数学分析期末考试讲解新版
《数学分析下册》期末考试卷及参考答案
《数学分析下册》期末考试卷及参考答案一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分）1、已知uln某2y2，则uu，，y某du2、设L：某2y2a2，则某dyyd某L某=3cot，L：3、设（0t2），则曲线积分（某2+y2）d=y=3int.L4、改变累次积分dy（f某，y）d某的次序为2y33某y1，则(51)d某dy=5、设D：D得分阅卷人二、判断题（正确的打“O”;错误的打“某”；每题3分，共15分）p某0，y0）p某0，y0）1、若函数（在点（连续，则函数（点（必存在一f某，y）f某，y）阶偏导数。
()p某0，y0）p某0，y0）2、若函数（在点（可微，则函数（在点（连续。
f某，y）f某，y）()p某0，y0）3、若函数（在点（存在二阶偏导数f某y(某0,y0)和fy某(某0,y0)，则f某，y）必有f某y(某0,y0)fy某(0某,0y) L(B,A)()()4、L(A,B)f(某,y)d某f(某,y)d某。
5、若函数（在有界闭区域D上连续，则函数（在D上可积。
()f某，y）f某，y）第1页共5页得分阅卷人三、计算题（每小题9分，共45分）1、用格林公式计算曲线积分I(e某iny3y)d某(e某coy3)dy，AOAO为由A(a,0)到O(0,0)经过圆某2y2a某上半部分的路线。
其中2、计算三重积分------线--------------------------------------(某V2y2)d某dydz，其中是由抛物面z某2y2与平面z4围成的立体。
第2页共5页3、计算第一型曲面积分IdS，S其中S是球面某2y2z2R2上被平面za(0aR)所截下的顶部（za）。
4、计算第二型曲面积分22Iy(某z)dydz某dzd某(y某z)d某dy，S其中S是立方体V0,b0,b0,b的外表面。
第3页共5页5、设D(某,y)某2y2R曲顶柱体的体积。
得分阅卷人四、证明题(每小题7分，共14分)1、验证曲线积分第4页共5页2.求以圆域D为底，以曲面ze(某2y2)为顶的(某22yz)d某(2y2某)zdy2(z2，某)ydzL与路线无关，并求被积表达式的一个原函数u(某,y,z)。
大一期末数学试卷讲解
一、选择题1. 下列函数中，在其定义域内连续的函数是：（）A. f(x) = |x|，x∈RB. f(x) = x^2，x∈RC. f(x) = x^3，x∈RD. f(x) = |x|，x∈[0, +∞)【答案】A【解析】选项A中的函数f(x) = |x|在其定义域内连续，因为绝对值函数在其定义域内处处连续。
选项B、C、D中的函数在其定义域内均不连续。
2. 设函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的极值点是：（）A. x = 0B. x = -1C. x = 1D. x = 3【答案】C【解析】对f(x)求导得f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，解得x = ±1。
将x = ±1代入f(x)，得f(±1) = -2。
因此，f(x)的极值点是x = 1。
3. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的图像是：（）A. 顶点在(2, 0)B. 顶点在(0, 4)C. 顶点在(4, 0)D. 顶点在(0, -4)【答案】A【解析】函数f(x) = x^2 - 4x + 4可以写成f(x) = (x - 2)^2，这是一个开口向上的抛物线，其顶点为(2, 0)。
4. 下列级数中，收敛的是：（）A. ∑(n=1 to ∞) (1/n^2)B. ∑(n=1 to ∞) (1/n)C. ∑(n=1 to ∞) (n^2)D. ∑(n=1 to ∞) (e^n)【答案】A【解析】根据p级数的性质，当p > 1时，p级数收敛。
选项A中的级数是p级数，且p = 2 > 1，因此收敛。
5. 设矩阵A = [1 2; 3 4]，则矩阵A的逆矩阵是：（）A. [2 -3; -4 1]B. [2 3; -4 1]C. [1 2; -3 4]D. [1 -2; 3 4]【答案】A【解析】计算矩阵A的行列式|A| = 14 - 23 = 4 - 6 = -2。
期末数学全面解析
期末数学全面解析一、引言数学作为一门基础学科，无论在学校教育还是社会生活中都扮演着重要的角色。
期末考试作为一学期学习成果的集中体现，对于学生来说是一场重要的考验。
本文将对期末数学考试涉及的各个知识点进行全面解析，帮助同学们更好地备战期末考试。
二、代数与方程1. 一元一次方程一元一次方程是数学中最基础的方程形式，通过找到未知数使等式成立。
解一元一次方程的常用方法包括等式两边同时加减相同的数、等式两边同时乘除相同的数等。
2. 二元一次方程二元一次方程是包含两个未知数的方程，解这类方程可以使用“代入法”、“消元法”、“加减消元法”等。
需要注意的是，在解这类方程时，要始终保持等式两边平衡。
