三角恒等变换知识讲解(基础)

三角恒等变换

【考纲要求】

1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.

2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.

3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.

4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 【知识网络】

【考点梳理】

考点一、两角和、差的正、余弦公式

()sin()sin cos cos sin ()S αβαβαβαβ±±=± ()cos()cos cos sin sin ()C αβαβαβαβ±±=

()tan tan tan()()1tan tan T αβαβ

αβαβ

±±±=

-

要点诠释：

1．公式的适用条件(定义域) ：前两个公式()S αβ±,()C αβ±对任意实数α，β都成立，这表明该公式是R 上的恒等式；公式()T αβ±③中,∈，且R αβk (k Z)2

±≠

+∈、、π

αβαβπ

2．正向用公式()S αβ±,()C αβ±，能把和差角()±αβ的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角()±αβ 的弦函数。公式()T αβ±正向用是用单角的正切值表示和差角

()±αβ的正切值化简。

考点二、二倍角公式

1. 在两角和的三角函数公式()()(),,S C T αβαβαβαβ+++=中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式

222,,S C T ααα：

sin 22sin cos ααα= 2()S α；

ααα22sin cos 2cos -=2()C α； 22tan tan 21tan α

αα=

-2()T α

。

要点诠释：

1．在公式22,S C αα中，角α没有限制，但公式2T α中，只有当)(2

24

Z k k k ∈+≠+

≠ππ

αππ

α和时才成立；

2. 余弦的二倍角公式有三种：ααα2

2

sin cos 2cos -=＝1cos 22

-α＝α2

sin 21-；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。 3. 二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，

24α

α是的二倍，332

α

α是的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公

式的关键。

考点三、二倍角公式的推论

降幂公式：ααα2sin 2

1

cos sin =

； 22cos 1sin 2

αα-=；

22cos 1cos 2

αα+=.

万能公式：α

α

α2

tan 1tan 22sin +=； α

α

α2

2tan 1tan 12cos +-=. 半角公式：2cos 12

sin

α

α

-±

=； 2cos 12

cos

α

α

+±

=； α

α

α

cos 1cos 12

tan

+-±

=.

其中根号的符号由2

α

所在的象限决定. 要点诠释：

(1)半角公式中正负号的选取由

2

α

所在的象限确定； (2)半角都是相对于某个角来说的，如

2

3α

可以看作是3α的半角，2α可以看作是4α的半角等等。

(3)正切半角公式成立的条件是α≠2k π+π(k ∈Z)

正切还有另外两个半角公式：Z k k k ∈≠-=+≠+=

),(sin cos 12tan ),2(cos 1sin 2

tan

παα

α

αππαααα

，这两

个公式不用考虑正负号的选取问题，但是需要知道两个三角函数值。常常用于把正切化为正余弦的表达式。 考点四、三角形内角定理的变形

由A B C π++=，知()A B C π=-+可得出：

sin sin()A B C =+，cos cos()A B C =-+.

而

()222A B C π+=-，有：()sin cos 22A B C +=，()

cos sin 22

A B C +=. 【典型例题】 类型一：正用公式 例1.已知:4

1

cos ,32sin -=β=

α，求cos()αβ-的值. 【思路点拨】直接利用两角差的余弦公式.

【解析】由已知可求得cos sin αβ====. 当α在第一象限而β在第二象限时，

cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+12)43=

-+12

5

152-=

. 当α在第一象限而β在第三象限时，

12cos())(43αβ-=

-+⋅=当α在第二象限而β在第二象限时，

12cos()()43αβ-=-+=

当α在第二象限而β在第三象限时，

12cos()()(43αβ-=-+⋅=. 【点评】例1是对公式的正用．当三角函数值的符号无法确定时，注意分类讨论.

举一反三：

【变式1】已知(,0)2

x π

∈-，4

cos 5

x =

，则tan 2x = . 【答案】247

-

. 【变式2】已知tan()24

x π

+=，则

tan tan 2x

x

= .

【答案】

19

【变式3】已知tan α和tan β是方程2

260x x +-=的两个根，求tan()αβ+的值. 【答案】18

-

【解析】由韦达定理，得1

tan tan 2

αβ+=-

， tan tan 3αβ⋅=-，