海淀区高三年级第一学期期末练习理科试题
海淀区高三年级第一学期理科数学期末测试及答案
海淀区高三年级第一学期理科数学期末测试一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．已知=-=αα2cos ,53cos 则（ ）A ．257 B ．257-C ．2524D ．2524-2．已知抛物线的方程为y 2=4x ，则此抛物线的焦点坐标为（ ）A ．（－1，0）B ．（0，－1）C ．（1，0）D ．（0，1）3．设集合1,,},4,3,2,1{22=+∈=nym xA n m A 则方程表示焦点位于x 轴上的椭圆有（ ）A ．6个B ．8个C ．12个D ．16个4．已知三条不同直线m 、n 、l ，两个不同平面βα,，有下列命题： ①βαββαα////,//,,⇒⊂⊂n m n m②ααα⊥⇒⊥⊥⊂⊂l n l m l n m ,,, ③αββαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥n m n n m ,,, ④αα//,//m n n m ⇒⊂ 其中正确的命题是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．③5．某台机器上安装甲乙两个元件，这两个元件的使用寿命互不影响.已知甲元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，要使两个元件中至少有一个的使用寿命超过1年的概率至少为0.9，则乙元件的使用寿命超过1年的概率至少为 （ ）A ．0.3B ．0.6C ．0.75D ．0.96．已知函数),20,0)(sin(πϕωϕω≤<>+=x y且此函数的图象如图所示，则点P （),ϕω的坐标是 （ ） A ．)2,2(πB ．)4,2(πC ．)2,4(πD ．)4,4(π7．已知向量),sin 3,cos 3(),sin ,cos 2(ββαα==b a 若向量a 与b 的夹角为60°，则直线 21)s i n ()c o s (021s i n c o s 22=++-=+-ββααy x y x 与圆的位置关系是 （ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交且过圆心8．动点P 为椭圆)0(12222>>=+b a by ax 上异于椭圆顶点（±a ，0）的一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，动圆C 与线段F 1、P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ）A ．一条直线B ．双曲线的右支C ．抛物线D ．椭圆二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．已知双曲线1422=-xy，则其渐近线方程是 ，离心率e= .10．在复平面内，复数i z i z 32,121+=+=对应的点分别为A 、B 、O 为坐标原点，OB OA OP λ+=.若点P 在第四象限内，则实数λ的取值范围是 .11．等差数列{a n }的公差为3，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2=. 12．已知正四棱锥P —ABCD 中，PA=2，AB=2，M 是侧棱PC 的中点，则异面直线PA 与BM 所成角大小为 .13．动点P 在平面区域|)||(|2:221y x y x C +≤+内，动点Q 在曲线1)4()4(:222=-+-y x C上，则平面区域C 1的面积为 ，|PQ|的最小值为 . 14．已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD=60°， 长为2的线段MN 的一个端点M 在 DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD上运动.则MN 中点P 的轨迹与直平行 六面体表面所围成的几何体中较小体积值 为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题共13分）在三角形ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，若B c a C b c o s )2(c o s -=. （Ⅰ）求∠B 的大小； （Ⅱ）若,4,7=+=c a b 求三角形ABC 的面积.16．（本小题共13分）已知圆C 的方程为：.422=+y x（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 交于A 、B 两点，若,32||=AB 求直线l 的方程；（Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行与x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量 ON OM OQ +=，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.17．（本小题共13分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，,6,3,1,901===︒=∠AA CA CB ACB M 为侧棱CC 1上一点，AM ⊥BA 1 （Ⅰ）求证：AM ⊥平面A 1BC ； （Ⅱ）求二面角B —AM —C 的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABM 的距离.18．（本小题共14分）设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+=. （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）当0＜a ＜2时，求函数]30[1)()(2，在区间---=ax x x f x g 的最小值.19．（本小题共14分）设椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的焦点分别为F 1（－1，0）、F 2（1，0），右准线l 交x 轴于点A ，且.221AF AF =（Ⅰ）试求椭圆的方程； （Ⅱ）过F 1、F 2分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点（如图所示），试求四边形DMEN 面积的最大值和最小值.20．（本小题共13分）已知函数f （x ）的定义域为[0，1]，且满足下列条件： ①对于任意;4)1(,3)(],1,0[=≥∈f x f x ，且总有②若.3)()()(,1,0,021212121-+≥+≤+≥≥x f x f x x f x x x x 则有 （Ⅰ）求f （0）的值； （Ⅱ）求证：4)(≤x f ； （Ⅲ）当33)(,...)3,2,1](31,31(1+<=∈-x x f n x n n时，试证明：.参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号1 2 3 4 5 6 7 8答案B C A D C B C A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）9．x y 2±=，（缺一扣1分）25 10．3121-<<-λ 11．－912．4π13．π48+，122- 14．92π三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分）解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得sin B cos C = 2sin A cos B －cos B sin C …………………………………………………2分 ∴2sin A cos B = sin B cos C +cos B sin C = sin(B +C )又在三角形ABC 中，sin (B +C ) = sin A ≠0 ………………………………………3分 ∴2sinAcosB = sinA ，即在△ABC 中，cosB=21，………………………………5分3π=B ………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）B ac c a b cos 27222-+==ac c a -+=∴227………………………………………………………………8分又ac c a c a 216)(222++==+3=∴ac …………………………………………………………………………10分 B ac S ABC sin 21=∴∆43323321=⨯⨯=∴∆ABC S …………………………………………………13分16．