方差组分估计
协方差分析——精选推荐
(3-1ห้องสมุดไป่ตู้)
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式中， 异；
为两个处理校正平均数间的差
为两个处理校正平均数差数标准误； 为误差离回归均方； n为各处理的重复数； 为处理i的x变量的平均数； 为处理j的x变量的平均数； SSe(x)为x变量的误差平方和 例如，检验食欲添加剂配方1与对照校正50日 龄平均重间的差异显著性：
40
=10.3514-12.0758=-1.7244 =37.59/43=0.8742 =1.52,
18
表3-2 不同食欲增进剂仔猪生长情况表
（单位：kg）
19
此例，
=18.25+15.40+15.65+13.85=63.15
=141.80+130.10+144.80+133.80 =550.50 k=4，n=12，kn=4×12=48
20
协方差分析的计算步骤如下： (一)求x变量的各项平方和与自由度 1、总平方和与自由度
(二)求y变量各项平方和与自由度 1、总平方和与自由度
23
2、处理间平方和与自由度
3、处理内平方和与自由度
(三) 求x和y两变量的各项离均差乘积和与自由度 1、总乘积和与自由度
24
=kn-1=4×12-1=47 2、处理间乘积和与自由度
=1.64
25
=k-1=4-1=3 3、处理内乘积和与自由度
29
回归分析的步骤如下： (1) 计算误差项回归系数，回归平方和， 离回归平方和与相应的自由度 从误差项的平方和与乘积和求误差项回归 系数： (3-10) 误差项回归平方和与自由度 (3-11)
dfR(e)=1
30
误差项离回归平方和与自由度
动物育种中的方差组分分析及统计软件包
２００５年第３期 总第１１２期
SICHUAN CAOYUAN
动物育种
动物育种中的方差组分分析及 统计软件包
杨平贵1，2，吴登俊1
（1. 四川农业大学，四川 雅安 625014；2. 四川省草原研究所，四川 成都 611731） 摘 要：方差组分估测是分析变异来源和预测育种值的基础，国内外对其进行了大量的研究，对动物育种中方差组 分的估测方法及统计分析软件包作了一个简单的综述。 关键词：方差组分；软件包；动物育种 中图分类号：S813.2 文献标识码：A 文章编号：1006 1932(2005)03 0053 03
责 任 编 辑
２００５年第３期 总第１１２期
四川草原
因此 为Z1iBZi对角线元素构成的对角阵的逆矩阵的平方， 称为Henderson方法Ⅳ。 1.3 MIVQUE和MINQUE 最小方差二次型无偏估计（minimun variance quadratic unbiased estimation，MIVQUE）是 由 C. R. RAO （1970）和 LA Motte（1970，1971）分别提出的。根据 这个方法，当观察值服从正态分布时，可得出方差组分 的最小方差二次型无偏估计值。C. R. RAO（1971）进 一步将这个方法一般化，提出了最小范数二次型无偏估 计（minimum norm quadratic unbiased estimation，MINQUE） 。它不要求观察值的分布已知，但当观察值服从 正态分布时，MINQUE就等于MIVQUE；当数据不服从 正态分布时，它可以保证方差估计值有最小的欧几里德 范数，其估计值为最小范数二次无偏估计值（minimum norm quadratic unbiased estimator） 。MINQUE法的特点 是： （1）估计值具有无偏性和平移不变性； （2）要使用 有关方差的先验信息；3） （ 估计值具有最小范数 （minimum norm） 且当方差的先验值等于真值并服从正态分布时， ， 估计值具有最小方差。由于在估计过程中，需要事先给 定权重，这些权重可作为 2i 的先验值，因此MINQUE估 计值不具有惟一性，对于同一资料采用不同的先验值可 产生不同的结果； （4）若对MINQUE迭代，即将所得到 的估计值重新作为先验值再进行MINQUE，并重复该过 程直至收敛， 其结果将与REML法得到的估计值相同 （除 去负值的情况外） 因此， 。 