简单的三角恒等变换(基础)
简单的三角函数恒等变换公式
简单的三角函数恒等变换公式
1三角函数恒等变换公式
三角函数恒等变换公式是数学中重要的公式之一，它可以帮助我们通过将一组简单的数学公式转换为其他相关的数学公式。
恒等变换的基本原理是，当两个函数在同一象限上具有相同的角度时，它们的值是相等的。
那么，我们可以把一个函数表达式中代表角度的变量替换成另一个函数表达式中代表角度的变量，从而得到一个新的公式。
最常用的三角函数恒等变换公式如下：
sin x=cos(90-x)；
cos x=sin(90-x)；
tan x=cot(90-x)；
cot x=tan(90-x)。
这些公式可以帮助我们用比较简单的方法计算三角函数的值，从而节省时间。
例如，我们要计算sin15°的值，可以利用公式sin x=cos(90-x)，将15°代入，得出cos75°，最后根据75°的三角函数值表，就可以得到sin15°的结果。
总之，三角函数恒等变换公式是一种非常实用的数学公式，我们可以利用它来快速进行简单的三角函数计算，减少计算量并节省时间。
三角恒等变换
三角恒等变换三角恒等变换是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们简化三角函数的复杂表达式，以及解决与三角函数相关的问题。
本文将介绍三角恒等变换的定义、常见的三角恒等变换公式，以及使用恒等变换解决问题的实例。
一、定义三角恒等变换是指通过等式变换将一个三角函数变换为具有相同函数值的其他三角函数的过程。
这种变换可以帮助我们简化三角函数的表达式，使其更易于计算和处理。
二、常见的三角恒等变换公式在三角恒等变换中，常见的公式包括以下几种：1. 余弦函数恒等变换：a) $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$ ：这是最基本的三角恒等变换公式，称为余弦函数的平方与正弦函数的平方之和等于1。
b) $\cos(-x)=\cos(x)$ ：余弦函数具有对称性质，关于y轴对称。
c) $\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin(x)$ ：余弦函数与正弦函数的关系，通过将自变量进行变换，可以转化为正弦函数。
2. 正弦函数恒等变换：a) $\sin(-x)=-\sin(x)$ ：正弦函数具有奇函数的性质，关于原点对称。
b) $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos(x)$ ：正弦函数与余弦函数的关系，通过将自变量进行变换，可以转化为余弦函数。
3. 三角函数的和差化积：a) $\sin(x \pm y)=\sin(x)\cos(y) \pm \cos(x)\sin(y)$ ：正弦函数的和差化积公式。
b) $\cos(x \pm y)=\cos(x)\cos(y) \mp \sin(x)\sin(y)$ ：余弦函数的和差化积公式。
4. 二倍角公式：a) $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ ：正弦函数的二倍角公式。
b) $\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)=2\cos^2(x)-1=1-2\sin^2(x)$ ：余弦函数的二倍角公式。
三角恒等变换知识点总结详解
三角恒等变换知识点总结详解三角恒等变换是指一些与三角函数相关的恒等式或等式组，通过这些等式可以将一个三角函数表达式转化为另一个三角函数表达式，或者简化一个复杂的三角函数表达式。
这些恒等变换在解决三角函数相关问题时非常有用。
下面是对一些常见的三角恒等变换进行总结和详解。
1.正弦函数的恒等变换：- 正弦函数的定义：对于任意实数x，sin(x) = y，其中y为[-1, 1]之间的值。
- 正弦函数的周期性：sin(x + 2π) = sin(x)，即正弦函数以2π为周期。
- 正弦函数的奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，即正弦函数是奇函数。
2.余弦函数的恒等变换：- 余弦函数的定义：对于任意实数x，cos(x) = y，其中y为[-1, 1]之间的值。
- 余弦函数的周期性：cos(x + 2π) = cos(x)，即余弦函数以2π为周期。
- 余弦函数的奇偶性：cos(-x) = cos(x)，即余弦函数是偶函数。
3.正切函数的恒等变换：- 正切函数的定义：对于任意实数x（除了例如π/2 + kπ，其中k 为整数），tan(x) = y，其中y为整个实数轴上的值。
- 正切函数的周期性：tan(x + π) = tan(x)，即正切函数以π为周期。
- 正切函数的奇偶性：tan(-x) = -tan(x)，即正切函数是奇函数。
4.三角函数的平方和差公式：- sin²(x) + cos²(x) = 1，即正弦函数的平方与余弦函数的平方和等于1- sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)，即正弦函数的和的正弦等于两个正弦函数的乘积和。
- cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)，即余弦函数的和的余弦等于两个余弦函数的乘积差。
- sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)，即正弦函数的差的正弦等于两个正弦函数的乘积差。
归纳与技巧：简单的三角恒等变换(含解析)
归纳与技巧：简单的三角恒等变换基础知识归纳半角公式(不要求记忆)1．用cos α表示sin 2α2，cos 2α2，tan 2α2.sin 2α2＝1－cos α2；cos 2α2＝1＋cos α2；tan 2α2＝1－cos α1＋cos α. 2．用cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.sin α2＝± 1－cos α2；cos α2＝± 1＋cos α2； tan α2＝± 1－cos α1＋cos α.3．用sin α，cos α表示tan α2.tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.基础题必做1．(教材习题改编)已知cos α＝13，α∈(π，2π)，则cos α2等于( )A.63 B ．－63 C.33D ．－33解析：选B ∵cos α＝13，α∈(π，2π)，∴α2∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1＋132＝－63.2．已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π12等于( ) A.12B ．－12C.32D ．－32解析：选B f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－sin 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π12＝－sin π6＝－12. 3．已知tan α＝12，则cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α等于( )A ．3B ．6C ．12D.32解析：选A cos 2α＋sin 2α＋1cos 2α＝2cos 2α＋2sin α·cos αcos 2α＝2＋2tan α＝3. 4.sin 20°cos 20°cos 50°＝________.解析：sin 20°cos 20°cos 50°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.答案：125．若1＋tan α1－tan α＝2 013，则1cos 2α＋tan 2α＝________.解析：1cos 2α＋tan 2α＝1＋sin 2αcos 2α＝(cos α＋sin α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝2 013.答案：2 013解题方法归纳三角恒等变换的常见形式三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明． (1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解．