附有约束最小二乘配置的信号与观测误差的方差分量估计

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最小二乘估计原理

最小二乘估计原理最小二乘估计是一种常用的参数估计方法，它可以用来估计线性回归模型中的参数。

在实际应用中，最小二乘估计被广泛应用于数据拟合、信号处理、统计分析等领域。

本文将介绍最小二乘估计的原理及其应用。

最小二乘估计的原理是基于最小化观测值与模型预测值之间的误差平方和来进行参数估计。

在线性回归模型中，我们通常假设因变量Y与自变量X之间存在线性关系，即Y = β0 + β1X + ε，其中β0和β1是待估参数，ε是误差项。

最小二乘估计的目标是找到最优的β0和β1，使得观测值与模型预测值之间的误差平方和最小。

为了形式化地描述最小二乘估计的原理，我们可以定义损失函数为误差的平方和，即L(β0, β1) = Σ(Yi β0 β1Xi)²。

最小二乘估计的思想就是通过最小化损失函数来求解最优的参数估计值。

为了找到最小化损失函数的参数估计值，我们可以对损失函数分别对β0和β1求偏导数，并令偏导数等于0，从而得到最优的参数估计值。

在实际应用中，最小二乘估计可以通过求解正规方程来得到参数的闭式解，也可以通过梯度下降等迭代方法来进行数值优化。

无论采用何种方法，最小二乘估计都能够有效地估计出线性回归模型的参数，并且具有较好的数学性质和统计性质。

除了在线性回归模型中的应用，最小二乘估计还可以推广到非线性回归模型、广义线性模型等更加复杂的模型中。

在这些情况下，最小二乘估计仍然是一种有效的参数估计方法，并且可以通过一些变形来适应不同的模型结构和假设条件。

总之，最小二乘估计是一种重要的参数估计方法，它具有简单直观的原理和较好的数学性质，适用于各种统计模型的参数估计。

通过最小化观测值与模型预测值之间的误差平方和，最小二乘估计能够有效地估计出模型的参数，并且在实际应用中取得了广泛的成功。

希望本文对最小二乘估计的原理有所帮助，谢谢阅读！。

具有线性等式约束的整体最小二乘平差

具有线性等式约束的整体最小二乘平差是指在满足一组线性等式约束条件的情况下，对一组观测值进行平差计算，使得所有观测值与模型值之间的平方差和最小。

这个问题可以用线性规划的方法来解决。

假设有m 个观测值，n 个未知量，则可以使用下面的公式求解：
minimize ∑(observation_i - model_i)^2
subject to Ax = b
其中，observation_i 表示第i 个观测值，model_i 表示第i 个模型值，A 是一个系数矩阵，x 是未知量向量，b 是常数向量。

这个问题可以使用拉格朗日乘子法来求解。

首先，我们需要构造拉格朗日函数，即：
L(x, λ) = ∑(observation_i - model_i)^2 -λ(Ax-b)
其中，λ是拉格朗日乘子。

然后，我们需要对拉格朗日函数求导，得到下面的式子：
∂L/∂x = 2A^T (observation - model) -λA = 0
∂L/∂λ= Ax - b = 0
我们需要同时满足上面的两个方程，然后解出x 和λ的值。

最后，我们就可以计算出最小二乘平差的解。

带约束的最小二乘法

带约束的最小二乘法
带约束的最小二乘法是一种统计学分析技术，用于拟合有限数据集，以及科学算法和统计预测中的系统模型。

它可以让研究者们简单地进行数据拟合，而且可以提高拟合效果，使其符合实际情况，同时也可以解决具有非线性系统的模型估计过程。

带约束的最小二乘法的基本原理是运用一个目标函数对观测值和未知参数之间的拟合度进行评价，从而求得一个最佳的数学模型及其参数，使得它可以尽可能准确地拟合一组观测数据，这种模型称为最小二乘估计法（Least Square (LS) Estimation）。