现在育种上这种方法很少应用。 1.4 ML和REML法 ML（Maximum likelihood） 和 REML（Restricted maximum likelihood） 是现代动物育种应用得较多的方 法。虽然两个方法具有差异：ML是将y的似然函数方程 最大化，REML是将k′ y的似然函数方程最大化，但它们 具有一些共同的特征： 均使用与MINQUE相同的二次型； 估计值一般是有偏的；必须用迭代法求解；服从y~N（ V）这个假设条件（张勤，1990） 。 ML 法是由 Fisher（1925）提出的，Hartley 和 Rao （1967）第一次应用到线性模型中。此后，在动物育种 中得到广泛的应用。对于一个固定的分析模型（待估计 的参数和特定的数据公布） ，可计算出参数准确的似然 函数值。由于 ML 法估计值必须通过迭代求解，因此不 可能得到估计值准确的抽样方差。但当样本较大时，可 求得估计值的近似方差。与ANOVA相比，ML考虑了某 些选择的情况，在分析中包含了除不分析性状外的所有 信息， 即使只有部分满足假设条件， ML估计值也比ANOVA估计值更为准确（Meyer and Thompson） 。早期ML在 分析动物育种资料的研究中，主要集中在选择引起的偏 差， 后来主要集中在估计值的统计手段和方法上。 此外，
样本方差估计总体方差
样本方差估计总体方差样本方差是用来估计总体方差的常用统计量之一、在统计学中，方差是衡量数据分散程度的一个重要指标，用来描述数据集中各数据与其平均值的偏离程度。
通过样本方差的估计，我们可以推断出总体方差的信息，从而对总体进行更深入的分析。
首先，我们先来了解一下方差的概念。
方差是指一组数据与其均值之差的平方的平均值。
对于一个由n个数据组成的样本，方差的计算公式如下：s^2 = Σ(x_i - x_bar)^2 / (n-1)其中，s^2表示样本方差，x_i表示第i个数据点，x_bar表示样本的均值，n表示样本数量。
样本方差的计算很直观，但是其中的(n-1)却很有讲究。
这是因为在计算样本方差时，我们仅仅依赖于样本数据，而未涉及到总体的任何信息。
因此，一个包含n个数值的样本集中的自由度只有n-1，而非n。
通过减去一个自由度，可以消除样本方差的偏向，使其更接近总体方差。
接下来，我们来讨论一下为什么样本方差能够估计总体方差。
首先，样本方差具有无偏性。
无偏性是指估计值的期望等于被估计参数的真实值。
对于样本方差来说，它的期望等于总体方差。
也就是说，对于一个随机样本，样本方差的期望等于总体方差。
其次，样本方差是一致估计量。
一致估计量是指当样本数量趋近无穷大时，估计值趋近于真实值。
对于样本方差来说，当样本数量足够大时，样本方差的估计值将无限接近总体方差。
再次，根据中心极限定理，当样本数量足够大时，样本的均值和方差近似服从正态分布。
这使得样本方差成为了对总体方差进行估计的有力工具。
最后，样本方差的估计是基于样本数据集的统计分析，并且利用了样本的所有信息。
通过计算样本方差，我们可以对总体方差的大小和分布情况进行推断。
总结起来，样本方差是一种用来估计总体方差的常用统计量。
它具有无偏性和一致性，并且通过样本方差的计算，我们可以推断总体方差的信息。
样本方差的估计是基于样本数据集的统计分析，通过利用样本的所有信息，我们可以对总体方差进行更深入的分析。
Monte Carlo 方法在遗传育种中的应用
Monte Carlo 方法在遗传育种中的应用Monte Carlo 方法在遗传育种中有着十分广泛的应用，下面举出一些例子。
例1． 遗传漂变的模拟遗传漂变是指在一个没有选择、迁移、实施随机交配的小群体中，群体基因频率和基因型频率会偏离Hardy-Weinbger 平衡。
利用Monte Carlo 方法，我们可以模拟随机遗传漂变的过程，研究各种因素，如群体大小、公母比例、繁殖力等，对遗传漂变的影响。
