定积分的近似计算以及误差估计
定积分的计算方法解读
定积分的计算方法解读一、基本的定积分计算方法基本的定积分计算方法是通过求解不定积分，并且利用定积分的几何意义来计算。
1.1不定积分的计算首先，我们需要求解不定积分，即求解函数的原函数。
根据不同函数的性质，可以使用不同的计算方法。
常见的计算方法有：-代数法则：应用常见的代数运算法则对函数进行化简；-微分换元法：利用导数的链式法则和不同函数关系的微分公式，将被积函数中其中一个部分进行替换，从而得到更好求解的函数；-分部积分法：将不定积分中的两个函数进行分别求导和求积，从而将原始的积分问题转化为更简单的积分问题；-凑微分法：通过改变函数中的项与具体的微分形式相同，从而达到简化函数的目的。
1.2几何意义的计算定积分的几何意义是曲线下其中一区域的面积。
欲计算定积分，可以通过将被积函数绘制成曲线，并根据几何图形的特征，切割成一个个微小的面积元素，然后将这些微小的面积元素进行求和。
对于一般曲线，如果可以获取到其解析式，可以通过求积分得到几何形状的面积。
对于一些特殊的曲线如圆或椭圆，利用几何知识可以直接得到其面积公式。
除了曲线的面积，我们还可以通过定积分来计算其中一区间上的弧长。
对于一条参数方程所表示的曲线，可以通过对弧长微元进行求和，从而得到整条曲线的弧长。
二、数值积分的计算方法当函数的原函数无法用元函数表示或无法进行积分计算时，我们可以通过数值积分的方法来近似计算定积分的值。
2.1矩形法矩形法是最简单的数值积分方法之一、它将区域切割成若干个矩形，并且通过计算这些矩形的面积来进行近似计算。
矩形法分为两种情况：左矩形法和右矩形法。
左矩形法使用矩形左下角的值来近似曲线下的面积，右矩形法使用矩形右下角的值来近似曲线下的面积。
2.2梯形法梯形法是一种更加精确的数值积分方法。
它将区域切割成若干个梯形，并通过每个梯形的面积之和来进行近似计算。
梯形法的计算公式为：$\int_a^b f(x) \, dx \approx \frac{h}{2}\left[f(a) +2\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k) + f(b)\right]$，其中$h=\frac{b-a}{n}$，$x_k=a+kh$。
分别利用矩形法梯形法辛普森法对定积分进行近似计算并比较计算效果
分别利用矩形法梯形法辛普森法对定积分进行近似计算并比较计算效果定积分是微积分中重要的概念之一，表示在一个区间上函数的面积。
在计算定积分时，有时候我们无法通过解析方法求得精确的结果，这时候可以利用数值方法来进行近似计算。
常见的数值方法包括矩形法、梯形法和辛普森法。
本文将分别对这三种方法进行介绍并进行比较。
1.矩形法（矩形近似法）：矩形法是最简单的数值方法之一，它的基本思想是将函数曲线上每个小区间的面积近似为一个矩形的面积，然后将这些矩形的面积相加，即可得到函数曲线下的面积。
根据矩形法的计算公式可以得到：∫f(x)dx ≈ Δx·(f(x₁)+f(x₂)+...+f(xₙ))其中，Δx为区间的长度，f(x)为函数在区间上的值。
2.梯形法（梯形近似法）：梯形法同样是利用近似的思想，将函数曲线上每个小区间的面积近似为一个梯形的面积，然后将这些梯形的面积相加，即可得到函数曲线下的面积。
梯形法的计算公式为：∫f(x)dx ≈ （Δx/2）·[f(x₀)+2f(x₁)+2f(x₂)+...+2f(xₙ-1)+f(xₙ)]其中，Δx为区间的长度，f(x)为函数在区间上的值。
3.辛普森法（抛物线近似法）：辛普森法是一种基于三次多项式插值的数值积分方法，它通过将函数曲线上每个小区间的面积近似为一个抛物线的面积，然后将这些抛物线的面积相加，即可得到函数曲线下的面积。
辛普森法的计算公式为：∫f(x)dx ≈ （Δx/3）·[f(x₀)+4f(x₁)+f(x₂)+4f(x₃)+...+4f(xₙ-1)+f(xₙ)]其中，Δx为区间的长度，f(x)为函数在区间上的值。
例：计算函数f(x)=√(1+x²)在区间[0,1]上的定积分。
接下来，我们分别利用矩形法、梯形法和辛普森法对这个定积分进行近似计算，并比较计算结果。
1)矩形法：将区间[0,1]平均分为n个小区间，取xᵢ=i/n，其中i=0,1,2,...,n。
定积分
第五章定积分一、教材分析定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题。
古希腊阿基米德用“穷竭法”，我国古代刘徽用“割圆术”，都曾解决过一些面积和体积问题，这些都是定积分的雏形。
直到17世纪中叶，牛顿和莱布尼兹先后提出了定积分的概念，并发现了积分与微分之间的内在联系，给出了计算定积分的N—L公式，从而才使定积分成为解决有关实际问题的有力工具。