由于受到建模与数据观测条件的限制，得到的模型及参数往往不能满足实际要求，因此就需要对数据进行限制及调整。

这就是带约束的最小二乘法的基本方法，利用问题的一些有关性质，通过确定限制项的方法，使得最小二乘估计的参数更加准确，符合实际要求。

与其他拟合方法相比，带约束的最小二乘法具有其独到之处，既可以满足最小相对误差对数据进行准确拟合，又不会被误差引入太多噪声，可以获得一个更稳定的拟合系数和参数。

由于它考虑了数据的约束性质，可以有效避免模型参数的过度拟合，从而使得模型能够更加有效地反映出反映性质。

带约束的最小二乘法由于其良好的拟合精度，在多种现代数据分析技术中得到了广泛的应用，如计算机视觉，机器学习，信号处理，控制理论，环境复杂场景的重建等。

因此，它可以说是数据建模和预测研究中不可或缺的一个重要工具，有助于我们更有效地理解和应用现有技术，实现复杂的模型估计与求解。

最小二乘估计的基本原理

最小二乘估计的基本原理最小二乘估计，这个名字听上去很高深，对吧？但其实它背后的原理并不复杂，只要你能抓住几个核心点，就会发现它其实挺简单的。

今天，我们就来聊聊这个话题，把它讲得清楚明白，希望你听了之后能对它有个直观的理解。

1. 最小二乘估计是什么？最小二乘估计，顾名思义，主要是为了找到一个估计值，使得预测值和实际观测值之间的差距最小。

这就像你在玩一个精准的投篮游戏，目标是把球投得尽可能靠近篮筐。

这里的“最小”就是让误差最小化。

听起来是不是很简单？那就让我们一步步看下去。

1.1 误差的定义首先，我们得搞明白什么是误差。

在最小二乘估计里，误差就是我们预测的值和实际观测值之间的差距。

假设你有一个线性模型来预测某个结果，比如说你根据一个人的年龄预测他们的收入。

你预测的收入可能和实际收入有些出入，这个出入就是误差。

1.2 最小化误差那么，怎么才能让误差最小呢？这就涉及到最小二乘估计的核心：我们希望通过调整模型的参数，使得所有数据点的误差平方和最小。

说白了，就是我们要让所有预测值和真实值之间的距离加起来尽可能小。

把所有误差平方加在一起，找到那个最小的和，这就是我们要做的工作。

2. 为什么使用平方？也许你会问，为什么要用平方？为什么不直接用误差的绝对值呢？平方有几个好处。

首先，平方可以消除正负误差的相互抵消。

比如说，某个点的误差是+2，另一个点的误差是2，如果直接用这些误差的和，那么它们就会相互抵消掉。

但用平方的话，+2和2的平方都是4，这样就可以真实地反映出误差的大小。

其次，平方能更强烈地惩罚大的误差。

想象一下，如果你用一个不合适的模型预测结果，误差可能会很大。

平方后，这些大的误差会被放大，这样就能让模型更注重减少这些大的误差。

2.1 平方和的计算举个例子，假设你有几个数据点，每个点的实际值和预测值分别是（10, 8）、（15, 14）和（20, 25）。

误差分别是2、1和5。

计算这些误差的平方和，就是2² + 1² + (5)² = 4 + 1 + 25 = 30。

约束最小二乘法

第27卷第6期增刊　2006年6月仪　器　仪　表　学　报Chinese Journal of Scientific InstrumentVol.27No.6J une.2006　约束最小二乘法孙希延1,2,3　施浒立1　纪元法1,2,31(中国科学院国家天文台　北京　100012)2(桂林电子工业学院应用科技学院　桂林　541004)3(中国科学院研究生院　北京　100039)摘　要　为了准确、实时地估计出有突变时载体的状态,设计一种新的方法2约束最小二乘法,并且给出了递推形式。

