验后方差分量估计
后验误差估计 (2)
m 是正整数,考虑下述2m 阶椭圆特征值问题:11(1),0m m m m u u in u uu on λνν--⎧-∆=Ω⎪⎨∂∂====Ω⎪∂∂⎩(1)这里,Ω是n R 中的一个有界区域. 定义1111,,(,)m m mmmj j nj j j j uva u v dx x x x x Ω≤≤∂∂=∂∂∂∂∑⎰(,)b u v uvdx Ω=⎰.buu=则问题(1)的弱形式为:求0(,)(),1mbu R H u λ∈⨯Ω=使得0(,)(,),()ma u vb u v v H λ=∀∈Ω (2)易知(,)a ⋅⋅是00()()mmH H Ω⨯Ω上对称、连续、椭圆双线性形式. 设h T 是Ω的正规单纯形剖分, 00()hhmS S H =Ω 这里()m P κ是κ上的m 次多项式空间.问题(1)的协调有限元近似为:求0(,),1hh h h bu R S u λ∈⨯=使得0(,)(,),hh h h a u v b u v v S λ=∀∈ (3)设D ⊂Ω,定义()(,)D Da dx ⋅⋅=⎰ ,12,(,)D a Da ⋅=⋅⋅.定义2020:()(),:()mhh A L H A L S Ω→ΩΩ→, 20(,)(,),(),()ma Af vb f v f L v H =∀∈Ω∀∈Ω 20(,)(,),(),h h a A f v b f v f L v S =∀∈Ω∀∈显然,(2)和(3)分别等价于Au u λ= (4) 和h h h h A u u λ= (5)令λ表示(2)的第k 个特征值,()M λ表示相应于λ的特征函数空间,(,)h h u λ表示(3)的第k 个特征对.考虑问题(1)对应的边值问题及其有限元近似:求0()mw H ∈Ω使得0(,)(,),()ma w vb f v v H =∀∈Ω (6)求0hh w S ∈使得0(,)(,),hh a w v b f v v S =∀∈ (7)由A 和h A 的定义知h h h Au u λ=和h h h h A u u λ=分别(4)和(5)的解. 记 020(),1()supinf h av S f L fh Af vρΩ∈∈Ω==-下述定理成立:定理1: 令(,)h h u λ是(3)的第k 个特征对, 1hbu =,λ是(2)的第k 个特征值,则存在()u M λ∈,1bu=,使得,,()()(())hh h h ha D a D au u A A u h u u λορΩ-=-+-, (8)2(()(),()())(())h h h h h h h ha a A A u A A u h u u λλλλορΩ-=--+-. (9) 边值问题(6)有下列后验误差估计:对于非负整数k ,令(),.kh h v H T ∈∈T T 对于T 的面F 和,k α<定义v α∂通过F 的跳跃v α⎡⎤∂⎣⎦如下:当F 是单元内面时, ()(),T Tv v v ααα'⎡⎤∂=∂-∂⎣⎦ 其中,,h T T T ''∈≠T 并且;F T T '= 当F 是自由面时,().Tv v αα⎡⎤∂=∂⎣⎦ 对于,hh h v S T T ∈∈和非负整数i ,定义 2,0,,(),T i h hFi F T F R v v αα=⊂∂⊄∂Ω=∂∑∑(10)其中,F T F ⊂∂⊄∂Ω∑表示对T 的所有单元内面求和.对于,hh h v S T T ∈∈定义212()1,()(),m i m nT h T i h i m R v TR v --+==∑(11)220,()(1)()m m mnT h hT h TE v T f v R v =--∆+. (12)定理2: 设存在整数r m ≥,使得对F 中的任意有限元(,,)T T T P D 都有()r T P T P ⊂.则对问题(6)和问题(7)的解u 和h u , 2,().hhT h m T u u CE u Ω∈-≤∑T (13)如果()r m w H +∈Ω,并且存在0s r <≤,使得 1,,shm u u C h Ω-≥ (14)其中,1C 是与h 无关的正常数,则存在与h 无关的常数2C ,使得22,().hT h hm T E u C u u Ω∈≤-∑T (15)因此,可定义误差指示子12()().h h T h T u E u ε∈⎛⎫= ⎪⎝⎭∑T推论1 令(,)h h u λ是(3)的第k 个特征对, 1hbu =,λ是(2)的第k 个特征值,则存在()u M λ∈,1bu=,使得()hh au u C u ε-≤ (16)2()h h C u λλε-≤ (17) 其中, ()h w ε中的h h f u λ=. 下面先考虑1m =(即二阶)的情形:120,,(),nT h hFF T F R u Tu ⊂∂⊄∂Ω=∂∑220,()()nT h hT h TE u Tf u R u =+∆+取h h f u λ=, 则 0h f u +∆= ()()T h T h E u R u = 所以其误差指示子111222120,,()()()h h h nh T h T h hFT T T F T F u E u R u Tu ε∈∈∈⊂∂⊄∂Ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===∂ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑T T T引理1:对任意h T ∈T ,{}22210,0,1,TT TTT vC h vh v -∂≤+, 1()v H T ∀∈ (9)引理2:设存在整数1r m ≥-,使得对F 中的任意有限元(,,)T T T P D 都有()r T P T P ⊂.则对问题(5)的解h w 和任意0(),mv H ∈Ω12,(,)(,)()h h T h m T f v a w v C v E w Ω∈⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭∑T (10)。
