趣味数学游戏——幻方
有趣的数学游戏-三阶幻方
?
19 13
2倍角格=不相邻的两个边格之和 ？=（13+19）÷2=16
三条直线上的数字的和=幻方所有数字之和+2个？-（19+13） 幻和=一条直线上的三个数字之和 所有数字之和=3×幻和 所以：三条直线上的数字的和=幻方所有数字之和 则：？=（13+19）÷2
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三阶幻方
风
子
编
辑
第一课 基础部分
幻方起源：大约两千多年前西汉时代，流传夏禹治水时，黄河中跃出一匹神马，马背上 驮着一幅图，人称「河图」；又洛水河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案 称为「洛书」.他们发现，这个图案每一列，每一行及对角线，加起来的数字和都是一样 的。
中国不仅拥有幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的 数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方。
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原先每条边的和为：30+10+10=50 新的填法每条边的和为：50+15=65 总和减少，每边和增加，则应该把大数移到公共角的位置 则有：30+10+30=70 70-65=5 所以，四个10各减5，合计正好减了20.
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7 32 3 25 23 21 6 1 35 24 19 26 29 36 4 11 18 13 34 5 30 16 14 12 33 28 8 15 10 17
(完整版)趣味数学-幻方
13 14 15 16 第四行和=58 多了24
第 第第 第 一 二三 四 对角线和=34 列 列 列 列 和 和和 和
对角线和=34
=40 =36 =32 =28
少6 少2 多2 多6
根据刚才的情况我们发现对角线上的 4个数和就是幻和，那么就让它们位置都不变。
1 2 34 56 78 9 10 11 12 13 14 15 16
数4个的请让数4它个的们分数4别个的交数换4个的吧!
和 和 和和
=
=
==
34 34 34 34
4个数和= 34
4个数和= 34 1.我先我变是个魔中师心, 点 4个我数可和是= 3有4 魔法的
现在我们来指引 24.个数每数字中你列和2心们的和=点去数334与相字把谁对每和关行相于等
3.数字5和9谁关于 中心点相对
把1，2，3…9这9个数填入3×3的方格里,变成三阶幻方
1 42 7 53 86
9
换位
9 42
三阶幻方有技巧,
3 5 7 3数斜着先排好,
86 1
上下左右要交换, 然后各自归位了!
归位
5：如何填幻方（幻方的构成） 2）三阶幻方构成方法之二 画格辅助 九子斜排 送子回家 清除辅助
1
4
2
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3
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三、四阶幻方
五阶幻方
六阶幻方
3、探究幻方的规律（1）：
49 2 35 7 8 16
1、所有行、列、对角线上的数 之和均为15；
2、偶数位于角上，奇数在中间；
3、5位于中心点，相对的两个端 点数和为10。因为9个数之和是45， 所以中间的数的5。
3、探究幻方的规律（2）：
填幻方涉及的数学知识
填幻方涉及的数学知识
填幻方是一种古老的数学游戏，它涉及到许多有趣的数学知识。
填幻方的核心是在一个正方形的格子中填入一系列数字，使得每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。
这个数字之和被称为“幻方的常数”。
填幻方涉及的数学知识包括数论、代数、排列组合等多个领域。
首先，填幻方要求玩家对数字的性质有一定的了解。
比如，奇数阶
幻方的构造需要对奇数的特性有所了解，偶数阶幻方的构造则需要
对偶数的性质有所了解。
此外，填幻方还涉及到排列组合的知识，
因为填入每个格子的数字不能重复，需要进行排列组合的计算。
而
填幻方的解法也涉及到代数方程的求解，需要运用代数知识来推导
出每个格子中的数字。
