第三章：三角恒等变换中角变换的技巧.
三角恒等变换与解题技巧
三角恒等变换与解题技巧三角函数是数学中重要的一部分，与几何、物理等学科密切相关。
在解三角函数的问题时，常常需要运用恒等变换来简化计算或将复杂的式子转化为简单的形式。
恒等变换是指在等式两边同时做相同的运算而不改变等式的值。
掌握常用的三角恒等变换并灵活运用是解题的关键。
本文将介绍一些常用的三角恒等变换，并分享一些解题技巧。
一、正弦、余弦、正切的恒等变换1. 余切的逆关系根据余切的定义，我们知道cot(A)等于tan(A)的倒数，即cot(A) = 1 / tan(A)。
这是一个重要的恒等变换，在简化复杂式子、证明等题目中经常会用到。
2. 三角函数的平方和恒等式sin^2(A) + cos^2(A) = 1这是三角函数最基本的恒等式之一，也是勾股定理的三角形形式。
该恒等式可以用来将一个三角函数转化为其他三角函数的形式。
3. 正切的平方和恒等式1 + tan^2(A) = sec^2(A)这是正切函数的平方和恒等式，也是解析几何中的一条重要公式。
运用该恒等式可以将一个正切函数的式子转化为其他三角函数的式子。
4. 余切的平方和恒等式1 + cot^2(A) = csc^2(A)这是余切函数的平方和恒等式，与正切的平方和恒等式相对应。
在解题时运用该恒等式可以将一个余切函数的式子转化为其他三角函数的式子。
二、两角和与差的恒等变换1. 正弦的两角和与差sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)这是正弦函数的两角和与差公式，可以通过将两个三角函数用另外两个三角函数来表示。
在解题时，可以通过将复杂的三角函数式子转化为正弦函数的形式来简化计算。
2. 余弦的两角和与差cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)这是余弦函数的两角和与差公式，与正弦的两角和与差公式相似。
在解题时，也可以通过转化为余弦函数的形式来简化计算。
高中数学中的三角恒等变换利用恒等变换简化复杂三角式子的技巧
高中数学中的三角恒等变换利用恒等变换简化复杂三角式子的技巧在高中数学中，三角函数是一个非常重要的概念。
通过恒等变换，我们可以简化复杂的三角式子，使其更易于计算和理解。
本文将介绍一些常用的三角恒等变换以及利用恒等变换简化复杂三角式子的技巧。
一、基本恒等变换1. 正弦函数的基本恒等变换正弦函数的基本恒等变换包括：sin²θ + cos²θ = 1sin(90° - θ) = cosθsin(-θ) = -sinθsin(180° - θ) = sinθ2. 余弦函数的基本恒等变换余弦函数的基本恒等变换包括：cos²θ + sin²θ = 1cos(90° - θ) = sinθcos(-θ) = cosθcos(180° - θ) = -cosθ3. 正切函数的基本恒等变换正切函数的基本恒等变换包括：tanθ = sinθ/cosθtan(-θ) = -tanθtan(π/2 - θ) = 1/tanθtan(π + θ) = tanθ二、常用恒等变换1. 二倍角恒等变换二倍角恒等变换可以将一个角的正弦、余弦、正切函数转化为两倍角的正弦、余弦、正切函数。
常用的二倍角恒等变换包括：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = 2tanθ/1 - tan²θ2. 和差角恒等变换和差角恒等变换可以将两个角的正弦、余弦、正切函数转化为一个角的正弦、余弦、正切函数。
常用的和差角恒等变换包括：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)三、利用恒等变换简化复杂三角式子的技巧1. 利用二倍角恒等变换当我们遇到一个三角函数中带有角度为θ的复杂式子时，可以尝试使用二倍角恒等变换将其转化为两倍角的三角函数。
三角恒等变换技巧
三角恒等变换技巧三角恒等变换是指一系列三角函数的等价关系，通过这些等价关系，可以将复杂的三角函数表达式简化为简单的形式，从而更容易进行求解和计算。
在解三角函数方程、化简三角函数表达式、证明三角恒等式等问题中，三角恒等变换技巧是非常重要的。