定积分是积分学的一个基本概念，后续的重积分、曲线积分和曲面积分都是在定积分基础上的推广。
因此，本章在积分学中占有重要的基础地位。
定积分概念的形成反映了微积分的重要思想，定积分的计算则依赖于N—L公式。
二、教学要求1、理解定积分的概念及性质2、熟练掌握定积分的换元法和分部积分法。
3、理解积分上限函数及其求导定理。
熟悉牛顿（Newton）-莱布尼兹（Leibniz）公式。
4、了解反常积分的概念5、知道定积分的近似计算法（梯形法和抛物线法）三、教学重点与难点重点：定积分的概念及性质、N—L公式、定积分的换元法和分部积分法难点：积分上限函数及其求导定理、反常积分。
四、教学内容及课时划分§5—1 定积分的概念与性质 3课时§5—2 微积分基本公式 2课时§5—3 定积分的换元法和分部积分法 3课时§5—4 反常积分 2课时习题课 2课时合计 12课时五、本章知识结构图第一节 定积分的概念与性质教学目的：1．理解定积分的定义 2．掌握定积分的性质 教学重点、难点：1．重点：定积分的概念的形成 2．难点：用定积分定义求定积分 教学课时：3 教学过程：一、定积分问题举例：1、曲边梯形面积设)(x f y =在 []b a ,上非负、连续，由直线x = a, x = b, y = 0 及曲线)(x f y =所围成的图形，称为曲边梯形。
求曲边梯形的面积：在区间 [a,b] 中任意插入若干个分点b x x x x x a n n =<<<<=-1210 ，把[a,b]分成n 个小区间[10,x x ],[21,x x ], … [n n x x ,1-],它们的长度依次为： 1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x经过每一个分点作平行于y 轴的直线段，把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形，在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i ξ，以[i i x x ,1-]为底，)(i f ξ为高的窄边矩形近似替代第i 个窄边梯形（i=1,2,…,n ）,把这样得到的n 个窄矩形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值，即n n i x f x f x f A ∆++∆+∆≈)()()(221ξξξ =∑=∆ni i i x f 1)(ξ设{}0,,,max 21→∆∆∆=λλn x x x 时，可得曲边梯形的面积∑=→∆=ni i i A x f A 10)(lim ξ2、变速直线运动的路程设某物体作直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔[21,T T ]上t 的连续函数，且)0(≥t v ，计算在这段时间内物体所经过的路程S在[21,T T ]内任意插入若干个分点212101T t t t t t T n n =<<<<=-把[21,T T ]分成n 个小段 [10,t t ]，[21,t t ]，…， [n n t t ,1-]各小段时间长依次为：,,,,1122011--=∆-=∆-=∆n n n t t t t t t t t t 相应各段的路程为：n S S S ∆∆∆,,,21在[i i t t ,1-]上任取一个时刻1()i i i i t t ττ-≤≤，以i τ时的速度()i v τ来代替[i i t t ,1-]上各个时刻的速度，则得：()i i i S v t τ∆≈∆ ),,2,1(n i = 进一步得到：1122()()()n n S v t v t v t τττ≈∆+∆++∆ =1()ni i i v t τ=∆∑设{}0,,,,max 21→∆∆∆=λλ当n t t t 时，得： 01l i m ()ni i i S v tλτ→==∆∑ 二、定积分的定义由上述两例可见，虽然所计算的量不同，但它们都决定于一个函数及其自变量的变化区间，其次它们的计算方法与步骤都相同，即归纳为一种和式极限，即面积∑=→∆=ni i i x f A 10)(lim ξλ，路程01lim ()ni i i S v t λτ→==∆∑.将这种方法加以精确叙述得到定积分的定义定义 设函数],[)(b a x f 在上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 把区间[a,b]分成n 个小区间],,[,],,[],,[12110n n x x x x x x -各个小区间的长度依次为1122011,,,--=∆-=∆-=∆n n n x x x x x x x x x . 