(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．三角函数式的化简典题导入[例1] 化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x .[自主解答] 原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x＝12(1－sin 22x )2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x＝12cos 2x .解题方法归纳三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．以题试法1．化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan α2－tan α2·⎝⎛⎭⎫1＋tan α·tan α2.解：法一：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2sin α2－sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α·sin α2cos α2＝cos 2α2－sin 2α2sin α2·cos α2·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcos α2＝2cos αsin α·cos ⎝⎛⎭⎫α－α2cos αcosα2 ＝2cos αsin α·cosα2cos αcosα2＝2sin α. 法二：原式＝1－tan 2α2tan α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αsin α2cos αcos α2 ＝2tan α·cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcosα2 ＝2cos αsin α·cos α2cos α·cosα2＝2sin α.三角函数式的求值典题导入[例2] (1) sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( )A ．－32 B ．－12C.12D.32. (2)已知α、β为锐角，sin α＝35，cos ()α＋β＝－45，则2α＋β＝________.[自主解答] (1)原式＝sin (30°＋17°)－sin17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12.(2)∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝45，∵cos(α＋β)＝－45，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝35，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝35×⎝⎛⎭⎫－45＋45×35＝0. 又2α＋β∈⎝⎛⎭⎫0，3π2. ∴2α＋β＝π. [答案] (1)C (2)π解题方法归纳三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．以题试法2． 已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π9的值；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，若f ⎝⎛⎭⎫α3＋π4＝2，求cos ⎝⎛⎭⎫α－π4的值．解：(1)f ⎝⎛⎭⎫π9＝tan ⎝⎛⎭⎫π3＋π4＝tan π3＋tan π41－tan π3tanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫α3＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋3π4＋π4＝tan(α＋π)＝tan α＝2， 所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②解得cos 2α＝15.因为α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos α＝－55，sin α＝－255. 所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋⎝⎛⎭⎫－255×22＝－31010.三角恒等变换的综合应用典题导入[例3] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0＜α＜β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.[自主解答] (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4－π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加得2cos βcos α＝0.∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.在本例条件不变情况下，求函数f (x )的零点的集合．解：由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝0，∴x －π4＝k π(k ∈Z )， ∴x ＝k π＋π4(k ∈Z )．故函数f (x )的零点的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋π4，k ∈Z .解题方法归纳三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．以题试法3．已知函数f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当α∈[0，π]时，若f (α)＝1，求α的值．解：(1)因为f (x )＝2cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π6－3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2 x ＋sin x cos x －3sin 2x ＋sin x cos x ＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 所以最小正周期T ＝π.(2)由f (α)＝1，得2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝1， 又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，7π3， 所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，故α＝π4或α＝11π12.1．在△ABC 中，tan B ＝－2，tan C ＝13，则A 等于( )A.π4 B.3π4 C.π3D.π6解析：选A tan A ＝tan [π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C )＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C ＝－－2＋131－(－2)×13＝1.故A ＝π4.2.sin (180°＋2α)1＋cos 2α·cos 2αcos (90°＋α)等于( )A ．－sin αB ．－cos αC ．sin αD ．cos α解析：选D 原式＝(－sin 2α)·cos 2α(1＋cos 2α)·(－sin α)＝2sin α·cos α·cos 2α2cos 2α·sin α＝cos α.3． 已知直线l: x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，在y 轴上的截距为1，则tan(α＋β)＝( )A ．－73B.73C.57D ．