绝对值三角不等式
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绝对值三角不等式 课件
证明:∵m 等于|a|,|b|和 1 中最大的一个,|x|>m,
|| > ≥ ||
|| > ||,
||
||
>
≥
||
∴
⇒
∴ + 2 ≤
+ 2 = +
2
||
|| > |b|.
|| > ≥ 1
||
2
|| ||
<
+ 2 =2.故原不等式成立.
2
||
||
∴-4≤y≤4.
∴yma x=4,y min =-4.
迁移与应用
如果关于 x 的不等式|x-3|+|x-4|<a 的解集为空集,求参数 a
的取值范围.
解:只要 a 不大于|x-3|+|x-4|的最小值,则|x-3|+|x-4|<a 的解集
为空集,而|x-3|+|x-4|=|x-3|+|4-x|≥|x-3+4-x|=1,
=|(x-a)(x+a-1)|
=|x-a||x+a-1|
<|x+a-1|
=|Байду номын сангаас-a+2a-1|
≤|x-a|+|2a-1|
<1+|2a|+1
=2(|a|+1),
∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
迁移与应用
已知 f(x)=x2 -2x+7,且|x-m|<3,求证:|f(x)-f(m)|<6|m|+15.
绝对值三角不等式
联系绝对值的几何意义，从“运算”的 角度研究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的关系
用恰当的方法在数轴上把|a|,|b|,|a+b| 表示出来，同学们观察能发现它们之间 有什么关系？
新课知识：
定理1: 如果a,b是实数,则 |a+b||a|+|b|
当且仅当ab0时,等号成立
(你能从“数”方面加以证明吗？)
例题分析： 例1.已知>0,|x-a|<,|y-b|<, 求证: |2x+3y-2a-3b|<5
例2、 已 知| x a | ,0 | y b | ,
2M
2|a|
y (0, M). 求 证:| xy ab | .
评注意"配凑"的方法,以及利用绝对
值三角不等式进行放缩的思想。
能应用定理解决一些证明和求最值问题
绝对值三角不等式
复习回顾： 绝对值的几何意义
a, a 0 |a|=0, a 0
a, a 0
|a| A
O
a
x
几何意义:
表示数轴上坐标为a的点A到
b
b a, a b
A |a-b| B
a
b
x
表示数轴上实数a,b对应的点A， 几何意义：B之间的距离，即线段AB的长度
60
40
20
0 10 20 30
课堂练习：
1.若不等式x 4 x 3 a的解集为非空集合,
则实数a的取值范围是( C )
A.a 7
B.1 a 7 C.a 1 D.a 1
2.关于x的不等式 x 2 x 1 a的解集为,
则a的取值范围是 __a___3____
3.设f ( x) ax2 bx c,当| x | 1时，总 有| f ( x) | 1，求证：| f (2) | 8
绝对值三角不等式 课件
类型 三 含绝对值不等式的证明 【典型例题】 1.已知ε>0,|x-a|<ε,|y-b|<ε. 求证：|x+3y-a-3b|<4ε. 2.求证： a2－b2 a － b .
2a 2 2
【解题探究】 1.如何化简题1中的x+3y-a-3b,才能利用已知条件? 2.题2中绝对值符号较多,能否直接去掉?不等式左边是非负值, 右边的符号能确定吗? 探究提示： 1.|x+3y-a-3b|=|(x-a)+(3y-3b)|. 2.直接去掉较困难;右边因为不知道|a|与|b|的大小,所以符号 不能确定.
2.①当|a|>|b|时,有|a|-|b|>0,
所以|a+b|≥||a|-|b||=|a|-|b|.
所以必有 a b即|1a，|>|b|是
ab
②当 a b 时 1,， 由|a+b|>0,
ab
必有|a|-|b|>0,即|a|>|b|,
a成立b 的 1充，分条件.
ab
故|a|>|b|是 a b成立1，的必要条件.
探究提示：
1.由绝对值三角不等式可得|x－a|+|x－1|≥|a－1|.
2. 函数f(x)取到最大值时,需要满足
(x－4)(x－3) 0,
x－4
x－3 .
【解析】1. 因为|x－a|+|x－1|≥|a－1|,则只需要
|a－1|≤3,解得－2≤a≤4.
