第三章 三角恒等变换小结
初中数学三角恒等变换知识总结
初中数学三角恒等变换知识总结三角恒等变换是初中数学中非常重要的知识点之一。
通过学习和掌握三角恒等变换，我们可以简化和转换三角函数的表达式，从而更方便地计算和解决与三角函数相关的问题。
本文将对初中数学中常用的三角恒等变换进行总结。
首先，让我们回顾一下三角函数的基本定义。
在一个直角三角形中，正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）分别表示：- 正弦函数：$\sin A = \frac{{\text{对边}}}{{\text{斜边}}}$- 余弦函数：$\cos A = \frac{{\text{邻边}}}{{\text{斜边}}}$- 正切函数：$\tan A = \frac{{\text{对边}}}{{\text{邻边}}}$一个重要的三角恒等变换是诱导公式，用于描述同一角的三角函数之间的关系。
这些公式有助于简化和转换三角函数的表达式。
以下是一些常见的三角诱导公式：1. 正弦诱导公式：$\sin (A \pm B) = \sin A \cdot \cos B \pm \cos A \cdot \sin B$2. 余弦诱导公式：$\cos (A \pm B) = \cos A \cdot \cos B \mp \sin A \cdot \sin B$3. 正切诱导公式：$\tan (A \pm B) = \frac{{\tan A \pm \tan B}}{{1 \mp \tan A\cdot \tan B}}$以上是加减角的诱导公式，接下来是倍角和半角的诱导公式：4. 正弦倍角公式：$\sin(2A) = 2\sin A \cdot \cos A$5. 余弦倍角公式：$\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A$6. 正切倍角公式：$\tan(2A) = \frac{{2\tan A}}{{1 - \tan^2 A}}$对于半角，有以下的诱导公式：7. 正弦半角公式：$\sin\left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{{1 - \cos A}}{2}}$8. 余弦半角公式：$\cos\left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{{1 + \cos A}}{2}}$9. 正切半角公式：$\tan\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{{\sin A}}{{1 + \cos A}}$此外，还有两个重要的三角恒等变换，它们是三角函数之间的倒数关系：10. 正余弦倒数公式：$\sin\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \cos A$11. 余切正切倒数公式：$\tan\left(\frac{\pi}{2} - A\right) = \frac{1}{\tan A}$通过掌握这些三角恒等变换，我们可以更加灵活地处理复杂的三角函数表达式。
三角函数恒等变换知识点总结
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三角函数 三角恒等变换知识点总结
一、角的概念和弧度制:
（1)在直角坐标系内讨论角:
角的顶点在原点,始边在 轴的正半轴上,角的终边在第几象限,就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限,它叫象限界角。
2．图像
3、图像的平移
对函数y=Aｓｉn(ωx＋)＋k（A＞0,ω>0,≠0,k≠0),其图象的基本变换有:
(1)振幅变换(纵向伸缩变换):是由A的变化引起的．A＞1,伸长;Ａ＜1，缩短.
(2)周期变换（横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的．ω>1，缩短;ω＜1，伸长.
（3）相位变换（横向平移变换):是由φ的变化引起的.＞0,左移;<０,右移.
（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用:
①已知某角的一个三角函数值,求它的其余各三角函数值。
注意：用平方关系，有两个结果,一般可通过已知角所在的象限加以取舍,或分象限加以讨论。
②求任意角的三角函数值。
步骤:
③已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的,而是有无数多个.