1解析：选D 依题意得，tan α＝2，－3tan β＝1， 即tan β＝－13，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2－131＋23＝1.4． 若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) A.35B.45C.74D.34解析：选D 因为θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，所以2θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π， 所以cos 2θ<0，所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－18.又cos 2θ＝1－2sin 2θ＝－18，所以sin 2θ＝916，所以sin θ＝34.5． 计算tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α ＝cos 2αcos 2α＝1. 6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0<β<α<π2，则β等于( )A.π12 B.π6 C.π4D.π3解析：选D 依题意有sin αcos β－cos αsin β ＝sin(α－β)＝3314，又0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. 故β＝π3.7．若tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝3，则cos 2θ1＋sin 2θ＝________. 解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＝1－tan θ1＋tan θ＝3， ∴tan θ＝－12.∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1－tan 2θtan 2θ＋2tan θ＋1＝1－1414－1＋1＝3.答案：38．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. 解析：由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π3.答案：π39．计算：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝________.解析：cos 10°＋3sin 10°1－cos 80°＝2(sin 30°cos 10°＋cos 30°sin 10°)2sin 240°＝2sin 40°2sin 40°＝ 2. 答案： 210．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)求f ′(x )及函数y ＝f ′(x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的值域． 解：(1)由题意可知，f ′(x )＝cos x －sin x ＝－2·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， 所以y ＝f ′(x )的最小正周期为T ＝2π.(2)F (x )＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x＝1＋sin 2x ＋cos 2x＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1. ∴函数F (x )的值域为[0,1＋ 2 ]．11．已知0<α<π2<β<π，tan α2＝12，cos(β－α)＝210. (1)求sin α的值；(2)求β的值．解：(1)∵tan α2＝12， ∴tan α＝2tan α21－tan 2α2＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 由⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝45⎝⎛⎭⎫sin α＝－45舍去.(2)由(1)知cos α＝1－sin 2α ＝ 1－⎝⎛⎭⎫452＝35，又0<α<π2<β<π，∴β－α∈(0，π)， 而cos(β－α)＝210， ∴sin(β－α)＝1－cos 2(β－α)＝ 1－⎝⎛⎭⎫2102＝7210， 于是sin β＝sin[α＋(β－α)]＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α)＝45×210＋35×7210＝22. 又β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴β＝3π4. 12．已知sin(2α＋β)＝3sin β，设tan α＝x ，tan β＝y ，记y ＝f (x )．(1)求证：tan(α＋β)＝2tan α；(2)求f (x )的解析式．解：(1)证明：由sin(2α＋β)＝3sin β，得sin [(α＋β)＋α]＝3sin [(α＋β)－α]，即sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α，∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α.∴tan(α＋β)＝2tan α.(2)由(1)得tan α＋tan β1－tan αtan β＝2tan α，即x ＋y1－xy＝2x ， ∴y ＝x 1＋2x 2，即f (x )＝x 1＋2x 2.1． 已知曲线y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 与直线y ＝12相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|15P P |等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：选B 注意到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋sin 2x ，又函数y ＝1＋sin 2x 的最小正周期是2π2＝π，结合函数y ＝1＋sin 2x 的图象(如图所示)可知，|15P P |＝2π.2.3－sin 70°2－cos 210°等于( ) A.12B.22 C ．2D.32 解析：选C 3－sin 70°2－cos 2 10°＝3－cos 20°2－cos 210°＝3－(2cos 210°－1)2－cos 210°＝2(2－cos 210°)2－cos 210°＝2. 3． 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3cos 2x －m ，若f (x )的最大值为1. (1)求m 的值，并求f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若f (B )＝3－1，且3a ＝b ＋c ，试判断三角形的形状．解：(1)f (x )＝2sin 2x ·cos π3＋3cos 2x －m ＝sin 2x ＋3cos 2x －m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－m . 又f (x )max ＝2－m ，所以2－m ＝1，得m ＝1.由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z ) 得到k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )， 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． (2)由f (B )＝3－1，得2sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π3－1＝3－1， 所以B ＝π6.又3a ＝b ＋c ，则3sin A ＝sin B ＋sin C ，3sin A ＝12＋sin ⎝⎛⎭⎫5π6－A ，即sin ⎝⎛⎭⎫A －π6＝12， 所以A ＝π3，C ＝π2，故△ABC 为直角三角形．1．