（共13分）解：（Ⅰ）①直线l 垂直于x 轴时，直线方程为x =1，l 与圆的两个交点坐标为（1，3）和（1，－3），其距离为32 满足题意………………………………………1分 ②若直线l 不垂直于x 轴，设其方和为)1(2-=-x k y ，即02=+--k y kx …………………………………………………………2分 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得d =1…………………3分 1|2|12++-=∴kk ，43=k ，………………………………………………………4分故所求直线方程为0543=+-y x ………………………………………………5分 综上所述，所求直线方程为0543=+-y x 或x =1……………………………6分（Ⅱ）设点M 的坐标为)0)(,(000≠y y x ，Q 点坐标为（x ，y ）则N 点坐标是),0(0y …7分,ON OM OQ +=2,)2,(),(0000y y x x y x y x ===∴即………………………………………………9分又)0(44,4222020≠=+∴=+y yx y x ……………………………………………11分∴Q 点的轨迹方程是)0(,116422≠=+y yx…………………………………………12分轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆，除去短轴端点. …………………………………13分注：多端点时，合计扣1分.17．（共13分）证明：（Ⅰ）在直三棱柱111C B A ABC -中，易知面⊥11A ACC 面ABC ， ︒=∠90ACB ，11A A C C BC 面⊥∴，……………………………………………………………2分 11A A C C AM 面⊆ AM BC ⊥∴B BA BC BA AM =⊥11 ，且BC A AM 1平面⊥∴……………………………………………………………4分解：（Ⅱ）设AM 与A 1C 的交点为O ，连结BO ，由（Ⅰ）可 知AM ⊥OB ，且AM ⊥OC ，所以∠BOC 为二面角 B －AM －C 的平面角，…………………………5分在Rt △ACM 和Rt △A 1AC 中，∠OAC+∠ACO=90°， ∴∠AA 1C=∠MAC ∴Rt △ACM~ Rt △A 1AC ∴AC 2= MC ²AA 1 ∴26=MC ……………………………………7分∴在Rt △ACM 中，223=AMCO AM MC AC ⋅=⋅21211=∴CO∴在Rt △BCO 中，1tan ==COBC BOC .︒=∠∴45BOC ，故所求二面角的大小 为45°………………………………9分 （Ⅲ）设点C 到平面ABM 的距离为h ，易知2=BO ，可知2322232121=⨯⨯=⋅⋅=∆BO AM S ABM ……………………………10分A B C M A B M C V V --= ………………………………………………………………11分 A B C A B MS MC hS∆∆⋅=∴313122232326=⨯=⋅=∴∆∆A B MA B CS S MC h∴点C 到平面ABM 的距离为22………………………………………………13分解法二：（Ⅰ）同解法一…………………………4分 （Ⅱ）如图以C 为原点，CA ，CB ，CC 1所在直线 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则)0,1,0(),6,0,3(),0,0,3(1B A A ，设 M （0，0，z 1） 1BA AM ⊥ .01=⋅∴BA AM 即06031=++-z ，故261=z ，所以)26,0,0(M …………………6分设向量m =（x ，y ，z ）为平面AMB 的法向量，则m ⊥AM ，m ⊥AB ，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AB m AM m 即,030263⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-y x z x 令x =1，平面AMB 的一个法向量为m =)2,3,1(，……………………………………………………………………8分 显然向量CB 是平面AMC 的一个法向量22||||,cos =⋅⋅>=<CB m CB m CB m易知，m 与CB 所夹的角等于二面角B －AM －C 的大小，故所求二面角的大小为 45°. ………………………………………………………………………………9分 （Ⅲ）所求距离为：2263||==⋅m CB m即点C 到平面ABM 的距离为22………………………………………………13分18．（共14分）解：（Ⅰ）.1)2(212)1(2)('++=+-+=x x x x x x f …………………………2分由0)('>x f 得012>-<<-x x 或；由0)('<x f ，得.012<<--<x x 或 又)(x f 定义域为（－1，+∞）∴所以函数f (x )的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（－1，0）…5分 （Ⅱ）)1(212)(x n ax x x g +--=，定义域为（－1，+∞） 1)2(122)('+--=+--=x ax a x a x g ……………………………………………7分0202,20>->-∴<<aa a a 且由0)('>x g 得aa x ->2，即)(x g 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,2a a上单调递增；由0)('<x g 得aa x -<<-21，即)(x g 在⎪⎭⎫⎝⎛--a a2,1上单调递减…………8分 ①时 )(,320x g a a<-<在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 2,0上单调递减，在⎪⎭⎫⎝⎛-3,2a a 上单调递增； ∴在区间[0，3]上，ana aa g x g --=-=2221)2()(min ； (2)30<<a …10分②当)(,32,223x g aa a ≥-<≤时在（0，3）上单调递减，∴在区间[0，3]上，42136)3()(min n a g x g --==…………………………13分 综上可知，当230<<a 时，在区间[0，3]上，ana aa g x g --=-=2221)2()(min ；当223<≤a 时，在区间[0，3]上42136)3()(min n a g x g --==.…14分19．（共14分）解：（Ⅰ）由题意，),0,(,22||221a A C F F ∴==…………………………………2分212AF AF = 2F ∴为AF 1的中点……………………………………………3分2,322==∴b a即：椭圆方程为.12322=+yx……………………………………………………5分（Ⅱ）当直线DE 与x 轴垂直时，342||2==abDE ，此时322||==a MN ，四边形DMEN 的面积为42||||=⋅MN DE .同理当MN 与x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积为42||||=⋅MN DE .…7 分当直线DE ，MN 均与x 轴不垂直时，设DE ∶)1(+=x k y ，代入椭圆方程，消去 y 得：.0)63(6)32(2222=-+++k x k x k设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+,3263,326),,(),,(222122212211k k x x kkx x y x E y x D 则…………………………………8分所以，231344)(||222122121++⋅=-+=-kkx x x x x x ，所以，2221232)1(34||1||kk x x kDE ++=-+=，同理，.32)11(34)1(32)1)1((34||2222kkkkMN ++=-++-=………………………………10分所以，四边形的面积222232)11(3432)1(34212||||kkkk MN DE S ++⋅++⋅=⋅=13)1(6)21(242222++++=kkkk ，…………………………………12分 令uuu S kk u 61344613)2(24,122+-=++=+=得因为,2122≥+=kk u当2596,2,1==±=S u k 时，且S 是以u 为自变量的增函数，所以42596<≤S .综上可知，四边形DMEN 面积的最大值为4，最小值为2596.