ex a x ln x (e 为自然对数的底数)． x
x2 y2 1 9
D． x
2
y2 1 9
12．已知 f x 是定义在 R 上的可导函数，且满足 x 1 f x xf x 0 ，则 A． f x 0 B． f x 0 C. f x 为减函数
河北省衡水中学2018-2019学年高三(上)一调数学试卷(文科)(解析版)
时，由对数函数的性质可得当时, 2018-20佃学年河北省衡水中学高三（上）一调数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集，集合集合或，那么集合等于A. B.或 C. D.【答案】D【解析】解：全集集合 ,集口或，的最小值为，由题意可得，设，在递增,故选：D.利用补集的定义求出，再利用两个集合的交集的定义，求出本题考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，求出可得，故选：B.由题意可得时的最小值不为8；，由复合函数的单调性可得取得最小值，再由函数零点存在定理，即可得到所求值.本题考查函数的最值的求法，注意运用二次函数的最值和函数零点存在定理，考查运算能力，属于中档题.是解题的关键.2.设复数z满足，则A. -B. -C. -D. 2【答案】C【解析】解：，，^则一.故选：C.利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出.本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 5.设：，q：，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：:-，解得且，q：，解得：3. 已知点在幕函数的图象上，设一，贝U a, b, c 的大小关系为A. B. 【答案】A【解析】解：点在幕函数f可得，即，，可得，则，且在R上递增,C.的图象上,D.若p是q的必要不充分条件，则或，解得或故选：D.:——, , ，解得x范围：，解得:根据p是q的必要不充分条件，即可得出.本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.6.已知等比数列的前n项和为，且-，-，则一A. B. C. D.【答案】D【解析】解：设等比数列的公比为q,可得，故选：A.由幕函数的定义可得，且在R上递增，结合对数函数和幕函数的性质，即可得到a, b, c的大小关系.本题考查幕函数的解析式和性质以及运用：比较大小，考查运算能力，属于中档题.4. 已知函数的最小值为8，则A. B. C. D.【答案】B 【解析】解：函数的最小值为8，可得，故选：D 显然时的最小值不为8；第1页，共6页设等比数列的公比为q,可得—— -，进而可得，可得和，相除化简即可. 本题考查等比数列的性质和求和公式，属基础题.7.已知函数，且，则实数m的取值范围为A. B. - C. - D.-【答案】D【解析】解：，，则函数是偶函数，当时，，为增函数，则不等式，等价为，即，或，即或-，即实数m的取值范围是- ，故选：D.根据条件判断函数的奇偶性和单调性，然后将不等式进行转化即可.本题主要考查不等式的求解，结合函数的性质，判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键. 可得答案.本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答.9.若函数存在唯一的极值，且此极值不小于A. -B.-C. -D.【答案】B【解析】解：- ，，1,贝U a的取值范围为8.运行如图所示的程序框图，若输出的s值为，则判断框内的条件应该是A.?B.?C.?D.? 令，解得或，函数-存在唯一的极值,，此时当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，极小值一，极小值，解得-，故选：B.先求导，再根据函数- 存在唯一的极值，可得值不小于1，即可求出a的范围本题考查了导数和函数的极值的关系，考查了转化能力和运算能力，属于中档题10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为时函数的极值点，再根据极【答案】C 【解析】解：当，时，应满足继续循环的条件，故当，时，应满足继续循环的条件，故，当，时，应满足继续循环的条件，故，当，时，应满足继续循环的条件，故当，时，应不满足继续循环的条件，故判断框内的条件应该是？，故选：C. A.B.C.D.正视图俯视图侧视图由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程,第2页，共6页【答案】D【解析】解：由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥.该几何体的体积 - -故选：D.由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥.本题考查了三棱台的三视图的有关知识、圆柱与四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 当时，—当时，的最小值为又函数满足当时，的最小值为 -当时，的最小值为 - 若时，--恒成立，11.已知定义在R上的奇函数满足：当时，，若不等式对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是A. -B. -C. "D. "【答案】A【解析】解：当时，当时，，又为定义在R上的奇函数,综合知，，又，为R上的增函数，不等式对任意实数t恒成立对任意实数t恒成立，即对任意实数t恒成立，，解得：—故选：A.依题意，可求得奇函数，且为R上的增函数，故可将不等式对任意实数t恒成立转化为对任意实数t恒成立，即对对任意实数t恒成立，解之即可.本题考查函数恒成立问题，将不等式对任意实数t恒成立转化为对任意实数t恒成立是关键，考查函数奇偶性与单调性的综合应用，属于难题.12.定义域为R的函数满足，当时，，若即--------即解得：故选：D.由时，且-—恒成立，则-一不大于时的最小值，根据满足，当时, ，求出时的最小值，构造分式不等式，解不等式可得答案.本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，分式不等式的解法，高次不等式的解法，是函数、不等式的综合应用，难度较大.二、填空题（本大题共4小题，共20.0 分）13.已知命题P: 恒成立，命题Q：，使得，若命题真命题，则实数a的取值范围为 ________【答案】-【解析】解：当P为真命题时，恒成立，即恒成立,所以，即-，当Q为假命题时，「为真命题，即，使得，所以，则Q：，又命题为真命题，所以命题P，Q都为真命题，则_，即一根据条件求出命题为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系得到命题解即可.【解析】解：当时,时,A.【答案】D -一恒成立，则实数t的取值范围是B. ,C.D.故实数a的取值范围是-故答案为：-P, Q都为真命题，然后进行求第3页，共6页。
衡水金卷2018届高三上学期全国大联考(文数)
衡水金卷2018届高三上学期全国大联考数学（文科）本试卷分共4页，23题（含选考题）。
第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2540M x x x =-+≤，{}0,1,2,3N =，则集合N M 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．已知命题p ：x ∀∈R ，()1220x -<，则命题p ⌝为（ ） A ．0x ∃∈R ，()12020x -> B ．x ∀∈R ，()1210x -> C ．x ∀∈R ，()1210x -≥ D ．0x ∃∈R ，()12020x -≥ 3．已知复数5i2i 1z =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．已知双曲线C ：()2221016x y a a -=>的一个焦点为()5,0，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．430x y ±= B ．1690x y ±=C．40x = D ．4312x y ±=5．2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行发行了以此 为主题的金银纪念币.如图所示的是一枚8克圆形金质纪念币，直径22毫米， 面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷100粒芝麻， 已知恰有30粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A ．2726mm 5π B ．2363mm 10π C ．2363mm 5π D ．2363mm 20π6．下列函数中，与函数122xx y =-的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（ ）A ．sin y x =B ．3x y = C ．1y x = D ．()()2200x x y x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩7．