线性对流占优扩散方程的后验误差估计
翻译——抛物问题混合有限元逼近的后验误差估计
抛物问题混合有限元逼近的后验误差估计摘要 对于抛物问题的混合形式，我们在空间上利用Raviart-Thomas-Nedelec 元，在时间上采用向后欧拉法，得到了一个基于后验误差估计的残差量。
这个误差范数是通过通量的能量范数在整个时间上的积分所定义的。
为了得到一个最优上界，我们利用了逐单元后处理方法。
对于椭圆问题来说这是一个很常用的技巧。
最后的误差上界包含了空间离散化误差和时间离散化误差等几项。
1.引言具有通量高精度的守恒方法通常利用的就是RTN 元来减少计算量。
在多孔介质流中，即一个典型的抛物压力方程再加上一个波动方程，用到的就是这个方法。
这个通量来自于压力方程，然后在波动方程中变成了一个对流场。
因此通量的误差需要在全局范数上来控制。
准备工作 对于椭圆问题的混合方法，其后验误差估计已经得到了[4,6,7]。
在文献[6]中，得到了一个关于通量的()Ω,div H 范数。
这个()Ω,div H 范数可以通过分部积分直接计算得到。
当要估计通量的2L 范数时，通量σ所在的空间要比位移量u 所用的空间要大，例如RTN 元空间，这是总所周知的困难所在。
这个原因就是如果通量空间比位移量的空间要大，那么通过通量和位移量的梯度相关的方程01=∇--u a σ而产生的自然残差量会变大。
在文献[15]中，Lovadina 和Stenberg 得到了一个关于通量的2L 范数的后验误差估计，这是基于RTN 元的方法，其中利用了一个典型的对于u 的近似解的后处理。
这个证明基于一个用到后处理近似了的等效法的后验误差估计。
在最近的文献[13]中，得到了关于一簇元的后验误差估计。
这里的估计和[15]中Lovadina 和Stenberg 得到的估计很接近，但是这个证明更一般化，且表明了一个事实，即在残量计算的时候可以利用任何分片多项式来对于位移量逼近。
关于抛物问题混合有限元法的文献并不是太多。
有关参考文献包括了书[21]和随后的工作[9]，其中得到了关于热传导方程的先验误差估计。
【国家自然科学基金】_l2估计_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140730
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
53 54 55 56 57 58 59 60
lbb条件 l2:模误差估计 krein空间 h∞故障估计 h1估计 h1-galerkin混合元方法 ev bessel函数
1 1 1 1 1 1 1 1
53 54 55 56 57 58 59 60
三维可压缩 tikhonov正则化 stokes积分微分方程 stewart平台 l2估计 h1估计 fourier谱方法 chebyshev多项式
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
2008年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
推荐指数 6 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 带有弱阻尼项的非线性schr(o)dinger方程 1 带参数的抛物型marcinkiewicz函数 1 对流扩散方程 1 寄生风险 1 寄主龄期选择 1 实验 1 守恒特征有限体积元方法 1 多项式逼近 1 地下水 1
有限元误差估计