实验仿真表明:有状态突变时该方法优于卡尔曼滤波,无状态突变时估计结果与卡尔曼滤波估计结果相当。

关键词　约束最小二乘法　卡尔曼滤波　最小均方差　递推Constraint least square algorithmSun Xiyan1,2,3　Shi Huli1　Ji Yuanfa1,2,3 1(N ational A st ronomical Observatory,Chinese A cadem y of Sciences,B ei j ing　100012,China) 2(A p plied S cience and Technolog y College,Guilin Universit y of Elect ronic Technology,Guilin　541004,China)3(Graduate School,Chinese A cadem y of Sciences,B ei j ing　100039,China)Abstract　To estimate the state of t he carrier wit h a sudden change correctly and timely,in this paper a new approach is demonstrated and it s recursive form is also given.The simulation of t he experiment iundicates t hat t he expected performance of t he new approach is superior to t hat of t he KF when t here is a sudden change of t he state, ot her uise,t he evaluative resnlt of t he new approach is good as well as t hat of t he KF.K ey w ords　constraint least square　kalman filtering　least2mean2square error　recursive1　引　言天文学的研究促进了最小二乘的提出,于1809年高斯在他的书中详细描述了最小二乘方法[1,2]。

基于最小二乘法的信号估计技术研究

基于最小二乘法的信号估计技术研究信号估计技术是指利用一定的信号处理算法，根据已知信号的特性，对未知信号进行预测、估计的技术。

信号估计技术在现代通信、雷达、声纳等领域都有着广泛的应用。

其中，基于最小二乘法的信号估计技术较为常见，本文将对其进行研究。

一、理论概述最小二乘法是指尽可能地使残差平方和最小，来确定未知参数的一种统计推断方法。

在信号估计中，最小二乘法可以用来确定信号相关系数或信号周期等未知参数。

最小二乘法的基本思路是利用样本点对未知量的函数进行逼近，找到使平方误差最小的函数。

以信号估计为例，假设已知观测到的信号为y，未知信号为x，我们需要找到一个线性方程ax+b，满足ax+b与y的差别最小。

二、应用实例在实际应用中，最小二乘法广泛应用于信号估计、信号滤波等领域。

以语音信号处理为例，在语音信号传输过程中，由于噪声等因素的干扰，传输信号通常会发生失真。

在接收端，对失真的信号进行估计是一个重要的问题。

基于最小二乘法的信号估计技术可以有效地解决这个问题。

在信号滤波方面，最小二乘滤波是一种非常常用的滤波方法。

最小二乘滤波可以使滤波后的信号与原信号的误差的平方和最小化，从而达到信号滤波的效果。

三、误差分析最小二乘法的主要问题是过拟合和欠拟合。

如果模型的复杂度过高，那么就会出现过拟合现象；反之，如果模型的复杂度过低，那么就会出现欠拟合现象。

在信号估计方面，如果我们对观测到的信号进行过拟合，那么我们可能会得到很高的估计误差，影响信号估计的准确性。

而如果进行欠拟合，那么我们可能会得到很低的估计误差，但是我们会失去信号中的一些重要信息。

四、总结总的来说，基于最小二乘法的信号估计技术是一种非常重要的信号处理技术。

通过对未知信号的估计，我们可以更好地理解信号中所包含的信息，从而更好地进行信号处理。

同时，我们需要注意避免过度拟合或欠拟合问题，从而提高信号估计的准确性。

最小二乘估计

最小二乘估计随着空间技术的发展,人类的活动开始进入了太空,对航天器(包括人造地球卫星、宇宙飞船、空间站和空间探测器等)的观测手段和轨道确定提出了很高的精度要求。

在计算技术高速发展的推动下,各种估计理论也因此引入到轨道估计方法中。

大约在1795年高斯在他那著名的星体运动轨道预报研究工作中提出了最小二乘法。

最小二乘法就成了估计理论的奠基石。

最小二乘估计不涉及观测数据的分布特性,它的原理不复杂,数学模型和计算方法也比较简单,编制程序不难,所以它颇受人们的重视,应用相当广泛。

对于严格的正态分布数据,最小二乘估值具有最优一致无偏且方差最小的特性。

实践证明,在没有粗差的情况下,大部分测量数据基本上符合正态分布。

这是最小二乘估计至今仍作为估计理论核心的基础。

最早的轨道确定就是利用最小二乘法,用全部观测数据确定某一历元时刻的轨道状态的“最佳”估值,即所谓的批处理算法定轨。

长期以来,在整个天体力学领域之中,各种天体的定轨问题,几乎都是采用这一方法。

卫星精密定轨的基本原理为：利用含有误差的观测资料和不精确的数学模型,通过建立观测量与卫星状态之间的数学关系，参数估计得到卫星状态及有关参数的最佳估值。

参数估计的基本问题就是对一个微分方程并不精确知道的动力学过程，用不精确的初始状态*0X 和带有误差的观测资料，求解其在某种意义下得卫星运动状态的“最佳”估值0ˆX 。

