北京市海淀区第一次数学模拟考试答案.doc
北京市海淀区重点中学2025届高三第一次模拟考试-数学试题
北京市海淀区重点中学2025届高三第一次模拟考试-数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(3,4)P -，则sin 2α=（ ）． A ．1225-B ．2425-C ．165D ．852．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．3．若复数12biz i-=+（b R,i ∈为虚数单位）的实部与虚部相等，则b 的值为( ) A ．3B ．3±C ．3-D ．3±4．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）A ．36B ．26C ．5D 535．设12,x x 为()()3sin cos 0f x x x ωωω=->的两个零点，且12x x -的最小值为1，则ω=（ ） A ．πB ．2π C ．3π D ．4π 6．已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 可以为（ ）A ．3()3x f x x =-B ．e e ()x xf x x --= C ．2()f x x x =-D ．||e ()xf x x=7．已知集合{}22|A x y x ==-，2{|}10B x x x =-+≤，则A B =( ) A ．[12]-， B ．[12]-，C ．(12]-，D ．2,2⎡⎤-⎣⎦8．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．9．设复数z 满足(1)21z i i ⋅+=+（i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．若复数z 满足()134i z i +=+，则z 对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11． “tan 2θ=”是“4tan 23θ=-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件12．已知复数21iz i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1B ．i -C ．1D ．i二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年北京市海淀区中考数学一模试题(解析版)
2020年北京市海淀区中考数学一模试卷一．选择题1. 2的相反数是（）A. 2B. －2C. 12D. 12-【答案】B【解析】【详解】2的相反数是-2.故选：B.2. 下列几何体中，主视图为矩形的是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据主视图是从物体正面看，所得到的图形，分别得出四个几何体的主视图，即可解答．【详解】解：A、圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；B、长方体的主视图是矩形，符合题意；C、球的主视图是圆形，不合题意；D、该几何体的主视图是梯形，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是能够理解主视图的概念以及对常见的几何体的主视图有一定的空间想象能力．3. 北京故宫有着近六百年的历史，是最受中外游客喜爱的景点之一，其年接待量在2019年首次突破19000000人次大关．将19000000用科学记数法可表示为（ ）A. 0.19×108B. 0.19×107C. 1.9×107D. 19×106【答案】C【解析】【分析】直接利用科学记数法的定义结合科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数，进而得出答案．【详解】解：将19000000用科学记数法表示为：1.9×107．故选：C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4. 如图是北京大兴国际机场俯视图的示意图.下列说法正确的是（）A. 这个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形B. 这个图形是中心对称图形，但不是轴对称图形C. 这个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形D. 这个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，根据中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180°后得到的图形与原图形重合，那么这个图形就是中心对称图形，即可判断得出答案．【详解】由图可知，图形关于中间轴折叠能完全重合，\此图形是轴对称图形，但绕中心旋转180°后，图形不能完全重合，\此图形不是中心对称图形．故选：A．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，解题关键是熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．5. 将抛物线2y x=向下平移3个单位长度所得到的抛物线是（）2A. 22(3)=- D.=- C. 2y x2323y x=+ B. 2y x22(3)y x =+【答案】B【解析】【分析】根据“上加下减”即可求出平移后抛物线解析式．【详解】解：根据“上加下减”即可求出向下平移3个单位长后的抛物线解析式为：2=23y x -．故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线平移问题，熟练掌握左加右减，上加下减是解题的关键．6. 如图，AB 与⊙O 相切于点B ，AO 的延长线交⊙O 于点C ，连结BC ，若OC =12OA ，则∠C 等于（ ）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°【答案】B【解析】【分析】连接OB ，构造直角△，结合已知条件推知直角△ABO 的直角边OB 等于斜边OA 的一半，则∠A=30°．【详解】如图，连接OB ．∵AB 与⊙O 相切于点B ，∴∠ABO=90°．∵OB=OC ，12OC OA =，∴∠C=∠OBC ，OB=12OA ，∴∠A=30°，∴∠AOB=60°，则∠C+∠OBC=60°，∴∠C=30°．故选：B．【点睛】本题考查了切线的性质，圆的切线垂直于过切点的半径；在直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半．7. 若实数m，n，p，q在数轴上的对应点的位置如图所示，且n与q互为相反数，则绝对值最大的数对应的点是（ ）A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q 【答案】C【解析】【分析】根据数轴可以得到实数m，n，p，q的大小关系，再根据n与q互为相反数，可以得到原点所在的位置，从而可以得到绝对值最大的数对应的点是哪个点．【详解】解：由数轴可得，p＜n＜m＜q，∵n与q互为相反数，∴原点在线段NQ的中点处，∴绝对值最大的数对应的点是点P，故选：C．【点睛】考查实数与数轴、相反数，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想．8. 如图，在平面直角坐标系xOy中，AB，CD，EF，GH是正方形OPQR边上的线段，点M在其中某条线段上，若射线OM与x轴正半轴的夹角为a，且sin cosa a>，则点M所在的线段可以是( )A. AB和CDB. AB和EFC. CD和GHD. EF和GH【答案】D【解析】【分析】分情况考虑：先考虑点M 分别在边PQ 上的线段AB 和CD 上的情况，根据正弦、余弦函数的定义判断即可；再考虑点M 分别在边QR 上的线段EF 和GH 上的情况，根据正弦、余弦函数的定义判断即可．【详解】如图，当点M 在线段AB 上时，连接OM ．sin PM OM a =Q ，cos OP OMa =，OP PM >，sin cos a a \<，同法可证，点M 在CD 上时，sin cos a a <，如图，当点M 在EF 上时，作MJ OP ^于J ．sin MJ OM a =Q ，cos OJ OMa =，OJ MJ <，sin cos a a \>，同法可证，点M 在GH 上时，sin cos a a >，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角函数中正弦和余弦的定义，涉及到分类讨论，关键是构造直角三角形，从而可在直角三角形中利用正余弦的定义进行．二．填空题9. 若代数式1x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_______．【答案】1x ³【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可．【详解】解：范围内有意义，∴x -1≥0，解得x ≥1．故答案为：x ≥1．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．10. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，且tan A =13，则AC =_____．【答案】6【解析】【分析】根据正切的定义列式计算，得到答案．【详解】解：∵ tan A =13，∴13BC AC =，即213AC =，解得，AC =6，故答案为：6．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切是解题的关键．11. 分解因式：22ab ac -=_________________________．【答案】()()a b c b c +-．【解析】【详解】试题分析：原式=22()a b c -=()()a b c b c +-，故答案为()()a b c b c +-．考点：提公因式法与公式法的综合运用．12. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____．【答案】9【解析】【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9．故答案为：9．13. 某校初三年级在“停课不停学”期间，积极开展网上答疑活动，在某时间段共开放7个网络教室，其中4个是数学答疑教室，3个是语文答疑教室．为了解初三年级学生的答疑情况，学校教学管理人员随机进入一个网络教室，则该教室是数学答疑教室的概率为_____．【答案】47【解析】【分析】根据概率公式即可求出该教室是数学答疑教室的概率．【详解】根据题意可知：共开放7网络教室，其中4个是数学答疑教室，3个是语文答疑教室，管理人员随机进入一个网络教室，则该教室是数学答疑教室的概率为47．故答案为：47．【点睛】考查了列表法与树状图法求概率，解题关键是会列列表或树状图和掌握概率公式．14. 如图，在▱ABCD 中，延长CD 至点E ，使DE =DC ，连接BE 与AC 于点F ，则BF FE的值是_____．【答案】12【解析】【分析】在▱ABCD 中，AB ∥CD ，AB =CD ，根据DE =DC ，可得AB =CD =DE =12CE ，再由AB ∥CD ，可得△ABF ∽△CEF ，对应边成比例即可求得结论．