1.基本恒等式：基本恒等式是指最基本的三角函数之间的等价关系，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
（1）正弦函数的基本恒等式：sin²θ + cos²θ = 1sin(-θ) = -sinθsin(π/2 - θ) = cosθsin(π/2 + θ) = cosθsin(π - θ) = sinθsin(π + θ) = -sinθsin(2θ) = 2sinθcosθ（2）余弦函数的基本恒等式：cos²θ + sin²θ = 1cos(-θ) = cosθcos(π/2 - θ) = sinθcos(π/2 + θ) = -sinθcos(π - θ) = -cosθcos(π + θ) = -cosθcos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ（3）正切函数的基本恒等式：ta nθ = sinθ/cosθtan(-θ) = -tanθtan(π/2 - θ) = 1/tanθtan(π/2 + θ) = -1/tanθtan(π - θ) = -tanθtan(π + θ) = tanθtan(2θ) = 2tanθ/(1 - tan²θ)2.和差角公式：和差角公式是指可以将两个三角函数的和、差转化为一个三角函数的等价关系。
（1）正弦函数的和差角公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ（2）余弦函数的和差角公式：cos(α ±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ（3）正切函数的和差角公式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)3.二倍角公式：二倍角公式是指可以将一个三角函数的二倍角转化为一个三角函数的等价关系。
进行三角恒等变换的三个技巧
解题宝典在解答三角函数问题时，经常需对三角函数式进行三角恒等变换，这就要求同学们熟练掌握一些进行三角恒等变换的技巧，以便能顺利化简三角函数式、求出三角函数式的值.那么怎样合理进行三角恒等变换呢？可以从以下三个方面进行.一、变换角当进行三角恒等变换时，首先要仔细观察已知角和所求角之间的差别，并建立两角之间的联系,如互余、互补、半角、倍角等，然后利用诱导公式、二倍角公式、两角的和差公式等求解.在进行角的变换时，还可将已知角、所求角与特殊角，如π6、π4、π3等建立联系，然后利用这些特殊角的函数值进行求解.例1.已知cos æèöøα+π4=35，π2≤α<3π2，求cos(2α+π4)的值.分析：先观察题目中的角可发现，已知角α+π4与所要求的角2α+π4之间相差一个α，可以找到一个关系：2æèöøα+π4−π4=2α+π4，用二倍角公式和诱导公式求出sin 2æèöøα+π4和cos 2æèöøα+π4的值，最后根据余弦的两角和公式cos ()α−β=cos α∙cos β+sin α∙sin β求出cos æèöø2α+π4的值.解：由于π2≤α<3π2，所以3π4≤α+π4<7π4，又因为cos æèöøα+π4=35>0，可知3π2≤α+π4<7π4，因此sin æèöøα+π4=−45，所以sin 2æèöøα+π4=2sin æèöøα+π4cos æèöøα+π4=−2425，cos 2æèöøα+π4=2cos 2æèöøα+π4−1=−725，因此cos æèöø2α+π4=cos éëêùûú2æèöøα+π4−π4=cos 2æèöøα+π4cos π4+sin 2æèöøα+π4sin π4=.二、变换函数名称有些三角函数式中的函数名称并不相同，此时，我们需变换函数的名称，如将正切、余切转化为正弦、余弦，将正弦化为余弦，将余弦化为正弦，等等，以达到统一函数名称的目的.在变换函数名称的过程中，常用到的公式有诱导公式sin ()2k π+α=sin α()k ∈Z 、cos ()2k π+α=cos α()k ∈Z 、tan ()2k π+α=tan α(k ∈Z)，重要关系式tan α=sin αcos α、sin 2α+cos 2α=1、辅助角公式a sin α+b cos α=a 2+b 2sin （α+φ）等.