(完整版)绝对值三角不等式
绝对值三角不等式 课件
证明:∵m 等于|a|,|b|和 1 中最大的一个,|x|>m,
|| > ≥ ||
|| > ||,
||
||
>
≥
||
∴
⇒
∴ + 2 ≤
+ 2 = +
2
||
|| > |b|.
|| > ≥ 1
||
2
|| ||
<
+ 2 =2.故原不等式成立.
2
||
||
∴-4≤y≤4.
∴yma x=4,y min =-4.
迁移与应用
如果关于 x 的不等式|x-3|+|x-4|<a 的解集为空集,求参数 a
的取值范围.
解:只要 a 不大于|x-3|+|x-4|的最小值,则|x-3|+|x-4|<a 的解集
为空集,而|x-3|+|x-4|=|x-3|+|4-x|≥|x-3+4-x|=1,
=|(x-a)(x+a-1)|
=|x-a||x+a-1|
<|x+a-1|
=|Байду номын сангаас-a+2a-1|
≤|x-a|+|2a-1|
<1+|2a|+1
=2(|a|+1),
∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
迁移与应用
已知 f(x)=x2 -2x+7,且|x-m|<3,求证:|f(x)-f(m)|<6|m|+15.
第一讲3绝对值三角不等式
探究 你能根据定理1的研究思路，探究一下
|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗？ 例如：|a|-|b|与|a+b|，|a|+|b|与|a-b|，|a|-|b| 与|a-b|等之间的关系。 |a|-|b|≤|a+b|, |a|+|b|≥|a-b|,
|a|-|b|≤|a-b|.
如果a, b是实数，那么|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
小结
理解和掌握绝对值不等式的两个定理： |a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成立） |a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R, (a-b)(b-c)≥0时等号成立）
能应用定理解决一些证明和求最值问题。
练习：课本P19第1、2题
1 .求证：(1)|a+b|+|a-b|≥2|a| (2)|a+b|-|a-b|≤2|b| 2.用几种方法证明
法二：把函数看成是分段函数，用图像法。 例2：求函数f(x)=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值；
法一：
|| x 3 | | x 1 ||| ( x 3) ( x 1) | 4 4 | x 3 | | x 1 | 4 ymax 4, ymin 4
工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处? 分析:如果生活区建于公路路碑的第x km处,两个施工 队每天往返的路程之和为S(x) km. 那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|) 故实际问题转化为数学问题:
当x取何值时,函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取得最小值.
解:设生活区应该建于公路路碑的第x km处,两个施工 队每天往返的路程之和为S(x) km,则: S(x)=2(|x-10|+|x-20|) 我们先来考察它的图像: 60-4x S(x)=2(|x-10|+|x-20|)= S 60
绝对值三角不等式
练习 1．若a、b∈R，则以下命题正确的是( A A．|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| B．|a|－|b|＜|a－b|＜|a|＋|b| C．当且仅当ab＞0时，|a＋b|＝|a|＋|b| )
D．当且仅当ab≤0时，|a－b|＝|a|－|b|
2．设a，b是满足ab＜0的实数，则下列不等式中正确的 是( B )
7．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2， 5 1 则|a＋b|的最大值是________ ，最小值是________ 8．若1＜a＜8，－4＜b＜2，则a－|b|的取值 (－3,8) ． 范围是________
9. 求函数y=|x-3|-|x+1|的最大值和最小值.
解：∵||x-3|-|x+1||≤|(x-3)-(x+1)|=4, ∴-4≤|x-3|-|x+1|≤4. 即ymax=4, ymin=-4.
定理1的完善
||a|-|b|||a+b||a|+|b|，
左边取等的条件为ab 0： 右边取等的条件为ab ≥0
||a|-|b|||a-b||a|+|b|，
左边取等的条件为ab ≥0 ： 右边取等的条件为ab 0
典例示范，应用新知
例1:已知>0 |x-a|< |y-b|<, 求证: |2x+3y-2a-3b|<5 证明: |2x+3y-2a-3b| =|(2x-2a)+(3y-3b)| |2(x-a)|+|3(y- b)| =2|x-a|+3|y-b| <2+3=5 故 |2x+3y-2a-3b|<5
S(x)=2(|x-10|+|x-20|) 方法1：去绝对值变成分段函数: 60-4x S(x)=2(|x-10|+|x-20|)= S 60 40 20 O 10 20 30 x 20 4x-60 0<x10 10<x20 x>20
绝对值三角不等式
由此得|g(x)|≤2； 当a<0时，g(x)＝ax＋b在[－1,1]上是减函数， ∴g(－1)≥g(x)≥g(1)． ∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)，|c|≤1， ∴g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≤|f(－1)|＋|c|≤2， g(1)＝a＋b＝f(1)－c≥－(|f(1)|＋|c|)≥－2， 由此得|g(x)|≤2； 当a＝0时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c.
解析：选 A.∵0<a<1， ∴1<1＋a<2,0<1－a<1. ∴log(1＋a)(1－a)<0.① log(1－a)(1＋a)<0.② A 项左边＝－log(1＋a)(1－a)－log(1－a)(1＋a) ＝－log(1＋a)(1－a)－log1＋a11－a. 令 log(1＋a)(1－a)＝t<0， ∴左边＝－t－1t ＝(－t)＋－1 t>2.
