北京理工大学2012-2013学年第一学期工科数学分析期末试题(A卷)试题2012-2(A)
北京理工大学数学专业应用随机过程期末试题(MTH17096)
北京理工大学2012-2013学年第一学期2010级《应用随机过程》期末试题A 卷一、（15分）设随机过程()X t Yt Z =+，其中Y ,Z 是相互独立的()0,1N 随机变量，求()X t 的数学期望，协方差函数和一维概率密度函数。
二、（15分）设在(]0,t 内到达某商店的顾客数()X t 是具有强度（每分钟）为λ的泊松过程，求：（1）5分钟内来到的顾客数为2人的概率；（2）5分钟内到来的平均顾客数；（3）设T 为首位顾客到达的时间，计算概率()5P T >。
三、（15分）设质点在线段[]1,5的整数点上作随机游动，n X 表示质点在时刻n 所处的位置，其一步转移概率矩阵为：11000221100022100001110033301000P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
（1）若初始分布为11,,0,0,022⎛⎫ ⎪⎝⎭，求质点在时刻n=1的概率分布； （2）试讨论该Markov 链的状态分类及其各常返闭集的平稳分布。
四、（10分）设Markov 链的状态空间{}0,1,2,I = ，转移概率,10,111,i i i i p p a ---==，1001,1,2,,1i i i a i a ∞-=<<==∑ 。
（1）试证明该Markov 链是不可约常返链； （2）试给出此链正常返的充要条件，并求出状态0的平均返回时间。
五、（15分）某实验室有两台机器，每台机器发生故障的概率为μ，发生故障后立即修理，且在h 时间内机器从故障到正常的概率为()h o h λ+。
令()X t 表示t 时刻正常工作的机器数，则()X t 是一生灭过程。
（1）写出()X t 的Q 矩阵；（2）写出转移概率所满足的Kolmogorov 向前、向后方程；（3）求平稳分布。
六、（15分）设()()cos X t V at =+Θ，其中()0,2,0,1U EV DV πΘ== ，且,V Θ相互独立。
北京理工大学2010-2011学年第一学期工科数学分析期末试题(A卷)答案
代入方程得 解得
6 A 1 ， 2 A 3 B 1
………………..(9 分) ………………..(10 分)
A
1 4 ， B 6 9 x2 4 x )e x 6 9 x2 4 x )e x 6 9
y* (
通解为
y C1e x C 2 e 2 x (
……………..(11 分)
四.
1
………………….(3 分) …………………..(4 分)
dy 1 dx 1 sin y
dy d y dx dx 2 (1 sin y ) 2
2
cos y
……………(6 分)
cos y
1 cos y 1 sin y 2 (1 sin y ) (1 sin y ) 3
0 x
……(6 分)
…………………….(7 分)
令 t u ，得
F ( x) ( x 2t ) f (t )dt
0
x
…………………….(8 分)
( x 2t ) f (t )dt
0
x
( x 2u ) f (u )du F ( x)
v x 0 2 vdv sin xdx
1 2 v cos x C 2
由初值得
C 1
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v 2 2(cos x 1)
…………………….(8 分)
十．
设
f ( x) ln x f ( x) 1 1 x e
x 1 x2 e dx e 0
…………………….(1 分) …………………….(2 分)
令
f ( x) 0 ， 得
北京理工大学数学专业复变函数期末试题(MTH17061)
北京理工大学2011-2012学年第一学期2009级复变函数试题A 卷一、（10分）设12,z z ∈，求证：()2221212122Re z z z z z z +=++。
二、（10分）设函数()()()2222f z x axy by i cx dxy y =+++++，试确定常数,,,a b c d 的值使()f z 在复平面上处处解析。
