高三年级第一学期期末练习(数学)
北京市丰台区2023-2024学年高三上学期期末练习数学试卷含答案
丰台区2023～2024学年度第一学期期末练习高三数学（答案在最后）2024.01本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{3,2,1,0,1,2}U =---，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U A B ⋃=ð（）A.{3,2}-- B.{3,2,1,2}--C.{3,2,1,0,1}--- D.{3,2,1,0,2}---【答案】A【解析】【分析】由补集和并集的定义求解即可.【详解】因为{3,2,1,0,1,2}U =---，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，所以{}1,0,1,2A B ⋃=-，U ð(){}3,2A B ⋃=--.故选：A .2.若(1i)1i z -=+，则||z =（）A.iB.1C. D.2【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算法则进行运算，继而直接求模即可.【详解】因为(1i)1i z -=+，所以()()()()1i 1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z +++====-+-，所以i 1z z =-=，，故选：B ．3.在6(2)x y -的展开式中，42x y 的系数为（）A.120- B.120C.60- D.60【答案】D【解析】【分析】求出6(2)x y -的通项，令2r =即可得出答案.【详解】6(2)x y -的通项为：()()66166C 2C 2r rr r r r r r T x y x y --+=-=-，令2r =可得：42x y 的系数为()226C 215460-=⨯=.故选：D .4.在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质．竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了．竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等．现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积129,,,a a a L （单位：L ）依次成等差数列，若1233a a a ++=，80.4a =，则129a a a +++= （）A.5.4B.6.3C.7.2D.13.5【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质及求和公式求解.【详解】∵129,,,a a a L 依次成等差数列，1233a a a ++=，∴233a =，即21a =，又80.4a =，则()()()81912299910.49 6.3222a a a a a a a +⨯+⨯+⨯+++==== .故选：B.5.已知直线y kx =与圆221x y +=相切，则k =（）A.1± B.C. D.2±【答案】B【解析】【分析】根据题意可得圆心(0,0)O 到0-=kx y 的距离等于半径1，即可解得k 的值．【详解】直线y kx =+即0-=kx y ，由已知直线y kx =+与圆221x y +=相切可得，圆221x y +=的圆心(0,0)O 到0kx y -=的距离等于半径1，1=，解得k =，故选：B ．6.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式π()tan 4f x x >的解集是（）A.{|20}x x -<< B.{|01}x x <<C.{|21}x x -<< D.{|12}x x -<<【答案】C【解析】【分析】利用正切型函数的图象与性质结合分段函数性质即可得到解集.【详解】设()πtan4h x x =，令π242k x k ππππ-<<+，且k ∈Z ，解得4242k x k -<<+，k ∈Z ，令0k =，则22x -<<，则()h x 在()2,2-上单调递增，()00h =1,1BC AC k k =-=，则2,02()2,20x x f x x x -+≤<⎧=⎨+-<<⎩，则当20x -<≤时，()0h x ≤，()0f x >，则满足()()f x h x >，即π()tan 4f x x >，当02x <<时，()11f =，且()f x 单调递减，()11h =，且()h x 单调递增，则()0,1x ∈时，()()f x h x >，即π()tan4f x x >；()1,2x ∈时，()()f x h x <，即()πtan 4f x x <；综上所述：π()tan4f x x >的解集为()2,1-，故选；C.7.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板ABC 折起，使得二面角A BC D --为直二面角，得图2所示四面体ABCD ．小明对四面体ABCD 中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①CD ⊥平面ABC ；②AB ⊥平面ACD ；③平面ABD ⊥平面ACD ；④平面ABD ⊥平面BCD ．其中判断正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于①中，因为二面角A BC D --为直二面角，可得平面ABC ⊥平面BCD ，又因为平面ABC ⋂平面BCD BC =，DC BC ⊥，且DC ⊂平面BCD ，所以DC ⊥平面ABC ，所以①正确；对于②中，由DC ⊥平面ABC ，且AB ⊂平面ABC ，可得AB CD ⊥，又因为AB AC ⊥，且AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ，所以②正确；对于③中，由AB ⊥平面ACD ，且AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面ACD ，所以③正确；对于④，中，因为DC ⊥平面ABC ，且DC ⊂平面BCD ，可得平面ABC ⊥平面BCD ，若平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面ABC AB =，可得AB ⊥平面BCD ，又因为BC ⊂平面BCD ，所以AB BC ⊥，因为AB 与BC 不垂直，所以矛盾，所以平面ABD 和平面BCD 不垂直，所以D 错误.8.已知,a b 是两个不共线的单位向量，向量c a b λμ=+r r r （,λμ∈R ）．“0λ>，且0μ>”是“()0c a b ⋅+> ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】举例验证必要性，通过向量的运算来判断充分性.【详解】当0λ>，且0μ>时，()()()()()22cos ,c a b a b a b a a b b a b λμλλμμλμλμ⋅+=+⋅+=++⋅+=+++ ()0λμλμ>+-+=，充分性满足；当()0c a b ⋅+> 时，()()cos ,c a b a b λμλμ⋅+=+++ ，当0λ>，0μ=时，()cos ,c a b a b λλ⋅+=+ 是可以大于零的，即当()0c a b ⋅+> 时，可能有0λ>，0μ=，必要性不满足，故“0λ>，且0μ>”是“()0c a b ⋅+>”的充分而不必要条件.故选：A .9.在八张亚运会纪念卡中，四张印有吉祥物宸宸，另外四张印有莲莲．现将这八张纪念卡平均分配给4个人，则不同的分配方案种数为（）A.18B.19C.31D.37【答案】B【分析】设吉祥物宸宸记为a ，莲莲记为b ，将这八张纪念卡分为四组，共有3种分法，再分给四个人，分别求解即可.【详解】设吉祥物宸宸记为a ，莲莲记为b①每人得到一张a ，一张b ，共有1种分法；②将这八张纪念卡分为()()()(),,,,,,,a a a a b b b b 四组，再分给四个人，则有2242C C 6=种分法③将这八张纪念卡分为()()()(),,,,,,,a b a a a b b b 四组，再分给四个人，则有2142C C 12=种分法共有：161219++=种.故选：B .10.已知函数2()||2||f x x a x =++，当[2,2]x ∈-时，记函数()f x 的最大值为()M a ，则()M a 的最小值为（）A.3.5B.4C.4.5D.5【答案】C【解析】【分析】先利用函数的奇偶性，转化为求()f x 在[]0,2上的最大值；再根据a 的取值范围的不同，讨论函数()f x 在[]0,2上的单调性，求函数()f x 的最大值.【详解】易判断函数()f x 为偶函数，根据偶函数的性质，问题转化为求函数()22f x x a x =++，[]0,2x ∈上的最大值()M a .当0a ≥时，()22f x x x a =++，二次函数的对称轴为1x =-，函数在[]0,2上单调递增，所以()()288M a f a ==+≥；当10a -≤<时，()222,022x x a x f x x x ax ⎧-+-≤≤⎪=⎨++≤⎪⎩，1≤，所以()f x在⎡⎣上递增，在2⎤⎦上也是递增，所以()()287M a f a ==+≥；当41a -<<-时，()222,022x x a x f x x x ax ⎧-+-≤≤⎪=⎨++≤⎪⎩，因为12<<，所以()f x 在[]0,1上递增，在(上递减，在2⎤⎦上递增，所以()()11M a f a ==-或()()28M a f a ==+，若18a a -≥+⇒742a -≤≤-，则()()9112M a f a ==-≥；若18a a -<+⇒712a -<<-，则()()9282M a f a ==+>;当4a ≤-时，()22f x x x a =-+-，[]0,2x ∈2≥），所以函数()f x 在[]0,1上递增，在(]1,2上递减，所以()()115M a f a ==-≥.综上可知：()M a 的最小值为92.故选：C【点睛】关键点点睛：问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题，然后讨论函数在给定区间上的单调性，从而求最大值.认真分析函数的单调性是关键.第二部分非选择题（共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.双曲线2214x y -=的渐近线方程________．【答案】12y x =±【解析】【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【详解】∵双曲线2214x y -=的a=2，b=1，焦点在x 轴上而双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y=±b x a ∴双曲线2214x y -=的渐近线方程为y=±12x故答案为y=±12x 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想12.已知()44x x f x -=-，则11(()22f f -+=___．【答案】0【解析】【分析】由解析式直接代入求解即可.【详解】因为1122113()442222f -=-=-=，1122113()442222f --=-=-=-，所以11((022f f -+=.故答案为：0.13.矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，且,E F 分为,BC CD 的中点，则AE EF ⋅= ___．【答案】74-##-1.75【解析】【分析】以A 为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，求出,AE EF ，由数量积的坐标表示求解即可.