答案： －2≤a≤4
2. f(x)=|x－4|－|x－3|≤|(x－4)－(x－3)|=1,
绝对值三角不等式
绝对值不等式
a
原点
长度
距离
ab>0
高中数学新人教A版选修4-5 绝对值三角不等式
(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对 值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式． (2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的 关键．
3． 若 a， b∈R， 且|a|≤3， |b|≤2， 则|a＋b|的最大值是________， 最小值是________．
解析：∵|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|， ∴1＝3－2≤|a＋b|≤3＋2＝5.
解：∵a<|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立， ∴a<(|x＋1|－|x－2|)min. ∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3， ∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3. ∴(|x＋1|－|x－2|)min＝－3. ∴a<－3.即 a 的取值范围为(－∞，－3)．
“应用创新演练”见“课时跟踪检测（四）” (单击进入电子文档)
|A|＋|B| 2 1 2 2 ＝ (| A | ＋ | B | ＋2|A||B|) 4 2
|A|＋|B| 1 ≥ (2|A||B|＋2|A||B|)＝|A||B|，∴2lg ≥lg|A||B|. 4 2 |A|＋|B| 1 ∴lg ≥ (lg|A|＋lg|B|)，④正确． 2 2 答案：A
解析：∵|a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a| ＝|a－b|＋2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，①正确； ∵1>|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|<|b|＋1，②正确； 1 1 |x| 2 ∵|y|>3，∴ < .又∵|x|<2，∴ < ，③正确； |y| 3 |y| 3
②若|a|<|b|， 左边>0，右边<0，∴原不等式显然成立． ③若|a|＝|b|，原不等式显然成立． 综上可知原不等式成立.
绝对值三角不等式的证明方法
绝对值三角不等式的证明方法绝对值三角不等式是解决三角函数不等式问题的重要方法之一。
在证明绝对值三角不等式时，我们可以采用以下简单的策略。
1. 利用三角函数的定义：- 对于正弦函数，我们有sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x))。
- 对于余弦函数，我们有cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x))。
2. 利用绝对值的性质：- 任何数x的绝对值为|x|，即x的绝对值是x的非负值。
- 绝对值函数满足|x| = -x 当且仅当x ≤ 0。
3. 利用三角函数的周期性：- 正弦和余弦函数的周期都是2π。
即sin(x + 2π) = sin(x) 和cos(x + 2π) = cos(x)。
下面是一个例子，展示了利用以上策略证明绝对值三角不等式的方法：假设我们要证明sin(x) ≤ |cos(x)|，即正弦函数的值永远小于等于余弦函数的绝对值。
证明过程：1. 根据三角函数的定义，sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x))。
2. 将右边的cos(x)替换为|cos(x)|，因为余弦函数的绝对值是非负的。
即sin(x) = sqrt(1 - |cos(x)|^2)。
3. 根据绝对值的性质，我们知道|cos(x)|^2 = cos^2(x)。
因此，sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)) = sqrt(1 - |cos(x)|^2)。
4. 由于平方根函数的值永远是非负的，所以sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x)|^2)。
5. 根据三角函数的周期性，我们可以在等式两边加上2π的整数倍，不改变不等式的成立性。
因此，sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x)|^2) 可以转变为sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x + 2πn)|^2)，其中n为整数。
6. 综上所述，我们证明了sin(x) ≤ |cos(x)|。
根据以上证明方法，我们可以尝试证明其他类似的绝对值三角不等式。
绝对值三角不等式 课件
例 2 设 ε＞0，|x－a|＜ε4 ，|y－b|＜ε6 .
求证：|2x＋3y－2a－3b|＜ε. 分析：将 2x＋3y－2a－3b 写成 2(x－a)＋3(y－b)的形式后利用
定理 1 和不等式性质证明．
证明：|2x＋3y－2a－3b|＝|2(x－a)＋3(y－b)|≤ |2(x－a)|＋|3(y－b)|＝2|x－a|＋3|y－b|＜ 2×ε4 ＋3×ε6 ＝ε.
证明：|xy－ab|＝|xy－bx＋bx－ab| ＝|x(y－b)＋b(x－a)|≤|x(y－b)|＋|b(x－a)| ≤|x||y－b|＋|b||x－a| <A·2ε＋A·2ε＝Aε. 所以有|xy－ab|<Aε.