…………………14分20．（共13分）解：（Ⅰ）令021==x x ，由①对于任意]1,0[∈x ，总有3)0(,3)(≥∴≥f x f ……………………………1分 又由②得 3)0(,3)0(2)0(≤-≥f f f 即；……………………………………2分 .3)0(=∴f …………………………………………………………………………3分证明：（Ⅱ）任取2121]1,0[,x x x x <∈且设，则3)()()]([)(1211212--+≥-+=x x f x f x x x f x f ， 因为1012≤-<x x ，所以03)(,3)(1212≥--≥-x x f x x f 即，).()(21x f x f ≤∴………………………………………………………………5分 .4)1()(,]1,0[=≤∈∴f x f x 时当……………………………………………7分（Ⅲ）先用数学归纳法证明：)(331)31(*11N n f n n ∈+≤-- （1）当n =1时，331314)1()31(+=+===f f ，不等式成立；（2）假设当n=k 时，)(331)31(*11N k f k k ∈+≤--由6)31()31()31(3)3131()31()]3131(31[)31(1-++≥-++≥++=-kkkkkkkkkk f f f f f f f得≤)31(3kf 9316)31(11+≤+--k k f331)31(+≤∴kkf即当n=k+1时，不等式成立. 由（1）（2）可知，不等式331)31(+≤∴kkf 对一切正整数都成立.于是，当)31(331331333,...)3,2,1](31,31(111---≥+=+⨯>+=∈n n nn nf x n x 时，，而x ∈[0，1]，f （x ）单调递增)31()31(1-<∴n nf f 所以33)31()31(1+<<∴-x f f n n……………………………………13分。
北京市海淀区高三第一学期期末考试数学(理科)共10页word资料
北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.（1）已知全集U ，A B ⊆，那么下列结论中可能不成立的是（ ）（A ）AB A = （B ）A B B =（C ）()U A B ≠∅ð （D ）()U B A =∅ð（2）抛物线22y x =的准线方程为（ ） （A ）18y =-（B ）14y =- （C ）12y =- （D ）1y =- （3）将函数cos 2y x =的图象按向量(,1)4a π=平移后得到函数()f x 的图象，那么（ ）（A ）()sin 21f x x =-+ （B ）()sin 21f x x =+ （C ）()sin 21f x x =-- （D ）()sin 21f x x =- （4）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a c 3=，30B =?，那么角C 等于（ ）（A ）120° （B ）105° （C ）90° （D ）75° （5）位于北纬x 度的A 、B 两地经度相差90︒，且A 、B 两地间的球面距离为3R π（R 为地球半径），那么x 等于（ ）（A ）30 （B ） 45 （C ） 60 （D ）75 （6）已知定义域为R 的函数()f x ，对任意的R x Î都有1(1)()22f x f x +=-+恒成立，且1()12f =，则(62)f 等于 （ ） （A ）1 （B ） 62 （C ） 64 （D ）83（7）已知{},1,2,3,4,5αβÎ，那么使得sin cos 0αβ?的数对(),αβ共有（ ）(A) 9个 (B) 11个 (C) 12个 (D) 13个（8）如果对于空间任意()2n n ³条直线总存在一个平面α，使得这n 条直线与平面α所成的角均相等，那么这样的n （ ）（A ）最大值为3 （B ）最大值为4 （C ）最大值为5 （D ）不存在最大值 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. （9）22462limnnn ++++= .（10）如果()1,10,1x f x x ì£ïï=íï>ïî，， 那么()2f f 轾=臌 ；不等式()1212f x -?的解集是 .（11）已知点1F 、2F 分别是双曲线的两个焦点， P 为该双曲线上一点，若12PF F ∆为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为_____________.（12）若实数x 、y 满足20,,,x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩且2z x y =+的最小值为3，则实数b 的值为 .（13）已知直线0=++m y x 与圆222x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，||||OA OB AB +?，那么实数m 的取值范围是 .（14）已知：对于给定的*q N Î及映射*:,N f AB B．若集合C A Í，且C 中所有元素对应的象之和大于或等于q ，则称C 为集合A 的好子集． ① 对于2q =，{},,A a b c =，映射:1,f x x A ，那么集合A 的所有好子集的个数为 ；② 对于给定的q ，{}1,2,3,4,5,6,A π=，映射:f A B ®的对应关系如下表：x12 3 4 5 6π()f x1 1 1 1 1yz若当且仅当C 中含有π和至少A 中2个整数或者C 中至少含有A 中5个整数时，C 为集合A 的好子集．写出所有满足条件的数组(),,q y z ： ． 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. (15)（本小题共12分）已知函数22()sin )cos()cos 44f x x x x x ππ=++---. （Ⅰ）求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）求函数)(x f 在25,1236ππ轾犏-犏臌上的最大值和最小值并指出此时相应的x 的值. （16）（本小题共12分）已知函数)(x g 是2()(0)f x x x =>的反函数，点),(00y x M 、),(00x y N 分别是)(x f 、)(x g 图象上的点，1l 、2l 分别是函数)(x f 、)(x g 的图象在N M ,两点处的切线，且1l ∥2l ． （Ⅰ）求M 、N 两点的坐标；（Ⅱ）求经过原点O 及M 、N 的圆的方程． （17）（本小题共14分）已知正三棱柱111C B A ABC -中，点D 是棱AB的中点，11,BC AA ==.（Ⅰ）求证：//1BC 平面DC A 1； （Ⅱ）求1C 到平面1A DC 的距离； （Ⅲ）求二面角1D AC A --的大小.（18）（本小题共14分）某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T （单位：年）有关. 若1≤T ，则销售利润为0元；若31≤<T ，则销售利润为100元；若3>T ，则销售利润为200元. 设每台该种电器的无故障使用时间1≤T ，31≤<T 及3>T 这三种情况发生的概率分别为321,,p p p ，又知21,p p 是方程015252=+-a x x 的两个根，且32p p =.（Ⅰ）求321,,p p p 的值；（Ⅱ）记ξ表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求ξ的分布列； （Ⅲ）求销售两台这种家用电器的销售利润总和的平均值. （19）（本小题共14分）已知点()0,1A 、()0,1B -，P 是一个动点，且直线PA 、PB 的斜率之积为12-. （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）设()2,0Q ，过点()1,0-的直线l 交C 于M 、N 两点，QMN ∆的面积记为S ，若对满足条件的任意直线l ，不等式tan S MQN λ≤恒成立，求λ的最小值. （20）（本小题共14分）如果正数数列{}n a 满足：对任意的正数M ，都存在正整数0n ，使得0n a M >，则称数列{}n a 是一个无界正数列．（Ⅰ）若()32s i n ()1,2,3,n a n n =+=， 1, 1,3,5,,1, 2,4,6,,2n n nb n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪=⎪⎩分别判断数列{}n a 、{}n b 是D C 1B 1A 1CBA否为无界正数列，并说明理由；（Ⅱ）若2n a n =+，是否存在正整数k ，使得对于一切n k ≥，有1223112n n a a a n a a a ++++<-成立； （Ⅲ）若数列{}n a 是单调递增的无界正数列，求证：存在正整数m ，使得122312009mm m a a a a a a +-+++<． 