【详解】以A 为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，()()()()()10,0,2,0,2,1,0,1,2,,1,12A B C D E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以112,,1,22AE EF ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()11172122244AE EF ⋅=⨯-+⨯=-+=- .故答案为：74-.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角(0π)αα<<的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆O 交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ．若记点M 到直线OP 的距离为()f α，则()f α的极大值点为___，最大值为___．【答案】①.π4或3π4②.12##0.5【解析】【分析】根据三角函数的概念得(cos ,sin )P αα及,,OP OM MP ，利用面积法求得()f α，根据α的范围及三角函数的性质讨论()f α的单调性，进而求得答案.【详解】由题意(cos ,sin )P αα，1,cos ,sin OP OM MP αα===，由()1122OP f OM MP α⋅=⋅，得()1πsin 2,0122cos sin sin cos sin 21π2sin 2,π22f αααααααααα⎧<<⎪⎪=⋅===⎨⎪-<<⎪⎩，∴当π04α<<时，()f α单调递增；当ππ42α<<时，()f α单调递减；当π3π24α<<时，()f α单调递增；当3ππ4α<<时，()f α单调递减，则()f α的极大值点为π4或3π4，∵0πα<<，022πα<<，∴当sin 21α=±，即π4α=或3π4α=时，()f α取最大值为12．故答案为：π4或3π4；12.15.在平面直角坐标系内，动点M 与定点(0,1)F 的距离和M 到定直线:3l y =的距离的和为4．记动点M 的轨迹为曲线W ，给出下列四个结论：①曲线W 过原点；②曲线W 是轴对称图形，也是中心对称图形；③曲线W 恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）；④曲线W 围成区域的面积大于则所有正确结论的序号是___．【答案】①③④【解析】【分析】根据题目整理方程，分段整理函数，画出图象，可得答案.【详解】设(),M x y ，则MF =，M 到直线l 的距离3d y =-，34y +-=，222(1)(43)x y y +-=--，22221168369x y y y y y +-+=--+-+，224483x y y =---，当3y ≥时，2214812412x y y x =-=-+，，则2214312,12x x x -+≥≤-≤≤，当3y <时，22144x y y x ==，，则2134x <，212x <，x -<<可作图如下：由图可知：曲线W 过原点，且是轴对称图形，但不是中心对称图形，故①正确，②错误；曲线W 经过()()()()0,02,10,42,1O A C E -，，，4个点，没有其它整点，故③正确；由()B ，()D -，()0,3F ，四边形AFEO 的面积113462S =⨯⨯=，122ABF EFD S S ==⨯= ，112BCD S =⨯⨯= ，多边形ABCDEO 的面积626S =+⨯=+曲线W 围成区域的面积大于，故④正确.故答案为：①③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在△ABC 中，a =，2π3A =．（1）求C 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出AC 边上的中线的长度．条件①：2a b =；条件②：△ABC 的周长为4+ABC 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π6（2【解析】【分析】（1）由正弦定理可解得；（2）条件②由余弦定理可得；条件③由三角形的面积公式和余弦定理可得.【小问1详解】在ABC 中，因为sin sin a cA C=，又a =，所以sin A C =．因为2π3A =，所以1sin 2C =．因为π03C <<，所以π6C =．【小问2详解】选择条件②：因为ABC 中，2π3A =，π6C =，πA B C ++=，所以π6B =，即ABC 为等腰三角形，其中b c =．因为a =，所以24a b c b ++=+=+．所以2b =．设点D 为线段AC 的中点，在ABD △中，1AD =．因为ABD △中，2222cos BD AB AD AB AD BAD=+-⋅∠22221221cos73π=+-⨯⨯⨯=，所以7BD =AC 7．选择条件③：因为ABC 中，2π3A =，π6C =，πA B C ++=，所以π6B =，即ABC 为等腰三角形，其中b c =．因为ABC 的面积为312πsin 323ABC S bc ∆==，所以2b c ==．设点D 为线段AC 的中点，在ABD △中，1AD =．因为ABD △中，2222cos BD AB AD AB AD BAD=+-⋅∠22221221cos73π=+-⨯⨯⨯=，所以7BD =AC 7．由题可知3a b =，故①不合题意.17.如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AD PA =，点E 为PA 中点．（1）求证：AD //平面BCE ；（2）点Q 为棱BC 上一点，直线PQ 与平面BCE 所成角的正弦值为515，求BQ BC 的值．【答案】（1）证明见解析（2）12BQ BC =【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可得Q 的坐标，即可得解.【小问1详解】因为正方形ABCD 中，//BC AD ．因为BC ⊂平面BCE ，AD ⊄平面BCE ，所以//AD 平面BCE ．【小问2详解】因为PA ⊥底面ABCD ，正方形ABCD 中AB AD ⊥，分别以,,AB AD AP的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，如图不妨设2PA =，因为AD PA =，点E 为PA 的中点，点Q 为棱BC 上一点，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,0,1)E ，(0,0,2)P ，(2,,0)Q m (02)m ≤≤．所以(0,2,0)BC = ，(2,0,1)BE =- ，(2,,2)PQ m =-．设(,,)n x y z =为平面BCE 的法向量，则BCn ⊥ ，BE n ⊥．所以2020BC n y BE n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得102x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以(1,0,2)n = ．设直线PQ 与平面BCE 所成角为θ，则sin cos ,15PQ n PQ n PQ n θ⋅==== ，解得21m =，因为02m ≤≤，所以1m =，所以12BQ BC =．18.2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值a ，将该指标小于a 的人判定为阳性，大于或等于a 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p a ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q a ．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率．（1）当临界值20a =时，求漏诊率()p a 和误诊率()q a ；（2）从指标在区间[20,25]样本中随机抽取2人，记随机变量X 为未患病者的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）在该地患病者占全部人口的5%的情况下，记()f a 为该地诊断结果不符合真实情况的概率．当[20,25]a ∈时，直接写出使得()f a 取最小值时的a 的值．【答案】（1）(20)0.1p =，(20)0.05q =（2）分布列见解析；期望为65（3）20a =【解析】【分析】（1）由频率分布直方图计算可得；（2）利用超几何分布求解；（3）写出()f a 的表达式判单调性求解.【小问1详解】由频率分布直方图可知(20)0.0250.1p =⨯=，(20)0.0150.05q =⨯=．【小问2详解】样本中患病者在指标为区间[20,25]的人数是200.0252⨯⨯=，未患病者在指标为区间[20,25]的人数是200.0353⨯⨯=，总人数为5人．X 可能的取值为0，1，2．202325C C 1(0)10C P X ===，112325C C 3(1)C 5P X ===，022325C C 3(2)10C P X ===．随机变量X 的分布列为X012P11035310随机变量X 的期望为1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】由题，()()()95%5%f a q a p a =⨯+⨯，[20,25]a ∈时，令()20,0,1,2,3,4,5a t t =+=()()50.010.03,50.020.0255t t q a p a ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()()50.010.0395%50.020.025%55t t f a g t ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，关于t 的一次函数系数为()50.0319%0.021%0⨯-⨯>，故()g t 单调递增，则0=t 即20a =时()f a 取最小值19.已知函数2()e ()x f x x ax a =--．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求实数a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间．【答案】（1）1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先求函数()f x 的导函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，只需保证()01f '=，求实数a 的值即可；（2）求得()0f x '=有两个根“2x =-和x a =”，再分2a <-、2a =-和2a >-三种情况分析函数()f x 的单调性即可.【小问1详解】由题可得2()e [(2)2]x f x x a x a '=+--，因为()f x 在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，所以()01f '=，即e(33)0a -=，解得1a =，经检验1a =符合题意．【小问2详解】因为2()e [(2)2]x f x x a x a '=+--，令()0f x '=，得2x =-或x a =．当2a <-时，随x 的变化，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,)a -∞a(,2)a -2-(2,)-+∞()f 'x +-+()f x 单调递增()f a 单调递减(2)f -单调递增所以()f x 在区间(,)a -∞上单调递增，在区间(,2)a -上单调递减，在区间(2,)-+∞上单调递增．