第三章：三角恒等变形(学生版汇总)
三角恒等变换
【人教版】高中数学必修4知识点总结：第三章三角恒等变换【编者按】变换是数学的重要工具，在初中，接触过大量的“只变其形不变其质”的代数变换，本章要学习的三角恒等变换也是“只变其形不变其质”的，可以揭示某些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系，是解决数学问题的重要手段。
三角恒等变换的学习，注重考察学生思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。
教材要求：用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，能运用这些公式进行简单的恒等变换。
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式；；其中两角和与差的正切公式的变形：2．二倍角公式升幂公式降幂公式附注：在学习上述公式时应注意以下几点：（1）不仅对公式的正用逆用要熟悉，而且对公式的变形应用也要熟悉；（2）善于拆角、拼角如等；（3）注意倍角的相对性（4）要时时注意角的范围3．三角函数式的化简（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
1）降幂公式2）辅助角公式4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”，即利用三角公式进行化名，化角，改变运算结构，使等式两边化为同一形式。
三角恒等变形总结
a 2
＋
1 3
(
－
1≤t≤1)的最大值为 1 时 a 的值．
(1)当a2＜－1，即 a＜－2 时，t＝－1，y 有最大值为－32a－23，由
题设可知－32a－23＝1，解得 a＝－190＞－2(舍去)； (2)当－1≤a2≤1 时即－2≤a≤2 时 t＝a2，y 有最大值为a42－a2＋13，
由题设可知a42－a2＋13＝1，解得
＝－tan1t5an0°－－1c2o0s°30－°s－in3c0o°s60°
＝tanta1n8－0°－18300°＋°c6o0s°30s°inc3o0s6°0°
＝－tant3an06°c0o°ss3in03°0c°os60°
＝－
33×3×2321×12＝－
3 6.
第7页
高中新课标•北师大版数学•必修4
第6页
高中新课标•北师大版数ta5n1600°0co°s－21s0i°nc3o3s01°20°＋csoins2691°°－tan36°tan54°
＝－tan36t0a°n＋21×503°60c°o－s118200°°＋si3n03°6c0o°s－13800°°－60°＋1－1
∴6tan2α＋5tanα－4＝0，得 tanα＝－43或 tanα＝12，
又 α∈(32π，2π)，∴tanα＝－43.
第20页
高中新课标•北师大版数学•必修4
(2)∵α∈(32π，2π)，∴2α∈(34π，π)，
由 tanα＝－43，得 tanα2＝－12或 tanα2＝2(舍)，
∴sin2α＝ 55，cosα2＝－25 5，
第4页
高中新课标•北师大版数学•必修4
例 1：化简下列各式： (1) sint3anπ＋ 3πα＋cαosco－s3α－coαs－ππ－ α＋ cotsanα＋α＋3π5πsitna2nαπ＋＋3απccooss32π32＋π＋αα； (2) tan－tan51－0°60co0s°－sin21－0°33c0o°s120°＋csoins2691°°－ tan36°tan54°.