三、几何与三角1. 圆的性质圆是几何中最基本的图形之一。
圆的性质有很多，其中包括半径、直径、弧长、圆周角等概念。
掌握这些性质对于解题至关重要。
2. 三角形的性质三角形是几何中常见的图形，掌握三角形的性质对于解题非常重要。
包括三角形内角和为180度、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等。
四、概率与统计1. 事件与概率概率是描述事件发生可能性的数值，常用的表示方法是以0到1之间的小数形式表示。
通过统计分析已知数据来计算概率，了解事件发生的可能性大小。
2. 统计图表统计图表是展示数据分布和关系的重要工具。
常见的统计图表包括条形图、折线图、饼图等。
通过观察统计图表可以直观地了解数据的趋势和规律。
五、解题技巧1. 善用公式在解题过程中，合理运用相关的数学公式能够大大简化解题过程。
例如，在解三角形题目时，可以使用正弦定理和余弦定理来求解未知量。
2. 做好题前分析在做数学题之前，进行题目的分析是非常重要的一步。
通过仔细阅读题目，理解题目要求，并对题目中的已知条件和未知量进行整理，有利于问题的解决。
六、总结本文对期末数学考试涉及的各个知识点进行了全面解析，讲解了代数与方程、几何与三角、概率与统计等内容，并介绍了解题的一些技巧和方法。
希望同学们通过学习本文，对数学知识有更深入的理解，为期末考试做好充分的准备。
数学分析1期末考试讲解
《数学分析Ⅰ》题目讲解一、 单项选择题（每小题2分，共14分）1、设数列{}n x 满足1112n n n x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且lim nn x →∞=，则为【 】A 、0B 、1C 、12 D 、22、已知tan,0,()1,0,xxf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩则0x=是()f x的【】A、第一类不连续点B、第二类不连续点C、连续点D、可去不连续点3、已知1sin,0()0,0x xf x xx⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则()f x在0x=处【】A、左可导B、右可导C、可微D、不连续4、若0lim ()x x f x 存在，下列说法一定正确的是【】A 、()f x 在0x 的任一邻域内有界 B 、()f x 在0x 的某一邻域内无界 C 、()f x 在0x 的某一邻域内有界 D 、()f x 在0x 的任一邻域内无界5、若()f x 在0x =处连续，并且220()lim h f h c h→=，则【 】 A 、(0)0f =且(0)f -'存在 B 、(0)0f =且(0)f +'存在 C 、(0)f c =且(0)f -'存在 D 、(0)f c =且(0)f +'存在6、若()f x 在点0x 处存在左、右导数，则()f x 在点0x 处必然【 】A 、可导B 、不可导C 、连续D 、不连续7、下列叙述错误的是【 】A 、若()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 可微；B 、若()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 连续；C 、若()f x 在点0x 可导，则()0()0f x ′=； D 、设()f x 在点0x 可导，则0x 是极值点当仅当0()0f x =′.参考答案：1. B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C7.D二、填空题（每小题3分，共21分）1、33561lim 141x x x x x x →∞⎡⎤++⎛⎫+-=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2、曲线ln y x =上平行于直线115y x =+的切线的方程为3、设()1f a '=，则 0(2)(3)lim h f a h f a h h→+--=4、曲线22x y x e -=+的斜渐近线为5、函数32()92415f x x x x =-+-的极小值点x =______ _6、已知当0x →时ln(1)ax +与1xe -等价，则a = 7、()()5n x=参考答案：1. 114e+；2. ()15ln55y x =-+；3. 5；4. 2y x =；5. 4；6. 1；7. ()ln 55nx三、计算题（每小题6分，共36分）1、计算111lim 1n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭.1、计算111lim 1n n n nn →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭ 解：设1111n x n n n n=++++++，由于1n n nx n n ≤≤++，lim 1n n n →∞=+，lim 11n nn →∞=+ ，（4分） 由夹逼性，lim 1n n x →∞=，即原极限为1。