2．已知函数f(x)＝x2－x＋13，|x－a|<1，求证： |f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．
例 3 设 m 等于|a|、|b|和 1 中最大的一个．当|x|>m a b
时，求证：x＋x2<2.
分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用，|a|、 |b|和 1 这三个数中哪一个最大．如果两两比较大小，将 十分复杂，我们可得到一个重要的信息：m≥|a|，m≥|b|， m≥1.
证明：∵m 等于|a|，|b|和 1 中最大的一个，|x|>m，
总之，恒有|a|＋|b|≤16. 而a＝8，b＝－8时， 满足|a＋b＋1|＝1，|a＋2b＋4|＝4，且|a|＋|b|＝16. 因此|a|＋|b|的最大值为16.
3．求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值．
分析：若把x－3，x＋1看作两个实数，则所给的代数 式符合两个数绝对值的差的形式，因而可以联想到两个数 和(差)的绝对值与两个数绝对值的和(差)之间的关系，进而 可转化求解，另一思维是：含有这种绝对值函数式表示的 是分段函数，所以也可以视为是分段函数求最值．
绝对值三角不等式
例 1 ； 解 不 等 式 1 3 x 4 6
解 : 原不等式等价于下列不
等式组
3 x 4
1
3 x 4 6
即
3x
6
4 3x
1或 4
3x 6
4
1
x
1或 10 x 3
x
2 3
5 3
解得 10 x 5 或 1 x 2
3
3
3
故原不等式的解集为
10 3
,
思想．零3０点-当分(Xx区-<1-间)2+法时(X，+2原) 不≥等5 式同解于
X<-2
X≤-3
-(X-1)-(X+2) ≥5
综合上述知不等式的解为x2或 x-3
3.型如|ax+b|+|cx+d|≥k(k∈R)不等式解法
例 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
解:|x-1|+|x+2|=5的解为x=-3或
（当且仅当 ab ≥ 0 时，等号成立.）
证明:10 .当ab≥0时,
a b | a b |,
20. 当ab<0时,
a b | a b |,
| a b | ( a b ) 2 a2 2ab b2
| a b | ( a b ) 2 a2 2ab b2 | a |2 2 | a b | | b |2
如果把 a, b 换为向量 a, b ，根据向量加法的三 角形法则,易知 a b ≤ a b .(同向时取等号)
ab
b a
推论 1 a1 a2
ab
a
b
an ≤ a1 a2 an
定理2 如果a、b、c是实数,
2.绝对值三角不等式
并求出取最小值时x的范围．
[思路分析] 恰当变形，利用定理2转化为定值．
解
根据定理2，f(x)＝|x－3|＋|x－1|≥|(x－3)－(x－1)|
＝ 2，
当且仅当(x－3)(x－1)≥0，即x≥3或x≤1.
所以当1 ≤ x≤3时，f(x)＝|x－3|＋|x－1|最小值为2.
答案 C
)．
B．|x－y|＜2k D．|x－y|＜|h－k|
4．已知h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜
2h；命题乙：|a－1|＜h且|b－1|＜h，则 甲是乙的________条件．
答案 必要不充分
例1 已知ε> 0, |x - a|<ε, |y - b|<ε, 求 证:︱2x + 3y - 2a - 3b|< 5ε
提示 在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，
B，C，当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b| ＋ |b－ c|；当点 B不在点 A， C之间时， |a－ c|＜ |a－b|＋|b－c|.
基础自测
1 ． 若 两 实 数 x ， y 满 足 xy ＜ 0 ， 那 么 总 有
( )．
A．|x＋y|＜|x－y|
是( )．
A．当a，b异号时，左边等号成立 B．当a，b同号时，右边等号成立 C．当a＋b＝0时，两边等号均成立 D ．当a＋b ＞ 0时，右边等号成立；当 a ＋b＜ 0 时，左边等号成立
答案 B
3．若|x－a|＜h，|y－a|＜k，则|＜2h C．|x－y|＜h＋k
≥|x－a＋b－x|＝|b－a|＝|a－b|.
∴|x－a|＋|x－b|≥|a－b|.