有限元误差估计有限元误差估计是计算数值模拟中一种常见的误差估计方法。
有限元方法是一种将连续物理问题离散化为有限元网格的数值方法。
在有限元方法中，通过将物理区域划分成小的单元，构造适当的插值函数来近似原始问题，然后用数值方法求解近似问题。
在有限元方法中，误差是指近似解与准确解之间的差别。
误差估计是计算近似解误差大小的方法。
有限元误差估计有以下两种类型：全局误差估计和局部误差估计。
全局误差估计是对整个求解域内的误差进行估计。
估计方法包括后验误差估计和检验方法。
后验误差估计是通过计算近似解和准确解的误差，然后根据误差的特征来估计整个求解域内的误差。
检验方法是通过对已知问题进行数值实验，比较近似解和准确解的差异，从而估计整个求解域内的误差。
局部误差估计是对每个单元内的误差进行估计。
局部误差估计方法包括超薄元法（超收敛元法）和修正残差法。
超薄元法是通过在每个单元内选择更精确的插值函数来提高近似解的精度，从而减小局部误差。
修正残差法是通过计算修正残差来估计局部误差。
修正残差是近似解和准确解的残差，通过在局部区域中适当地增加修正函数，使得修正残差的估计更加准确。
在有限元误差估计中，还存在一些困难和挑战。
首先，确定精确解是困难的，因为很多实际问题没有解析解。
其次，误差估计需要计算大量的数值积分和求解大规模的线性方程组，计算复杂度较高。
此外，误差估计还与插值函数的选取和网格的划分有关，这是通过经验和实验确定的。
有限元误差估计在工程和科学计算中有着广泛的应用。
它可以用于验证数值模拟结果的准确性，也可以用于适当地改进数值模拟方法，提高计算结果的精度。
因此，有限元误差估计在数值模拟研究中具有重要的意义。
综上所述，有限元误差估计是求解数值模拟问题中必不可少的一部分。
它通过估计近似解与准确解之间的差别，帮助我们判断数值模拟结果的精度和准确性。
有限元误差估计在解决工程和科学计算问题中起着关键的作用。
【国家自然科学基金】_超收敛估计_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140731
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34
2011年 科研热词 推荐指数 超收敛 6 误差估计 4 非协调元 2 超逼近 2 积分恒等式 2 插值后处理算子 2 应力佳点 2 广义神经传播方程 2 双线性元 2 修正特征线法 2 一致误差估计 2 adini元 2 配置法 1 超逼近和超收敛 1 自适应算法 1 神经传播方程 1 泛函 1 有限元 1 有限体积元法 1 抛物方程 1 抛物型方程 1 恢复 1 多投影法 1 外推 1 后验估计 1 各向异性 1 变系数 1 双曲方程 1 双曲型微分方程 1 半线性 1 伪双曲方程 1 二次有限体积元法 1 三角形线性元 1 crank-nicolson块中心差分方法 1
2014年 科研热词 推荐指数 序号 超逼近和超收敛 4 1 超逼近和整体超收敛 3 2 积分恒等式 3 3 外推 3 4 一般二阶椭圆方程 3 5 误差估计 2 6 类wilson非协调元 2 7 最优误差估计 2 8 半离散和全离散格式 2 半离散和全离散 2 高精度 1 非线性粘弹性方程eqrot 1 非线性粘弹性方程 1 非协调混合元 1 阻尼项 1 超收敛有限体积元方法 1 超收敛和外推 1 超收敛及其外推 1 超收敛 1 电报方程 1 格式 1 拟线性sobolev方程 1 伪双曲方程 1 二次有限体积元方法 1 两点混合边值问题 1 