求证：tan α＋1tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝1cos α. 证明：左边＝sin αcos α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝sin αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＋cos αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2cos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α2－αcos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α2cos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2cos αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α2＝1cos α＝右边． 故原式得证．2．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围． 解：(1)f (x )＝(sin 2x ＋sin x cos x )＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x。
知识讲解_简单的三角恒等变换_基础
简单的三角恒等变换编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧；3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化；4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力；5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力．【要点梳理】要点一：升（降）幂缩（扩）角公式升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-= 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-= 要点诠释：利用二倍角公式的等价变形：21cos 2sin2αα-=，21cos 2cos2αα+=进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．要点二：辅助角公式1．形如sin cos a x b x +的三角函数式的变形：sin cos a x b x +x x ⎫⎪⎭令cos ϕϕ==，则sin cos a x b x +)sin cos cos sin x x ϕϕ+)x ϕ+（其中ϕ角所在象限由,a b 的符号确定，ϕ角的值由t a nb a ϕ=确定，或由sin ϕ=和cos ϕ=）2．辅助角公式在解题中的应用通过应用公式sin cos a x b x +=)x ϕ+（或sin cos a x b x +)αϕ-），将形如sin cos a x b x +（,a b)x ϕ+)αϕ-）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．【典型例题】类型一：利用公式对三角函数式进行证明 例1．求证：αααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=【思路点拨】观察式子的结构形式，寻找式子中α与2α之间的关系发现，利用二倍角公式即可证明． 【证明】方法一：2tan 2cos2sin2cos 22cos2sin2cos 1sin 2αααααααα===+ 2tan 2cos2sin2cos2sin22sin 2sin cos 12αααααααα===- 方法二：sin sin2cossin 222tan 21cos cos cos 2cos 222ααααααααα⋅===+⋅sin sin2sin1cos 222tan2sin coscos 2sin 222ααααααααα⋅-===⋅【总结升华】代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换；对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点． 举一反三：【变式1】求证：2tan 12tan2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan2sin 2222α-α=αα+α-=αα+α=α 【证明】2222sin cos2tan222sin 2sincos22sin cos 1tan 222ααααααααα===++22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222ααααααααα--=-==++2222sincos2tansin 222tan cos cos sin 1tan 222ααααααααα===--． 例2．求证：（1）1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++- (2)cos cos 2coscos 22x y x y x y +-+= 【思路点拨】（1）把右边两角和与差的余弦公式展开、相加即得左边．（2）把右边两角和与差的余弦公式展开、相加，然后观察所得式子与要证明的式子之间的区别，最后令,x y αβαβ+=-=即可得证． 【证明】 （1）cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- ①又cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ②∴①+②得1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-结论得证． （2）cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- ①又cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ②∴①+②得1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-令,x y αβαβ+=-=，则,22x y x yαβ+-== []1cos cos cos cos 222x y x y x y +-∴=+cos cos 2cos cos 22x y x yx y +-∴+=结论得证．【总结升华】当和、积互化时，角度重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值．正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段．举一反三：【变式1】求证：sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=【证明】sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-上面两式相加得：sin()sin()2sin cos αβαβαβ++-= 令,αβθαβϕ+=-=，则,22θϕθϕαβ+-==∴sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=结论得证．【变式2】求证：32sin tantan 22cos cos 2x x x x x-=+． 【思路点拨】 从消除恒等式左、右两边的差异入手，将右边的角x ，2x 凑成32x ，2x的形式，注意到322x x x =-，3222x xx =+，于是 【证明】右边32sin 2sin 2233cos cos 2cos cos 2222x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3332sin cos cos sin sin 322222tan tan 3222cos cos cos 222xx x x xx x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-=左边． ∴等式成立．