常用的参数估计方法有两种，最小二乘法和卡尔曼滤波方法。

最小二乘法是在得到所有的观测数据之后，利用这些数据来估计初始时刻状态量的值，由于用到的观测数据多、计算方法具有统计特性，因此该方法精度高。

卡尔曼滤波在观测数据更新后，利用新的观测数据对状态量进行改进得到这一观测时刻的状态量，卡尔曼滤波适用于实时处理。

卫星精密定轨输运高精度的事后数据处理，通常采用最小二乘法进行参数估计。

记观测量的权阵为 P 。

利用加权最小二乘法计算总的观测方程方程0y Hx ε=+，得1()T T x H PH H Py -=卫星的参考状态为**000ˆX X x =+ 在精密定轨的过程中，由于状态方程和观测方程在线性化过程中会产生误差，上式的解算需要通过不断的迭代。

信号检测与估计理论(8)第八章最小二乘估计

−1
T T −1 T
)( ( = x ( I − H( H H) H ) x
)
（8-11）
上式推导中，利用了 I − H(H T H ) H T 是幂等矩阵的性质，即 A2 = A 。
−1
J min 也可写成另一种形式
Jmin = xT x − xT H HT H HT x
ˆ = xT x − Hθ
w[n] = E (w[n]) + w' [n]
式中 w ' [n] 是零均值噪声，这时观测数据则为
x[n] = A + E (w[n]) + w ' [n]
显然，样本均值估计实际上是 A + E (w[n]) 的估计，这时的 LSE 是有偏估计，不是 MVU 估计。也就是说，必须假设观测数据是由确定信号和零均值噪声组成，在信号参量的正确选择下，误差 e[n] = x[n] − s[n] 在平均意义下趋于零，则（8-1）式的最小是合理的。如果假设的直流量信号模型不正确，例如描述观测数据的模型是 x[n] = A + Bn + w[n] ，则这个模型误差也将引起 LSE 是有偏的。
对于信号模型是待估计参量的线性函数的最小二乘情况我们称为线性最小二乘问题，如例 8-1。否则，这个问题称为非线性最小二乘问题，如例 8-2。求解非线性 LS 问题是通过栅格寻优或迭代最小化方法（前面已介绍）。应该注意的是线性最小二乘问题是指信号是待估计参量的线性函数，信号本身不必是线性的。
p ×1
维的，信号
s = [s[0] s[1] " s[ N − 1]]T 是待估计参量的线性函数，假设
s = Hθ
（8-8）