三次混合插值 1 一维二阶椭圆型微分方程组边值问题 1 stokes方程 1 nonlinear viscoelasticity equation 1 eqrol/1 nonconforming finite elementsuperclose extrapolation semi-discrete and 1 fully-discretescheme eqrot1各向异性非协调元 1 eq1rot非协调有限元 1 eq1rot础各向异性非协调元 1 eq1rot各向异性非协调元 1 carey元 1 1非协调有限元 1
数值传热学第五章-数值计算
2016-1-30
太 原 理 工 大 学
9 /70
Thermal
这就是中心差分格式求解对流换热问题时仅限于低
Fw Fe Re(低的F/D)的原因 . aP Dw De aW aE Fe Fw 2 2
若E 200, W 100 P 50
两个值均不 符合实际
若E 100, W 200 P 250
aW Dw Fw 2 1 2 3
aE De Fe 2 1 2 1 违背了正系数规则
aP aE aW 1 3 2, 而 anb 1 3 4 这样，aP anb , 违反了斯卡巴勒准则（ 主对角占优）
ui 0
i-1 W
w
二类迎风格式） 控制容积界面上值的规定： 界面上的值等于界面上风侧 网格节点上的值。
e P e E
Fe 0 Fe 0
i
P
e
i+1
E
ui 0
类似地，w界面上
w W Fw 0 w P Fw 0
上述条件语句紧凑格式的写法：
Γe、Γw可以用算术平均法或调和平均法求得。
定义：
D 扩散传导性. x
Thermal
F u 对流或流动强度，可正 、可负，由流动方向定
整理后的离散化方程 其中：
2016-1-30
a p P aE E aWW
Fw 2 太 原 理 工 大 学 aW Dw
7 /70
太 原 理 工 大 学
3 /70
Thermal
一阶双曲问题的间断流线扩散法的后验误差估计
通 常 ， 解 一 阶双 曲 问题 时 问 断 （ ｉ ｏｔ ｕ ｕ ） ａｅｋｎ有 限元 法 （ 称 Ｄ 求 ｄｓ ｎｉ ｏ ｓ Ｇ ｌｒｉ ｃ ｎ 简 Ｇ法 ） 流 线 扩 散 与
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
计 算 流 体 力 学 、计 算 空气 动 力 学 、电 子 工 程 等 ．其 中 ｈ 型 自适 应 有 限元 法 是 指 利 用 近 似 解 的 ． 后 验 误 差 估 计 ， 过在 局 部 区域 进 行 网格 加 密来 提 高 计 算 精 度 ． 在 偏 微 分 方 程 数 值 求 解 中 ， 通 后 验 误差 估 计 是 用 一 个 已知 的 显 式 的 量 来 控 制 误 差 ，这 些 量 只 依 赖 于 初 边 值 和 已 解 得 的离 散
Ｄ Ｄ法 ） 其 基 本 思 想 是 ： 持 Ｄ Ｓ ． 保 Ｇ算 法 的 基 本 结 构 ， 在 从 上 游 往 下 游 逐 个 单 元 作 显 示 计 算 但
时 ， Ｇ ｌｒｉ 架 改 为 Ｓ 将 ａｅｋｎ框 Ｄ框 架 ．这 样 ， 保 持 了 Ｄ 既 Ｇ法 迎 风 、 示 的 优 点 ， 可 进 一 步 改 善 显 又
ｌ Ｏ ４． Ｏ ０２
６ ５３
维普资讯
康 彤 余 德 浩
Ｄ Ｇ法 的 稳 定 性 ．
本 文 我 们 将 讨 论 求 解 一 阶 双 曲 问题 的 Ｄ Ｄ法 的 后 验 误 差 估 计 ， 此 来 实 现 空 间 网 格 的局 Ｓ 依 部 加 密 ．基 本 思 想 是 先 在 一 个 粗 网 格 上 求 解 ， 后 根 据 后 验 估 计 式 和 使 误 差 在 空 间 网格 的 元 然