具体做法如下：1． 设定系统参数N – 基础群大小 S – 基础群公母比例n o – 每头母畜每胎所产后代数P 1、P 2、P 3 – 所考查的基因座位在基础群中的基因型频率（假设只有两个等位基因） g – 所考查的世代数 n r – 模拟重复次数2． 假定1） 公、母随机交配，2） 每头公畜与相同数目的母畜交配 3） 后代为雄性和雌性的概率各为1/2，4） 基因从上代到下代的传递遵从孟德尔分离定律 5） 世代不重叠6） 群体规模保持不变 7） 每代中随机选留种畜3． 模拟试验1） 基础群中每个个体的性别和基因型的确定设雄性个体的代码为1，雌性个体的代码为2。
再设两个等位基因的代码分别为1和2，三种基因型的代码分别为11、12和22。
基础群中每个个体的性别和基因型可以硬性规定，也可以随机确定，如硬性规定，即人为指定哪些个体是雄性，哪些个体是雌性，哪些个体的基因型为11，哪些为12，哪些为22。
但要注意必须符合事先给定的公母比例和基因型比例。
若随机确定，可用以下方法： 对于i = 1, …, Na. 产生随机数)1,0(~1U u ，)1,0(~2U ub. 如 u 1 < s/(1+s )，则S i = 1，否则，S i = 2c. 如 u 2 < P 1，则G i = 11如P 1 ≤ u 2 < P 1+P 2，则G i = 12 如 u 2 ≥ P 1+P 2，则G i = 222） 交配组合的确定设雄性个体数为n m，雌性个体数为n f（n m + n f = N）。
统计学中的方差分析方差分解
统计学中的方差分析方差分解方差分析（analysis of variance，简称ANOVA）是一种常用的统计方法，它用于比较两个或多个组之间的差异。
在方差分析中，方差分解是一项重要的计算过程，用于将总方差分解成不同来源的方差成分，从而了解各因素对总体差异的影响程度。
1. 概述方差分析方差分解是对方差分析结果进行深入分析的一种方法。
方差分析通过比较组间变异与组内变异来评估不同组之间的差异是否显著。
而方差分解则将总体方差分解为几个基本的成分，以揭示不同因素对差异的贡献。
2. 方差分析方差分解的步骤2.1 总体方差计算首先，我们需要计算总体方差。
总体方差是整个数据集的方差，表示整体的差异程度。
2.2 组间方差计算接下来，计算组间方差。
组间方差反映了不同组之间的差异程度。
2.3 组内方差计算然后，计算组内方差。
组内方差表示同一组内部的差异程度。
2.4 方差分解通过将总体方差分解成组间方差和组内方差，我们可以计算各成分对总差异的贡献。
3. 方差分解的应用方差分解是统计学中广泛应用的一种分析方法，它在众多领域中都有重要的应用价值。
3.1 实验设计在实验设计中，方差分解可以帮助我们分析不同因素对实验结果的影响程度，从而优化实验设计。
3.2 质量控制在质量控制领域，方差分解可以帮助企业分析产品质量的差异来源，以制定相应的质量改进策略。
3.3 教育研究在教育研究中，方差分解可以用于评估不同因素对学生成绩的影响，帮助改进教学方法和教育政策。
4. 总结方差分析方差分解是统计学中一个重要的工具，它可以帮助我们理解不同因素对差异的贡献，为实验设计、质量控制和教育研究等领域提供决策支持。
总之，方差分析方差分解是统计学中的一项重要技术，通过将总方差分解成不同来源的方差成分，我们可以深入分析各因素对总体差异的影响程度。
方差分解在实验设计、质量控制和教育研究等领域都有广泛的应用，为这些领域提供了可靠的数据分析基础。
通过学习和应用方差分析方差分解的方法，我们可以更好地理解和解释数据，为决策提供科学支持。
方差-协方差分量估计
方差-协方差分量估计**协方差与方差部分量估计**在数据分析中，变量之间的关系可以通过协方差和方差部分量估计来衡量。
一般来说，两个变量之间的关系可以通过这两种技术来测量。
本文重点介绍协方差与方差部分量估计的内容。
协方差是一种用于多维空间的统计表示，它可以衡量两个变量之间的相关性。
它是一个以均值除以标准差作为边际估计量的统计量，它可以帮助我们估计两个变量的差异，即定性贴紧的相关系数。
