方差分量估计算例
Helmert方差分量估计算法论文
Helmert方差分量估计算法论文摘要：本文在实现计算编程基础上，结合具体工程仿真计算说明Helmert方差分量估计在对深化平差计算理论和工程实践中有重要的借鉴意义。
1 Helmert方差分量估计理论Helmert方差分量估计是通过对观测量较多且分类合理的平差数据通过验后方差—协方差进行重新定权，不断调整观测值的权比关系，直到达到迭代结果收敛。
Helmert方差—协方差分量估计的计算步骤为：2 Helmert方差分量估计的编程处理本文采用C#语言对Helmert方差分量估计在测量平差中编程计算的算法进行阐述，为了便于矩阵的运算，需要制作一个Matrix.cs文件并引用。
定义所有观测量权矩阵PP，固定权观测量PP0，第i个观测量分量权矩阵为PPi：根据误差方程公式所有观测量 mtxMultiplyBTPB，固定权观测量mtxMultiplyBTPB0，第i个观测量方差分量mtxMultiplyBTPBi，分别进行转秩矩阵运算。
MatrixmtxMultiplyBTPB=mtxTransposeBB.Multiply（mtxPP）.Multiply（mtxBB）；MatrixmtxMultiplyBTPBi=mtxTransposeBBi.Multiply（mtxPPi）.Multiply（mtxBBi）；MatrixmtxMultiplyBTPB0=mtxTransposeBB0.Multiply（mtxPP0）.Multiply（mtxBB0）；Matrix mtxTransposeBB=mtxBB.Transpose（）；Matrix mtxTransposeBBi=mtxBBi.Transpose（）；Matrix mtxMultiplyBTPB0=mtxBB0.Transpose（）；Matrix mtxLiL = new Matrix（（所有观测量的个数），1）；构造线性方程组后，定义矩阵mtxResult1为方程求解的值。
方差分量的广义谱分解估计 - mathzjueducn
对方差分量的方差分析估计和谱分 解 估 计进 行 了比 较 & 给出了 两者 相等的 条件 ) 对此情形 &
P Q 在下文中 & 迹G 列 & 3 & & 3 & NJ < 8 N% N% 8 E N% N 和 N 分别表示给定矩阵 N 的转置矩阵 G O3 P 子空间 G 秩G 广义逆和 R4 广义逆 )记 T 表示到列子空间 O3 5 & 4 8 1 . 1 0 8 4 S 1 NJ N% NJ N% NAN3 上的正交投影阵 & PT V@ ) UNVW X @J N&
_ A* ^
a, A WP
则8 E 3 a %A $P [ \ ]a &
_ , _ A* 3 _ % d A e_ fQ g &g , & i a_ % & _ A, & * & b& ^ & _ _h U3 _
用 a_ 分别左乘模型 3 则得到 ^ 它们分别为 3 A, & * & " & b& % * F * % & Q*新模型 & _ ^
k 估计 & 记为 i _\ k i _ A
* d J 3 a_P T d & a_ e% l _
3 " \ m %
k 这时 l 下面我们基于 i A8 3 % P8 3 \ E a_ E a_ e% _ _ 给出方差分量的广义谱分解估计定义 ) 定义 n 满足条件 F C 若o 3 A, & * & b& % _ ^ _
" + * % . 2 在/ 的广义谱分解估计类中 (! & 最小值为 * ’ . # 1 # 方差最小 ( # $% " + * ’ . 2 在/ 最小值为 * + . ’ 的广义谱分解估计类中 ( # 1 # 方差最小 ( !& # $%
赫尔默特方差分量估计教学文案
赫尔默特方差分量估计1 赫尔默特方差分量估计我们知道，平差前观测值向量的方差阵一般是未知的，因此平差时随机模型都是使用观测值向量的权阵。
而权的确定往往都是采用经验定权，也称为随机模型的验前估计，对于同类观测值可按第一章介绍的常用定权方法定权；对于不同类的观测值，就很难合理地确定各类观测值的权。
为了合理地确定不同类观测值的权，可以根据验前估计权进行预平差，用平差后得到的观测值改正数来估计观测值的方差，根据方差的估计值重新进行定权，以改善第一次平差时权的初始值，再依据重新确定的观测值的权再次进行平差，如此重复，直到不同类观测值的权趋于合理，这种平差方法称为验后方差分量估计。
此概念最早由赫尔默特（F.R.Helmert ）在1924年提出，所以又称为赫尔默特方差分量估计。
一、赫尔默特方差分量估计公式为推导公式简便起见，设观测值由两类不同的观测量组成，不同类观测值之间认为互不相关，按间接平差时的数学模型为222111~~∆-=∆-=X B L X B L （函数模型） （8-4-1）0),(()()()()(2121122022112011=∆∆==∆==∆=--D L L D P D L D P D L D ），σσ （随机模型） （8-4-2）其误差方程为111ˆl xB V -= 权阵1P （8-4-3） 222ˆl xB V -= 权阵2P （8-4-4）作整体平差时，法方程为0ˆ=-W x N （8-4-5）式中2222111121B P B N B P B N N N N TT==+=，，2222111121l P B W l PB W W W W TT==+=，， 一般情况下，由于第一次给定的权1P 、2P 是不恰当的，或者说它们对应的单位权方差是不相等的，设为201σ和202σ，则有122022112011)()(--==P L D P L D σσ（8-4-6）但只有20202201σσσ==才认为定权合理。