当2a =-时，因为2()e (2)0x f x x '=+≥，当且仅当2x =-时，()0f x '=，所以()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增．当2a >-时，随x 的变化，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,2)-∞-2-(2,)a -a(,)a +∞()f 'x +-+()f x 单调递增(2)f -单调递减()f a 单调递增所以()f x 在区间(,2)-∞-上单调递增，在区间(2,)a -上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增．综上所述，当2a <-时，()f x 的单调递增区间为(,)a -∞和(2,)-+∞，单调递减区间为(,2)a -；当2a =-时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当2a >-时，()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(,)a +∞，单调递减区间为(2,)a -．20.已知椭圆22:143x y E +=．（1）求椭圆E 的离心率和焦点坐标；（2）设直线1:l y kx m =+与椭圆E 相切于第一象限内的点P ，不过原点O 且平行于1l 的直线2l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，点A 关于原点O 的对称点为C ．记直线OP 的斜率为1k ，直线BC 的斜率为2k ，求12k k 的值．【答案】（1）离心率为12，焦点坐标分别为(1,0)-，(1,0)（2）121k k =【解析】【分析】（1）根据椭圆方程直接求出离心率与焦点坐标；（2）根据直线1l 与椭圆E 相切求出P 坐标并得到134k k=-，法一：设直线2l 的方程为y kx n =+，由韦达定理求出234k k=-证得结论．法二：记1122(,),(,)A x y B x y ，由点差法求2k k ⋅可证得结论．【小问1详解】由题意得2222243a b c a b ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．所以椭圆E 的离心率为12c e a ==，焦点坐标分别为(1,0)-，(1,0)．【小问2详解】由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：222()4384120k x kmx m +++-=①其判别式Δ0=得222(8)4(43)(412)0km k m -+-=，化简为2243m k =+．此时方程①可化为2228160m x kmx k ++=，解得4kx m=-，(由条件知,k m 异号)．记00(,)P x y ，则04k x m=-，所以220443()k m k y k m m m m -=-+==，即点43(,)k P m m -．所以OP 的斜率13344m k k k m==--．法一：因为12//l l ，所以可设直线2l 的方程为(0,)y kx n n n m =+≠≠．由22,143y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：222(43)84120k x knx n +++-=．当其判别式大于零时，有两个不相等的实根，设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212228412,4343kn n x x x x k k -+=-=++．因为C 是A 关于原点O 的对称点，所以点C 的坐标为11(,)C x y --．所以直线BC 的斜率22121221212122243384443y y kx n kx n n n k k k k k kn x x x x x x k k k +++++===+=+=-=-+++-+．所以121k k =．法二：记1122(,),(,)A x y B x y ，因为点C 与点A 关于原点对称，所以11(,)C x y --．因为12//l l ，所以直线AB 的斜率为k ，所以22212121222212121y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-．因为点,A B 在椭圆上，所以2211143x y +=，2222143x y+=．两式相减得：22222121043x x y y --+=．所以2221222134y yx x-=--，即234k k⋅=-，所以234kk=-．所以121kk=．【点睛】方法点睛：将P视为1l与椭圆相交弦中点，由中点弦定理得212bk ka⋅=-，设AB中点为M，由中点弦定理得22OMbk ka⋅=-，由2OMk k=得222bk ka⋅=-，故12k k=.21.对于数列{}n a，如果存在正整数T，使得对任意*()n n∈N，都有n T na a+=，那么数列{}na就叫做周期数列，T叫做这个数列的周期．若周期数列{}n b，{}n c满足：存在正整数k，对每一个*(,)i i k i∈N≤，都有i ib c=，我们称数列{}n b和{}n c为“同根数列”．（1）判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；①sinπna n=；②121,1,3,2,, 3.nn nnb nb b n--=⎧⎪==⎨⎪-≥⎩（2）若{}n a和{}n b是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：6k≤；（3）若{}n a和{}n b是“同根数列”，且周期的最小值分别是2m+和4m+*()m∈N，求k的最大值．【答案】（1）{}n a、{}n b均是周期数列，数列{}n a周期为1（或任意正整数），数列{}n b周期为6（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由周期数列的定义求解即可；（2）由“同根数列”的定义求解即可；（3）m是奇数时，首先证明25k m+≥不存在数列满足条件，其次证明24k m=+存在数列满足条件.当m 是偶数时，首先证明24k m+≥时不存在数列满足条件,其次证明23k m=+时存在数列满足条件．【小问1详解】{}n a 、{}n b 均是周期数列，理由如下：因为1sin (1)π0sin πn n a n n a +=+===，所以数列{}n a 是周期数列，其周期为1（或任意正整数）．因为32111n n n n n n n b b b b b b b +++++=-=--=-，所以63n n n b b b ++=-=．所以数列{}n b 是周期数列，其周期为6（或6的正整数倍）．【小问2详解】假设6k ≤不成立，则有7k ≥，即对于17i ≤≤，都有i i a b =．因为71a a =，722b b a ==，所以12a a =．又因为63a a =，611b b a ==，所以13a a =．所以123a a a ==，所以1=n n a a +，与1T 的最小值是3矛盾．所以6k ≤．【小问3详解】当m 是奇数时，首先证明25k m +≥不存在数列满足条件．假设25k m +≥，即对于125i m +≤≤，都有i i a b =．因为()54m t m t a b t m ++=≤≤+，所以()24454t t t a b a t m ---==≤≤+，即1352m a a a a +==== ，及2461m a a a a +==== ．又5t m =+时，12(2)12511m m m m a a b b a +++++====，所以1=n n a a +，与1T 的最小值是2m +矛盾．其次证明24k m =+存在数列满足条件．取(2)31,=21(1)212,2(1)2m l im i k k a m i k k +++⎧-≤≤⎪⎪=⎨+⎪=≤≤⎪⎩()l ∈N及()431,=21(1)212,2(1)21,32,4m l i m i k k m i k k b i m i m +++⎧-≤≤⎪⎪+⎪=≤≤=⎨⎪=+⎪⎪=+⎩()l ∈N ，对于124i m +≤≤，都有i i a b =．当m 是偶数时，首先证明24k m +≥时不存在数列满足条件．假设24k m +≥，即对于124i m +≤≤，都有i i a b =．因为()53m t m t a b t m ++=≤≤+，所以()24453t t t a b a t m ---==≤≤+，即1351m a a a a +==== ，及246m a a a a ==== ．又4t m =+时，2m m m a b a +==，所以2=n n a a +，与1T 的最小值是2m +矛盾．其次证明23k m =+时存在数列满足条件．取()221,=21(1)22,2(1)23,2m l i m i k k a m i k k i m +++⎧-≤≤⎪⎪=⎨=≤≤⎪⎪=+⎩()l ∈N 及()421,=21(1)22,2(1)23,21,32,4m l im i k k m i k k b i m i m i m +++⎧-≤≤⎪⎪⎪=≤≤⎪=⎨⎪=+⎪=+⎪⎪=+⎩()l ∈N ，对于123i m +≤≤，都有i i a b =．综上，当m 是奇数时，k 的最大值为24m +；当m 是偶数时，k 的最大值为23m +．【点睛】关键点睛：本题(3)的突破口是利用“同根数列”的定义分类讨论，当m 是奇数时，首先证明25k m +≥不存在数列满足条件，其次证明24k m =+存在数列满足条件.当m 是偶数时，首先证明24k m +≥时不存在数列满足条件，其次证明23k m =+时存在数列满足条件．。
2024学年甘肃省庆阳市庆城县陇东中学数学高三第一学期期末学业水平测试试题含解析
2024学年甘肃省庆阳市庆城县陇东中学数学高三第一学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2|320M x x x =-+≤，{}|N x y x a ==-若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞2．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100=）变化图表，则以下说法错误的是（ ）（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）A ．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均B ．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102C ．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小D ．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势3．若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ） A ．(3,1)-B ．(3)-C ．(3,1)-D ．(1,3)-4．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减5．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元．6．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为150，则2a =（ ） A ．20B ．15C ．10D ．257．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题 D ．()p q ∧⌝为假命题8．复数1i i+=（ ） A ．2i - B ．12i C ．0 D ．