例2.化简2cos 2α−12tan æèöøπ4−αsin 2æèöøπ4+α.分析：这个式子中既含有正切函数也有正弦、余弦函数，我们第一步就是要想办法将正切函数转变为正弦函数.观察式子中角的特点，可发现æèöøπ4−α+æèöøπ4+α=π2，根据角的特征，可以利用诱导公式将函数式转化成函数名称一致的式子.解：原式=cos 2α2sin æèöøπ4−αcos æèöøπ4−αsin 2éëêùûúπ2−æèöøπ4−α=cos 2α2sin æèöøπ4−αcos æèöøπ4−α=cos 2αsin æèöøπ2−2α=1.三、变换幂的次数有些三角函数式中幂的次数不相同，此时，我们要对其作升幂或者降幂处理，以便使函数式中的次数相同.“升幂”可以通过二倍角公式cos 2α=cos 2α−sin 2α=2cos 2α−1=1−2sin 2α、tan 2α=2tan α1−tan 2α来实现，“降幂”可以通过二倍角公式sin 2α=2sin αcos α及变形式sin 2α=1−cos 2α2，cos 2α=1+cos 2α2.sin 2α=1−cos 2α2，cos 2α=1+cos 2α2来达到目的.例3.已知tan α=−13，求sin α−cos 2α1+cos 2α的值.分析：由于已知tan α=−13，目标式中含有正弦函数和余弦函数，且含有二次式，可以先利用二倍角公式把2α转变为α，使幂的次数统一，即将所求的式子转化为关于sin α、cos α的齐次式，然后依据tan α=sin αcos α，将目标式中的分子、分母同时除以cos 2α，得到只含有tan α的分式，将tan α=−13代入求解即可得到答案.解：原式=2sin αcos α−cos 2α2cos 2α=2sin α−cos α2cos α=tan α−12=−56.总而言之，在进行三角恒等变换时最重要的就是要做到“变异为同”，灵活使用各种三角函数公式，将角、函数名称、幂的次数不同的式子转化为角、函数名称、次数相同的式子.在解题的过程中，同学们要熟记各种三角函数公式，并灵活使用，根据角、函数名称、幂的特点合理进行变换，以实现“变异为同”.（作者单位：山东省聊城第一中学）41Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
三角恒等变换的方法与技巧
三角恒等变换的方法与技巧三角恒等变换是三角函数中的主要部分，是培养学生等价转化与化归思想、逻辑思维能力、知识的联系性与灵活性的重要内容。
下面举例说明三角恒等变换的方法与技巧。
一、变角角是研究三角函数问题的切入点.若表达式中出现了较多相异的角，必须对比分析变换对象与变换目标，其余的角都朝目标角转化.这是三角变换最基本的策略。
例1.已知cos（α-■）=-■，sin（■-β）=■（■<α<π，0<β<■）求cos（α+β）的值解析：由已知得■ <α-■<π，-■<■-β<■∴sin（α-■）=■，cos（■-β）=■∴cos■=cos[（α-■）-（■-β）]=cos（α-■）cos（■-β）+sin（α-■）sin（■-β）=-■∴cos（α+β）=2cos2■-1=-■点评：（α-■）-（■-β）=■ α+β=2·■注意角的拼凑、拆分，倍、半的相对性。
二、变函数名称若表达式中函数种类较多，变形困难，应尽量减少函数种类.这是恒等变换的又一策略。
例2.已知锐角α，β满足tan（α-β）=sin2β，求证：2tan2β=tanα+tanβ解析：∵sin2β=■∴■= ■t anα=■∴tanα+tanβ=■=2tan2β点评：弦化切，同一为切，正用、逆用公式.三、变结构对较复杂的表达式，一般先变形结论，再寻找由条件得到的有用结论，合理选择公式，建立差异间联系，解决问题。
例3.已知cos（■+x）=■，■<x<■，求■的值解析：■=■=■= 2sinxcosx·■=2sinxcosx·tan（■+x）由■<x<■得■<x+■<2π，又cos（■+x）=■∴sin（■+x）=-■，tan（■+x）=-■cosx=cos[（■+x）-■]=-■，sinx=-■∴■=-■点评：在综合变角、变名的基础上，首先对所求复杂式子结构恒等变形，再结合已知条件，寻找目标。
三角恒等变换的常用技巧