三、（10分）求下列积分，积分路径均为逆时针方向。
1.3z z z dz e =⎰；2.3z z e dz z =⎰；3.1Re z zdz =⎰。
四、（10分）求函数()22sin 41zz z +在1z <内的孤立奇点，说明这些奇点的类型，并求出在这些点处的留数。
五、（10分）1.求()2cos f z z =在0z =处的Taylor 展式；2.求()()()112f z z z =--在环域12z <<和2z <<+∞上的Laurent 展式。
六、（10分）求下列积分。
1.20sin d a πθθ+⎰，其中1a >为常数；2.2cos 1xdx x+∞+⎰。
七、（10分）求方程4510z z -+=在1z <内根的个数。
八、（10分）求一单叶解析函数，使其将带状区域0Im z π<<映射成w 平面的单位圆盘1w <。
九、（10分）设()f z 在00z z r ->上解析，且()lim z zf z A →∞=，求证：对于任何正数0r r >，()f z 在圆C ：0z z r -=上的积分()2Cf z dz iA π=⎰。
十、（10分）设二元实函数(),u x y 在区域D 上有定义，且在D 上有22220u u u x y∂∂∆=+=∂∂，则称(),u x y 是区域D 上的调和函数。
求证：1.解析函数的实部和虚部均为调和函数； 2.设(),u x y 是单连通区域D 上的调和函数，则存在区域D 上的调和函数(),v x y ，使得()(),,u x y iv x y +在区域D 上解析；3. 设(),u x y 是区域D 上的调和函数，且不恒为常数，则(),u x y 不可能在D 的内点达到最大值或最小值。
2012-2013_1_期末试卷A答案(出自17系)
部 试题答案
习 学 本答案由 1517 周俊孚同学领仪光学习部编写，不一定是标准答案，
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光 考试课程 复变函数与积分变换 A
仪班 级 姓名
学号 成绩
2017 年 1 月
1
一、选择题(每题 3 分，共 24 分) 1．下列方程所表示的平面点集中，为有界区域的是（D）
6．级数 +
1 3n zn
+
1 32 z2
+
1 3z
+1+
z 2
+
z2 22
++
zn 2n
+ 的收敛域是 1 3
<|
z |<
2
学 7.
函数 F (ω )
=
sin t0ω
的傅立叶逆变换为 δ (t + t0 ) − δ (t 2i
− t0)
8．函数 f (t ) = sin(t − π )u(t − π ) 的 Laplace 变换为
（A）不可导
（B）不解析
（C）不连续
（D）以上答案都不对
解：奇点的定义见课本第 17 页
∫ 3．设 C 为椭圆 x 2 + y 2 = 2 正向，则积分 1 d z = （A）
2
C z−i
部
（A） 2πi
（B） π
（C） 0
dz
∫ 4. 设 c 为正向圆周 z = 2 ，则
=（B）
Cz
习（D）− 2πi
（B） 1 e 2iω F (ω )
2
2
（D） 1 e −2iω F (ω )
北京理工大学《高等数学》历年期末考试试题及答案解析(精编版)
x = (t − 1)et 八. 设曲线 C 的方程为 y = 1 − t4
求
dy dx
,
d2y dx2
及曲线
C
在参数
t
=
0
对应点处
–2/48–
第 1 部分 北京理工大学试题集
的曲率半径.
九. 设 f ′(x).
f (x)
=
1 x
−
ex
1 −
1,
x
<
0
1
−
1 c2os x
x
,
, x
x= >0
等于
mg k
.
∫1
十一. 设 f (x) 在 [0, 1] 上连续, 在 (0, 1) 内可导, 且满足 f (1) = 2 2 xe1−x f (x)dx, 证明:
0
至少存在一点 ξ, 使得 f ′(ξ) = (1 − ξ−1) f (ξ).
1.2 2011 级秋季学期期末试卷
一. 填空题
1. 极限 lim
x→0
x
− ln(1 x2
+
x)
=
2. 设 y
=
x2 + ln x, 则
dx dy
=
dy =
∫∞
3. 广义积分
e
dx x ln2
x
=
4.