【详解】解：在▱ABCD 中，AB ∥CD ，AB =CD ，∵DE =DC ，∴AB =CD =DE =12CE ，∵AB ∥CD ，∴△ABF ∽△CEF ，∴12BFAB FE CE ==．故答案为：12．【点睛】考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解题关键是掌握并运用了相似三角形的判定与性质．15. 为了丰富同学们的课余生活，某年级买了3个篮球和2个足球，共花费了474元，其中篮球的单价比足球的单价多8元，求篮球和足球的单价，如果设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，依题意可列方程组为_____．【答案】324748x y x y +=ìí-=î【解析】【分析】根据“3个篮球的价钱+2个足球的价钱=474和篮球单价﹣足球的单价=8元”可列方程组．【详解】设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，根据题意可列方程组为324748x y x y +=ìí-=î，故答案为：324748x y x y +=ìí-=î．【点睛】考查了实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，再设未知数，列出方程组．16. 如果四边形有一组对边平行，且另一组对边不平行，那么称这样的四边形为梯形，若梯形中有一个角是直角，则称其为直角梯形．下面四个结论中：①存在无数个直角梯形，其四个顶点分别在同一个正方形的四条边上；②存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一条抛物线上；③存在无数个直角梯形，其四个顶点在同一个反比例函数的图象上；④至少存在一个直角梯形，其四个顶点在同一个圆上．所有正确结论的序号是_____．【答案】①②③【解析】【分析】根据直角梯形的性质，画出图形利用图象法一一判断即可．【详解】①如图1中，点P 是正方形ABCD 的边AD 上的任意一点，则四边形ABCP 是直角梯形，这样的直角梯形有无数个，故①正确．②如图2中，四边形ABCO 样的直角梯形有无数个，故②正确．③如图3中，四边形ABCD 是直角梯形，这样的直角梯形有无数个，故③正确．④直角梯形的四个顶点，不可能在同一个圆上，故④错误，故答案为：①②③．【点睛】考查了直角梯形的定义，二次函数的性质，反比例函数的性质，四点共圆等知识，解题关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．三．解答题17. 计算：()02122sin 30-+-°+．【答案】【解析】【分析】利用二次根式的性质和特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，再相加减即可．【详解】原式2×12﹣【点睛】考查了实数的运算，解题关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．18. 解不等式组：()3121212x x x x ì-<ïí-+>ïî．【答案】﹣1＜x ＜3【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【详解】()3121212x x x x ì-<ïí-+>ïî①②，由①得：x ＜3，由②得：x ＞﹣1，所以不等式组的解集为﹣1＜x ＜3．【点睛】考查了求不等式组的解集，解题关键是熟练掌握求公共部分的方法：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．19. 如图，已知等边三角形ABC ，延长BA 至点D ，延长AC 至点E ，使AD =CE ，连接CD ，BE ．求证：△ACD ≌△CBE ．【答案】见解析【解析】【分析】根据等边三角形的性质求得AC =BC ，∠DAC =∠BCE ，再根据SAS 证明△ACD ≌△CBE ．【详解】证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AC =BC ，∠CAB =∠ACB =60°，∴∠DAC =∠BCE =120°，在△ACD 和△CBE 中AC BC DAC BCEAD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∵AD =CE ，∴△ACD ≌△CBE （SAS ）．角形的判定定理．20. 已知关于x 的一元二次方程x 22﹣x +2m 1=0﹣．（1）当m =1﹣时，求此方程的根；（2）若此方程有两个实数根，求m 的取值范围．【答案】（1）x =﹣1或x =3；（2）m ≤1【解析】【分析】（1）将m =1﹣代入方程，再利用因式分解法求解可得；（2）根据方程有两个实数根得出△=b 24﹣ac ≥0，据此列出关于m 的不等式求解可得．【详解】解：（1）将m =1﹣代入方程，得：x 22﹣x 3=0﹣，∵（x +1）（x 3﹣）=0，∴x +1=0或x 3=0﹣，解得x =1﹣或x =3；（2）∵方程有两个实数根，∴△=（﹣2）24×1×﹣（2m 1﹣）≥0，解得m ≤1．【点睛】本题考查了解一元二次方程和根的判别式，熟悉相关性质是解题的关键．21. 如图，在▱ABCD 中，∠ABC =60°，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接DF ．（1）求证：△ABF 是等边三角形；（2）若∠CDF =45°，CF =2，求AB 的长度．【答案】（1）见解析；（2）31【解析】【分析】（1）根据在▱ABCD 中，∠ABC =60°，可以得到∠DAB 的度数，然后根据AF 平分∠DAB ，可以得到∠F AB 的度数，然后等边三角形的判定方法即可得到△ABF 是等边三角形；（2）作FG ⊥DC 于点G ，然后根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可以得到CG 、FG 的长，然后即可得到DG 的长，从而可以得到DC 的长，然后即可得到AB 的长．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠DAB +∠ABC =180°，∵∠ABC=60°，∴∠DAB=120°，∵AF平分∠DAB，∴∠F AB=60°，∴∠F AB=∠ABF=60°，∴∠F AB=∠ABF=∠AFB=60°，∴△ABF是等边三角形；（2）作FG⊥DC于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=60°，∴DC∥AB，DC=AB，∴∠FCG=∠ABC=60°，∴∠GFC=30°，∵CF=2，∠FGC=90°，，∴CG=1，FG=3∵∠FDG=45°，∠FGD=90°，∴∠FDG=∠DFG=45°，，∴DG=FG∴DC=DG+CG+，1∴AB+，1即AB+．1【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22. 致敬，最美逆行者!病毒虽无情，人间有大爱，2020年，在湖北省抗击新冠病毒的战“疫”中，全国（除湖北省外）共有30个省（区、市）及军队的医务人员在党中央全面部署下，白衣执甲，前赴后继支援湖北省抗击疫情，据国家卫健委的统计数据，截至3月1日，这30个省（区、市）累计派出医务人员总数多达38478人，其中派往湖北省除武汉外的其他地区的医务人员总数为7381人．a．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员频数分布直方图（数据分成6组：100≤x＜500，500≤x＜900，900≤x＜1300，1300≤x＜1700，1700≤x＜2100，2100≤x＜2500）：b．全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员人数在900≤x＜1300这一组的是：919，997，1045，1068，1101，1159，1179，1194，1195，1262．根据以上信息回答问题：（1）这次支援湖北省抗疫中，全国30个省（区、市）派往武汉的医务人员总数 A．不到3万人，B．在3万人到3.5万人之间，C．超过3.5万人（2）全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员人数的中位数是 ，其中医务人员人数超过1000人的省共有 个．（3）据新华网报道，在支援湖北省的医务人员大军中，有“90后”也有“00后”，他们是青春的力量，时代的脊梁．习近平总书记回信勉励北京大学援鄂医疗队全体“90后”党员中指出：“在新冠肺炎疫情防控斗争中，你们青年人同在一线英勇奋战的广大疫情防控人员一道，不畏艰险、冲锋在前、舍生忘死，澎显了青春的蓬勃力量，交出了合格答卷．”小华在收集支援湖北省抗疫宣传资料时得到这样一组有关“90后”医务人员的数据：C市派出的1614名医护人员中有404人是“90后”；H市派出的338名医护人员中有103人是“90后”；B市某医院派出的148名医护人员中有83人是“90后”．小华还了解到除全国30个省（区、市）派出38478名医务人员外，军队派出了近四千名医务人员，合计约4.2万人．请你根据小华得到的这些数据估计在支援湖北省的全体医务人员（按4.2万人计）中，“90后”大约有多少万人？（写出计算过程，结果精确到0.1）．【答案】（1）B；（2）1021人，15；（3）90后”大约有1.2万人【解析】【分析】（1）根据题意列式计算即可得到正确的选项；（2）根据频数（率）分布直方图中的信息和中位数的定义即可得到结论；（3）根据样本估计总体，可得到“90后”大约有1.2万人．【详解】解：（1）这次支援湖北省抗疫中，全国30个省（区、市）派往武汉的医务人员总数为384787381=31097﹣（人），故选B ；（2）全国30个省（区、市）各派出支援武汉的医务人员人数的中位数是997104522101+=（人）；其中医务人员人数超过1000人的省（区、市）共有15（个）；故答案为：1021人，15；（3）4041038342000118001614338148++´»++（人），答：“90后”大约有1.2万人．【点睛】本题考查了频数（率）分布直方图，样本估计总体，熟悉相关性质是解题的关键．23. 在平面直角坐标系xOy 中，直线x =3与直线y =12x +1交于点A ，函数y =k x（k ＞0，x ＞0）的图象与直线x =3，直线y =12x +1分别交于点B ，C ．（1）求点A 的坐标．（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数y =k x（k ＞0，x ＞0）的图象在点B ，C 之间的部分与线段AB ，AC 围成的区域（不含边界）为W ．①当k =1时，结合函数图象，求区域W 内整点的个数；②若区域W 内恰有1个整点，直接写出k 的取值范围．【答案】（1）A（3，52）；（2）①在W区域内有1个整数点；②当区域W内恰有1个整点时，1≤k＜2或16＜k≤20【解析】【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论；（2）①当k=1时，求得B、C的坐标，根据图象得到结论；②分两种情况根据图象即可得到结论．【详解】解：（1）直线x=3与直线y=12x+1交于点A，∴3112xy xìïïïí==+ïïïî，解得352xy=ìïí=ïî，∴A（3，52）；（2）①当k=1时，根据题意B（3，13），C（1-+，12+），由图像可得，在W区域内有1个整数点：（2，1）；②若区域W内恰有1个整点，当C点在直线x=3的左边时，如图1，在W区域内有1个整数点：（2，1），∴1≤k＜2；当C点在直线x=3的右边时，如图2，在W区域内有1个整数点：（4，4），∴16＜k≤20；综上，当区域W内恰有1个整点时，1≤k＜2或16＜k≤20【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．24. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D为BC边的中点，以AD为直径作⊙O，分别与AB，AC交于点E，F，过点E作EG⊥BC于G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若AF=6，⊙O的半径为5，求BE的长．【答案】（1）见解析；（2）8【解析】【分析】（1）先判断出EF是⊙O的直径，进而判断出OE∥BC，即可得出结论；（2）先根据勾股定理求出AE，再判断出BE=AE，即可得出结论．【详解】（1）证明：如图，连接EF，∵∠BAC=90°，∴EF是⊙O的直径，∴OA=OE，∴∠BAD=∠AEO，∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，∴AD=BD，∴∠B=∠BAD，∴∠AEO=∠B，∴OE∥BC，∵EG⊥BC，∴OE⊥EG，∵点E在⊙O上，∴EG是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为5，∴EF=2OE=10，在Rt△AEF中，AF=6，，根据勾股定理得，AE EF AF=-由（1）知OE∥BC，∵OA=OD，∴BE=AE=8．【点睛】此题主要考查了圆的有关性质，切线的判定，直角三角形斜边的中线是斜边的一∥是解本题的关键．半，勾股定理，能判断出EF BC25. 某校举办球赛，分为若干组，其中第一组有A，B，C，D，E五个队．这五个队要进行单循环赛，即每两个队之间要进行一场比赛，每场比赛采用三局两胜制，即三局中胜两局就获胜．每场比赛胜负双方根据比分会获得相应的积分，积分均为正整数．这五个队完成所有比赛后得到如下的积分表．根据上表回答下列问题：（1）第一组一共进行了 场比赛，A队的获胜场数x为 ；（2）当B队的总积分y=6时，上表中m处应填 ，n处应填 ；（3）写出C队总积分p的所有可能值为： ．【答案】（1）10，3；（2）0：2， 2：0；（3）9或10【解析】【分析】（1）按照5个队中每个队都要和另外4个队进行一场比赛，而A与B和B与A属于同一场比赛，列式计算或直接从表中数一下即可得比赛场数；根据表中比赛结果可直接得出A队的获胜场数x的值；（2）每场比赛的结果有四种：0：2，1：2，2：1，2：0，设以上四种得分为a，b，c，d，且a＜b＜c＜d，根据E和A的总分可得关于a，b，c，d的等式，化简即可得出a，b，c，d的值，设m对应的积分为x，根据题意得关于x的方程，解得x的值，则可得答案；（3）C队胜2场，分两种情况：当C、B的结果为2：0时；当C、B的结果为2：1时，分别计算出p的值即可．【详解】解：（1）∵()55110´-=（场），∴第一组一共进行了10场比赛；∵每场比赛采用三局两胜制，A、B的结果为2：1，A、C的结果为2：0，A、E的结果为2：0，∴A队的获胜场数x为3；故答案为：10，3；（2）由题可知：每场比赛的结果有四种：0：2，1：2，2：1，2：0，根据题意可知每种结果都会得到一个正整数积分，设以上四种得分为a，b，c，d，且a＜b ＜c＜d，根据E的总分可得：a+c+b+c=9，∴a=1，b=2，c=3，根据A的总分可得：c+d+b+d=13，∴d=4，设m对应的积分为x，当y=6时，b+x+a+b=6，即2+x+1+2=6，∴x=1，∴m处应填0：2；∴B：C=0：2，∴C：B=2：0，∴n处应填2：0；（3）∵C队胜2场，∴分两种情况：当C、B的结果为2：0时，p=1+4+3+2=10；当C、B的结果为2：1时，p=1+3+3+2=9；∴C队总积分p的所有可能值为9或10．故答案为：9或10．【点睛】本题考查了统计表在比赛积分问题中的应用，读懂表格中的数据，理清题中的数量关系是解题的关键．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y x mx m m =-+-+的顶点为A（1）求抛物线的顶点坐标（用m 表示）；（2）若点A 在第一象限，且2OA =，求抛物线的解析式；（3）已知点(1,2)B m m --，(2,2)C ，若抛物线与线段BC 有公共点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围【答案】（1）(,)m m ；（2）22y x x =-+或写为：2(1)1y x =--+；（3）2m £，或3m ³.【解析】【分析】（1）化抛物线为顶点式，即可写出顶点坐标；（2）求出点AO ，列方程求解即可；（3）考虑点C 在抛物线上时m 的值，再结合图形，分情况进行讨论．【详解】（1）∵2222()y x mx m m x m m =-+-+=--+，∴抛物线的顶点A 坐标为(,)m m .（2）点A 在第一象限，∴OA =，∵OA =∴1m =抛物线的表达式为22y x x =-+，或写为：2(1)1y x =--+（3）把22C （，）代入222y x mx m m =-+-+，得22224m m m =-+-+，解得2m =或3，结合图象可得：当2m £时，抛物线与线段BC 有公共点，当23m ＜＜时，抛物线与线段BC 无公共点，当3m ³时，抛物线与线段BC 有公共点；综上，当2m £或3m ³时，抛物线与线段BC 有公共点．【点睛】本题考查了二次函数的综合，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．27. 已知∠MON =α，A 为射线OM 上一定点，OA =5，B 为射线ON 上一动点，连接AB ，满足∠OAB ，∠OBA 均为锐角．点C 在线段OB 上（与点O ，B 不重合），满足AC =AB ，点C 关于直线OM 的对称点为D ，连接AD ，OD ．（1）依题意补全图1；（2）求∠BAD 的度数（用含α的代数式表示）；（3）若tanα=34，点P 在OA 的延长线上，满足AP =OC ，连接BP ，写出一个AB 的值，使得BP ∥OD ，并证明．【答案】（1）补全图见解析；（2）180°2α﹣；（3，理由见解析【解析】【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）首先证明∠D+∠ABO=180°，再利用四边形内角和定理解决问题即可．（3）假设PB∥OD，求出AB的值即可．【详解】解：（1）图形，如图所示．（2）CQ，D关于AO对称，\D@D，AOD AOCÐ=Ð=，D ACO\Ð=Ð，AOD AOC a=Q，AC AB\Ð=Ð，ACB ABCÐ+Ð=°Q，ACO ACB180\Ð+Ð=°，D ABC180\Ð+Ð=°，180DAB DOBÐ=Q，DOB a2DAB a\Ð=°-．1802（3）如图2中，不妨设//^于J．OD PB．作AH BC^于H，BJ OA在Rt AOH D 中，5OA =Q ，3tan 4AOH Ð=，3AH \=，4OH =，设CH BH x ==，则2BC x =，//OD BP Q ，DOA OPB \Ð=Ð，DOA AOB Ð=ÐQ ，AOB OPB \Ð=Ð，4PB OB x \==+，BJ OP ^Q ，549OP OA AP x x =+=+-=-，1(9)2OJ JP x \==-，cos OH OJ AOH OA OB Ð==Q ，\1(9)4254x x-=+，解得1x =，1BH \=，AB \【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了轴对称，等腰三角形的判定和性质，四边形内角和定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．28. ,A B 是圆上的两个点，点P 在⊙C 的内部．若APB Ð为直角，则称APB Ð为AB 关于⊙C 的内直角，特别地，当圆心C 在APB Ð边（含顶点）上时，称APB Ð为AB 关于⊙C 的最佳内直角．如图1，AMB Ð是AB 关于⊙C 的内直角，ANB Ð是AB 关于⊙C 的最佳内直角．在平面直角坐标系xOy 中．（1）如图2，⊙O 的半径为5，()0,5,(4,3)A B -是⊙O 上两点．①已知()()()1231,003-21P P P ，，，，，在123,,,APB AP B AP B ÐÐÐ中，是AB 关于⊙O 的内直角的是______；②若在直线2y x b =+上存在一点P ，使得APB Ð是AB 关于⊙O 的内直角，求b 的取值范围．（2）点E 是以(),0T t 圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T 与x 轴交于点D （点D 在点T 的右边）．现有点()()1,0,0,M N n ，对于线段MN 上每一点H ，都存在点T ，使DHE Ð是DE 关于⊙T 的最佳内请直接写出n 的最大值，以及n 取得最大值时t 的取值范围．【答案】（1）①23,AP B AP B ÐÐ，②55b -<£；（2）2，515t -+£<【解析】【分析】（1）判断点123,,P P P 是否在以AB 为直径的圆弧上即可得出答案；（2）求得直线AB 的解析式，当直线2y x b =+与弧AB 相切时为临界情况，证明OAH BAD D D :，可求出此时5b =，则答案可求出；（3）可知线段MN 上任意一点（不包含点M ）都必须在以TD 为直径的圆上，该圆的半径为2，则当点N 在该圆的最高点时，n 有最大值2，再分点H 不与点M 重合，点M 与点H 重合两种情况求出临界位置时的t 值即可得解．【详解】解：（1）如图1，点23,P P 在以AB 为直径的圆上，所以23,AP B AP B ÐÐ是AB 关于O e 的内直角。
北京市海淀区2023届高三一模数学试卷(PDF版,含答案)
2023北京海淀高三一模数 学2023.4本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}{}13,0,1,2,A x x B =<<=则A B =（A ）{2}（B ）{0，1}（C ）{1，2}（D ）{0，1，2}（2）若2,a i i b i a b R +=+∈（）（），其中i 是虚数单位，则a b +=（A ）-1（B ）1（C ）-3（D ）3（3）在等差数列{}n a 中，241,5a a ==,则8a = （A ）9（B ）11 （C ）13 （D ）15（4）已知抛物线24y x =的焦点为F ，点P 在该抛物线上，且P 的横坐标为4，则PF = （A ）2（B ）3（C ）4 （D ）5（5）若4432432101x a x a x a x a x a −=++++（）,则 4321a a a a −+−= （A ）-1（B ）1（C ）15 （D ）16（6）已知直线y x m =+与圆22:4O x y +=交于A ，B 两点，且AOB 为等边三角形，则m 的值为（A ）（B ）（C ）2±（D ）（7）在ABC 中，90C ∠=，30B ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D .若()AD AB AC R λμλμ=+∈，则λμ= （A ）13（B ）12（C ）2（D ）3（8）已知二次函数()f x ，对任意的x R ∈，有()()22f x f x <,则()f x 的图象可能是（9）已知等比数列{}n a 的公比为q ,且1q ≠，记121,2,3n n T a a a n =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅（），则“10a >且1q >”是“n T （）为递增数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）即不充分也不必要条件（10）刘老师沿着某公园的环形跑道（周长大于1km ）按逆时针方向跑步，他从起点出发，并用软件记录了运动轨迹，他每跑1km ，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数。