步骤:①确定角 所在的象限;
如:角 的终边上一点 ，则 。注意r>0
(2)在图中画出角 的正弦线、余弦线、正切线;
比较 , ， , 的大小关系:。
(３）特殊角的三角函数值:
０
sin
cｏs
三、同角三角函数的关系与诱导公式:
（１）同角三角函数的关系
作用：已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。
三角恒等变换与方程的应用知识点总结
三角恒等变换与方程的应用知识点总结在学习三角函数和方程的过程中，三角恒等变换和方程的应用是非常重要的知识点。
它们有助于我们在解题过程中简化计算和推导，同时也能帮助我们更好地理解三角函数的性质和应用。
一、三角恒等变换的基本概念三角恒等变换是指能够保持等式成立的三角函数等式或恒等式。
在三角恒等变换中，我们主要关注三角函数的和差角、倍角和半角等变换公式。
1. 和差角公式和差角公式主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数的和差角公式。
其中，正弦函数的和差角公式为：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB余弦函数的和差角公式为：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB正切函数的和差角公式为：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)2. 倍角公式倍角公式是通过将和差角公式中的A和B设置为相等，从而得到的。
正弦函数的倍角公式为：sin2A = 2sinAcosA余弦函数的倍角公式为：cos2A = cos²A - sin²A = 2cos²A - 1 = 1 - 2sin²A正切函数的倍角公式为：tan2A = (2tanA) / (1 - tan²A)3. 半角公式半角公式是通过将和差角公式中的A和B设置为相等，然后取A 为半角，从而得到的。
正弦函数的半角公式为：sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2]余弦函数的半角公式为：cos(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2]正切函数的半角公式为：tan(A/2) = ±√[(1 - cosA) / (1 + cosA)]二、方程的应用方程的应用是指通过建立三角函数方程，解决实际问题的过程。
在方程的应用中，我们主要关注利用三角函数的性质和恒等变换来建立和求解方程的方法。
人教课标实验B版-必修4-第三章 三角恒等变换-本章小结
本章小结
1．本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，倍角公式，以及运用这些公式进行简单的三角恒等变换．
2．全章始终注意通过问题，引导学生用类比、联系、化归的观点分析与处理问题，引导学生逐渐明确三角变换不仅是三角函数式的结构形式变换，而且还有角的变换，以及不同三角函数之间的变换，使学生领悟有关公式在变换中的作用和用法，学会用恰当的数学思想方法指导选择和设计变换思路． 3．本章不仅关注使学生得到和(差)角公式，而且还特别关注公式推导过程中体现的数学思想方法．例如，在两角差的余弦公式这一关键性问题的解决体现了数形结合思想以及向量方法的应用；从两角差的余弦公式推出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦和正切公式的过程中，始终引导学生体会化归思想；在应用公式进行恒等变换的过程中，渗透了观察、类比、推广、特殊化、化归等思想方法．
4．对本章的教学要准确把握教学要求．与以往的三角恒等变换学习相比较，“标准”强调了用向量方法推导差角的余弦公式，以用三角函数之间的关系推导和(差)角公式、二倍角公式，其他如半角公式、积化和差与和差化积公式只是作为基本训练的素材，结果不要求记忆，教学时应当把握好这种变化，遵循“标准”所规定的内容和要求，不要引进那些繁琐的、技巧性高的变换难题以及强调细枝末节的内容．。
三角恒等式的变形总结
三角恒等式的变形总结三角恒等式是数学中经常遇到的重要概念之一，它们在解决三角函数问题和证明数学命题时起到了关键作用。
本文将对三角恒等式的常见变形进行总结和讨论，以帮助读者更好地理解和应用这些变形。
一、基本恒等式的变形1. 倍角恒等式：倍角恒等式可以将一个三角函数的角度变为原来的两倍，有助于简化复杂的三角函数表达式。
- sin(2θ) = 2sinθcosθ- cos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ- tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan²θ)2. 半角恒等式：半角恒等式将一个三角函数的角度变为原来的一半，常用于将角度较大的三角函数转化为角度较小的三角函数。
- sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]- cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]- tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]3. 和差恒等式：和差恒等式可用于将两个三角函数的和、差转化为一个三角函数表达式。
- sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ- cos(α ± β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanαtanβ)二、特殊角的三角函数变形1. 30°、45°、60°特殊角：30°、45°、60°特殊角的三角函数可以通过基本恒等式和特殊三角函数值的关系来推导。
- sin30° = 1/2, cos30° = √3/2, tan30° = 1/√3- sin45° = √2/2, cos45° = √2/2, tan45° = 1- sin60° = √3/2, cos60° = 1/2, tan60° = √32. 诱导公式：诱导公式是通过特殊角的三角函数值和和差恒等式推导出其他角度的三角函数值。
初中数学知识归纳三角恒等变换
初中数学知识归纳三角恒等变换初中数学知识归纳——三角恒等变换三角恒等变换是初中数学中的重要内容之一，它是解决三角函数相关题目的基础。
在数学学习中，了解并熟练掌握三角恒等变换对于提高解题效率、拓宽思维方式、加深对三角函数的理解都具有重要作用。
本文将对三角恒等变换进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用。
一、基本概念在开始具体介绍三角恒等变换之前，我们首先需要了解一些基本概念。
三角恒等变换是指通过等式变换的方式，将一个三角函数表达式转化为相等的另一个三角函数表达式。
在这个过程中，我们需要用到一些基本的三角函数关系，如正弦函数、余弦函数、正切函数等。
二、常见恒等变换下面我们将重点介绍一些常见的三角恒等变换，对于初中数学学习而言，这些恒等变换是必须要熟练掌握的。
这些恒等变换可以帮助我们简化计算、拓宽解题思路、提高解题速度。
1. 余弦函数的恒等变换（1）余弦函数和正弦函数之间的关系：cos^2θ + sin^2θ = 1（2）余弦函数的偶性：cos(-θ) = cosθ（3）余弦函数的倒数：1/cosθ = secθ2. 正弦函数的恒等变换（1）正弦函数和余弦函数之间的关系：sin^2θ + cos^2θ = 1（2）正弦函数的奇性：sin(-θ) = -sinθ（3）正弦函数的倒数：1/sinθ = cscθ3. 正切函数的恒等变换（1）正切函数和余切函数之间的关系：tanθ = sinθ/cosθ（2）正切函数的奇性：tan(-θ) = -tanθ（3）正切函数的倒数：1/ta nθ = cotθ4. 其他特殊变换（1）和差角公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB（2）倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)三、应用举例为了更好地理解和应用三角恒等变换，我们可以通过一些具体的例子来加深印象。
人教版高中数学必修四《三角恒等变换-复习小结》
[借题发挥] 在三角函数式的化简求值问题中要注意角的变化 函数名的变化，合理选择公式进行变形，同时注意三角变换 技巧的运用．（给角求值，给值求值，给值求角）
1 tan B 3 , 1 tan B
(1 , 3 ) (cos A , sinA) 1 , 即 3 sinA cos A 1 , 2( 3 sin A 1 cos A) 1 , 2 2 sin(A ) 1 . 6 2 0 A , A 5 , 6 6 6 A , 即 A . 6 6 3
tan12 tan33 (5) 1 tan12 tan33
（
1 4
公式变，逆用）
2 2
质疑再探
例1：已知 ，为锐角， cos 1 13 , cos( ) 求 cos 的值 7 14
注：⑴ 常用角的变换：
① ( ) ② 2 ( ) ( )
设疑自探 5.三角变换的方针是什么？ 遵循原则
寻求差异
注意常识
消除差异
解疑合探
计算：
(1) cos74 sin 14 sin 74 cos14
(2) sin 20 cos110 cos160 sin 70
3 2
1
(3)1 2 sin 22.5
2
(4) sin 15 cos15
设疑自探
4．三角变换常识有哪些？
(1)sinα，cosα→凑倍角公式． (2)1± cosα→升幂公式． π α α2 (3)1± sinα 化为 1± cos(2± α)，再升幂或化为(sin2± cos2) . (4)asinα＋bcosα→辅助角公式 asinα＋bcosα＝ a2＋b2· sin(α＋ b φ)，其中 tanφ＝a或 asinα＋bcosα＝ a2＋b2· cos(α－φ)，其中 tanφ a ＝b.