《数学分析》期末复习用 各章习题+参考答案
f f f (x) = x + 2 ； 2x + 3
f f f f (x) = 2x + 3 。 3x + 5
9． f (x) = f (x) + f (−x) + f (x) − f (−x) ， f (x) + f (−x) 是偶函数， f (x) − f (−x) 是奇
2
2
2
2
函数.
⎧− 4x + 3
2⋅4⋅6⋅
⋅ (2n) 。 (提示：应用不等式 2k > (2k − 1)(2k + 1) )。
9. 求下列数列的极限：
⑴
lim
n→∞
3n2 + 4n − 1 n2 +1 ;
⑵
n3 + 2n2 − 3n + 1
lim
n→∞
2n3 − n + 3 ;
2
⑶
3n + n3
lim
n→∞
3n+1
+ (n + 1)3
k∈Z ⎝
2
2⎠
（4） y = x −1 ，定义域： (− ∞,−1) ∪ [1,+∞)，值域： [0,1)∪ (1,+∞).
x +1
5．（1）定义域： ∪ (2kπ ,(2k +1)π )，值域： (− ∞,0]； k∈Z
（2）定义域：
∪
k∈Z
⎢⎣⎡2kπ
−
π 2
,2kπ
+
π 2
⎤ ⎥⎦
，值域： [0,1]；
1
（3）定义域：
[−
4,1] ，值域：
⎢⎣⎡0,
2021-2022学年数学分析II期末试题参考答案
课程编号：100171019 北京理工大学2021-2022学年第二学期2021级数学分析（II ）期终考试试题A 卷解答1.(23分)求下列函数的偏导数或全微分 (1)设cos xyz e=，求dz .(2)设(,)z z x y =由方程zx y z e ++=所确定的隐函数，求z x ∂∂和22zx∂∂.(3)设1()()z f xy yg x y x=++，其中f 和g 在R 上有连续的二阶导数，求z x ∂∂，z y ∂∂和2zy x∂∂∂ 解：(1)cos (cos )xy dz e d xy =cos (sin )()xy e xy d xy =−cos sin ()xy xye ydx xdy =−+.(2)方程关于x 求导，y 是常数，z 是x 的函数，1z x x z e z +=，11x zz e =−. 23(1)(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. 方法二. zzxx x x xx z e z z e z =+，221(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. (3)//211()()()z f xy f xy y yg x y x x x∂=−+⋅++∂ //21()()()yf xy f xy yg x y x x =−+++，//1()()()z f xy x g x y yg x y y x∂=⋅++++∂ //()()()f xy g x y yg x y =++++，2/////()()()zf xy yg x y yg x y y x∂=⋅++++∂∂ /////()()()yf xy g x y yg x y =++++.2.(15分)(1)求二重积分22Dy I dxdy x=⎰⎰，其中D 为由1,2,y y y x x ===所围的区域. (2)求三重积分I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰，其中Ω由0,0,0,21x y z x y z ===++=所围成.(3)求第一型曲面积分()MI x y z dS =++⎰⎰，其中M为上半球面：z =222x y R +≤(0)R >. 解：(1)2221221y y Dy y I dxdy dy dx x x==⎰⎰⎰⎰22111()yyy dy x =−⎰2223111()()y y dy y y dy y=−=−⎰⎰ 94=. 方法二. 22212221122212x x Dy y y I dxdy dx dy dx dy x xx ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(2)设D 为xy −平面上由0,0,21x y x y ==+=所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰120x yDdxdy xdz −−=⎰⎰⎰(12)Dx x y dxdy =−−⎰⎰[]11(1)20(1)2x dx x x xy dy −=−−⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰. 方法二. 