例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个 地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第 10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施 工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生 活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工 队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于 何处？ · · ·
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[思维启迪] 利用绝对值三角不等式进行证明．
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证明 设 0≤x1<x2≤1， 1 1 ①若 x2－x1≤ ，则|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|≤ . 2 2 1 即|f(x2)－f(x1)|< . 2 1 ②若2<x2－x1≤1，则 |f(x2)－f(x1)|＝|f(x2)＋f(0)－f(1)－f(x1)| ＝|f(x2)－f(1)＋f(0)－f(x1)| ≤|f(x2)－f(1)|＋|f(0)－f(x1)|
－y|＜2m 的关系即可． (2)利用绝对值三角不等式定理，结合不等式的性质、基本不 等式定理等一一验证．
解析 (1)∵|x－a|＜m，|y－a|＜m， ∴|x－a|＋|y－a|＜2m， 又∵|(x－a)－(y－a) ≤|x－a|＋|y－a|， ∴|x－y|＜2m，但反过来不一定成立， 如取 x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，|3－1|＜2×2.5， 但|3－(－2)|＞2.5，|1－(－2)|＞2.5， ∴|x－y|＜2m 不一定有|x－a|＜m 且|y－a|＜m， 故“|x－a|＜m 且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的充分非必 要条件．
∴|x－a|＋|x－b|≥|a－b|.
【变式2】 设f(x)＝x2-x＋c，|x-a|<1 求证：|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)
• 与绝对值不等式有关的最值
• 例1、求函数y＝|x＋2|－|x－2|的最大值是________． 解析 y＝|x＋2|－|x－2|≤|x＋2－x＋2|＝4.
答案 (－∞，9)
思考：若|x－4|— |x＋5|>a对于x∈R均成立，则a的取值 范围为__________．
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变式4.（2013重庆）如果关于x的不等式|x 5 | | x 3 | a的解集是， 求a的取值范围
a8
本题若解集不是空集，a的范围是多少？
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基础自测 1．若两实数x，y满足xy＜0，那么总有 A．|x＋y|＜|x－y| C．|x－y|＜|x|－|y| ( )．
B．|x＋y|＞|x－y| D．|x＋y|＜|y|－|x|
解析 当xy＜0时，|x＋y|＝||x|－|y||，|x－y|＝|x|＋|y|，
因为|x|＋|y|＞||x|－|y||，
(3)若不等式解集为∅.分别求出m的范围． [思维启迪] 解答本题可以先根据绝对值|x－a|的意义或绝 对值不等式的性质求出 |x ＋ 2| － |x ＋ 3| 的最大值和最小值， 再分别写出三种情况下m的范围．
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解
法一 因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)
＋|B|2＋2|A||B|)
1 ≥ (2|A||B|＋2|A||B|)＝|A||B|， 4 |A|＋|B| ∴2lg ≥lg|A||B|， 2 |A|＋|B| 1 ∴lg 2 ≥2(lg|A|＋lg|B|)，④正确．
答案 (1)A (2)A
规律方法 |a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到 左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变 量求最值．绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重
C．|x－y|＜h＋k
答案 C
D．|x－y|＜|h－k|
4．已知h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜2h；命题乙：|a－ 1|＜h且|b－1|＜h，则甲是乙的________条件．
答案 必要不充分
【变式1】 证明：|x－a|＋|x－b|≥|a－b|. 证明 ∵|x－a|＋|x－b|＝|x－a|＋|b－x| ≥|x－a＋b－x|＝|b－a|＝|a－b|.
(2)|a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a|＝|a－b|＋2|a|，∴|a＋b| －2|a|≤|a－b|，①正确； 1＞|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|＜|b|＋1，②正确； 1 1 |y|＞3，∴|y|＜3，
|A|＋|B| x 2 |x| 2 1 2 2 又∵|x|＜2，∴|y|＜3，∴y＜3，③正确； ＝4(|A| 2
解析 |x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤
|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤
1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5. 答案 5
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[思维启迪]
|x－a|＜m (1)利用绝对值三角不等式，推证 |y－a|＜m
与|x
解析 ∵|f(x)＋g(x)|≤|f(x)|＋|g(x)|，若x0∈M， |f(x0)|＋|g(x0)|<a，故|f(x0)＋g(x0)|<a， 所以x0∈N.
答案 C
方法技巧 含绝对值的代数式的最值问题
【示例】 求函数f(x)＝|x－3|＋|x－1|的最小值，并求出取最小 值时x的范围． [思路分析] 恰当变形，利用定理2转化为定值． 解 根据定理2，f(x)＝|x－3|＋|x－1|≥|(x－3)－(x－1)|＝
2，
当且仅当(x－3)(x－1)≥0，即x≥3或x≤1. 所以当x≥3或x≤1时，f(x)＝|x－3|＋|x－1|最小值为2.