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附有约束最小二乘配置的信号与观测误差的方差分量估计
２徐志军１，沈云中１，
（）上海２上海２１．同济大学测量与国土信息系，０００９２；２．现代工程测量国家测绘局重点实验室，０００９２摘要：介绍方差－协方差分量估计理论的研究和发展情况，讨论最小二乘配置模型信号与观测误差的方差分量估计问题。在实际应用中，考虑到未知参数间存在几何或物理约束，针对附有约束条件最小二乘配置的方差分量估计的问题，基于Ｈ导出相应的计算公式。模拟算例结果表明，利用约束条件能够改善方差ｅｌｍｅｒｔ方差分量估计原理，分量的估计精度，验证方法的有效性。关键词：最小二乘配置；方差分量估计；Ｈｅｌｍｅｒｔ估计（）中图分类号：Ｐ２０７文献标志码：Ａ文章编号：１００６７９４９２０１２０４０００９０４－－－
提高了３４．２％。ＶＣＥ被广泛应用于测量数据处理的各个领域，并取得了良好的效果。Ｅｕｌｅｒ和Ｇｏａｄ
９］；提出了根据卫星高度角定权模型［Ｗａｎｇ等在
，许多数据处理专家对方
差－协方差分量估计做了深入的研究，提出了很多行之有效的算法。Ｇｒａｆａｒｅｎｄ将Ｈｅｌｍｅｒｔ公式推广到条件平差模型
［］３４－
计用于自适应导航，提出了多种形式的行之有效的
１１］。自适应算法［
以估值与理论值之差足无偏性和不变性的前提下，
收稿日期：２０１１０８２４－－）基金项目：国家自然科学基金资助项目（４１０７４０１８，作者简介：徐志军（男，硕士研究生．１９８７－）
［１］
的二次范数最小为准则导出了著名的最小范数二次
［５］；无偏估计（ＭＩＮＱＵＥ）ＰｅｉｌｉａｎＸｕ等讨论了方差ｇ６］；分量的可估性问题［李博峰等提出基于等效残差７］，的方差分量估计公式［以及根据闭合差估计方差８］，分量的算法［该算法使方差分量估计的计算速度
杨元喜等首先将ＶＣＥ用于最小二乘配置（Ｃｏｌ－
·１０·
测绘工程第２１卷
１２］），并成功用于高程基准统一［和拟地图数ｌｏｃａｔｉｏｎ［１３］朱建军等将Ｖ字化误差纠正；ＣＥ用于半参数模１４］；型［李伟伟等直接利用信号估值与残差的二次
型，建立信号与观测误差的Ｈｅｌｍｅｒｔ方差分量公［１５］式，避免了引入虚拟观测方程。在实际应用中，如果未知参数之间存在约束条件，如数字化地图中利用相关条件有望提高信号的房角点通常是直角，与观测误差方差分量的估计精度。因此，本文探讨附有约束最小二乘配置的方差分量估计问题。
１１Ｔ－－（）ｋｗ－ＣＮａＡＰｌ）．１０２＝Ｎｃ（１Ｔ－其中，ＮＮａＣ。ｃ＝Ｃ））将式（代入式（得１０９１１Ｔ－１－－＾）ｘ＝（Ｎａ－Ｎｄ）ＡＴＰｌ＋ＮａＣＮ１１ｃｗ．（１Ｔ－１１－－其中，Ｎｄ＝ＮａＣＮＮａ。ｃＣ
：ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｄｅｖｅｌｏｍｅｎｔｏｆｖａｒｉａｎｃｅｃｏｖａｒｉａｎｃｅｃｏｍｏｎｅｎｔｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｔｈｅｏｒｉｓｂｒｉｅｆｌｒｅｖｉｅｗｅｄ．Ｂｅｓｉｄｅｓ－ｐｐｙｙｏｆｖａｒｉａｎｃｅｃｏｖａｒｉａｎｃｅｃｏｍｏｎｅｎｔｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｏｆｓｉｎａｌｓａｎｄｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎｅｒｒｏｒｓｆｏｒｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎｔｈｅｒｏｂｌｅｍ－ｐｇｐ，ｍｏｄｅｌｉｓａｌｓｏｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．ＣｏｎｓｉｄｅｒｉｎｔｈｅｒｅｅｘｉｔｏｒｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓｉｎａｌｉｃａｔｉｏｎｓｅｏｍｅｔｒｉｃｈｓｉｃａｌｒａｃｔｉｃａｌｇｐｐｇｐｙｐｔｈｅｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｅｕａｔｉｏｎｓｆｏｒｔｈｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎｍｏｄｅｌａｒｅｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｂａｓｅｄｏｎｔｈｅＶＣＥｆｏｒｍｕｌａｅ．ｑ，ｅｒｆｏｒｍｅｄｒｅｃｉｓｉｏｎＦｉｎａｌｌｏｎｅｓｉｍｕｌａｔｅｄｅｘａｍｌｅｉｓｔｏｖｅｒｉｆｔｈａｔｔｈｅｏｆｏｕｔｃｏｍｅｓｃａｎｂｅｉｍｒｏｖｅｄｐｐｙｐｙｐ，ｔｈｒｏｕｈａｄｄｉｎｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ．Ｆｕｒｔｈｅｒｍｏｒｅｉｔｉｓｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄｔｈａｔｔｈｅｎｅｗｖｉｅｗｏｉｎｔｉｓｅｆｆｅｃｔｉｖｅ．ｒｏｏｓｅｄｇｇｐｐｐ：；；ＫｅｗｏｒｄｓｃｏｌｌｏｃａｔｉｏｎｖａｒｉａｎｃｅｃｏｍｏｎｅｎｔｅｓｔｉｍａｔｉｏｎＨｅｌｍｅｒｔｅｓｔｉｍａｔｉｏｎｐｙ线性观测方程参数的最优估计及其精度评定以１］，协方差阵）为基础［方差－协方正确的随机模型（，差分量估计（ＶａｒｉａｎｃｅＣｏｍｏｎｅｎｔＥｓｔｉｍａｔｉｏｎｐ就是确定观测值的协方差阵，ＶＣＥ）ＶＣＥ在测量数据处理中有着重要的地位。从１９２４年Ｈｅｌｍｅｒｔ提出了利用预平差的改正数，按验后估计各类观测量的验前方差的方法开始
（）Ｃｘ－ｗ＝０．２其中：ｌ为ｎ×１观测向量，ｘ为ｔ×１参数向量，ｓ为ｕ×１信号向量，ｅ为ｕ×１观测误差向量，Ａ、Ｂ、Ｃ分、别为ｎ× ｔｎ× ｕ、ｓ × ｔ维的矩阵，ｗ为ｓ×１维的列向量。假设ｓ、和协方差矩阵分ｅ期望（Ｅ为期望算子）别为）＝０，Ｅ（ｓＥ（ｅ）＝０，
［２］
采用ＭＧＰＳ基线解算中，ＩＮＱＵＥ方法同时估计协
１０］；改善了基线结果［杨元喜将方差分量估方差阵，
；於宗俦从概括平差模型出发（附；Ｒａｏ在方差－协方差估值满
，有限制条件的条件平差）导出了Ｈｅｌｍｅｒｔ方差分量估计的通用公式
＾ｋｌ－Ａｘ）．１＝Ｐ（－１Ｔ－１）。其中，Ｐ＝（Ｐ＋ＢＰＢｓ））将式（代入式（得８７１－＾ｘ＝Ｎａ（ＡＴＰｌ＋ＣＴｋ．２）
－１ｅ
（）８
（）９
其中，Ｎａ＝ＡＰＡ。
Ｔ
））将式（代入式（得９２
第２１卷第４期测绘工程Ｖｏｌ．２１ №．４，年月２０１２８Ｅｕ．２０１２ｇＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧＯＦＳＵＲＶＥＹＩＮＧＡＮＤＭＡＰＰＩＮＧＡ
１１２，ｕｎＸＵＺｈｉＳＨＥＮＹｕｎｚｈｏｎ－－ｊｇ，
（，，；１．Ｄｅｔ．ｏｆＳｕｒｖｅｉｎａｎｄＧｅｏｉｎｆｏｒｍａｔｉｃｓＥｎｉｎｅｅｒｉｎＴｏｎｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔＳｈａｎｈａｉ２０００９２，Ｃｈｉｎａ２．ＫｅＬａｂｏｒａｔｏｒｏｆＡｄ－－ｐｙｇｇｇｇｊｙｇｙｙ，）ｖａｎｃｅｄＳｕｒｖｅｉｎＥｎｉｎｅｅｒｉｎｏｆＳｔａｔｅＢｕｒｅａｕｏｆＳｕｒｖｅｉｎａｎｄＭａｉｎＳｈａｎｈａｉ２０００９２，Ｃｈｉｎａｙｇｇｇｙｇｐｐｇｇ
１附有约束条件的拟合推估模型
附有约束条件的拟合推估模型观测方程表示为（）１
））将式（代入式（得１１８