【总结升华】解答中右边分母拆角的目的是利用和（差）角公式．证明（化简）的本质上是一个寻找差异、消除差异、追求和谐的过程，应从消除差异入手．类型二：利用公式对三角函数式进行化简 例3． 已知322πθπ<<【思路点拨】根据化简的基本思想，本题需消去根式，联想到恒等式21sin sin cos 22θθθ⎛⎫±=± ⎪⎝⎭，于是利用此公式先化简． 【解析】原式sincossincos2222θθθθ=+--，∵322πθπ<<，∴342πθπ<<，∴0sin 22θ<<，1cos 22θ-<<-， 从而sincos022θθ+<，sincos022θθ->，∴原式sincos sin cos 2sin 22222θθθθθ⎛⎫⎛⎫=-+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【总结升华】从局部看（即每个式子本身）上述解法是唯一解法，但从整体看两个根号里面的式子相加得2，相乘得cos 2θ，因此可以“先平方暂时去掉根号”．注意到322πθπ<<，则sin 0θ<，cos 0θ>，设x =，则x ＜0，则2222cos x θ=-=-=-，又342πθπ<<，故sin02θ>，从而2sin2x θ==-．举一反三： 【变式13,22αππ⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 【解析】∵3,22παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴cos α＞0cos α=，∴原式=3,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 02α>，sin 2α=． 即原式=sin2α． 类型三：利用公式进行三角函数式的求值 例4．已知1sin()2αβ+=，1sin()3αβ-=，求2tan()tan tan tan tan()αβαββαβ+--+的值． 【解析】原式=2tan()(tan tan )tan tan()αβαββαβ+-++ =2tan()tan()(1tan tan )tan tan()αβαβαββαβ+-+-+=21(1tan tan )tan αββ-- =tan tan αβ =sin cos cos sin αβαβ由1sin()sin cos cos sin ,21sin()sin cos cos sin 3αβαβαβαβαβαβ⎧+=+=⎪⎪⎨⎪-=-=⎪⎩得51sin cos ,cos sin 1212αβαβ== 【总结升华】求解三角函数式的值时，一般先化简所给三角函数式，寻求它与条件的联系，以便迅速找出解题思路．举一反三：【变式1】已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x ，y 为锐角，则sin(x ＋y )的值是( ) A ．1 B ．－1C.13 D. 12【答案】A【解析】∵sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，两式相加得：sin x ＋cos x ＝sin y ＋cos y ， ∴sin2x ＝sin2y .又∵x 、y 均为锐角，∴2x ＝π－2y ，∴x ＋y ＝2π，∴sin(x ＋y )＝1. 【变式2】若sin cos 3sin cos αααα+=-，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________. 【答案】43【解析】∵sin cos tan 13sin cos tan 1αααααα++==--，∴tan α＝2. 又tan(α－β)＝2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝－tan[(α－β)＋α] ＝tan()tan 1tan()tan αβααβα-+---⋅=43类型四：三角恒等变换的综合应用【高清栏目：简单的三角恒等变换401793 例2】 例5．求函数sin cos sin cos y x x x x =+-；3[,]44x ∈ππ的值域【思路点拨】设sin cos x x t +=，则21s i n c o s 2t xx -=，然后把y 转化为关于t 的二次函数，利用配方法求y 的最值．【解析】 设3sin cos ,,44x x t x ππ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦))224t x x x π∴=+=+又344x ππ≤≤，24x πππ∴≤+≤，t ⎡∴∈⎣ 又212sin cos x x t +=，21sin cos 2t x x -∴=则22111222t y t t t -=-=-++ =21(1)12t --+ 当0t =时，min 12y =当1t =时，max 1y =1,12y ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦【总结升华】本题给出了sin cos ,sin cos θθθθ+-及sin cos θθ三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了22sin cos 1θθ+=这个隐含条件． 举一反三：【变式1】已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．【解析】（Ⅰ）1cos 2()222x f x x ωω-=+11sin 2cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤． 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．。
简单的三角恒等变换公式
简单的三角恒等变换公式
三角恒等变换是一种数学操作，用于在不改变一个三角形的形状的情况下改变它的位置或方向。
下面是几个常用的三角恒等变换公式：旋转：如果要将三角形旋转角度θ，则对于每个坐标 (x,y)，可以使用以下公式：
x' = x * cosθ - y * sinθ
y' = x * sinθ + y * cosθ
平移：如果要将三角形平移到新的位置 (x',y')，则对于每个坐标 (x,y)，可以使用以下公式：
x' = x + x0
y' = y + y0
缩放：如果要将三角形缩放比例为k，则对于每个坐标 (x,y)，可以使用以下公式：
x' = k * x
y' = k * y
这些公式都可以使用单位矩阵来表示，例如旋转变换的单位矩阵如下：
[cosθ -sinθ]
[sinθ cosθ]。
三角恒等变换讲解
三角恒等变换讲解三角恒等变换是指在三角函数之间相互变换的一系列等式关系，常用于简化和证明三角函数的性质以及求解三角方程。
下面介绍一些常见的三角恒等变换：1. 基本恒等变换：-正弦与余弦的关系：sin²θ+ cos²θ= 1-正切与余切的关系：tanθ= sinθ/ cosθ，cotθ= cosθ/ sinθ-余割与正割的关系：cscθ= 1 / sinθ，secθ= 1 / cosθ2. 倍角恒等变换：-正弦的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ-余弦的倍角公式：cos(2θ) = cos²θ- sin²θ= 2cos²θ- 1 = 1 - 2sin²θ-正切的倍角公式：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)3. 和差恒等变换：-正弦的和差公式：sin(A ±B) = sinAcosB ±cosAsinB-余弦的和差公式：cos(A ±B) = cosAcosB ∓sinAsinB-正切的和差公式：tan(A ±B) = (tanA ±tanB) / (1 ∓tanAtanB)4. 反函数恒等变换：-正弦的反函数：sin⁻¹(x) = θ，其中sinθ= x，-π/2 ≤θ≤π/2-余弦的反函数：cos⁻¹(x) = θ，其中cosθ= x，0 ≤θ≤π-正切的反函数：tan⁻¹(x) = θ，其中tanθ= x，-π/2 < θ< π/2注意，上述恒等变换只是一部分常见的例子，实际上还有许多其他的三角恒等变换。
在解题或证明过程中，根据需要，可以根据题目的要求和三角函数的关系，使用适当的三角恒等变换来简化计算或推导出所需的结果。
