统计学第四章参数估计总结
参数估计知识点
参数估计知识点一、知识概述《参数估计》①基本定义：简单说，参数估计就是通过样本数据去猜总体的一些参数。
比如说，想知道全校学生的平均身高，不可能一个一个去量，那就找一部分学生（样本）量出他们的身高，然后根据这部分学生的身高数据来推测全校学生（总体）的平均身高，这个推测的过程就是参数估计。
②重要程度：在统计学里那可相当重要。
就像要了解一个大群体的情况，直接研究整体往往很难，通过参数估计从样本推测整体的情况就变得可行而且高效。
无论是搞市场调查，还是科学研究，这个工具相当好使。
③前置知识：得有点基本的数学知识，像平均数、方差这些概念要能明白，还得对抽样有点概念，知道怎么从一个大群体里抽取样本出来。
④应用价值：在各种实际场景里都有用。
比如企业想了解消费者对产品的满意度，不可能访谈每个消费者，抽样一部分做参数估计就好了。
还有估算农作物亩产量之类的，都可以用到。
二、知识体系①知识图谱：在统计学里，参数估计是推断统计的一部分，是和假设检验等方法相互联系的。
推断统计主要就是根据样本信息推断总体特征，而参数估计是其中很核心的一部分。
②关联知识：和抽样分布密切相关啊。
抽样分布是参数估计的理论基础，如果不知道抽样分布，那参数估计就像无根之木。
还和概率相关，毕竟在样本中各种数值出现是有概率的。
③重难点分析：掌握难度嘛，开始会觉得有点抽象。
关键在于理解样本和总体之间的关系，以及怎么根据不同的条件选择合适的估计方法。
④考点分析：在统计学考试里常考。
考查方式有直接给样本数据让进行参数估计，或者结合其他知识点，像给出抽样分布然后问参数估计的结果之类的。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：参数估计就是根据样本统计量去估计总体参数。
总体参数就是描述总体特征的数值，像总体均值、方差之类的。
样本统计量就是从样本里计算出来的值，比如说样本均值、样本方差等。
②特征分析：不确定性算一个特点吧。
毕竟样本不是总体，根据样本做的估计不可能完全精准。
统计学中的参数估计方法
统计学中的参数估计方法统计学中的参数估计方法是研究样本统计量与总体参数之间关系的重要工具。
通过参数估计方法，可以根据样本数据推断总体参数的取值范围，并对统计推断的可靠性进行评估。
本文将介绍几种常用的参数估计方法及其应用。
一、点估计方法点估计方法是指通过样本数据来估计总体参数的具体取值。
最常用的点估计方法是最大似然估计和矩估计。
1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）最大似然估计是指在给定样本的条件下，寻找最大化样本观察值发生的可能性的参数值。
它假设样本是独立同分布的，并假设总体参数的取值满足某种分布。
最大似然估计可以通过求解似然函数的最大值来得到参数的估计值。
2. 矩估计（Method of Moments）矩估计是指利用样本矩与总体矩的对应关系来估计总体参数。
矩估计方法假设总体参数可以通过样本矩的函数来表示，并通过求解总体矩与样本矩的关系式来得到参数的估计值。
二、区间估计方法区间估计是指根据样本数据来估计总体参数的取值范围。
常见的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计。
1. 置信区间估计（Confidence Interval Estimation）置信区间估计是指通过样本数据估计总体参数，并给出一个区间，该区间包含总体参数的真值的概率为预先设定的置信水平。
置信区间估计通常使用标准正态分布、t分布、卡方分布等作为抽样分布进行计算。
2. 预测区间估计（Prediction Interval Estimation）预测区间估计是指根据样本数据估计出的总体参数，并给出一个区间，该区间包含未来单个观测值的概率为预先设定的置信水平。
预测区间估计在预测和判断未来观测值时具有重要的应用价值。
三、贝叶斯估计方法贝叶斯估计方法是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法。