三角恒等变换知识点总结
三角恒等变换专题-、知识点总结1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴ cos ： - ： = cos ： cos 1 sin ： sin ：:⑵ cos ： 二 cos ： cos ； -sin ： sin ：；⑶ sin ： - - =sin ： cos ； -cos ： sin ： ；（4） sin ： : =sin ： cos ： cos ： sin ：；⑸ tan —J an -tan〔1 +tanot tan P形式―曲氏。
…,2 Sin ：「，其中聞「迁（tan ： - tan ： = tan ： - - 1 tan ： tan ：）；⑹tan ：—旦匹1 -tan 。
tan P（tan 二 1 tan ：二 tani* T"； ]1「tan ： tan ：）.2、二倍角的正弦、余弦和正切公式:⑴ sin2： =2sin : cos ：.= 仁sin2：2 2 2=si n ： cos ；二 2si n _：〉cos 「 - （s in ：二⑵ cos2：二 cos :「sin 2 ： = 2cos 2 < -1 二 1「2sin 2: 2 ：' =升幕公式 1 cos ： - 2cos ,1 - cos ： =2sin 2cos2-：i }12 ：'=■降幕公式cos2:■21 一：⑶tan2,西二1 -ta n «万能公式半角公式a cos -21 cos a sintan -21 - cos a-1 cos a. a;sin 2sin a 1 cos a1「cos a sin a4、合一变形=把两个三角函数的和或差化为"一个三角函数, a2 tan2 ;cos2a(后两个不用判断符号，更加好用) 2atan —2 tan 2 a2一个角，一次方”的y = A sin() B5. （1）积化和差公式1 sin 用 cos - = [sin （-：匚 + - ）+sin （二--）]2 1cos -：： cos ，，-'= [cos （：+ - ）+cos （-：i --）]2（2）和差化积公式ct + P a - P sin 、’+sin - = 2 sin ---------------- COS ------1cos/ sin - = [sin （二I + - ）-sin （-：i --）]2 1sin -：： sin= -[cos （二i + - ）-cos （二i -a + P a - Psin 、’ - sin = 2 COS ----- s in --------21 cos2：cos -■二 ------------2 sin c os 、£ =1 sin2-f27、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公 式，掌握运算，化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下：（1 ）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差, 倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如: ①2是〉的二倍；4是2'的二倍；:-是 '的二倍；2 '是一的二倍；24② 15° =45° -30°30ooo=60 - 45.问： sin —二:cos —21212—―TTTT^TT③〉=（二：亠「）_ _ :④ _ . = 一 _（一 _：.）.4 2 4'⑤ 2：二（黒亠卩）（）=（_：）_（_-：）.等等（2） 函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
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1 1 π 2 解：(1)因为 f(x)＝ sin2xsinφ＋cos xcosφ－ sin( ＋φ)(0<φ<π)， 2 2 2 1＋cos2x 1 1 1 1 所以 f(x)＝ sin2xsinφ＋ cosφ－ cosφ＝ sin2xsinφ＋ 2 2 2 2 2 1 1 cos2xcosφ＝ (sin2xsinφ＋cos2xcosφ)＝ cos(2x－φ)．又函数图象过 2 2 π 1 点( ， )， 6 2 π π 1 1 所以 ＝ cos(2× －φ)，即 cos( －φ)＝1. 2 2 6 3 π 又 0<φ<π，所以 φ＝ . 3
示，
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由已知方程 3sinx＋cosx＝a 在[0,2π]上恰有两个不同的 实数解．即函数
π f(x)＝2sinx＋6，x∈[0,2π]的图象与直线
y
＝a 有两个不同的交点， 结合图象易得 a 的取值范围为(－2,1)∪(1,2)．
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三、利用三角变换解决三角函数的性质 1 【例 4】 (2010·山东高考)已知函数 f(x)＝ sin2xsinφ＋ 2 1 π π 1 2 cos xcosφ－ sin( ＋φ)(0<φ<π)，其图象过点( ， )． 2 2 6 2 (1)求 φ 的值； (2)将函数 y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 ，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的图象，求函数 g(x)在[0， 2 π ]上的最大值和最小值． 4
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解：(1)因为 a＝(1＋sin2x，sinx－cosx)，b＝(1，sinx＋cosx)，所 π 以 f(x)＝1＋sin2x＋sin x－cos x＝1＋sin2x－cos2x＝ 2sin(2x－ )＋1. 4