三角恒等变换的常用技巧1.三角函数的互余关系三角函数的互余关系是指正弦函数与余弦函数之间、正切函数与余切函数之间存在一种关系，即sin(x) = cos(π/2 - x)，cos(x) =sin(π/2 - x)，tan(x) = cot(π/2 - x)，cot(x) = tan(π/2 - x)。
利用这个关系，可以将一个三角函数用另一个三角函数表示，从而简化计算。
2.三角函数的辅助角公式三角函数的辅助角公式是指通过引入辅助角，使得原函数形式得到简化或变形的运算方法。
常见的辅助角公式包括:sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) tan(2x) = (2tan(x))/(1 - tan^2(x))利用辅助角公式，可以将一个三角函数表达式化简为另一个形式，从而方便计算。
3.和差角公式和差角公式是指将两个角的三角函数的和或差，表示为一个三角函数乘积的展开公式。
常见的和差角公式包括:sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)tan(x ± y) = (tan(x) ± tan(y))/(1 ∓ tan(x)tan(y))通过和差角公式，可以将一个复杂的三角函数表达式展开为两个简单的三角函数表达式的和或差，方便进一步计算。
4.二倍角公式二倍角公式是指将一个角的三角函数的平方形式化简为另一个角的三角函数表达式的公式。
常见的二倍角公式包括:sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2cos^2(x) = (1 + cos(2x))/2tan^2(x) = (1 - cos(2x))/(1 + cos(2x))通过二倍角公式，可以将一个角的三角函数平方形式化简为另一个角的三角函数的表达式，使得计算更加简化。
三角恒等变换解题技巧
三角恒等变换解题技巧
三角恒等变的换解题技巧：
三角恒等变换以三角函数基本关系、诱导公式、两角和与差的三角函数公式，倍角公式、半角公式等三角公式为基础。
解题思想是根据试题特点，灵活运用三角公式，使用配凑角、切化弦、降次或升幂等技巧，达到解决问题的目的．三角函数公式众多，方法灵活多变，同学们若能熟练掌握三角函数变换的技巧和化简的方法，可达到事半功倍的效果。
在三角恒等变换中经常需要转化角的关系，在解题过程中必须认真观察和分析结论中是哪个角，条件中有没有这些角，哪些角发生了变化等等．因此角的拆变技巧，倍角与半角相对性等都十分重要，应用也相当广泛且非常灵活．常见的拆变方法有：α可变为（αβ）-β；2α可变为（αβ）（α-β）；2α-β可变为（α-β）α；α可视为α/2的倍角等等。
高中数学中的三角恒等变换常用恒等变换公式总结与应用技巧
高中数学中的三角恒等变换常用恒等变换公式总结与应用技巧在高中数学中，三角函数是一个重要的概念，而三角恒等变换则是在解决三角函数方程和简化三角函数式子时经常用到的重要工具。
本文将总结常用的三角恒等变换公式，并介绍其应用技巧。
一、基本恒等变换公式1. 余弦函数的基本恒等变换(1) 余弦函数的平方形式：cos²θ + sin²θ = 1(2) 二倍角公式：cos2θ = cos²θ - sin²θ(3) 余弦函数的和差角公式：cos(θ ± φ) = cosθcosφ - sinθsinφ2. 正弦函数的基本恒等变换(1) 正弦函数的平方形式：sin²θ + cos²θ = 1(2) 二倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ(3) 正弦函数的和差角公式：sin(θ ± φ) = sinθcosφ ± cosθsinφ3. 正切函数的基本恒等变换(1) 正切函数的平方形式：tan²θ + 1 = sec²θ1 + cot²θ = cosec²θ(2) 二倍角公式：tan2θ = (2tanθ)/(1 - tan²θ)二、常用恒等变换公式1. 互余公式：sin(π/2 - θ) = cosθcos(π/2 - θ) = sinθtan(π/2 - θ) = cotθ2. 余角公式：sin(π - θ) = sinθcos(π - θ) = -cosθtan(π - θ) = -tanθ3. 倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = (2tanθ)/(1 - tan²θ)4. 积化和差公式：sinθsinφ = (1/2)[cos(θ - φ) - cos(θ + φ)]cosθcosφ = (1/2)[cos(θ - φ) + cos(θ + φ)]sinθcosφ = (1/2)[sin(θ + φ) + sin(θ - φ)]三、恒等变换的应用技巧1. 解三角函数方程：利用恒等变换可以将复杂的三角函数方程转化为简单的等式，从而更容易求解。