在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点1()i i i i x x ξξ-≤≤,作函数值)(i f ε与小区间长度i x ∆的乘积()(1,2,,),i i f x i n ξ∆= 并作出和1()ni i i S f x ξ==∆∑.记},,,max{21n x x x ∆∆∆= λ,如果不论对[a,b]怎样分法,也不论在小区间[i i x x ,1-]上点i ξ怎样取法,只要当1→λ时,和S 总趋于确定的极限I ,这时我们称这个极限I 为函数)(x f 在区间[a,b]上的定积分(简称积分), 记作⎰badx x f )(,即⎰badx x f )(=I =01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑,其中)(x f 叫做被积函数, dx x f )(叫做被积表达式,x 叫做积分变量,a 叫做积分下限,b 叫做积分上限, [a,b]叫做积分区间.注意：积分与积分变量无关，即：⎰⎰⎰==bab abadu u f dt t f dx x f )()()(函数可积的两个充分条件：定理1 设],[)(b a x f 在上连续，则)(x f 在[a,b]上可积。
定积分分割近似求和取极限
定积分分割近似求和取极限定积分是微积分中的一个重要概念，它表示曲线与x轴之间的面积。
在实际应用中，我们经常需要对曲线下的面积进行计算，这时就需要用到定积分。
定积分的求解方法有很多种，其中一种常用的方法是分割近似求和取极限。
分割近似求和取极限的方法是将曲线分成若干个小区间，然后在每个小区间内取一个代表点，将这些代表点的函数值相加，最后再将这些和的极限值作为定积分的值。
这个方法的基本思想是将曲线分成无限小的小区间，然后在每个小区间内用一个代表点来近似表示整个小区间的函数值，最后将所有小区间的函数值相加，得到整个曲线下的面积。
具体来说，我们可以将曲线分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，然后在每个小区间内取一个代表点xi，将这些代表点的函数值f(xi)相加，得到一个和S。
随着n的增大，Δx会越来越小，代表点的数量也会越来越多，这样得到的和S也会越来越接近曲线下的面积，最终将n趋近于无穷大，得到的和S就是定积分的值。
分割近似求和取极限的方法可以用数学公式来表示，即：∫a^b f(x)dx = lim(n→∞) Σ(i=1 to n) f(xi)Δx其中，a和b是积分区间的端点，f(x)是被积函数，Δx是小区间的长度，xi是每个小区间内的代表点。
分割近似求和取极限的方法虽然比较简单，但是需要注意的是，当小区间的数量n很大时，计算量会非常大，而且误差也会比较大。
因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况来选择合适的分割方法和代表点，以保证计算结果的准确性和精度。
总之，分割近似求和取极限是一种常用的定积分求解方法，它的基本思想是将曲线分成若干个小区间，然后在每个小区间内取一个代表点，将这些代表点的函数值相加，最后再将这些和的极限值作为定积分的值。
这个方法虽然比较简单，但是需要注意计算量和误差问题，以保证计算结果的准确性和精度。
复化辛普森公式实验报告
复化辛普森公式实验报告
复化辛普森公式是数值积分中一种常用的方法，用于计算定积分的近似值。
在实验报告中，通常会包括以下内容：
1. 引言，介绍复化辛普森公式的背景和意义，说明为什么要进行这个实验以及实验的目的和意义。
2. 理论基础，详细介绍复化辛普森公式的原理和推导过程，包括如何将定积分转化为复化求和的形式，以及辛普森公式的误差估计等内容。
3. 实验设计，描述实验的具体步骤和方法，包括选择的函数、积分区间的确定、分割数的选择等。
4. 实验结果，给出实验所得的数值结果，包括原函数的近似积分值以及相应的误差估计。
5. 讨论与分析，对实验结果进行分析，比较实验结果与精确值的差异，讨论误差的来源和可能的改进方法。
6. 结论，总结实验的结果，总结实验的主要发现和得出的结论，提出可能的改进方向和未来的研究方向。
以上是一份完整的复化辛普森公式实验报告的一般结构，您可
以根据实际情况适当调整和完善。
几种定积分的数值计算方法
几种定积分的数值计算方法一、梯形法则（Trapezoidal Rule）：梯形法则是一种常见的确定积分的数值计算方法。