2i9．百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球，分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字，有放回地从中任意摸出一个小球，直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间（含1和4）取整数值的随机数，分别用1，2，3，4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数： 141 432 341 342 234 142 243 331 112 322 342 241 244 431 233 214 344 142 134 412由此可以估计，恰好第三次就停止摸球的概率为（ ） A ．14B ．15C ．25D ．3510．已知复数21aibi i-=-，其中a ，b R ∈，i 是虚数单位，则a bi +=（ ） A ．12i -+B ．1C ．5D ．511．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b -=，13log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>12．已知圆224210x y x y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．5B ．5C ．52D ．54二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市海淀区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题含答案
海淀区2022—2023学年第一学期期末练习高三数学2023.01本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无 效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项。
（1）已知集合{}23A x x =-≤≤，{}0B x x =>，若A B =（A ）[2,3]-（B ）[0,3] （C ）(0,)+∞ （D ）[2,)-+∞（2）在复平面内，复数12i-对应的点在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（3）已知函数1()1f x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 （A ）11(,)42 （B ）1(,1)2（C ）(1,2)（D ）(2,3)（4）已知 13lg5,sin ,27a b c π===，则A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. a c b <<（5）若圆222220x y x ay a +--+=截直线210x y -+=所得弦长为2，则a = （A ）－1（B ）0 （C ） 1（D ）2（6）已知{}n a 为等差数列，13a =，4610a a +=-.若数列{}n b 满足1n n n b a a +=+，（n = = 1， 2，…），记{}n b 的前n 项和为n S ，则8S = （A ）－32（B ） －80（C ） －192（D ） －224（7）某校高一年级计划举办足球比赛，采用抽签的方式把全年级6个班分为甲、乙两组，每组3个 班，则高一（1）班、高一（2）班恰好都在甲组的概率是 （A ）13 （B ）14（C ）15（D ）16（8）设α， β是两个不同的平面，直线m α⊂，则“对β内的任意直线l ，都有m l ⊥”是“α⊥β”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）已知函数()cos 2f x x = =cos2x 在区间[,]()3t t t R π+∈上的最大值为()M t ，则()M t 的最小值为（A （B ） （C ）12（D ） 12-（10）在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图2，用一个 与圆柱底面所成角为450的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到 “直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图3） 的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦 型函数的部分图象（如图4）.记该正弦型函数的最小正周期为T ，截口椭圆的离心率为. 若圆柱的底面直径为2，则（A ） 12,2T e π==（B ） 2,T e π==（C ） 14,2T e π==（D ） 4,2T e π==第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
人教版高三年级数学第一学期期末检测(含答案)
人教版高三数学上学期期 末 考 试 卷一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知i 是虚数单位，若()1+i a i i +=，则实数a 的值为 A. 1 B. 0 C. 1- D. 2- （2）已知,a b R ∈，若a b ，则A. 2ab B. 2ab b C. 1122ab D. 33a b（3）执行如图所示的程序框图，输出的k 值为 A.4 B.5 C.6 D.7（4）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5各同学在一次 数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题5分，共8道题）：已知两组数据的平均数相等，则,x y 的值分别为 A. 0,0 B. 0,5 C. 5,0 D. 5,5（5）已知直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，且AOB ∆为正三角形，则实数m 的值为A.B.C.- D.（6）设，则“1a =”是“直线10ax y +-=与直线++10x ay =平行”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件,（7）在ABC ∆中，=1,AB AC D =是AC 的中点，则BD CD ⋅的取值范围是 A. 31(,)44- B. 1(,)4-∞ C. 3(,)4-+∞ D. 13(,)44（8）已知正方体的1111ABCD A B C D -棱长为2，点,M N 分别是棱11,BC C D 的中点，点P 在平面1111A B C D 内，点Q 在线段1A N上，若PM =PQ 长度的最小值为 A.1 B.C.1D.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知双曲线221ax y -=的一条渐近线方程为y x =，则实数k 的值为 .（10）若变量,x y 满足约束条件010220y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最大值是 .（11）ABC ∆中，1,a b =且ABC ∆c = .（12）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中最大的值是 .（13）函数2,0()(2),0x x f x x x x ⎧≤=⎨-⎩的最大值为 ；若函数()f x 的图像与直线(1)y k x =-有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围是 .（14）某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一个是则甲同学答错的题目的题号是 ，其正确的选项是 .三、解答题共6小题，共80分。
2024学年甘肃省庆阳市庆城县陇东中学数学高三第一学期期末经典试题含解析
2024学年甘肃省庆阳市庆城县陇东中学数学高三第一学期期末经典试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∧2．执行如图所示的程序框图，当输出的2S =时，则输入的S 的值为( )A ．-2B ．-1C ．12-D ．123．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x ，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ） A ．{|61}-<x x B ．{|112}<x x C ．{|110}-<x xD ．{|56}-<x x4．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩： 55 57 59 61 68 64 62 59 80 88 9895607388748677799497 100 99 97 89 81 80 60 79 60 82959093908580779968如图的算法框图中输入的i a 为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出m ，n 的值，则m n -=（ ）A ．6B ．8C ．10D ．125．函数()()sin f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是( ) A ．0B ．2πC ．πD ．32π 6．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2或233B ．2或3C ．3或62D ．233或627．已知()()()sin cos sin cos k k A k παπααα++=+∈Z ，则A 的值构成的集合是（ ）A ．{1,1,2,2}--B ．{1,1}-C ．{2,2}-D ．{}1,1,0,2,2--8．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．39．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．10．单位正方体ABCD -1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ） A ．1B 2C 3D ．011．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（ ） A ．25B ．2C ．72D ．312．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省张家口市2022-2023学年高三上学期期末数学含答案