【错因】 本题错误在于不能保证1＋|a＋ b|≥1＋|a|,1＋|a＋b|≥1＋|b|成立．
【自我校正】 当|a＋b|＝0 时，显然成立． 当|a＋b|≠0 时， 1＋|a＋|a＋b|b|＝|a＋1 1b|＋1≤|a|＋1 1|b|＋1 ＝1＋|a||＋a|＋|b||b|＝1＋|a|a|＋| |b|＋1＋|a|b|＋| |b|
(2)因为|a|－|b|≤|a－b|，所以|a|a|－ －b|b||≤1， 即 m≤1，又因为|a＋b|≤|a|＋|b|， 所以|a|a|＋＋b|b||≥1，即 n≥1，所以 m≤1≤n. 【答案】 (1)C (2)m≤n
【名师点评】 绝对值不等式性质的重要作 用在于放缩，放缩的思路主要有两种：分子 不变，分母变小，则分数值变大；分子变大， 分母不变，则分数值也变大，注意放缩后等 号是否还能成立．
绝对值三角不等式
题型一
题型二
题型三
【变式训练3】 设f(x)=x2-x+13,实数a满足|x-a|<1.求证:|f(x)f(a)|<2(|a|+1).
证明:|f(x)-f(a)|=|(x-a)·(x+a-1)|<|x+a-1|≤|x|+|a|+1.
∵|x|-|a|≤|x-a|<1,
A.|a|<|b|+|c|
B.|c|<|a|+|b|
C.b>||c|-|a||
D.b<|a|-|c|
)
题型一
题型二
题型三
解析:由|a-c|<b,知b>0,∴b=|b|.
∵|a|-|c|≤|a-c|,
∴|a|-|c|<b,则|a|<b+|c|=|b|+|c|.
故A成立.
同理由|c|-|a|≤|a-c|,得|c|-|a|<b,
∴|x|≤|a|+1.
∴|x|+|a|+1<2(|a|+1).
∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
谢谢！
1+||+||
||
||
||
||
+
≤
+
,
1+||+|| 1+||+|| 1+|| 1+||
| + |
||
||
∴
≤
+
.
1 + | + | 1 + || 1 + ||
绝对值三角不等式
定理2 定理 如果a,b,c是实数,那么
a −c ≤ a −b + b−c
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立
如何证明定理2? 你能给出定理2的几何解释吗?
推论:
| a1 + a2 + a3 | ≤| a1 | + | a2 | + | a3 |
例1 已知 x − a <
ε
2M
,0 < y − b <
6 , | z |<
ε
9
2ε 3ε =ε ∴ | x | +2 | y | +3 | z | < + + 3 6 9
ε
∴ | x + 2 y − 3z | < ε
a+b
例3 求证
1+ a + b
≤
a 1+ a
+
b 1+ b
.
证明：在 a + b = 0 时，显然成立. 当 a + b ≠ 0 时，左边 =
复习
（一）绝对值的定义： 绝对值的定义： 绝对值的定义 对任意实数a， 对任意实数 ，
a (当 a 〉 0 时 ) a = （当 a = 0 时） 0 − a （当 a 〈 0 时）
问题
我们已学过积商绝对值的性质， 我们已学过积商绝对值的性质， 哪位同学能回答？ 哪位同学能回答
分析：如果生活区建于公路路牌的第 分析：如果生活区建于公路路牌的第xkm处，两个施工队每天往返的路程 处 之和为S(x)km,那么 S ( x ) = 2 x − 10 + x − 20 于是，上面的问题就化 那么 于是， 之和为 归为数学问题： 取何值时， 归为数学问题：当x取何值时，函数 S ( x ) = 2 x − 10 + x − 20 取得最小 取何值时 值。这个问题可以应用绝对值不等式的性质来解。 这个问题可以应用绝对值不等式的性质来解。
&1.4绝对值三角不等式
0 | h | | k | 即 | hk | h (2)已知 | h | c , | x | c (c 0, 0), 求证 x 1 1 解：由0 c | x | 可知 0 |x| c 且0 | h | c
1 1 | h | c |x| c
h 即 x
a, 3 a, b 同号时右边取“=”，b 异号时左边取“=”
推论： | a | | b || a b || a | | b |
证明：在定理中以b 代b, 得： | a | | b | | a (b) | | a | | b |
即： | a | | b || a b || a | | b |
又 a c c 2 a a c c a
24 a c 2 c a
③
a b c d 由①，②，③得， 2 c d a a b c
2 c 4 a
a 2 c
c a
Байду номын сангаас
课堂练习：
1.(1)已知|h|< ,| k | ( 0), 求证 | hk |
1 a b 1 a b
1 1 ab
1 1 1 a b ab
a 1 a
b 1 b
.
例2已知 | x | .