如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（ ）8．设55log 4log 2a =-，2lnln 33b =+，1lg5210c =，则a b c ，，的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b << D ．b a c << 9．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．1819 B ．1920 C ．2021 D ．12010．将函数()2sin 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π的图象向左平移6π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则下列关于函数()y g x =的说法错误．．的是（ ） A ．最小正周期为π B ．图象关于直线12x =π对称C ．图象关于点,012⎛⎫⎪⎝⎭π对称 D ．初相为3π11．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线发射后必经过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为（ ）A ．43 B ．43- C ．43± D ．169- 12．已知ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且()()222cos cos a b c a B b A abc +-⋅+=，若2a b +=，则c 的取值范围为（ ）A ．()0,2B ．[)1,2C ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(]1,2第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量⎪⎭⎫⎝⎛=6cos ,3sinππa ，)1,(kb =，若b a //，则k = ． 14．已知函数()32f x x x =-，若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线经过圆C ：()222x y a +-=的圆心，则实数a 的值为 ．15．已知实数x y ，满足约束条件3,,60,x y x y +≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩ππ则()sin x y +的取值范围为 （用区间表示）．16．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥M ABCD -为阳马，侧棱MA ⊥底面ABCD ，且2MA BC AB ===，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分12分） 在递增的等比数列{}n a 中，1632a a ⋅=，2518a a ⋅=，其中*n ∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记21log n n n b a a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 18．（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，12AC BC CC ===，点D 为AB 的中点.（1）证明：1AC ∥平面1B CD ； （2）求三棱锥11A CDB -的体积.19．（本小题满分12分）随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在A 市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表（单位：人）：（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关？（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人. （i ）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（ii ）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>过点()，离心率为2，直线l ：20kx y -+=与椭圆C 交于A B ，两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在实数k-=（其中O 为坐标原点）成立？若存在，求出实数k 的值；若不存在，请说明理由. 21．（本小题满分12分）已知函数()2ln 23f x x x =-+，()()()4ln 0g x f x x a x a '=++≠. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的方程()g x a =有实数根，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y =⎧⎨=⎩αα（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lsin 34⎛⎫+= ⎪⎝⎭πθ. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =-++. （1）解不等式()3f x ≤；（2）记函数()()1g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，试证明：223t t -≥.数学（文科）参考答案一、选择题1-5:CDDAB 6-10:DAABC 11、12：BB 二、填空题13．1 14．2- 15．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．36-π 三、解答题17．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则251632a a a a ⋅=⋅=，又2518a a +=，∴22a =，516a =或216a =，52a =（舍）. （3分） ∴3528a q a ==，即2q =. （4分） 故2122n n n a a q --==（*n ∈N ）. （6分） （2）由（1）得，12n n b n -=+. （8分） ∴12n n T b b b =+++L()()211222123n n -=+++++++++L L()112122n n n +-=+-2212n n n +=-+. （12分）18．解：（1）连接1BC 交1B C 于点O ，连接OD .在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11BCC B 是平行四边形. ∴点O 是1BC 的中点. （2分）∵点D 为AB 的中点，∴1OD AC ∥. （4分）又OD ⊂平面1B CD ，1AC ⊄平面1B CD ，∴1AC ∥平面1B CD . （6分） （2）∵AC BC =，AD BD =，∴CD AB ⊥.在三棱柱111ABC A B C -中，由1AA ⊥平面ABC ，得平面11ABB A ⊥平面ABC . 又平面11ABB A I 平面ABC AB =.∴CD ⊥平面11ABB A .∴点C 到平面11A DB 的距离为CD ，且sin 4CD AC ==π（9分）∴11111113A CDB C A DB A DB V V S CD --∆==⨯1111132A B AA CD =⨯⨯⨯⨯=14263⨯=. （12分）19．解：（1）由列联表可知，()2220070406030 2.19813070100100K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为2.198 2.072>，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关. （4分）（2）（i ）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有6053100⨯=（人）， 偶尔或不用共享单车的有4052100⨯=（人）. （6分） （ii ）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为a b c ，，；偶尔或不用共享单车的2人分别为d e ，.则从5人中选出2人的所有可能结果为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，共10种.其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为(),d e ，共1种. 故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率1911010P =-=. （12分）20．解：（1）依题意，得22222211,,a b c aa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得24a =，22b =，22c =， 故椭圆C 的标准方程为22142x y +=. （4分） （2）假设存在符合条件的实数k .