高中数学 第三章 三角恒等变形公式汇总典例剖析素材 北师大版必修4(1)
1 知识归纳：三角恒等变形一、两角和与差公式及规律 常见变形sin()sin cos cos sin .cos()cos cos sin sin .tan tan tan().1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ±=±±=±±= (1)tan tan :tan tan tan()(1tan tan ).1tan :tan().41tan αβαβαβαβπααα±=±±±=,的和(差)与积互相转化(2)特例二、二倍角公式及规律 常见变形( ※ )三、积化和差与和差化积公式 1sin cos [sin()sin()].2αβαβαβ=++- 1cos sin [sin()sin()].2αβαβαβ=+-- 1cos cos [cos()cos()].2αβαβαβ=++- 1sin sin [cos()cos()].2αβαβαβ=-+--sin sin 2sin cos .22αβαβαβ+-+= 222221cos cos .222cos .1cos 21cos sin .222sin .1cos 2tan .21cos αααααααααα+⎧=⎪⎧⎪⎪-⎪⎪⇒±==⎨⎨⎪⎪⎪-⎪⎩=⎪+⎩222221cos cos .222cos .1cos 21cos sin .222sin .1cos 2tan .21cos αααααααααα+⎧=⎪⎧⎪⎪-⎪⎪⇒±==⎨⎨⎪⎪⎪-⎪⎩=⎪+⎩2sin 2sin 2cos ,sin .1sin (sin cos ).2cos 2cos 22ααααααααα⇒==±=± sin 22sin cos .ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin .ααααα=-=-=- 22tan tan 2.1tan ααα=- sin sin 2cos sin .22αβαβαβ+--= cos cos 2cos cos .22αβαβαβ+-+=cos cos 2sin sin .22αβαβαβ+--=-2 四、学习本章应注意的问题1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式.2、倍角公式ααα22sin 211cos 22cos -=-=有升、降幂的功能，如果升幂，则角减半，如果降幂，则角加倍，根据条件灵活选用.3、公式的“三用”（顺用、逆用、变用）是熟练进行三角变形的前提.。
(完整版)三角恒等变换知识点归纳
第三章 三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式⑴；⑵；()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-⑶；⑷；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+⑸ （）；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+⑹ （）．()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-⇒()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴．sin 22sin cos ααα=222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒⑵2222cos 2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式⇒2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+降幂公式，． ⇒2cos 21cos 2αα+=21cos 2sin 2αα-=26、 ．22tan tan 21tan ααα=-27、（后两个不用判断符号，更加好用）⇒28、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的⇒形式。
，其B x A y ++=)sin(ϕϖ()sin cos αααϕA +B =+中．tan ϕB =A29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，αα2tan 2cos ==2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan2sin :222αααααα万能公式+-=+=灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；α2αα4α2α2α2α4α②；问：；2304560304515o ooooo=-=-==12sin π=12cosπ；③；④；ββαα-+=)()4(24αππαπ--=+⑤；等等)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
三角恒等变换知识点总结
)sin(cos sin 22ϕωωω++=+=x x b x a y b a ；的取值范围为；其中22-tan πϕπϕϕ≤≤=a b 一、知识点总结1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ⑶22tan tan 21tan ααα=-． 3、辅助角公式：把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 bx a y ++=)sin(ϕω形式。
4、 5、（1）升幂公式 1+cos α=2cos 22α1-cos α=2sin 22α1±sin α=(2cos 2sin αα±)21=sin 2α+ cos 2α sin α=2cos 2sin2αα （2）降幂公式sin 2α22cos 1α-= cos 2α22cos 1α+= sin 2α+ cos 2α=1 sin α·cos α=α2sin 21 7、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的差， 倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍； ②ββαα-+=)(；④)4(24αππαπ--=+； ③)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=；2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2 sin :222αααααα万能公式+-=+=必修4：第三章 三角恒等变换知识点总结⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
三角恒等变换知识点归纳