填幻方不仅是一种趣味盎然的数学游戏，更是一种锻炼数学思
维的好方法。
通过填幻方，玩家可以加深对数学知识的理解，培养
逻辑推理能力和数学解题的技巧。
因此，填幻方涉及的数学知识不
仅有助于提高数学水平，也能够激发学生对数学的兴趣，让数学学
习变得更加有趣和生动。
《有趣的小学数学—幻方问题》
幻方知识点：1、幻方：在一个正方形中，将其分为n n 个（九个、十六个、二十五个、三十六个……）小方格，填上给定的数（九个、十六个、二十五个、三十六）个数字，使每一横行、每一竖行以及每一斜行上的n 个数相加的和都相等。
像这样的正方形，我们把它叫做n 阶幻方。
在幻方中这个相等的和就叫做幻和。
2、三阶幻方：如果一个3×3的方阵中，每一横行、每一竖列及两条对角线上数的和都相等，那么这个方阵称为三阶幻方（又叫九宫格或九宫图），这个相等的和叫做幻和，填在幻方中心位置的数称为中间数或中心数。
3、三阶幻方的性质：（1）幻和=中心数×3；中心数=幻和÷3； （2）幻和=填入的所有数总和÷3； （3）“斜T 法”：在三阶幻方中，四个角上的数，等于它对角上相邻两旁两个数的平均数(例如：i 位置的数=（b 位置的数+d 位置的数）÷2；a 和f 、h 位置也有此规律)。
（4）在三阶幻方中，最大与最小的数不能填在对角线上；（5）一个三阶幻方，经过翻折，或者旋转90°以后，仍为幻方.例题1：下面是幻方吗？是的在括号里打“√”，不是在括号里打“×”。
( )123456789( )191817161514131211【答案】×；√；【分析】要求每行、每列、两条对角线上的和都相等。
例题2：在下图中，填上适当的数，使每行、每列及两条对角线上三个数的和都相等。
【答案】如图所示【分析】我们知道幻和是中心数的三倍，因此6+12=18是中心数的2倍，由此可知，中心数为：18÷2=9，幻和为：9×3=27。
接着一一填出各个空格中的数。
例题3：如图，填上适当的数，使每行、每列及两条对角线上三个数的和都相等。
【答案】如图所示 【分析】先根据斜T 法算出右下角（27+15）÷2=21；中心数=（17+21）÷2=19；幻和=19×3=57。
趣味数学课件-幻方
神龟背洛书
神龟背洛书
在公元前23世纪，大 禹治水的时侯，在黄 河支流洛水中，有一 天忽然浮现出一个大 乌龟，当时，大禹与 治水士兵正在河 边观
察洛河水情，商议治理黄河大计，遇 到乌龟在河里上下翻腾十分奇怪。只 见此龟行走水面，游来游去，身形庞 大，甲背平圆。近处仔细观看，
甲背上有9种花点的图案， 大禹让士兵们将图案中的 花点记了下来，带回去作 了认真的研究,他惊奇地 发现9种花点数正巧是， 1—9这9个数，各数的位置排列也相 当奇巧，各线上三数之和皆为15， 既均衡又对称，奇偶交替变化之中似 有一种周转运动之妙，大禹受到启发 ，用此原理治理黄河，获得成功。
而在国外，公元130年，希腊人塞翁 才第一次提起幻方。我国不仅拥用 幻方的发明权，而且是对幻方进行 深入研究的国家。公元13世纪的数 学家杨辉已经编制出3－10阶幻方， 记载在他1275年写的《续古摘厅算 法》一书中。在欧洲，直到574年， 德国著名画家丢功才绘制出了完整 的4阶幻方。
一般地, 将1,2,3...n 2填入到一个n n的表格中 使得 , 每行, 列以及两对角线上的 个数字之和相等 称这 n , 样数表为n阶幻方.
26 21 22 7 12 13 111
19 23 27 10 14 18 111
24 25 20 15 16 11 111
84 84 84 138 138 138
六阶幻方填法
35 3 31 8 30 4 111 35 4 1 32 9 28 5 36 111 32 5 6 7 2 33 34 29 111 2 33 26 21 22 17 12 13 111 17 22 19 23 27 10 14 18 111 14 23 24 25 20 15 16 11 111 11 24 111 111 111 111 111 111 111 111
沪教版二年级上册《数学广场--幻方》数学教案
沪教版二年级上册《数学广场--幻方》数学教案一、教学目标：1. 掌握幻方的概念，理解幻方的规律。
2. 学会自己设计制作幻方。
3. 能够在游戏中自觉遵守规则，对合作有初步认识。
二、教学重点：1. 幻方的概念、规律。
2. 制作幻方。
三、教学难点：1. 加深孩子们对数学游戏的理解和认识。
2. 提升孩子们的数学思维能力和观察能力。