海淀区高三年级第一学期期末练习 数学（理科）参考答案及评分标准 2009.01一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）CABAB DDA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） （9）1 （10）1，[0,1] （111（12）94（13）(2,[2,2)- （14） 4，(5,1,3) 三、解答题（本大题共6小题,共80分） (15)（本小题共12分）解：（Ⅰ）22()sin )cos()cos 44f x x x x x ππ=++-- 2sin(2)6x π=- ………………………………………………4分所以22T ππ==. ………………………………………………5分 由()3222262Z k x k k πππππ+???得所以函数)(x f 的最小正周期为π，单调递减区间为5[,]36k k ππππ++()k ∈Z .………………………………………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）有()2sin(2)6f x x π=-.因为25,1236x ππ轾犏?犏臌， 所以112,639x πππ轾犏-?犏臌. 因为411sin()sin sin 339πππ-=<，所以当12x π=-时，函数)(x f取得最小值-3x π=时，函数)(x f 取得最大值2.………………………………………………12分（16）（本小题共12分） 解：（Ⅰ）因为2()(0)f x x x =>，所以()0)g x x =>.从而,2)(x x f ='()g x ¢=. ………………………………………………3分所以切线21,l l 的斜率分别为,2)(001x x f k ='=00221)(y y g k ='=.又2000(0)y x x =>，所以2012k x =. ………………………………………………4分 因为两切线21,l l 平行，所以21k k =. ………………………………………………5分从而20(2)1x =.因为00x >， 所以012x =. 所以N M ,两点的坐标分别为)21,41(),41,21(. ………………………………………7分 （Ⅱ）设过O 、M 、N 三点的圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++=.因为圆过原点，所以0F =.因为M 、N 关于直线y x =对称，所以圆心在直线y x =上. 所以D E =.又因为11(,)24M 在圆上， 所以512D E ==-. 所以过O 、M 、N 三点的圆的方程为：225501212x y x y +--=. ………………12分 （17）（本小题共14分）（Ⅰ）证明：连结1AC 交1A C 于点G ，连结DG .在正三棱柱111C B A ABC -中，四边形11ACC A 是平行四边形， ∴DG ∥1BC . ………………………………………2分∵DG ⊂平面1A DC ，1BC ⊄平面1A DC ，∴1BC ∥平面1A DC .………………………………………4分解法一：（Ⅱ）连结1DC ，设1C 到平面1A DC 的距离为h .∵四边形11ACC A 是平行四边形，∴1118C A CD V -=. ………………………………………6分在等边三角形ABC 中，D 为AB 的中点， ∵AD 是1A D 在平面ABC 内的射影，∴1CD A D ^. ………………………………………8分∴111313C A DC A DCV h S -∆==. ………………………………………9分 （Ⅲ）过点D 作DE AC ⊥交AC 于E ，过点D 作1DF A C ⊥交1A C 于F ，连结EF .∵平面ABC ⊥平面11ACC A ，DE ⊂平面ABC ，平面ABC平面11ACC A AC =，∴DE ⊥平面11ACC A .∴EF 是DF 在平面11ACC A 内的射影.∴DFE Ð是二面角1D AC A --的平面角. ………………………………………12分 在直角三角形ADC中，AD DC DE AC ×==同理可求：118A D DC DF AC ×==.∴DFE ?………………………………………14分解法二：过点A 作AO BC ⊥交BC 于O ，过点O 作F ED C 1B 1A 1CBAOE BC ⊥交11B C 于E .因为平面ABC ⊥平面11CBB C ，所以AO ⊥平面11CBB C .分别以,,CB OE OA 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为11,BC AA ==，ABC ∆是等边三角形，所以O 为BC 的中点.则()0,0,0O ，A ⎛ ⎝⎭，1,0,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1A ⎛ ⎝⎭，1(4D ，112C ⎛⎫- ⎪⎝⎭. ………………………………………6分 （Ⅱ）设平面1A DC 的法向量为(),,n x y z =，则取x =1A DC 的一个法向量为()3,1,3n =-. ………………………………………8分∴1C 到平面1A DC 的距离为：13913CC n n⋅=………………………………………10分 (Ⅲ)解：同（Ⅱ）可求平面1ACA 的一个法向量为()13,0,1n =-. …………………………12分设二面角1D AC A --的大小为θ，则1cos cos ,n n θ=<>=∴θ=. ………………………………………14分 （18）（本小题共14分）解：（Ⅰ）由已知得1321=++p p p .21,p p 是方程015252=+-a x x 的两个根, ∴511=p ,5232==p p . ………………………………………3分 （Ⅱ）ξ的可能取值为0，100，200，300，400. ………………………………………4分()400=ξP =2545252=⨯. ………………………………………9分随机变量ξ的分布列为：ξ 0 100 200 300 400P251 254 258 258 254………………………………………11分 （Ⅲ）销售利润总和的平均值为E ξ=2544002583002582002541002510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=240. ∴销售两台这种家用电器的利润总和的平均值为240元.………………………………………14分注：只求出E ξ，没有说明平均值为240元，扣1分. （19）（本小题共14分）解：（Ⅰ）设动点P 的坐标为(),x y ，则直线,PA PB 的斜率分别是11,y y x x-+. 由条件得1112y y x x-+?-. 即()22102x y x +=?. 所以动点P 的轨迹C 的方程为()22102x y x +=?. ………………………………………5分 注：无0x ¹扣1分. （Ⅱ）设点,M N 的坐标分别是()()1122,,,x y x y .当直线l 垂直于x 轴时，21212111,,2x x y y y ==-=-=. 所以()()()1122112,,2,2,QM x y QN x y x y =-=-=--. 所以()22111722QM QNx y ?--=. ………………………………………7分 当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为()1y k x =+,由221,2(1)x y y k x ìïï+=ïíïï=+ïî得()2222124220k x k x k +++-=. 所以 2122, 21422212221k k x x k k x x +-=+-=+. ………………………………………9分 所以()()()12121212122224QM QNx x y y x x x x y y ?--+=-+++.因为()()11221,1y k x y k x =+=+， 所以()()()()2221212217131712422212QM QNk x x k x x k k ?++-+++=-<+.综上所述⋅的最大值是217. ………………………………………11分 因为tan S MQN λ≤恒成立,即1sin ||||sin 2cos MQN QM QN MQN MQNλ⋅≤恒成立. 由于()2171302212QM QNk ?->+. 所以cos 0MQN >.