2021年北京市海淀区中考数学一模试卷(含解析)
2021年北京市海淀区中考数学一模试卷一、选择题（共8小题）.1．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．球C．三棱柱D．长方体2．2021年2月24日6时29分，我国自主研制的首个火星探测器“天问一号”成功实施第三次近火制动，进入近火点280千米、远火点59000千米、周期2个火星日的火星停泊轨道．将59000用科学记数法表示应为（）A．0.59×105B．5.9×105C．5.9×104D．5.9×1033．七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向白色区域的概率是（）A．B．C．D．15．已知正多边形的一个外角等于60°，则该正多边形的边数为（）A．3B．4C．5D．66．实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＜0B．a＜b C．b+5＞0D．|a|＞|b|7．已知x＝1是不等式2x﹣b＜0的解，b的值可以是（）A．4B．2C．0D．﹣28．如图，AB是⊙O直径，点C，D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且∠APQ＝115°，则点Q所在的弧是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若式子有意义，则实数x的取值范围是．10．方程组的解为．11．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果图中∠1是70°，那么∠2的度数是．12．若+a的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数a的值．13．计算：（﹣）•＝．14．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+4＝0有两个相等的实数根，则m的值是．15．图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为．16．图1是一个2×2正方形网格，两条网格线的交点叫做格点，甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下：游戏规则a．两人依次在网格中画线段，线段的起点和终点均为格点；b．新画线段的起点为前一条线段的终点，且与任意已画出线段不能有其他公共点；c．已画出线段的所有端点中，任意三个端点不能在同一条直线上；d．当某人无法画出新的线段时，则另一人获胜．如图2，甲先画出线段AB，乙随后画出线段BC．若这局游戏继续进行下去，最终的获胜者是（填“甲”，“乙”或“不确定”）．三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23题6分，第24题5分，第25--26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：|﹣|﹣2cos45°+（π﹣1）0+．18．解不等式组：．19．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．20．已知a2+a﹣1＝0，求代数式（a+2）（a﹣2）+a（a+2）的值．21．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE⊥ED．（1）求证：△ABE∽△ECD；（2）F为AE延长线上一点，满足EF＝AE，连接DF交BC于点G．若AB＝2，BE＝1，求GC的长．22．我国是世界上最早发明历法的国家之一．《周礼》中记载：垒土为圭，立木为表，测日影，正地中，定四时．如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆．正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型．如图2，地面上放置一根长2m的杆AB，向正北方向画一条射线BC，在BC上取点D，测得BD＝1.5m，AD＝2.5m．（1）判断：这个模型中AB与BC是否垂直．答：（填“是”或“否”）；你的理由是：．（2）某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角α的值，如下表：节气夏至秋分冬至太阳光线与地面夹角α74°50°27°①记夏至和冬至时表影分别为BM和BN，利用上表数据，在射线BC上标出点M和点N的位置；②记秋分时的表影为BP，推测点P位于．A．线段MN中点左侧B．线段MN中点处C．线段MN中点右侧23．已知直线l：y＝kx（k≠0）经过点A（﹣1，2）．点P为直线l上一点，其横坐标为m．过点P作y轴的垂线，与函数y＝（x＞0）的图象交于点Q．（1）求k的值；（2）①求点Q的坐标（用含m的式子表示）；②若△POQ的面积大于3，直接写出点P的横坐标m的取值范围．24．牛年伊始，中国电影行业迎来了开门红．春节档期全国总观影人次超过1.6亿，总票房超过80亿元．以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息．a．两部影片上映第一周单日票房统计图b．两部影片分时段累计票房如下上映影片2月12日﹣18日累计票房（亿元）2月19日﹣21日累计票房（亿元）甲31.56乙37.22 2.95（以上数据来源于中国电影数据信息网）根据以上信息，回答下列问题：（1）2月12日﹣18日的一周时间内，影片乙单日票房的中位数为；（2）对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是；①甲的单日票房逐日增加；②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大．（3）截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日﹣21日三天内影片甲的累计票房应超过亿元．25．如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，∠ABE＝2∠E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若tan E＝，BD＝1，求AB的长．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）．分别过点M（t，0）和点N（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B．记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包括A，B两点）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）记图象G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m．①当a＝2时，若图象G为轴对称图形，求m的值；②若存在实数t，使得m＝2，直接写出a的取值范围．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）判断AB与DF的数量关系并证明；（3）平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．28．在平面直角坐标系xOy中，对于点A和线段MN，如果点A，O，M，N按逆时针方向排列构成菱形AOMN，且∠AOM＝α，则称线段MN是点A的“α﹣相关线段”．例如，图1中线段MN是点A的“30°﹣相关线段”．（1）已知点A的坐标是（0，2）．①在图2中画出点A的“30°﹣相关线段”MN，并直接写出点M和点N的坐标；②若点A的“α﹣相关线段”经过点（，1），求α的值；（2）若存在α，β（α≠β）使得点P的“α﹣相关线段”和“β﹣相关线段”都经过点（0，4），记PO＝t，直接写出t的取值范围．参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．球C．三棱柱D．长方体【分析】根据一个空间几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．解：由几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，故该几何体是一个柱体，又∵俯视图是一个圆，故该几何体是一个圆柱．故选：A．2．2021年2月24日6时29分，我国自主研制的首个火星探测器“天问一号”成功实施第三次近火制动，进入近火点280千米、远火点59000千米、周期2个火星日的火星停泊轨道．将59000用科学记数法表示应为（）A．0.59×105B．5.9×105C．5.9×104D．5.9×103【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．解：59000＝5.9×104．故选：C．3．七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：A．4．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色，指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向白色区域的概率是（）A．B．C．D．1【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．解：∵转盘分成4个大小相同的扇形，颜色分为灰、白二种颜色，∴指针指向白色区域的概率是＝，故选：B．5．已知正多边形的一个外角等于60°，则该正多边形的边数为（）A．3B．4C．5D．6【分析】利用外角和360°÷外角的度数即可得到边数．解：360°÷60°＝6．故该正多边形的边数为6．故选：D．6．实数a与b在数轴上对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＜0B．a＜b C．b+5＞0D．|a|＞|b|【分析】根据数轴可以发现b＜a，且，由此即可判断以上选项正确与否．解：A．∵2＜a＜3，a＞0，答案A不符合题意；B．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴a＞b，∴答案B不符合题意；C．∵﹣4＜b＜﹣3，∴b+5＞0，∴答案C符合题意；D．∵2＜a＜3，﹣4＜b＜﹣3，∴|a|＜b|，∴答案D不符合题意．故选：C．7．已知x＝1是不等式2x﹣b＜0的解，b的值可以是（）A．4B．2C．0D．﹣2【分析】将x＝1代入不等式求出b的取值范围即可得出答案．解：∵x＝1是不等式2x﹣b＜0的解，∴2﹣b＜0，∴b＞2，故选：A．8．如图，AB是⊙O直径，点C，D将分成相等的三段弧，点P在上．已知点Q在上且∠APQ＝115°，则点Q所在的弧是（）A．B．C．D．【分析】根据∠APQ＝115°找到所对应的弧以及弧所对应的圆心角找到∠AOQ的度数即可确定Q所在位置．