依题意，联立方程222,24,y kx x y =+⎧⎨+=⎩消去y 并整理，得()2212840k x kx +++=.则()226416120k k ∆=-+>，即k >或k <.设()11,A x y ，()22,B x y ， 则122812k x x k +=-+，122412x x k =+. （6分）=+，得0=⋅. （7分） ∴12120x x y y +=. ∴()()1212220x x kx kx +++=.即()()212121240kx xk x x ++++=. ∴()22224116401212k k k k +-+=++.即2012k=+. 即22k =，即k =故存在实数k =-=+成立. （12分）21．解：（1）依题意，得()21144x f x x x x -'=-=()()1212x x x+-=，()0,x ∈+∞. 令()0f x '>，即120x ->. 解得102x <<； 令()0f x '<，即120x -<. 解得12x >. 故函数()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（4分） （2）由题得，()()4ln g x f x x a x '=++=1ln a x x+. 依题意，方程1ln 0a x a x +-=有实数根，即函数()1ln h x a x a x =+-存在零点. 又()2211a ax h x x x x -'=-+=.令()0h x '=，得1x a=. 当0a <时，()0h x '<.即函数()h x 在区间()0,+∞上单调递减，而()110h a =->，111111e 1aah a a a e --⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1111110e e a-=-<-<. 所以函数()h x 存在零点； （8分） 当0a >时，()h x '，()h x 随x 的变化情况如下表：所以11ln ln h a a a a a a a ⎛⎫=+-=-⎪⎝⎭为函数()h x 的极小值，也是最小值. 当10h a ⎛⎫>⎪⎝⎭，即01a <<时，函数()h x 没有零点；当0h a ≤⎪⎝⎭，即1a ≥时，注意到()110h a =-≤， ()11e 0e eh a a =+-=>，所以函数()h x 存在零点.综上所述，当()[),01,a ∈-∞+∞U 时，方程()g x a =有实数根. （12分）22．解：（1）由曲线C 的参数方程2cos sin x y =⎧⎨=⎩αα（α为参数），得曲线C 的普通方程为2214x y +=. （3分）sin 34⎛⎫+= ⎪⎝⎭πθ，得()sin cos 3+=ρθθ，即3x y +=.∴直线l 的普通方程为30x y +-=. （6分）（2）设曲线C 上的一点为()2cos ,sin αα， 则该点到直线l的距离d ==（其中tan 2=ϕ）.当()sin 1+=-αϕ时，max 2d ==. 即曲线C 上的点到直线l.（10分）23．解：（1）依题意，得()3,1,12,1,213,.2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩则不等式()3f x ≤即为1,33x x ≤-⎧⎨-≤⎩或11,223x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1,23 3.x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩解得11x -≤≤.故原不等式的解集为{}11x x -≤≤. （5分） （2）由题得，()()121g x f x x x =++=-+2221223x x x +≥---=，当且仅当()()21220x x -+≤.即112x -≤≤时取等号.∴[)3,M =+∞.（8分） ∴()()22331t t t t --=-+. ∵t M ∈， ∴30t -≥，10t +>. ∴()()310t t -+≥.∴223t t -≥. （10分）。
衡水中学2018届高三9月大联考数学(文)试题(解析版)
衡水金卷2018届全国高三大联考文数第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则集合中元素的个数为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题得，集合，所以.集合中元素的个数为3.故选C.2. 已知命题：，，则命题为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】全称命题的否定是特称命题，则：若命题：，，则命题为，.本题选择D选项.3. 已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】结合复数的运算法则可得：，即复数在复平面内对应的点位于第四象限.本题选择D选项.4. 已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，，则，即.所以双曲线的渐近线方程为，即.故选A.5. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率为，设军旗的面积为S，由题意可得：.本题选择B选项.6. 下列函数中，与函数的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数为奇函数，且在R上单调递减，对于A，是奇函数，但不在R上单调递减；对于B，是奇函数，但在R上单调递增；对于C，对于D，画出函数图象可知函数是奇函数，且在R上单调递减，故选D.7. 如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由正视图和俯视图可知，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知其侧视图为A.故选A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8. 设，，，则，，的大小关系为（）A. B.C. D.【解析】由题意得，.得，而.所以，即<1.又.故.选A.9. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由框图可知，.故选B.10. 将函数的图象向左平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列关于函数的说法错误的是（）A. 最小正周期为B. 图象关于直线对称C. 图象关于点对称D. 初相为【答案】C【解析】易求得，其最小正周期为，初相位，即A，D正确，而.故函数的图象关于直线对称，即B项正确，故C错误.选C.11. 抛物线有如下光学性质：过焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线的对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则直线的斜率为A. B. C. D.【答案】B【解析】令，代入可得，即.由抛物线的光学性质可知，直线经过焦点，所以.故选B.点睛：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.12. 已知的内角，，的对边分别是，，，且，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：,且，，据此可得：，即：，据此有：，当且仅当时等号成立；三角形满足两边之和大于第三边，则，综上可得：的取值范围为.本题选择B选项.点睛：1．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．2．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化．如a2＝b2＋c2－2bccos A可以转化为sin2 A＝sin2B＋sin2 C－2sin Bsin Ccos A，利用这些变形可进行等式的化简与证明．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，，若，则__________.【答案】1【解析】由,得.即.解得.14. 已知函数，若曲线在点处的切线经过圆：的圆心，则实数的值为__________.【答案】【解析】结合函数的解析式可得：，对函数求导可得：，故切线的斜率为，则切线方程为：，即，圆：的圆心为，则：.15. 已知实数，满足约束条件则的取值范围为__________（用区间表示）.【答案】【解析】作出约束条件表示的平面区域(如图阴影部分表示)设，作出直线，当直线过点时，取得最小值；当直线过点时，取得最大值.即,所以.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16. 在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为__________.【答案】【解析】设该阳马的外接球与内切球的半径分别与，则.即. 由.得.所以该阳马的外接球与内切球表面积之和为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在递增的等比数列中，，，其中.