所以2QM QN λ⋅≤恒成立. ………………………………………13分 所以λ的最小值为174. ………………………………………14分 注：没有判断MQN Ð为锐角，扣1分. （20）（本小题共14分）解：（Ⅰ）{}n a 不是无界正数列．理由如下：取M = 5，显然32sin()5n a n =+≤，不存在正整数0n 满足05n a >；{}n b 是无界正数列．理由如下：对任意的正数M ，取0n 为大于2M 的一个偶数，有0012122n n M b M ++=>>，所以{}n b 是无界正数列． ………………………………………4分（Ⅱ）存在满足题意的正整数k .理由如下： 当3n ³时， 因为12231n n a a a n a a a +⎛⎫-+++⎪⎝⎭32121231n nn a a a a a a a a a ++---=+++即取3k =，对于一切n k ≥，有1223112n n a a a n a a a ++++<-成立. ……………………9分 注：k 为大于或等于3的整数即可.（Ⅲ）证明：因为数列{}n a 是单调递增的正数列，所以12231n n a a a n a a a +⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭32121231n nn a a a a a a a a a ++---=+++即12123111n n n a a a a n a a a a +++++<-+. 因为{}n a 是无界正数列，取12M a =，由定义知存在正整数1n ，使1112n a a +>. 所以1112123112n n a a a n a a a ++++<-.由定义可知{}n a 是无穷数列，考察数列11n a +，12n a +，13n a +，…，显然这仍是一个单调递增的无界正数列，同上理由可知存在正整数2n ，使得()112112122123112n n n n n n a a a n n a a a ++++++++<--.重复上述操作，直到确定相应的正整数4018n .则401840181212140184017231111222n n a a a n n n n n a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<-+--++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即存在正整数4018m n =，使得122312009mm m a a a a a a +-+++<成立. ………………………………………14分。
北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末练习物理试卷含答案
海淀区2023-2024学年第一学期期末练习高三物理（答案在最后）本试卷共8页，100分。
考试时长90分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分本部分共10题，每题3分，共30分。
在每题给出的四个选项中，有的题只有一个选项是正确的，有的题有多个选项是正确的。
全部选对的得3分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分。
把正确的答案填涂在答题纸上。
1.图中实线表示某静电场的电场线，虚线表示该电场的等势面。
A 、B 两点的电场强度大小分别为A E 、B E ，电势分别为A ϕ、B ϕ。
下列说法正确的是（）A.A BE E < B.A B E E > C.A B ϕϕ< D.A Bϕϕ>【答案】BC【解析】【详解】AB .电场线的疏密程度反映场强的大小，A 处电场线比B 处密集，因此A B E E ＞，故A 错误，B 正确；CD .同一等势面上电势相等，且沿电场线方向电势逐渐降低，因此A B ϕϕ＜，故D 错误，C 正确；故选BC 。
2.将一个不带电的空腔导体放入匀强电场中，达到静电平衡时，导体外部电场线分布如图所示。
W 为导体壳壁，A 、B 为空腔内两点。
下列说法正确的是（）A.导体壳壁W 的外表面和内表面感应出等量的异种电荷B.空腔导体上的感应电荷在B点产生的场强为零C.空腔内的电场强度为零D.空腔内A点的电势高于B点的电势【答案】C【解析】【详解】ACD．导体壳壁W处于静电平衡状态，外表面感应出等量的异种电荷，导体壳壁和空腔内部为一个等势体，电场强度均为零，空腔内A点的电势等于B点的电势。
故AD错误；C正确。
B．空腔导体上的感应电荷在B点产生的场强与匀强电场的场强等大反向，不为零。
故B错误。
故选C。
3.如图所示，弹簧上端固定，下端悬挂一个磁铁，在磁铁正下方有一个固定在水平桌面上的闭合铜质线圈。
将磁铁竖直向下拉至某一位置后放开，磁铁开始上下振动。
北京市海淀区届高三上学期期末考试数学理试题
31 海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）2016.1本试卷共 4 页，150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知 (1 + b i)i = -1 + i(b ∈ R) ，则 b 的值为A.1B. -1C. iD.-i2. 抛物线 x 2 = 4 y 的准线与 y 轴的交点的坐标为A. (0, - 1 )2B. (0, -1)C. (0, -2)D. (0, -4)ED C5. 已知数列 A : a 1, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ，其中 a i ∈{-1,0,1},i = 1, 2,3, 4,5 , 则满足 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 = 3 的不同数列 A 一共有A. 15 个B. 25 个C. 30 个D. 35 个6. 已知圆 C ：( x - 2)2 + y 2 = 4 , 直线 l : y = x ， l 2 : y = kx - 1若 l 1,l 2 被圆 C 所截得的弦的长度之比为1: 2 ，则 k 的值为A.B.1C.1 2D.3 33否是输出结束3. 如图，正方形ABCD 中， E 为 DC 的中点，若 AD = AC + AE ， 则 - 的值为ABA. 3B. 2C. 1D. -3 4. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的 a 值为 1，则输 出的 a 值为开始 输入A.1B. 2C. 3D. 5⎨ ⎩⎧ x - y +2 ≥ 0, 7. 若 x , y 满足 ⎪x + y - 4 ≤ 0, ⎪ y ≥ 0, 则z = y - 2 | x | 的最大值为A. -8B. -4C.1D. 28. 已知正方体 ABCD - A ' B 'C ' D ' ，记过点 A 与三条直线 AB , AD , AA ' 所成角都相等的直线条数为m , 过点 A 与三个平面 AB ', AC , AD ' 所成角都相等的直线的条数为 n ，则下面结论正确的是A. m = 1, n = 1B. m = 4, n = 1C. m = 3, n = 4D. m = 4, n = 4二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
海淀区高三年级第一学期期末练习数学(理科)
当 4 4a 0 ，即 a 1时，不等式①在定义域内恒成立，所以此时函数
f ( x) 的
单调递增区间为 ( , 1) 和 ( 1, ) .
………………．8 分
当 4 4a 0 ，即 a 1时，不等式①的解为 x 1 1 a 或 x 1 1 a ， ………………．10 分
又 因 为 x 1 ， 所 以 此 时 函 数 f (x) 的 单 调 递 增 区 间 为 ( , 1 1 a ) 和
海淀区高三年级第一学期期末练习
数 学 （理科）
2010.1
一、 选择题：本大题共 8 小题 ,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中 , 选出符合题目要求的一项 .
1． 函数 y x 1 ( x 0) 的值域为 x
A． 2,
B． (2, )
C． (0, )
D． , 2 U 2,
2．如图， PAB 、 PC 分别是圆 O 的割线和切线（ C 为切点），若 PA AB 3 ，则 PC 的长为
4
11． 24 12
12． 10100
3
13．
4
14 ．②③ ;28
三、解答题 ( 本大题共 6 小题 , 共 80 分 )
15．（本小题满分 13 分）
解：（Ⅰ）由已知， C ， b 5 ， 3
因为
1 S ABC ab sin C ，
2
即
1 10 3 a 5sin
，
2
3
解得 a 8 .