张家口市2022－2023学年度高三年级第一学期期末考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合U ＝{x |1≤x ≤10}，A ＝{1，2，3}，B ＝{1，2，3，4，5，6}，则(∁U A )∩B ＝A.{4，5，6，7，8，9}B.{1，2，3}C.{7，8，9}D.{4，5，6}2.已知复数z －2i ＝5i2＋i，则z －＝A.1－4i B.1＋4i C.5－12iD.1－2i3.已知a 是1，3，3，5，7，8，10，11的上四分位数，在1，3，3，5，7，8，10，11中随机取两个数，这两个数都小于a 的概率为A.14B.514C.1528D.13284.已知函数f (x )为偶函数，定义域为R ，当x >0时，f ′(x )<0，则不等式f (x 2－x )－f (x )>0的解集为A.(0，1) B.(0，2)C.(－1，1)D.(－2，2)5.石碾子是我国传统粮食加工工具．如图是石碾子的实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚(圆柱形)和碾架组成．碾盘中心设竖轴(碾柱)，连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的．若推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚的外边缘恰好滚动了5圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为A.3∶2B.5∶4C.5∶3D.4∶36.已知等差数列{a n }的首项a 1≠0，而a 9＝0，则a 1＋a 8＋a 11＋a 16a 7＋a 8＋a 14＝A.0B.2C.－1D.127.过点P (1，1)作圆E ：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的切线，则切线方程为A.x ＋y －2＝0B.2x －y －1＝0C.x －2y ＋1＝0D.x －2y ＋1＝0或2x －y －1＝08.设a ＝ln 22，b ＝13，c ＝4－2ln 2e2，则A.a <b <cB.c <a <bC.b <c <aD.b <a <c二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9.以下命题正确的有A.一组数据的标准差越大，这组数据的离散程度越小B.一组数据的频率分布直方图如右图所示，则该组数据的平均数一定小于中位数C.样本相关系数r 的大小能反映成对样本数据之间的线性相关的程度，而决定系数R 2的大小可以比较不同模型的拟合效果D.分层随机抽样所得各层的样本量一定与各层的大小成比例10.已知椭圆C：x216＋y212＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M（2,1），直线l与椭圆C交于A，B两点，则A.|AF1|·|AF2|的最大值为16B.△AF1F2的内切圆半径r≤3C.|AM|＋|AF1|的最小值为7D.若M为AB的中点，则直线l的方程为x＋y－3＝011.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F，H分别为AD，DD1，BB1的中点，则A.直线A1D⊥平面BEFB.直线AH∥平面BEFC.三棱锥H－EFB的体积为13D.三棱锥H－CFB的外接球的表面积为9π12.已知x>1，方程x－(x－1)2x＝0，x－(x－1)log2x＝0在区间(1，＋∞)的根分别为a，b，以下结论正确的有A.b－a＝2a－log2bB.1a＋1b＝1C.a＋b<4D.b－a>1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a＝(3，2)，b＝(λ－2，λ)，a∥b，则实数λ＝________．14.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点F到C的一条渐近线y＋2x＝0的距离为23，则双曲线C的方程为________．15.已知直线l：y＝kx＋b是函数f(1)＝ax2(a>0)与函数g(x)＝e x的公切线，若（1，f(1)）是直线l与函数f(x)相切的切点，则b＝________．16.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝4，c＝3b，则△ABC面积的最大值是__________；若r，R分别为△ABC的内切圆和外接圆半径，则rR的取值范围为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)因疫情防控需要，某社区每天都要在上午6点到8点之间对全社区居民完成核酸采集，该社区有A ，B 两个居民小区，两小区的居住人数之比为9∶11，这两个小区各设有一个核酸采集点，为了解该社区居民的核酸采集排队时间，用按比例分配分层随机抽样的方法在两小区中随机抽取了100位居民，调查了他们一次核酸采集排队时间，根据调查结果绘制了如下频率分布直方图．(1)由直方图分别估计该社区居民核酸采集排队时间的平均时长和在一次核酸采集中排队时长超过16分钟的居民比例；(2)另据调查，这100人中一次核酸采集排队时间超过16分钟的人中有20人来自A 小区，根据所给数据，填写完成下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为排队时间是否超过16分钟与小区有关联？排队时间超过16分钟排队时间不超过16分钟合计A 小区B 小区合计附表：α0.1000.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828附：χ2＝2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -++++，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：14×0.075＝1.05，18×0.0375＝0.675，22×0.025＝0.55，24×0.0375＝0.9，26×0.0125＝0.325，28×0.0125＝0.35.已知S n为数列{a n}的前n项和，S n＝2a n－4n＋2.(1)证明：数列{a n＋4}为等比数列；(2)求数列{na n}的前n项和T n.19.(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin C(sin C＋sin B).(1)求A；(2)如图，在△ABC所在平面上存在点E，连接BE，CE，若EC＝3AC，∠ACE＝120°，∠EBC＝30°，BC＝2，求△ABC的面积．20.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PC＝PB＝AB＝BC＝CD＝DA＝2，E为棱AP 的中点，EB⊥BC.(1)证明：BC⊥PD；(2)若BE＝32，求平面PDC与平面PBC夹角的余弦值．已知函数f(x)＝－x e ax.(1)讨论函数f(x)的单调性；.(2)证明：ln x＋ax－1≥1f（x）22.(本小题满分12分)已知动圆E过定点A(6，0)，且在y轴上截得的弦BD的长为12，该动圆的圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)点P是曲线C上横坐标大于2的动点，过点P作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线分别与y轴交于点M，N，求△PMN面积的最小值．张家口市2022－2023学年度高三年级第一学期期末考试数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.D【解析】由U ＝{x |1≤x ≤10}，A ＝{1，2，3}，B ＝{1，2，3，4，5，6}，得(∁U A )∩B ＝{4，5，6}，故选D.2.A【解析】z ＝5i 2＋i ＋2i ＝5i (2－i )(2＋i )(2－i )＋2i ＝1＋4i ，故z ＝1－4i.故选A.3.C【解析】由题意，得8×75%＝6，所以a ＝8＋102＝9.小于a 的有6个数，所以随机取两个数都小于a 的概率为P ＝C 26C 28＝1528，故选C.4.B【解析】当x >0时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减．又函数f (x )为偶函数，所以函数f (x )在区间(－∞，0)上单调递增．由f (x 2－x )－f (x )>0，得f (x 2－x )>f (x )，所以|x 2－x |<|x |，故|x －1|<1，解得0<x <2，故选B.5.B【解析】设碾滚的高为l ，其底面圆的半径为r .由题意知，推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚恰好滚动了5圈，则2×2πl ＝5×2πr ，所以l 2r ＝54，故圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为5∶4.故选B.6.A【解析】因为a 9＝a 1＋8d ＝0，a 1≠0，所以d ＝－a18≠0.a 1＋a 8＋a 11＋a 16＝(a 1＋a 16)＋(a 8＋a 11)＝a 8＋a 9＋a 9＋a 10＝4a 9＝0，而a 7＋a 8＋a 14＝a 8＋a 7＋a 14＝a 8＋a 10＋a 11＝2a 9＋a 11＝a 11＝a 1＋10d ＝－14a 1≠0，所以a 1＋a 8＋a 11＋a 16a 7＋a 8＋a 14＝0.故选A.7.C【解析】由12＋12－4×1＋2×1＝0，得点P (1，1)在圆上．设切线的斜率为k .因为圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，所以圆心为E (2，－1)，半径为5，所以k PE ＝1＋11－2＝－2.又k ·k PE ＝－1，所以k ＝12，故切线方程为y －1＝12(x －1)，化简得x －2y ＋1＝0，故选C.8.D【解析】因为23>e 2⇒2>e 23⇒ln 2>23⇒ln 22>13，所以a >b .设y ＝ln x x ，则y ′＝1－ln x x 2当x ∈(0，e )时，y ′>0，函数y ＝ln x x 单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，y ′<0，函数y ＝ln x x 单调递减，又e<e 22<4，所以lne 22e 22>ln 44.又a ＝ln 22＝ln 44，c ＝4－ln 4e 2＝ln e 4－ln 22e 2＝ln e 422e 2＝2ln e 22e 2＝ln e22e 22，所以c >a .综上b <a <c ，故选D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.BC【解析】一组数据的标准差越大，这组数据的离散程度越大，所以A 错误；由平均数对极端值比较敏感，所以平均数总在“拖尾巴”的一边，故B 正确；相关系数r 只能反映成对样本数据之间的线性相关的程度的大小，决定系数R 2是要来判定不同模型的拟合效果的，所以C 正确；分层随机抽样可以按各层大小比例抽样也可以不按各层大小比例抽样，所以D 错误．10.AC【解析】由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，又8＝|AF 1|＋|AF 2|≥2|AF 1|·|AF 2|，当且仅当|AF 1|＝|AF 2|＝4时等号成立，所以|AF 1|·|AF 2|≤16，故A 正确；因为△AF 1F 2的周长l ＝|AF 1|＋|AF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝12，又△AF 1F 2的面积S △AF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y A |＝lr2，所以S △AF 1F 2＝12×2c ×|y A |＝2|y A |＝12×l ×r ＝6r ，所以r ＝|y A |3.又|y A |≤b ＝23，所以r ≤233，所以B 错误；因为|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，所以|AF 1|＝8－|AF 2|，所以|AM |＋|AF 1|＝8－(|AF 2|－|AM |).又|AF 2|－|AM |≤|MF 2|＝1，所以|AM |＋|AF 1|＝8－(|AF 2|－|AM |)≥7，所以C 正确；设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y 2212＝1，x 1＋x 22＝2，y 1＋y 221，故x 21－x 2216＋y 21－y 2212＝0，所以18×x 1＋x 22＋16×y 1＋y 22×y 1－y 2x 1－x 2＝0，故y 1－y 2x 1－x 2＝－32，所以直线l 的方程为y －1＝－32(x －2)，化简得3x ＋2y －8＝0.