微分方程
y′′
=
1
1 + x2
的通解为
; lim
1
∫
x
(1
+
sin
2t)
1 t
dt
=
.
x→0 x 0
√ ; 设 f 可导,y = f (tan x) + 1 − x2, 则
工科数学分析上学期AB卷期末考试题及答案2套
,考试作弊将带来严重后果！期末考试《工科数学分析》试卷A1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：闭卷；5分，共10分） （1）)(lim 22x x x x x --++∞→ （2）xx x ln 1)(cot lim +→（10分）设1lim )(2212+++=-∞→n n n x bxax x x f 为连续函数, 试确定常数a 和b .（10分）设参数方程⎩⎨⎧=+=ty t x arctan )1ln(2确定了函数0)(>=x f y , 求x yd d 与22d d xy, 并判定函数)(x f 的单调性及凸性. （10分）造一个容积为V 的圆柱形无盖水池, 问高h 及底半径r为多少时, 可使其表面积最小? （10分）设0>x 时, 方程112=+xkx 有且仅有一个解, 求k 的取值范围.（10分）计算下列积分（每小题5分，共10分）（1）⎰+x x x )1(d 3 （2）⎰-+226d )cos (sin ππx x x x七．（10分）设⎰+∞-=0d e x x I x n n (n 为正整数), 试建立数列}{n I 的递推公式, 并求n I 的值.八．（10分）求抛物线px y 22=在点),2(p p 处法线与抛物线围成的图形的面积.九.（10分）设函数)(x f 在),(+∞-∞上有二阶导数且0)(≥''x f , 如果A xx f x =→)(lim, 试证明对任意),(+∞-∞∈x , 有Ax x f ≥)(. 十．（10分）设01>x , )(211nn n x ax x +=+, 证明数列}{n x 收敛并求其极限.《工科数学分析》试卷A 答案一. （1）解：12lim)(lim 2222=-++=--++∞→+∞→xx x x xx x x x x x（2）解：)1)1sin (cot 1lim exp()ln cot ln lim exp()(cot lim 200ln 10xx x xx x x x x x -==+++→→→ e1)1exp()cos sin lim exp(0=-=-=+→x x x x二. 解: ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-=-+-=++<+=1|| ,/11 ,2/)1(1,2/)1(1|| ,)(2x x x b a x b a x bx ax x f , 由于)(x f 为连续函数, 故)1()1()1(f f f ==+-, )1()1()1(-=-=-+-f f f即1=+b a , 1-=-b a解之得.1 ,0==b a三. 解: t t t t x y 21)1/(2)1/(1d d 22=++=, 32222241)1/(2/121d d tt t t t x y +-=+-=. 因0)(>x f , 故0>t , 从而0d d >xy, 0d d 22<x y . 因此, 方程确定的函数)(x f y =单调增加且上凸.四. 解: 表面积2222r r V r rh S πππ+=+=, 令0222=+-='r rVS π, 得32/πV r =, 此时3/4πV h =. 因S 有唯一驻点, 由实际问题可知必有最小表面积, 故当32/πV r =, 3/4πV h =时, 表面积最小. 五. 解: 令11)(2-+=x kx x f , 则32)(xk x f -='. 0≤k 时, )(x f 在),0(+∞单调下降. 又+∞=+→)(lim 0x f x , -∞=+∞→)(lim x f x (0<k ), 1)(lim -=+∞→x f x (0=k )因此, 当0≤k 时, )(x f 在),0(+∞只有一个零点, 即原方程在),0(+∞内只有一个解. 当0>k 时, )(x f 有唯一驻点30/2k x =, 且)(x f 在),(0+∞x 与),0(0x 内分别单调增加和单调减少. 注意到此时+∞=+→)(lim 0x f x , +∞=+∞→)(lim x f x故当且仅当0)(0=x f 即392=k 时, 函数有且仅有一个零点, 即原方程在),0(+∞内有且仅有一个解. 六. 解: (1) 令6x t =, 于是Cx x C t t dt t dt t t t t dt t x x x +-=+-=+-=+=+=+⎰⎰⎰⎰)arctan (6 )arctan (6)111(616)1(6)1(d 662223253(2)⎰⎰⎰⎰-===+--202022226dcos 2d sin 2d sin d )cos (sin ππππππx x x x x x x x x x x x.2d cos 2cos 2202/0=+-=⎰ππx x x x 七. 因为101010d e 0d e |e d e -+∞--+∞--∞+-+∞-=+=+-==⎰⎰⎰n x n xn x n x n n nI x x n x nx x x x I于是容易知道1!I n I n =. 