解：∵∠APQ＝115°，∴∠APQ所对应优弧，∴根据圆周角定理易知优弧所对圆心角为230°，则劣弧APQ所对应圆心角∠AOQ＝130°，∵C、D为的三等分点，∴∠AOD＝120°故Q应位于上，故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若式子有意义，则实数x的取值范围是x≥1．【分析】根据二次根式的性质可以得到x﹣1是非负数，由此即可求解．解：依题意得x﹣1≥0，∴x≥1．故答案为：x≥1．10．方程组的解为．【分析】利用①+②可消除y，从而可求出x，再把x的值代入①，易求出y．解：，①+②，得3x＝9，解得x＝3，把x＝3代入①，得3+y＝3，解得y＝0，∴原方程组的解是．故答案是．11．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果图中∠1是70°，那么∠2的度数是110°．【分析】根据平行线的性质，找到同旁内角、内错角进行推理即可得出∠2度数．解：如图所示，由题意可知l∥l'，∵l∥l'，∴∠1+∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠3＝110°，∴∠2＝∠3＝110°（两直线平行，内错角相等）．故答案为：110°．12．若+a的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数a的值﹣（答案不唯一）．【分析】直接利用有理数的定义结合二次根式的性质得出答案．解：∵+a的值为有理数，∴符合条件的实数a的值可以为：﹣（答案不唯一）．故答案为：﹣（答案不唯一）．13．计算：（﹣）•＝1．【分析】根据分式的运算法则进行化简即可求出答案．解：原式＝•＝＝1，故答案为：1．14．已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+4＝0有两个相等的实数根，则m的值是2或﹣6．【分析】根据方程x2﹣（m+2）x+4＝0有两个相等的实数根可得△＝0，即（m+2）2﹣4×4＝0，解方程即可得m的值．解：∵方程x2﹣（m+2）x+4＝0有两个相等的实数根，∴△＝0，即（m+2）2﹣4×4＝0，解得：m＝2或m＝﹣6，故答案为：2或﹣6．15．图1中的直角三角形有一条直角边长为3，将四个图1中的直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，其中阴影部分的面积分别记为S1，S2，则S1﹣S2的值为9．【分析】分别表示出S1，S2，即可求解．解：设图1中的直角三角形另一条直角边长为b，∴S1＝32+b2＝9+b2，S2＝b2，∴S1﹣S2＝9，故答案为9．16．图1是一个2×2正方形网格，两条网格线的交点叫做格点，甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下：游戏规则a．两人依次在网格中画线段，线段的起点和终点均为格点；b．新画线段的起点为前一条线段的终点，且与任意已画出线段不能有其他公共点；c．已画出线段的所有端点中，任意三个端点不能在同一条直线上；d．当某人无法画出新的线段时，则另一人获胜．如图2，甲先画出线段AB，乙随后画出线段BC．若这局游戏继续进行下去，最终的获胜者是乙（填“甲”，“乙”或“不确定”）．【分析】如图，甲只能画3次线段，乙可以画4次线段，如图所示，乙能获胜．解：如图，甲只能画3次线段，乙可以画4次线段，如图所示，所以，乙一定能获胜．故答案为：乙．三、解答题（本题共68分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分，第23题6分，第24题5分，第25--26题，每小题5分，第27-28题，每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：|﹣|﹣2cos45°+（π﹣1）0+．【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．解：原式＝﹣2×+1+2＝﹣+1+2＝1+2．18．解不等式组：．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解：解不等式4（x+1）≥x+7，得：x≥1，解不等式＞x，得：x＜2，则不等式组的解集为1≤x＜2．19．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．求证：∠A＝∠D．【分析】证明△ABC≌△DEF（SAS），可得∠A＝∠D．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠A＝∠D．20．已知a2+a﹣1＝0，求代数式（a+2）（a﹣2）+a（a+2）的值．【分析】原式利用平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．解：∵a2+a﹣1＝0，∴a2+a＝1，原式＝a2﹣4+a2+2a＝2a2+2a﹣4＝2（a2+a）﹣4，当a2+a＝1时，原式＝2﹣4＝﹣2．21．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE⊥ED．（1）求证：△ABE∽△ECD；（2）F为AE延长线上一点，满足EF＝AE，连接DF交BC于点G．若AB＝2，BE＝1，求GC的长．【分析】（1）由余角的性质可得∠BAE＝∠DEC，可得结论；（2）由相似三角形的性质可求EC＝4，由等腰三角形的性质和平行线的性质可证EG＝DG，由勾股定理可求解．【解答】证明：（1）∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°＝∠B＝∠C，∴∠AEB+∠DEC＝∠AEB+∠BAE，∴∠BAE＝∠DEC，∴△ABE∽△ECD；（2）∵△ABE∽△ECD，∴，∴，∴EC＝4，∵AE＝EF，∠AED＝90°，∴AD＝DF，又∵∠AED＝90°，∴∠ADE＝∠FDE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC＝∠FDE，∴DG＝EG，∵DG2＝DC2+GC2，∴（4﹣GC）2＝4+GC2，∴GC＝．22．我国是世界上最早发明历法的国家之一．《周礼》中记载：垒土为圭，立木为表，测日影，正地中，定四时．如图1，圭是地面上一根水平标尺，指向正北，表是一根垂直于地面的杆．正午，表的日影（即表影）落在圭上，根据表影的长度可以测定节气．在一次数学活动课上，要制作一个圭表模型．如图2，地面上放置一根长2m的杆AB，向正北方向画一条射线BC，在BC上取点D，测得BD＝1.5m，AD＝2.5m．（1）判断：这个模型中AB与BC是否垂直．答：是（填“是”或“否”）；你的理由是：勾股定理的逆定理．（2）某地部分节气正午时分太阳光线与地面夹角α的值，如下表：节气夏至秋分冬至太阳光线与地面夹角α74°50°27°①记夏至和冬至时表影分别为BM和BN，利用上表数据，在射线BC上标出点M和点N 的位置；②记秋分时的表影为BP，推测点P位于A．A．线段MN中点左侧B．线段MN中点处C．线段MN中点右侧【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判断即可．（2）①利用量角器，画出图形即可．②利用图像法判断即可．解：（1）∵AB＝2m，BD＝1.5m，AD＝2.5m，∴AD2＝6.25，AB2+BD2＝6.25，∴AD2＝AB2+BD2，∴∠ABD＝90°，∴△ABD是直角三角形．故答案为：是，勾股定理的逆定理．（2）①如图2中，点M，点N即为所求作．②观察图像可知，点P在线段MN的中点的左侧，故选A，故答案为：A．23．已知直线l：y＝kx（k≠0）经过点A（﹣1，2）．点P为直线l上一点，其横坐标为m．过点P作y轴的垂线，与函数y＝（x＞0）的图象交于点Q．（1）求k的值；（2）①求点Q的坐标（用含m的式子表示）；②若△POQ的面积大于3，直接写出点P的横坐标m的取值范围．【分析】（1）将点A的坐标代入y＝kx得：2＝﹣k，即可求解；（2）①设点P的坐标为（m，﹣2m），当y＝﹣2m＝时，x＝﹣，即可求解；②由△POQ的面积＝PQ×y P＝×（﹣﹣m）×（﹣2m）＞3，即可求解．解：（1）将点A的坐标代入y＝kx得：2＝﹣k，即k＝﹣2；（2）①由（1）知，y＝﹣2x，设点P的坐标为（m，﹣2m），当y＝﹣2m＝时，x＝﹣，故点Q的坐标为（﹣，﹣2m）；②△POQ的面积＝PQ×y P＝×（﹣﹣m）×（﹣2m）＞3，解得m＞1或m＜﹣1，由函数y＝（x＞0），则m＜0，故m＜﹣1．24．牛年伊始，中国电影行业迎来了开门红．春节档期全国总观影人次超过1.6亿，总票房超过80亿元．以下是甲、乙两部春节档影片上映后的票房信息．a．两部影片上映第一周单日票房统计图b．两部影片分时段累计票房如下上映影片2月12日﹣18日累计票房（亿元）2月19日﹣21日累计票房（亿元）甲31.56乙37.22 2.95（以上数据来源于中国电影数据信息网）根据以上信息，回答下列问题：（1）2月12日﹣18日的一周时间内，影片乙单日票房的中位数为 4.36；（2）对于甲、乙两部影片上映第一周的单日票房，下列说法中所有正确结论的序号是②；①甲的单日票房逐日增加；②甲单日票房的方差小于乙单日票房的方差；③在第一周的单日票房统计中，甲超过乙的差值于2月17日达到最大．（3）截止到2月21日，影片甲上映后的总票房超过了影片乙，据此估计，2月19日﹣21日三天内影片甲的累计票房应超过8.61亿元．【分析】（1）根据中位数的概念即可得到答案；（2）①从图象上直接可以得到答案；②通过观察图象，从图象的缓急程度可得答案；③可以计算一下12日和13日的差值比较即可得到答案；（3）设19﹣20日的票房为x，根据总票房数相等列出方程，求解即可得到答案．解：（1）乙单日票房从小到大排列如下：1.63，2.32，3.13，4.36，7.49，8.18，10.11，∴2月12日﹣18日的一周时间内，影片乙单日票房的中位数为4.36，故答案为：4.36；（2）①甲的单日票房并未逐日增加，在16日、17日、18日有下降，故错误；②甲的图象来看更加平缓，方差较小，故正确；③12日的单日差值为：10.11﹣2.91＝7.2，13日的差值为：8.18﹣3.02＝5.16，均高于17日的差值：5.52﹣2.32＝3.2，故错误．故选：②；（3）设19﹣20日的票房为x亿元，则x必须满足：31.56+x＝37.22+2.95，∴x＝40.17﹣31.56＝8.61．∴2月19日﹣21日三天内影片甲的累计票房应超过8.61亿元．故答案为：8.61．25．如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，∠ABE＝2∠E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若tan E＝，BD＝1，求AB的长．【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到∠ABE＝∠BOC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；（2）连接AC，BC，根据圆周角定理得到∠BCE＝90°，推出∠BCD＝∠OCE，得到∠BCD＝∠E，根据三角函数的定义得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE，∵∠BOC＝∠E+∠OCE，∴∠BOC＝2∠E，∵∠ABE＝2∠E∴∠ABE＝∠BOC，∴AB∥OC，∵AB⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接AC，BC，∵BE是⊙O的直径，∴∠BCE＝90°，∴∠OCE+∠OCB＝90°，∵∠OCB+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠OCE，∴∠BCD＝∠E，∵∠A＝∠E，tan E＝，BD＝1，∴＝，∴AD＝9，∴AB＝8．