所以D 错误．11.BCD【解析】如图，设M 为AA 1的中点，则ME ∥A 1D ，由题意，得BE ＝BM ＝5，EM ＝2，所以EM 与BE 不垂直，即A 1D 与BE 不垂直，所以直线A 1D 与平面BEF 不垂直，所以A 错误；因为E ，F ，H 分别为AD ，DD 1，BB 1的中点，所以AD 1∥EF ，D 1H ∥FB .又AD 1∩D 1H ＝D 1，EF ∩FB ＝F ，所以平面AHD 1∥平面EFB .又AH ⊂平面AHD 1，所以直线AH ∥平面BEF ，所以B 正确；因为F ，H 分别为DD 1，BB 1的中点，所以BH ⊥FH .又BH ＝1，FH ＝22，所以S △BHF ＝12×1×22＝ 2.易得点E 到平面BFH 的距离为22，所以三棱锥H －EFB 的体积V H －EFB ＝13×22×2＝13，所以C 正确；因为BC ⊥平面CDD 1C 1，FC ⊂平面CDD 1C 1，所以BC ⊥FC ，又BH ⊥FH ，故FB 为三棱锥H －CFB 的外接球的直径．又|FB |＝3，所以三棱锥H －CFB 的外接球的表面积S ＝4＝9π，所以D 正确．12.ABD【解析】由x －(x －1)2x ＝0，得x x －1＝2x .由x －(x －1)log 2x ＝0，得xx －1＝log 2x .设y ＝x x －1，则x ＝yy －1，所以函数y ＝xx －1的图象关于直线y ＝x 对称，所以a ，b 是函数y ＝2x 和y ＝log 2x 的图象与函数y ＝xx －1的图象的交点的横坐标，故a ＝log 2b ，b ＝2a ，所以A 正确；由b ＝2a ＝a a －1，得a ＋b ＝ab ，所以1a ＋1b ＝1，故B 正确；a ＋b ＝a ＋a a －1＝a －1＋1a －1＋2>4，故C 错误；因为b －a ＝2a －a ，设f (m )＝2m －m ，则f ′(m )＝2m ln 2－1，当m >1时，f ′(m )>0，所以当m >1时，函数f (m )＝2m －m 单调递增，故f (m )＝2m －m >f (1)＝1，即b －a ＞1，所以D 正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.－4【解析】因为a ∥b ，所以2λ－4＝3λ，所以λ＝－4.14.x 23－y 212＝1【解析】由题意，得23＝2c1＋4，所以c ＝15.又ba ＝2，a 2＋b 2＝c 2，解得a 2＝3，b 2＝12，所以双曲线C 的方程为x 23－y 212＝1.15.－e e 2【解析】根据题意，得l 与函数f (x )的切点为(1，a )，设l 与函数g (x )＝e x 的切点为(x 2，e x 2)，又f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝e x ，所以k ＝2a ＝e x 2，所以切线l 的方程为y －a ＝2a (x －1)，即y ＝2ax －a .同时切线l 的方程也为y －e x 2＝e x 2(x －x 2)，即y ＝e x 2x ＋e x 2－x 2e x 2，所以－a ＝e x 2－x 2e x 2＝b ，解得x 2＝32，所以b ＝－e e2.16.3；(34，2)【解析】以BC 所在直线为x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则B (－2，0)，C (2，0)．设A (x ，y )，由c ＝3b ，得|AB |＝3|AC |，所以(x ＋2)2＋y 2＝3(x －2)2＋y 2，化简得x 2＋y 2－5x ＋4＝0，y ≠0，所以点A 到BC 的最大距离为圆x 2＋y 2－5x ＋4＝0的半径32，故△ABC 面积的最大值为S ＝12×|BC |×32＝3.由正弦定理，得2R ＝4sin A ⇒R ＝2sin A .因为12r (4＋b ＋3b )＝S △ABC ＝12bc sin A ＝3b 22sin A ⇒r ＝3b 2sin A 4（1＋b ），故rR ＝32·b 21＋b .＋3b >4，＋4>3b ，得1<b <2.令f (x )＝x 21＋x (1<x <2)，则f ′(x )＝2x （1＋x ）－x 2（1＋x ）2＝x 2＋2x （1＋x ）2>0，所以f (x )在(1，2)上单调递增，故f (x )的值域为(12，43)，所以rR 的取值范围是(34，2)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)解：(1)由直方图，得平均数的估计值为4×(2×0.0125＋6×0.0375＋10×0.05＋14×0.075＋18×0.0375＋22×0.025＋26×0.0125)＝13.4(分)，…………………………………………………………………………………………3分因为4×(0.0125＋0.025＋0.0375)＝0.3，所以有30%的居民排队时长超过16分钟，综上，估计该社区居民核酸采集排队时间的平均时长为13.4分钟，在一次核酸采集中该社区有30%的居民排队时长超过16分钟.…………………………………………………………5分(2)由(1)可知样本中有30%×100＝30(人)排队时长超过16分钟.……………………………6分又两小区的居住人数之比为9∶11，故在A 小区抽取了45人，在B 小区抽取了55人，……………………………………………………………………………………………………7分故填表如下：排队时间超过16分钟排队时间不超过16分钟合计A 小区202545B 小区104555合计3070100……………………………………………………………………………………………………8分零假设为H 0：排队时间是否超过16分钟与所属小区相互独立，即排队时间是否超过16分钟与所属小区无关，χ2＝100×（20×45－10×25）230×70×45×55≈8.13>6.635＝x 0.01 (9)分根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H 0不成立，即排队时间是否超过16分钟与所属小区有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.…………………………………………10分18.(本小题满分12分)(1)证明：由题意，得a 1＝S 1＝2a 1－4×1＋2，所以a 1＝2，a 1＋4＝6.………………………1分由S n ＝2a n －4n ＋2，得S n －1＝2a n －1－4(n －1)＋2，n ≥2，所以a n ＝S n －S n －1＝(2a n －4n ＋2)－[2a n －1－4(n －1)＋2]＝2a n －2a n －1－4，n ≥2，………3分所以a n ＝2a n －1＋4，n ≥2，故a n ＋4a n －1＋4＝2，n ≥2， (4)分所以数列{a n ＋4}是以6为首项，2为公比的等比数列.………………………………………5分(2)解：由(1)得a n ＋4＝6×2n －1＝3×2n ，故a n ＝3×2n －4， (6)分则na n ＝3n ·2n －4n .……………………………………………………………………………7分设b n ＝n ·2n ，其前n 项和为P n ，则P n ＝1×2＋2×22＋…＋n ×2n ，2P n ＝1×22＋2×23＋…＋n ×2n ＋1，所以－P n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝－2＋2n ＋1－n ×2n ＋1，所以P n ＝(n －1)2n ＋1＋2， (10)分所以T n ＝3P n －4(1＋2＋…＋n )＝3(n －1)2n ＋1＋6－4×n (n ＋1)2＝(3n －3)2n ＋1－2n 2－2n ＋6.…………………………………………………………………………………………………12分19.(本小题满分12分)解：(1)由正弦定理，得(a ＋b )(a －b )＝(c ＋b )c ，即a 2－b 2＝c 2＋bc ，………………………2分故b 2＋c 2－a 22bc＝－12，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，所以A ＝120°.…………………………………4分(2)由平面四边形内角和为360°，可知∠ABC ＋∠BEC ＝90° (5)分在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC ，即232＝bsin ∠ABC .…………………6分在△BEC 中，由正弦定理，得BC sin ∠BEC ＝ECsin ∠EBC ，即2sin (90°－∠ABC )＝3b 12， (7)分所以sin ∠ABC ·sin (90°－∠ABC )＝14.………………………………………………………8分又sin ∠ABC ·sin (90°－∠ABC )＝sin ∠ABC ·cos ∠ABC ＝12sin (2∠ABC )，所以sin (2∠ABC )＝12，故2∠ABC ＝30°，即∠ABC ＝15°，所以∠ACB ＝45°.…………………………………10分sin 15°＝sin (45°－30°)＝22×＝6－24.由正弦定理，得2sin 120°＝b sin 15°＝csin 45°，所以c ＝2sin 45°sin 120°，b ＝2sin 15°sin 120°，……11分所以S △ABC ＝12cb sin A ＝12×2sin 45°sin 120°×2sin 15°sin 120°×sin 120°＝263×6－24＝1－33 (12)分20.(本小题满分12分)(1)证明：由AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝2，得AD ∥BC ，…………………………………………1分设F ，H 分别为棱BC 和棱PD 的中点，连接PF ，DF ，HF ，EH ，如图，所以EH 綊12AD ，故EH 綊BF ，故BE 綊FH .………………………………………………2分因为EB ⊥BC ，所以FH ⊥BC .…………………………………………………………………3分因为PC ＝PB ，所以PF ⊥BC .又PF ⊂平面PDF ，HF ⊂平面PDF ，PF ∩HF ＝F ，所以BC ⊥平面PDF ，又PD ⊂平面PDF ，所以BC ⊥PD .……………………………………………………………4分(2)解：由(1)知BC ⊥平面PDF ，所以BC ⊥DF .又DC ＝2，CF ＝1，故DF ＝3.因为BE ＝32，且BE 綊FH ，所以FH ＝32.因为PB ＝PC ＝BC ＝2，F 为BC 的中点，所以PF＝3，故PD ＝3，△PDF 为等边三角形．由BC ⊥平面PDF ，BC ⊂平面ABCD ，得平面PDF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，分别以直线FD ，FB 为x ，y 轴，以过点F 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系F －xyz .………………………………………………6分所以F (0，0，0)，D (3，0，0)，C (0，－1，0)，0…………………………7分设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面PBC ·CF →＝0，·CP →＝0，0，1＋y 1＋32z 1＝0，可取m ＝(3，0，－1)，………………………………………………8分设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面PDC ·CD →＝0，·CP →＝0，3x 2＋y 2＝0，32x 2＋y 2＋32z 2＝0，可取n ＝(3，－3，1)，……………………………………………10分所以|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝1313，所以平面PDC 与平面PBC 夹角的余弦值为1313.