半线性对流占优Sobolev方程的H1-Galerkin混合有限元方法
第5卷第4期贵阳学院学报(自然科学版)(季刊)JO U R N A L O F G U I Y A N G C O L L E G EV01．5N o．4 2010年12月N at ur al S ci ences(Q uar t er l y)D ec．2010半线性对流占优Sobol ev方程的H L G al er ki n混合有限元方法曹京平(内蒙古财经学院统计与数学学院，内蒙古呼和浩特010070)摘要：利用H l—G al er ki n混合有限元方法研究了一维半线性对流占优Sobol ev方程，得到了半离散解的最优阶误差估计，该方法的优点是不需验证LB B相容性条件。
关键词：对流占优Sobol ev方程；半线性；H I—G al er kin混合有限元方法；最优阶误差估计中图分类号：0241．6文献标识码：A文章编号：1673-6125(2010)04—0025—04H1一G al er ki n M i xed Fi ni t e E l em ent M e t hod f orSe m i f i nea r C onve ct i on．．dom i na t ed Sobol ev E quat i onC A O Ji ng pi ng(School of Sta f f8t i cs a nd M at h em at i cs，I n ner M o ng ol i a F i na nce and Econo m i c s Col l e ge。
H ohhot010070，Chi na)A bs t r ac t：H1一G a l e r ki n m i xed f i ni t e el em ent m et hods ar c us ed f or se m i l i n ear convec t i on—dom i nat ed sob ol ev e q uat i on s．O pt i m al or der el l'o r es t i m at e s a托ob t ai ned f or t he sem i—di scr e t e sol u t i ons．T he m a i n f eat ur e of t hi s m et hod i s t hat t he approxi m at i ons have t he8m l l e ra t e co nve r ge nce88,i n t he cl ass i cal m i xed fi ni t e el em ent m et hods w i t hou t t he L B B c ons i s t encycondit i ons．K e y w ords：C onvec t i on—dom i na t e d S o bo l ev e quat i on；Sem i l i ne ar；"一G ahrki n m i xed fi ni t e el em ent m e t ho ds；opt i m a l 0r der e n何e st i m at eO引言本文讨论如下半线性对流占优Sobol ev方程’u一(a(x，t)l k+6(石，t)l‘?。
非线性对流扩散方程的隐-显hp-局部间断Galerkin有限元方法