由余弦定理可得 : c2 64 25 80cos 49 , 3
（Ⅱ）已知二面角
P-BF-C 的余弦值为
6 ，求四棱锥 P-ABCD 的体积 . 6
P
D F
北京市海淀区高三上学期期末数学理科试题
数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.说明：第9，14题第一空3分，第二空2分 三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15．解：（Ⅰ）因为π()sin()14f x x x =-+cos )]1x x x =-+ …………………………….1分2cos (sin cos )1x x x =-+22cos sin 2cos 1x x x =-+ …………………………….5分（两个倍角公式，每个各2分）sin2cos2x x =-π)4x =- …………………………….6分 所以函数()f x 的最小正周期2ππ||T ω==. …………………………….7分（Ⅱ）因为ππ[]126x ∈，，所以ππ2[]63x ∈，，所以πππ(2)[]41212x -∈-，. (8)分当ππ2412x -=-时，函数()f x 取得最小值π)12-; …………………………….10分 当ππ2412x -=时，函数()f x 取得最大值π12, …………………………….12分ππ)sin()01212-=, 所以函数()f x 在区间ππ[]126，上的最大值与最小值的和为0. (13)分16.解：（Ⅰ）设持续i 天为事件,1,2,3,4i A i =，用药持续最多一个周期为事件B ， …………………………….1分所以2312341121212()()()()()()3333333P A P A P A P A ==⋅=⋅=⋅，，，， …………………………….5分 则123465()(()()()81P B P A P A P A P A =+++=）. …………………………….6分法二：设用药持续最多一个周期为事件B ，则B 为用药超过一个周期， …………………………….1分 所以4216()()381P B ==, …………………………….3分 所以4265()1()381P B =-=. …………………………….6分（Ⅱ）随机变量η可以取1,2， …………………………….7分 所以33441211(1)()()3339P C η==+=,18(2)199P η==-=, …………………………….11分所以181712999E η=⋅+⋅=. …………………………….13分17．解：（Ⅰ）过点F 作FH AD ，交PA 于H ,连接BH ,因为13PF PD =，所以13HF AD BC ==. …………………………….1分又FH AD ，AD BC ，所以HF BC . …………………………….2分 所以BCFH为平行四边形, 所以CFBH . (3)分又BH ⊂平面PAB ，CF ⊄平面PAB , ………………….4分（一个都没写的，则这1分不给） 所以CF平面PAD . …………………………….5分（Ⅱ）因为梯形ABCD 中，AD BC ，AD AB ⊥, 所以BC AB ⊥.因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB PB BC ⊥⊥，, 如图，以B 为原点，,,BC BA BP所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系, …………………………….6分HFADCBPPBCDAF yzx所以(1,0,0),(3,3,0),(0,3,0),(0,0,3)C D A P .设平面BPD 的一个法向量为(,,)n x y z =，平面APD 的一个法向量为(,,)m a b c =, 因为(3,3,3),(0,0,3),PD BP =-=所以00PD n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即333030x y z z +-=⎧⎨=⎩， …………………………….7分 取1x =得到(1,1,0)n =-, …………………………….8分 同理可得(0,1,1)m =, …………………………….9分 所以1cos ,2||||n m n m n m ⋅<>==-, …………………………….10分因为二面角B PD A --为锐角， 所以二面角B PD A--为π3. …………………………….11分（Ⅲ）假设存在点M ，设(3,3,3)PM PD λλλλ==-， 所以(13,3,33)CM CP PM λλλλ=+=-+-, …………………………….12分 所以93(33)0PA CM λλ⋅=-+-=，解得12λ=, …………………………….13分 所以存在点M，且12PM PD ==. …………………………….14分18．解：（Ⅰ）因为1()(1)ln f x kx k x x=-+-, 所以22211(1)1'()k kx k x f x k x x x +-++=-+=， …………………………….1分 当12k =时，21(2)(1)2'()x x f x x--=. …………………………….2分令21(2)(1)2'()0x x f x x --== ， 得121,2x x ==， (3)分所以'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：…………………………….6分所以()f x 在1x =处取得极大值1(1)2f =-，在2x =处取得极小值13(2)ln 222f =-. …………………………….7分函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(2,)+∞, ()f x 的单调递减区间为(1,2).…………………………….8分（Ⅱ）证明：不等式()1f x >在区间[1,e]上无解，等价于()1f x ≤在区间[1,e]上恒成立， 即函数()f x 在区间[1,e]上的最大值小于等于1.因为21()(1)'()k x x k f x x--=， 令'()0f x =，得121,1x x k==.…………………………….9分 因为01k <<时，所以11k>. 当1e k≥时，'()0f x ≤对[1,e]x ∈成立，函数()f x 在区间[1,e]上单调递减，……………………….10分所以函数()f x 在区间[1,e]上的最大值为(1)11f k =-<, 所以不等式()1f x >在区间[1,e]上无解； …………………………….11分 当1e k<时，'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：所以函数()f x 在区间[1,e]上的最大值为(1)f 或(e)f . ……………………………….12分此时(1)11f k =-<, 1(e)e (1)ef k k =-+-， 所以1(e)1e (1)1ef k k -=-+--111(e 1)2(e 1)2e 30e e ek =---<---=--< .综上，当01k <<时，关于x 的不等式()1f x >在区间[1,e]上无解. …………………………….13分19．解：（Ⅰ）因为椭圆W 的左顶点A 在圆22:16O x y +=上， 令0y =，得4x =±，所以4a =. …………………………….1分又离心率为，所以e c a ==，所以c =分所以2224b a c =-=, …………………………….3分所以W 的方程为221164x y +=.…………………………….4分 （Ⅱ）法一：设点1122(,),(,)P x y Q x y ，设直线AP的方程为(4)y k x =+， …………………………….5分与椭圆方程联立得22(4)1164y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,化简得到2222(14)3264160k x k x k +++-=,…………………………….6分因为4-为上面方程的一个根，所以21232(4)14k x k -+-=+，所以21241614k x k -=+. …………………………….7分所以||AP =.