基于等效残差的方差_协方差分量估计
; Ou 也给出了一种极大似
350
August 2010 Vol. 39 No. 4 AGCS
http:
xb. sinomaps. com
然 VCE 算法并证明他的算法与 H elmert 和 Koch 的极大似然迭代算法是等价的, 他还将该算法推广 到条件平差模型[ 13] ; Grodecki 给出了不需要先验 信息的极大似然估计 VCE 公式 ; Yu 同样从概 括平差模型出发, 导出了极大似然 VCE 的通用公 式
) FT = E ( uuT ) , 其中, E ( ∃ ) 是数学期
望。实际计算中, 去掉数学期望符号, 由等效残差 u 建立 VCE 基本方程 F y FT = uuT ( 10) 假设有 m 个方差 协方差元素待估, 建立它们与 协方差阵的线性模型
近年来vce再次成为测量数据处理的研究热点teunissen等系统地论述了最小二乘vcexu等讨论了方差分量的可估性问题并明确了最多只有r其中r是多余观测数26yang等在高程系统转换的collocation模型中利用vce方法求解自适应因子从而平衡了观测值和信号对参数估值的贡该方法还被成功地应用于gis误差纠正本文首先利用正交分解提取出等效残差建立vce的基本方程在给定初值的情况下导出了helmert最小二乘和minquevce的估计公式明了基于等效残差的vce公式与已有公式等价
1 n% r 1 r% r T T
S
S 2 n% t ,
V=
V 1 n% r
V 2 n% t ,
=
0
( 7) 将式 ( 6) 和式( 7) 代入式( 3) 并顾及 S- 1 = ST , 得 S1 v= 1 V1 y = 至此 , 得到了 r 个等效残差 式中, F= u= Fy = F 1 V , u 的协方差为
基于概化理论的方差分量变异量估计
and accelerated)方法进行方差分量置信区间估计。
Jackknife 方法, 也称“刀切法”, 是一种无放回
的再抽样方法。Brennan, Harris 和 Hanson (1987)研
究了用 Jackknife 方法估计方差分量及其变异量(包
括标准误及置信区间), 并将结果与 Traditional 及
等三种方法来估计基于概化理论的方差分量变异 量, 如标准误或置信区间等。Tong 和 Brennan(2006) 认为, 对方差分量变异量的估计也可以使用马尔可 夫链蒙特卡洛(Markov Chain Monte Carlo, MCMC) 方法。
Traditional 方 法 , 也 称 “ 传 统 法 ”, 是 通 过 ANOVA 技术来实现对方差分量及其变异量估计的 一种方法。GT 把数据产生的总变异分解成几个独 立的部分, 包括测量目标(经常是人)产生的变异、 测量侧面产生的变异以及它们的交互作用及残差 产生的变异, 根据这些变异可以估计出相应的方差 分量。Traditional 方法可用公式(1)估计方差分量的 标准误。对于方差分量的置信区间估计, Traditional 方法可使用 Satterthwaite 方法和 TBGJL 方法, 这两 种方法都属于传统法, 其原因在于这两种方法都要 求 数 据 服 从 正 态 分 布 (Othman, 1995, p.5)。 其 中 Satterthwaite 方法由 Satterthwaite 于 1946 年提出, 这种方法假定分数效应服从正态分布, 方差分量服 从某种自由度的χ2 分布, 根据此种分布的要求, 可 建立 100(1−α)%的置信区间。大量研究证明(Wiley, 2001; Othman, 1995), Satterthwaite 方法在大样本中 是一种较好的统计量置信区间估计方法, 但是在样 本较小或统计量为非线性相减模型时, 可能出现误 估置信区间的现象。针对 Satterthwaite 方法的不足, Ting, Burdick, Graybill, Jeyaratnam 和 Lu (1990)提 出了 TBGJL 方法。
联合平差中的方差分量估计问题的探讨
联合平差中的方差分量估计问题的探讨摘要：联合平差是一种常用的测量数据处理方法，其优点在于可以同时处理多种测量数据，提高了精度和可靠性。
然而，在实际应用中，由于各种测量数据的误差来源和特点不同，联合平差中的方差分量估计问题一直是一个难点。
本文通过对方差分量的概念和估计方法的分析，提出了一种基于加权方差分量估计的方法，并通过实例分析验证了该方法的有效性。
关键词：联合平差；方差分量；加权方差分量估计一、引言联合平差是一种常用的测量数据处理方法，其优点在于可以同时处理多种测量数据，提高了精度和可靠性。
联合平差的基本思想是将各种测量数据联合起来，通过最小二乘法求解所有未知参数，从而达到数据处理的最优化。
然而，在实际应用中，由于各种测量数据的误差来源和特点不同，联合平差中的方差分量估计问题一直是一个难点。
本文将对方差分量的概念和估计方法进行探讨，提出一种基于加权方差分量估计的方法，并通过实例分析验证其有效性。