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）．分别过点M（t，0）和点N（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B．记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包括A，B两点）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）记图象G上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m．①当a＝2时，若图象G为轴对称图形，求m的值；②若存在实数t，使得m＝2，直接写出a的取值范围．【分析】（1）y＝ax2﹣2ax+a﹣2变形为y＝a（x﹣1）2﹣2，即可得到顶点坐标；（2）①a＝2时，抛物线对称轴x＝1，由图象G为轴对称图形，可得t的值，从而求出A、B坐标，得到m的值；②分四种情况讨论：t≤﹣1，﹣1＜t≤0，0＜t＜1，t≥1，根据m＝2分别列出方程，由t的范围即可求出a的范围．解：（1）y＝ax2﹣2ax+a﹣2＝a（x﹣1）2﹣2，∴抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣2的顶点为（1，﹣2）；（2）①当a＝2时，y＝2x2﹣4x，抛物线对称轴x＝1，∵图象G为轴对称图形，M（t，0），N（t+2，0），∴1﹣t＝t+2﹣1，∴t＝0，∵过点M（t，0）和点N（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B，∴A（0，0），B（2，0），∵顶点为（1，﹣2），∴m＝0﹣（﹣2）＝2；②∵过点M（t，0）和点N（t+2，0）作x轴的垂线，交抛物线于点A和点B，∴A（t，at2﹣2at+a﹣2），B（t+2，a（t+2）2﹣2a（t+2）+a﹣2），又a＞0，抛物线对称轴x＝1，（一）当t+2≤1，即t≤﹣1时，图象G上A的纵坐标的值最大，B的纵坐标的值最小，（at2﹣2at+a﹣2）﹣[a（t+2）2﹣2a（t+2）+a﹣2]＝2，解得t＝﹣，∴﹣≤﹣1，∴a≤；（二）当t＜1＜t+2，且t+2﹣1≤1﹣t，即﹣1＜t≤0时，图象G上A的纵坐标的值最大，顶点纵坐标的值最小，∴（at2﹣2at+a﹣2）﹣（﹣2）＝2，∴a＝，又﹣1＜t≤0，∴＜a≤2；（三）当t＜1＜t+2，且t+2﹣1＞1﹣t，即0＜t＜1时，图象G上B的纵坐标的值最大，顶点纵坐标的值最小，∴a（t+2）2﹣2a（t+2）+a﹣2﹣（﹣2）＝2，∴a＝，又0＜t＜1，∴＜a＜2；（四）当t≥1时，图象G上B的纵坐标的值最大，A的纵坐标的值最小，∴a（t+2）2﹣2a（t+2）+a﹣2﹣（at2﹣2at+a﹣2）＝2，∴t＝，又t≥1，∴a≤，综上所述，若存在实数t，使得m＝2，则a≤2．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）判断AB与DF的数量关系并证明；（3）平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．【分析】（1）由题意画出图形，如图所示；（2）由“SAS”可证△AEC≌△DEF，可得AC＝DF＝AB；（3）由题意可得点G在以点D为圆心，DC为半径的圆上，点G在以点F为圆心，FB 为半径的圆上，则两圆的交点为G，由“SSS”可证△ABF≌△DFG，可得∠BAF＝∠FDG ＝140°，即可求解．解：（1）如图所示：（2）AB＝DF，理由如下：∴AE＝DE，∵C关于点E的对称点为F，∴CE＝EF，又∵∠AEC＝∠FED，∴△AEC≌△DEF（SAS），∴AC＝DF，∵AB＝AC，∴AB＝DF；（3）如图2，连接AF，∵AE＝DE，CE＝EF，∴四边形ACDF是平行四边形，∴∠ACM+∠CAF＝180°，AF＝CD，DF＝AC＝AB，∴∠CAF＝100°＝∠CDF，∴∠BAF＝140°，∵DG＝DC，∴点G在以点D为圆心，DC为半径的圆上，∵FG＝FB，∴点G在以点F为圆心，FB为半径的圆上，∵AB＝DF，AF＝DG，FB＝FG，∴△ABF≌△DFG（SSS），∴∠BAF＝∠FDG＝140°，∴∠CDG＝40°，同理可证△ABF≌△DFG'，∴∠BAF＝∠G'DF＝140°，∴∠CDG'＝360°﹣100°﹣140°＝120°，综上所述：∠CDG＝40°或120°．28．在平面直角坐标系xOy中，对于点A和线段MN，如果点A，O，M，N按逆时针方向排列构成菱形AOMN，且∠AOM＝α，则称线段MN是点A的“α﹣相关线段”．例如，图1中线段MN是点A的“30°﹣相关线段”．（1）已知点A的坐标是（0，2）．①在图2中画出点A的“30°﹣相关线段”MN，并直接写出点M和点N的坐标；②若点A的“α﹣相关线段”经过点（，1），求α的值；（2）若存在α，β（α≠β）使得点P的“α﹣相关线段”和“β﹣相关线段”都经过点（0，4），记PO＝t，直接写出t的取值范围．【分析】（1）①如图1中，根据要求作出图形即可，过点M作MK⊥OA于K．解直角三角形求出KM，OK，可得结论．②分两种情形分别画出图形求解即可．（2）如图3中，过点G（0，4）作OP的平行线l，以P为圆心，OP长为半径作⊙P，当⊙P与直线l有两个交点且线段MN，线段M′N′经过G（0，4）时，满足条件．求出两种特殊位置OP的值，可得结论．解：（1）①如图1中，图形如图所示，过点M作MK⊥OA于K．∵A（0，2），∴OA＝OM＝MN＝AN＝2，在Rt△OMK中，∠MOK＝30°，∴MK＝OM＝1，OK＝MK＝，∴M（1，），N（1，+2）．②如图2﹣1中，当点M与（，1）重合时，α＝60°．如图2﹣2中，当点N与（，1）重合时，α＝120°，综上所述，满足条件的α的值为60°或120°．（2）如图3中，过点G（0，4）作OP的平行线l，以P为圆心，OP长为半径作⊙P，当⊙P与直线l有两个交点且线段MN，线段M′N′经过G（0，4）时，满足条件．观察图象可知，满足条件的OP的值为2＜OP≤4，∴2＜t≤4．。
北京市海淀区一模数学(理科)试题及答案
2010年北京市海淀区高三一模数 学(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I 卷1至2页，第II 卷2至4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案写在答题卡及答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束，将本试卷、答题卡、答题纸一并交回。
第I 卷(选择题共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中。
选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，复数z=(1-i)（i 是虚数单位）对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在同一坐标系中画出函数log ,,x a y x y a y x a ===+的图像，可能正确的是3．在四边形ABCD 中，,AB D C =且0AC AD = ，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．直角梯形D ．等腰梯形4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1,3)-。
若以圆点O 为极点，x 轴半轴为极轴建立坐标系，则点P 的极坐标可以是A ．(1,)3π-B ．4(2,)3π C ．(2,)3π-D ．4(2,)3π-5．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三 棱柱的左视图的面积为 A ．63 B ．8C ．83D ．126．已知等差数列1，,a b ，等比数列3，2,5a b ++，则该 等差数列的公差为 A ．3或3- B ．3或1- C ．3D ．3-7．已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是A ．1-B ．1C ．2D ．128．已知数列1212:,,...,(...,3)n n A a a a a a a a n ≤<<<≥具有性质P ：对任意i ，(1)j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四个命题： ①数列0，1，3具有性质P ； ②数列0，2，4，6具有性质P ； ③若数列A 具有性质P ，则10a =；④若数列123,,a a a 123(0)a a a ≤<<具有性质P ，则1322a a a += 其中真命题有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9．某校为了解高三同学寒假期间学习情况，抽查了 100名学生，统计他们每天平均学习时间，绘成 频率分布直方图（如图）。
2024-2025学年北京市海淀区清华大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题(含答案)
2024-2025学年清华大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x∣1<3x≤9},B={x∈Z∣x≥1}，则A∩B=( )A. (1,2]B. {1,2}C. [1,2]D. {1}2.已知复数z=1+2i2−i，则z的共轭复数z=( )A. −12B. 2+iC. −iD. i3.已知a<b，则( )A. a2<b2B. e−a<e−bC. ln(|a|+1)<ln(|b|+1)D. a|a|<b|b|4.已知f(x)=sinωx(ω>0)，f(x1)=−1，f(x2)=1，|x1−x2|min=π4，则ω=( )A. 1B. 2C. 3D. 45.如图，在▵ABC中，点D，E满足BC=2BD，CA=3CE.若DE=x AB+y AC(x,y∈R)，则x+y=( )A. −12B. −13C. 12D. 136.若α是第二象限角，且tan(π−α)=12，则cos(π2+α)=( )A. 32B. −32C. 55D. −557.已知数列{a n}为无穷项等比数列，S n为其前n项和，a1>0，则“{S n}存在最小项”是“S2≥0”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.若过点(a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则( )A. e b<aB. e a<bC. 0<a<e bD. 0<b<e a9.血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的是A. 首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B. 每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C. 每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D. 首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒10.数列{a n}满足a4n−3=−1，a4n−1=1，a2n=a n，该数列的前n项和为S n，则下列论断中错误的是( )A. a31=1B. a2024=−1C. ∃非零常数T，∀n∈N∗，使得a n+T=a nD. ∀n∈N∗，都有S2n=−2二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市海淀区九年级一模数学试卷含答案及解析