其中 是Ｒ 中的多角形区域，Ｆ（ ｕ ） ＝（ ＾（ ） ， ， ２ （ ） ） Ｔ ． 假设满足下列条件Ｈ １ ． 对（ ， Ｐ ） ∈ ×Ｒ， 存在常数０ ＋ 及ｎ ， 使得０ ＜０ ａ （ ｘ ， Ｐ ） ｎ ， ， ｓ ∈Ｃ （ Ｒ） （ ｓ ＝１ ， ２ ） ２ ． 系数ａ （ ｘ ， ｕ ） 关于ｕ 是一致Ｌ ｉ ｐ ｓ ｃ ｈ ｉ ｔ ｚ ￣续的
Ｏ Ｋ ｎ ａ ； 记 ＝ ｕ ． 用ｐ Ｋ １ 表示单元 ∈ 中的多项式的次数． ｉ Ｅ ｐ ＝｛ ｐ Ｋ ） ∈ ． 现
定义ｈ ｐ － 有 限元空间为
旦 （ ） ＝｛ ∈Ｌ （ ）： ｌ Ｋ∈Ｓ （ ） ， Ｖ Ｋ∈ ｝ ， 其中， 当单元 为三角形时， ｓ ｐ ｘ （ Ｋ） ： ￣ Ｋ Ｆ ｐ 次多项式空间Ｐ ｐ ｘ （ Ｋ） ； 当单元Ｋ为四边形时， （ ） 是 上每个变量直多为ｐ 次多项式空 Ｉ ＇ Ｅ Ｑ ｐ （ ） ．设ｅ∈ ｊ 是任一 内部 边且ｅ＝ Ｏ Ｋ＋ｎ Ｏ Ｋ一 ． 对 于（ ， ｒ ） ∈ ×Ｑ ｈ ， 定义Ｖ 土＝ｖ ｌ 。 ｎ Ｋ± ， ｒ 士＝ ｌ ｅ ｎ ± ． 且 Ⅱ ＝ （ ＋ ＋ 一 ） ， ｒ ＝ （ ｒ ＋ ＋ ｒ 一 ） ， ｌ ＝ ＋ ｎ Ｋ ＋ ＋ 一 礼 Ｋ 一 ， ｌ ＝ｒ ＋ ‘ ｎ Ｋ ＋ ＋ 一 ’ ｎ Ｋ一 ・
【ｕ （ ｘ ， ０ ） ＝ ０ （ ） ，
收稿 日期： ２ ０ １ ３ — ０ ４ — ２ ２ 修 回日期： ２ ０ １ ３ — ０ ９ — １ ６
（ ） × （ ０ ， ］ ，４ ８
高 校 应 用 数 学 学 报
第２ ８ 卷第４ 期
加 严格 的限制条件． 为 了避 免使用 小的时 间步 长， 本文采用 隐一 显方法离散 时间变量，即对于对
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＋
由方程 ∑ （３ 可得 １）
ｎ． （ 一 ） ｄ ｄ
惰
所 以
（ — ） ａ． — ） ｘ ｒ＝ － Ｖ（ ｄ ｄ
Ｅ
（ — ） 丁 ｄ ｄ
Ｊ（ｍ Ｕ） （） ＿０ ＋ Ｉ ． —ｍ ．（ Ｕｄ ） （ ｘ ｄ ，ｕ ） 。０
关键词：后验误差估计； 对流占优； 特征线方法
中图分类号： Ｏ２ ２２ ４ ，１
文献 标 志 码 ： Ａ
１引 言
对流 和扩散 方程 在气象 、空气 动力学 和 生理 学 等应用数 学 的很 多领 域 中有着及 其重要 的作 用．
在很 多实 际情 况 中， 对流过程 和扩散过 程相 比， 者 占有 绝对 主要的地位 ． 前 这样 就得 出一 类几 乎双 曲 的控制方 程，
ｆ ” Ｖ ｓ． 求Ｕ ∈ ｏ ． ｎ ｔ
１ （ —ｎ，＋ ｎ ： ｎ， ∈ Ｕ １ （ ， ＜ ｕ ｎ — ｖ ￡ ） ｉ ） －） ，
其中 一 ＝Ｕｎ １ ；ｎ ） ： － （ ， ｔ－ ）． （ ｎ
同时， 引入如 下记号 以及 网格相 关 的范数：
（ ５ ）
由此可得 问题 （） １ 的半离 散方程
ｕｎ ＿
— —
（） ２
） （ （，；） ） ＝ｎ ｓ ，
【 （ ｓ ） ｘｘ ； ＝ ，ｓ
￣ｎ－１ －
一
Ａ ｎ ｆ．ｖ ＝ ｎ ∈Ｑ
收稿 日期： ００１—２ ２ １—０２ 资助项 目： 国家 自然科学基金 （ ８１ １） １ ００４ ０
参考 文献
… Ｂ ｂ ￣ａ ， ｈｉｂ ｌ Ｃ Ｅ ｒｒ ｓ ｍａｅ ｆ ｄ ｐｉ ｎｔ ｅ ｍｅｔ ｏ ｐ ｔｔ ｎ［ ． Ｉ Ｍ Ｊ ｕ ｅ ａｕｋ Ｒ ｅ ｏ ｔ Ｉ ｎ ｄ Ｗ ． ｒｏ ｔ ｔｓ ｏ ａａ ｔ ｅ ｉ ｌ ｎ ｍ ｕａｉ ｓ ］ＳＡ ｍ ｒ ｅｉ ｒ ｖｆ ｅ ｅ ｉ ｃ ｏ Ｊ Ｎ