……………………………………………12分21.(本小题满分12分)(1)解：f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝－e ax (ax ＋1)，……………………………………………1分当a ＝0时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在R 上单调递减；……………………………………2分当a>0f′(x)>0－1a，＋∞f′(x)<0，所以函数f(x)－1a，＋∞3分当a<0f′(x)<0－1a，＋∞f′(x)>0，所以函数f(x)－1a，＋∞.…………4分(2)证明：f(x)＝－x e ax＝－e ax＋ln x， (5)分要证ln x＋ax－1≥1f（x），即证ln x＋ax－1≥1－e ax＋ln x.……………………………………6分设g(x)＝x－1＋e－x，则g′(x)＝1－e－x，………………………………………………………7分在区间(－∞，0)上，g′(x)<0，在区间(0，＋∞)上，g′(x)>0，所以函数g(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，……………9分所以g(x)≥g(0)＝0，…………………………………………………………………………10分故(ln x＋ax)－1＋1e ax＋ln x≥0，当ln x＋ax＝0时等号成立，所以ln x＋ax－1≥1－e ax＋ln x成立，故ln x＋ax－1≥1f（x）.………………………………………………………………………12分22.(本小题满分12分)解：(1)设E(x，y)，则EA＝r，所以EA2＝x2， (2)分即(x－6)2＋y2＝x2＋36，化简得y2＝12x (3)分(2)设P(x0，y0)，直线PM为y－y0＝k1(x－x0)，直线PN为y－y0＝k2(x－x0)，则y20＝12x0，M(0，y0－k1x0)，N(0，y0－k2x0)， (4)分故|MN|＝|k2－k1|x0＝x0(k2＋k1)2－4k2k1 (5)分又直线PM和直线PN与圆(x－1)2＋y2＝1相切，所以|k1(1－x0)＋y0|k21＋1＝|k2(1－x0)＋y0|k22＋1＝1，故k 1，k 2是方程|k (1－x 0)＋y 0|k 2＋1＝1的两个根， (6)分即k 1，k 2是方程(x 20－2x 0)k 2＋2y 0(1－x 0)k ＋y 20－1＝0的两个根，所以k 1＋k 2＝－2y 0(1－x 0)x 20－2x 0，k 1k 2＝y 20－1x 20－2x 0.……………………………………………………8分则△PMN 的面积S △PMN ＝12|MN |x 0＝x 202(k 2＋k 1)2－4k 2k 1＝x 224y 20(1－x 0)2(x 20－2x 0)2－4(y 20－1)x 20－2x 0＝x 0y 20(1－x 0)2－(y 20－1)(x 20－2x 0)(x 0－2)2＝x 0x 20－2x 0＋y 2(x 0－2)2＝x 0x 20－2x 0＋12x 0(x 0－2)2＝x 40＋10x 3(x 0－2)2.……………………………………………………………………………………………………9分设f (x )＝x 4＋10x 3(x －2)2，x >2，则f ′(x )＝2x 2(x ＋6)(x －5)(x －2)3.…………………………………………10分所以当x ∈(2，5)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增.…………………………………………11分所以当x 0＝5时，S △PMN 取得最小值，最小值为2533.……………………………………12分。
天津市部分区2023-2024学年高三上学期期末练习数学试题
天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高三数学本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
祝各位考生考试顺利!第I 卷（共45分）注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共9小题，每小题5分，共45分。
参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ .·如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·棱锥的体积公式13V Sh =h ，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,4A =，{}2,5B =，则()U A B = ð（）A.{}1,2,4,5 B.{}2 C.{}0,3 D.{}0,2,3,52.设x ∈R ，则“0x >”是“20x x +>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知0.14a =，0.312b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.c b a << B.a c b << C.c a b << D.b c a<<4.已知函数()f x 在[]4,4-上的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A.()cos2x f x x π=⋅ B.()cos 2x f x x π=⋅C.()sin 2x f x x π=⋅ D.()sin 2xf x x π=⋅5.已知等比数列{}n a 的前n 项和是n S ，且12a =，32618a a =-，则5S =（）A.30B.80C.240D.2426.从4名女生、6名男生中，按性别采用分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为（）A.1440 B.120 C.60 D.247.将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x 所具有的性质是（）A.图象关于直线6x π=对称B.图象关于点5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称C.()g x 的一个单调递增区间为,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.曲线()y g x =与直线2y =的所有交点中，相邻交点距离的最小值为6π8.已知三棱锥S ABC -中，2SAB ABC π∠=∠=，2SB =，SC =，1AB =，3BC =，则三棱锥S ABC -的体积是（）A.2 C.2 D.9.双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为52，实轴长为4，C 的两个焦点为1F ，2F .设O 为坐标原点，若点P 在C 上，且123cos 4F PF ∠=-，则OP =（）A.2 C. D.第Ⅱ卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
东城区2023-2024学年第一学期期末检测高三数学试卷及答案
东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测高 三 数 学 2024.1一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集{04}U x x =<<，集合{02}A x x =<<，则U A =ð（A ）{24}x x << （B ）{24}x x <≤ （C ）{24}x x ≤< （D ）{24}x x ≤≤ （2）若复数z 满足(1i)i z +=，则z 的共轭复数z =（A ）11i 22+ （B ）11i 22--（C ）11i 22-+ （D ）11i 22-（3）51()x x+的展开式中，x 的系数为（A ）1 （B ）5（C ）10 （D ）20（4）设等比数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，若12a =，2349a a a a =，则3S =（A ）6 （B ） 8 （C ） 12 （D ）14（5）已知非零向量，a b 满足a b =，且0⋅=a b ，对任意实数λμ，，下列结论正确的是（A ） ()()0λμλμ-⋅-=a b a b （B ） ()()0λμμλ-⋅+=a b a b （C ） ()()0λμλμ-⋅+=a b a b （D ） ()()0λμμλ+⋅+=a b a b（6）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，,E F 分别是11,DD BB 的中点. 用过点F 且 平行于平面ABE 的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（A ） （B（C（D（7）已知0,0a b >>，则“1122a b >”是“1122a b <”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）一粒子在平面上运动的轨迹为抛物线的一部分，在该平面上建立直角坐标系后，该粒子的运动轨迹如图所示. 在0t =时刻，粒子从点()0,1A 出发，沿着轨迹曲线运动到()1,1B -，再沿着轨迹曲线途径A 点运动到()1,1C --，之后便沿着轨迹曲线在B C ,两点之间在B C ，两点之间循环往复运动. 设该粒子在t 时刻的位置对应点(),P x y ，则坐标,x y 随时间()0t t ≥变化的图象可能是（9）已知线段AB 的长度为10，M 是线段AB 上的动点（不与端点重合）. 点N 在圆心为M ，半径为MA 的圆上, 且,,B M N 不共线，则BMN ∆的面积的最大值为（A ）252 （B ）254 （C （D(10) 设函数()cos f x x = ① 函数()f x 的一个周期为π；② 函数()f x 的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦；③ 函数()f x 的图象上存在点(),P x y ，使得其到点()1,0；④ 当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的图象与直线2y =有且仅有一个公共点.正确的判断是（A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分。