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）由及得，，进而的，可得通项公式；（2）利用分组求和即可，一个等差数列和一个等比数列.试题解析：（1）设数列的公比为，则，又，∴，或，（舍）.∴，即.故（）.（2）由（1）得，.∴.18. 如图，在三棱柱中，平面，，，点为的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（I）连接交于点，连接，通过证明，利用直线与平面平行的判定定理证明AC1∥平面CDB1．（II）要求三棱锥的体积，转化为即可求解．试题解析：（1）连接交于点，连接.在三棱柱中，四边形是平行四边形.∴点是的中点.∵点为的中点，∴.又平面，平面，∴平面.（2）∵，，∴.在三棱柱中，由平面，得平面平面.又平面平面.∴平面.∴点到平面的距离为，且.∴.19. 随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷.为了解共享单车在市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）经常使用偶尔或不用合计30岁及以下70 30 10030岁以上60 40 100合计130 70 200（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关？（2）现从所抽取的30岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取5人.（i）分别求这5人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（ii）从这5人中，再随机选出2人赠送一件礼品，求选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率. 参考公式：，其中.参考数据：0.15 0.10 0.05 0.025 0.0102.072 2.7063.841 5.024 6.635【答案】(1)能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关；(2)(i)经常使用共享单车的有3人，偶尔或不用共享单车的有2人.(ii)【解析】试题分析：(1)由列联表可得，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关.(2)（i）依题意可知，经常使用共享单车的有（人），偶尔或不用共享单车的有（人）.（ii）由题意列出所有可能的结果，结合古典概型公式和对立事件公式可得选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.试题解析：（1）由列联表可知，.因为，所以能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关.（2）（i）依题意可知，所抽取的5名30岁以上的网友中，经常使用共享单车的有（人），偶尔或不用共享单车的有（人）.（ii）设这5人中，经常使用共享单车的3人分别为，，；偶尔或不用共享单车的2人分别为，.则从5人中选出2人的所有可能结果为，，，，，，，，，共10种.其中没有1人经常使用共享单车的可能结果为共1种，故选出的2人中至少有1人经常使用共享单车的概率.20. 已知椭圆：（）过点，离心率为，直线：与椭圆交于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数，使得（其中为坐标原点）成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)；(2)存在实数，使得成立.【解析】试题分析：（1）根据题意得，从而可得方程；（2）直线和椭圆联立得，设，，由，得，即，由韦达定理代入即得.试题解析：（1）依题意，得解得，，，故椭圆的标准方程为.（2）假设存在符合条件的实数.依题意，联立方程消去并整理，得.则，即或.设，，则，.由，得.∴.∴.即.∴.即.即，即.故存在实数，使得成立.21. 已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）若关于的方程有实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；(2).【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式可得，，结合导函数与原函数的单调性的关系可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)原问题等价于方程有实数根，构造函数，利用导函数研究函数存在零点的充要条件可得：当时，方程有实数根.试题解析：（1）依题意，得，.令，即，解得；令，即，解得，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由题得，.依题意，方程有实数根，即函数存在零点，又，令，得.当时，，即函数在区间上单调递减，而，，所以函数存在零点；当时，，随的变化情况如表：极小值所以为函数的极小值，也是最小值.当，即时，函数没有零点；当，即时，注意到，，所以函数存在零点.综上所述，当时，方程有实数根.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 已知曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值.【答案】(1)曲线的普通方程为，直线的普通方程为；(2).【解析】试题分析：（1）利用消去参数得曲线的普通方程为，利用得直线的普通方程为学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...学%科%网...（2）利用圆的参数方程得，进而由三角求最值即可.试题解析：（1）由曲线的参数方程（为参数），得曲线的普通方程为.由，得，即.∴直线的普通方程为.（2）设曲线上的一点为，则该点到直线的距离（其中）.当时，.即曲线上的点到直线的距离的最大值为.23. 已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的值域为，若，试证明：.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式零点分段可得不等式的解集为.(2)结合绝对值三角不等式的性质可得，结合二次函数的性质可得，，则.试题解析：（1）依题意，得则不等式，即为或或解得.故原不等式的解集为.（2）由题得，，当且仅当，即时取等号，∴，∴，∵，∴，，∴，∴.。
河北省衡水中学2018届高三9月大联考数学(文)试题+Word版含答案
衡水金卷2018 届全国高三大联考文数第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题, 每小题5 分, 共60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 2M x |x5x 4 0 ，N 0,1,2,3 ，则集合M N 中元素的个数为（）A．1 B．2C．3 D． 412. 已知命题p：x R ，(2 x)2 0，则命题p 为（）1 1A．x R ，0 (2 x ) 2 0 B．x R ，2(1 x) 01 1C．x R ， 2(1 x) 0 D．x0 R ，2 (2 x ) 03. 已知复数z5i2i 1 （i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4. 已知双曲线C ：2 2x y2 1( 0)a 16a的一个焦点为(5,0) ，则双曲线C 的渐近线方程为（）A．4x 3y 0 B．16x 9y0 C ．4x 41y 0 D．4x 3y 125.2017 年8 月1 日是中国人民解放军建军90 周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示是一枚8 克圆形金质纪念币，直径22mm，面额100 元．为了测算图中军旗部分的面积，现用 1 粒芝麻向硬币内投掷100 次，其中恰有30 次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）A．72652mm B．363102mm C．36352mm D．363202mm6. 下列函数中，与函数1xy 2 的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（）x2A．y sin x B．3y x C．y 1xD．y2x,x02x,x07.如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（）8.设a log4log2，552b ln ln3，31lg5c10，则a，b，c的大小关系为（）2A．a b c B．b c a C．c a b D．b a c 9.执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A．1819B．1920C．2021D．12010.将函数f(x)2sin(4x)的图象向左平移36个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y g(x)的图象，则下列关于函数g(x)的说法错误的是（）A．