它的基本思想是通过将函数曲线上的曲线段看作是一系列梯形，然后计算这些梯形的面积之和来近似表示定积分的值。
具体来说，我们将定积分区间[a,b]均匀地划分为n个小区间，每个小区间的宽度为h=(b-a)/n，然后计算每个小区间内的梯形面积，再将这些面积相加即可得到定积分的近似值。
梯形法则的公式如下：∫(a to b) f(x) dx ≈ h/2 * (f(a) + 2f(a+h) + 2f(a+2h) + ... + 2f(a+(n-1)h) + f(b))梯形法则的优点是简单易懂，容易实现，并且对于一般的函数都能达到较好的近似效果。
然而，它的缺点是精度较低，需要较大的划分数n才能得到较准确的结果。
二、辛普森法则（Simpson's Rule）：辛普森法则是一种比梯形法则更高级的确定积分方法，它通过将函数曲线上的曲线段看作是由一系列抛物线组成的，然后计算这些抛物线的面积之和来近似表示定积分的值。
与梯形法则类似，我们将定积分区间[a,b]均匀地划分为n个小区间，每个小区间的宽度为h=(b-a)/n，然后计算每两个相邻小区间内的抛物线面积，再将这些面积相加即可得到定积分的近似值。
辛普森法则的公式如下：∫(a to b) f(x) dx ≈ h/3 * (f(a) + 4f(a+h) + 2f(a+2h) +4f(a+3h) + ... + 2f(a+(n-2)h) + 4f(a+(n-1)h) + f(b))辛普森法则相较于梯形法则具有更高的精度，尤其对于二次或更低次的多项式函数来说，可以得到非常准确的结果。
但是，辛普森法则在处理高次多项式或非多项式函数时可能会出现误差较大的情况。
三、高斯求积法（Gaussian Quadrature）：高斯求积法是一种基于插值多项式的数值积分方法。
定积分的近似计算之矩形法
知识文库 第14期189定积分的近似计算之矩形法李 喆一、新课导入上节课我们学习了定积分的定义，由定积分的定义可知，通过求特定和式的极限，可以计算定积分，然而在许多实际应用中，被积函数没有解析表达式，仅仅是一组离散采样值，这时只能利用近似方法计算定积分的近似值，计算定积分的近似值方法非常多，本节课学习其中最基础的一种方法，矩形法。
二、引例首先看一个具体的例子，汽车做直线运动，用84s 的时间从起点到终点，每隔6s 用雷达测速仪测速度(见下表)， 求起点到终点的距离。
it iv分析：汽车从起点到终点的运动过程分为14个小时间段，每个时间段都是6s, 总距离为这14个小时间段所走过的距离之和。
在每个小时间段，汽车做变速直线运动，仅知道左端点和右端点的瞬时速度，方案一：用每个时间段左端点的速度近似这个小时间段的平均速度，左端点速度乘以小时间段的长度近似代替该小时间段汽车所走过的距离，求和累加，从而得到总距离的近似值。
方案二：用每个小时间段右端点的速度近似这个小时间段的平均速度，右端点速度*小时间段的长度，近似代替该小时间段汽车所走过的距离，求和累加，得到总距离的近似值。
借助于这种方法，来解决连续量的定积分的近似计算问题。
三、知识点回顾回顾定积分的定义，由定积分的定义给出定积分的近似计算公式，1()()nbi i ai f x dx f x ξ=≈∆∑⎰问题[a, b]如何划分，i ξ如何选取？四、讲授新课1、左矩形法和右矩形法通常将区间[a, b]n 等分， h 为每个小区间的长度， 取1i i x ξ-= ，得出定积分近似计算的左矩形法11()()nbi ai f x dx h f x -=≈∑⎰。
取i i x ξ= ，得出定积分近似计算的左矩形法1()()nbi ai f x dx h f x =≈∑⎰。
几何上，左矩形法和右矩形法是分别用这样的红色小矩形的面积近似代替第i 个小曲边梯形的面积，整体上用台阶形的面积作为曲边梯形面积的近似值。
数值分析中的梯形法误差控制技巧综述
数值分析中的梯形法误差控制技巧综述梯形法是数值分析中一种常见的数值积分方法，用于近似计算定积分。
然而，梯形法不可避免地存在误差，因此需要使用一些控制技巧来减小误差并提高计算结果的精确度。
本文将综述数值分析中的梯形法误差控制技巧，并探讨其应用领域和原理。
一、误差来源与分析梯形法的误差主要来源于两个方面：步长和函数项。
步长即积分区间的划分精度，步长越小，误差越小。
函数项在使用梯形法进行积分时，需要对被积函数在积分区间内进行逼近，逼近的精度越高，误差越小。
二、步长控制技巧1. 自适应步长控制自适应步长控制技巧是在积分过程中动态地调整步长大小，以确保积分结果的精度和效率。
该技巧通过对每一步长进行误差估计，并根据误差大小自动调整步长大小，从而控制误差在可接受范围内。
2. 多步长梯形法多步长梯形法是将积分区间划分为多个小区间，对每个小区间使用梯形法进行积分，并将结果相加得到最终结果。