如果协方差为正，则表明两个变量之间有正相关性，反之则表明有负相关性。
另一方面，方差分量估计是一种测量一个变量与另一个变量之间关系的技术，它可以帮助我们确定一个变量对另一个变量的影响。
方差分量估计可以测量变量的可变性，并提供另一变量的信息。
方差分量估计表明，两个变量之间相关性的程度，它表示一个变量中另一个变量的部分可变性。
总之，协方差与方差部分量估计都是通过测量两个变量之间相关性来衡量变量之间关系的有用工具。
其中，协方差可以衡量两个变量之间相关性的强弱，而方差分量估计可以衡量一个变量在另一个变量中所占的可变量。
尽管协方差与方差部分量估计有不同之处，但它们都是重要的数据分析工具，可以有效地测量变量之间的关系。
另外，根据结果，还有必要进行合理的解释，并研究变量之间的关系，以更好地理解数据分析的过程。
最后，可以总结的是，协方差与方差部分量估计可以有效地帮助我们衡量变量之间的关系，其中协方差可以衡量变量之间相关性的强弱，而方差分量估计可以衡量一个变量在另一个变量中所占部分可变量。
这些工具可以帮助我们对数据进行有效的分析，最终达到统计推断的目的。
方差估计公式
方差估计公式方差估计公式，这可是统计学里一个相当重要的家伙！咱们先来说说方差是啥。
简单来讲，方差就是描述一组数据离散程度的指标。
想象一下，有一群小朋友的考试成绩，方差大就意味着大家的分数差别很大，有高有低；方差小呢，就表示大家的分数都比较接近。
那方差估计公式是啥呢？咱们常用的样本方差估计公式是：$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2$ 。
这里面的 $n$ 是样本数量，$x_i$ 是第 $i$ 个观测值，$\overline{x}$ 是样本均值。
举个例子吧，比如说咱们有一组数：5、7、9、11、13 。
首先得算出这组数的平均值，也就是 $\overline{x} = (5 + 7 + 9 + 11 + 13)÷ 5 =9$ 。
然后呢，咱们一个一个地算 $(x_i - \overline{x})^2$ 。
比如说第一个数 5 ，$(5 - 9)^2 = (-4)^2 = 16$ 。
就这么一个一个算完加起来，再除以 $n - 1$ ，也就是 4 ，就能得到方差啦。
我记得有一次，我在课堂上讲这个方差估计公式，有个小同学瞪着大眼睛问我：“老师，这公式有啥用啊？”我笑着跟他说：“孩子，你想想，要是你开了个小店，每天卖出去的东西数量不一样，你是不是得算算这数量的变化大不大，心里好有个数，准备多少货呀？”这小同学一听，好像有点明白了。
其实啊，方差估计公式在生活中的用处可多啦。
比如说工厂里生产零件，要保证零件尺寸的稳定性，就得用方差估计公式看看尺寸的离散程度；再比如，在农业上，研究农作物的产量，也能靠它来判断产量的波动情况。
在科学研究中，方差估计公式更是少不了。
研究人员要通过大量的数据来得出结论，这时候方差就能告诉他们数据的可靠性和稳定性。
而且，咱们学这个方差估计公式，可不仅仅是为了会算，更重要的是要理解它背后的意义。
就像咱们走路，知道怎么走是一回事，明白为啥要这么走，才能走得更稳、更远。
统计学中的方差分析方差分解原理
统计学中的方差分析方差分解原理统计学中的方差分析方差分解原理统计学中的方差分析是一种常用的统计方法，用于比较两个或多个组别之间的均值差异是否显著。
方差分析可以帮助我们确定自变量对因变量的影响力，同时也可以进行方差分解，从而解释观测数据中的差异。
一、方差分析的基本原理方差分析基于总体均值模型，假设总体均值为μ，而其中的不同组别（A、B、C等）的均值分别为μA、μB、μC等。
我们的目标是确定组别之间的均值差异是否显著，即是否存在统计上的差异。
方差分析通过计算组内方差(SSE)和组间方差(SSA)来判断差异的显著性。
组内方差反映了组别内个体差异对总体差异的贡献，而组间方差则反映了不同组别均值之间的差异。
如果组间方差显著大于组内方差，则可以认为不同组别的均值差异是显著的。
二、方差分解原理方差分解是指将总体方差(总方差)分解为不同来源的方差组成部分。