对任意的[0,1]x ∈，x D 为yz −平面上由0,0,21y z y z x ==+=−所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰1xD dx xdydz =⎰⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰(3) x z =y z =，()MI x y z dS =++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221x y Rdxdy +≤=⎰⎰3R π=.3.(8分)设(,)z z x y =在2R 有连续偏导数，并且322cos(2)3cos(2)dz axy x y dx x y b x y dy ⎡⎤⎡⎤=+++++⎣⎦⎣⎦其中,a b 是常数，求,a b 的值和(,)z z x y =的表达式. 解：由条件3cos(2)x z axy x y =++，223cos(2)y z x y b x y =++， 则232sin(2)xy z axy x y =−+，26sin(2)yx z xy b x y =−+. 因为xy z 和yx z 都连续，所以xy yx z z =, 232sin(2)axy x y −+26sin(2)xy b x y =−+, 取,02x y π==，解得2b =，进而得出2a =.再由32cos(2)x z xy x y =++，23(,)sin(2)()z x y x y x y y ϕ=+++， 22/32cos(2)()y z x y x y y ϕ=+++， 于是/()0y ϕ=，()y C ϕ=.故23(,)sin(2)z x y x y x y C =+++.4.(10分)求幂级数211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域及和函数的表达式.解：记21(1)()(21)!n n n n u x x n −−=+. 对任意的0x ≠，21()0,()2(23)n n u x xn u x n n +=→→+∞+， 则211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑收敛. 即得211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域为(,)−∞+∞. 记211(1)()(21)!n n n n S x x n +∞−=−=+∑，定义域为(,)−∞+∞.容易求得(0)0S =. 对任意的0x ≠，利用幂级数的性质，2/11(1)()()2(21)!nn n S x x n +∞=−=+∑/211(1)2(21)!n n n x n +∞=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/21111(1)2(21)!n n n x x n +∞+=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/11(sin )2x x x⎛⎫=− ⎪⎝⎭ 2cos sin 2x x xx−=.5.(10分)设()f x 是以2π为周期的函数，它在区间(,]ππ−上的表达式为00()20x f x x ππ−<≤⎧=⎨<≤⎩. (1)求()f x 的Fourier 级数；(2)求()f x 的Fourier 级数的和函数在区间[0,2]π上的表达式；(3)求11(1)21n n n −+∞=−−∑.解：(1)先计算()f x 的Fourier 系数， 01()a f x dx πππ−=⎰122dx ππ==⎰，1()cos n a f x nxdx πππ−=⎰12cos 0nxdx ππ==⎰，1,2,n =，1()sin n b f x nxdx πππ−=⎰ ()0122sin 1(1)n nxdx n πππ==−−⎰2421(21)n k n k k π=⎧⎪=⎨=−⎪−⎩，1,2,k =.()f x 的Fourier 级数为()01cos sin 2n n n a a nx b nx +∞=++∑ 14sin(21)121k k xk π+∞=−=+−∑. (2) 12(0,)4sin(21)10(,2)2110,,2k x k x x k x ππππππ+∞=∈⎧−⎪+=∈⎨−⎪=⎩∑. (3)令2x π=，1411sin (21)2212k k k ππ+∞=⎛⎫+−= ⎪−⎝⎭∑，解得11(1)214n n n π−+∞=−=−∑.6.(12分)(1)判别下列广义积分的收敛性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(a) 30411dx +∞−⎰ (b) 20sin x dx +∞⎰ (2)设()af x dx +∞⎰收敛，并且lim ()x f x L →+∞=.证明：0L =.解：(1)(a) 0,1x x ==为瑕点， 考虑30411dx +∞−⎰1122133330122444411111111dx dx dx dx +∞=+++−−−−⎰⎰⎰⎰.