…………………………….8分 因为圆心到直线AP的距离为d =， (9)分 所以||AQ ===, …………………………….10分 因为||||||||1||||||PQ AQ AP AQ AP AP AP -==-， …………………………….11分 代入得到22222||1433113||111PQ k k AP k k k +==-==-+++. …………………………….13分 显然23331k-≠+，所以不存在直线AP，使得||3||PQ AP =. …………………………….14分法二： 设点1122(,),(,)P x y Q x y ，设直线AP的方程为4x my =-， …………………………….5分与椭圆方程联立得2241164x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得到22(4)80m y my +-=, 由2640m ∆=>得0m ≠. (6)分显然0是上面方程的一个根，所以另一个根，即1284my m =+. …………………………….7分由1||0|AP y =-=， …………………………….8分 因为圆心到直线AP的距离为d =， …………………………….9分所以||AQ===……………….10分因为||||||||1||||||PQ AQ AP AQAP AP AP-==-，…………………………….11分代入得到222||4311||11PQ mAP m m+=-=-=++, …………………………….13分若2331m=+，则0m=，与0m≠矛盾，矛盾，所以不存在直线AP，使得||3||PQAP=. ……………………………. 14分法三：假设存在点P，使得||3||PQAP=，则||4||AQAP=，得||4||QPyy=. …………………………….5分显然直线AP的斜率不为零，设直线AP的方程为4x my =-， …………………………….6分由2241164x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得 22(4)80m y my +-=,由2640m ∆=>得0m ≠， …………………………….7分 所以284P m y m =+. …………………………….9分 同理可得281Q my m =+， …………………………….11分所以由||4||Q P y y =得22441m m +=+， …………………………….13分则0m =，与0m ≠矛盾， 所以不存在直线AP，使得||3||PQ AP =. (1)4分20.解：（Ⅰ）因为{}n a 是P 数列，且10a =，所以3202||||a a a a =-=， 所以43222a a a a a =-=-,所以221a a -=，解得212a =-, …………………………….1分所以354311,||22a a a a ==-=. …………………………….3分(Ⅱ) 假设P 数列{}n a 的项都是正数，即120,0,0n n n a a a ++>>>，所以21n n n a a a ++=-，3210n n n n a a a a +++=-=-<，与假设矛盾.故P 数列{}n a 的项不可能全是正数, …………………………….5分 假设P 数列{}n a 的项都是负数，则0,n a <而210n n n a a a ++=->,与假设矛盾, …………………………….7分故P 数列{}n a 的项不可能全是负数.(Ⅲ)由(Ⅱ)可知P 数列{}n a 中项既有负数也有正数， 且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数. 因此存在最小的正整数k 满足10,0k k a a +<>（5k ≤）. 设1,(,0)k k a a a b a b +=-=>，则2345,,,k k k k a b a a a a b a b a ++++=+==-=-.678910,,,,k k k k k a b a b a b a a a a b a a a b +++++=-+=-+=-=-=, 故有9k k a a +=, 即数列{}n a 是周期为9的数列 …………………………….9分由上可知18,,,k k k a a a ++⋅⋅⋅这9项中4,k k a a +为负数，5,8k k a a ++这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数.因为20169224=⨯,所以当1k =时，2243672m =⨯=;当25k ≤≤时，121,,,k a a a -⋅⋅⋅这1k -项中至多有一项为负数，而且负数项只能是1k a -,记12016,,,k k a a a +⋅⋅⋅这2007k -项中负数项的个数为t ，当2,3,4k =时，若10,k a -< 则11k k k k b a a a a a +-==->=，故8k a +为负数， 此时671t =，671+1=672m =； 若10,k a ->则11k k k k b a a a a a +-==-<=，故5k a +为负数. 此时672t =，672m =，当5k =时，1k a -必须为负数，671t =，672m =, (12)分 综上可知m 的取值集合为{672}. …………………………….13分说明：1. 正确给出m 的值，给1分2. 证明中正确合理地求出数列{}n a 的周期给2分，但是通过特例说明的不给分3. 正确合理说明m 取值情况给2分。
海淀区高三年级第一学期期末练习物理(word版带答案)
海淀区高三年级第一学期期末练习物理 2018.1说明：本试卷共8页，共100分。
考试时长90分钟。
考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
一、本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项是正确的，有的小题有多个选项是正确的。
全部选对的得3分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分。
把你认为正确答案填涂在答题纸上。
1．放在绝缘支架上的两个相同金属球相距为d ，球的半径比d 小得多，分别带有q 和-3q 的电荷，相互作用力为F 。
现将这两个金属球接触，然后分开，仍放回原处，则它们的相互作用力将为A ．引力且大小为3F B. 斥力且大小为F /3 C ．斥力且大小为2F D. 斥力且大小为3F2. 如图1所示，用金属网把不带电的验电器罩起来，再使带电金属球靠近金属网，则下列说法正确的是A ．箔片张开B ．箔片不张开C ．金属球带电电荷足够大时才会张开D ．金属网罩内部电场强度为零3.如图2所示的交流电路中，灯L 1、L 2和L 3均发光，如果保持交变电源两端电压的有效值不变，但频率减小，各灯的亮、暗变化情况为A. 灯L 1、L 2均变亮，灯L 3变暗B. 灯L 1、L 2、L 3均变暗C. 灯L 1不变，灯L 2变暗，灯L 3变亮D. 灯L 1不变，灯L 2变亮，灯L 3变暗 图1图2L 3RL C ~L 1L 24.如图3所示的电路中，闭合开关S ，当滑动变阻器R 的滑片P 向上移动时，下列说法中正确的是A.电流表示数变大B.电压表示数变小C.电阻R 0的电功率变大D.电源的总功率变小5.如图4所示，理想变压器原线圈匝数n 1=1100匝，副线圈匝数n 2=220匝，交流电源的电压u =2202sin100πt (V)，电阻R =44Ω，电表均为理想交流电表。
则下列说法中正确的是A.交流电的频率为50HzB.电流表A 1的示数为0.20AC.变压器的输入功率为88WD.电压表的示数为44V6. 图5甲是洛伦兹力演示仪。
北京市海淀区高三第一学期期末理科数学试题
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）复数12ii+= A. 2i - B. 2i + C. 2i -- D. 2i -+ （2）在极坐标系中Ox ，方程2sin ρθ=表示的圆为A. B. C. D.（3）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 A.4 B.5 C.6 D.7（4）设m 是不为零的实数，则“0m f ”是“方程221x y m m-=表示 的曲线为双曲线”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（5）已知直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，且AOB ∆为正三角形，则实数m 的值为A. 3B. 6C. 3或3-D.6或6-（6）从编号分别为1,2,3,4,5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为 A. 15 B. 25 C. 35 D. 45（7）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中： ①三棱锥的体积为16②三棱锥的四个面全是直角三角形 ③三棱锥的四个面的面积最大的是3所有正确的说法是A. ①B. ①②C. ②③D. ①③（8）已知点F 为抛物线2:2(0)C y px p =f 的焦点，点K 为点F 关于原点的对称点，点M在抛物线C 上，则下列说法错误．．的是 A.使得MFK ∆为等腰三角形的点M 有且仅有4个 B.使得MFK ∆为直角三角形的点M 有且仅有4个 C. 