2019学年北京市海淀区九年级一模数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________题号一二三四总分得分一、选择题1. 2015年北京市实施能源清洁化战略，全市燃煤总量减少到15 000万吨左右，将15 000用科学记数法表示应为A． B． C． D．2. 右图是某几何体的三视图，该几何体是A. 三棱柱B. 三棱锥C. 长方体D.正方体3. 如图，数轴上两点A，B表示的数互为相反数，则点B表示的数为A． 1 B．1 C． 2 D．24. 某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为A． B． C． D．5. 如图，直线a与直线b平行，将三角板的直角顶点放在直线a上，若∠1=40°，则∠2等于A．40° B．50° C．60° D．140°6. 如图，已知∠AOB．小明按如下步骤作图：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于点E．（2）分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC．根据上述作图步骤，下列结论正确的是A．射线OC是的平分线B．线段DE平分线段OCC．点O和点C关于直线DE对称D．OE=CE7. 某次比赛中，15名选手的成绩如图所示，则这15名选手成绩的众数和中位数分别是A．98，95 B．98，98C．95，98 D．95，958. 甲骑车到乙家研讨数学问题，中途因等候红灯停止了一分钟，之后又骑行了1.2千米到达了乙家．若甲骑行的速度始终不变，从出发开始计时，剩余的路程（单位：千米）与时间（单位：分钟）的函数关系的图象如图所示，则图中a等于A．1.2 B．2 C．2.4 D．69. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E.若，AC=3，则CD的长为A． 6 B． C． D．310. 小明在书上看到了一个实验：如右图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动.小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t以及容器内水面的高度h，并画出表示h与t的函数关系的大致图象.如左下图所示.小明选择的物体可能是二、填空题11. 分解因式：____________．12. 写出一个函数（），使它的图象与反比例函数的图象有公共点，这个函数的解析式为___________．13. 某学习小组设计了一个摸球试验，在袋中装有黑，白两种颜色的球，这些球的形状大小质地等完全相同，即除颜色外无其他差别.在看不到球的情况下，随机从袋中摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复.下表是由试验得到的一组统计数据：14. 摸球的次数1500600摸到白球的次数581189摸到白球的频率0.580.590.630.5930.6040.598td15. 如图，点C为线段AB上一点，将线段CB绕点C旋转，得到线段CD，若，，，则的长为__________．16. 在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题：“四边形ABCD 中，AD∥BC，请添加一个条件，使得四边形ABCD是平行四边形”．经过思考，小明说“添加AD=BC”，小红说“添加AB=DC” ．你同意的观点，理由是．17. 若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角.已知△ABC是等径三角形，则等径角的度数为 .三、计算题18. 计算：．四、解答题19. 解不等式组：20. 已知，求代数式的值．21. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB=FC，∠A=∠F，∠EBC=∠FCB．求证： BE=CD．22. 已知关于的方程.（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数的值23. 列方程或方程组解应用题:为了响应学校提出的“节能减排，低碳生活”的倡议，班会课上小李建议每位同学都践行“双面打印，节约用纸”．他举了一个实际例子：打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，总质量为160克.已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求例子中的A4厚型纸每页的质量.（墨的质量忽略不计）24. 如图，在□中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．25. 根据某研究中心公布的近几年中国互联网络发展状况统计报告的部分相关数据，绘制的统计图表如下：根据以上信息解答下列问题：（1）直接写出扇形统计图中m的值；（2）从2011年到2014年，中国网民人数每年增长的人数近似相等，估算2015年中国网民的人数约为亿；（3）据某市统计数据显示，2014年末全市常住人口为476.6万人，其中网民数约为210万人．若2014年该市的网民学历结构与2014年的中国网民学历结构基本相同，请你估算2014年末该市网民学历是大专的约有万人．26. 图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙O的直径.（1）求证：OD⊥CE；（2）若DF=1， DC=3，求AE的长．27. 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值．小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．图1 图2 图3请回答：BC+DE的值为_______．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，已知□ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠AGF的度数．28. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴交于点A，顶点为点B，点C 与点A关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线BC的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移（）个单位后与直线BC只有一个公共点，求的取值范围．29. 在菱形中，，点是对角线上一点，连接，，将线段绕点逆时针旋转并延长得到射线，交的延长线于点．（1）依题意补全图形；（2）求证：；（3）用等式表示线段，，之间的数量关系：_____________________________．30. 在平面直角坐标系xOy中，对于点和点，给出如下定义：若，则称点为点的限变点．例如：点的限变点的坐标是，点的限变点的坐标是．（1）①点的限变点的坐标是___________；②在点，中有一个点是函数图象上某一个点的限变点，这个点是_______________；（2）若点在函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是，求的取值范围；（3）若点在关于的二次函数的图象上，其限变点的纵坐标的取值范围是或，其中．令，求关于的函数解析式及的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】第27题【答案】第28题【答案】第29题【答案】。
北京市海淀区2022届高三一模数学试卷(word版,含答案)
北京市海淀区2022届高三一模数学试卷数 学2022．03本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}12A x x =-≤≤，{}0B x x =>则 A B ⋃=（ ） （A ）{}2x x ≤（B ）{}1x x ≥-（C ）{}1x x >-（D ）{}0x x >（2）在复平面内，复数z 对应的点为（1，-1），则()1i z +=（ ） （A ）2（B ）2i（C ）-2i（D ）-2（3）双曲线2213x y -=的离心率为（ ）（A （B （C （D（4）在4)x 的展开式中，2x 的系数为（ ）（A ）-1 （B ）1 （C ）-4 （D ）4（5）下列命题中正确的是（ ） （A ）平行于同一个平面的两条直线平行 （B ）平行于同一条直线的两个平面平行 （C ）垂直于同一个平面的两个平面平行（D ）垂直于同一条直线的两个平面平行（6）已知直线:1l ax by +=是圆22220x y x y +--=的一条对称轴，则ab 的最大值为（ ）（A ）14（B ）12（C ）1（D（7）已知角α的终边绕原点O 逆时针旋转号23π后与角β的终边重合，且cos()1αβ+=，则α的取值可以为（ ） （A ）6π （B ）3π （C ）23π （D ）56π（8）已知二次函数()f x 的图象如图所示，将其向右平移2个单位长度得到函数()g x 的图象，则不等式2()log g x x >的解集是（ ）（A ）(,2)-∞ （B ）(2,)+∞ （C ）（0,2）（D ）（0,1）（9）在ABC △中，4A π=，则sin 22B <是“ABC △是钝角三角形”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）甲医院在某段时间内累计留院观察的某病疑似患者有98人，经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表： 年龄（岁） [)0,20[)20,40[)40,60[)60,80[)80,∞总计 确诊组人数 0 3 7 4 0 14 排除组人数7411519284为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式。
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学 无 止 境
参考答案
一、选择题
１.Ｃ ２.Ｄ ３.Ａ ４.(理)A (文)B 5.C 6.B 7.C 8.C 9.B 10.C 11.D 12.D
二、填空题
13.12；14.{ｘ｜－２＜ｘ＜１}；１５.（０，２）；
１６.242、122、123中选一即可
三、解答题
17.解：（Ⅰ）设z=x+yi(x,y∈Ｒ)
依题意，z２＝(x+yi)２＝ｘ２－ｙ２＋２ｘｙｉ
∴22222xyyx 3分
故（ｘ－ｙ）２＝０
∴ｘ＝ｙ代入②，得２ｘ２＝２
∴ｘ＝±１，∴-1-1 11yxyx或
iziz11或
5分
ａｒｇｚ＝.45arg4z或
∴ｚ＝)45sin45(cos2)4sin4(cos2izi或 7分
(Ⅱ)当z=1+i时，z２＝２ｉ，ｚ－ｚ２＝１－ｉ
∴Ａ（１，１）、Ｂ（０，２）、Ｃ（１，－１）
∴｜ＡＣ｜＝２
Ｓ△ＡＢＣ＝21×１×２＝１ 10分
当z=-1-i时，ｚ２＝２i，ｚ－ｚ２＝－１－３ｉ
Ａ（－１，－１）、Ｂ（０，２）、Ｃ
（－１，－３）
则Ｓ△ＡＢＣ＝１
综上△ABC的面积为1 12分
18.解：(Ⅰ)∵△ABC是正三角形，AF是BC边的
中线
∴ＡＦ⊥ＢＣ
又D、E分别是AB、AC的中点.