第三章 三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cossin 2cos 112sin ααααα=-=-=-⇒升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=． 26、22tan tan 21tan ααα=-． 27、⇒（后两个不用判断符号，更加好用） 28、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。
)sin αϕA +B ，其中tan ϕB =A． 29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍； ②2304560304515o ooooo=-=-=；问：=12sin π ；=12cos π；③ββαα-+=)(；④)4(24αππαπ--=+；⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
高中数学第三章三角恒等变形章末小结与测评课件北师大版必修42
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；商数关系：tanα＝
sin α . cos α
(2)应用：①已知角α的一个三角函数值可以知一求二，注意依 求值及恒等式证明中有三个技巧：“1”的代换，sin2α＋cos2α＝1；
据三角函数值确定角α的终边所在的象限．②在三角函数式的化简、
3．二倍角公式 (1)分别令公式 Cα＋β，Sα＋β，Tα＋β 中的 α＝β，即得公式 C2α，S2α，T2α. (2)“二倍”关系是相对的，只要两个角满足比值为 2 即 可． 倍角公式揭示了具有倍角关系的两个角的三角函数的运 算规律． (3)公式变形 升幂公式：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，1＋cos 2α ＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α. 1＋cos 2α 1－cos 2α 2 2 降幂公式：cos α＝ ，sin α＝ . 2 2 4．半角公式 半角公式实际上是二倍角公式的变形， 应用公式求值时 α 要由 所在的象限确定相应三角函数值的符号． 2
1．已知
π π sin －αsin ＋α ＝ 4 4
π 2 0<α< ，求 sin 2α 的值． 2 6
π π π π 解：∵sin4－α＝sin2－4＋α＝cos4＋α ，
四、三角恒等变形技巧 常用的技巧有：从“角”入手，即角的变化；从
“名”入手，即函数名称的变化；从“幂”入手，即升
降幂的变化；从“形”入手，即函数式结构的变化．
π 4 π 典例 1：(江苏高考)设 α 为锐角，若 cos(α＋ )＝ ，则 sin(2α＋ )的值为 6 5 12 ________．
高中数学人教A版(课件)必修四 第三章 三角恒等变换 3.1.2
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(3)π4 ＋α＋π4 ＋β＝π2 ＋(α＋β)； (4)π4 ＋α＋π4 －β＝π2 ＋(α－β)．
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[再练一题]
2．已知 cos α ＝－45，α ∈π ，3π2 ，tan β ＝－13，β ∈π2 ，π ，求 cos(α ＋β)．
30°＝(
)
A．－
3 2
C．12
B．－12
D．
3 2
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(2)化简求值： ①11＋－tatann7755°°； ②sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－ 3cos(θ＋15°)； ③(2016·遵义四中期末)tan 20°＋tan 40°＋ 3tan 20°·tan 40°. 【精彩点拨】 (1)化简求值应注意公式的逆用． (2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．
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教材整理 3 两角和与差的正切公式
阅读教材 P129“探究”以下至“例 3”以上内容，完成下列问题．
名称 简记符号
公式
使用条件
两角和 的正切
两角差 的正切
T(α＋β) T(α－β)
tan α ＋tan β α ，β ，α ＋β≠kπ tan(α＋β)＝1_－__ta_n__α__t_a_n__β_ ＋π2 (k∈Z) 且 tan
1＋tan 12°tan 72°
(3) tan 12°－tan 72° .
【解】
(1)原式＝cos(61°－16°)＝cos
45°＝
2 2.
(2)原式＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝12.
(3)原式＝1t＋ant1a2n°12－°ttaann7722°°＝－tan（72°1－12°）＝－
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∴ .
∴ .
(2)∵ ,且 ,
∴ 是第一象限角,或第二象限角.
当 是第一象限角时,
∴ .
∴ .
当 是第二象限角时,
∴ .
∴ .
综上可知,当 是第一象限角时,
, ；
当 是第二象限角时,
, .
[规律技巧]在用正弦与余弦的平方关系来求值时,一般需要开方,此时要特别注意开方之后应当取正值、负值、还是正负值都应当取.而三角函数值的正负又是由角所在象限确定的,故利用已知条件先判断角所在象限是非常重要的.
(A) (B) (C) (D)
4.若 ,且满足 ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
【典例剖析】
题型1:已知角的一个三角函数值,求该角的其它三角函数值
例1(1)若 是第二象限角,且 ,求 的值.
(2)若 ,求 的值.
[思路分析]已知正弦函数值,求余弦函数值需用到 ,知道了正弦值和余弦值则可用 求正切值.
二、填空题
5.若 ,则 ______.
6.若 ,则 ______.
7.若 ,且满足 ,则 ______.
8. 化简后的最简结果为______.
三、解答题
9.已知 ,
(1)求 的值；
(2)求 的值.
10.若 ,求 的值.
第三章三角恒等变形
§1同角三角函数的基本关系
第2课时同角三角函数的基本关系(2)
【预习导航】
∴当 是第一或第四象限角时,
.
∴当 是第二或第三象限角时,
.[规律技巧]在已知正切值求有关正弦、余弦的分式的值时,我们一般可对分式的每一项同时除以余弦或余弦的平方将题目中的正余弦均化为正切来处理.第(3)题中的非其次的问题则需要先求出余弦值.
[变式训练]若 ,求 .
题型2:三角函数式的化简与证明
例2化简下列各式:
[变式训练]在 中, ,求 的值.
例2在 中, ,求 .
[思路分析]由于已知正切值,要求余弦值,因此要寻求正切、正弦、余弦的关系,这时 与 都要用到.
[解]∵ ,且 ,
∴ .∴ .
∵ ,
∴ .
∵ ,
∴ .
故由 得 .