又因为1|e 0d e |e d e 001=-=+-==∞+-+∞-∞+-+∞-⎰⎰x x x xx x x x I , 故有!.n I n =八. 因p y y 22=', 故1|2=='=y py p x , 从而可知抛物线在点),2(p p 的法线方程为)2(p x p y --=-或y px -=23.除去切点外抛物线与法线的另一个交点坐标为)3,29(p p -, 所以所求图形的面积232316d )223(p y p y y p A pp =--=⎰-九. 0)(lim)(lim )0(0===→→x xx f x f f x x , A xx f x f x f f x x ==-='→→)(lim )0()(lim)0(00. 由泰勒公式, ),(+∞-∞∈∀x , 0≠x , 有Ax x f x f x f f x f ='≥''+'+=)0(!2)()0()0()(2ξ上式当0=x 时显然成立. 证毕.十. 单调增加（减少）有上界（下界）的数列必收敛. 下面我们证明数列}{n x 是单调减少有下界的数列. 由于a x ax x nn n =⋅≥+1 故数列}{n x 有下界. 此外, 因为1)11(21)1(2121=+≤+=+n n n x a x x 故数列}{n x 单调减少. 因此, 数列}{n x 收敛, 设其极限为A , 于是AaA x a x x A n n n n n +=+==∞→+∞→)(21limlim 1 解之得a A =（由极限保号性负根舍去）.,考试作弊将带来严重后果！期末考试《工科数学分析》试卷B1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：闭卷；5分，共10分） （1）)2(lim 2x x x x -++∞→ （2）x x x +→0lim二．（10分）设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0 ,e 0,1sin )(x x xx x f x βα, 试根据α和β的值, 讨论)(x f 在0=x 处的连续性(包括左连续、右连续及间断点的类型).三．（10分）设方程22ln arctan y x x y +=确定函数)(x f y =, 求22d d x y .四．（10分）试确定数列}{n n 中的最大项.五．（10分）设0>a , 试讨论方程ax x =ln 实根的个数. 六．计算下列积分（每小题5分，共10分） （1）⎰+xx e1d （2）⎰-+22d )e (sin 4ππx x x x七．（10分）设⎰+∞-=0d e x x I x n n (n 为正整数), 试建立数列}{n I 的递推公式, 并求n I 的值.八．（10分）求抛物线x y 22=与直线21=x 所围成的图形绕直线1-=y 旋转而成的立体的体积.九.（10分）设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导, a x f ≤|)(|, b x f ≤''|)(|,)1,0(∈c , 试证明22|)(|b a c f +≤'. 十．（10分）已知0>a , a x =1, n n x a x +=+1, 证明数列}{n x 收敛并求其极限.《工科数学分析》试卷B 答案一. （1）解：122lim)2(lim 22=++=-++∞→+∞→xx x x x x x x x（2）解：1)/1/1lim exp()/1ln lim exp()ln lim exp(lim 20000=-===++++→→→→xx x x x x x x x x x x 二. 解: )0(1)0(f f =+=-β. 当0>α时, 0)0(=+f ; 当0≤α时, )0(+f 不存在. 因此, 当0>α且1-=β时, 函数在0=x 处连续; 当0>α且1-≠β时, 函数在0=x 处左连续但又不连续, 0=x 为第一类间断点; 当0≤α时, 函数在0=x 处左连续, 0=x 为第二类间断点.三. 解: 方程两边关于x 求导得22222221)/(11yx y y x x y y x x y +'+=-'+ 整理得 yx yx x y -+=d d 于是, 322222)()(2)()1)(())(1(d d y x y x y x y y x y x y x y -+=-'-+--'+=. 四. 解: 令x x x f /1)(=, 0>x . 令0ln 1)(2/1=-='xxx x f x , 得e /1=x . 则在)/1,0(e 与),/1(+∞e 上)(x f 分别单调增加和单调减少. 从而33)/1(2<<e e因此,33为最大项.五. 解: 令ax x x f -=ln )(, 0>x . 解01)(=-='a xx f 得唯一驻点ax 1=. )(x f 在)/1,0(a 与),/1(+∞a 内分别单调增加和单调减少. 