方法点评 (1) 求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，
直接求 |a| ＋|b| 的最大值比较困难，可采用 |a＋b| ，|a－ b| 的最 值，及ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，ab＜0时，|a|＋|b|＝|a－b|的 定理，达到目的，其巧妙之处令人赞叹不已． (2)求y＝|x＋m|＋|x＋n|和y＝|x＋m|－|x＋n|的最值，其主要方
2．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤ |a|＋|b| ，当且仅 当 ab≥0 时，等号成立．
试一试：证明：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|.
提示 |a＋b|≤|a|＋|b|⇔|a＋b|2≤(|a|＋|b|)2 ⇔(a＋b)2≤|a|2＋2|a||b|＋|b|2 ⇔a2＋2ab＋b2≤a2＋2|a||b|＋b2 ⇔ab≤|ab|.
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证明
|x|<1⇔x2<1⇔1－x2>0，
|y|<1⇔1－y2>0， x2＋y2≥2xy⇔－x2－y2≤－2xy ⇔1－x2－y2＋x2y2≤1－2xy＋x2y2 ⇔(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2 ⇔ 1－x21－y2≤|1－xy|
由于|x|<1，|y|<1，则|xy|<1，即 1－xy≠0. 1－x21－y2 所以 ≤1. |1－xy|
所以|x＋y|＜|x－y|. 答案 A
2．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是 ( A．当a，b异号时，左边等号成立 B．当a，b同号时，右边等号成立 )．
C．当a＋b＝0时，两边等号均成立
D．当a＋b＞0时，右边等号成立；当a＋b＜0时，左边等 号成立 答案 B
3．若|x－a|＜h，|y－a|＜k，则下列不等式一定成立的是 ( A．|x－y|＜2h B．|x－y|＜2k )．
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(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－
|x＋3|的最小值还小，即m＜－1； (3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值 即可，即m≥1. 法二 由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，
|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，
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规律方法 通过添一项、减一项的恒等变形，然后再进行组合， 构造成能利用绝对值的三角不等式的形式是证明的关键．
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题型二
利用绝对值的三角不等式证明函数 不等式
【例 2】 函数 f(x)的定义域为[0,1]，f(0)＝f(1)，且对任意不 同的 x1，x2∈[0,1]都有|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|，求证：|f(x2) 1 －f(x1)|<2.
答案 4
变式1.函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值及取得最小值时x的值分别 是 c ( )．
A．1，x∈[－1,2]
C．3，x∈[－1,2]
B．3,0
D．2，x∈[1,2]
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• 变式3.若|x－4|＋|x＋5|>a对于x∈R均成立，则a的取值范围为
__________．
解析 ∵|x－4|＋|x＋5|＝|4－x|＋|x＋5| ≥|4－x＋x＋5|＝9. ∴当a<9时，不等式对x∈R均成立．
要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等
式的条件．
【变式 3】 已知函数 f(x)、 g(x)， 设不等式|f(x)|＋|g(x)|<a (a>0) 的解集为 M，不等式|f(x)＋g(x)|<a (a>0)的解集是 N，则 集合 M 与 N 的关系是 A．N M C．M⊆N B．M＝N D．M N ( )．
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1 变式5. （2014重庆）若不等式|2 x 1| | x 2 | a 2 a 2对任意实数x恒成立， 2 求实数a的取值范围。
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含绝对值不等式的恒成立问题
【例】 已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m.
(1)若不等式有解；
(2)若不等式解集为R；
法有：
①借助绝对值的定义，即零点分段； ②利用绝对值几何意义； ③利用绝对值不等式性质定理.
题型一
利用绝对值的三角不等式证明变量不 等式
1－x21－y2 【例 1】 已知|x|<1，|y|<1，求证： ≤1. |1－xy|
[思维启迪] 本题可考虑两边平方去掉绝对值转化为 普通不等式(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2.