三角恒等变换所有公式
三角恒等变换所有公式三角恒等变换，又称三角恒等式，是指数学中关于三角函数的一类等式。
它们具有很重要的作用，可以用来化简、证明以及推导其他数学公式。
本文将从基本的三角恒等变换开始，逐步展开，总结了一些常用的三角恒等变换公式。
1.余弦函数的基本恒等变换：(1)余弦函数的定义：cosθ = x / r(2)余弦函数的平方：cos^2θ + sin^2θ = 1(3)余弦函数的倒数：1 + tan^2θ = sec^2θ(4)余弦函数的和差化积：cos(α + β) = cosα cosβ - sinα sinβcos(α - β) = cosα cosβ + sinα sinβ(5)余弦函数的倍角化积：cos2θ = 2cos^2θ - 1cos2θ = 1 - 2sin^2θ(6)余弦函数的半角化和：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]2.正弦函数的基本恒等变换：(1)正弦函数的定义：sinθ = y / r(2)正弦函数的平方：sin^2θ + cos^2θ = 1(3)正弦函数的倒数：1 + cot^2θ = csc^2θ(4)正弦函数的和差化积：sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβsin(α - β) = sinα cosβ - cosα sinβ(5)正弦函数的倍角化积：sin2θ = 2sinθ cosθ(6)正弦函数的半角化和：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]3.正切函数的基本恒等变换：(1)正切函数的定义：tanθ = sinθ / cosθ(2)正切函数的平方：tan^2θ + 1 = sec^2θ(3)正切函数的倒数：1 + tan^2θ = csc^2θ(4)正切函数的和差化积：tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanα tanβ) tan(α - β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanα tanβ)(5)正切函数的倍角化积：tan2θ = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)(6)正切函数的半角化和：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]4.余割、正割和余切函数的基本恒等变换：(1)余割函数的定义：cscθ = 1 / sinθ(2)倍角化积：csc2θ = cscθ cotθcsc2θ = 1 + 2 cot^2θ(3)非倍角化积：csc^2θ - cot^2θ = 1(4)正割函数的定义：secθ = 1 / cosθ(5)倍角化积：sec2θ = secθ tanθsec2θ = 1 + 2 tan^2θ(6)非倍角化积：sec^2θ - tan^2θ = 1(7)余切函数的定义：cotθ = 1 / tanθ(8)正割与余切的乘积：cotθ = 1 / tanθcotθ = cosθ / sinθ这些三角恒等变换公式是数学中非常基础且常用的，掌握它们可以更加灵活地运用三角函数进行计算操作。
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第20讲：简单的三角恒等变换【学习目标】1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧；3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化；4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力；5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力．【要点梳理】要点一：升（降）幂缩（扩）角公式升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-= 降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-= 要点诠释：利用二倍角公式的等价变形：21cos 2sin 2αα-=，21cos 2cos 2αα+=进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．要点二：辅助角公式1．形如sin cos a x b x +的三角函数式的变形：sin cos a x b x +x x ⎫⎪⎭令cos ϕϕ==sin cos a x b x +)sin cos cos sin x x ϕϕ+)x ϕ+（其中ϕ角所在象限由,a b 的符号确定，ϕ角的值由tan ba ϕ=确定，或由sin ϕ=和cos ϕ=2．辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式sin cos a x b x +=)x ϕ+（或sin cos a x b x +=)αϕ-），将形如sin cos a x b x +（,a b 不同时为零）收缩为一)x ϕ+)αϕ-）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．【典型例题】类型一：利用公式对三角函数式进行证明例1．求证：αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+= 【思路点拨】观察式子的结构形式，寻找式子中α与2α之间的关系发现，利用二倍角公式即可证明． 【证明】方法一：2tan 2cos2sin2cos 22cos2sin2cos 1sin 2αααααααα===+ 2tan 2cos2sin2cos2sin22sin 2sin cos 12αααααααα===- 方法二：sin sin2cossin 222tan 21cos coscos 2cos222ααααααααα⋅===+⋅ sin sin2sin1cos 222tan2sin coscos 2sin 222ααααααααα⋅-===⋅ 【总结升华】代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换；对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点． 举一反三：【变式1】求证：2tan 12tan2tan ,2tan 12tan 1cos ,2tan 12tan2sin 2222α-α=αα+α-=αα+α=α 【证明】2222sin cos2tan222sin 2sincos22sin cos 1tan 222ααααααααα===++22222222cos sin 1tan 222cos cos sin 22cos sin 1tan 222ααααααααα--=-==++ 2222sincos2tansin 222tan cos cos sin 1tan 222ααααααααα===--． 例2．求证：（1）1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++- (2)cos cos 2coscos22x y x yx y +-+= 【思路点拨】（1）把右边两角和与差的余弦公式展开、相加即得左边．（2）把右边两角和与差的余弦公式展开、相加，然后观察所得式子与要证明的式子之间的区别，最后令,x y αβαβ+=-=即可得证． 【证明】（1）cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- ① 又cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ②∴①+②得1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-结论得证．（2）cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- ① 又cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ②∴①+②得1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-令,x y αβαβ+=-=，则,22x y x yαβ+-== []1cos cos cos cos 222x y x y x y +-∴=+cos cos 2cos cos 22x y x yx y +-∴+=结论得证．