又由于-∞=+→)(lim 0x f x , -∞=+∞→)(lim x f x , 所以有如下结论:(1) 当e a /1>时, 0)/1(<a f , 原方程没有根; (2) 当e a /1=时, 0)/1(=a f , 原方程有一个根; (3) 当e a /1<时, 0)/1(>a f , 原方程有两个根 六. (1)令1+=x e t , 则)1ln(2-=t x , 于是Cx e C e e C t t dt t t dt t t t e dxx x x x+--+=+++-+=++-=+--=-=+⎰⎰⎰)11ln(21111ln 11ln )1111(12112(2) ⎰⎰⎰⎰-===+--20202222dcos 2d sin 2d sin d )e (sin 4ππππππx x x x x x x x x x x x.2d cos 2cos 2202/0=+-=⎰ππx x x x 七. 因为1010100d e 0d e |e d e -+∞--+∞--∞+-+∞-=+=+-==⎰⎰⎰n x n xn x n x n n nI x x n x nx x x x I于是容易知道1!I n I n =. 又因为1|e 0d e |e d e 001=-=+-==∞+-+∞-∞+-+∞-⎰⎰x x x xx x x x I , 故有!.n I n = 八. 体积元素x x x dV πππ24)12()12(22=+--+=, 因此所求体积ππ342421==⎰dx x V九. 由泰勒公式21)0)((21)0)(()()0(c f c c f c f f -''+-'+=ξ, ),0(1c ∈ξ 22)1)((21)1)(()()1(c f c c f c f f -''+-'+=ξ, )1,(2c ∈ξ 两式相减得2122)(21)1)((21)()1()0(c f c f c f f f ξξ''--''+'=- 因此22])1[(212 |)(|21)1(|)(|21|)1(||)0(||)(|222122b a c c b a c f c f f f c f +≤+-+≤''+-''++≤'ξξ十. 单调增加（减少）有上界（下界）的数列必收敛. 下面我们证明数列}{n x 是单调增加有上界的数列. 显然, 12x x >, 假设1->n n x x , 则n n n n x x a x a x =+>+=-+11故数列}{n x 单调增加. 此外, 显然, 11+<a x , 假设1+<a x n , 则111+<++<+=+a a a x a x n n故数列}{n x 有上界. 因此, 数列}{n x 收敛, 设其极限为A , 于是A a x a x A n n n n +=+==∞→+∞→lim lim 1解之得2411aA ++-=（由极限保号性负根舍去）.。
北京理工大学2012级线性代数(A)A卷及答案
课程编号：A073122 北京理工大学2012-2013学年第一学期线性代数A 试题 A 卷班级 ________ 学号 _________ 姓名 __________ 成绩 ___________一、（10分）已知3阶方阵123035002A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，计算行列式*123A I+。
二、（10分） 设423110, 2123A AX A X ⎛⎫ ⎪⎪==+ ⎪ ⎪-⎝⎭, 求X 。
三、（10分）已知线性空间4][x F 的自然基为231,,,x x x 。
(1) 证明：2231,12,123,1234x x x x x x ++++++为4][x F 的一个基；(2) 求自然基231,,,x x x 到基2231,12,123,1234x x x x x x ++++++的过渡矩阵，以及23()1h x x x x =--+在后一个基下的坐标。
四、（10分）已知123(1,0,1), (2,2,0), (0,1,1)TTTααα=-==。
(1) 求向量组123,,ααα的一个极大无关组；(2) 求生成子空间123(,,)L ααα的一个标准正交基。
五、（10分）设A 是5阶方阵，且已知存在5阶可逆矩阵P ，使得111112P AP --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭试写出A 的初等因子，同时判断P 的哪几列是A 的特征向量。
六、（10分）在多项式空间4[]R x 中定义变换σ：233012330201()()a a x a x a x a a a x a a x σ+++=-+++（1）证明：σ是4[]R x 上的线性变换；（2）求σ在4[]R x 的自然基231,,,x x x 下的矩阵，并判断σ是否可逆。
七、（10分）假设A 是m n ⨯的实矩阵，证明：()()TA A A =秩秩八 (10分）已知(1,1,1)T ξ=-是矩阵2125312A a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦的一个特征向量， （1）确定参数a , b 及特征向量ξ所对应的特征值； （2）判断A 是否可以相似对角化，说明理由。
高数期末试题
2 1
f ( x)dx 1 , 证明在(0,3)内存在
, 使 f ( ) f ( ) 0.