使得4MKF π∠=的点M 有且仅有4个 D. 使得6MKF π∠=的点M 有且仅有4个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）点(2,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 . （10）已知公差为1的等差数列{}n a 中，1a ，2a ，4a 成等比数列，则{}n a 的前100项和为 .（11）设抛物线2:4C y x =的顶点为O ，经过抛物线C 的焦点且垂直于x 轴的直线和抛物线C 交于,A B 两点，则OA OB +=u u u r u u u r.（12）已知(51)nx -的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则n = .（13）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为M 是棱BC 的中点，点P 在底面ABCD 内，点Q 在线段11A C 上，若1PM =，则PQ 长度的最小值为 .（14）对任意实数k ，定义集合20(,)20,0k x y D x y x y x y R kx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪=+-≤∈⎨⎨⎬⎪⎪⎪-≤⎩⎩⎭. ①若集合k D 表示的平面区域是一个三角形，则实数k 的取值范围是 ； ②当0k =时，若对任意的(,)k x y D ∈，有(3)1y a x ≥+-恒成立，且存在(,)k x y D ∈，使得x y a -≤成立，则实数a 的取值范围为 .三、解答题共6小题，共80分。
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海淀区高三年级第一学期期末练习
数学（理科）2016.1
本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答
题卡上，在试卷上
作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个
选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知(1i)i 1i(b b +=-+∈R)，则b 的值为 A.1 B.1- C. i D.i -
2. 抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为 A. 1(0,)2
- B.(0,1)- C.(0,2)- D.(0,4)-
3.如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD AC AE λμ=+
，
则λμ-的值为 A.3 B.2C. 1 D.3-
4.某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a 值为1，则输 出的a 值为 A.1B.2C.3D.5
5.已知数列12345:,,,,A a a a a a ，其中{1,0,1},1,2,3,4,5i a i ∈-=, 则
满足123453a a a a a ++++=的不同数列A 一共有
A.15个
B.25个
C.30个
D.35个
6. 已知圆,
直线1:l y ，2:1l y kx =- 若12,l l 被圆所截得的弦的长度之比为，则k 的值为
1
2
22(2)4C x y -+=：C 1:2E
A B
C
D
输出
输入
开始
结束
7. 若,x y 满足+20,40,0,x y x y y -≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
则2||z y x =-的最大值为
A.8-
B.4-
C.1
D.2
8. 已知正方体''''A B C D
A B C D -，记过点A 与三条直线,,'A B A D A A 所成角都相等的直线条数为m , 过点A 与三个平面．．',,'AB AC AD 所成角都相等的直线的条数为n ，则下面结论正确
的是
A.1,1m n ==
B.4,1m n ==
C. 3,4m n ==
D.4,4m n ==
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 已知双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的一条渐近线过点(1,2),则___,
b =其离心率为__. 10. 在6
2
1()x x +
的展开式中，常数项为____.（用数字作答） 11. 已知等比数列{}n a 的公比为2，若234a a +=，则14___.a a += 12. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥中最长棱的棱长为___.
13.已知函数22,
0,(),0.
x
a x f x x ax x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩若()f x 的最小值是a ，
则__.a =
14.已知ABC ∆，若存在111A B C ∆，满足111
cos cos cos 1sin sin sin A B C
A B C ===,则称111A B C ∆是ABC ∆的 一个“友好”三角形.
(i) 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是____：（请写出符合要求的条件的序号）
①90,60,30A B C === ；②75,60,45A B C === ； ③75,75,30A B C === .
(ii)若等腰ABC ∆存在“友好”三角形，且其顶角的度数为
___.
主视图
左视图
俯视图
三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
15. （本小题满分13分）
已知函数π
()sin()14
f x x x =-+. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ
[]126
，上的最大值与最小值的和.
16. （本小题满分13分）
已知某种动物服用某种药物一次后当天出现A 症状的概率为13
.为了研究连续服用该
药物后出现A 症状的情况，做药物试验.试验设计为每天用药一次，连续用药四天为一个用
药周期. 假设每次用药后当天是否出现A 症状的出现与上次用药无关.
（Ⅰ）如果出现A 症状即停止试验”，求试验至多持续一个用药周期的概率；
（Ⅱ）如果在一个用药周期内出现3次或4次A 症状，则这个用药周期结束后终止试验，试验至多持续两个周期. 设药物试验持续的用药周期数为η，求η的期望.
17. （本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD
为梯形，AD BC ，AD AB ⊥，且3,
1P B A B A D B C ====. （Ⅰ）若点F 为PD 上一点且1
3
PF PD =，
证明：CF 平面PAB ； （Ⅱ）求二面角B PD A --的大小；
F
A
D
C
B
P
? （Ⅲ）在线段PD上是否存在一点M，使得CM PA 若存在，求出PM的长；若不存在，说明理由.
18. （本小题满分13分）
已知函数1()(1)ln f x kx k x x
=-+-. （Ⅰ）当1
2
k =
时，求函数()f x 的单调区间和极值； （Ⅱ）求证：当01k <<时，关于x 的不等式()1f x >在区间[1,e]上无解.
（其中e 2.71828= ）
19. （本小题满分14分）
已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b +=>>
A 在圆22
:16O x y +=上.
（Ⅰ）求椭圆W 的方程；
（Ⅱ）若点P 为椭圆W 上不同于点A 的点，直线AP 与圆O
的另一个交点为Q .是否存在点P ，使得
||
3||
PQ AP =? 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.
20. （本小题满分13分）
若实数数列{}n a 满足*21()n n n a a a n ++=-∈N ，则称数列{}n a 为“P 数列”.
（Ⅰ）若数列{}n a 是P 数列，且140,1a a ==，求3a ，5a 的值； (Ⅱ) 求证：若数列{}n a 是P 数列，则{}n a 的项不可能全是正数，也不可能全是负数；
(Ⅲ)若数列{}n a 为P 数列，且{}n a 中不含值为零的项，记{}n a 前
y
x
O B A
2016项中值为负数的项的个数为m，求m所有可能取值.。