8 平差随机模型的验后估计
则有：
N B PB B P B B P2 B2
T T 1 1 1 T 2
N1 N 2 W B PL B P L B P2 L2
T T 1 1 1 T 2
W1 W2
一般说，第一次平差给出的两类观测值的权P1 、P2是不准确的，或者说，两类观测值的单位 权方差实际是不相等的。为此，令其分别为 σ012和σ022，则有：
tr ( N 1 N 2 N 1 N1 )
或者，写为
W
21
2 2 21
ˆ S
则得方差分量估值公式为：
2 1 01 ˆS W 2 02
将两类观测值扩展到m类观测值、或m个精度 等级观测量的情况，对应的公式见课本。 •
m m m 1
随机模型(不考虑X的随机性）
误差方程
法方程及其解
ˆ L V BX
1 ˆ ˆ NX W，X N W
现设L中包含有两类相互独立的观测值L1、L2， 即： T
L L1 L2
P PL 1 0
0 P2
V1 B1 ˆ L1 V X V2 B2 L2
E （V1T PV ） tr ( PD 1 1 1 V1 )
同理，可得：
2 2 02 tr ( N 1 N1 N 1 N 2 ) n2 2tr ( N 1N2 ) tr ( N 1N2 N 1N2 ) 01
E （V2T PV tr ( P2 DV2 ) 2 2）
随机模型的验前估算方法:
随机模型的验前估算主要是为了确定观测值的权； 根据权定义、或常用定权方法计算观测值的权：
赫尔默特方差分量估计教学文案
赫尔默特方差分量估计1 赫尔默特方差分量估计我们知道，平差前观测值向量的方差阵一般是未知的，因此平差时随机模型都是使用观测值向量的权阵。
而权的确定往往都是采用经验定权，也称为随机模型的验前估计，对于同类观测值可按第一章介绍的常用定权方法定权；对于不同类的观测值，就很难合理地确定各类观测值的权。
为了合理地确定不同类观测值的权，可以根据验前估计权进行预平差，用平差后得到的观测值改正数来估计观测值的方差，根据方差的估计值重新进行定权，以改善第一次平差时权的初始值，再依据重新确定的观测值的权再次进行平差，如此重复，直到不同类观测值的权趋于合理，这种平差方法称为验后方差分量估计。
此概念最早由赫尔默特（F.R.Helmert ）在1924年提出，所以又称为赫尔默特方差分量估计。
一、赫尔默特方差分量估计公式为推导公式简便起见，设观测值由两类不同的观测量组成，不同类观测值之间认为互不相关，按间接平差时的数学模型为222111~~∆-=∆-=X B L X B L （函数模型） （8-4-1）0),(()()()()(2121122022112011=∆∆==∆==∆=--D L L D P D L D P D L D ），σσ （随机模型） （8-4-2）其误差方程为111ˆl xB V -= 权阵1P （8-4-3） 222ˆl xB V -= 权阵2P （8-4-4）作整体平差时，法方程为0ˆ=-W x N （8-4-5）式中2222111121B P B N B P B N N N N TT==+=，，2222111121l P B W l PB W W W W TT==+=，， 一般情况下，由于第一次给定的权1P 、2P 是不恰当的，或者说它们对应的单位权方差是不相等的，设为201σ和202σ，则有122022112011)()(--==P L D P L D σσ（8-4-6）但只有20202201σσσ==才认为定权合理。
基于改进IGGⅢ方案的稳健Helmert方差分量估计
第14卷第1期2019年1月Vol.14No.1Jan.2019中国科技论文CHINASCIENCEPAPER基于改进IGGM 方案的稳健Helmert 方差分量估计成 枢，马卫骄，赵燕红，牛英杰(山东科技大学测绘科学与工程学院，山东青岛266590)摘要:针对不同精度或不同类别的观测数据中存在粗差的问题，基于最小二乘原理的方差分量估计不具备稳健性，需要使用等价权函数代替权函数提高抗差能力。
基于IGG(等价权函数的性质，提出2种等价权函数的改进方案：首先，对IGG (方案的 调节因子部分进行改进;其次，考虑到固定临界值问题，在临界值基础上乘以一个可变因子调节临界值。
通过模拟边角网验证 改进稳健Helmert 方差分量估计的可行性。
实验结果表C ,相对IGG (方案,2种改进方案的稳健Helmert 方差分量估计计算 的点位稳定性较高，具有更高的抗差能力。