贝叶斯估计将先验知识与样本数据相结合，通过计算后验概率分布来估计总体参数的取值。
贝叶斯估计方法的关键是设定先验分布和寻找后验分布。
参数估计的置信区间例题和知识点总结
参数估计的置信区间例题和知识点总结在统计学中，参数估计的置信区间是一个非常重要的概念，它为我们提供了对总体参数的估计范围以及估计的可靠程度。
接下来，我们将通过一些具体的例题来深入理解置信区间，并对相关的知识点进行总结。
一、知识点回顾1、总体参数与样本统计量总体参数是描述总体特征的数值，如总体均值、总体方差等。
而样本统计量则是根据样本数据计算得到的数值，如样本均值、样本方差等。
我们通过样本统计量来对总体参数进行估计。
2、点估计点估计是用一个数值来估计总体参数，常见的点估计方法有矩估计法和最大似然估计法。
3、区间估计区间估计则是给出一个区间，认为总体参数有一定的概率落在这个区间内。
置信区间就是一种常见的区间估计方法。
4、置信水平置信水平表示置信区间包含总体参数的概率，通常用1 α 表示，常见的置信水平有 90%、95%和 99%。
5、置信区间的计算公式对于总体均值的置信区间，当总体方差已知时，置信区间为：＼（＼bar{X} ＼pm Z_{＼alpha/2} ＼frac{＼sigma}｛＼sqrt{n}｝＼）；当总体方差未知时，使用样本方差代替，置信区间为：＼（＼bar{X}＼pm t_{＼alpha/2}（n-1) ＼frac{S}｛＼sqrt{n}｝＼）。
二、例题解析例 1：某工厂生产一种零件，其长度服从正态分布。
现随机抽取 10 个零件，测量其长度（单位：cm）分别为 121, 119, 123, 120, 118, 122, 124, 117, 125, 120。
已知总体方差为 004，求总体均值的 95%置信区间。
首先，计算样本均值：＼（＼bar{X} ＝＼frac{1}｛10} （121 ＋ 119 ＋ 123 ＋ 120 ＋ 118＋ 122 ＋ 124 ＋ 117 ＋ 125 ＋ 120) ＝ 120\）因为置信水平为 95%，＼（＼alpha ＝ 005\），＼（Z_{＼alpha/2}＝ 196\），总体方差\（＼sigma^2 ＝ 004\），所以\（＼sigma ＝ 02\），样本容量\（n ＝ 10\）。
参数估计知识点总结
参数估计知识点总结一、参数估计的基本概念参数估计是统计学中的一个重要问题，它是指从样本数据中估计总体参数的值。
在实际问题中，我们往往对总体的某个特征感兴趣，比如总体的均值、方差等，而这些特征通常是未知的。
参数估计就是利用样本数据来估计这些未知的总体参数值的方法。
在参数估计中，有两种主要的估计方法：点估计和区间估计。
点估计是指利用样本数据来估计总体参数的一个具体值，它通常用一个统计量来表示。
而区间估计则是利用样本数据来估计总体参数的一个区间范围，通常用一个区间来表示。
二、点估计点估计是参数估计中的一种方法，它是利用样本数据来估计总体参数的一个具体值。
在点估计中，我们通常使用一个统计量来表示参数的估计值，这个统计量通常是样本数据的函数。
1. 无偏估计无偏估计是指估计量的期望值等于所估计的总体参数的真实值。
对于一个无偏估计而言，平均来说，估计值和真实值是相等的。
无偏估计是统计学中一个很重要的性质，在实际问题中，我们希望能够得到一个无偏估计。
2. 一致估计一致估计是指当样本大小趋于无穷时，估计量收敛于真实参数的概率接近于1。
一致性是估计量的另一个重要性质，它保证了在样本较大的情况下，估计值能够越来越接近真实值。
3. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的参数估计方法，它是利用样本数据来选择最有可能产生观测数据的参数值。
最大似然估计的原理是选择一个参数值，使得样本数据出现的概率最大。
最大似然估计的优点在于它的统计性质良好，且通常具有较好的渐近性质。
4. 贝叶斯估计贝叶斯估计是另一种常用的参数估计方法，它是基于贝叶斯定理的一种参数估计方法。
贝叶斯估计将参数视为随机变量，通过引入先验分布和后验分布来对参数进行估计。
贝叶斯估计的优点在于它能够利用先验知识对参数进行更为准确的估计。