四、教学过程设计：1. 制作幻方教材中，我们所看到的幻方都是已经设计完成的，请我们自己动手制作幻方，认识幻方的规律。
1) 活动目的：让孩子发现，只有把1~9的九个数字放在九个盒子里，并且每一个盒子里的数字加起来都是15，才能成为一个幻方。
2) 活动过程：1. 让孩子们根据给予的要求，自己动手设计制作幻方。
2. 要求：把1~9的九个数字放在九个盒子里，并且每一个盒子里的数字加起来都是152) 游戏规则：1. 每人轮流在棋盘上放一个数字。
2. 首先放1，然后按顺序放2、3、4、5、6、7、8、9。
3. 每个数字用一次，遵守上述规则形成一个3 × 3方格的幻方。
3) 活动评价：1. 孩子们在完成制作过程中，会学会自己发掘其中规律，增强孩子们的逻辑思维。
2. 通过制作过程，加深对数学游戏的理解和认识。
2. 数数得胜1) 游戏目的：1. 让孩子们快乐的玩数，体验数学游戏的好处，通过合作获得成功的感觉。
2. 培养团队意识和互助意识，让孩子们意识到自己的贡献和影响，体验到合作和竞争带来的不同效果。
2) 活动过程：1. 活动人数：10人2. 活动规则：活动开始时，每个人把1张纸条放进小盒子里，同时数1~10。
然后，一个人拿出档子，其他人轮流拿档子轻轻敲盒子，盒子里的纸条装了谁的号，由装有这个号的孩子拿到纸条，读出上面写的数字，并快速相加，举起来显示给大家看。
孩子们与老师猜数、对数，正确答案者送数，送的数次数不限，余数为2者“数数失利”，余数为7者“执桥”（放桥中间两点之间的桥）。
3) 活动评价：1. 孩子们在游戏中，能够自我认知，及时分析和总结，并通过队友给自己输送的信息来及时调整和优化自己的运动策略，这些都是在日常生活中所要求的能力。
趣味数学之幻方小诀窍
趣味数学之幻方小诀窍在趣味数学的探讨中，重要的题材之一是魔方阵。
魔术方阵是由西方的"Magic square"翻译过来的，当然，东方也有不同的别称。
在中国我们称之为幻方，我国古代则有纵横图之称，而日本则称之为魔方阵。
所谓n阶魔方阵，乃是将1到ｎ2个整数排成一个ｎXｎ阶方阵，使得下面2n+2个和相等：（1）每一列中ｎ个数之和，共得ｎ个和；（2）每一行中ｎ个数之和，共得ｎ个和；（3）每一对角在线ｎ个数之和，共得两个和。
此每一个和称为魔数=2)1(2nn。
（一）由计算机测试的结果知道，二阶幻方不存在，当阶数由三阶增至四阶时，幻方个数由8个增至7040个，可见幻方数目增加得十分快速。
(二)(1)奇数阶幻方的建构法，中西方都有不同的成就，最著名的有杨辉法和达拉卢庇法，以下依序说明：杨辉法：以方阵的中间位置之下一格做为出发点，再向右下方依序填入数字。
若右下格已有数字则往下退两格，再继续往下填数字，直到填完为止，若超出格子便跳到方阵的另一头。
达拉卢庇法：以方阵中间一行最上方的一格为出发点，再向右上方依序填入数字，若右上格已有数字则往下退一格，再继续往下填数字，直到填完为止，若超出格子便跳到方阵的另一头。
(2)由杨辉法与达拉卢庇法的推广可以得到两对正交的拉丁方阵(两个方阵之中的符号两两配对后，没有重复的配对，称为正交)，可以推出许多不同的幻方，但仍受制于对角线，若改以正交对角线拉丁方阵构做，应可产生更多种幻方。
（二）由四阶幻方造法推广得到偶数阶幻方的造法，因为偶数阶自然方阵中各行、各列之和成等差关系，由于n是偶数故可得一个左右对称的和（若以上下各数之和来讨论，也可以得到上下对称的结果），且两对角线的和恰等于魔数，所以可以利用行与行、列与列（对称于中心轴）的互换而造出幻方。
在我十来年的数学教育教学中，每当学生接触到幻方时，他们都对幻方近乎着迷，为大千数学世界中的这些毫不起眼的数字而折服。
于是通过我自己的教学不断总结，下面对幻方的小诀窍予以说明。
趣味数学108：富兰克林幻方
这里再给网友介绍一个特殊幻方。
下面这个幻方叫“富兰克林幻方”，是由美国一位幻方爱好者富兰克林制作的。
他曾经说过：“在我年轻的日子里，我一有空暇，总是以制作幻方自娱。
”“富兰克林幻方”不仅具有一般幻方的性质，每行、每列、每条对角线上8个数的和都是260，而且还有一些奇异的特性：1、每半行的和都是130。
如，52＋61＋4＋13＝130，20＋29＋36＋45＝130；2、每半列的和都是130。
如，52＋14＋53＋11＝130，55＋9＋50＋16＝130；3、由粗线分成的4个正方形中，角上4个数加上中心4个数和都是260。
如，52＋13＋54＋11＋3＋62＋5＋60＝260；4、由粗线分成的4个正方形中，角上4个数的和、中心4个数和都是130。