2 2
π π 3 当 2x－ ＝2kπ＋ ，即 x＝kπ＋ π(k∈Z)时，f(x)取得最大值 2＋1. 4 2 8 8 3 (2)由 f(θ)＝1＋sin2θ－cos2θ 及 f(θ)＝ ，得 sin2θ－cos2θ＝ ，两 5 5 9 16 π π 边平方，得 1－sin4θ＝ ，即 sin4θ＝ ，则 cos2( －2θ)＝cos( －4θ) 25 25 4 2 16 ＝sin4θ＝ . 25
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四、数形结合思想的应用 在解决三角函数方面的问题时，三角函数的图象是不可 缺少的工具，大多数题目都要画出所涉及三角函数的草图， 然后结合图象去解决，所以数形结合思想在解决三角函数问 题上有着广泛的应用．
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【例 5】 若方程 3sinx＋cosx＝a 在[0,2π]上恰有两个不 同的实数解，求 a 的取值范围．
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【例 3】 已知向量 a＝(1＋sin2x，sinx－cosx)，b＝(1， sinx＋cosx)，函数 f(x)＝a·b. (1)求 f(x)的最大值及相应的 x 的值； 8 π (2)若 f(θ)＝ ，求 cos2( －2θ)的值． 5 4
思路分析：(1)将函数 f(x)的解析式化为 y＝Asin(ωx＋ 8 π φ)(A>0， ω>0)的形式； (2)由 f(θ)＝ 求得 sin4θ 的值， 化简 cos2( 4 5 －2θ)．
答案：C
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【例 2】 cos(2α＋β)．
2 10 π π 已知 sinα＝ ，sinβ＝ 且 0<α< ，0<β< ，求 10 10 2 2
π π 7 2 3 10 解：∵0<α< ，0<β< ，∴cosα＝ ，cosβ＝ . 10 10 2 2 2 7 2 7 ∴sin2α＝2sinαcosα＝2× × ＝ ， 10 10 25 22 1 24 cos2α＝1－2sin α＝1－2×( ) ＝1－ ＝ . 10 25 25 ∴cos(2α＋β)＝cos2αcosβ－sin2αsinβ
2
24 3 10 7 10 13 10 － · ＝ . ＝ · 25 10 25 10 50
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二、三角函数与向量的综合 三角函数与平面向量相结合是近几年来的高考亮点，它 常常包括向量与三角函数化简、求值与证明的结合，向量与 三角函数的图象与性质的结合等几个方面．此类题目所涉及 向量的知识往往比较基础，所涉及的三角函数往往是讨论三 角函数的图象与性质．
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π π 4 3 3 3 ∴cosαcos ＋sinαsin ＋sinα＝ ，即 cosα＋ sinα＝ 6 6 5 2 2 4 3 ， 5
π 4 3 π 4 ∴ 3sinα＋6＝ ，∴sinα＋6＝ ， 5 5 7 π 4 ∴sinα＋6π＝－sinα＋6＝－ . 5
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1 π (2)由(1)知 f(x)＝ cos(2x－ )，将函数 y＝f(x)的图象上各点的 2 3 1 横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x)的图象，可 2 1 π 知 g(x)＝f(2x)＝ cos(4x－ )， 2 3 π 因为 x∈[0， ]，所以 4x∈[0，π]， 4 π 2π 1 π π 因此 4x－ ∈[－ ， ]，故－ ≤cos(4x－ )≤1. 3 3 3 2 3 π 1 1 所以 y＝g(x)在[0， ]上的最大值和最小值分别为 和－ . 4 2 4
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【例 1】 则
(2010·山东高考)已知 ) 2 3 B. 5
π 4 3 cosα－6＋sinα＝ ， 5
7 sinα＋6π的值是(
2 3 A．－ 5
4 C．－ 5
4 D. 5
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π 4 3 解析：∵cosα－6＋sinα＝ ， 5
思路分析： 画出函数 y＝ 3sinx＋cosx(x∈[0,2π])的图象， 利用函数 y＝a 与 y＝ 3sinx＋cosx(x∈[0,2π])的图象有两个 不同交点求解．
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解：∵ 3sinx＋cosx＝a，
π ∴a＝2sinx＋6，其中 x∈[0,2π]． π 画出函数 f(x)＝2sinx＋6，x∈[0,2π]的图象，如下图所
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本 章 小结
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一、三角公式的灵活应用 三角恒等变换是本章的核心内容，实际上，本章的所有 公式都是在母公式 C(α－β)的基础上通过恒等变换得到的． 因此 熟练掌握第一个公式的来龙去脉，再熟悉各个公式之间的内 在联系，才能记得准，记得快，当然用的时候还需要突出一 个“活”字，即掌握公式的正用、逆用、变形使用等灵活应 用公式的技巧．