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1 三角恒等变换中角变换的技巧
一、利用条件中的角表示目标中的角
例1 设a B为锐角，且满足cos a=, tan (a— 3= —，求cos B的值.
二、利用目标中的角表示条件中的角
例2 设a为第四象限的角，若=，贝U tan 2 a=___________________ .
三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角
例3 已知sin=, 0<x<，求的值.
四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角
例 4 求函数f(x= sin(x—20°—cos(x+ 40°勺最大值.
2 三角函数化简求值的“主角”
(1 单角化复角
例1已知sin a=, a是第二象限的角，且tan(a+ 3=
(2 复角化单角
例 2 化简：—2cos(a＋3.
(3 复角化复角
例 3 已知<a<n 0< 3<, cos(+ a= — , sin( + 3冗=，求sin(a+ 3 的值.
3 三角恒等变换的几个技巧
一、灵活降幂
例 1 = _______ .
二、化平方式
例 2 化简求值：
(a€ (, 2 n
三、灵活变角
例 3 已知sin(— a=，贝U cos(+ 2 a= _______
四、构造齐次弦式比，由切求弦
例4已知tan寻一，则的值是____________ .
五、分子、分母同乘以2n sin a求COS acos 2 a cos 4 a •os 8a・・C0S 2n—1 a
的值
例 5 求值：sin 10 sin 30 sin 50 sin 70 °
4聚焦三角函数最值的求解策略
一、化为y = Asin( 3x+(j)+ B的形式求解
例1求函数f(x =的最值.
例2 求函数y = sin2x + 2sin xcos x + 3cos2x的最小值，并写出y取最小值时x的集合.
二、利用正、余弦函数的有界性求解
例3求函数y =的值域.
例4求函数y =的值域.
三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值
例5 设关于x的函数y= cos 2x —2acos x—2a的最小值为f(a,写出f(a的表达式.
例 6 试求函数y = sin x + cos x + 2sin xcos x + 2 的最值.
四、利用函数的单调性求解
例7求函数y =的最值.
例8 在Rt A ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB = a, / ABC = 0,△ ABC的面积为P,正方形面积为Q.求的最小值.
易错问题纠错
一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1 已知sin话，sin护，a和B都是锐角，求a+ B的值.
二、忽视条件中隐含的角的范围而致错
例 2 已知tan2 汁6tan oF 7= 0, tan2 升6tan 才7= 0, a (0, n 且求a+ B的值.
三、忽略三角形内角间的关系而致错
例 3 在厶ABC 中，已知sin A=, cos B=，求cos C.
四、忽略三角函数的定义域而致错
例4判断函数f(x =的奇偶性.
五、误用公式asin x+ bcos x= sin(x + $而致错
例5 若函数f(x= sin(x+ 0+ cos(x—0, x€ R是偶函数，求B的值.。