九 . (8 分) 设 f ( x) 有连续导数 , 且 lim
x 0
f ( x) f ( x) 2, ex 1
f (0) 0, 证明 x 0 是 f ( x) 的
x 0
____________ .
2.
I1
ln 2 x dx 与 I 2 x
dx 中 收 敛 的 为 _____________, 其 值 等 于 x ln 3 x
___________. 3.
1
1
3 1 x 2 dx _____________,
1
1
x 1 x 2 dx _____________ .
2x 1 x2
( x 1) 是否恒为常数.
y 1 dy d 2 y 2 2 六. (9 分) 设 arctan ln( x y ) 确定函数 y y ( x) , 求 , 2 . x 2 dx dx
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七. (10 分) 求下列反常积分. (1)
1
二. (9 分) 求极限 lim(cos x x sin x) .
x2 x 0
三. (9 分) 求不定积分 ( x arctan x
1 x e )dx . x2
1
四. (9 分) 求 f ( x) 3 ( x 2 2 x) 2 在区间 [1,3] 上的最大值和最小值.
五. (8 分) 判断 f ( x) arctan x arcsin
0
x
是 f ( x) 的极值点, 并判断 f (0) 是极大值还是极小值.
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1 北京理工大学2012-2013学年第一学期 工科数学分析期末试题(A 卷)
一. 填空题（每小题2分, 共10分）
1. 设⎪⎩⎪⎨⎧<≥++=01arctan 01)(x x x x a x f 是连续函数，则=a ___________.
2. 曲线θρe 2=上0=θ的点处的切线方程为_______________________________.
3. 已知),(cos 4422x o bx ax e
x x ++=- 则_,__________=a .______________=b 4. 微分方程1cos
2=+y dx dy x 的通解为=y __________________________________. 5. 质量为m 的质点从液面由静止开始在液体中下降, 假定液体的阻力与速度v 成正比, 则质点下降的速度)(t v v =所满足的微分方程为_______________________________.
二. (9分) 求极限 21
0)sin (cos lim x
x x x x +→.
三. (9分) 求不定积分⎰+dx e x
x x x )1arctan (12. 四. (9分) 求322)2()(x x x f -=在区间]3,1[-上的最大值和最小值.
五. (8分) 判断2
12arcsin arctan )(x x x x f ++= )1(≥x 是否恒为常数. 六. (9分) 设)ln(21arctan 22y x x y +=确定函数)(x y y =, 求22,dx
y d dx dy . 七. (10分) 求下列反常积分. (1);)1(1
22⎰--∞+x x dx (2) .1)2(1
0⎰--x x dx
八. (8分) 一垂直立于水中的等腰梯形闸门, 其上底为3m, 下底为2m, 高为2m, 梯形的上底与水面齐平, 求此闸门所受
到的水压力. (要求画出带有坐标系的图形)
九. (10分) 求微分方程x e x y y y 3)1(96+=+'-''的通解.
十. (10分) 设)(x f 可导, 且满足方程a dt t f x x x f x
a +=+⎰)())((2 ()0(>a , 求)(x f 的表达式. 又若曲线
)(x f y =与直线0,1,0===y x x 所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为,6
7π 求a 的值. 十一. (8分) 设)(x f 在]2,0[上可导, 且,0)2()0(==f f ,1sin )(1
21
=⎰xdx x f 证明在)2,0(内存在ξ 使
.1)(='ξf。