二、方差分量的概念在联合平差中，方差分量是指各种测量数据误差的方差或协方差。
方差分量是测量数据精度的一个重要指标，直接影响到联合平差结果的精度和可靠性。
在联合平差中，方差分量通常分为内部方差分量和外部方差分量两类。
内部方差分量是指同一种测量数据的误差方差或协方差，例如，水准测量中的同一测高仪的读数误差方差。
内部方差分量是由测量仪器和人为误差引起的，可以通过实验和理论分析进行估计。
外部方差分量是指不同种测量数据之间的误差方差或协方差，例如，水准测量中的高差测量和距离测量之间的误差协方差。
外部方差分量是由地形和气象等自然因素引起的，通常无法通过实验和理论分析进行估计，只能通过实际测量数据进行估计。
三、方差分量的估计方法在联合平差中，方差分量的估计方法有很多种，常用的有最小二乘估计法、极大似然估计法、加权最小二乘估计法等。
最小二乘估计法是指在满足最小二乘原理的前提下，对方差分量进行估计。
最小二乘估计法的优点在于简单易行，但是对于外部方差分量的估计存在一定的困难。
抗差Helmert方差分量估计及其应用
提 出 了 差 Ｈｌｅ 方差分量估计 ：试算结果表 明 ， 差 Ｈ ｌｅ 方差分量估计 具有一 定的抵 枷租 差污 染的 抗 ｅ ｒ ｍｔ 抗 ｅ ｒ ｍｔ
能力 ， 用于具有 多娄或 多种精度 观州值的一 并平 差问题 中。 可
［ 关键词 ］ 参数平差 ； ｅ ｅｔ Ｈ ｌ ｒ方差分量估计 ； 差估计 ｍ 抗 ［ 中国分类号］ Ｐ０ ２７ ［ 文献标识码 ］ Ａ ［ 文章编 号］ １０ ３０ ０２ ０ —０ １ ０ ０７— ００ ２０ ）１ ０６— ３ ｃ
ｄ ｐ ，
∑＝
（） ３
差中的广泛应用 ， 近二十多年来验后估计 方差 的 方法才逐渐引起测量工作者 的重视， 并发展成为 种较 成 熟 的 合 理确 定 不 同类 观 测 值权 比的 方
一
法 这 种方法 也称 为 方差 分 量估 计 ， 它将 不 同类 观测值视 为 随机 独立 的观测 量 ， 已成功 地 应 用 于 国 内外 的有关 天文 大 地 网平 差 、 面 网与 空 间 网 地 的联合平 差之 中， 充分 显示 了这 种 方法 的 重 要性
１ 引 言
测值中含有粗差时， ｅ ｅ 方差分量估计结果尽 Ｈｌ ｒ ｍ ｔ 管也能够收敛 ， 但已严重偏离真实值 ， 这一 点已
体 现在 本文 的示 例 中。为 了减 弱 粗 差 对 Ｈ ｌ ｒ ｅ ｔ ｍｅ 方 差分量估 计结 果所 造 成 的严 重 影 响 ， 本文 结 台 抗 差估 计 原 理 ， 出 了抗 差 Ｈ ｔｅｔ 差 分 量 估 给 ｅｎｒ方 ｌ
角阵 ， 可取 双 因子 等价 权 ［ ］即 对 于 其 元 素 Ｐ ５，
有
Ｐ ＝ Ｐｔ ｎ １ ｚ √７ ｎ １） ０
７和 为 自适 应 降 权 园 子 或 收 缩 因子 ， 取 为 可 ＩＧＩ、 ｔｅ、 ａ ｐｌ Ｇ Ｉ Ｈｒ ｒＨ ｍ ｅ等降权 函数 ，如 ＩＧＩ， Ｉ ｂ Ｃ Ｉ ， Ｉ
赫尔默特方差分量估计
1 赫尔默特方差分量估计我们知道，平差前观测值向量的方差阵一般是未知的，因此平差时随机模型都是使用观测值向量的权阵。
而权的确定往往都是采用经验定权，也称为随机模型的验前估计，对于同类观测值可按第一章介绍的常用定权方法定权；对于不同类的观测值，就很难合理地确定各类观测值的权。
为了合理地确定不同类观测值的权，可以根据验前估计权进行预平差，用平差后得到的观测值改正数来估计观测值的方差，根据方差的估计值重新进行定权，以改善第一次平差时权的初始值，再依据重新确定的观测值的权再次进行平差，如此重复，直到不同类观测值的权趋于合理，这种平差方法称为验后方差分量估计。
此概念最早由赫尔默特（F.R.Helmert ）在1924年提出，所以又称为赫尔默特方差分量估计。
一、赫尔默特方差分量估计公式为推导公式简便起见，设观测值由两类不同的观测量组成，不同类观测值之间认为互不相关，按间接平差时的数学模型为222111~~∆-=∆-=X B L X B L （函数模型） （8-4-1） 0),(()()()()(2121122022112011=∆∆==∆==∆=--D L L D P D L D P D L D ），σσ （随机模型）（8-4-2）其误差方程为111ˆl xB V -= 权阵1P （8-4-3） 222ˆl xB V -= 权阵2P （8-4-4） 作整体平差时，法方程为0ˆ=-W xN （8-4-5） 式中2222111121B P B N B PB N N N N TT==+=，， 2222111121l P B W l PB W W W W TT ==+=，，一般情况下，由于第一次给定的权1P 、2P 是不恰当的，或者说它们对应的单位权方差是不相等的，设为201σ和202σ，则有122022112011)()(--==P L D P L D σσ （8-4-6）但只有20202201σσσ==才认为定权合理。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【例10-4】如图10-1边角网，C B A 、、点为已知点，E D 、为待定点，同精度独立观测了12个角度和6条边长，据分别列于表10-1和表10-2。
先验测角中误差"±=5.1βσ，先验边长测量中误差为cm S 0.2±=σ。
试按间接平差法进行赫尔默特方差分量估计，并求出：（1）观测值的方差估值；（2）待定点坐标平差值及其方差估值。