因为330004411lim lim111x x x →+→+==−−，3431141lim 111x x x →→−⋅==−，31342433441lim lim111x x xxx +→+∞→+∞⋅==−−，而其中1351244+=>，所以112213333012244441111,,,1111dx dx dx dx +∞−−−−⎰⎰⎰⎰都收敛，于是30411dx +∞−⎰收敛，又被积函数非负，故是绝对收敛.(b)0x =不是瑕点，20sin x dx +∞⎰与21sin x dx +∞⎰具有相同的收敛性，只讨论21sin x dx +∞⎰即可.令2t x =，则2111sin 2x dx +∞+∞=⎰⎰, 1+∞⎰条件收敛. 那么20sin x dx +∞⎰条件收敛.(2)假设0L ≠，不妨设0L >.由lim ()x f x L →+∞=，根据极限性质，存在0X >，使得当x X >时，()2Lf x >.则A X ∀>，()()()A X AaaXf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰()()2X aLf x dx A X >+−⎰， 由此推出lim()A aA f x dx →+∞=+∞⎰，与()af x dx +∞⎰收敛矛盾.假设不成立，即0L =.7.(12分)(1)证明：函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛，但在(0,)+∞不一致收敛.(2)证明：1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续且可导.证：(1)对任意的[,)x δ∈+∞和任意的正整数n ，0nx n ne ne δ−−<<， 而1,e n δδ−−=→<→+∞，说明1nn neδ+∞−=∑收敛，根据M 判别法，函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.记()nx n u x ne −=，对任意的正整数n ，取1(0,)n x n=∈+∞， 1()0,n n u x ne n −=→+∞，则()nxn u x ne−=在(0,)+∞不一致收敛于0.故函数项级数1nx n ne +∞−=∑在(0,)+∞不一致收敛. (2) (0,)x ∀∈+∞，存在0δ>，使得(,)x δ∈+∞.因为()nxn u x ne−=在(0,)+∞连续(1,2,)n =，利用(1)，函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛，所以和函数1()nx n f x ne +∞−==∑在[,)δ+∞上连续，于是它在x 连续.由x 的任意性，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续.对任意的0δ>，/22()nx n n u x n e n e δ−−=−≤，[,),1,2,x n δ∀∈+∞=，而1,e n δδ−−=→<→+∞，说明21nn n eδ+∞−=∑收敛，根据M 判别法，函数项级数/1()n n u x +∞=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.根据一致收敛的函数项级数的逐项可导性，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间[,)(0)δδ+∞>可导. 同理可得，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上可导.8.(10分)设1α>，10n n a a +<≤，0,1,2,n =.证明：111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛. 证：由条件，{}n a 单调递增，则要么{}n a 有上界要么{}n a 趋于+∞. (1)设{}n a 有上界. 则{}n a 收敛，记lim n n A a →+∞=，显然0A >.利用极限性质，存在0N ，当0n N >时， 2n Aa >. 则当01n N >+时，由条件1α>，那么1111120()()()22n n n n n n n n a a a a a a A A a a A ααα+−−−−−−≤<=−. 由于1001(),nk k n k a a a a A a n −=−=−→−→+∞∑，说明11()n n n a a +∞−=−∑收敛. 利用比较判别法，111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.(2) 设{}n a 无上界，即lim n n a →+∞=+∞.利用极限性质，存在0N ，当0n N >时，1n a >. 则当01n N >+时，由条件1α>，那么11111110n n n n n n n n n na a a a a a a a a a α−−−−−−−≤≤=−. 由于 110011111(),nk k k n n a a a a a =−−=−→→+∞∑， 说明1111()n n n a a +∞=−−∑收敛. 利用比较判别法，111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.。