关键词:IGG (方案；稳健方差分量估计；临界值；边角网中图分类号：P207. 2 文献标志码：A文章编号：2095 - 2783(2019)01 - 0051 - 05Robust Helmert variance component estimation based on improved IGG! schemeCHENG Shu, MA Weijiao , ZHAO Yanhong, NIU Yingjie{College of Geomaics , Shandong University of Science and Technology , Qingdao , Shandong 266590, China}Abstract : For gross error in different precision or different categories of observation data, since the estimation of variance compo- nentsbased0nleastsquaresisn0tr0bust #theequivalentweightfuncti0nisusedinstead0ftheweightfuncti0nt0impr0vether0- bustness. Two kinds of improved equivalent weight functions are proposed based on the properties of IGG( equivalent weight function Regulator part of the IGG( project is improved. The critical value based on a variable quality factor is taken into account for the fixed critical value. The feasibility of the improved robust Helmert variance component estimation is verified by sim ulating the triangulateration net. The experimental results show that , compared with the IGG( scheme , the robust Helmert va- riancecomponenOesimaionofOheOwoimprovedschemeshashighersOabiliyandhigherrobusOness.Keywords : IGG( scheme ； robust variance component estimation ； critical value ； triangulateration net随着测绘技术的发展，近代测量平差的处理对 象从单一同类观测量扩展至不同种类、不同精度的观测量口*,例如：在导航定位的研究中，随着卫星数 目的增加，出现了 GPS/BDS 或GPS/GLONASS 以及BDS/GPS/GLONASS 组合精密单点定位技 术24* ；在处理卫星影像时,为克服摄影漏洞、云遮挡 等特殊困难情况，建立多源遥感影像联合平差模型5;在不同坐标系之间建立模型求取转换参数 等67。
第3章 平差随机模型的验后估计概况
第三章 平差随机模型的验后估计3－1 概述众所周知，一个平差问题必须首先建立改平差问题的数学模型，平差的数学模型包括函数模型和随机模型两类。
描述平差问题中观测量与观测量之间、观测量与未知参数之间相互关系的函数表达式，称平差函数模型。
随机模型是描述观测误差∆的一些随机特征，在平差中主要是∆的数学期望和方差，具有0)(=∆E （3-1-1）和10202)(-==∆P Q D σσ （3-1-2）（3-1-1）式表明观测误差中不含系统误差和粗差，是一般情况下最小二乘平差的要求（3-1-2）式式平差时定权的根据。
平差前，随机模型要已知)(∆D ，称为验前方差。
只有精确地已知验前方差)(∆D 才能精确地定权，所以随机模型的估计，就是验前方差)(∆D 的估计，也就是观测值权的估计。
过去很长的时间，平差都在单一的同类观测量中进行，例如测角网平差，水准网平差。
定权可从定义式（3-1-2）出发，采用测量平差中常用方法定权，例如，水准高差按路线长度倒数定权等。
随着平差对象从单一同类观测量扩展为不同类的多种观测量，一般，它们的验前方差又不能都已知，如果能精确地估计它们的方差，达到精确地定权就需要深入研究了。
所以，近20年来国内外测量界把平差随机模型的估计作为主要课题进行研究，取得了丰富的成果。
对不同类的观测量，一般采用经验公式定权，即根据仪器出厂标明的标称精度估算各自的方差，然后再按定义式（3-1-2）定权。
例如在边角同测的控制网中，测距仪给出的测边中误差标称精度公式为)(i i bs +±=ασ测角中误差为βσ（按规范），以i σ和βσ为测边和测角的验前方差定权，得122==βββσσP)/)'('(2222cm P iiss 单位：σσβ=在卫星网与地面网、重力网与水准网的联合平差，摄影测量与大地测量数据联合处理中，也可按上述经验公式的方法定权。
这种估计验前方差确定各类观测量权的方法，时间证明，在许多情况下是不够精确的。
第三章平差随机模型的验后估计
V1 X
n1
n1
, P A
n1 n
nn
则：
E(V P V1 ) tr ( P V1 )) 1 1D(
T 1