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证明 设 0≤x1<x2≤1， 1 1 ①若 x2－x1≤ ，则|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|≤ . 2 2 1 即|f(x2)－f(x1)|< . 2 1 ②若2<x2－x1≤1，则 |f(x2)－f(x1)|＝|f(x2)＋f(0)－f(1)－f(x1)| ＝|f(x2)－f(1)＋f(0)－f(x1)| ≤|f(x2)－f(1)|＋|f(0)－f(x1)|
－y|＜2m 的关系即可． (2)利用绝对值三角不等式定理，结合不等式的性质、基本不 等式定理等一一验证．
解析 (1)∵|x－a|＜m，|y－a|＜m， ∴|x－a|＋|y－a|＜2m， 又∵|(x－a)－(y－a) ≤|x－a|＋|y－a|， ∴|x－y|＜2m，但反过来不一定成立， 如取 x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，|3－1|＜2×2.5， 但|3－(－2)|＞2.5，|1－(－2)|＞2.5， ∴|x－y|＜2m 不一定有|x－a|＜m 且|y－a|＜m， 故“|x－a|＜m 且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的充分非必 要条件．
∴|x－a|＋|x－b|≥|a－b|.
【变式2】 设f(x)＝x2-x＋c，|x-a|<1 求证：|f(x)-f(a)|<2(|a|+1)
• 与绝对值不等式有关的最值
• 例1、求函数y＝|x＋2|－|x－2|的最大值是________． 解析 y＝|x＋2|－|x－2|≤|x＋2－x＋2|＝4.
答案 (－∞，9)
思考：若|x－4|— |x＋5|>a对于x∈R均成立，则a的取值 范围为__________．
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变式4.（2013重庆）如果关于x的不等式|x 5 | | x 3 | a的解集是， 求a的取值范围
a8
本题若解集不是空集，a的范围是多少？
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基础自测 1．若两实数x，y满足xy＜0，那么总有 A．|x＋y|＜|x－y| C．|x－y|＜|x|－|y| ( )．
B．|x＋y|＞|x－y| D．|x＋y|＜|y|－|x|
解析 当xy＜0时，|x＋y|＝||x|－|y||，|x－y|＝|x|＋|y|，
因为|x|＋|y|＞||x|－|y||，
(3)若不等式解集为∅.分别求出m的范围． [思维启迪] 解答本题可以先根据绝对值|x－a|的意义或绝 对值不等式的性质求出 |x ＋ 2| － |x ＋ 3| 的最大值和最小值， 再分别写出三种情况下m的范围．
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解
法一 因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)
＋|B|2＋2|A||B|)
1 ≥ (2|A||B|＋2|A||B|)＝|A||B|， 4 |A|＋|B| ∴2lg ≥lg|A||B|， 2 |A|＋|B| 1 ∴lg 2 ≥2(lg|A|＋lg|B|)，④正确．
答案 (1)A (2)A
规律方法 |a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到 左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变 量求最值．绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重
C．|x－y|＜h＋k
答案 C
D．|x－y|＜|h－k|
4．已知h＞0，a，b∈R，命题甲：|a－b|＜2h；命题乙：|a－ 1|＜h且|b－1|＜h，则甲是乙的________条件．
答案 必要不充分
【变式1】 证明：|x－a|＋|x－b|≥|a－b|. 证明 ∵|x－a|＋|x－b|＝|x－a|＋|b－x| ≥|x－a＋b－x|＝|b－a|＝|a－b|.
(2)|a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a|＝|a－b|＋2|a|，∴|a＋b| －2|a|≤|a－b|，①正确； 1＞|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|＜|b|＋1，②正确； 1 1 |y|＞3，∴|y|＜3，
|A|＋|B| x 2 |x| 2 1 2 2 又∵|x|＜2，∴|y|＜3，∴y＜3，③正确； ＝4(|A| 2
解析 |x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤
|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤
1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5. 答案 5
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[思维启迪]
|x－a|＜m (1)利用绝对值三角不等式，推证 |y－a|＜m
与|x
解析 ∵|f(x)＋g(x)|≤|f(x)|＋|g(x)|，若x0∈M， |f(x0)|＋|g(x0)|<a，故|f(x0)＋g(x0)|<a， 所以x0∈N.
答案 C
方法技巧 含绝对值的代数式的最值问题
【示例】 求函数f(x)＝|x－3|＋|x－1|的最小值，并求出取最小 值时x的范围． [思路分析] 恰当变形，利用定理2转化为定值． 解 根据定理2，f(x)＝|x－3|＋|x－1|≥|(x－3)－(x－1)|＝
2，
当且仅当(x－3)(x－1)≥0，即x≥3或x≤1. 所以当x≥3或x≤1时，f(x)＝|x－3|＋|x－1|最小值为2.