三、区间估计区间估计是另一种常用的参数估计方法，它是利用样本数据来估计总体参数的一个区间范围。
区间估计的优点在于它能够提供参数值的估计范围，同时也能够反映估计的不确定性。
统计学教程(含spss)四参数估计
从一批灌装产品中，随机抽取20灌，得样本方差为0.0025。试以95%的置 信度，估计总体方差的存在区间。
n 1 s2 2 n 1 s2
2 2
2 1 2
n 1 s2
2 0.025
2
n 1 s2
2 0.975
19 0.0025 2 19 0.0025
32.8523
8.90655
自正态总体抽样时，总体均值与总体中位数相同，而中位数的 标准误差大约比均值的标准误差大25%。因此，样本均值更有效。
x 的抽样分布
M e的抽样分布
____
X
有效性
一致性
如果 lim
P
1(为任意小数，n
为样本容量）
n
则称 为的满足一致性标准的点估计量
ˆ1的抽样分布 ˆ2的抽样分布
x s 2 p 均为一致性估计量
X～N， 2
x__
～
N
， 2 n
__
Z x ～N 0,1
n
P Z
Z Z
1
2
2
P Z
2
__
x n
Z
1
2
显著性水平
22
2
Z 2
置信度
1
0
P_x_ Z
2
n
__
x Z 2
1
n
2
Z 2
显著性水平α下，μ在1- α置信水平下的置信区间：
__
x
Z
2
__
n , x Z 2
f x
x
n
x 2
f x
1
e 2 2 x
2
x
抽样分布
E(x)
参数估计方法与实例例题和知识点总结
参数估计方法与实例例题和知识点总结在统计学中，参数估计是一项重要的任务，它帮助我们通过样本数据来推断总体的特征。
这一过程对于做出合理的决策、进行科学研究以及解决实际问题都具有关键意义。
接下来，让我们深入探讨参数估计的方法，并通过实例例题来加深理解，同时对相关知识点进行总结。
一、参数估计的基本概念参数估计，简单来说，就是根据样本数据对总体参数进行推测和估计。
总体参数是描述总体特征的数值，例如总体均值、总体方差等。
而我们通过抽样得到的样本数据则是进行参数估计的基础。
二、参数估计的方法（一）点估计点估计是用一个数值来估计总体参数。
常见的点估计方法有矩估计法和极大似然估计法。
矩估计法的基本思想是利用样本矩来估计总体矩，从而得到总体参数的估计值。
例如，对于正态分布，我们可以用样本均值来估计总体均值，用样本二阶中心矩来估计总体方差。
极大似然估计法则是基于这样的思想：在给定样本观测值的情况下，找到使样本出现的概率最大的总体参数值。
（二）区间估计区间估计是给出一个区间，认为总体参数有一定的概率落在这个区间内。
常用的区间估计有置信区间。
置信区间的构建基于样本统计量的分布，以及给定的置信水平。
例如，对于总体均值的估计，我们可以构建一个置信水平为 95%的置信区间。
三、实例例题假设我们对某工厂生产的灯泡寿命进行抽样调查。
抽取了 50 个灯泡，其寿命的样本均值为 1000 小时，样本标准差为 100 小时。
（一）点估计我们可以用样本均值 1000 小时作为总体均值的点估计值。
（二）区间估计若要构建 95%的置信区间，由于样本量较大，我们可以使用正态分布近似。
标准正态分布的 95%置信区间对应的 z 值约为 196。
则总体均值的 95%置信区间为：＼＼begin{align}＆1000 196 ＼times ＼frac{100}｛＼sqrt{50}｝＼＼＆1000 ＋ 196 ＼times ＼frac{100}｛＼sqrt{50}｝＼end{align}＼计算可得置信区间约为（9608，10392）。
教育与心理统计学 第四章 抽样理论与参数估计考研笔记-精品
第四章抽样理论与参数估计第一节抽样理论的基本知识分层抽样，又叫分层随机抽样，这种抽样方法是按照总体已有的某些特征，承认总体中已有的差异，按差异将总体分为几个不同的部分，每一部分称为一个层，在每一个层中实行简单随机抽样。
它充分利用了总体的已知信息，因而是一种非常适用的抽样方法，其样本代表性及推论的精确性一般优于简单随机抽样。
分层的原则是层与层之间的变异越大越好，各层内的变异要小。
试述分层抽样的原则和方法？分层抽样是按照总体上已有的某些特征，将总体分成几个不同部分，在分别在每一部分中随机抽样。