【总结升华】当和、积互化时，角度重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值．正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段．举一反三：【变式1】求证：sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+= 【证明】sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- 上面两式相加得：sin()sin()2sin cos αβαβαβ++-= 令,αβθαβϕ+=-=，则,22θϕθϕαβ+-==∴sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=结论得证． 【变式2】求证：32sin tantan 22cos cos 2x x xx x-=+． 【思路点拨】 从消除恒等式左、右两边的差异入手，将右边的角x ，2x 凑成32x ，2x的形式，注意到322x x x =-，3222x xx =+，于是 【证明】右边32sin 2sin 2233cos cos 2cos cos 2222x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭==+⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3332sin cos cos sin sin 322222tan tan 3222cos cos cos 222xx x x xx x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-=左边． ∴等式成立．【总结升华】解答中右边分母拆角的目的是利用和（差）角公式．证明（化简）的本质上是一个寻找差异、消除差异、追求和谐的过程，应从消除差异入手．类型二：利用公式对三角函数式进行化简例3． 已知322πθπ<<【思路点拨】根据化简的基本思想，本题需消去根式，联想到恒等式21sin sin cos 22θθθ⎛⎫±=± ⎪⎝⎭，于是利用此公式先化简．【解析】原式sincossincos2222θθθθ=+--，∵322πθπ<<，∴342πθπ<<，∴0sin 22θ<<，1cos 22θ-<<-， 从而sincos022θθ+<，sincos022θθ->，∴原式sin cos sin cos 2sin 22222θθθθθ⎛⎫⎛⎫=-+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结升华】从局部看（即每个式子本身）上述解法是唯一解法，但从整体看两个根号里面的式子相加得2，相乘得cos 2θ，因此可以“先平方暂时去掉根号”．注意到322πθπ<<，则sin 0θ<，cos 0θ>，设x =，则x ＜0，则2222cos x θ=-=-=-，又342πθπ<<，故sin 02θ>，从而2sin2x θ==-．举一反三：【变式13,22αππ⎡⎤⎛⎫∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．【解析】∵3,22παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴cos α＞0cos α=，∴原式=3,24αππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 02α>，sin 2α=． 即原式=sin2α．类型三：利用公式进行三角函数式的求值例4．（2015春 湖南衡阳期末）已知1sin(3)4πθ+=， （1）求2cos θ的值； （2）求cos()cos(2)cos [cos()1]cos(2)cos()cos()πθθπθπθθππθθ+-++-+++-的值．【答案】（1）1516；（2）32 【解析】由已知1sin(3)4πθ+=，所以1sin 4θ=-，（1）22115cos 1sin 11616θθ=-=-=；（2）cos()cos(2)cos [cos()1]cos(2)cos()cos()πθθπθπθθππθθ+-++-+++-cos cos cos (cos 1)cos (cos )cos θθθθθθθ-=+---+11cos 1cos 1θθ=++-+21cos 1cos 22321(1cos )(1cos )sin 16θθθθθ-++====+-． 举一反三：【变式1】已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x ，y 为锐角，则sin(x ＋y )的值是( )A ．1B ．－1C. 13D. 12【答案】A【解析】∵sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，两式相加得：sin x ＋cos x ＝sin y ＋cos y ，∴sin2x ＝sin2y .又∵x 、y 均为锐角，∴2x ＝π－2y ，∴x ＋y ＝2π，∴sin(x ＋y )＝1.【变式2】（2016 江苏模拟）已知角α终边逆时针旋转6π与单位圆交于点(1010，且2tan()5αβ+=． （1）求sin(2)6πα+的值，（2）求tan(2)3πβ-的值．【答案】（1；（2）17144【解析】（1）角α终边逆时针旋转6π与单位圆交于点()1010，可得sin())610610ππαα+=+=3sin(2)2sin()cos()236610105πππααα+=++=⨯⨯=，24cos(2)2135πα+=⨯-=．sin(2)sin(2)sin(2)cos sin cos(2)6363663πππππππαααα+=+-=+-+341552=-⨯= （2）∵2tan()5αβ+=， ∴22222tan()205tan(22)21tan ()211()5αβαβαβ⨯++===-+-． 343sin(2),cos(2),tan(2)353534πππααα+=+=+=．tan(22)tan(2)(2)]33ππαβαβ+=++-3(tan 2)20433211tan(2)43πβπβ+-==-⨯- 解得17tan(2)3144πβ-=．类型四：三角恒等变换的综合应用例5．求函数sin cos sin cos y x x x x =+-；3[,]44x ∈ππ的值域【思路点拨】设sin cos x x t +=，则21sin cos 2t x x -=，然后把y 转化为关于t 的二次函数，利用配方法求y 的最值．【解析】 设3sin cos ,,44x x t x ππ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦2())224t x x x π∴=+=+ 又344x ππ≤≤，24x πππ∴≤+≤，t ⎡∴∈⎣ 又212sin cos x x t +=，21sin cos 2t x x -∴=则22111222t y t t t -=-=-++=21(1)12t --+当0t =时，min 12y =当1t =时，max 1y =1,12y ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦【总结升华】本题给出了sin cos ,sin cos θθθθ+-及sin cos θθ三者之间的关系，三者知一求二，在求解的过程中关键是利用了22sin cos 1θθ+=这个隐含条件． 举一反三：【变式1】（2015 安徽模拟）已知函数2()cos sin cos ()f x a x x x x R =-∈的图象经过点1(,)82M π，其中常数a ∈R ． （1）求a 的值及函数f （x ）的最小正周期T ；（2）当3[,]84x ππ∈时，求函数f （x ）的最值及相应的x 值．【思路点拨】首先利用正弦和余弦的倍角公式化简三角函数为一个三角函数名称的形式然后求周期及最值．