Ａｎ ｌ １７ ， ５４ ： ３ ５ ． ａ， ９ ８ ｌ （） ７ ６ ７ ４
『 Ｖ ｒ ｒ Ａ Ｒ ｖｅ ｆ ｏｔｒ ｒ Ｅ ｒｒ ｓ ｍ ｔ ｎａ ｄａ ａｔ ｅＭｅｈ Ｒ ｆ ｅ ｅ ｔ ｅｈ ｉｕｓ ． ２ ｅｆ ｔ Ｒ． ｅｉ ｏ Ｐ ｓ ｉ ｉ ｒ ｔ ａｉ ｎ ｄ ｐｉ ｓ ｅ ｎｍ ｎ Ｔ ｃｎｑ ｅ［ ］ ｉ ｆｈ ｗ ａ ｅｏ ｏ Ｅ ｉ ｏ ｖ ｉ Ｍ］
ｏ ｏ ｂｎｎ ｈ ｔｏ ｆ ｈｒｃ ｒｔ ｉ ｎ ｅ ｌ ｎ ｒ ｎ ｅ ｉ ｒｎｅ ｒｃｄ ｒｓ ］ＳＡ Ｊ ｎｃｍ ｉｉｇｔｅ ｈ ｄｏ ａａｔ ｉ ｉ ｗｔ ｆ ｉ ｅ ｔ ｉ ｆ ｅ ｃ ｐｏｅｕｅ［． Ｉ Ｍ ｍｅ ｃ ｅ ｓｃ ｈｉ ｔ ｅ ｍｅ ｏ ｆ ｔ ｄ ｅ ｉ Ｊ
Ｔｅ ｕｂｎｅ ，１９ ｒ ９６．
『１Ｊｍ ｕ ｌｓ ｒ Ｔｈ ｍａ ｓ ｅ ． ｍｅ ｉａ ｍｅ ｈ ｄ ｒ ｏ ｖ ｃ ｉｎ ｄ ｍｉ ａ ｅ ｉ ｕ ｉｎ ｐ ｏ ｌｍ ａ ｅ ３ ｉ Ｄｏ ｇａ ， ｏ ｓ Ｒｕ ｓ ｌ Ｎｕ ｒｃ ｌ ｔ ｏ ｓ ｎ ｅ ｔｏ — ｏ ｎ ｔ ｄ ｄ ｆ ｓ ｒ ｂ ｅ ｂ ｓ ｄ Ｊ Ｆ １ ｏ ｆ ｃ ｏ
文章编号： ０９１２（０１０—１８０ １０—３７２１）１００—５
线性对流 占优扩散方程的后验误差估计
纪光 华，张 辉
北京师范大 学 数学科 学学院， 北京 １０ ７ ０８５
摘要： 对于线性对 流占优扩散方程 ， 采用特征线有限元方法离散 时间导数项和对 流项，用分片线性有限 元离散空间扩散项， 并给出了一致的后验误差估计， 其中估计常数不依赖与扩散项 系数 。
Ｊ ） － Ｋ
． 一
ｆ ｈ ｌ。 ） ｕ Ｌ （ ： （∑ ｍ ｐｌ Ｑ
＼ 朋ｎ ∈
、．Ｋ、 、 ● ＿ ＿ 、 ， ＝ ， ＝
ｉ１ Ｌ（） ｌ／ ｌ 。 ｈ Ｑ
则 可得如 下后验 误差估 计．
ｆ ｆ
＼
ｅ ＥＢ ｎ
ｈ
定 理 ２１ 如 果 ．
ｌ 一Ｉ ｌ ＋ｈ ｌ （ ｌ Ｉ ｌ（ Ｌ ） Ｋ］ 一Ｉ ￣ Ｉ Ｋ ≤Ｃ ｈ ｌ ｌ （ ） Ｉ ）Ｌ（） Ｋｆ ” Ｉ Ｖ￣ｌ。 ＬⅣ ｌ ｌ 妒一Ｉ ￣１。 ） Ｉ １ （ ≤Ｃ ｉ Ｉ Ｉ。 （ ） Ｌ ｈ／ Ｉ Ｌ（ Ｋ） Ｖ￣Ｉ Ⅳ
其 中 Ｎ（ ） Ｓ周 围的所有 单元 的并 集， （ ） Ｓ 为 Ｓ＝ 单元 或者 Ｓ＝ ｅ单元 的边界 ） （ ．在方程 （７ 中取 １）
ｍ ｔ ”
￡ （ ｄ丁 ）ｄ —
ｒ
＋
ｍ ｒｔ “
（ ，一 （
） 打 ）ｒ－ ｄ
锄
＋
１
）７ ｄ。
＋
薹
－Ｖ 丁 ａ吣 ．
（８ １） （９ １）
引入 Ｃ５ ｅｔ ｌ ｎ 插值算子 Ⅱ 硎 （ ） ｍ ｎ： 【 一 ， ２ 满足如下性质 ［＝ ７ 对于任意 ∈础 （） 】 Ｑ
２ 后验误差分析
考虑 Ｄｉｃ ｌ 边 界 ｕ ｘ ｔ ＝ ０ＸＥ Ｆ 初值 （， ） ｏ ， ｒ ｈｅ ｉ ｔ （， ） ， ， ０ ＝ （） 则原 问题 （）的变分 问题如 下 ： １ 求 乱∈ （２ ｓ ． 【 ． ）ｔ
（ ， ＋ （ Ｖｕ ＋ （ ｕ ） ０・ ， ） Ｅ ， ） （， ， Ｖ ＝ ｆ ∈月 （） ） 【 ２ 对 时 间导 数项和对 流项沿 （） 所示 的特征线方 向离散 ， ３式 可得 以下 的离散变分 问题 ： （
Ｊ ｔ ・ ｕ—ｚ ｕ＝ｆ Ｕ ＋０ Ｖ Ａ ，
・
∈Ｑ ｔ ０Ｔ ， ，】 Ｅ（
…
ｎ ） （ ＝０