如，52＋13＋54＋11＝130，3＋62＋5＋60＝130；5、由任意4个小方格组成的正方形中，4个数的和都是130。
如52＋61＋14＋3＝130，3＋62＋60＋5＝130，54＋43＋10＋23＝130；6、“人”字形斜线上8个数的和都是260。
如，11＋60＋62＋13＋20＋35＋37＋22＝260；7、接成的“人”字形斜线上8个数的和都是260。
如，52＋1＋2＋56＋41＋31＋32＋45＝260。
14＋61＋64＋15＋18＋33＋36＋19＝260，53＋3＋4＋49＋48＋29＋30＋44＝260。
此外，幻方中的数看似杂乱无章，其实，如果把这些数从1到64依次用直线连接起来，如下图：还是很有规律的，呈现出一种复杂的对称关系，也实属意外。
一个幻方里，竟然蕴含了这么多美妙之处，想当初，富兰克林先生一定为此耗费了不少心血。
我国是幻方的发祥地，富兰克林先生如此热爱中华文化，让我们向这位外国友人致敬！。
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趣味数学游戏——幻方
当你还是个小学生的时候，也许就玩过这样一种数学益智游戏，就是把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填在3×3的方格里，使之横、竖、对角线的数字相加都等于15（如下图），这样的“填数”的问题，在数学语言里就叫“幻方”。
而填在3×3方格里的，就叫3阶幻方。
3阶幻方是最简单的幻方。
历代数学家们，都喜欢研究幻方，现在的幻方种类很多，有平面幻方，还有立体幻方、高次幻方等，平面幻方又分三角幻方，六角幻方（蜂窝幻方）等。
这里要重点介绍的，还是平面正方形幻方，3阶正方形幻方的等值是15，,这个等值是不可改变的，即是说你永远都无法设计出等值是14或者16的3阶幻方，对于4阶、5阶幻方乃至n阶幻方都一样，其等值都是唯一的、确定的。
其中4阶幻方的等值是34，5阶幻方的等值是65，对于任意n阶幻方，其等值为（n3+n）÷2。
其实，任意阶幻方构造法,任意维幻方构造法,任意次幻方构造法,数学家们都早已找到，不存在最大阶幻方的世界纪录之类的说法。
对平面幻方的构造，分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N为其它偶数(4n+2的形式)
1、N 为奇数时，最简单
(1)将1放在第一行中间一列;
(2)从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放：按45°方向行走，如
向右上，每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1
(3)如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。
例如1在第1行，则2应放在最下一行，列数同样加1;
(4) 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时，
则把下一个数放在上一个数的下面。
2、N为4的倍数时
采用对称元素交换法。
首先把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵
然后将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心作对
称交换，即a(i,j)与a(n-1-i,n-1-j)交换，所有其它位置上的数不变。
(或者将对角线不变，其它位置对称交换也可)
3、N 为其它偶数时
当n为非4倍数的偶数(即4n+2形)时：首先把大方阵分解为4个奇数(2m+1阶)子方阵。
按上述奇数阶幻方给分解的4个子方阵对应赋值
上左子阵最小(i)，下右子阵次小(i+v)，下左子阵最大(i+3v)，上右子阵次大(i+2v)
即4个子方阵对应元素相差v，其中v＝n*n/4
四个子矩阵由小到大排列方式为①③④②
然后作相应的元素交换：a(i,j)与a(i+u,j)在同一列做对应交换(j<t或j>n-t+2),
a(t-1,0)与a(t+u-1,0)；a(t-1,t-1)与a(t+u-1,t-1)两对元素交换
其中u=n/2，t=(n+2)/4 上述交换使每行每列与两对角线上元素之和相等。
以下是按照上面介绍的方法，构造出的平面幻方图。
还有其他一些平面幻方，下面简单列出一些：1、三角幻方
2、幻方（六角幻方）。