在方差分析中，总方差可以分解为组内方差和组间方差，从而揭示组别之间的差异贡献。
1. 总方差总方差(SSTotal)表示了观测数据整体的离散程度。
它是每个观测数据与总体均值之差的平方和，即SSTotal = Σ(xi - X)^2，其中xi为第i个观测数据，X为总体均值。
2. 组内方差组内方差(SSE)表示了组别内个体之间的离散程度。
它是每个观测数据与所在组别均值之差的平方和的总和，即SSE = Σ(xi - X i)^2，其中xi为第i个观测数据，X i为第i个组别的均值。
3. 组间方差组间方差(SSA)表示了不同组别之间的离散程度。
它是每个组别均值与总体均值之差的平方和的总和，即SSA = Σ(ni * (X i - X)^2)，其中ni为第i个组别的样本量，X为总体均值，X i为第i个组别的均值。
通过对总方差的分解，我们可以得到方差分析的F值，用于判断组间方差是否显著大于组内方差。
如果F值大于临界值，即说明组别之间的均值差异是显著的。
三、方差分析的假设条件在进行方差分析时，需要满足以下假设条件，以保证结果的可靠性：1. 独立性：样本间相互独立，每个样本在分析过程中不会相互影响；2. 正态性：每个组别的样本符合正态分布；3. 方差齐次性：各组别的方差相等。
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历史回顾 各种方法的评价
1
前言
1. 2. 3. 4. 5. 6. 动物繁育工作者们所希望得到的VCE特性 ： 特性 动物繁育工作者们所希望得到的 平移不变 估计值在参数空间内 几乎无偏 最小误差偏差 不因选择带来偏差 可以计算
2
方差组分估计方法的回顾
1. 方差分析 ANOVA 2. 最小范数二次估无偏估计 最小范数二次估无偏估计MINQUE 3. 最大似然估计 ML 4. 约束最大似然法 REML
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最大似然估计
• Fisher(1922)提出 提出 • Hartley and Rao(1967)开发了一般混合模型、 开发了一般混合模型、 开发了一般混合模型 不平衡数据方差组分估计的方法 • 要求数据的分布已知 • 一般假定数据服从正态分布 • 似然函数： 似然函数：
L(b, a | y) = (2π )
2. 一致性(consistent)，即当n→∞，估计值 一致性(consistent)，即当n→∞， (consistent) 与真值的差接近零； 与真值的差接近零； 3. 渐近有效性(asymptotically efficient)， 渐近有效性(asymptotically efficient)， 即当n→∞，ML估计出的 估计出的( 即当n→∞，ML估计出的(协)方差矩阵的置 信区间最小。 信区间最小。
−0.5N
V
−0.5
exp(−0.5(y− Xb)′V−1(y− Xb))
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最大似然估计
渐近无偏和正态分布，方差等于期望( 1. 渐近无偏和正态分布，方差等于期望(或 fisher)信息矩阵的逆 信息矩阵的逆， →∞, 者fisher)信息矩阵的逆，当n→∞,
ˆ θ ~ N(0, I (θ )−1)
• ML在实践中应用不多 在实践中应用不多
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约束最大似然法
• 约束最大似然法 约束最大似然法(restricted maximum likelihood, REML)估计 协)方差组分，最初 估计(协 方差组分 方差组分， 估计 提出， 由Thompson(1962)提出，由Patterson & 提出 Thompson(1971)正式描述，要求数据服从 正式描述， 正式描述 多元正态分布，具有平移不变性， 多元正态分布，具有平移不变性，最大似 然法使结果在可允许的参数空间内（ 然法使结果在可允许的参数空间内（从零 到无穷大）， ），REML是有偏估计。 是有偏估计。 到无穷大）， 是有偏估计