分层的总的原则是：各层内的变异要小，而层与层之间的变异越大越好。
在具体操作中，没有一成不变的标准，研究人员可根据研究需要依照多个分层标准，视具体情况而定。
⑷两阶段随机抽样两阶段随机抽样首先将总体分成M个部分，每一部分叫做一个"集团"（或"群"），第一步从M个集团中随机抽取m个"集团”作为第一阶段样本，第二步是分别从所选取的m个"集团”中抽取个体（g构成第二阶段样本。
一般而言，两阶段抽样相对于简单随机抽样，标准误要大些，但是，两阶段抽样简便易行，节省经草贼，因而它是大规模调查研究中常被使用的抽样方法。
例如，如果我们要了解全国城市初中二年级学生的身高，第一步我们可以从全国几百个城市中随机抽取几十个城市作为第一阶段的样本。
第二步，在第一阶段随机抽取出来的城市中再随机抽取初中二年级的学生。
（二）非旃抽样非概率抽样不是完全按随机原则选取样本，有方便抽样、判断抽样。
方便抽样是由调查人员自由、方便地选择被调查者的非随机选样。
判断抽样是通过某些条件过滤，然后选择某些被调查者参与调查的抽样法。
当采取非概率抽样的方法选取样本时，研究者要说明采用此种方取样的原因以及对研究结果可能造成的影响。
第二节抽样分布［统计量分布、基本随机变量函数的分布］总体：又称母全体、全域，指具有某种特征的一类事物的全体。
统计学参数估计
统计学参数估计参数估计是统计学中的一个重要概念，它是指在推断统计问题中，通过样本数据对总体参数进行估计的过程。
这一过程是通过样本数据来推断总体参数的未知值，从而进行总体的描述和推断。
在统计学中，参数是指总体的其中一种特征的度量，比如总体均值、总体方差等。
而样本则是从总体中获取的一部分观测值。
参数估计的目标就是基于样本数据来估计总体参数，并给出估计的精确程度，即估计的可信区间或置信区间。
常见的参数估计方法包括点估计和区间估计。
点估计是一种通过单个数值来估计总体参数的方法。
点估计的核心是选择合适的统计量作为估计量，并使用样本数据计算出该统计量的具体值。
常见的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是一种寻找参数值，使得样本数据出现的概率最大的方法。
矩估计则是通过样本矩的函数来估计总体矩的方法。
然而，点估计只能提供一个参数的具体值，无法提供该估计值的精确程度。
为了解决这个问题，区间估计被引入。
区间估计是指通过一个区间来估计总体参数的方法。
该区间被称为置信区间或可信区间。
置信区间是在一定置信水平下，总体参数的真值落在该区间内的概率。
置信区间的计算通常涉及到抽样分布、标准误差和分位数等概念。
在实际应用中，参数估计经常用于统计推断、统计检验和决策等环节。
例如，在医学研究中，研究人员可以通过对患者进行抽样调查来估计其中一种药物的有效性和不良反应的发生率。
在市场调研中，市场研究人员可以通过抽取部分样本来估计一些产品的市场份额或宣传效果。
参数估计的准确性和可靠性是统计分析的关键问题。
估计量的方差和偏倚是影响估计准确性的主要因素，通常被称为估计量的精确度和偏倚性。
经典的参数估计要求估计量是无偏且有效的，即估计量的期望值等于真值，并且方差最小。
总之，参数估计是统计学中的一个重要概念，它通过样本数据对总体参数进行估计，并给出估计值的精确程度。
参数估计在统计推断、统计检验和决策等领域具有广泛的应用。
估计量的准确性和可靠性是参数估计的关键问题，通常通过方差和偏倚的分析来评价估计量的性质。
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例：与正态分布的中位数相比，样本均值是有效估计量
ˆ) P(
样本均值的分布
样本中位数的分布
●Hale Waihona Puke 第4章 参数估计ˆ
7
Statistics: chapter 4
（3）相合性（一致性）（consistency） 样本容量越大，估计值越接近被估计的参数。
大样本容量
P(X )
B A
小样本容量
第4章 参数估计
第4章 参数估计
10
Statistics: chapter 4
3、原理：
在一定概率下估计出包含参数在内的某一抽样分布 的区间
均值的抽样分布
