先验误差估计和数值稳定

先验误差估计和数值稳定
1.1先验误差估计证明
在这节，本文将研究对流扩散方程差分格式（7）-（9）和连续问题之间解
的先验误差估计。假设问题的解,uxt 在30,uCT是充分光滑的，从

Taylor展开式中得，差分格式（7）是Burgers方程

2
kh
阶逼近，边界条件采

用2h阶的单边差分逼近。
注意到误差nnnijijijeUu ，这里niju代表了解析解,,ijnuxyt 1而nijU是数值
结果（7）-（9）。在离散的22211,,LLLLLH空间范数,有以下的收敛定理。
定理2，在定理1的假设下30,uCT,这里存在一个连续的C独立于h
和k，定义如下：


2212212LLLHeeChhk

（21）

证明，本文先通过Taylor展开公式导出解析解的截断误差，在全离散隐格式
中对于内节点有

11211111/2,3/2,111111/2,3/2,2,1/2,3/21112,1/2,3/231:22313122223122nnnnnijijijxijxijnnnnxijxijyijyijnnnyijyijijRdtUvUaUUaUUaUUaUUWUf
12212nijOhhk


（22）

10nijU

，对于边界点 （23）


0

0,ijij
Uuxy
对于内部和边界点 （24）

从（7）-（9）减去（22）与（24）乘以以下误差方程


121111111/2,3/2,11/2,3/2,11112,1/2,3/22,1/2,3/2113131222231312222nnijijnnnnxijxijxijxijnnnnyijyijyijyijnnijijdteveaeeaeeaeeaeeWuWU







1nijR

（25）
这里在边界上10nije且对于所有点00ije
对于所有正整数M满足0MN,可以得到nM满足2MnLLee关系，

在时间层0,1,nM多项乘积112nijehhk对所有内部节点求和结果为以下方程：

11112111212001234MMnnnntijijijijnijnijdeehhkveehhkTTTT








（26）

111111111/2,3/2,11/2,3/2,1203131:2222MnnnnnxijxijxijxijijnijTaeeaeeehhk

















11111122,1/2,3/22,1/2,3/21203131:2222MnnnnnyijyijyijyijijnijTaeUaeeehhk



















11113120:MnnnijijijnijTWUWUehhk







1111120:MnnijijnijTRehhk







约束（26）项如以下方程所示，（26）的最左边的项导出为：





1111201222111201222222022001212MnntijijnijMnnnnijijijijnijMMnMtttndeehhkeeeehhdekdekdekee






















（27）

注意到调和边界条件1nije，对左式的第二项可以得到

112111112001210,MMnnnnijijnijnMnnveehhkveekvke













（28）

由于Young不等式得22/4abab 和12,aaL，1T的和可以被估计


1221110MnnxnTCeek







（29）

这里w将在以后定义，同样的，可以得到T2的相同约束


1221120MnnynTCeek







（30）

类似证明（15），它满足

111111,1,12103nnnnnijijijxijijijeeeeehh






因此





11111131,1,1201111111,1,1201111111,1,120111,13333MnnnnnijijijxijijnijMnnnnnijijijxijijnijMnnnnnijijijxijijnijnnijijikTuuuuehhkUUUuehhkeeeuehhkuuu

















1111,120Mnnnjxijijnijuehh



（31）

通过u的光滑性和Cauchy-Schwarz 不等式，估计T3

111131,1,1201111201122110033MnnnnijijijijnijMnnxijijnijMMnnnnCkTeeeehhCkeehhCkeke





















(32)

对于T4，它的估计通过Cauchy-Schwarz不等式
112211400MMnnnnTCkeCkR






(33)

结合（27）-（33）来求解方程（26）并选择0/2v，对于充分小的k，可得
一下约束 ：


112222220011222202011001221122MMMnMntttnnMMnntnndekdekevkedekeCkeCkR

















(34)

如果选择000:,,ijijtijUuxykuxy，这里0,tuxy是离散Burgers型方程的初始
条件，它满足1102ijijijeuuOk，应用离散的Gronwalls定理完成（34）的证明。
1.2数值稳定性证明
Remark：注意到隐格式具有

2
Okh
阶的局部截断误差。因此，在最后一

节，将用数值试验来确认隐格式的收敛阶是十分令人满意。为了控制振荡将采用
隐格式来解决二维时间依赖的对流扩散方程[15],对于三维流体运动，充分离散高
阶单边差分格式将会在接下来运用到。
在时间步长上，Von Neumann谱稳定性分析是一种很好的线性隐式格式分
析。通过离散的傅里叶变换，对线性隐格式数值稳定性进行了研究[21]。然而，
非线性格式（7）的数值稳定性是与线性格式不同的。在Von Neumann理论框架
下，常系数线性方程的稳定性是非线性方程稳定的必要条件，但无法保证充分性。
对于非线性格式稳定性，读者也可以参考[18,19]
。

类似于定理2，数值稳定性依赖于初始值和源项，下列定理将证明隐格式（7）
-（9）的稳定性。
定理3，在定理2的条件和假设下，隐格式（7）-（9）是稳定的，它保持0/2v


11222222100122202010212NMNnNntttnnNntndUkdekUvkUCdukukF

















(35)

等价于









22
22

22

22
2

222
2

0200

22NNtLLLLtLLkdUUvUCdukuvkuf

(36)