方法点评 (1) 求含绝对值的代数式的最值问题综合性较强，
直接求 |a| ＋|b| 的最大值比较困难，可采用 |a＋b| ，|a－ b| 的最 值，及ab≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|，ab＜0时，|a|＋|b|＝|a－b|的 定理，达到目的，其巧妙之处令人赞叹不已． (2)求y＝|x＋m|＋|x＋n|和y＝|x＋m|－|x＋n|的最值，其主要方
2．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤ |a|＋|b| ，当且仅 当 ab≥0 时，等号成立．
试一试：证明：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|.
提示 |a＋b|≤|a|＋|b|⇔|a＋b|2≤(|a|＋|b|)2 ⇔(a＋b)2≤|a|2＋2|a||b|＋|b|2 ⇔a2＋2ab＋b2≤a2＋2|a||b|＋b2 ⇔ab≤|ab|.
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证明
|x|<1⇔x2<1⇔1－x2>0，
|y|<1⇔1－y2>0， x2＋y2≥2xy⇔－x2－y2≤－2xy ⇔1－x2－y2＋x2y2≤1－2xy＋x2y2 ⇔(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2 ⇔ 1－x21－y2≤|1－xy|
由于|x|<1，|y|<1，则|xy|<1，即 1－xy≠0. 1－x21－y2 所以 ≤1. |1－xy|
所以|x＋y|＜|x－y|. 答案 A
2．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是 ( A．当a，b异号时，左边等号成立 B．当a，b同号时，右边等号成立 )．
C．当a＋b＝0时，两边等号均成立
D．当a＋b＞0时，右边等号成立；当a＋b＜0时，左边等 号成立 答案 B
3．若|x－a|＜h，|y－a|＜k，则下列不等式一定成立的是 ( A．|x－y|＜2h B．|x－y|＜2k )．
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(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－
|x＋3|的最小值还小，即m＜－1； (3)若不等式的解集为∅，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值 即可，即m≥1. 法二 由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，
|x＋3|－|x＋2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，
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规律方法 通过添一项、减一项的恒等变形，然后再进行组合， 构造成能利用绝对值的三角不等式的形式是证明的关键．
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题型二
利用绝对值的三角不等式证明函数 不等式
【例 2】 函数 f(x)的定义域为[0,1]，f(0)＝f(1)，且对任意不 同的 x1，x2∈[0,1]都有|f(x2)－f(x1)|<|x2－x1|，求证：|f(x2) 1 －f(x1)|<2.
答案 4
变式1.函数y＝|x＋1|＋|x－2|的最小值及取得最小值时x的值分别 是 c ( )．
A．1，x∈[－1,2]
C．3，x∈[－1,2]
B．3,0
D．2，x∈[1,2]
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• 变式3.若|x－4|＋|x＋5|>a对于x∈R均成立，则a的取值范围为
__________．
解析 ∵|x－4|＋|x＋5|＝|4－x|＋|x＋5| ≥|4－x＋x＋5|＝9. ∴当a<9时，不等式对x∈R均成立．
要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等
式的条件．
【变式 3】 已知函数 f(x)、 g(x)， 设不等式|f(x)|＋|g(x)|<a (a>0) 的解集为 M，不等式|f(x)＋g(x)|<a (a>0)的解集是 N，则 集合 M 与 N 的关系是 A．N M C．M⊆N B．M＝N D．M N ( )．
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1 变式5. （2014重庆）若不等式|2 x 1| | x 2 | a 2 a 2对任意实数x恒成立， 2 求实数a的取值范围。
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含绝对值不等式的恒成立问题
【例】 已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m.
(1)若不等式有解；
(2)若不等式解集为R；
法有：
①借助绝对值的定义，即零点分段； ②利用绝对值几何意义； ③利用绝对值不等式性质定理.
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利用绝对值的三角不等式证明变量不 等式
1－x21－y2 【例 1】 已知|x|<1，|y|<1，求证： ≤1. |1－xy|
[思维启迪] 本题可考虑两边平方去掉绝对值转化为 普通不等式(1－x2)(1－y2)≤(1－xy)2.