x-E
●
●
x μ x+E
●
●
x
理论上进行多次抽样，估计参数时会有多大的概率使 给出的估计区间包含真实参数在内？ 显然，允许的误差越大，区间越长，概率就越大，把 11 握越大，但精度会降低 第4章 参数估计
Statistics: chapter 4 （四）抽样允许误差与抽样平均误差的关系 以样本均值服从正态分布的重复抽样为例，正态标 准化后，满足：
Z /2
Ex x / n
2
Ex
1
0
2
Z
21
Z / 2
第4章 参数估计
Z / 2
二、单一总体参数的区间估计
Statistics: chapter 4
x
Ep
Ex x Ep p
max max
x Ex x Ex p Ep p Ep
( x Ex , x Ex )称为总体均值的估计区间或置信区间。 ( p E p , p E p ) 称为总体比率的估计区间或置信区间。
第4章 参数估计 20
Statistics: chapter 4
案例：食品的包装质量检查
某食品公司生产的某规格袋装食品，产量基本保持 稳定，规定每袋食品合格重量不低于100g。为对产 品包装质量进行检测，该公司质检部门采用抽样技术： 每天抽取一定数量的食品，检测袋装重量是否符合要 求。现某一天生产的一批8000袋食品中采用不重复 抽样，随机抽取了25袋检查。 通过样本观测分析发现，平均每袋重量105.36g， 检测人员以95%的把握程度确信，该整批食品重量在 101.45~109.27g之间，且估计误差不超过4g。
该估计值能否直接作为真实的参数使用？
第4章 参数估计 5
Statistics: chapter 4 3、估计量的优良性准则（点估计） （1）无偏性（unbiasedness ）：估计量抽样分布的 数学期望（均值）等于被估计的总体参数。即：
E( ˆ )
可以证明，样本均值、样本比率、修正样本方差分别 是总体均值、总体比率、总体方差的无偏点估计。
68.27% 95.45%
μ-2σ x μ-σ x
μ+σ x μ+2σ x
x
Statistics: chapter 4 4、区间估计的基本思路： 思路：利用实际抽样资料，计算出待估总体参数值 在给定置信水平下的上限和下限，即参数可能存在 的区间范围。 对于总体参数θ ，计算出样本的两个估计值θ 1 和θ 2，使被估计指标θ 落在区间[θ 1，θ 2]内的 概率为1-α ，即P（ θ 1≤θ ≤ θ 2 )=1一α 。则称 区间[θ 1，θ 2]为总体指标θ 的置信区间，其估计 置信水平为1一α ，称α 为显著性水平，θ 1是置信 下限， θ 2是置信上限。
第4章 参数估计 1
Statistics: chapter 4
学习目标
学习要求： 理解——参数估计的两种方法 ——2类抽样误差的实质及计量 掌握——参数估计的优良评判标准 ——单一总体参数的区间估计方法 ——样本容量的确定 学习重点： 估计量的评判标准 单一总体参数的区间估计 学习难点： 单一总体参数的区间估计
x
N n ( ) n N 1
2
16
第4章 参数估计
Statistics: chapter 4 2、样本比率p的抽样平均误差 ♣在重复抽样的条件下，样本比率的抽样平均误差与 总体的离散程度以及样本容量大小两个因素有关 ：
p
n
2
p (1 p ) n
♣在不重复抽样的条件下，样本比率的抽样平均误差 和总体离散程度、样本容量、总体容量有关：
ˆ) P (
无偏
有偏
A
●
B
ˆ
6
第4章 参数估计
Statistics: chapter 4 （2）有效性（efficiency） 基于相同样本容量计算的两个无偏估计量，方差较小 的那个为有效估计量。即：若两个无偏估计量，存在 Var( ˆ ) Var( ˆ ) ，则前者为有效估计量。
2、估计值（estimated value）：根据某一样本数据计 算出的指定估计量的具体数值。
第4章 参数估计
4
Statistics: chapter 4
二、参数估计的两种方法
（一）总体参数的点估计（point estimation）
1 、含义：利用样本计算的估计值直接作为对应总体 参数的取值。 例如: 用样本均值或中位数作为总体均值的估计值， 用样本比率作为总体比率的估计值， 用修正样本方差作为总体方差的估计值。 2、实质：抽样分布曲线上的一个确定数值（点）