这种方法可以利用不同步长下的积分结果进行误差估计和控制，从而提高计算的精度。
三、函数项控制技巧1. 插值逼近方法插值逼近方法是利用已知数据点构造一个多项式函数，然后使用该多项式函数对被积函数进行逼近。
常用的插值逼近方法包括拉格朗日插值法和牛顿插值法等。
2. 数值微分方法数值微分方法是通过数值逼近计算函数的导数值，然后将导数值代入梯形法公式中进行积分。
这种方法可以提高函数项的逼近效果，从而减小误差。
四、应用与原理梯形法误差控制技巧广泛应用于各个领域的数值分析和计算问题中，例如工程学、物理学和金融学等。
其原理是通过合理的步长选择和函数项逼近，减小误差并提高计算结果的精确度。
这些技巧在实际应用中能够有效地解决各种积分计算问题，并给出满意的结果。
总结：本文综述了数值分析中梯形法误差控制技巧的应用和原理。
通过分析误差的来源，我们可以采用自适应步长控制和多步长梯形法来控制步长误差。
同时，通过插值逼近和数值微分等技巧来减小函数项误差。
这些技巧的应用可提高数值积分计算的准确性和精确度，是数值分析领域中不可或缺的工具。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文 第1页 共11页 定积分的近似计算方法与误差估计 作者: 操乐青 指导老师: 邢抱花
摘要 本文主要讨论了一元函数常见的数值积分方法,例如插值型求积公式，高斯求积公式等近
似计算方法,在用这些方法计算定积分时,会产生一些误差,为了减少误差, 可以利用复化求积公式、复化高斯公式等.本文围绕这些方法,系统介绍它们的计算公式以及截断误差,并用例题分析它们产生误差的大小、计算量等. 关键词 插值型积分 高斯积分 误差分析 近似计算
1引言 在计算定积分的值()baIfxdx时,常常根据微积分学基本定理求出)(xf的一个原函数)(xF,再用牛顿-莱布尼茨公式求得积分,()()()baIfxdxFbFa.但这种方法只限于解
决一小部分定积分的求值问题.当函数没有具体表达式,只是一些实验测得数据形成的表格或图形或者是()Fx无法用初等函数表示,例如,2bxaedx,2sinbaxdx等等,这就需要我们用一些近似方法来求积分值. 与数值积分一样,把积分区间细分,在每个小区间上,找到简单函数)(x来近似代替()fx,
且()baxdx的值容易求的.这样就把计算复杂的()bafxdx转化为求简单的积分值()baxdx.因此,定积分的近似计算实质上就是被积函数的近似计算问题. 2 定积分的近似计算——常见数值方法 2.1 矩形公式 根据定积分的定义，每一个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即
1()d()nbiiaifxxfx
在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度．
针对不同i的取法，计算结果会有不同，常见的取法有：
（1）左端点法，即1ii
x,iabniixxfdxxf11)()(
（2）右端点法，即 iix,iniiabxxfdxxf1)()( 安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文 第2页 共11页 （3）中点法，即12iiixx,iniiiabxxxfdxxf11)2()(
例1 用矩形公式近似计算积分 12 0d1xx（取100n）. 解 对1,0作n等分 bxinabaxxaxni10，由定义知：
niiniifnxfxdx111
1
0)(1)(
1
(1)左点法：在区间],[1iixx上取左端点，即取1iix，ni2,1 12 0
1d()1niiixfxx
0.78789399673078，
理论值 12 0d14xx，此时计算的相对误差 0.7878939967307840.0031784
（2）右点法：在区间],[1iixx上取右端点，即取iix，ni2,1 12 0
1d()1niiixfxx
0.78289399673078，
理论值 12 0d14xx，此时计算的相对误差 0.7828939967307840.0031884
（3）中点法：取 在区间1[,]iixx上取中点，即取12iiixx，ni2,1 12 0
1d()1niiixfxx
0.78540024673078，
理论值 12 0d14xx，此时计算的相对误差 60.7854002467307842.653104 安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文 第3页 共11页 如果在分割的每个小区间上采用一次或二次多项式来近似代替被积函数，那么可以期望得到比矩形法效果好得多的近似计算公式．下面介绍的梯形法和抛物线法就是这一指导思想的产物．