数学分析期末考试题
数学分析期末考试题在数学分析期末考试中，学生们将面对一系列挑战性的问题。
这些问题涉及到微积分、极限、导数、积分等重要概念。
本文将通过解答一些典型的数学分析期末考试题目，帮助学生们加深对数学分析的理解。
1. 求函数 f(x) = x^3 - 3x 的最大值和最小值。
为了求解该问题，我们首先计算函数的导数 f'(x) = 3x^2 - 3。
然后，我们将导数设置为零并解方程，得到驻点的横坐标 x = 1 和 x = -1。
接下来，我们计算这两个驻点对应的函数值，即 f(1) = -2 和 f(-1) = 2。
由于我们得到了驻点和函数值，我们可以得出结论：函数 f(x) = x^3 - 3x在 x = -1 时取得最大值为 2，在 x = 1 时取得最小值为 -2。
2. 求函数 f(x) = e^x 在区间 [-1, 1] 上的积分值。
为了求解该问题，我们可以直接应用定积分的定义。
首先，我们将函数 f(x) = e^x 进行积分，得到积分函数F(x) = ∫(e^x)dx = e^x。
然后，我们将积分函数 F(x) 在区间 [-1, 1] 的两个端点带入，得到积分值 F(1) - F(-1) = e^1 - e^(-1)。
3. 求曲线 y = x^2 在点 (1, 1) 处的切线方程。
为了求解该问题，我们首先计算曲线 y = x^2 的导数 y' = 2x。
然后，我们将横坐标 x = 1 带入导数表达式，得到切线的斜率 k = y'(1) = 2。
接下来，我们利用点斜式的公式 y - y1 = k(x - x1)，将切线的斜率和给定点代入公式，得到切线方程 y - 1 = 2(x - 1)。
通过解答上述题目，我们可以看到数学分析涉及到各种各样的概念和计算方法。
学生们需要掌握微积分的基本原理和技巧，以应对各种复杂的数学问题。
同时，通过解析题目，学生们可以提高自己的问题解决能力和数学思维能力。
2021-2022学年数学分析第二学期期末考试(含答案)
2021-2022学年第二学期期末《数学分析》一.填空题 ( 每题5分,共30分 )1. 已知势函数 2u x yz =，则其梯度 grad u = ，其梯度的散度 ()div grad u = 。
2. 曲面:ln x z y y ⎛⎫∑=+ ⎪⎝⎭在点0(1,1,1)P 处的单位法向量为 ,在该点处的切平面方程为 .3. 设22()d ,x x u x f x e u -=⎰ 则'()f x = .4. 设Γ是以(0,0),(1,0),(0,1)O A B 为顶点的三角形的边界,则曲线积分()x y ds Γ+⎰ = .5. 设Ω是由锥面z =和上半球面 z = 围成的空间区域， 则三重积分222()d f xy z V Ω++⎰⎰⎰ 在球坐标系下的累次积分为.6. 利用Γ函数和B 函数的性质，可知 2560sin cos d x x x π⎰ = .二. 计算题 (10分) 计算二重积分D，其中 D 是由22221x y a b += 所围的平面区域。
设Γ是任意一条包围着原点（不经过原点）的分段光滑、逆时针定向曲线，试计算曲线积分22.2xdy ydxx y Γ-+⎰四. 计算题 (10分)设∑为曲面 )20(222≤≤+=z y x z 的下侧．计算曲面积分33()d d ()d d 2()d d x y y z y z z x x y z x y ∑++-++-⎰⎰．计算曲线积分22I y dx xdy z dz Γ=-++⎰，其中Γ是平面2y z +=与柱面221x y +=的交线，从Oz 轴正向往下看为逆时针方向.六.计算题 (10分)计算双曲面z xy = 被围在圆柱面222x y a +=内部的面积．设()f x 是[,]a b 上的连续函数，利用二重积分性质证明不等式22()d ()()d b b a a f x x b a f x x ⎡⎤≤-⎢⎥⎣⎦⎰⎰八. 证明题 (10分)设(,)f x u 在[,][,]a b αβ⨯上连续，证明对任意 0[,]u αβ∈，总有0lim (,)d (,)d b baau u f x u x f x u x →=⎰⎰设Ω为闭区域，∂Ω是Ω的边界外侧，n是∂Ω的单位外法向量。
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（2）由罗尔（Rolle）定理，在 内至少存在一点 使得 ，在 内至少存在一点 使得 。故 在 内至少有两个零点。（8分）
《数学分析Ⅰ》题目讲解
一、单项选择题（每小题2分，共14分）
1、设数列 满足 且 ，则 为【】
A、0B、1C、 D、2
2、已知 则 是 的【】
A、第一类不连续点
B、第二类不连续点
C、连续点
D、可去不连续点
3、已知 ，则 在 处【】
A、左可导
B、右可导
C、可微
D、不连续
4、若 存在，下列说法一定正确的是【】
A、若 在点 可导，则 在点 可微；
B、若 在点 可导，则 在点 连续；
C、若 在点 可导，则 ；
D、设 在点 可导，则 是极值点当仅当 .