xf ˆ x 1055.5(小时） x Ex 1055.5 10.5 1045(小时） f 上限为 ( x x) f ˆ S 52.17(小时） x Ex 1055.5 10.5 1066(小时） f 1
2 n 1
计算样本均值的抽样平均误差：
第4章 参数估计 14
Statistics: chapter 4
第二节 单一总体参数的区间估计
一、抽样误差（Sampling error）
（一）有关误差的概念 1、抽样误差：是指由于随机抽样的偶然因素使抽样 估计值与总体参数之间存在的偏差。 2、分类： 抽样平均误差：反映抽样误差一般水平的指标。 实质：估计量抽样分布的标准差 抽样允许误差：极限误差，抽样允许的最大误差 实质：估计区间的半径
Statistics: chapter 4
（2）已知置信水平，估计给定置信下的区间
第4章 参数估计 18
Statistics: chapter 4
例1：假定重复抽样方法下，样本容量增加 2 倍、0.5倍时，抽样平均误差怎样变化？
解：抽样单位数增加 2 倍，即为原来的 3 倍 则：
' x
1 x 0.577 x 3n 3
即：当样本单位数增加2倍时，抽样平均误差为原来的0.577倍。 抽样单位数增加 0.5倍，即为原来的 1.5倍
1050-1100 1100-1150 1150-1200 1200以上
1 2 6
875
875
925 975 1025
1075 1125 1175 1225
第4章 参数估计
1850 5850 35875
46225 10125 3525 1225
105550
32580.25 34060.50 38881.50
第4章 参数估计 15
Statistics: chapter 4 （二）抽样平均误差(Mean sampling error) 1、样本均值 x 的抽样平均误差 ♣重复抽样下，样本均值的抽样平均误差与总体离散 程度以及样本容量大小两个因素有关：
x
2
n
n
♣不重复抽样下，样本均值的抽样平均误差和总体离 散程度、样本容量、总体容量有关：
22
Statistics: chapter 4 （1）已知允许误差，估计给定误差下的置信区间 抽取样本，代入样本估计量函数（如均值或比 率），计算结果作为对应总体参数的点估计值。 若总体标准差已知，进入下一步。否则， 计算样本标准差以推算抽样平均误差。 将抽样极限误差除以抽样平均误差求Z值，查《标 准正态分布概率表》求出相应的置信水平。 根据给定的抽样极限误差，构造估计参数的置信 区间。 给出结论。以？%的置信水平，估计某参数取值 第4章 参数估计 23 在？——？之间。
x
8
Statistics: chapter 4 4、点估计的特点： 优点： 参数与估计量结构设计一致 计算简单，直接 依据某样本计算出的估计值直接作为真实的 参数使用时，风险多大?
缺点： 没有刻画参数与对应估计值之间的误差，即估计值 有多靠近真实的参数 没有给出样本与总体之间估计的把握水平（置信度）
则：
' x
1.5n
1 x 0.8165 x 1.5
19
即：当样本单位数增加0.5倍时，抽样平均误差为原来的0.8165倍。
第4章 参数估计
Statistics: chapter 4 （三）抽样允许误差(Ultimate sampling error) 1、含义：进行区间估计时，对应于一定置信水平下 允许出现的最大误差范围。 2、抽样允许误差的表示： E
52.17 x 5.217(小时） n 100
在大样本条件下，计算z值：
ˆ
Z /2
对应置信水平为0.9545。
10.5 2 x 5.217
Ex
因此可以作如下估 计，即以95.45%的置信 水平，估计该批电子元 件的耐用时数在 10451066小时之间。
25
第4章 参数估计
第4章 参数估计 9
Statistics: chapter 4 （二）总体参数的区间估计（interval estimation） 1、含义：在对参数点估计的基础上，以一定的置信 水平估计出包含估计量与参数二者误差信息的区间。