[规律技巧]已知正切,而由 知正弦与余弦之间只有一个关系式,此时再联合 求解就是必然的.另一点值得指出的是,由于最后要开方,故先判断角的范围是必要的.
1. ______.
2. ______.
3. _______.
4. ______.
【基础自测】
1.若 ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
2.若 为锐角,且满足 ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
3.若 ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
4. ( )
(A) (B)
(C) (D)
[变式训练]已知 为锐角,且 是方程 的根,求 的值.
题型2:关于 之间的相互转化
例3已知 ,且 ,
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
[思路分析]对于(1),将 平方即可出现 的结构；对于(2),可先求 的值；而对于 ,当然可以先求 , ,再求 .
[解](1)∵ ,
∴等式左右两边平方得:
(1) ；
(2) .
[思路分析]对于化简问题,关键在于看清式子的结构特征.含根号的问题则主要是考虑消去根号的基本方法:将根式内的式子配成完全平方式,平方去根号.
[解](1)
.
.
(2)
故,当 , 时,
；
当 , 时,
.
[规律技巧]对于与 有关的化简问题常常需要用到以下恒等式:
,
.
另,本题中根式的化简关键在于将根式内的式子配成完全平方式,一个基本的想法就是先将分子、分母同乘以原分母.当然,也可以给分子、分母同乘以分子之后,利用正余弦的平方和为 ( )进行转化.
【知能迁移】
例4设 ,且 是关于 的方程 的两个不相等的实数根,求 与 的值.
[思路分析]由题目知:根与系数的关系(韦达定理)在本题中应当有重要的应用.同时, , ,与 三者的关系无疑是解题的关键.
[解]由韦达定理可得:
, .
∵ ,
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
[规律技巧]本题对 , ,与 的关系进行了深入挖掘,尤其是通过一元二次方根与系数的关系(韦达定理)为背景来设计就显得更隐蔽.另有一点值得指出的是: 的值正负都是可以的,本题从表面上看对 的符号没做判断,而实际上是因为对本题而言,由 ,故 的值可正可负.
第三章三角恒等变形
§1同角三角函数的基本关系
第1课时同角三角函数的基本关系(1)
【预习导航】
1. ______.
2. ______.
3. ______.
【基础自测】
1.若 是钝角, ,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
2.若 , ,则 ( )
பைடு நூலகம்(A) (B) (C) (D)
3.若 ,且满足 ,则 ( )
【典例剖析】
题型1:已知正切值,求三角函数式的值
例1已知 ,
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值.
[思路分析]已知正切函数值,求三角函数式的值常常需用到 ,以及 , 等关系.
[解](1)∵
∴ .
(2)∵ ,
∴
.
(3)∵ ,
∴ .
∴当 是第一或第四象限角时, ；当 是第二或第三象限角时, .
.
∵
∴ .
(2)∵ ,且 ,
∴ , .∴ .
∴ .
∴ .
(3)由 得 .
故 .
[规律技巧]对于 , ,与 的关系主要是通过以下恒等式来进行的:
,
.
事实上,我们通过以上两个恒等式可知:在 , ,与 三个中,知道其中一个即可求另两个的值,或者说,用其中的一个可以表示另两个.
[变式训练]已知角 满足 ,求 的值.
[变式训练]证明:对任意的角 ,都有:
.
【知能迁移】
例4求证: .
[思路分析]由于本题中等式的两边都比较复杂,因此将等式两边都化简,然后通过中间量来实现对等式的证明.
[变式训练]若锐角 满足 ,求 的值.
【课时作业】
一、选择题
1.化简 等于( )
(A) (B)
(C) (D)
2.若 是钝角,且 ,则 的值为( )
(A) (B) (C) (D)
3.若 ,且满足 ,则 的值为( )
(A) (B) (C) (D)
4.若 是钝角,且 ,则 的值为( )
(A) (B) (C) (D)
[变式训练]已知角 满足 ,化简 .
例3求证: .
[思路分析]等式的证明实质上就是化简的过程,不过化简的结果已经呈现出来了,因此化简的方向更明确.本题中,应当从等式的左边向右边化,因为我们一般由复杂的一端向简单的一端进行转化.
[证明]
.
[规律技巧]本题的证明过程,也就是化简过程,看起来头绪较多,但只要抓住将正切化为正余弦来处理,再瞄准目标前进即可.