3
, | y |
6
, | z |
9
求证：x 2 y 3z | |
证明：x 2 y 3z | | x | | 2 y | | 3z | |
ab 例.3.已知 | a | 1, | b | 1, 求证 1 1 ab
绝对值三角不等式
绝对值三角不等式
1、绝对值三角不等式定理：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。
三角不等式，即在三角形中两边之和大于第三边，有时亦指用不等号连接的含有三角函数的式子。
2、三角不等式等号成立的条件。
（1）|a|-
|b||≤|a+b|≤|a|+|b|的不等式当a、b同方向时（如果是实数,就是正负号相同）|a+b|=|a|+|b|成立；当a、b异向（如果是实数,就是ab正负号不同）时,||a|-|b||=|a±b|成立。
（2）绝对值三角不等式|a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|当a、b同号时，|a+b|=|a|+|b|成立；当a、b异号时，绝对值三角不等式||a|-|b||=|a±b|成立。
||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|相反。
（3）||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|的不等式,当a、b异向（如果是实数,就是ab正负号不同）时,|a-b|=|a|+|b|成立.当a、b同方向时（如果是实数,就是正负号相同）时,||a|-|b||=|a-b|成立。
（4）绝对值三角不等式公式||a|-
|b||≤|a±b|≤|a|+|b|是由两个双边不等式组成。
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1.4 绝对值三角不等式 教案1 （新人教选修4-5）
教学目标：
1：了解绝对值三角不等式的含义，理解绝对值三角不等式公式及推导方法， 会进行简 单的应用。
2：充分运用观察、类比、猜想、分析证明的数学思维方法，体会转化和数形结合的数
学
思想，并能运用绝对值三角不等式公式进行推理和证明。
教学重点：绝对值三角不等式的含义，绝对值三角不等式的理解和运用。
教学难点：绝对值三角不等式的发现和推导、取等条件。
教学过程： 一、复习引入：
关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：一类是解不等式，另一类是证明不等式。
本节课探讨不等式证明这类问题。
1．请同学们回忆一下绝对值的意义。
⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>=0000x x x x x x ，如果，如果，如果。
几何意义：在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。
2．证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：
（1）a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立，.a a -≥当且仅当0≤a 时等号成立。
（2）2
a a =， （3）
b a b a ⋅=⋅， （4）
)0(≠=
b b
a
b
a 那么?
b a b a +=+?b a b a +=- 二、讲解新课：
结论：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.）
已知,a b 是实数，试证明：a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.） 方法一：证明:10 .当ab ≥0时, 20. 当ab <0时,
探究: ,,a b a b +, 之间的什么关系?
b a -
综合10, 20知定理成立.
方法二：分析法，两边平方（略）
定理1 如果,a b 是实数，则a b a b ++≤（当且仅当0ab ≥时，等号成立.） b a ,换为向量b a
,情形又怎样呢？
（1）若把
根据定理1，有b b a b b a -+≥-++，就是，a b b a ≥++。
所以，b a b a -≥+。
定理（绝对值三角形不等式）
如果,a b 是实数，则a b a b a b -±+≤≤ 注：当b a ,为复数或向量时结论也成立. 推论1：1212n n a a a a a a ++
++++≤
推论2：如果a b c 、、是实数,那么a c a b b c --+-≤,当且仅当()()0a b b c --≥时,等号成立.
思考：如何利用数轴给出推论2的几何解释？
（设A ，B ，C 为数轴上的3个点，分别表示数a ，b ，c ，则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ，B 之间时，等号成立。
这就是上面的例3。
特别的，取c ＝0（即C 为原点），就得到例2的后半部分。
） 三、典型例题：
例1、已知 2
,2c
b y
c a x <-<
-，求证 .)()(c b a y x <+-+ ||,||||||
=+=====+ab ab a b a b ||,||||||
=-+===<==+ab ab a b a b a
a b
+a b +a b
证明 )()()()(b y a x b a y x -+-=+-+ b y a x -+-≤ （1）
2
,2c b y c a x <-<
- ， ∴c c
c b y a x =+<-+-2
2 （2）
由（1），（2）得：c b a y x <+-+)()(
例2、已知.6,4a
y a x <<
求证：a y x <-32。
证明 6,4a y a x << ，∴2
3,22a
y a x <<，
由例1及上式，a a
a y x y x =+<+≤-2
23232。
注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。
但这种写法，只能用
于不等号方向相同的不等式。
例 3 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第10公里和第20公里处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于何处?
解：如果生活区建于公路路碑的第 x km 处，两施工队每天往返的路程之和为S(x)km 那么 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)
四、课堂练习：
1.(课本20P 习题1.2第1题)求证:
⑴2a b a b a ++-≥;⑵2a b a b b +--≤ 2. (课本P 19习题1.2第3题)求证:
⑴x a x b a b -+--≥;⑵x a x b a b ----≤ 3．（1）、已知.2,2c
b B
c a A <-<
-求证：c b a B A <---)()(。
（2）、已知.6
,4c
b y
c a x <-<-求证：c b a y x <+--3232。
五、课堂小结：
·10
x
··20
1．实数a 的绝对值的意义:
⑴(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
;（定义）
⑵a 的几何意义:
2．定理（绝对值三角形不等式）
如果,a b 是实数，则a b a b a b -±+≤≤注意取等的条件。