参考答案：1. B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D
二、填空题（每小题3分，共21分）
1、
2、曲线 上平行于直线 的切线的方程为
3、设 ，则
4、曲线 的斜渐近线为
A、 在 的任一邻域内有界
B、 在 的某一邻域内无界
C、 在 的某一邻域内有界
D、 在 的任一邻域内无界
5、若 在 处连续，并且 ，则【】
A、 且 存在
B、 且 存在
C、 且 存在
D、 且 存在
6、若 在点 处存在左、右导数，则 在点 处必然【】
A、可导
B、不可导
C、连续
D、不连续
7、下列叙述错误的是【】
2.证明：当 时， .（7分）
证明：（1）证明 .
根据Lagrange中值定理，
（2分）由于 ，所以 。（3分）
（2）证明 .
令 ，则
，（2分）当 时， ， 严格单调递减，由 ，知 ，从而 。（4分）
3.设 在区间 可导，且 ， ，证明：
（1）存在 使得 ；（5分）
（2） 在 内至少有两个零点。（3分）
5、函数 的极小值点 ______ _
6、已知当 时 与 等价，则
7、
参考答案：
1. ；
2. ；
3. 5；
4. ；
5. 4；
6. 1；
7.
三、计算题（每小题6分，共36分）
1、计算 .
1、计算
解逼性， ，即原极限为1。（6分）
2.求极限
3.已知 任意次可微，求 的二阶微分 .
（2）数列的柯西（Cauchy）收敛原理：数列 收敛的充要条件是 是一个基本数列。（3分）
（3） 在区间 内一致连续的 定义：若 在区间 内满足对任意的 ，存在 ，使得对 内任意两点 与 ，当 时，总有 ，则称 在区间 内一致连续。（3分）
（4）证明：对任意 ，由于
故对任意的 ，取 ，则对 内任意两点 与 ，当 时，总有 ，即 在 上一致连续。（5分）
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解此方程，得 。（4分）
所以， 。（6分）
四、综合题（3小题，共29分）
1.叙述证明题（4小题，共14分）
（1）叙述 （ 有限）的 定义；（3分）
（2）叙述数列的柯西（Cauchy）收敛原理；（3分）
（3）叙述 在区间 内一致连续的 定义；（3分）
（4）证明 在 上一致连续。（5分）
解：（1） （ 有限）的 定义：对任意给定的 ，存在正整数 ，当 时，有 。（3分）
3.已知 任意次可微，求 的 .
解：令 ，则 ，（2分）
所以， （6分）
4.求方程 所确定的函数的导数 .
4.求方程 所确定的函数的导数 .
5.设 ，求 .
解：对等式两端取对数， ，（1分）再对上式两端分别求导，
（4分）
（5分）
所以，
6.求由方程 所确定的函数 的微分 .
解：在方程两端对 求导，得
.（3分）