而这类 方程 的解 呈现 出某些局 部的性质 ， 比如 ： 击波 、 变速 层等． 给这类 方程 的数 值求解带 来很大 这 的 困难 ． Ｂ ｂ ￣ａ等人 ［ 首先提 出的基 于后验误 差估计子 的 自适应 有限元 方法， 由 ａ ｕｋ 】 对这类 问题的数
第 １ 卷第 １ ３ 期
２ １年 ３月 ０１
应 用泛 函分 析 学报
ＡＣＴＡ ＡＮＡＬ ｙＳ Ｓ ＦＵＮＣＴＩ Ｉ ｏＮＡＬＩ Ｓ ＡＰＰＬＩ ＣＡＴＡ
Ｖ ｌ ． ３．Ｎ Ｏ． ０ １ １ １ Ｍ ａｒ．２ ． ０１１
ＤＯＩ： ０３ ２ ／ Ｐ３１ ６ ． １ ． １ ８ １ ．７ ４ Ｓ ．．１ ０２ １０ ０ ０ ０
Ｎｕ ｒＡｎ ｌ １ ８ ， ９５：８ １ ８ ５ ｍｅ ａ， ９ ２ １ （） ７ ８ ． 『 ｉ ｎ ｅｕ０ Ｏ ｅ ｒｎｐ ｒ ｄｆ ｓ ｎａ ｏｉ ｍ ａ ｄｉ ｐ ｌａｉ ｅ ａ ｉ—ｔｋｓ ｑ ａｉ ｓ ］ ４ Ｐｒ ｎ ａ ． ｎｔ ａｓｏｔ ｉｕｉ ｌ ｒ ｈ ｎ ｓ ｐ ｃｔ ｎｔ ｔ ｖｅ Ｓｏｅ ｅｕｔ ｎ ［． １ ｏ ｈｔ — ｏ ｇ ｔ ｔａ ｉ ｏ ｏ ｈ Ｎ ｒ ｏ Ｊ
丁
为 了证 明上述定理 ， 首先 引入 原 问题 （） １ 的对 偶 问题
－
￣ Ｖ￣ － △矽 ＝ 。 ｘＥｆ ｅ － ａ． ‘ ￣ ，
，
（３ １）
，
如果 ｘ∈ 。Ｑ 则 易见 问题 （３ （） １）的弱解存 在唯 一， 而且 弱解 满足如 下定 理
ｔ ｍ
（ ＋． ・ ） ａ Ｕ＋ 捌丁 ｖ
第 １ 期
纪光华， 线性对流占优 扩散方程 的后验误差估计 等：
１１ １
记 上式 中右端 第三项 为
（ 一 ｄ － Ｒ ， ）Ｔ－
＋ ．（ 呈
＋
ｅ＼ ［ ］一ｄ Ｃａ ］ ７ Ｏｎ ￣ （ ） Ｋ ＿ Ｏ ａＵ） ｔ ‘，ｒ Ｕ ｖ＼ ＾ ＾ ｄ —
第 １ 期
纪光华， 线性对 流占优扩散方程的后验误差估 计 等：
１９ ０
其 ｎ１） ｎ１ｔ，＝ １／ ．， ， 一ｎ ＿ 记Ｖ 为ｔ时 网 中￣ （ ＝ （（ｔｔ ）”， 厂 ｔ—ｎ。 ｎ ｎ 刻 格 － ，；－，） （） ．出 ．
Ａ 上的分片线性有限元空间， ４ ： ＝｛ｌ ∈础 （） ｎ． Ｑ ｎ ）则有如下形式的离散变分形式：
定理 ２２ 对 于任意 ０≤ ≤Ｔ， ． 有如 下估计
。
）
打
。
。 ｄ
（４ １）
１０ １
应 用 泛 函 分 析 学 报
第 １卷 ３
证 明 在方 程 （３ 两端 同时乘 以 且 在 ［Ｔ ×Ｑ上积分得 ， １） ｔ ］ ，
Ｔ
一
０ Ｏ ｘ ｒ－ Ｔ ｔ Ｃｄ ｄ
＝
Ｉ ， 方 程可 以改写成 Ｉ 则
／（仳 一 ｍ ｘ （ ）） ｕ ） 一 二ｉ） （（ ． ｄ
由误 差 的 范数 的定 义
（） ２ ０
（１ ２）
ｌ ｆ Ｌ
）∈ ， ｎ） （ Ｊ “Ｊ 【 Ｉ Ｉ ‘ ， ｌ Ａ Ｌ Ｌ ｌ
（８ ，１ ）（０ 和定 理 ２２容 易推 出定理 ２１的结 论． １ ）（９，２ ） ． ．
ｔ ｍ
ｚ ．． ．ｓ ２＝
Ｅ 一ｄ － ． ｘ ／ 仳 ｄｏ Ｔ
所 以
一ｓ 叫ｄ 丁
（ — ） 丁 ｄ ｄ
） ・ｕ －Ｕｍ） ＝ （） ｍ （（ ｄ ＋
一
（。（￣ ｏｄ ・ ） －Ｕ ） ＋ ， ｕ （ ＋Ⅱ， “ ＋
‘ ｔ 时刻 的解， ２和 ５在 ｍ 则如 下估 计成 立
５
Ｉ 一 Ｉ（ ≤∑ 『 ｌｉ ｃ Ｌ２ 。）
＝ｌ
其 中
，Ｌ
，
加
Ｕ
、 ｌ２ ／
（ Ｑ）
｝ ）
０。 ｖｕＩ 。 ）ｒ Ｉ （ ｄ Ｌａ
一
ｍ
札
ｌ ＿ｌ ｌ ｌ ＿ ｕｌ ，
ｎ． ｄ Ｔ ｍ ｘｄ
Ｔ
ｓ ｄｄ △ 丁＝。
（５ ）
一