最小正周期为B．图象关于直线x对称12C．图象关于点(,0)12对称D．初相为311. 抛物线有如下光学性质：过焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线的对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线2 4y x 的焦点为 F ，一条平行于x 轴的光线从点M (3,1) 射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点 B 射出，则直线AB的斜率为（）A．43B．43C．43D．16912. 已知ABC 的内角A，B，C的对边分别是 a ，b ，c ，且2 2 2(a b c ) (a c os B b c os A) abc ，若a b 2，则c的取值范围为（）A．(0, 2) B．[1,2) C．1[ ,2)2D．(1,2]第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题 5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量a (sin ,cos ) ，b ( k,1)，若a / /b，则k ．3 614. 已知函数 3f (x) x 2x ，若曲线 f (x) 在点(1, f (1))处的切线经过圆 C ：2 ( )2 2x y a 的圆心，则实数 a 的值为．3x y ,15. 已知实数x ，y满足约束条件则sin( x y) 的取值范围为（用x ,6y 0,区间表示）．16. 在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马. 若四棱锥M ABCD 为阳马，侧棱MA 底面ABCD ，且M A BC AB 2，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为．三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）17. 在递增的等比数列a中，a1a6 32 ，a2 a5 18 ，其中n N * .n（1）求数列a的通项公式；n（2）记b a log a ，求数列n n 2 n 1 b 的前n 项和T n . n18. 如图，在三棱柱ABC A1B1C1 中，AA1 平面ABC，A C BC ，AC BC CC1 2 ，点D 为AB 的中点.（1）证明：A C1 / / 平面B1CD ；（2）求三棱锥A1 CDB1的体积.19. 随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷. 为了解共享单车在A市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中抽取了200 人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）经常使用偶尔或不用合计30 岁及以下70 30 10030 岁以上60 40 100合计130 70 200（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15 的前提下认为A市使用共享单车情况与年龄有关？（2）现从所抽取的30 岁以上的网友中利用分层抽样的方法再抽取 5 人.（i ）分别求这 5 人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数；（ii ）从这5 人中，再随机选出 2 人赠送一件礼品，求选出的 2 人中至少有 1 人经常使用共享单车的概率.22 n(ad bc)参考公式：K ，其中n a b c d ．(a b)( c d )(a c )(b d)参考数据：P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010( )2k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520. 已知椭圆C ：2 2x y2 2 1（a b 0）过点( 2,1) ，离心率为a b22 ，直线l ：kx y 2 0 与椭圆C 交于A，B 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在实数k ，使得|OA OB | |OA OB |（其中O为坐标原点）成立？若存在，求出实数k 的值；若不存在，请说明理由.21. 已知函数 2f (x) ln x 2x 3，g(x) f '(x )4x aln x (a 0) .（1）求函数 f (x) 的单调区间；（2）若关于x 的方程g(x) a有实数根，求实数 a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线 C 的参数方程为xy2cos ,sin（为参数）. 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 2 sin( ) 34.（1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数 f (x) |2x 1| |x1| .（1）解不等式 f (x) 3；（2）记函数g(x) f (x) | x 1| 的值域为M ，若t M ，试证明： 2 2 3t t .衡水金卷2018届全国高三大联考文数答案一、选择题1-5: CDDAB 6-10: DAABC 11 、12：BB二、填空题113.1 14. 15. ,12216. 36 16 2三、解答题17. 解：（1）设数列a 的公比为q，则a2a5 a1a6 32，n又a2 a5 18 ，∴a2 2 ，a5 16 或a2 16，a5 2 （舍）.∴ a3 5qa28 ，即q 2 .故n 2 n 1a a2q 2 (n N*) .n（2）由（1）得，n 1b 2 n .n∴T b b ⋯ b n 1 2 n2 1n n(1 2 2 2 ) (1 2 3 )⋯⋯n n n1 2 (1 )1 2 22n n n2 12.18. （1）证明：连接BC 交B1C 于点O，连接O D .1在三棱柱A BC A B C 中，四边形BCC1B1 是平行四边形，1 1 1∴点O是BC 的中点，1∵点D为A B的中点，∴O D / / AC .1又O D 平面B CD ， AC 1平面 B 1CD ，1∴ AC 1 / / 平面 B 1CD . （2）解：∵ AC BC ， A D BD ，∴ CDAB .在三棱柱 A BC A B C 中，1 1 1由 A A平面ABC ，得平面 ABB 1A 1 平面ABC ，1又平面 A BB A 平面ABC AB ，1 1∴ CD平面 A BB A .1 1∴点 C 到平面A DB 的距离为 CD ，且 CD AC sin 2 .1 14∴1 1 1 VVSCDA 1B 1 AA 1 CDA CDBC A DBA DB11111133 214 2 2 2 263.19. 解：（1）由列联表可知，22200 (70 40 60 30)K2.198 .130 70 100 100因为 2.1982.072，所以能在犯错误的概率不超过0.15 的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关 .（2）（i ）依题意可知， 所抽取的 5 名 30 岁以上的网友中， 经常使用共享单车的有53100（人），偶尔或不用共享单车的有40 52100（人） . （ii ）设这 5 人中，经常使用共享单车的3 人分别为 a ，b ，c ；偶尔或不用共享单车的2人分别为d ，e .则从 5 人中选出 2 人的所有可能结果为(a, b) ，(a, c) ，(a, d)，( a,e) ，(b, c) ，(b,d )，(b, e) ，(c,d )，(c, e) ，(d, e) 共10 种.其中没有 1 人经常使用共享单车的可能结果为(d,e) 共1 种，故选出的 2 人中至少有 1 人经常使用共享单车的概率1 9 P 1 .10 102 12 2a b1,20. 解：（1）依题意，得ca22,2 2 2a b c ,解得 2 4a ，2 2b ，2 2c ，故椭圆C 的标准方程为2 2x y4 21.（2）假设存在符合条件的实数k .依题意，联立方程y kx 2,2 2x 2y 4,消去y 并整理，得 2 2(1 2k )x8kx 4 0 ，则 2 264k 16(1 2k ) 0，即2k 或22k .2设A( x1, y1 )，B( x2, y2 )，则8kx x1 2 21 2k，4x x1 2 21 2k.由|OA OB | |OA OB |，得OA OB 0 ，∴x1x2 y1 y2 0 ，∴x1x2 (kx1 2)( kx2 2) 0 ，即 2(1 k )x x 2k( x x ) 4 0，1 2 1 2则从 5 人中选出 2 人的所有可能结果为(a, b) ，(a, c) ，(a, d)，( a,e) ，(b, c) ，(b,d )，(b, e) ，(c,d )，(c, e) ，(d, e) 共10 种.其中没有 1 人经常使用共享单车的可能结果为(d,e) 共1 种，故选出的 2 人中至少有 1 人经常使用共享单车的概率1 9 P 1 .10 102 12 2a b1,20. 