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MINQUE
• Henderson(1973)利用混合模型计算 利用混合模型计算 MINQUE估计值 估计值 • 性质： 性质：
– 计算时需要先验值 – 当先验值与真值相等时，具有无偏和平移不变 当先验值与真值相等时， 的性质 – 利用迭代，收敛时的结果与 利用迭代，收敛时的结果与REML相同 相同 – 我们很少用这种方法
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最大似然估计
• 缺点： 缺点：
– ML估计排除了参数空间以外的值 ,这是它的一 估计排除了参数空间以外的值 这是它的一 个优点，但同时也排除了参数空间以外， 个优点，但同时也排除了参数空间以外，但可 能产生比较高的似然值的估计值 – 没有考虑混合模型中固定效应导致的自由度的 在动物育种的实际数据中， 损失 。在动物育种的实际数据中，为了取得比 较多的数据，造成固定效应(管理单位 管理单位)数目会 较多的数据，造成固定效应 管理单位 数目会 很多
3
方差分析
• 原理： 原理： y′Qiy=E(y′Qiy) ′ ′ • 性质：对平衡数据来说，它是最佳估计值。 性质：对平衡数据来说，它是最佳估计值。 • 缺点：出现负值 缺点：
4
Henderson三种方法 三种方法
• Henderson（1953）提出三种适合不平衡数 （ ） 据的三种方法，分别叫做Henderson 方法 ， 方法I， 据的三种方法，分别叫做 Henderson 方法 和Henderson 方法 。 方法II和 方法III。 • Searle（1968, 1971）把Henderson的三种方 （ ） 的三种方 法用矩阵形式表达出来。 法用矩阵形式表达出来。 • Harvey(1960,1970)编制了 编制了FORTRAN程序， 程序， 编制了 程序 使Henderson的方差组分分析方法在畜牧学 的方差组分分析方法在畜牧学 界得到了广泛的应用。 界得到了广泛的应用。
5
Henderson三种方法 三种方法
• 三种方法利用 三种方法利用GLS方程 方程 • 所有效应都当作固定效应处理 • 方法I： 方法 ：
– 适用于随机效应模型 – 没有选择时，无偏而且平移不变 没有选择时，
6
Henderson三种方法 三种方法
• 方法 ： 方法II：
– 适用于混合模型，可以计算固定效应与随机效 适用于混合模型， 固定效应与互作， 应、固定效应与互作，以及固定效应内的随机 效应 – 利用 系数矩阵的逆求解，但有唯一解 利用LS系数矩阵的逆求解， 系数矩阵的逆求解 – 无偏 – 平移不变
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Henderson三种方法 三种方法
• 方法 ： 方法III：
– – – – – – – 可以处理一般的混合模型 无偏和平移不变 称为“拟合常数法” 称为“拟合常数法”：平方和与亚模型拟合 计算出的约化平方和比需要的多 计算难度大于前两种方法 应用最广泛 致命的缺点： 致命的缺点：估计值不唯一
8
最小范数二次无偏估计
• Rao(1970)推导出了一种方差组分估计方法，当 推导出了一种方差组分估计方法， 推导出了一种方差组分估计方法 y不是正态分布时，选择的二次型使欧几里德 不是正态分布时， 不是正态分布时 范数最小，当y服从正态分布时，MINQUE估。 计具有最小方差 的性质。 • 最小范数二次无偏估计 最小范数二次无偏估计(minimum norm quadratic unbiased estimation, MINQUE) • 最小方差二次无偏估计 最小方差二次无偏估计(minimum variance quadratic unbiased estimators, MIVQUE)