表10-1基准数据表 表10-2 观测值数据表 设置本例题的目的：理解、熟悉赫尔默特方差分量估计方法的方差估计过程。
解：分析：此题为边角网，因此，将角度、边长作为两类观测值，按照赫尔默特方差分量估计模型进行估计即可。
1．第一次平差（预平差） （1）第一次定权设"±==5.10βσσ，则（无量纲）1220==ββσσP ，)(56.00.25.12222220秒===S s P σσ（2）计算近似坐标使用余切公式由A B 、和B C 、分别计算D 近似坐标，然后取平均值作为近似坐标；由D C 、和A D 、分别计算E 近似坐标，然后取平均值作为近似坐标。
计算结果为，，；，m Y m X m Y m X D E D D 055.2944969.663552.2475923.56560000==== （3）计算误差方程的b a 、系数（见表10-3、表10-4） 方位角改正数方程：j kj k j j kj k j i kj k j i kj k j k j yS x S y S x S ˆcos 65.2062ˆsin 65.2062ˆcos 65.2062ˆsin 65.206200000000ααααδα⨯+⨯-⨯-⨯=系数量纲为：厘米秒 边长误差方程：k j k j S j k j j k j j k j j k j S l y x y x V -++--=ˆsin ˆcos ˆsin ˆcos 0000αααα（系数无量纲）（4）误差方程组成（见表10-5）角度误差方程：设编号为i 的角度，测站点点号为j ，第一照准点点号为h ，第二照准点点号为k ，则角度误差方程按下式组成i k k j k k j h h j h h j j h j k j j h j k j i h j k j i l y b x a y b x a y b b xa a l v ---++-+-=--=ˆˆˆˆˆ)(ˆ)(δαδα 其中).(00ih ik i i L l αα--=组成结果列于表7-5 边长误差方程：设编号为i 的观测边长，两端点点号为j 和k ，则角度误差方程按下式组成i i S j k j j k j j k j j k j S l y x y x V -++--=ˆsin ˆcos ˆsin ˆcos 0000αααα（系数无量纲）.0i i i S S l -=表10-5 误差方程组成表根据表10-5，可得到⎪⎭⎪⎬⎫-=-=-=P l xB V P l x B V P l x B V ˆˆˆ22221111 其中12,12114,121,0.22-0.260.080.39-0.41-0.040.330.35-0.190.30-0.410.04--0.070.180.410.040.410.04-0.150.84--0.34-0.22-0.260.8000-0.080.39-000.640.6400-0.560.25-000.260.8-000.560.2500-0.820.55E P B =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，6,6224,6256.0,0.09-1.00-0.091.000.55-0.8300-0.77-0.640000-0.980.21000.410.91-000.950.31E P B =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=212,66,12118,182100,P P P B B B（5）法方程组及解利用表10-5中误差方程数据组成法方程 0ˆ=-W x N 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛== 1.0472 0.0647 -0.2019 0.3471- 0.0647 1.4168 0.0184 0.8618- -0.2019 0.0184 3.4667 0.2814- -0.3471-0.8618-0.2814 4.3548PB B N T⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛== 2.2917- 16.2824- 0.5436 4.0296Pl B W T ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0.99520.00510.06480.08450.00510.80270.00900.15980.06480.00900.29430.02600.08450.15980.02600.26971N ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==- 2.2917-16.2824- 0.5436 4.0296ˆ1W N x bb（6）改正数计算()3.562.332.09-0.660.89-1.130.471.98-0.311.660.61- 1.751=V() 0.161.07-3.91-2.73-0.27- 1.15-2=V（7）进行赫尔默特估计⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0.99520.00510.06480.08450.00510.80270.00900.15980.06480.00900.29430.02600.08450.15980.02600.26971N ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==0.99520.00510.06480.08450.00510.80270.00900.15980.06480.00900.29430.02600.08450.15980.02600.26971111B P B N T⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛== 0.5060 0.0301- 0.0045-0.0504 0.0301- 1.1752 0.05040.5600- 0.0045-0.0504 1.14190.2097- 0.05040.5600-0.2097- 1.10222222B P B N T组成估计方程θθW S =⨯⨯1222ˆ 式中⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=----------)()(2)()()()(21212122121112111111111N N N N tr N N tr n N N N N tr N N N N tr N N N N tr N N tr n S []T202201ˆˆˆσσθ= []TT T V P V V P V W 222111=θtr(N 1N -1)2.1012 tr(N 2N -1) 1.8988根据以上数据，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3417.37595.07595.01394.9S ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=18096.1442301.35111111V PV V P V W T T θ 估计方程⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛18096.1442301.35ˆˆ3417.37595.07595.01394.9202201σσ解得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-42747.359103.318096.1442301.353417.37595.07595.01394.9ˆˆ12020S σσβ 两者之比：0.9544532第二次平差（1）计算测角和测边的方差估值由第一次平差求得的角度和边长对应的单位权方差估值，计算角度观测值和边长观测值的方差，公式为SSS P P 1ˆˆ1ˆˆ202202σσσσβββ==， 如果为不等精度观测值，则计算式为12020,12020,ˆˆˆˆ2211--====S P Q D P Q D S SS S n n SS n n σσσσβββββββ，从而求得12048.656.0142747.31ˆˆ59103.31ˆ1ˆˆ20220202=⨯===⨯==S SS P P σσσσσββββ，（2）第二次定权令220ˆβσσ=则59.012048.659103.3ˆ1ˆ220220=====S S P P σσσσββ，（3）求第二次平差的法方程、V 1T P 1V 1、V 2TP 2V 2解得V 1TP 1V 1=35.9089，V 2TP 2V 2=13.70754 （7）进行赫尔默特估计根据以上数据，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2988.37627.07627.01757.9S ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7075.139089.35111111V P V V P V W T T θ 估计方程⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7075.139089.35ˆˆ2988.37627.07627.01757.9202201σσ 解得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4729723.35718162.37075.139089.352988.37627.07627.01757.9ˆˆ12020S σσβ 两者之比为：1：0.9723273.第三次平差（1）计算测角和测边的方差估值由第二次平差求得的角度和边长对应的单位权方差估值，计算角度观测值和边长观测值的方差，公式为SSS P P 1ˆˆ1ˆˆ202202σσσσβββ==， 从而求得886393729.559.014729723.31ˆˆ5718162.31ˆ1ˆˆ20220202=⨯===⨯==S SS P P σσσσσββββ，（2）第三次定权 令220ˆβσσ=则61.0886393729.55718162.3ˆ1ˆ220220=====S S P P σσσσββ，（3）求第三次平差的法方程、V 1T P 1V 1、V 2TP 2V 2解得111222（7）进行赫尔默特估计根据以上数据，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2715.37646.07646.01993.9S ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=41716.1321996.36111111V P V V P V W T T θ V 1T P 1V 1 V 2T P 2V 236.21996 13.41716V 1T P 1V 1=36.21996，V 2T P 2V 2=13.41716估计方程⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛41716.1321996.36ˆˆ2715.37646.07646.01993.9202201σσ 解得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-502829.355947.341716.1321996.362715.37646.07646.01993.9ˆˆ12020S σσβ 即502829.3ˆ55947.3ˆ2020==S σσβ，两者之比为：0.9840871ˆˆ2020：：=S σσβ4．第四次平差（1）计算测角和测边的方差估值由第三次平差求得502829.3ˆ55947.3ˆ2020==S σσβ， 742342623.561.01502829.31ˆˆ55947.31ˆ1ˆˆ20220202=⨯===⨯==S SS P P σσσσσββββ，（2）第四次定权 令220ˆβσσ=则62.0742342623.555947.3ˆ1ˆ220220=====S S P P σσσσββ，（3）求第四次平差的法方程、V 1TP 1V 1、V 2TP 2V 2解得V 1TP 1V 1=36.37183，V 2TP 2V 2=13.27887 （7）进行赫尔默特估计根据以上数据，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 3.25820.76550.76559.2109S ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=13.2788736.37183111111V P V V P V W T T θ 估计方程⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13.2788736.37183ˆˆ3.25820.76550.76559.2109202201σσ 解得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 3.5176053.5534413.2788736.371833.25820.76550.76559.2109ˆˆ12020S σσβ 即3.517605ˆ3.55344ˆ2020==S σσβ， 两者之比为：0.9899150.9899151ˆˆ2020：：=S σσβ 5．第五次平差（1）计算测角和测边的方差估值由第四次平差求得673556452.562.013.5176051ˆˆ3.553441ˆ1ˆˆ20220202=⨯===⨯==S SS P P σσσσσββββ，（2）第四次定权 令220ˆβσσ=则63.0673556452.53.55344ˆ1ˆ220220=====S S P P σσσσββ，（3）求第五次平差的法方程、V 1TP 1V 1、V 2TP 2V 2解得111222（7）进行赫尔默特估计S -1 W 0.1106 -0.0261 35.42301 -0.0261 0.3143 14.18096S9.2224 0.7662 0.7662 3.2451根据以上数据，求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 3.24510.76620.76629.2224 S ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=14.1809635.42301111111V P V V P V W T T θ 估计方程⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14.1809635.42301ˆˆ3.24510.76620.76629.2224 202201σσ 解得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 3.5322813.54750214.1809635.423013.24510.76620.76629.2224 ˆˆ12020S σσβ 即3.532281ˆ3.547502ˆ2020==S σσβ， 两者之比为：0.9899150.9957091ˆˆ2020：：=S σσβ 6．第六次平差（1）计算测角和测边的方差估值由第五次平差求得606795238.563.013.5322811ˆˆ3.5475021ˆ1ˆˆ20220202=⨯===⨯==S SS P P σσσσσββββ，（2）第wu 次定权令220ˆβσσ=则63.0606795238.53.547502ˆ1ˆ220220=====S S P P σσσσββ，可以看出，经过5次迭代计算，权已稳定，因此，可取第5次平差结果作为最后结果，已没有必要再继续做下去。