解：（1）依题意，得ca22,2 2 2a b c ,解得 2 4a ，2 2b ，2 2c ，故椭圆C 的标准方程为2 2x y4 21.（2）假设存在符合条件的实数k .依题意，联立方程y kx 2, 2 2x 2y 4,消去y 并整理，得 2 2(1 2k )x8kx 4 0 ，则 2 264k 16(1 2k ) 0，即2k 或22k .2设A( x1, y1 )，B( x2, y2 )，则8kx x1 2 21 2k，4x x1 2 21 2k.由|OA OB | |OA OB |，得OA OB 0 ，∴x1x2 y1 y2 0 ，∴x1x2 (kx1 2)( kx2 2) 0 ，则从 5 人中选出 2 人的所有可能结果为(a, b) ，(a, c) ，(a, d)，( a,e) ，(b, c) ，(b,d )，(b, e) ，(c,d )，(c, e) ，(d, e) 共10 种.其中没有 1 人经常使用共享单车的可能结果为(d,e) 共1 种，故选出的 2 人中至少有 1 人经常使用共享单车的概率1 9 P 1 .10 102 12 2a b1,20. 解：（1）依题意，得ca22,2 2 2a b c ,解得 2 4a ，2 2b ，2 2c ，故椭圆C 的标准方程为2 2x y4 21.（2）假设存在符合条件的实数k .依题意，联立方程y kx 2, 2 2x 2y 4,消去y 并整理，得 2 2(1 2k )x8kx 4 0 ，则 2 264k 16(1 2k ) 0，即2k 或22k .2设A( x1, y1 )，B( x2, y2 )，则8kx x1 2 21 2k，4x x1 2 21 2k.由|OA OB | |OA OB |，得OA OB 0 ，∴x1x2 y1 y2 0 ，∴x1x2 (kx1 2)( kx2 2) 0 ，则从 5 人中选出 2 人的所有可能结果为(a, b) ，(a, c) ，(a, d)，( a,e) ，(b, c) ，(b,d )，(b, e) ，(c,d )，(c, e) ，(d, e) 共10 种.其中没有 1 人经常使用共享单车的可能结果为(d,e) 共1 种，故选出的 2 人中至少有 1 人经常使用共享单车的概率1 9 P 1 .10 102 12 2a b1,20. 解：（1）依题意，得ca22,2 2 2a b c ,解得 2 4a ，2 2b ，2 2c ，故椭圆C 的标准方程为2 2x y4 21.（2）假设存在符合条件的实数k .依题意，联立方程y kx 2, 2 2x 2y 4,消去y 并整理，得 2 2(1 2k )x8kx 4 0 ，则 2 264k 16(1 2k ) 0，即2k 或22k .2设A( x1, y1 )，B( x2, y2 )，则8kx x1 2 21 2k，4x x1 2 21 2k.由|OA OB | |OA OB |，得OA OB 0 ，∴x1x2 y1 y2 0 ，∴x1x2 (kx1 2)( kx2 2) 0 ，。
精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2018届高三上学期九模考试数学(文)试题(解析版)
2017-2018学年度上学期高三年级九模考试（文科）数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. ）A. B. C. D.【答案】D故选：D2. ）A. 2B. 1C. 0D. -1【答案】D故选：D3. ）A. 1B. 2C. 4D. 1或4【答案】D【解析】该程序框图表示的是分段函数，，输入的 D.4. ，时，（，（）A. 4B. -4C. 6D. -6【答案】B满足对B考点：奇函数的性质，对数的运算5. ）A. C. D.【答案】A【解析】试题分析：成立的充要条件不是成立而成立的充要条件不是R上有增函数，所以由，反过来，也成立，所以使的充要条件是D．考点：1、不等式的性质; 2、充要条件．6. 《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（）A. 18B. 17C. 16D. 15【答案】B【解析】由题意类推,可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20+0×21+0×22+0×23+1×24+0×25=17.故选：B.7. 如图，的长度超过的概率是（）【答案】D【解析】本题利用几何概型求解．测度是弧长．根据题意可得，满足条件：“弦MN其构成的区域是半圆，则弦MN的概率是故选：D．8. ）A. B.C. D.【答案】AB、D错误；A正确，故选A.学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...学&科&网...9. ）C. D.【答案】A【解析】作出可行域，如图：表示可行域上的动点与连线的斜率，，点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.10. ）B.D.【答案】A【解析】∴ A. C满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，∴可以构造如图所示的三角形，使其满足OB=AB=BC；BA+BC>AC+>点睛：点睛:这个题目考查了向量加法的三角形法则,向量形式的三角形不等式法则,有一定的计算量.对于向量的小题常用的方法有:数形结合法,建系的方法,见模平方的意识,基底化的意识.11.，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C为直角三角形，在中，，则离心率 C.【方法点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据特殊直角三角12. ）【答案】C【解析】，四边形为矩形，，过的垂线，过矩，则，，，.选C.【点睛】求几何体的外接球的半径问题，常用方法有三种：（1）恢复长方体，（2）锥体或柱体“套”在球上，（3）过两个面的外心作垂线，垂线的交点即为球心.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 2．【答案】2【解析】抛物线的标准方程：y2=ax0），准线方程为x=由抛物线的焦半径公式|PF|=x0=，解得：a=2，故答案为：2．点睛：在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用。
河北衡水中学2018届高三9月联考摸底全国卷文数试题 含解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}230A x x x =-≥，{}13B x x =<≤，则如图所示表示阴影部分表示的集合为（ ）A.[)1,0B.(]3,0C.)3,1(D.[]3,12.已知向量(,2)m a =，(1,1)n a =-，且m n ⊥，则实数a 的值为（ ）A.0B.2C.-2或1D.-2【答案】B. 【解析】试题分析：∵m n ⊥，∴2(1)02a a a +-=⇒=，故选B. 考点：平面向量的数量积.3.设复数z 满足3(1)12i z i +⋅=-（i 为虚数单位），则复数z 对应的点位于复平面内（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A. 【解析】试题分析：由题意得，3(1)1212i z i i +⋅=-=+，∴12(12)(1)31(1)(1)2i i i iz i i i ++-+===++-，∴故选A.考点：复数的计算及其性质.4.已知4张卡片上分别写着数字1，2，3，4，甲、乙两人等可能地从这四张卡片中选择1张，则他们选择同一卡片的概率为（ ） A.1 B.161 C.41 D.21【答案】C. 【解析】试题分析：根据古典概型可知，所求概率为41444P ==⨯，故选C. 考点：古典概型.5.若直线4:=+ny mx l 和圆4:22=+y x O 没有交点，则过点),(n m 的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数为（ ） A.0个 B.至多一个 C.1个 D.2个 【答案】D.6.在四面体S ABC -中，BC AB ⊥，AB BC ==2SA SC ==，SB =面体外接球的表面积是（ ）A.π68B.π6C.π24D.π6 【答案】D.【解析】试题分析：如下图所示，取AC 中点D ，连SD ，BD ，由题意得，SD AC ⊥，BD AC ⊥，∴SD =1BD =，设SDB θ∠=，∴cos3θ==-O 在底面ABC 的投影在ABC ∆的外心，即点D 处，故如下图所示，设OD x =，∴sin()SE SD x x x πθ=--==，cos()1OE DF SD πθ==-==，∴222221)12R x x x =+=+⇒=，∴R =，∴外接球的表面积234462S R πππ==⋅=，故选D.考点：空间几何体的外接球.【方法点睛】立体几何的外接球中处理时常用如下方法：1.结合条件与图形恰当分析取得球心位置；2.直接建系后，表示出球心坐标，转化为代数；3.化立体为平面，利用平面几何知识求解.7.已知数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，公差为d ，若100172017172017=-S S ，则d 的值为（ ） A.201 B.101 C.10 D.20 【答案】B.8.