∴DE BC21
∴ＡＦ⊥ＤＥ，ＡＦ∩ＤＥ＝Ｇ 2分
∴Ａ′Ｇ⊥ＤＥ，ＧＦ⊥ＤＥ
∴ＤＥ⊥平面Ａ′ＦＧ 4
①
②
＝
∥
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分
又ＤＥ平面BCED
∴平面Ａ′ＧＦ⊥平面BCED 6分
(Ⅱ)∵Ａ′Ｇ⊥ＤＥ，ＧＦ⊥ＤＥ
∴∠Ａ′ＧＦ是二面角Ａ′—ＤＥ—Ｂ的平面角 7分
∵平面Ａ′ＧＦ∩平面BCED=AF
作Ａ′Ｈ⊥ＡＧ于H
∴Ａ′Ｈ⊥平面BCED 9分
假设Ａ′Ｅ⊥ＢＤ，连EH并延长交AD于Q
∴ＥＱ⊥ＡＤ 10分
∵ＡＧ⊥ＤＥ
∴H是正三角形ADE的垂心，也是中心.
∵ＡＤ＝ＤＥ＝ＡＥ＝2a
∴Ａ′Ｇ＝ＡＧ＝a43，aAGHG12331
在Ｒｔ△Ａ′ＨG中， 31cosGAHGGHA
∵∠Ａ′ＧＦ＝π－∠Ａ′ＧＨ
∴ｃｏｓ∠Ａ′ＧＨ＝－31
∴∠Ａ′ＧＦ＝ａｒｃｃｏｓ（－31）时 11分
即当∠Ａ′ＧＦ＝ａｒｃｃｏｓ（－31）时，Ａ′Ｅ⊥ＢＤ． 12分
19.解：(Ⅰ)∵当ｎ≥２时，３Ｓｎ－４，ａｎ，２－231nS成等差数列
∴２ａｎ＝３Ｓｎ－４＋２－23Ｓｎ－１
∴ａｎ＝３Ｓｎ－４（ｎ≥２） 2分
∴ａ２＝３（ａ１＋ａ２）－４，∵ａ１＝１，∴ａ２＝21
类似地ａ３＝３（ａ１＋ａ2＋ａ３）－４ ∴ａ3＝－41
ａ４＝３（ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４）－４ ∴ａ４＝81 4分
（Ⅱ）∵当n≥2时，ａｎ＝３Ｓｎ－４，即３Ｓｎ＝ａｎ＋４
∴434311nnnnaSaS
②－①，得３ａｎ＋１＝ａｎ＋１－ａｎ
①
②
学 无 止 境
∴211nnaa为常数 6分
∴ａ２，ａ３，ａ４，…，ａｎ，…成等比数列.
其中ａ２＝21，ｑ＝－21 7分
故ｎ≥２，ａｎ＝ａ２·ｑｎ－２=2)21(21n
1)21(n
∴ａｎ＝1)21(1n
(Ⅲ)∵Ｓｎ＝ａ１＋ａ2＋…＋ａｎ
＝１＋（ａ２＋ａ３＋…＋ａｎ）
∴)(lim1lim32nnnnaaaS
343
1
1)21(1211
12分
20.解：（Ⅰ）由已知数据，易知函数y=f(t)的周期
T=12 1分
振幅A=3 2分
b=10 3分
∴ｙ=3ｓｉｎ106t 4分
(Ⅱ)由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5(米)
∴３ｓｉｎ6t＋１０≥１１．５ 6分
∴ｓｉｎ6t≥21
解得，2kπ＋6≤t6≤２ｋπ+65 (k∈Z) 8 分
12k+1≤ｔ≤１２ｋ＋５ （ｋ∈Ｚ）
在同一天内，取k=0或1
∴１≤ｔ≤５或１３≤ｔ≤１７ 10分
∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时 12分
21.解：（Ⅰ）∵y=f(x)是以5为周期的周期函数
∴f(4)=f(4－5)=f(－1) 1分
又y=f(x),(－1≤ｘ≤１)是奇函数
∴f(1)=－f(－1)=－f(4)
∴f(1)+f(4)=0 3分
(n=1)
(n≥2)
9分
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(Ⅱ)当x∈［１，４］时，由题意，可设
f(x)=a(x-2)２－５（ａ≠０） 5分
由f(1)+f(4)=0
得a(1－2)２－５＋ａ（４－２）２－５＝０
解得a=2
∴f(x)=2(x－2)２－５ （１≤ｘ≤4） 7分
(Ⅲ)(理)∵y=f(x) (－1≤ｘ≤１)是奇函数
∴f(0)=－f(－0),∴f(0)=0 8分
又y=f(x) (0≤ｘ≤１)是一次函数
∴可设f(x)=kx （０≤ｘ≤１）
∵f(1)=2(1－2)２－５＝－３
又f(1)=k·1=k
∴ｋ＝－３
∴当0≤ｘ≤１时f(x)=-3x 9分
当-1≤ｘ＜0时，0＜－ｘ≤１
∴f(x)=－f(－x)=-3x
∴当－1≤ｘ≤１时，f(x)=－3x 11分
当４≤ｘ≤６时，－1≤ｘ－５≤1
∴f(x)=f(x－5)=-3(x－5)=-3x+15
当６＜ｘ≤9时，１＜ｘ－５≤４
f(x)=f(x－5)=2［(x－5)－2］２－５
=２(x－7)２－５
∴f(x)=96,5)7(264,1532xxxx 12
分
22.解：（Ⅰ）∵｜ＣＤ｜＝522ODCO,
且圆D与圆C外切(O为原点)
∴圆D半径r=5－2=3
此时，A、B坐标分别为(0，0)、(0，6)
PA在x轴上，PB斜率k=2
∴tｇAPB＝２ 3分
(Ⅱ)设D点坐标为（０，ａ），圆D半径为r，
则(r+2)２＝１６＋ａ２ ①
A、B坐标分别为(0,a-r)、(0,a+r)
设QA、QB斜率分别为k１，k２，则
ｋ
１
＝3,32rakra
tgAPB=963313322rarrararara ② 6分
由①解出ａ２代入②，
学 无 止 境
得ｔｇＡＰＢ＝68923346rrr,
而8r-6为单调增函数，r∈［２，＋∞)．
∴ｔｇＡＰＢ∈（512,23]
∠ＡＰＢ的最大值为ａｒｃｔｇ512; 9分
(Ⅲ)(理)假设存在Q点，设Q(b,0),QA、QB斜率分别为k１，k２，则
k１=brakbra2,
ｔｇＡＱＢ＝2221212211rabbrbrabrabrabrakkkk 11分
将ａ２＝（ｒ＋２）２－１６代入上式，得
ｔｇＡＱＢ＝4122412222rbbrbbr
欲使∠ＡＱＢ大小与r无关，当且仅当b２＝１２，
即b=±２3.
此时ｔｇＡＱＢ＝3，∠ＡＱＢ＝６０°
∴存在Q点，当圆D变动时，∠ＡＱＢ为定值60°，Q点坐标为（±２3，０）
14分