2 01 1 1 T 1 1 T 1 1 1
D(V1 ) ( A1 N N1 N A 2 A1 N A P ) ( A1 N N 2 N A )
随机模型是描述平差问题中的随机量（如观测 量）及其相互间统计相关性质的模型。
函数模型: 随机模型:
n1
L AX
nu u 1
,
n1
E[ L] AX
2 0
E[] 0
2 0 1
D Q P
R（A）=U
T
R（Q）=n
X为非随机参数
T ˆ ˆ L) min V PV ( AX L) P( AX
ˆ ( AT PA) 1 AT P N 1 AT P X ˆ ( L - AXo ) V AX ˆ LV L 1 QX ˆX ˆ N T V PV 2 ˆ0 nu 2 D Xˆ 0 Q XˆXˆ
2
2 01
2 02
T 寻找：残差平方和 V1T P 、 与 2 、0 V V 2 P 2V2 1 1
2
2
之间的关系式。
01
二次型函数数学期望公式：
E ( X AX ) tr ( AD( X )) E ( X ) AE( X )
T T
X 的数学期望 E( X ) ，方差 D( X ) n1
N 1 A1
t *t
t *n1 T
P 1 A1
n1 *t
N 2 A2
方差分量估计在机载InSAR区域网平差中的应用
方差分量估计在机载InSAR区域网平差中的应用熊新;靳国旺;张红敏;徐青【摘要】Based on the idea of posterior variance component estimation,aiming at the problem that variance component for each observation component can't be estimated directly,the theory of weights determination for airborne InSAR interferometric parameters calibration with block adjustment is studied and the corresponding calibration method is designed on the basis of the extended model of variance components estimation of Helmert type.Calibration experiments performed on Chinese dual antenna airborne InSAR data confirm that the calibration schemes with posterior variance component estimated can take generation accuracy and mosaic accuracy of DEM into account reasonably.%基于验后方差分量估计的思想,针对观测值中各类观测分量的方差难以直接估计的问题,研究了机载InSAR区域网平差干涉参数定标权值确定理论,设计了利用Helmert方差分量估计扩展模型的机载InSAR区域网平差干涉参数定标权值确定方法.采用我国机载双天线InSAR数据进行相关试验,表明验后估计定权能合理地顾及DEM的生成精度和拼接精度.【期刊名称】《测绘学报》【年(卷),期】2016(045)005【总页数】9页(P592-600)【关键词】合成孔径雷达干涉测量;Helmert;干涉参数;区域网平差;定权【作者】熊新;靳国旺;张红敏;徐青【作者单位】信息工程大学地理空间信息学院,河南郑州 450001;信息工程大学地理空间信息学院,河南郑州 450001;中国测绘科学研究院,北京 100039;信息工程大学地理空间信息学院,河南郑州 450001;信息工程大学地理空间信息学院,河南郑州 450001【正文语种】中文【中图分类】P231合成孔径雷达干涉测量(interferometric synthetic aperture radar，InSAR)是一种获取大规模、高精度数字高程模型(digital elevation model，DEM)的有效手段。
方差分量估计前提初探
方差分量估计前提初探
方差分量估计前提初探
根据方差分量估计理论,即使随机模型本身已经正确,方差分量估计也会得到不同于通常意义上的最优线性无偏最小二乘估计.此外,由于方差分量估计计算工作量一般较大,因此,本文提出了利用统计检验方法来判断是否进行方差分量估计的想法,并进行了初步研究.
作者：刘长建柴洪洲吴洪举马高峰谷跃张前恩 LIU Chang-jian CHAI Hong-zhou WU Hong-ju MA Gao-feng GU Yue ZHANG Qian-en 作者单位：刘长建,柴洪洲,吴洪举,马高峰,LIU Chang-jian,CHAI Hong-zhou,WU Hong-ju,MA Gao-feng(信息工程大学,测绘学院,郑州,450052)
谷跃,张前恩,GU Yue,ZHANG Qian-en(成都军区测绘大队,成都,610034)
刊名：测绘科学ISTIC PKU英文刊名：SCIENCE OF SURVEYING AND MAPPING 年，卷(期)：2009 34(3) 分类号：P207 关键词：方差分量估计前提随机模型函数模型。