若函数()sin()(0)f x A x A ωφ=+>的部分图象如图所示，则关于)(x f 描述中正确的是（ ）A.)(x f 在)12,125(ππ-上是减函数 B.)(x f 在)65,3(ππ上是减函数 C.)(x f 在)12,125(ππ-上是增函数 D.)(x f 在)65,3(ππ上是增函数【答案】C.考点：三角函数的图象和性质.9.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是1223，则（ ） A.13a = B.12a = C.11a = D.10a =【答案】C. 【解析】试题分析：分析程序框图可知，程序中1111S k =+-+，∴123211112k k -=⇒=+，再执行一次112k k =+=，此时需跳出循环，故11a =，故选C. 考点：程序框图.10.函数1222131)(23++-+=a ax ax ax x f 的图象经过四个象限的一个充分必要条件是（ ） A.4133a -<<- B.112a -<<- C.20a -<<D.63516a -<<-【答案】D. 【解析】考点：导数的运用.【思路点睛】本题要求掌握运用导数研究函数的单调性、极值的一般步骤．分类与整合思想是解这类题目常用的数学思想方法，注意：①分类标准统一，层次分明；②不重不漏． 11.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.3113 B.35 C.3104 D.3107【答案】C.考点：1.三视图；2.空间几何体的体积.【名师点睛】1.计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面特别是轴截面，将空间问题转化为平面问题求解；2.注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、还台为锥法等，它们是计算一些不规则几何体体积常用的方法，应熟练掌握.12.已知函数()52log 1,(1)()(2)2,(1)x x f x x x ⎧-⎪=⎨--+≥⎪⎩＜，则关于x 的方程1(2)f x a x +-=，当12a <<的实根个数为（ ）A.5B.6C.7D.8 【答案】B. 【解析】试题分析：如下图所示，作出函数()f x 的函数图象，从而可知，当12a <<时，函数()f x 有三个零点：34x <-，121x x >>，而12(,4][0.)x x +-∈-∞-+∞，故可知，方程1(2)f x a x+-=有6个零点，故选B. 考点：函数与方程.【方法点睛】运用函数图象结合数形结合思想求解问题的类型：1.对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想；2.一些函数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点)1,2( ，则它的离心率为_______.【答案】214.曲线2()32ln f x x x x =-+在1x =处的切线方程为_________. 【答案】30x y --=. 【解析】试题分析：由题意得，2'23y x x=-+，∴1'|2321x y ==-+=，而1x =时，1302y =-+=-，∴切线方程为21y x +=-，即30x y --=，故填：30x y --=. 考点：导数的运用.15.某大型家电商场为了使每月销售A 和B 两种产品获得的总利润达到最大，对于某月即将出售的A 和B 进行了相关调查，得出下表：如果该商场根据调查得来的数据，月总利润的最大值为______元.【答案】960.考点：线性规划.【思路点睛】如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值.最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，而对于解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.16.如图是网格工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行，数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；依此类推，则第20行从左至右算第4个数字为_______.【答案】194.【思路点睛】数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型，数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，1q =或1q ≠等.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知顶点在单位圆上的ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ， c ，且222b c a bc +=+.（1）求角A 的大小；（2）若422=+c b ，求ABC ∆的面积.【答案】（1）3π；（2. 【解析】试题分析：（1）将已知条件中的式子变形，利用余弦定理的变式即可求解；（2）利用余弦定理和正弦定理联立方程组即可求解.考点：正余弦定理解三角形.18.（本小题满分12分） 如图，三棱柱111C B A ABC -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠=.（1）证明：1AB AC ⊥；（2）若2AB CB ==，1AC 111C B A ABC -的体积.【答案】（1）详见解析；（2）3. 【解析】试题分析：（1）根据题意证明AB ⊥平面1OAC ，即可得证；（2）证明1OA ⊥平面ABC ，求得底面积与高的值即可求解.试题解析：（1）如图，取AB 的中点O ，连结OC ，1OA ，1A B ，∵C A C B =，∴OC AB ⊥， 由于1AB AA =，13BAA π∠=，故1AA B ∆为等边三角形，∴1OA AB ⊥，∵1OCOA O =，∴AB ⊥平面1OAC ， 又∵1AC ⊂平面1OAC ，故1AB AC ⊥；考点：1.线面垂直的判定与性质；2.空间几何体的体积求解.19.（本小题满分12分）某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利润50元，未售出的产品，每盒亏损30元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了160盒该产品，以x（单位：盒，100200x≤≤）表示这个开学季内的市场需求量，y（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量x和中位数；（2）将y表示为x的函数；（3）根据直方图估计利润y不少于4800元的概率【答案】（1）4603；（2）804800,1001608000,160200x xyx-≤≤⎧=⎨<≤⎩；（3）0.9.【解析】试题分析：（1）根据频率直方图的数据结合中位数的定义即可求解；（2）根据x的取值范围分类讨论即可求解；（3）首先求得x的取值范围，再结合频率直方图即可求解.考点：1.频率直方图；2.分类讨论的数学思想；（3）概率求解. 20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，过点(2,0)C 的直线与抛物线24y x =相交于点A ，B 两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y.（1）求证：12y y 为定值（2）是否存在平行于y 轴的定直线被以AC 为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长，如果不存在，说明理由． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理即可求解；（2）假设存在符合题意的直线l ，设出直线方程，利用圆的性质求解是否符合题意即可.试题解析：（1）当直线AB 垂直于x 轴时，1y =2y =-128y y =-(定值)， 当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的方程为(2)y k x =-，由2(2)4y k x y x =-⎧⎨=⎩得2480ky y k --=，∴128y y =-，因此有128y y =-为定值；（2）设存在直线l ：x a =满足条件，则AC 的中点112(,)22x y E +，AC =，因此以AC 为直径的圆的半径12r AC ===E 点到直线x a =的距离，∴所截弦长为===当10a -=即1a =时，弦长为定值2，这时直线方程为1x =.【思路点睛】求解定值问题的方法一般有两种：1.从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；2.直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.圆锥曲线的定值问题. 21.（本小题满分12分）已知函数2()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈.（1）当1a =-，3b =时，求函数()f x 在1[,2]2上的最大值和最小值； （2）设0a >，且对任意的0x >，()(1)f x f ≥，试比较a ln 与b 2-的大小. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】∴函数()f x 在区间1[,2]2仅有极大值点1x =，故这个极大值点也是最大值点， 故函数在1[,2]2上的最大值是(1)2f =，令()24ln g x x x =-+，则14'()x g x x -=，令'()0g x =，得14x =， 当104x <<时，'()0g x >，()g x 在1(0,)4上单调递增；当14x >时，'()0g x <，()g x 在1(,)4+∞上单调递减；∵1()()1ln 404g x g ≤=-<，故()0g a <，即24ln 2ln 0a a b a -+=+<，即ln 2a b <-.考点：1.导数的综合运用；2.分类讨论的数学思想．【思路点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明；2.求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值；3.方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论．请考生在第22、23、24题中任意选一题作答。
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2017-2018学年度上学期高三年级九模考试
（文科）数学试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合2{|},{|320},A x x a B x x x =<=-+<若,A B B ⋂=则实数a 的取值范围是（） A. 1a <
B. 1a ≤
C. 2a >
D. 2a ≥
2.复数()()11i ai ++是纯虚数，则实数a 等于 A. 2
B. 1
C. 0
D. -1
3.执行如图所示的程序框图，若输出的2y =，则输入的x =（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 1或4
4.已知f(x)满足对任意x∈R,f(-x)+f(x)=0,且当x≥0时,f(x)=x e m +(m 为常数),则 f(-ln 5)的值为( ) A. -4
B. 4
C. 6
D. -6
5.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 A. 1a b +＞
B. 1a b -＞
C. 22a b ＞
D. 33a b ＞
6.《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为：把阳爻“▂”当作数字“1”，把阴爻“
”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：
依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是（ ）
A. 18
B. 17
C. 16
D. 15
7.如图，M 是半径R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超
过2R 的概率是（ ）
A.
15
B.
14
C.
13
D.
12
8.已知函数()2ln f x x x =-，则()f x 的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
9.若实数,x y 满足不等式组20,
210,0,x y x y y ++≥⎧⎪++<⎨⎪≥⎩
，1,1m y x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭v ，1,21n x ⎛⎫= ⎪
+⎝⎭v ，则m n ⋅v v
的取值范围为（ ） A 32⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭
， B. [
)2,+∞
C. 1,22⎡⎫
-
⎪⎢⎣⎭
D. [)1,2,2⎛
⎫
-∞-
⋃+∞ ⎪⎝⎭
10.若非零向量a b v v 、满足a b b -=v v v ，则下列不等式恒成立的为（ ）
A .
22b a b >-v v
v B. 22b a b <-v v v C. 22a a b >-v v v
D. 22a a b <-v v v
11.已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左焦点为1,F y 轴上的点P 在椭圆外，且线段1PF 与椭圆E 交于点
M ，若13
3
OM MF OP ==
，则E 椭圆的离心率为（ ） A.
1
2
B.
3 C.
31-
D.
31
+ 12.四棱锥P ABCD -的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A.
815
π
B.
8120
π
C.
1015
π
D.
10120
π
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.抛物线()2
0y ax a =>上 的点03,2P y ⎛⎫
⎪⎝⎭
到焦点F 的距离为2，则a =________． 14.已知3cos 45πα⎛
⎫
-
= ⎪
⎝
⎭，则πsin 4α⎛⎫+= ⎪⎝
⎭__________. 15.设函数21(),()x x x
f x
g x x e +==，对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121
g x f x k k ≤
+恒成立，则正数k 取值范围是_______.
16.已知O 为ABC ∆的外心，且3A π
=，
cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C
B +=u u u
r u u u r u u u r ，则实数m =_____ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.已知在数列{}n a 中，11a =，12n
n n a a +=.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S .
18.（河北省衡水中学2018届高三上学期九模）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中， 1,2,,AB AD E F ==分别为1,AD AA 的中点，Q 是BC 上一个动点，且(0)BQ QC λλ=>
.
（1）当1λ=时，求证：平面BEF P 平面1A DQ ；
（2）是否存在λ，使得BD FQ ⊥？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由.
19.交警随机抽取了途经某服务站的40辆小型轿车在经过某区间路段的车速（单位：km/h ），现将其分成六组为[)60,65，[)65,70，[)70,75，[)75,80，[)80,85，[]85,90后得到如图所示的频率分布直方图. （1）某小型轿车途经该路段，其速度在70km/h 以上的概率是多少？
（2）若对车速在[)60,65，[)65,70两组内进一步抽测两辆小型轿车，求至少有一辆小型轿车速度在[)60,65内
的
概率.
20.已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2:2C y px =（0,p p >为常数）交于不同的两点
,M N ，当1
2
k =
时，弦MN 的长为15（1）求抛物线C 的标准方程；
（2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 经过点()1,1B -，判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.
21.已知函数()()()22211x
f x ax a x a a e ⎡⎤=+-+--⎣⎦
（其中
）．
（1）若0x =为()f x 的极值点,求a 的值； （2）在（1）的条件下,解不等式()()21112f x x x x ⎛⎫
>-++
⎪⎝⎭
． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22.
已知圆锥曲线2:3x cos C y sin α
α
=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点(03A ，，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原
点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线2AF 的直角坐标方程；
（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求11MF NF -的值. 23.已知函数1(1)f x m x x =---+. （1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；
（2）若二次函数2
23y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.。