【答案】（1）π；（2）当24x ππ+=，即38x π=时，min 1()2f x =；当7244x ππ+=，即34x π=时，max ()1f x =【解析】（1）cos 2111()sin 2cos 2sin 222222x a af x a x x x +=-=-+由函数f （x ）的图象经过点1(,)82M π知道1()82f π=，即11cos sin 242422a a ππ-+=，解得a =1．∴1111()cos 2sin 2)222242f x x x x π=-+=++， ∴22T ππ==． （2）当3[,]84x ππ∈时，72[,]424x πππ+∈，∴当24x ππ+=，即38x π=时，min ()f x =；当7244x ππ+=，即34x π=时，max ()1f x =．【巩固练习】1．sin15cos15的值是（ ）A.14B.122．已知x ∈(－2π,0),4cos 5x =，则tan 2x 等于( ) A.724B.724- C.724 D.247-3．若4cos()5πα-=，α是第二象限角，则sin()3πα+等于（ ）A.35B. 35-4．若3π2π<<2σ--( )A.sin2σB.cos2σC.sin2σ- D.cos2σ-5．23sin 702cos 10-=-( )A.12B.2 C ．6．（2015 乌鲁木齐模拟）若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．（2，4）B ．（－∞，2]C ．（－∞，4]D ．[4，+∞）7．设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线4x π=对称D ．()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，其图象关于直线2x π=对称8．（2017 河南安阳模拟）已知当x=θ时，函数f （x ）=2sinx －cosx 取得最大值，则sin2θ=（ ）A ．45B ．35C ．35-D ．45-9．已知1sin ,3x =则sin 2()4x π-= ．10．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan()4πα+等于 ．11．已知1sin cos 3αβ+=，1sin cos 2βα-=，则sin()αβ-=________．12．（2015秋 上海普陀区月考）函数222sin y x ω=-的最小正周期为π，则实数ω的值为________．13．（2017 东城区月考）已知－π＜x ＜0，1sin cos 5x x +=．（1）求sinx －cosx 的值；（2）求223sin 2sin cos cos 22221tan tan x x x x x x-++的值． 14．已知tan α＝－13，cos(0，π)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求函数f(x)sin(x －α)＋cos(x ＋β)的最大值．15．（2015秋甘肃期中）已知函数2())2sin ()612f x x x ππ=---．（1）求函数f （x ）的周期及增区间；（2）若123x ππ-≤≤，求函数f （x ）的值域．【答案与解析】 1．【答案】A 2．【答案】D 【解析】∵ x ∈(2π-，0) 又∵ 4cos 5x = ∴ 3sin 5x =-∴ 3tan 4x =- ∴ 22tan 24tan 21tan 7x x x ==--. 故选D.巧思妙解析：解法一：由题设得3sin 5x =-则sin 2x =2×(－53)×54=－2524cos2x =2472()1525⨯-= 故sin 224tan 2cos 27x x x ==-. 解法二：由题设得247cos 22()1525x =⨯-= 又∵ 20x π-<<∴ 202x π-<<∴ tan 20x < 又2221576tan 2sec 211cos 249x x x =-=-= ∴ 24tan 27x =-. 3．【答案】C4．【答案】D===∵ 322ππσ-<<-，∴ 324σππ-<<-，∴ cos 02σ< ∴ 原式cos2σ=- 5．【答案】C 【解析】原式3sin 7062sin 7021cos 203sin 7022--===+--，故选C. 6．【答案】B 【解析】∵由2()cos 2sin 2sin sin 1f x x a x x a x =+=-++， 令sin t x =，则原函数化为221y t at =-++．∵ (,)62x ππ∈时()f x 为减函数， 则221y t at =-++在1(,1)2t ∈上为减函数， ∵ 221y t at =-++的图象开口向下，且对称轴方程为4a t =， ∴142a ≤，解得：a ≤2． ∴a 的取值范围是（－∞，2]，故答案为：（－∞，2]．故选：B ．7．【答案】D【解析】因为sin 2cos 222442y x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，对称轴为2x=k π，即()2k x k Z π=∈． 8．【答案】D【解析】函数()2sin cos ()f x x x x α=-=+取得最大值，此时x=θ，其中，cosαα==， ∴22k πθαπ+=+，k ∈Z ，即22k πθπα=+-， 那么：sin sin(2)cos2k πθπαα=+-==cos cos(2)sin2k πθπαα=+-==∴4sin 22sin cos 25θθθ===-． 故选D ． 9．【答案】79【解析】sin 2()4x π-=27sin(2)cos 212sin 29x x x π-==-=． 10．【答案】17【解析】因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，所以43cos ,tan 54αα=-=-，tan()4πα+=1tan 1tan αα+=-17． 11．【答案】5972- 【解析】因为2211(sin cos )(sin cos )94αββα++-=+， 所以13112sin cos 2cos sin 36αβαβ++-=， 592sin()36αβ-=-，所以59sin()72αβ-=-． 12．【答案】±1 【解析】函数21cos 21322sin 2cos 2222x y x x ωωω-=-=-=+，函数222sin y x ω=-的最小正周期为π， 可得，2|2|ππω=，解得实数ω=±1． 故答案为：±1．13．【答案】（1）75-；（2）108125- 【解析】（1）∵－π＜x ＜0，1sin cos 5x x +=，∴112sin cos 25x x +=， ∴242sin cos 25x x =-，故x 为第四象限象，sinx ＜0，cosx ＞0，∴7sin cos 5x x -===-． （2）由（1）可得71sin cos ,sin cos 55x x x x -=-+=， ∴343sin ,cos ,tan 554x x x =-==-， 221cos 1cos 3sin 2sin cos cos 3sin 22222211tan tan tan tan x x x x x x x x x x x-+-+⋅-+=++ 4322cos sin 10855133125tan tan 44x x x x -+--===-+-- 14．【解析】(1)由cos β＝5，β∈(0，π)， 得sin β＝5，tan β＝2， 所以tan(α＋β)＝tan tan 1tan tan αβαβ+-＝1. (2)因为tan α＝－13，α∈(0，π)， 所以sin αcos α， f (x )sin xxxxx ，所以f (x )15．【答案】（1）T =π，[,44k k ππππ-++]，k ∈Z ；（2）{y ｜－2≤y ≤1}【解析】（1）∵2())2sin ()612f x x x ππ=---)cos(2)166x x ππ=-+--1)cos(2)]12626x x ππ=-+-- 2sin 21x =-∴T =π ∵22222k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ．∴解得：44k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ． ∴增区间为[,44k k ππππ-++]，k ∈Z ．（2）∵123x ππ-≤≤， ∴2263x ππ-≤≤，∴－2≤y ≤1，∴值域为{y ｜－2≤y ≤1}．。