2.2梯形公式 等分区间 bxinabaxxaxni10，nabx
相应函数值为 nyyy,,,10（nixfyii,,1,0),(）．
曲线)(xfy上相应的点为
nPPP,,,10（niyxP
iii,,1,0),,(
）
将曲线的每一段弧iiPP1用过点1iP，iP的弦iiPP1（线性函数）来代替，这使得每个],[1iixx
上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为
xyyii21，ni,,2,1．
于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值， 11 11()d()22nnbiiiiaiiyyxfxxxyy
即 011 ()d()22bnnayybafxxyyn 称此式为梯形公式． 例2 用梯形公式近似计算定积分 12 0d1xx（取100n）.
解 10112 0d()122nnyyxbayyxn0.78539399673078， 理论值 12 0d14xx，此时计算的相对误差 60.7853939967307845.305104
很显然，这个误差要比简单的矩形左点法和右点法的计算误差小得多. 安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文 第4页 共11页 2.3 抛物线公式 由梯形法求近似值，当)(xfy为凹曲线时，它就偏小；当)(xfy为凸曲线时，它就偏大．若每段改用与它凸性相接近的抛物线来近似时，就可减少上述缺点，这就是抛物线法．
将积分区间],[ba作n2等分，分点依次为
bxinabaxxaxni2102
，
nabx2
，
对应函数值为
nyyy210,,,（nixfyii2,,1,0),(），
曲线上相应点为 nPPP210,,,（niyxPiii2,,1,0),,(）．
现把区间],[20xx上的曲线段)(xfy用通过三点),(000yxP，),(111yxP，),(222yxP的抛物线 )(12xpxxy
来近似代替，然后求函数)(1xp从0x到2x的定积分： 20 1 ()dxxpxx20
2 ()dx
xxxx)()(2)(30220223032xxxxxx
]4)(2)()()[(62022022202002xxxxxxxxxx
由于2201xxx，代入上式整理后得 20
1 ()dx
xpxx)](4)()[(612122202002xxxxxx
xx
)4(621002yyyxx)4(6210yyynab
同样也有 42
2 ()dx
xpxx)4(6432yyynab
…… 222 ()dnnxnxpxx
)4(621222nnnyyynab
将这n个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值： 安庆师范学院数学与计算科学学院2014届毕业论文 第5页 共11页 222 22212 11()d()d(4)6iinnbxiiiiaxiibafxxpxxyyyn
，
即 0213212422 ()d[4()2()]6bnnnabafxxyyyyyyyyn
这就是抛物线公式，也称为辛卜生（Simpson）公式． 例3 用抛物线公式近似计算积分 12 0d1xx(取100n).
解 102132124222 0d[4()2()]16nnnxbayyyyyyyyxn =0.78539816339745， 理论值 12 0d14xx，此时计算的相对误差
160.7853981633974542.827104
2.4 几种近似计算定积分方法的比较分析及误差估计 例4 计算积分211ln2dxx，精确到0.001.
解 方法(一) 利用矩形公式计算, 因为对于xxf1)(,有320()2fxx(如果1所以按照公式 0)2(dxbaxab. 0
如果取n=10,则我们公式的余项的余数得31010.84101200R,我们还必须加进由于在计算函数值实行四舍五入所产生的误差的界限相差于0.16310,为了这个目的只要计算1x的值到四位小数精确到0.00005就够了.我们有
1232527292132152172192
1.051.151.251.351.551.651.751.851.95xxxxxxxxx 5128.05405.05714.06061.06897.07407.08.08696.09524.02192172152132927252321yy
yyyyyyy
Y的和计算6.9284 故计算结果为 69284.0109284.6。