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**高三年级第一学期期末练习**数学（理科）一、选择题（本大题共8小题, 每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．已知3cos 5α=-，则cos 2α=A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-2．已知抛物线的方程为24y x =，则此抛物线的焦点坐标为A ．(1,0)-B ．(0,1)-C ．(1,0)D ．(0,1)3．设集合A ={1，2，3，4}，m 、n ∈A ，则方程221x y m n+=表示焦点位于x 轴上的椭圆有 A ．6个B ．8个C ．12个D ．16个4．已知直线m 、n 、l ，平面α、β，有下列命题：①m ⊂α、n ⊂α；m ∥β，n ∥β，则α∥β ②m ⊂α、n ⊂α；l m ⊥，l n ⊥，则l ⊥α ③α⊥β，m αβ=，n ⊂β，n m ⊥，则n ⊥α④m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α 其中正确的命题是： A ．①③B ．②④C ．①②④D ．③5．某台机器上安装甲乙两个元件，这两个元件的使用寿命互不影响．已知甲元件的使用寿命超过1年的概率为0．6，要使两个元件中至少有一个的使用寿命超过1年的概率至少为0．9，则乙元件的使用寿命超过1年的概率至少为A ．0．3B ．0．6C ．0．75D ．0．96．已知函数()sin y x =ω+ϕ0,02π⎛⎫ω><ϕ≤ ⎪⎝⎭，且此函数的图象如图所示，则点(),ωϕ的坐标是A ．(2,)2πB ．(2,)4πC ．4,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．4,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭7．已知向量(2cos ,2sin ),(3cos ,3sin )=αα=ββa b ，若向量a 与b 的夹角为60︒，则直线1cos sin 02x y α-α+=与圆221(cos )(sin )2x y -β++β=的位置关系是 A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交且过圆心8．动点P 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上异于椭圆顶点(,0)a ±的一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，动圆C 与线段F 1P 、F 1F 2的延长线及线段PF 2相切，则圆心C 的轨迹为除去坐标轴上的点的A ．一条直线B ．双曲线的右支C ．抛物线D ．椭圆二、填空题（本大题共6小题, 每小题5分,共30分．把答案填在题中横线上）．9．已知双曲线2214y x -=，则其渐近线方程是 ，离心率e = ． 10．在复平面内，复数121,23z i z i =+=+对应的点分别为A 、B ，O 为坐标原点，,.OP OA OB R =+λλ∈若点P 在第四象限内，则实数λ的取值范围是__________．11．已知等差数列{}n a 的公差为3，若134,,a a a 成等比数列，则2a = ． 12．已知正四棱锥P －ABCD ，PA=2，M 是侧棱PC 的中点，则异面直线PA 与BM 所成角为 13．点P 在平面区域1C :22x y +≤()2||||x y +内，点Q 在曲线2:C ()()22441x y -+-=上，则平面区域1C 的面积为 ||PQ 的最小值为 ．14．已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，∠BAD =60°，长为2的线段MN 的一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动．则MN 中点P 的轨迹与直平行六面体的表面所围成的较小的几何体的体积为_____ ______．三、解答题:（本大题共6小题,共80分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分13分）ABCDPMA 1在三角形ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，若c o s (2)c o s b C a c B =- （1）求B ∠的大小（2）若b 4a c +=，求三角形ABC 的面积．16．（本小题共13分）已知圆C ：224x y +=．（1）直线l 过点()1,2P ，且与圆C 交于A 、B两点，若||AB =l 的方程; （2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量OQ OM ON =+，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．17．（本小题满分13分）如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，AA 1为侧棱CC 1上一点, 1AM BA ⊥．（1）求证: AM ⊥平面1A BC ； （2）求二面角B －AM －C 的大小； （3）求点C 到平面ABM 的距离．ABCA 1B 1C 1M18．（本小题满分14分）设函数2()(1)2ln(1)f x x x =+-+． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当02a <<时，求函数2()()1g x f x x ax =---在区间[]0,3的最小值．19．（本小题满分14分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为12(1,0)F F (-1,0)、，右准线l 交x 轴于点A ，且122AF AF =．（1）试求椭圆的方程；（2）过1F 、2F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于D 、E 、M 、N 四点（如图所示），试求四边形DMEN 面积的最大值．20．（本小题满分13分）已知函数f (x )的定义域为[0,1]，且满足下列条件： ① 对于任意x ∈[0,1]，总有()3f x ≥，且()14f =；② 若12120,0,1,x x x x ≥≥+≤则有()()1212() 3.f x x f x f x +≥+- （1）求f (0)的值； （2）求证：f (x )4≤； （3）当111(,](1,2,3,)33nn x n -∈=⋅⋅⋅时，试证明：()33f x x <+．2007海淀区第一学期期末考试理科参考答案一、选择题1．B 2．C 3．A 4．D 5．C 6．B 7．C 8．A 8．提示：如图画出圆M ，切点分别为E 、D 、G ，由切线长相等定理知F 1G=F 1E ，PD=PE ，F 2D=F 2G ，根据椭圆的定义知 PF 1+PF 2=2a ， ∴ PF 1+PF 2=F 1E+DF 2（PD=PE ） =F 1G+F 2D （F 1G=F 1E ）= F 1G+F 2G=2a ， ∴ 2F 2G=2a －2c ，F 2G=a －c ， 即点G 与点A 重合，∴ 点M 在x 轴上的射影是长轴端点A ，M 点的轨迹是垂直于x 轴的一条直线（除去A 点） 二、填空题（第一空3分 第二空2分）9．2y x =±，（缺一扣1分）210．1123λ-<<-； 11．－9； 12．4π ；13．84+π，1 14．29π． 三、解答题15．本小题满分13分解：（1）由已知及正弦定理可得C B B A C B sin cos cos sin 2cos sin -= 2分∴()C B C B C B B A +=+=sin sin cos cos sin cos sin 2又在三角形ABC 中，()0sin sin ≠=+A C B 3分 ∴A B A sin cos sin 2=，即21cos =B ， 5分 3π=B 6分（2）∵22272cos b a c ac B ==+-，∴227a c ac =+- 8分又∵()ac c a c a 216222++==+∴3=ac 10分∴1sin 2ABC S ac B ∆=即132ABC S ∆=⋅=13分 16．本小题满分13分解：（1）①当直线l 垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，l 与圆的两个交点坐标为()3,1和()3,1-，其距离为32，满足题意 1分②若直线l 不垂直于x 轴，设其方程为()12-=-x k y ，即02=+--k y kx 2分 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得1=d 3分 ∴1|2|12++-=k k ，34k =， 4分 故所求直线方程为3450x y -+= 5分 综上所述，所求直线为3450x y -+=或1=x 6分（2）设点M 的坐标为()00,y x ，Q 点坐标为()y x ,，则N 点坐标是()0,0y 7分∵OQ OM ON =+，∴()()00,,2x y x y = 即x x =0，20yy =9分 又∵42020=+y x ，∴4422=+y x 10分 由已知，直线m //ox 轴，所以，0y ≠， 11分∴Q 点的轨迹方程是221(0)164y x y +=≠， 12分轨迹是焦点坐标为12(0,F F -，长轴为8的椭圆，并去掉(2,0)±两点。
13分17．本小题满分13分证明：（1）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，易知面ACC 1A 1⊥面ABC ，∵∠ACB=90°，∴BC ⊥面ACC 1A 1，……………… 2分 ∵AM ⊂面ACC 1A 1，∴BC ⊥AM ∵1AM BA ⊥，且1BCBA B =，∴ AM ⊥平面1A BC ………………4分解：（2）设AM 与A 1C 的交点为O ，连结BO ，由（1）可知AM ⊥ OB ，且AM ⊥ OC ，所以∠BOC 为二面角B －AM －C 的平面角， ………………………5分 在Rt △ACM 和Rt △A 1AC 中，∠OAC+∠ACO=90°，∴∠AA 1C=∠MAC ∴Rt △ACM ∽RT △A 1AC ，∴21AC MC AA =⋅∴MC =分 ∴在Rt △ACM中，AM = ∵1122AC MC AM CO ⋅=⋅，∴1CO =∴在Rt △BCO 中，tan 1==BCBOC CO∴45BOC ∠=︒，故所求二面角的大小为45°……………… 9分 （3）设点C 到平面ABM 的距离为h，易知BO =可得1132222ABM S AM BO ∆=⋅⋅=⋅ …………………10分 ∵C ABM M ABC V V --= …………………11分∴1133ABM ABC hS MC S ∆∆⋅=⋅⋅，∴2232ABCABMMC S h S ∆∆⋅=== ∴点C 到平面ABM………………13分 解法二：（1）同解法一（2）如图以C 为原点,CA ，CB ， CC 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系，则1(0,1,0)A A B ，设1(0,0,)M z ∵1AM BA ⊥，∴10AM BA ⋅=即1300-++=，故1z =M ………6分 设向量(,,)m x y z =为平面AMB 的法向量，则,m AM m AB ⊥⊥，ABCA 1B 1C 1MO则00m AM m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即00z y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩， 令x=1，的平面AMB的一个法向量为(1,2,m =，显然向量CB 是平面AMC 的一个法向量，……………8分2cos ,||||m CB m CB m CB ⋅<>==⋅ 易知，m 与CB 所夹的角等于二面角B －AM －C 的大小，故所求二面角的大小为45°．……9分（3）向量CB 在法向量m 上的投影的长||||m CB m ⋅即为所求距离，………………10分 ∵||3||mCB m ⋅=分 ∴点C 到平面ABM 分 18．本小题满分14分 解：（1）∵22(2)()2(1).11x x f x x x x +'=+-=++ 2分 ()0,210;()0,210.f x x x f x x x ''>-<<-><<--<<由得或由得或又∵()f x 定义域为∞(-1,+)，∴所以函数()f x 的单调递增区间为()0+∞，，单调递减区间为()-1，0 5分 （2）由2()()1g x f x x ax =---，即 ()()22ln 1g x x ax x =--+2(2)()211a x ag x a x x --'=--=++ 7分 令()0g x '= 由02a << 及 1,x >- 得 2ax a=- 且当2ax a=-时()f x 取得极小值。